专题-解析几何提高篇(二)

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解析几何(二)含答案

解析几何（二）
1．双曲线的左右顶点分别为，曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则当取到最小值时，双曲线离心率为（）
A． B．2C．3D．6
2．已知直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（）
A． B．
C． D．
3．已知抛物线C：的焦点为F，过点F且倾斜角的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积，则线段AB的中点M到y轴的距离是（）
【详解】设，由，得，
因为，则由余弦定理可得
，
解得，
则，即 ①，
又经过点，
所以 ②
联立①②，解得，则
所以的虚轴长为
故选:C
7．D
【分析】抛物线的准线为，焦点为，当，，三点共线时，到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和最小，从而的最小值为．
【详解】解：如图所示，
17．已知，分别是双曲线C：的左右焦点，双曲线C的右支上一点Q满足，O为坐标原点，直线与该双曲线的左支交于P点，且，则双曲线C的渐近线方程为______．
18．已知椭圆的离心率为，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上且在以为直径的圆上．线段与轴交于点，，则椭圆的长轴长为_____．
(1)证明：直线的斜率为定值；
(2)在中，记，，求最大值.
22．平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆 .设点为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点 .
(1)求的值；
(2)求面积的最大值.
23．平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆 .设点为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点 .

(2021年整理)高中数学解析几何解题方法~

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解析几何常规题型及方法（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）:设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程,然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数.典型例题给定双曲线x y 2221-=。

过A （2,1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。

（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题设P(x ，y)为椭圆x a y b22221+=上任一点，F c 10(,)-,F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。

（1)求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；（2)求|||PF PF 1323+的最值。

(3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。

y p x p x y t x 210=+>+=()() （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2)设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。

（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值(范围）问题，常用代数法和几何法解决。

2019高考数学大二轮复习专题8解析几何第2讲综合大题部分增分强化练文

第2讲综合大题部分1．已知在平面直角坐标系中，动点P (x ，y )(x ≥0)到点N (1,0)的距离比到y 轴的距离大1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与轨迹C 相交于A ，B 两点，设点Q 在直线x ＋y －1＝0上，且满足OA →＋OB →＝tOQ →(O 为坐标原点)，求实数t 的最小值．解析：(1)因为点P (x ，y )(x ≥0)到点N (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，所以|PN |－1＝|x |，将点P 坐标代入，并整理得y 2＝4x . 故点P 的轨迹C 的方程是y 2＝4x .(2)由题意知直线AB 的斜率存在且与抛物线y 2＝4x 有两个交点，设直线AB ：y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y 2＝4x ，得k 2x 2－4(k 2＋1)x ＋4k 2＝0(k ≠0)．Δ＝16(2k 2＋1)>0恒成立，所以x 1＋x 2＝4k 2＋1k 2，x 1·x 2＝4，因为OA →＋OB →＝tOQ →，所以(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，即x ＝x 1＋x 2t ＝4k 2＋1k 2t ，y ＝y 1＋y 2t＝k x 1－2＋k x 2－2t ＝k x 1＋x 2－4k t ＝4tk，又点Q 在x ＋y －1＝0上，所以4k 2＋1k 2t ＋4tk－1＝0. 所以t ＝4(1k 2＋1k ＋1)＝4(1k ＋12)2＋3≥3.故实数t 的最小值为3.2．已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为4，离心率为12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过右焦点F 作一条不与坐标轴平行的直线l ，若l 交椭圆C 于A 、B 两点，点A 关于原点O 的对称点为D ，求△ABD 的面积的取值范围．解析：(1)∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为4，离心率为12，∴2a ＝4，e ＝c a ＝12，又a 2－b 2＝c 2， ∴a ＝2，b ＝3，则椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)∵D 是点A 关于原点的对称点，∴原点O 是线段AD 的中点，则S △ABD ＝2S △ABO ＝2×12×|AB |×d O ＝|AB |×d O (d O 为点O 到直线l 的距离)，由直线l 过右焦点F ，且不与坐标轴平行，可设直线l ：x ＝my ＋1，m ≠0，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，3x 2＋4y 2＝12，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6m3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，得|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2| ＝1＋m 2y 1＋y 22－4y 1y 2＝12m 2＋13m 2＋4. 又d O ＝1m 2＋1，则S △ABD ＝12m 2＋13m 2＋4×1m 2＋1＝12m 2＋13m 2＋4＝12m 2＋13m 2＋1＋1 ＝123m 2＋1＋1m 2＋1，令t ＝m 2＋1∈(1，＋∞)，则y ＝3t ＋1t在(1，＋∞)上单调递增，则3t ＋1t∈(4，＋∞)，则S △ABD ＝123m 2＋1＋1m 2＋1∈(0,3)，即△ABD 的面积的取值范围为(0,3)．3．(2018·高考浙江卷)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．解析：(1)证明：设P (x 0，y 0)，A (14y 21，y 1)，B (14y 22，y 2)．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程(y ＋y 02)2＝4·14y 2＋x 02即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根．所以y 1＋y 2＝2y 0，因此，PM 垂直于y 轴． (2)由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝22y 20－4x 0. 因此，△PAB 的面积S △PAB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32.因为x 20＋y 204＝1(x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4,5]，因此，△PAB 面积的取值范围是[62，15104]．4．(2018·高考天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k <0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．解析：(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2. 所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)，由题意知，x 2>x 1>0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1)．由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得|PM |＝2|PQ |，从而x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1. 易知直线AB的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx ，消去y ，可得x 2＝63k ＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx ，消去y ，可得x 1＝69k 2＋4.由x 2＝5x 1，可得9k 2＋4＝5(3k＋2)，两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0，解得k ＝－89，或k ＝－12.当k ＝－89时，x 2＝－9<0，不合题意，舍去；当k ＝－12时，x 2＝12，x 1＝125，符合题意．所以，k 的值为－12.。

高中数学第二章解析几何初步章末复习提升课获奖公开课优质课件

ⅱ.几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系 d<r 相交 d＝r 相切 d>r 相离
②圆的切线方程
若圆的方程为 x2＋y2＝r2，点 P(x0，y0)在圆上，则过 P 点且与圆 x2＋y2＝r2 相切的切线方程为 x0x＋y0y＝r2.
注意：点 P 必须在圆 x2＋y2＝r2 上．
(3)圆的方程的求法若已知条件与圆心、半径有关，可先求出圆心、半径，用圆的标准方程求解；若已知条件涉及圆过几个点，常用圆的一般方程形式；若所求的圆过已知两圆的交点，则可考虑将圆的方程设为过两圆交点的圆系方程的形式．
4．直线、圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系 ①直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交．判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： i．代数法：利用判别式
热点考点例析专题一直线的倾斜角与斜率问题直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从 “形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度．倾斜角 α 与斜率 k 的对应关系，是做题的易错点，应引起特别的重视．
[例 1] 直线 l 过点 A(4,1)，B(3，a2)(a∈R)，求直线 l 的倾斜角的取值范围．
【解析】直线 l 的斜率为 k＝a32－－41＝1－a2≤1. 当 0≤k≤1 时，倾斜角 0°≤α≤45°；当 k<0 时，倾斜角 90°<α<180°. 综上，直线 l 的倾斜角的取值范围是[0°，45°]∪(90°，180°).
在，另一条直线斜率为 0，则它们也是垂直的，对于含有参数的两条直线位置关系的判定，必须注意上述特殊情形．
3．圆的方程 (1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中(a，b)为圆心，r 为半径． (2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，其中圆

高中数学必修2知识讲解_《解析几何初步》全章复习与巩固 -提高

《解析几何初步》全章复习与巩固【学习目标】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；3.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；4.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；5.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程；6.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；7.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 【知识网络】【要点梳理】要点一：直线方程的几种形式（1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性，需要根据条件灵活选用．（2）在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特别警惕．（3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法．常用的直线方程有： ①00()y y k x x -=-； ②y kx b =+；③220(0)Ax By C A B ++=+≠；④111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(λ为参数)．要点二：两条直线的位置关系1．特殊情况下的两直线平行与垂直．(1)当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为090，互相平行；(2)当一条直线的斜率不存在（倾斜角为090），另一条直线的倾斜角为00时，两直线互相垂直． 2．斜率都存在时两直线的平行：（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠（2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A ，则1l ∥2l ⇔212121C C B B A A ≠= ．要点诠释：对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定．3．斜率都存在时两直线的垂直：（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则 12121⊥⇔=-l l k k ；（2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A ，则1l ⊥2l ⇔02121=+B B A A ．要点三：点到直线的距离公式 1．点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200BA CBy Ax d +++=2．两平行线间的距离公式已知两条平行直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=．要点诠释：一般在其中一条直线1l 上随意地取一点M ，再求出点M 到另一条直线2l 的距离即可要点四：对称问题1．点关于点成中心对称点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题．设00(,)P x y ，对称中心为(,)A a b ，则P 关于A 的对称点为00(2,2)P a x b y '--．2．点关于直线成轴对称由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”．利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般情形如下：设点00(,)P x y 关于直线y kx b =+的对称点为(,)P x y '''，则有0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，求出x '、y '．特殊地，点00(,)P x y 关于直线x a =的对称点为00(2,)P a x y '-；点00(,)P x y 关于直线y b =的对称点为00(,2)P x b y '-．3．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -；（2）点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -；（3）点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --；（4）点(,)x y 关于直线0x y -=的对称点为(,)y x ；（5）点(,)x y 关于直线0x y +=的对称点为(,)y x --．要点五：圆的方程求圆的方程通常果用待定系数法，若条件涉及圆心、半径等，可设成圆的标准方程；若条件涉及圆过一些定点，则可设成圆的一般方程．运用圆的几何性质可以使运算简便．1．圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=.(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.2．圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E --. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆.要点六：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<要点七：直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判定方法： (1)代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解. 如果有解，直线l 与圆C 有公共点；有两组实数解时，直线l 与圆C 相交；有一组实数解时，直线l 与圆C 相切；无实数解时，直线l 与圆C 相离. (2)几何法：设直线22:0(0)l Ax By C A B ++=+≠，圆222:()()(0)C x a y b r r -+-=>，圆心(,)C a b 到直线l 的距离记为d =，则:当d r <时，直线l 与圆C 相交；当d r =时，直线l 与圆C 相切；当d r >时，直线l 与圆C 相离.要点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 要点八：圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 2.圆与圆的位置关系的判定： (1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解. 有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离. (2)几何法：圆2221111:()()C x a y b r -+-=与圆222222:()()C xa yb r-+-=，两圆圆心距d =当1212r r d r r -<<+时，两圆相交；当12r r d +=时，两圆外切；当12r r d +<时，两圆外离；当12r r d -=时，两圆内切；当12r r d ->时，两圆内含.要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.要点九：求圆的切线方程的常用方法：(1)直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；(2)待定系数法：设出切点坐标或切线斜率，由题意列出方程(组)解得切点坐标或切线斜率，写出点斜式，最后将点斜式化为一般式；(3)定义法：根据直线方程的定义求出切线方程. 常见圆的切线方程：①过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；②过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是：()()()()200x a x a y b y b r --+--=.要点十：空间直角坐标系空间直角坐标系中坐标的求法：过该点作两条轴所确定平面的平行平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标．确定简单几何体的顶点坐标是今后正确运用坐标法解题的关键，必须要熟练且正确地掌握空间直角坐标系的建立与中点坐标的确定方法．【典型例题】类型一：直线方程的综合问题例1．已知A (-m -3，2)，B (-2m -4，4)，C (-m ，m )，D (3，3m+2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值．【思路点拨】两直线垂直⇔121k k =-的前提条件是1k 、2k 均存在且不为零，所以这类问题应分斜率存在和不存在两种情况讨论．【答案】1或-1【解析】∵ A 、B 两点纵坐标不相等，∴ AB 与x 轴不平行． ∵ AB ⊥CD ，∴ CD 与x 轴不垂直，-m ≠3，m ≠-3． ①当AB 与x 轴垂直时，-m -3＝-2m -4，解得m ＝-1．而m ＝-1时，C 、D 纵坐标均为-1，∴ CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．②当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式42224(3)(1)AB k m m m -==------+，322(1)3()3CD m m m k m m +-+==--+．∵ AB ⊥CD ，∴ 1A B C Dk k =-，即22(1)1(1)3m m m +=--++，解得m ＝1．综上，m 的值为1或-1．举一反三：【变式1】已知1l ：23250,:(31)20x ay l a x ay +-=---=，求使12//l l 的a 的值．【答案】0或16- 【解析】解法一：当直线斜率不存在，即0a =时，有12:350,:20l x l x -=--=，符合12//l l ；直线斜率存在时，123311//26a l l a a a -⇔-=⇔=-．故使12//l l 的a 的值为0或16-．解法二：由12//3()(31)20,l l a a a ⇔⋅---⋅=解得0a =或16-，故使12//l l 的a 的值为0或16-．例2．已知三条直线120(0)l x y a a -+=>:，24210l x y --=:，310l x y +-=:且1l 与2l的距离为(1)求a 的值．(2)能否找到一点P ，使得点P 同时满足下列三个条件：①点P 是第一象限点，②点P 到1l 、3l 的P 到1l 、2l 的距离比是1:2．若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．【思路点拨】用平行线间的距离、点到直线的距离公式求解．【答案】（1）3 （2）137918P ⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】(1)直线2l 的方程变为1202x y --=， ∴ 1l 与2的距离d ==∴ 1722a +=，∵ 0a >，∴ 3a =． (2)设P (x 0，y 0)，若点P 满足条件③，则点P 在与直线1l 、2l 平行的直线20l x y c '-+=:上，=，即132c =或116，∴ l '为0013202x y -+=或0011206x y -+=．若点P 满足条件②，由点到直线的距离公式得002=解得00240x y -+=或0320x +=(∵ 点P 是第一象限点，∴ 不合题意，舍去)．联立方程000013202240x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，，解得00312x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，舍去．联立方程000011206240x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得00193718x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，. ∴ 137918P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为同时满足三个条件的点．【总结升华】本题综合性较强，用距离公式时要注意转化为方程的一般形式．例3．求直线:240a x y +-=关于直线:3410l x y +-=对称的直线b 的方程．【思路点拨】1.曲线的对称通常转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）．2.由平面几何知识可知，若a 与b 关于l 对称，则应具有下列几何性质：（1）若点A 在直线a 上，则A 点关于l 的对称点B 一定在直线b 上，即l 为线段AB 的垂直平分线（AB l ⊥，AB 的中点在l 上）；（2）设(,)P x y 是所求直线b 上一点，则P 关于l 的对称点(,)P x y '''的坐标适合直线a 的方程；（3）若a 与b 相交，则l 过a 与b 交点，只需求出交点和一个对称点，利用两点式就可以求出答案；若//a l ，则////b l a ，三条直线的斜率相等，只需再求出一个对称点，利用点斜式可以求出答案．【解析】方法一：在直线:240a x y +-=上取一点(2,0)A ，设A 点于l 的对称点00(,)B x y ，则0000203410220423x y y x ++⎧⋅+⋅-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得48(,)55B -，由2403410x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得交点(3,2)D -．由两点式可求得直线b 的方程：211160x y ++=．方法二：设(,)P x y 是所求直线b 上任一点；设P 关于l 的对称点(,)P x y '''，则有：''341022'4'3y y x x y y x x ++⎧⋅+⋅-=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得7246'252478'25x y x x y y -+⎧=⎪⎪⎨--+⎪=⎪⎩∵(,)P x y '''在直线:240a x y +-=上，∴724624782402525x y x y -+--+⋅+-=，整理得211160x y ++=，故所求直线b 的方程：211160x y ++=．【总结升华】1. 对称问题是高考的热点之一，一般包括点关于点对称，直线关于点对称，点关于直线对称，直线关于直线对称，要掌握通解通法和记忆一些常用结论．2. 求一条直线关于已知直线的对称直线，基本方法之一在直线上任取两点求其对称点，方法之二是利用相关点——伴随曲线方法解决，其中方法2还可以推广，如改变直线a 为二次曲线C ，仍可用此方法解决．举一反三：【变式1】由点P （2，3）发出的光线射到直线1x y +=-上，反射后过点Q （1，1），则反射光线所在直线的一般方程为________．【答案】：4510x y -+=【解析】设点P 关于直线1x y +=-的对称点00(,)P x y '，则00(,)P x y '满足条件0000231,2231,2x y y x ++⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 解得(4,3)P '--，∴ 由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为311(1)41y x ---=---，即4510x y -+=．类型二：圆的方程的综合问题例4．（2016 天津河西区模拟）已知圆C 经过点A （2，0）、(1,)B ，且圆心C 在直线y =x 上．（1）求圆C 的方程；（2）过点(1,3的直线l截圆所得弦长为l 的方程．【思路点拨】（1）求出圆心坐标与半径，即可求圆C 的方程；（2）设出直线方程，利用点到直线的距离以及半径半弦长求解即可．【答案】（1）x 2+y 2=4；（2）x =1或33y x =-+【解析】（1）AB的中点坐标3(,2，AB可得AB垂直平分线为60y +=，与x －y =0的交点为（0，0），圆心坐标为（0，0），半径为2，所以圆C 的方程为x 2+y 2=4；（2）直线的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，又直线l过， ∴直线l的方程为(1)3y k x -=-，即3y kx k =+-，则圆心（0，0）到直线的距离||k d -=，又圆的半径r =2，截得的弦长为22(||)4k=，解得：k=，则直线l的方程为y x=+当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．直线l的方程：x=1或y=【总结升华】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，当直线与圆相交时，常常利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形来解决问题．举一反三：【变式1】直线l被圆C:2220x y y+-=所截得的弦的中点是13(,)22M-，求直线l的方程．【答案】20x y--=【变式2】（2015春东台市校级期中）已知：圆C：22(1)(2)25x y-+-=，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0，求：（1）求直线l恒过定点P的坐标；（2）求直线l被圆M截得的弦长最小时的方程．【答案】（1）P（3，1）；（2）2x－y－5=0．【解析】（1）直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0，即为m（2x+y－7）+（x+y－4）=0，令27040x yx y+=+-=⎧⎨⎩－，则31xy=⎧⎨=⎩．故直线l恒过点P（3，1）；（2）当圆心C到直线l的距离最大时弦长最短，此时CP⊥l，圆C：22(1)(2)25x y-+-=的圆心C（1，2），由直线CP的斜率为211132-=--，即有直线l的斜率为2，即2121mm+-=+，即34m=-，则直线l的方程为2x－y－5=0．例5．已知圆的方程：2222(2)20x y ax a y+-+-+=，其中a≠1，且a∈R．(1)求证：a ≠1，且a ∈R 时，圆恒过定点； (2)求与圆相切的直线方程；(3)求证圆心总在一条直线上，并求其方程．【思路点拨】本题是含参数的圆的方程，可用分离参数法、待定系数法、配方法解题．【解析】(1)证明：方程2222(2)20x y ax a y +-+-+=变为2242(22)0x y y a x y +-+--=，令22420220x y y x y ⎧+-+=⎨-=⎩，，解得11x y =⎧⎨=⎩，.∴ 定点为(1，1)．故圆恒过定点(1，1)． (2)解：易求圆心坐标为(a ，2-a )，半径为1|a -．设所求切线方程为y kx b =+，即0kx y b -+=，则圆心到直线的距离等于半径，即1|a =-恒成立，即22222(1)4(1)2(1)k a k a k +-+++ 222(1)2(2)(1)(2)k a b k a b =++-++-恒成立．比较系数可得222222(1)(1)4(1)2(2)(1)2(1)(2)k k k b k k b ⎧+=+⎪-+=-+⎨⎪+=-⎩，，，解得10k b =⎧⎨=⎩，. 故所求切线方程为y ＝x ．(3)解：易求圆心坐标为(a ，2-a )，又设圆心坐标为(x ，y )，则2x a y a =⎧⎨=-⎩，，消去a ，可得2y x =-，即20x y +-=．故圆心(a ，2-a )总在直线x+y -2＝0上．举一反三：【变式1】求过两圆2220x y x y +---=与224480x y x y ++--=的交点和点(3，1)的圆的方程．【解析】设所求圆的方程为22222(448)0x y x y x y x y λ+---+++--=，∵ 点(3，1)在圆上，把(3，1)代入圆的方程求得25λ=-． ∴ 所求圆的方程为223313360x y x y +-++=．【总结升华】注意圆系方程的特殊情形：过直线与圆的交点的圆系方程和过圆与圆的交点的圆的方程．类型三：直线与圆的方程的综合问题例6．已知圆C 的圆心为坐标原点O，且与直线1:0l x y --=相切．（1）求圆C 的方程；（2）若与直线1l 垂直的直线2l 与圆C 交于不同的两点P 、Q ，且以PQ 为直径的圆过原点，求直线2l 的方程．【思路点拨】（1）根据点到直线的距离确定圆的半径，则圆的方程可得．（2）设出直线2l 的方程，判断出△OPQ 为等腰直角三角形，求得圆心到直线2l 的距离，进而利用点到直线的距离求得C ，则直线方程可得．【答案】（1）224x y +=；（2）x +y +2=0或x +y －2=0．【解析】（1）由已知圆心到直线的距离为半径，求得半径2r ==， ∴ 圆的方程为224x y +=．（2）设直线2l 的方程为x +y +c =0，由已知△OPQ 为等腰直角三角形，则圆心到直线2l 的距离为1，利用点到直线的距离公式得，求得c =±2．∴ 直线2l 的方程为x +y +2=0或x +y －2=0．举一反三：【变式1】已知直线l 过点P (2，4)，且与圆224x y +=相切，求直线l 的方程．错解：∵ 2OP k =，且OP l ⊥，∴ 12l k =-， ∴ l 的方程为14(2)2y x -=--，即2100x y +-=．错因分析：本题错误的原因是误把点P 当作切点．求过定点的圆的切线方程，应首先验证定点是否在圆上．正解：当直线斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，适合题意．当直线斜率存在时，设直线l 的方程为4(2)y k x -=-，即4020kx y k -+-=，∵ 直线与圆相切，∴|2=，解得34k =，∴ 直线l 的方程为34100x y -+=． ∴ 直线l 的方程为2x =或34100x y -+=．例7．已知m ∈R ，直线2(1)4l mx m y m -+=:和圆2284160C x y x y +-++=:． (1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么? 【答案】（1）1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，（2）不能【解析】(1)直线l 的方程可化为22411m my x m m =-++，直线l 的斜率21mk m =+．因为21||(1)2m m ≤+，所以2||1||12m k m =≤+，当且仅当||1m =时等号成立．所以斜率k 的取值范围是1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．(2)不能．由(1)知l 的方程为y ＝k (x -4)，其中||k ≤12．圆C 的圆心为C (4，-2)，半径r ＝2．圆心C 到直线l 的距离d =．由1||2k ≤，得d 1>，即2r d >．从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π．所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧．类型四：空间直角坐标系例8．正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，并且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N在BF 上移动．若|CM|=|BN|=a （0a <<）．当a 为何值时，|MN|最小？【思路点拨】建立空间直角坐标系，把|MN|写成a 的函数，用函数的思想方法解题．【答案】2【解析】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直．取B 为坐标原点，过BA ，BE ，BC 的直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为|BC|=1，|CM|=a ，且点M 在坐标平面xBz 内且在正方形ABCD 的对角线上，所以点,0,122m a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．因为点N 在坐标平面xBy 内且在正方形ABEF 的对角线上，|BN|=a ，所以点,,022N a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．由空间两点间的距离公式，得||MN ==当a =（满足0a <<|MN|．【总结升华】由于图形中出现了两两垂直的三条直线，因此采用了建立空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题的方法求解，利用空间两点间的距离公式求得MN 的长度，并利用二次函数求MN 的最小值．举一反三：【变式1】空间直角坐标系中，在平面xoy 内的直线1x y +=上确定一点M ，使它到点N （6，5，1）的距离最小，求出最小值．【思路点拨】注意在平面xoy 内的直线1x y +=上的点的特点．【解析】设点(,1,0)M x x -，则||MN ==当1x =时，min ||MN =M （1，0，0）．。

解析几何专题拔高

解析几何专题复习材料天津大学附属中学窦春波解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力的要求较高。

坐标方法是要求学生掌握的，但是，作为普通高中的选修课的教学要求不能过高，只能以绝大多数学生所能达到的程度为标准。

(一)突出重点 1．突出重点内容 2．突出坐标方法(二)注意内容的整体性和训练的阶段性 (三)注意调动学生学习的主动性考向一、圆锥曲线的定义（全国新课标理14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x轴上，离心率为2．过1F的直线交于C 于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为．【答案】（天津理4文5）设P 是双曲线19222=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点。

若1||13PF =，则=||2PF （）A ． 1或5B ． 17C ． 17或9D ．9【答案】（辽宁理3文7）已知F 是抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（）A ．34B ．1C ．54D ．74【答案】考向二、圆锥曲线方程与性质1、双曲线性质（天津文11）已知双曲线)0,0(1:22221>>=-babyaxC与双曲线1164:222=-yxC有相同的渐近线，且1C的右焦点为F,则a=b=【答案】（天津文4）设双曲线)0,0(12222>>=-babyax的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（）A.xy2±= B.xy2±= C.xy22±=D.xy21±=【答案】2、双曲线与抛物线性质结合：(天津文11) 已知抛物线28y x=的准线过双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为 . 【答案】(天津理5)已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px py=>的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2，△AOB p =（）A．1 B．32C．2 D．3【答案】（天津文6）已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左顶点与抛物线22y px=，(0)p>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则双曲线的焦距为（）A．B．C．D．【答案】（天津文13）已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线方程是y=，它的一个焦点与抛物线216y x=的焦点相同。

高等数学例题讲解(提高篇)

第1章函数的极限与连续例1．求下列极限：1）)1ln(12)(cos lim xx x +→ 2）βαβαβα--→e e lim解：1）原式2201ln cos ln cos limln(1)ln(1)lim x xxxx x e e→++→==，而21)2(lim 22sin 2lim )1ln()2sin 21ln(lim )1ln(cos ln lim 22022022020-=-=-=+-=+→→→→x x x x x x x x x x x x 所以，e ex x x 1)(cos lim 21)1ln(12==-+→2）原式11lim lim e e e e αβαβββαβαβαβαβ--→→--==--令t =-βα，当βα→时，0→t ，所以，1lim 1lim 1lim 00==-=--→→-→t tt e e t t t βαβαβα．从而，ββαβαβαe e e =--→lim ．例2．求lim(1)pxx mx →-，其中 m 、p 是正整数．解：因为mp mxmp mxxp mx mx mx ])1[(1)1()1(1)(1----=-=-，令mx u -=，当0→x 时，0→u11111lim(1)limlim[(1)][(1)]p mpxmpx x u mpmpmx u mx e e mx u -→→→--====-+．例3．若()0f x >，0lim ()(0)x x f x A A →=>且0limx x →lim x x →解：设lim x x a→=a β=+，β是0x x →时的无穷小量，22()2f x a a ββ=++222lim ()lim(2)x x x x f x a a a ββ→→=++=由题应有：2A a =，a =a =x x →=例4．证明：半径为R 的圆面积2R S π=证：做圆的内接正n （3≥n ）边形，如图1-13所示，记AOP n ∠=α其面积为nR n R n R R n OP AB n S n n n n πααα2sin 22sin 2cos sin 22222==⋅=⋅=当边数n 取3，4， ,5，对应的面积3S ，4S ， ,5S 构成了一数列}{n S，图1-13当∞→n 时，圆内接正n 边形的n 条边与圆周无限贴近，从而正n 边形的面积与圆面积无限接近，圆面积S就是数列}{n S 当∞→n 时的极限，即n R n S S n nn π2s i n 2l i m l i m 2∞→∞→==22s i n2l i m 22n R nn πππ→∞=⋅221R R ππ=⋅= 例5．设a u sin 1=，)sin(sin sin 12a u u ==，)],n sin[sin(si sin 23a u u ==，n n u u sin 1=+，其中20π<<a ．证明：nn u ∞→lim 存在，并求其值．证：首先1≤n u ， ,2,1=n 所以}{n u 是有界数列其次，由于20π<<x 时，有x x <sin ，所以 n n n u u u ≤=+sin 1， ,2,1=n 因而}{nu 是单调数列，由单调有界数列必有极限可知，nn u ∞→lim 存在．设A u n n =∞→lim ，则有Au u u n n n n n n sin )lim sin(sin lim lim 1===∞→∞→+∞→，由于1lim lim +∞→∞→=n n n n u u ，所以 A A sin =，解得0=A 即lim =∞→n n u第2章一元函数微分及其应用例1．求下列极限1）20211lim x x x x --++→ 2）210)arcsin (lim x x x x → 解：1）原式1122001(1)(1)lim4x x x x x --→→+--==3322011(1)()(1)(1)122lim 41x x x --→-+----=3322011lim[(1)(1)]84x x x --→-=-++=-1）原式2201arcsin 1arcsin lnlimlnlim x xx xxxx x e e→→==，而x x x x x x x x x x x x x x -⋅=-+=→→→arcsin 1lim )arcsin 1ln(1lim arcsin ln 1lim2020203223220001(1)(2)112lim lim(1)666x x x x x x x --→→→---===-=所以，61102)arcsin (lim e x x x x =→．例2．设xx x t t t f )21(lim )(+=∞→，求)(t f '．解：22222()lim (1)lim(1)x tx tt x x t t f t t t te x x ⋅→∞→∞=+=+=，222()2(12)t t t f t e te t e '=+=+．例3．（相关变化率问题）一长方形两邻边之长分别为x 和y ，若x 边以0.01/m s 的速度减小，y 边以s m /02.0的速度增大，求在m x 20=，m y 15=时，长方形的面积S 的变化速度和对角线l 的变化速度．解：设边长分别为)(t x 、)(t y ，面积为)(t S ，对角线长为)(t l ，它们都是时间t 的函数，都有关于时间t 的变化率，x ，y ，S ，l 彼此之间又相互关联．现已知其中变化率dt dx ，dt dy ，求dt dS 和dt dl，这类问题称为相关变化率问题．由题，)()()(t y t x t S =，两边求变量t 的导数，)()()()()(t y t x t y t x t S '+'='，将各已知数据代入，得S 的变化速度25.02002.01501.0)(1520=⨯+⨯-='==y x t S由题，)()()(22t y t x t l +=，两边求变量t 的导数，)()()()()()()(22t y t x t y t y t x t x t l +'+'='，将各已知数代入，得l 的变化速度004.0)3.02.0(251152002.015)01.0(20)(221520=+-=+⨯+-⨯='==y x t l即长方形的面积的变化速度为s m /25.02，对角线的变化速度为s m /004.0．例4．（函数的最大、最小值问题）设有一根长为l 的铁丝，将其分成两段，分别构成圆形和正方形，若记圆形的面积为1S ，正方形的面积为2S ，证明：当21S S +之值最小时，421π=S S ．证：设圆的周长为x ，正方形的周长为x l -，ππππ4)2(2221x x rr S ===，162)4(2222x lx l x l S +-=-=；则168)16141(16242222221l lx x x lx l x S S S +-+=+-+=+=ππ； 8)8121(l x S -+='π，令0='S ，得唯一驻点ππ+=40l x ； 08121>+=''πS ，所以，0x 是极小值点，因为是唯一极小值点，也是最小值点，此时，4164)4(16)4(416)(42222202021ππππππππ==++=-=l l x l x S S例5．讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数．解：需求⎩⎨⎧+=+=)2()1(ln 4ln 44x x y k x y 的解，（2）－（1）得：0ln 44ln 4=--+k x x x （3）即求方程（3）的实根．设k x x x x --+=ln 44ln )(4ϕ，问题转化为求函数)(x ϕ在),0(+∞有几个零点．x x x x x x x )1(ln 4441ln 4)(33-+=-+⋅='ϕ，令0)(='x ϕ，得x x -=1ln 3；因为当0>x 时，233ln (ln )0xx x '=>，可知x 3ln 在),0(+∞上单调增加，x y 3ln =的图象与直线1y x =-只有一个交点，可知1=x 是()x ϕ'的唯一根，从而是)(x ϕ的唯一驻点．当10<<x 时，由于0)1(ln 3<-+x x ，0)(<'x ϕ；当1>x 时，由于0)1(ln 3>-+x x ，0)(>'x ϕ；所以，1=x 是)(x ϕ的极小值点，)(x ϕ在),0(+∞只有唯一的极小值点，1=x 是)(x ϕ的最小值点，k -=4)1(ϕ，又由于+∞=+∞→)(lim x x ϕ，+∞=+→)(lim 0x x ϕ．当04>-k ，即4<k 时，曲线)(x y ϕ=的最低点在x 轴上方，)(x ϕ无零点，从而方程（1）无根，两曲线无交点；当04=-k ，即4=k 时，曲线)(x y ϕ=的最低点在x 轴上，)(x ϕ有唯一零点．从而两曲线有一个交点；当04<-k ，即4>k 时，曲线)(x y ϕ=的最低点在x 轴下方，)(x ϕ有两个零点，从而两曲线有两个交点，它们分别在)1,0(、),1(+∞内．第3章一元函数的积分学例1．设)(x f 的原函数为)(x F ，且当0≥x 时有2)1(2)()(x xe x F x f x+=，若0)(>x F ，且1)0(=F ，试求)(x f ．解： ()()f x F x '=∴2()()2(1)xxe F x F x x '=+⇒2()()2(1)xxe F x F x dx dx x '=+⎰⎰dx x xe x F x ⎰+=22)1(2)(2111111()()212121x x x x xe xe d xe e dxx x x =-=-+++++⎰⎰11212x xxe e Cx =-+++由于1)0(=F ，代入有0=C ；又0)(>x F ，所以x e x F x+=1)( 从而，232()()2(1)xxef x F x x '==+．例2．设)(x f 在]1,0[上可微，且满足条件120(1)2()f xf x dx=⎰．试证：存在)1,0(∈ξ使得()()0f f ξξξ'+=证明：设)()(x xf x F =，则120(1)(1)2()F f xf x dx ==⎰12012()2()2F x dx F c ==⋅⎰()F c =（积分中值定理，)21,0(∈c ），再由Roll 定理可知，至少存在一点)1,0()1,(⊂∈c ξ，使得()0F ξ'=，即()()0f f ξξξ'+=．例3．求函数2()(2)x t f x t e dt-=-⎰的最大值和最小值．解：由于)(x f 为偶函数，所以只需求其在),0[+∞上的最值．因22()(2)2xf x x e x -'=-⋅，令()0f x '=得驻点0x =，x = 当20<<x 时，()0f x '>；当+∞<<x 2时，()0f x '<，所以)2(f 为函数的极大值，也是函数的最大值．{}max ()(f x f =2(2)t t e dt -=-⎰222(2)1tt t e e dt e ---=---=+⎰又0)0(=f ，0lim ()(2)1t x f x t e dt +∞-→+∞=-=⎰，所以{}0)0()(min ==f x f ．例4．过抛物线2x y =上一点),(2a a P 做切线，问a 为何值时，所做切线与抛物线142-+-=x x y 所围图形面积最小？解：抛物线2x y =上过点),(2a a P 的切线方程为：2)(2a a x a y +-=，设该切线与抛物线142-+-=x x y 的两个交点的横坐标分别为α，β（βα<），即α，β为方程01)2(222=+--+a x a x 的两个根，由根与系数的关系有：)2(2--=+a βα，21a -=αβ，34222+-=-a a αβ则所围图形的面积22[412()]S x x a x a a dxβα=-+----⎰22[2(2)1]x a x a dxβα=---+-⎰332221()(2)()(1)()3a a βαβαβα=-----+--3224(243)3a a =-+从而1222(243)(44)S a a a '=-+-，令0S '=有1=a ，所以当1=a 时，34=S 为面积的最小值．例5．利用定积分计算极限（1）112 (i)p p p p n n n +→∞+++（0p >）；（2）1lim ...n n →∞+．分析：考察定积分的定义1()lim ()nb i iai f x dx f x λξ→==∆∑⎰，在已知定积分存在的情况下，我们可以把区间],[b a n 等分，则n a b x i -=∆，取i ξ为右端点，则i n ab a i ⋅-+=ξ，于是1()lim ()n b an i b a b af x dx f a i n n →∞=--=+⋅∑⎰；特别当0a =，1b =时，上式变为：1011112()lim ()lim [()()...()]n n n i i nf x dx f f f f n n n n n n →∞→∞===+++∑⎰．如果一个极限具有上面极限的形式则可以转化为相应的定积分来计算．解：（1）112 (i)p p pp n n n +→∞+++（0p >）101121lim [()()...())]1p p p p n n x dx n n n n p →∞=+++==+⎰．（2）1lim ...n n →∞+．33/212022(1)(21)33x ==+=-⎰．第4章常微分方程例1．求微分方程1)(5=-dx dy xy y 的通解．解：这是一个一阶微分方程．从形式上看，它既不是可分离变量方程，也不是齐次方程和一阶线性微分方程，但如果我们将y 看作自变量，x 看作y 的函数则有：5y xy dy dx=+，这是一个一阶线性微分方程，利用通解公式可得通解：][5⎰+⎰⎰=-c dy e y e x ydy ydy242248y ce y y -=+-+．例2．求方程0)1(=-+xdy dx xy y 的通解.解：先改写成2y x y dx dy =-，两边同除2y ，得 112=--xy dx dy y ，令y z 1=，则方程变为 1-=+x zdx dz ，这是一个一阶线性微分方程．利用通解公式可得其通解为：][11c dx eez dx xdx x+⎰-⎰=⎰-222c x x-=，故原方程的通解为：222x c xy -=（c 为任意常数）．注：形如()()n dyP x y Q x y dx +=(0,1n ≠)的方程称为Bernoulli 方程，令ny z -=1可将其化为一阶线性微分方程来求解．例3．求方程3xy y dx dyx+=的通解．解法一：化为Bernoulli 方程3y x y dx dy =-，令21y z =有：22-=+x z dx dz ，由通解公式得方程的通解为)32(1]2[3222c x x c dx eez dxx dxx +-=+⎰-⎰=⎰-，所以，原方程的通解为22321x cx y+-=．解法二：方程变化为形式333)(x x y x y y x y dx dy +=+=，令x y u =有： 33u x u dx du x u +=+，即32u x dx du =，分离变量后积分得：132321c x u+=-⇒0322223=++cy x y x 所以，原方程的通解为：0322223=++cy x y x ．例4．求方程2(12)xy y y x e '''--=-的通解．解：特征方程为022=--r r ，有特征根11-=r ，22=r ，对应齐次方程的通解为x xe c ec y 221+=-；由于1=λ不是特征根，故可设方程有特解xe b ax y )(*+=，代入方程2(12)xy y y x e '''--=-有：x xe y b a x b a ax =⇒==⇒-=-+-*0,12122所以，原方程的通解为：x x xxe e c ec y ++=-221．例5．求解微分方程323sin y y y x x '''++=+．解：特征方程为0232=++r r ，有特征根11-=r ，22-=r ，对应齐次方程的通解为x xe c ec y 221--+=；可求得方程32y y y x '''++=有特解432*1-=x y ，方程323sin y y y x '''++=有特解xx y sin 103cos 109*2+-=，所以方程323sin y y y x x '''++=+有特解：x x x y y y sin 103cos 109432***21+--=+= 从而原方程的通解为：x x x e c e c y x x sin 103cos 109432221+--++=--．第5章空间解析几何例1．已知两条直线方程1123:101x y z L ---==-，221:211x y zL +-==，求过1L 且平行2L 的平面方程．解：设所求平面π的法向量为n，则取12101{1,3,1}211i j kn s s =⨯=-=-，又点(1,2,3)在平面π上，故平面π的方程为：0)3(1)2(3)1(1=-⨯+-⨯--⨯z y x ⇒320x y z -++=．例2．设0M 是直线L 外一点，M 是直线L 上任意一点，且直线的方向向量为s，试证：点0M 到直线L 的距离0M M s d s⨯=．证明：如图，在直角三角形0M MP 中，显然有00||||sin d M P M M θ==而θ是向量0M M 与s的夹角（或其补角），故由00||sin M M s M M s θ⨯= 可得0M M s d s⨯=例如要求点0(1,1,4)M 到直线241312:-=-=-z y x L 的距离，则利用上面的公式有0M M s d s ⨯={1,2,0}{1,1,2}{1,1,2}2⨯====例3．求直线21101:-==-z y x L 绕z 轴旋转一周所得旋转曲面的方程．解：把L 化为参数方程112x y t z t=⎧⎪=⎨⎪=+⎩（t -∞<<+∞），固定t ，即得L 上一点),21,,1(t t M +点M 到z 轴的距离为：21t d +=，点M 绕z 轴旋转得一空间圆：⎩⎨⎧+=+=+t z t y x 211222．因t 在),(+∞-∞上变化，即知上式就是所求旋转曲面的参数方程，消去t ，即得所求旋转曲面的方程为：1)21(222=--+z y x ．这是一个圆锥面方程．例4．求过点)9,5,3(--A 且与两直线135:23y x L z x =+⎧⎨=-⎩，247:510y x L z x =-⎧⎨=+⎩相交的直线方程．解：直线L 过点)9,5,3(--A ，可设其方程为3x lt =-+，5y mt =+，9z nt =-+，由L 与21,L L 相交，故：⎩⎨⎧-+-=+-++-=+32695395lt nt lt mt ⇒⎩⎨⎧=-=-l n t l m 29)3(（1）⎩⎨⎧++-=+--+-=+10515974125lt nt lt mt ⇒⎩⎨⎧=--=-4)5(24)4(t l n t l m （2）联立（1）（2）有2n l =，22m l =；令1=l ，则22m =，2n =，故所求直线方程为292253+=-=+z y x ．例5．（平面束）设平面通过直线1111222200A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩，则一般可设平面方程为11112222()0A x B y C z D A x B y C z D λ+++++++=，然后根据其它条件确定待定常数λ．这种方法称为平面束方法．试用此方法求解下列问题：求通过直线10:10x y z L x y z +--=⎧⎨-++=⎩且与平面:0x y z π++=垂直的平面方程．解：根据平面束方法，可设所求平面方程为：(1)(1)0x y z x y z λ+--+-++=即 (1)(1)(1)(1)0x y z λλλλ++-+-++-+= 由题设，该平面与平面:0x y z π++=垂直，应有： {1,1,1}{1,1,1}0λλλ+--+⋅=得1λ=-，故所求平面方程为10y z --=．第6章多元函数微分学例1．求极限22330081lim y xy x y x y x +-+→→解：设θcos r x =，θsin r y =，则有222r y x =+，当0x →,0y →时，0→r ，所以原式33322201(cos sin )8lim (cos cos sin sin )r r r θθθθθθ→+=-+3301cos sin 8lim 11sin 22r r θθθ→+=⋅-，因0lim 0=→r r ，331cos sin 98141sin 22θθθ+≤-，所以原式0=例2．设⎩⎨⎧+=++-=vz u y z v u x 2，求u x ∂∂,v x ∂∂,u z ∂∂，解：求一阶偏导时，若变量比较多，不易区分自变量、因变量，借助全微分的形式不变性来处理比较简便．对方程组求全微分有：()2212(12)21zdx z v dz dy du dx udu dv dz uz dy du vdz zdv udy dx uv dzdv uz -+-+⎧=⎪=-++⎧⎪+⇒⎨⎨=+++-+⎩⎪=⎪+⎩利用全微分的形式不变性有：12+-=∂∂uz z x u ，121+=∂∂uz x v ，12+-=∂∂uz v z zu 例3．求过直线L ：⎩⎨⎧=++=--0523z y x z y x 且与曲面16522=+-z y x 相切的平面方程．解：利用平面束的方法可设过直线L 的平面方程为0)(523=+++---z y x z y x λ（λ为待定常数），即：05)1()2()3(=--+-++z y x λλλ，其法向量为{}1,2,3--+λλλ；又设过L 的平面与曲面16522=+-z y x 相切的切点坐标为),,(000z y x ，则曲面16522=+-z y x 在点),,(000z y x 处的切平面的法向量为{}1,2,200y x -，于是有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=-+-++=-=--=+1650)1()2()3(1122230202000000z y x z y x ty x λλλλλλ⇒7,3==λλ故所求平面方程为526=++z y x 或56510=++z y x ．例4．求曲线Γ：⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 在点)1,1,2(-P 的切线方程．解法一：将曲线Γ化为参数形式，由⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 消去z 有322=++y xy x ，配方有3)2(4322=++xy x ，得曲线Γ的参数式：⎪⎩⎪⎨⎧--=-==t t z t t y t x cos sin 3cos sin 3cos 2，（0P t π→=）则曲线Γ在点P 的切线方向向量为{}000(),(),()s x t y t z t '''={{}0,0,1,1=→-，故曲线Γ在点P 的切线方程为：111102-=--=+z y x ．解法二：将曲线Γ的方程组看成隐函数，2个方程3变量，故有一个是自由量，我们选y 作为自由量，则)(y x x =，)(y z z =，即Γ的参数式为：)(y x x =，y y =，)(y z z =．由隐函数求导法，方程组对y 求导有：222010y y y y x x y z z x z ⎧''⋅++⋅=⎪⎨''++=⎪⎩⇒y y y z x z x x yz z x -⎧'=⎪⎪-⎨-⎪'=⎪-⎩，从而曲线Γ在点P 的切线方向向量{}{}(2,1,1),1,0,1,1y y s x z -''==-故曲线Γ在点P 的切线方程为：111102--=-=+z y x 解法三：曲线Γ是两曲面的交线，则切线可看作两曲面切平面的交线．设两曲面1π：222(,,)6F x y z x y z =++-（0=），1π：(,,)G x y z x y z =++（0=），{}{}1,,2,2,2x y z n F F F x y z =={}4,2,2P−−→-{}2,1,1→- {}{}2,,1,1,1x y z n G G G =={}1,1,1P−−→从而曲线Γ在点P 的切线方向向量为12s n n =⨯{}{}2,1,11,1,1=-⨯{}{}0,3,30,1,1=-→-故曲线Γ在点P 的切线方程为：111102--=-=+z y x ．例5．若周长为p 2的矩形绕自己的一边旋转，求所得圆柱体体积的最大值．解：设矩形的长和宽分别为y x ,，其绕x 边旋转所成圆柱体的体积2xy V π=，即要求函数2xy V π=在条件p y x =+下的最大值．令),,(λy x L 2()xy x y p πλ=++-，则由⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=00202p y x L xy L y L y x λλπλπ，解得323px p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0x p y =⎧⎨=⎩而驻点)0,(p 不符合题意，舍去．由实际问题可知，其最大值肯定存在，而驻点是唯一的，故当矩形的长为p 31，宽为23p ，且绕p31边旋转时所得圆柱体的体积最大，最大值为3274p π．第7章多元函数积分学例1．（1）求222y xdx edy-⎰⎰；（2）计算660cos yxdy dx x ππ⎰⎰．解：（1）显然，由于2ye -的原函数不能用初等函数的形式表示，即先对y 积分是积不出来的．如图，由积分上、下限可知积分区域为⎩⎨⎧≤≤≤≤220:y x x D ．交换积分秩序得：222y xdx edy -⎰⎰2220yy y Dedxdy dy edx--==⎰⎰⎰⎰22401(1)2y ye dy e --==-⎰（2）由于cos xx 的原函数不能用初等函数形式表示，可交换积分次序计算66600cos cos x yx x dy dx dx dy x x πππ=⎰⎰⎰⎰601cos 2xdx π==⎰例2．计算σd xe D y ⎰⎰-2，其中D 是在第一象限内位于24x y =和29x y =之间的部分．解：积分区域D 如图，22y y Dxed edy xdxσ+∞--=⎰⎰⎰20111()249y y y e dy +∞-=-⎰ 20572y ye dy +∞-=⎰5144=例3．计算112111224y y xxydy dx dy dx+⎰⎰⎰⎰．解：由积分上、下限画出积分区域如图，所以交换积分次序有：112111224y y xxydy dx dy dx +⎰⎰⎰⎰y xDe dxdy =⎰⎰2112y xxxdx e dy=⎰⎰1123()8x x e e dx e =-=⎰例4．求2x e dx+∞-⎰．解：设2x e dx I+∞-=⎰，则：2220()x I e dx +∞-=⎰22x x e dx e dx +∞+∞--=⎰⎰22x y e dx e dy+∞+∞--=⎰⎰22220x y r edxdy d erdr πθ+∞+∞+∞---==⎰⎰⎰⎰244re ππ+∞-=-=，所以2π=I，即22x e dx +∞-=⎰．例5．计算⎰Ldsx 2，其中L 为球面2222R z y x =++与平面0=++z y x 的交线．解法一：将曲线L 化为参数形式，由22220⎩⎨⎧=++=++z y x R z y x 消去z 有2222R z xy x =++，配方得：222)2(43R xy x =++．设t R x cos 36=，有t R t R y cos 66sin 21-=，t R t R z cos 66sin 21--=，从而ds Rdt ==；所以，22223022cos 33L x ds R t Rdt R ππ=⋅=⎰⎰．解法二：由于曲线L 关于x ，y ，z 具有轮换对称性，所以222LLLx ds y ds z ds==⎰⎰⎰ ，22221()3L L x ds x y z ds =++⎰⎰ 22322333LR R ds R R ππ==⋅=⎰第8章级数例1．判断级数∑∞=22ln1n n n 的收敛性．解：21ln n u n n =随n 的增大而减小且趋于0，故可考虑用Cauchy 积分判别法，广义积分222111ln ln ln 2dx x x x+∞+∞=-=⎰收敛，所以级数∑∞=22ln 1n n n 收敛．注：Cauchy 积分判别法：正项级数∑∞=1n nu，若{}n u 单调减少，作函数)(x f 满足n u n f =)(，则级数∑∞=1n nu与广义积分1()f x dx+∞⎰的收敛性相同．例2．将函数21)(x x f =展开成2-x 的幂级数．解：若是借助x 1的展开式来考虑21x 的展式，就要作一次幂级数的自乘．这非常不方便，遇到这种情况，一般采用下述方法：221112x dx x x =-⎰111112(1)()22222212n n n x x ∞=-=-=---+∑(13)x << 所以22211[]x dx x x '=⎰ 10111212[(1)()](1)()22242n n n n n n x x n ∞∞-==--'=--=--∑∑20112(1)(1)(1)(1)()(2)422n nn nn n n x n n x ∞∞+==--+=-+=-∑∑(13)x << 例3．计算210x e dx-⎰（精确到0.0001）．解：由于2xe -的原函数不能用初等函数表示，故不能用Newton-Leibniz 公式直接计算210x e dx-⎰的值．应用函数的幂级数展开可计算其近似值并精确到任意要求的程度．由于2468212!3!4!x x x x e x -=-+-+-，),(+∞-∞∈x从而210x e dx-⎰1111111132!53!74!95!116!137!15=-+-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅11111111310422161320936075600=-+-+-+-+这是一个Leibniz 级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值，而5105.1756001-⨯<，因此前面7项之和具有四位有效数字，即210x e dx -⎰11111110.74863104221613209360≈-+-+-+≈例4．求极限222sin )(cos 112lim 2x e x x x x x -+-+→．解：如果用L’Hospital 法则，则十分麻烦，利用Taylor 公式则比较简便．由于0→x 时22sin x x ，且22cos 1()2x x o x =-+，2221()x e x o x =++122(1)x =+24411(1)1221()22!x x o x -=+++所以 2220sin )(cos 112lim 2x e x x x x x -+-+→224420222111[1()]228lim [11()]2x x x x o x x x x o x →+-+-+=---+ 440441()18lim 312()2x x o x x o x →+==--+例5．求级数∑∞=+--022)1()1(n n n n n 的和．解：∑∞=+--022)1()1(n n n n n1011(1)()()22n n n n n n ∞∞===--+-∑∑121(1)()32nn n n ∞==+--∑，设∑∞=---=22)21)(1()(n n n x n n x S ，有 ()S x 2021[(1)()]2xn n n n n x dx ∞-='=--∑⎰121[()]2n n n n x ∞-='=-∑1021[()]2x n n n n x dx ∞-='⎧⎫'=-⎨⎬⎩⎭∑⎰21[()]2n n n x ∞='⎧⎫'=-⎨⎬⎩⎭∑ 234[]2(2)(2)x x x ''==++所以∑∞=+--022)1()1(n n n n n 222(1)327S =+=．。

如何提升高一数学的解析几何解题技巧

如何提升高一数学的解析几何解题技巧对于高一的同学来说，解析几何是数学学习中的一个重要且具有一定难度的部分。

要提升解析几何的解题技巧，需要从多个方面入手。

首先，要扎实掌握基础知识。

这包括直线的方程（点斜式、斜截式、两点式、一般式等）、圆的方程（标准方程和一般方程）以及椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和几何性质。

理解这些基本概念和公式是解题的基石。

比如，直线的斜率公式、两点间距离公式等，要做到烂熟于心，能够随时准确运用。

其次，要善于画图。

解析几何的题目往往与图形密切相关，通过准确地画出图形，可以直观地看到问题中的几何关系，帮助我们更好地理解题意。

例如，在求解直线与圆的位置关系问题时，画出圆和直线的图形，就能清晰地判断是相交、相切还是相离。

而且，画图的过程也是对题目进行再次思考和梳理的过程，有时候在画图的过程中就能找到解题的思路。

再者，要多做练习。

熟能生巧，通过大量的练习可以熟悉各种题型和解题方法。

在练习的过程中，要注意总结归纳。

比如，对于求轨迹方程的问题，可以总结出直接法、定义法、相关点法等不同的解题方法，并通过实际题目去体会每种方法的适用条件和特点。

同时，对于做错的题目，要认真分析错误原因，是因为知识点掌握不牢，还是解题思路不正确，或者是计算失误。

找到原因后，有针对性地进行改进和加强。

在解题过程中，要注重转化与化归的思想。

将复杂的问题转化为简单的、熟悉的问题来解决。

比如，求两条直线的夹角，可以转化为求它们的斜率之间的关系；求点到直线的距离，可以利用点到直线的距离公式进行计算。

另外，要学会运用联立方程的方法。

在处理直线与曲线（如直线与椭圆、直线与抛物线等）的交点问题时，常常需要联立它们的方程，通过消元得到一个一元二次方程，然后利用韦达定理来解决问题。

在运用韦达定理时，要注意判别式的取值范围，确保方程有解。

还有，要提高计算能力。

解析几何的题目往往计算量较大，需要有耐心和细心，确保计算的准确性。

在计算过程中，可以运用一些简便方法和技巧，比如合理化简式子、避免繁琐的计算等。

第四讲专题提能——“解析几何”专题提能课

即a＋e·23a2＋a－e·23a2＝( 3a)2，
式子两边同除以
a2 可得
e2＝23，即
e＝
6 3.
[答案]
6 3
[点评] 本题中 B，C 两点是关于 y 轴对称，对称性的运用对线段的求解和坐标求解有很大帮助．
策略2 利用有界性处理圆锥曲线中的存在性问题
[例 2] 若双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)右支上存在一点 P 到左焦点的距离是到右准线距离的 6 倍，则该双曲线离心率的取值范围为______________．
失误2 因忽视圆方程本身的限制条件而失误
[例 2] 过定点(1，2)作两直线与圆 x2＋y2＋kx＋2y＋k2－
15＝0 相切，则 k 的取值范围是________________． [解析] 把圆的方程化为标准方程得，x＋k22＋(y＋1)2＝
16－34k2，所以
16－34k2>0，解得－8
[点评] 本题学生易错在于忽略了斜率不存在的情况，在用斜率研究直线方程首先考虑斜率不存在的情况．给定弦长，一般都有两解，除非弦长值就是直径的值，此时只有一解．
提能点(二)
灵活运用策略，尝试“借石攻玉”
策略1 利用对称性解决椭圆中焦点三角形问题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[例 1] 如图，在平面直角坐标系 xOy 中， F 是椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点，直线 y ＝b2与椭圆交于 B，C 两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率为________．
解之得此双曲线的离心率 e 的取值范围是(1，2]∪[3，6)．
[答案] (1，2]∪[3，6)
[点评] 一般地，根据“存在一点…”这样的条件求解离心率的取值范围问题，主要是先利用几何条件建立关于 a，b，c 的方程，再根据椭圆、双曲线和抛物线上点的坐标的有界性来求解．

高二数学解析几何综合提高知识精讲

高二数学解析几何综合提高【本讲主要内容】解析几何综合提高直角坐标系（平面及空间），直线和圆的方程,简单的线性归划,直线与圆的位置关系【知识掌握】【知识点精析】1. 两点间距离公式：①数轴上:d A B x x ()||，=-21②平面上：d A B x x y y ()()()，=-+-212212③空间：d A B x x y y z z ()()()()，=-+-+-212212212平面上线段AB 的中点坐标公式x x x y y y =+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪121222 2. 直线的倾斜角、斜率直线的倾斜角α∈︒︒[)0180，；直线的斜率：k k yy x x ==--tan α，2121直线的斜率是平面直角坐标系中表示直线位置的重要特征数值，在判断两条直线的位置关系和确定它们的夹角等问题中起着关键作用。

3. 直线的方程：①点斜式:y y k x x -=-00()②斜截式:y kx b =+③两点式:），（2121121121x x y y x x x x y y y y ≠≠--=-- ④截距式：x a y b+=1 ⑤一般式：Ax By C A B ++=00（、不全为）4. 两条直线的位置关系：若l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2则：l l 12//⇔k k b b 1212=≠且 l l 12⊥⇔k k 121⋅=-l 1与l 2的夹角公式:tan θ=-+k k k k 21211（θ为l 1与l 2的夹角）点P （x 0，y 0)到直线l :Ax By C ++=0的距离公式: d Ax By C A B =+++||00225. 简单的线性归划：在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax By C ++>0表示在直线Ax By C ++=0的某一侧的平面区域。

简单的线性归划讨论在二元一次不等式等线性约束条件下，求线性目标函数ax ＋by 的最值问题，一些实际问题可以借助这种方法解决。

高三总复习解析几何专题(师

解析几何专题二1、已知点P (3，－4)是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)渐近线上的一点，E ，F 是左、右两个焦点，若EP →·FP →＝0，则双曲线方程为( )A.x 23－y 24＝1B.x 24－y 23＝1C.x 29－y 216＝1D.x 216－y 29＝12、已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是x y 4±=，则该双曲线的离心率为（ 17 ）．【解析】因为焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是x y 4±=，所以17,17,422===e a c a b3、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为251+ . 【解析】因为直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，所以215,1)(+=-=-⨯e cba b 4、若双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，线段21F F 被抛物线22y bx = 的焦点分成5:7的两段，则此双曲线的离心率为（ C ）A ．98B ．37C ．4D【解析】因为线段21F F 被抛物线22y bx = 的焦点分成5:7的两段，所以423,4036,436,622222====e c a c b c b 5、已知F 是椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆22214x y b +=相切于点Q ，且→→=QF PQ ，则椭圆C 的离心率为35．提示：设左焦点E ，连接PE ，由圆的切线可得OQ ⊥PF ，而OQ ∥PF ，故PF PE ⊥,2224)2(c b a b =-+∴，35=∴e 。

6、以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点(,0)F c -为圆心，c 为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是 (2．提示：焦准距c b <c27、已知12,F F 分别是双曲线22221y x a b-=的左、右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，若221PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率的取值范围为 (1,3] .提示：()222121111+4=8PF a PF a PF a PF PF PF =+≥，故a c a PF -≥=218、已知点F 是双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2,1＋2)9、设圆C 的圆心为双曲线x 2a 2－y 22＝1(a >0)的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C 被直线l ：x －3y ＝0截得的弦长等于2，则a 的值为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．310、已知椭圆 22122:1x y C a b +=（0a b >>）与双曲线 222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点.若1C 恰好将线段AB 三等分，则2b =__________________.答：12提示：直线AB 为x y 2=代入椭圆求弦长MN=3a ，再用522+=b a 可得212=b11、下图展示了一个由区间（0，k ）（其k 为一正实数)到实数集R 上的映射过程：区间（0，k ）中的实数m 对短轴端点，如图2 ；再将这个椭圆放在平面直角坐标系中，使其中心在坐标原点，长轴在X 轴上，已知此时点A 的坐标为（0，1)，如图3，在图形变化过程中，图1中线段AM 的长度对应于图3中的椭圆弧ADM 的长度.图3中直线AM 与直线y= -2交于点N(n,—2)，则与实数m 对应的实数就是n ，记作f(m)=n,现给出下列命题：①.；②是奇函数；③在定义域上单调递增；④.的图象关于点(，0)对称；⑤f(m)=时AM 过椭圆右焦点.其中所有的真命题是____③、④、⑤___ (写出所有真命题的序号）例1、已知ABC ∆中，点A 、B 的坐标分别为(B ，点C 在x 轴上方。

2019高考数学复习专题解析几何第2讲综合大题部分增分强化练理

第2讲综合大题部分1．已知椭圆C ：x 2a＋y 2b＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2，长轴的长为4. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点F 1的直线l 与椭圆C 交于E ，D 两点，试问：在x 轴上是否存在定点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)因为椭圆C 的焦距为2，长轴的长为4，所以2c ＝2,2a ＝4，解得c ＝1，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，M (m,0)．易知F 1(－1,0)，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝－8k 24k ＋3，x 1x 2＝4k 2－124k ＋3.又y 1y 2＝k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝k 2(4k 2－124k 2＋3－8k24k 2＋3＋1)＝－9k 24k 2＋3，直线ME ，MD 的斜率k ME ＝y 1x 1－m，k MD ＝y 2x 2－m，则k ME ·k MD ＝y 1x 1－m ·y 2x 2－m＝y 1y 2x 1－mx 2－m＝y 1y 2x 1x 2－m x 1＋x 2＋m 2＝－9k 24k 2＋34k 2－124k 2＋3－m －8k 24k 2＋3＋m 2＝－9k24k 2＋34k 2－12＋8mk 2＋4m 2k 2＋3m24k 2＋3＝－9k2m 2＋8m ＋k 2＋3m 2－12.要使直线ME ，MD 的斜率之积为定值，需3m 2－12＝0，解得m ＝±2. 当m ＝2时，k ME ·k MD ＝－9k 2m 2＋8m ＋k 2＝－9k 236k 2＝－14；当m ＝－2时，k ME ·k MD ＝－9k2m 2＋8m ＋k 2＝－9k 24k 2＝－94. 当直线l 的斜率不存在时，不妨设E (－1，32)，D (－1，－32)，此时，当m ＝2时，M (2,0)，k ME ·k MD ＝－14；当m ＝－2时，M (－2,0)，k ME ·k MD ＝－94.综上，在x 轴上存在两个定点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积为定值．当定点M 的坐标为(2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－14；当定点M 的坐标为(－2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－94.2．(2018·高考浙江卷)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求 △PAB面积的取值范围．解析：(1)证明：设P (x 0，y 0)，A (14y 21，y 1)，B (14y 22，y 2)．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程(y ＋y 02)2＝4·14y 2＋x 02即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根．所以y 1＋y 2＝2y 0，因此，PM 垂直于y 轴． (2)由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝2y 20－4x 0. 因此，△PAB 的面积S △PAB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32.因为x 20＋y 204＝1(x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4,5]，因此，△PAB 面积的取值范围是[62，15104]．3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，过右焦点F 且垂直于x 轴的弦长为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，求△MFN 的面积取最大值时m 的值．解析：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，2b2a ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝x ＋m ，消去y ，得3x 2＋4mx ＋2m 2－4＝0， Δ＝16m 2－12(2m 2－4)＝－8m 2＋48>0， ∴|m |< 6.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－43，∴|MN |＝2|x 1－x 2|＝2×x 1＋x 22－4x 1x 2＝2×－4m 32－m 2－3＝46－m 23. 又点F (2，0)到直线MN 的距离d ＝|2＋m |2，∴S △FMN ＝12|MN |·d＝23|2＋m |·6－m 2(|m |<6)．令u (m )＝(6－m 2)(m ＋2)2(|m |<6)，则u ′(m )＝－2(2m ＋32)(m ＋2)(m －2)，令u ′(m )＝0，得m ＝－322或m ＝－2或m ＝2，当－6<m <－322时，u ′(m )>0；当－322<m <－2时，u ′(m )<0；当－2<m <2时，u ′(m )>0；当2<m <6时，u ′(m )<0. 又u (－322)＝34，u (2)＝32，∴u (m )max ＝32，∴当m ＝2时，△MFN 的面积取得最大值，最大值为23×32＝83. 4．(2018·高考北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值．解析：(1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2)，所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0，解得k <0或0<k <1.又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)．从而k ≠－3.所以直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)． (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k2.直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)．令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2. 同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2. 由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N ＝x 1－1k －x 1＋x 2－1k －x 2＝1k －1·2x 1x 2－x 1＋x 2x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ为定值．。

高考数学解析几何-圆锥曲线专题复习(专题训练)

专题八、解析几何（二）圆锥曲线解析几何就是运用代数方程来研究几何问题，运用几何图形来描述代数方程，充分体现了数形结合的特点。

在解析几何中，常见的方法有两种：代数法和几何法。

通过函数方程，利用设参消参的方法来解决几何中的相关问题，叫做代数法；若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则可考虑利用图形的几何性质来解决，这就是几何法。

有时解题，要同时使用这两种方法。

1.椭圆图像及几何性质：焦半径公式口诀：左加右减、上加下减，“左、右、上、下”指的是焦点的位置。

2.椭圆总结：（1）椭圆的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数)10(<<e e 的点的轨迹。

|PF 1|d =e(椭圆的焦半径公式：|PF 1|=a+ex 0，|PF 2|=a-ex 0)，其中，定点叫做椭圆的焦点，定直线叫做准线，常数叫做离心率。

（2）22221x y a b+=焦点三角形的面积：b 2tan θ2 (其中∠F 1PF 2=θ)；（3）点P 在椭圆上，椭圆在点P （x 0，y 0)处的切线方程：00221x x y ya b+=；（4）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过P o 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程：00221x x y ya b+=；（5）涉及中点弦时，常用点差法；（6）AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b k AB -=；（7）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被P o 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+；（8）若000(,)P xy 在椭圆22221x y a b+=内，则过P o 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+；（9）当焦点位置不能确定时，也可直接设椭圆方程为：mx 2+ny 2=1(m>0，n>0)；4.双曲线总结：（1）双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数)1(>e e 的点的轨迹。

解析几何进阶

解析几何进阶解析几何是数学中的一个分支，研究通过代数和几何方法相结合来研究图形的性质和变换规律。

在高中数学课程中，我们已经学习了解析几何的基础知识，包括直线、圆、平面等的方程及其性质。

而进阶的解析几何则拓展了我们对于图形和曲线的研究，特别强调了曲线的参数方程和极坐标方程的应用。

一、曲线的参数方程曲线的参数方程是用一个参数来表示曲线上的任意一点的坐标。

对于平面曲线来说，参数通常用 t 表示。

比如，我们可以用参数方程来表示一个圆：x = r*cos(t)y = r*sin(t)其中，r 表示圆的半径。

参数 t 的取值范围可以根据具体情况进行设定，常见的是取 t 在[0, 2π]上进行变化，这样可以将整个圆都表示出来。

参数方程的优点在于可以灵活地描述各种曲线，包括直线、圆、椭圆、双曲线等。

通过调整参数的取值范围，可以改变曲线的形状和大小。

二、曲线的极坐标方程极坐标是一种以极径和极角来表示平面上的点的坐标系。

在进阶的解析几何中，我们研究了曲线的极坐标方程。

对于一个平面曲线来说，其极坐标方程可以表示为：r = f(θ)其中，r 表示点到原点的距离，θ 表示点与极轴的角度，f(θ) 是一个与角度θ有关的函数。

举个例子，我们可以用极坐标方程来表示一个圆：r = a其中，a 表示圆的半径。

通过改变 a 的值，我们可以得到不同半径的圆。

极坐标方程的优点在于可以简洁地表示对称图形，比如圆、椭圆等。

通过调整函数f(θ) 的形式，可以改变曲线的形状。

三、应用案例进阶的解析几何不仅仅是理论的研究，还有很多实际应用。

下面我们来看几个应用案例。

1. 极坐标方程在天文学中的应用在天文学中，我们常用极坐标方程来描述行星、恒星和星系的运动轨迹。

通过观测和计算，可以确定行星等物体的极坐标方程，进而研究它们的运动规律和轨道形状。

2. 参数方程在计算机图形学中的应用在计算机图形学中，参数方程常用于描述曲线和曲面的形状。

通过调整参数的取值范围和函数的形式，可以生成各种各样的图形效果，比如圆弧、螺旋线等。

最新高三专题复习：解析几何解答题提升训练

解析几何解答题提升训练1、利用弦长公式求解直线与圆锥曲线的弦长问题当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，则|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|，而|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．例1、【湖北省2014届孝感高中、黄冈中学等八所重点中学高三联考】已知椭C：（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。

2、利用点差法求解圆锥曲线问题点差法是一种常见的设而不求的方法，在解答平面解析几何的某些问题时，合理的运用点差法，可以有效减少解题的运算量，达到优化解题过程的目的。

点差法的基本过程为：设点、代入、作差、整理代换。

例2、【河南省豫东、豫北十所名校2014届高三上学期第四次联考试题】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>与直线:()l x m m R=∈,四点)0,22(),1,3(--，)1,3(-，（3,3--）中有三个点在椭圆C上，剩余一个点在直线l上．(I)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若动点P在直线l上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM PN=，再过P作直线'l MN⊥.证明直线'l恒过定点，并求出该定点的坐标．3、圆锥曲线中的范围和最值问题的求解方法：求解有关圆锥曲线的最值、参数范围的问题：一是注意题目中的几何特征，充分考虑图形的性质；二是运用函数思想。

建立目标函数，求解最值。

在利用代数法解决最值和范围问题时常从以下几个方面入手:(1)利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的范围; (4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的范围; (5)利用函数的值域的求法,从而确定参数的取值范围.例3、【2013课标全国Ⅱ，理20】平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：2222=1x y a b +(a ＞b ＞0)右焦点的直线0x y +=交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. (1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．例4、【辽宁省抚顺市六校联合体2014届高三上学期期中考试】已知椭圆C:()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M (2，0)的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当25||PA PB -< 时，求实数t 取值范围．。

第二章解析几何初步章末归纳提升配套课件北师大版必修2课件

∵|3－22－m|＝1， ∴m＝1± 2. 故 x－y 的最大值为 1＋ 2，最小值为 1－ 2.
数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，即把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法．数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”，以“数”解 “形”．本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题，如距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”，因此这些问题若利用直观的几何图形处理会收到事半功倍的效果．
【解】设过原点的直线 l 交已知两直线于 P1，P2，且 O 为 P1，P2 的中点，∴P1 与 P2 关于原点对称．
若设 P1(x0，y0)，则 P2(－x0，－y0)， ∴4－x03＋x0y＋0＋5y60＝－06，＝0. ② ① ①＋②得 x0＋6y0＝0.
∴点 P1(x0，y0)，P2(－x0，－y0)都满足方程 x＋6y＝0， ∵过两点的直线有且只有一条，且该直线过原点， ∴所求直线 l 的方程即为 x＋6y＝0.
待定系数法
待定系数法是一种常用的解题方法，其实质是方程思想，做法是使用一些字母作为待定的系数，然后根据条件列出方程或方程组，解出这些待定的系数．直线和圆的方程常用待定系数法求解．
根据下列条件求圆的方程． (1)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1＝0 相切于点 P(3，－2)； (2)经过三点 A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．
3y＋1＝0 上，求圆的方程．【解】设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
a2＋b2＝r2，由题意列出方程组a－12＋b－12＝r2，
2a＋3b＋1＝0，
a＝4，解之得b＝－3，