10.3 复数的三角形式及其运算 课件(2)-人教B版高中数学必修第四册(共32张PPT)
10.3 复数的三角形式及其运算 教学设计(2)-人教B版高中数学必修第四册
10.3 复数的三角形式及其运算本节《普通高中课程标准数学教科书-必修四（人教B版）第十章《复数》，10.3复数的三角形式及其运算，本节课要学的内容包括复数的三角表示、复数乘法与除法运算的三角表示，理解复数的几何意义，了解复数代数表示与三角表示之间的关系，并掌握复数乘除法的三角表示及其几何意义。
通过问题探究的形式，让学生发现问题，分析和解决问题，从而发展学生的逻辑推理、数学运算和直观想象的核心素养。
1.教学重点：复数的代数表示与三角表示之间的关系；2.教学难点：复数乘除运算的三角表示及其几何意义的运用；多媒体练习1.写出复数z ＝1+√3i 的三角形式.解：方法1：因为|z |＝221(3)+＝2，cos θ＝12，sin θ＝32，所以可取θ＝arg z ＝3π，从而z ＝1+√3i 的三角形式为 z ＝2(cos sin )33i ππ+. 方法2：归纳总结注:(1)为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可. (2)因为 0＝0（cos θ+isin θ），其中θ可以为任意值，所以我们也称上式为复数0的三角形式.这样一来，任意复数都可以写成三角形式了. 例1.把下列复数的代数形式改写成三角形式 （1）1i - （2）2i （3）1- 解：（1）由题意可知：222221111(1)[]1(1)1(1)i i -=+--+-+-22772()2(cos sin )2244i i ππ=-=+ （2）因为2i 在复平面内所对应的点在y 轴的正半轴上，所以可知：r 1（cos θ1+isin θ1）×r 2（cos θ2+isin θ2）＝r 1r 2［cos （θ1+θ2）+isin （θ1+θ2）］. 注：z 1的模乘以z 2的模等于z 1z 2的模（简记：模相乘），z 1的辐角与z 2的辐角之和是z 1z 2的辐角 （简记：辐角相加）例如.266cos isin ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭×22cos isin ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝26262cos isin ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝ 2 2 2cos isin 33ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 设12,z z 对应的向量分别为12,OZ OZ u u u u r u u u u r ，将1OZ u u u u r绕原点旋转2θ，再将1OZ u u u u r的模变为原来的2r 倍，如果所得向量为,OZ uuu r 则OZ uuu r 对应的复数为12z z ，如图所示.当20θ>时，按逆时针方向旋转角2θ，当20θ<时，按顺时针方向旋转角2||θ因为cossin22i i ππ+=，所以一个复数与i 相乘，从向量的角度来说，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿逆时针方向旋转2π，如图所示.上述两个复数三角形式的乘法及其几何意义，可以推广到有限个复数的三角形式相乘.特别地，如果n N ∈，则：[(cos sin )][cos()sin()]n n r i r n n i θθθθ+=+证明：假设每个正方形的边长为1，建立如图所示平面直角坐标系，确定复平面， 由平行线的内错角相等可知，α，β，γ分别等于复数3i +，2i +，1i +的辐角主值，因此αβγ++应该是(3)(2)(1)i i i +++的一个辐角，又因为(3)(2)(1)(55)(1)10i i i i i i +++=++=，而arg(10)2i π=，所以存在整数k ，使得22k παβγπ++=+，注意到α，β，γ都是锐角，于是0k =，从而2παβγ++=跟踪训练1. 计算下列各式：（1）（cos 36°+isin 36°）-5；（2）42cos isin 33ππ-⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 解：（1）（cos 36°+isin 36°）-5＝＝＝-1.（2）＝＝＝＝＝−132 +332i. 2.设复数13z i =+，复数2z 满足2||2z =，已知212z z 的对应点在虚51(3636)cos isin ︒+︒1180180cos isin ︒+︒42cos isin 33ππ-⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦412cos isin 33ππ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4144233cos isin ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 0isin 04 4 16cos isin 33ππ+⎛⎫+ ⎪⎝⎭1 4 4 cos isin 1633ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦本课以复数三角形式及复数乘除法三角形式及其几何意义的探究，让学生经历发现与尝试，分析概括和归纳总结的过程，从而发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养。
10.3复数的三角形式及其运算课件高中数学人教B版
2
个复数三角形式相除的法则为:模相除,辐角相减.
2.复数除法运算的几何意义
两个复数 z1,z2 相除时,先分别画出与 z1,z2 对应的向量1 , 2 ,然后把向量
1 绕点 O 按顺时针方向旋转角 θ2(如果 θ2<0,就要把1 绕点 O 按逆时针方
1
向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的 (r2>1,应缩短;0<r2<1,应伸长;r2=1,模
所以
7π
arg(1-i)= 4 .
于是 1-i=
7π
7π
2(cos +isin ).
4
4
=
2
.
2
变式训练2将下列复数化为三角形式:
π
π
(1)-cos5 +isin5 ;
(2)sin θ+icos θ.
π
π
解(1)-cos5 +isin5 =cos
(2)sin θ+icos θ=cos
π
2
π
π- 5
4
3( 3-i)
=
B.1+
3
i
3
D.1+
2
i
2
=
1
2
3
(
3
cos
-1
π
3
=
1
-1
,arg
2
+ isin
π
3
,即
3
3+i)=1+ i.故选
3
B.
=
π
,则
3
1
1
1
4
z=( B )
= +
人教B版高中数学必修第四册精品课件 第十章 复数 10.2.1 复数的加法与减法
(5)两个共轭复数的和一定是实数,差不一定是纯虚数.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
复数的加法、减法运算
【例1】 计算下列各式的值.
(1)(3-2i)+(4+3i);
(2)(-1+√3i)+(1-√3i);
(3)(5-4i)+(-3+2i)-(2+i).
= − =(4,-6).
故对应的复数为 4-6i.
本 课 结 束
(2)①一般地,复数z=a+bi(a,b∈R)的相反数记作 –z ,并规定-z=-(a+bi)=
-a-bi .
②复数z1减去z2的差记作z1-z2,并规定z1-z2=z1+(-z2)= (a-c)+(b-d)i .
4.若z1=-5+3i,z2=4-2i,
则z1+z2=
答案:-1+i -9+5i
;z1-z2=
为0,3+2i,-1+6i.求:
(1)对应的Leabharlann 数;(2)对应的复数;(3)点B对应的复数.
分析:借助复数加、减法的几何意义求解.
解:(1)∵ =-,且对应的复数为 3+2i,
∴ 对应的复数为-(3+2i),即-3-2i.
(2)∵ = − ,
∴ 对应的复数为(3+2i)-(-1+6i)=4-4i.
(3)∵ = + ,
∴ 对应的复数为(3+2i)+(-1+6i)=2+8i.
∴点 B 对应的复数为 2+8i.
反思感悟
人教B版高中数学必修第四册精品课件 复习课 第2课时 复数
意义及复数的运算的几何意义.复数的几何意义体现了用几何图形的方法
研究代数问题的数学思想.
复数的加、减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则.由减
复数的三 辐角
*
复数的
三角形式
角形式
+
-
+
i(,,,∈R,且 + i ≠ 0)
2
2
2 +
2 +
以轴正半轴为始边、向量所在射线(射线)为终边的一个角
辐角主值:在[0,2π)内的辐角,记作arg
三角表示:任何一个非零复数 = + i(,∈R)都可以表示成(cos + isin)的形式
所以 = 1+2i =
=2-i,
5
所以 z=2+i,
2
2+i (2+i)
3 4
所以 =
= 5 = 5 + 5i.
2-i
5
5
(-1+ 3i)
(-1+ 3i) (1- 3i)
(2)
=
1+ 3i
(1+ 3i)(1- 3i)
-(1- 3i)
= 4
6
2 3
-[(1- 3i) ]
=
4
23 (1+ 3i)
(2)当k2-5k-6≠0,即k≠6,且k≠-1时,该复数为虚数.
2 -5-6 ≠ 0,
(3)当 2
即 k=4 时,该复数为纯虚数.
-3-4 = 0,
2 -3-4 = 0,
(4)当 2
即 k=-1 时,该复数为 0.
-5-6 = 0,
专题二
第十章 10.3 第一课时 复数的三角形式2019(秋)数学 必修 第四册 人教B版(新教材)改题型
@《创新设计》
[微思考] 1.复数三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)中θ一定是辐角主值吗？一个复数的三角形式唯
一吗？ 提示 复数三角形式中的θ不一定是辐角主值，三角形式不唯一. 2.两个复数的模和辐角主值相等是两个复数相等的充要条件吗？ 提示 是.因为一个非零复数的模和辐角主值是唯一确定的，所以两个非零复 数相等当且仅当他们的模和辐角主值相等.
课堂互动
核心素养
解 (1)由r≥0知，z1不是三角形式. (2)z2中cos θ与isin θ之间为减号，不是三角形式. (3)z3中正、余弦位置不对，不是三角形式. (4)z5中角不同，不是三角形式.
@《创新设计》
15
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
规律方法 三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)，需要的条件：①r≥0.②θ前后一致，可取任意 值.③cos θ在前，sin θ在后.④加号连接，可简记为：模非负、角相同、余弦前、加号连， 此四个条件缺一不可.
18
课前预习
课堂互动
@《创新设计》 核心素养
@《创新设计》
规律方法 代数形式化为三角形式的步骤为： ①求复数的模r＝|z|；②确定Z(a，b)所在的象限；③根据象限求出辐角；④写出复数三 角形式. 三角形式中的辐角，不一定是辐角主值，但为使表达式简单，常取辐角主值.
19
课前预习
课堂互动
核心素养
【训练3】 将下列复数化为三角形式(要求辐角为辐角主值).
(3)2cos74π＋isin74π (4)2cos45π＋isin45π
20
课前预习
课堂互动
@《创新设计》 核心素养
@《创新设计》
一、素养落地 1.通过复数的三角形式的理解及与代数形式的互化，培养逻辑推理素养，提升数
10.3复数的三角形式及其运算(第2课时) 教案-高一下学期数学人教B版(2019)必修第四册
10.3复数的三角形式及其运算第二课时教案教学课时：共2课时（第2课时）教学目标：1.能准确记住复数三角形式的乘法、除法运算法则公式，并会用文字语言对公式含义进行说明，知道复数三角形式的乘法、除法运算结果的几何意义，知道复数三角形式的乘法、除法运算的意义．2.结合复数三角形式的乘法与除法法则的推导过程，培养学生的数学运算能力与数学运算、逻辑推理核心素养，进一步体会数形结合思想的应用．3.感受转化思想方法在研究数学问题中的作用，培养学生不畏困难、勇于探索的思想品质．教学重点：复数三角形式乘法、除法运算法则的推导与法则的应用意识．教学难点：复数三角形式乘法、除法运算结果的几何意义的认识，除法运算法则的推导方法．教学过程：一、情境与问题问题1：如何进行复数代数形式的乘法、除法运算？【学生活动】：思考并回忆乘法、除法的运算方法．【设计意图】：学生在前面的学习中，已经能够计算两个复数的代数形式的乘除法．所以可以通过回忆，引入本节的学习内容．二、新知探究问题1：设复数．【学生活动】：将复数写成代数形式，利用复数的乘法运算公式，计算．【设计意图】：学生在前面的学习中，已经能够计算两个复数的代数形式的乘积，所以可以通过把三角形式转成代数形式，计算乘积，自己推导出三角形式的乘积公式．问题2：结合复数三角形式的乘法运算公式，两个复数相乘的几何意义是什么？【学生活动】观察公式，思考并讨论两个复数相乘的几何意义．【设计意图】引导学生结合图形，体会复数乘法的几何意义．使学生进一步感受复数的代数形式、三角形式、几何表示之间的联系．问题3：问题4：如果非零复数z的三角形式为，你能不能写出的三角形式，并求出的值？解：假设每个正方形边长为1，建立坐标系．分别为复数3+i，2+i，1+i的辐角主值，因此是（3+i）（2+i）（1+i）的一个辐角．又因为（3+i）（2+i）（1+i）=10i，而，所以答案：10-3A第7题：10-3B第1题：不成立，因为．10-3C第1题：答案：1，3、应注意的问题：复数有代数形式、几何形式、三角形式，学习中应注意三种形式之间的区别与联系．4、学生活动方式说明：本节学习内容为选学内容，故学生可通过自我阅读的方式来完成本节的学习．5、作业建议：48页习题10-3A第5题、第7题.49页习题10-3B第1题、第3题、第4题、第5题．49页习题10-3C第1题、第2题.。
人教版高二数学必修第四册《复数的三角形式及其运算》评课稿
人教版高二数学必修第四册《复数的三角形式及其运算》评课稿一、引言《复数的三角形式及其运算》是人教版高二数学必修第四册中的一章，主要介绍了复数的基本概念、三角形式表示以及复数的运算法则。
本评课稿旨在对该章节的教学内容进行全面评价与分析。
二、教学目标本章教学的主要目标是： 1. 理解复数的定义及其三角形式表示； 2. 掌握复数的加法、减法、乘法和除法运算法则；3. 能够用复数解决实际问题。
三、教学重点和难点1.教学重点：–复数的定义及其三角形式表示；–复数的加法、减法、乘法和除法运算法则。
2.教学难点：–复数的三角形式表示的理解和运用；–复数的除法运算法则的掌握和应用。
四、教学内容及分析4.1 复数的定义及表示•复数的定义：复数是由实数和虚数部分构成的数，形如 a + bi，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分，i 是虚数单位。
•复数的三角形式表示：复数的三角形式表示为r(cosθ + isinθ)，其中 r 是模长，θ 是辐角。
这部分内容是理解复数的基础，学生需要理解复数的定义，并能够将复数写成三角形式表示。
教师可以通过具体的数学例子和几何图形来帮助学生理解。
4.2 复数的运算法则4.2.1 复数的加法和减法•加法运算法则：(a + bi) + (c + di) = (a + c) +(b + d)i。
•减法运算法则：(a + bi) - (c + di) = (a - c) +(b - d)i。
加法和减法是复数运算的基本操作，学生需要通过多种实际例子来练习，加深对复数加法和减法的理解。
4.2.2 复数的乘法和除法•乘法运算法则：(a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i。
•除法运算法则：(a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) / (c² + d²)] + [(bc - ad) / (c² + d²)]i。
人教B版新教材高中数学必修第四册课件复数的三角形式及其运算
2
2
22－
22i
＝ 22cos74π＋isin74π，
所以 2(cos 75°＋isin 75°)×12－12i
＝ 2cos152π＋isin152π× 22cos74π＋isin74π
＝ 2× 22cos152π＋74π＋isin152π＋47π
＝cos2162π＋isin2162π ＝cosπ6＋isinπ6 ＝ 23因为 3＋i 对应的点在第一象限， 所以 cos θ＝ 23，即 θ＝π6， 所以 3＋i＝2cosπ6＋isinπ6.
(2)r＝ 2＋2＝2，cos θ＝ 22， 又因为 2－ 2i 对应的点位于第四象限， 所以 θ＝74π. 所以 2－ 2i＝2cos74π＋isin74π.
[跟进训练] 3．在复平面内，把与复数343＋34i 对应的向量绕原点 O 按逆时 针方向旋转π3，然后将其长度伸长为原来的 2 倍，求与所得向量对应 的复数．(用代数形式表示)
[解] 343＋43i＝32cosπ6＋isinπ6， 由题意得32cosπ6＋isinπ6×2cosπ3＋isinπ3 ＝32×2cosπ6＋π3＋isinπ6＋π3 ＝3cosπ2＋isinπ2 ＝3i， 即与所得向量对应的复数为 3i.
1．复数 1－ 3i 的辐角主值是( )
A．53π
B．32π
C．65π
D．π3
A [因为 1－ 3i＝212－ 23i＝2cos53π＋isin53π，
所以 1－ 3i 的辐角主值为35π.]
2．复数 9(cos π＋isin π)的模是________． [答案] 9
(2)zz12＝rr12ccooss
θ1＋isin θ2＋isin
θ1 θ2
r1 ＝ r2
高中数学第十章复数10.3复数的三角形式及其运算优质作业含解析B版第四册
第十章复数*10.3复数的三角形式及其运算课后篇巩固提升基础达标练1。
12(cos 30°+isin 30°）×2(cos 60°+isin 60°）×3(cos 45°+isin 45°）=（）A。
3√22+3√22i B.3√22−3√22iC。
—3√22+3√22i D.—3√22−3√22i+isin30°)×2(cos60°+isin60°)×3(cos45°+isin45°）=12×2×3[cos（30°+60°+45°）+isin（30°+60°+45°）］=3（cos135°+isin135°）=3(-√22+√22i)=-3√22+3√22i。
故选C.2。
(cosπ2+isinπ2)×3(cosπ6+isinπ6)=（)A.32+3√32i B.32−3√32iC.-32+3√32i D.—32−3√32iπ2+isinπ2)×3(cosπ6+isinπ6)=3[cos(π2+π6)+isin(π2+π6)]=3(cos2π3+isin2π3)=—32+3√32i.故选C.3。
4(cos π+isin π)÷[2(cosπ3+isinπ3)]=()A.1+√3i B。
1—√3i C。
-1+√3i D。
—1-√3i（cosπ+isinπ)÷[2(cosπ3+isinπ3)]=2[cos(π-π3)+isin(π-π3)]=2(cos2π3+isin2π3)=—1+√3i.故选C。
4.2÷［2(cos 60°+isin 60°)］=（）A。
12+√32i B。
12−√32iC.√32+12i D.√32−12i÷2[（cos60°+isin60°)］=2（cos0°+isin0°）÷[2（cos60°+isin60°)] =cos(0°-60°)+isin（0°-60°)=cos(-60°)+isin（-60°)=12−√32 i。
高中数学 第十章 复数 10.3 复数的三角形式及其运算课件 b必修第四册b高一第四册数学课件
12/8/2021
第二十九页，共四十四页。
[变式训练 3] 计算： (－1＋i)[ 3(cos74π＋isin74π)]．
解：|－1＋i|＝
－12＋12＝
2，cosθ＝－21＝－
22，sinθ＝
1 2
＝ 22，∴可取 θ＝34π.
故－1＋i 的三角形式为 2(cos34π＋isin34π)．
12/8/2021
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第二十六页，共四十四页。
(2)当实数 m＝_____0_________时，复数(m2－m－2)＋(2m2－ 3m－2)i 的辐角主值是54π.
m2－m－2≤0， 解析：因为辐角主值为54π，则22mmm222－ －－3m3mm－－－222＝≤10，， 解得 m＝0.
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θ 2
－
1)
＋
2isin
θ 2
cos
θ 2
＝
2cosθ2(cosθ2＋isin2θ)．(1)
∵π<θ<2π，∴π2<θ2<π，∴cosθ2<0，
12/8/2021
第二十三页，共四十四页。
∴(1)式右端＝－2cosθ2(－cosθ2－isinθ2) ＝－2cosθ2[cos(π＋θ2)＋isin(π＋θ2)] ∴r＝－2cosθ2. ∵π2<θ2<π，∴32π<π＋θ2<2π，∴argz＝π＋θ2.
12/8/2021
第十页，共四十四页。
[答一答] 2．复数三角形式的乘法的运算原则是什么？
提示：两个复数相乘，其积还是一个复数，它的模等于两 个复数模的积，它的辐角等于两个复数辐角的和．也就是说， 两个复数相乘，是把模相乘作为积的模，把辐角相加作为积的 辐角．
人教B版高中数学必修第四册精品课件 第十章 复数 10.3 复数的三角形式及其运算
3
3
6
6
A.3i
B.-3i
π
π
C.3 cos 18 + isin 18
π
π
D.3 cos 6 + isin 6
答案:A
1
π π
π π
π
π
解析:z1z2= ×6[cos + +isin( + )]=3 cos + isin =3i.
2
3 6
3 6
2
2
)
三、复数三角形式的除法
1.若非零复数z=r(cos θ+isin θ)(r>0),则 的三角形式是什么?
(2) 2 cos
(3)3 cos
2π
3
7π
4
+ isin
+ isin
解:(1)原式= 2 × 3
(2)原式=2 cos
4π
3
+ isin
7π
6
;
;
÷
1
3π
3π
(cos 2 +isin 2 ).
2
π
×[cos(
3
7π
π
+ )+isin
6
3
=- 6i.
2
3 cos
7π
6
2
2π
3
7π
4
π
π
+isin 3 )×
探究一
将已知复数化为三角形式
【例1】 将下列复数化为三角形式.
3
3
(1) 3+i;(2)2 sin π + icos π .
4
4
分析:化复数为三角形式的关键是求模和辐角.
第十章 10.3 第一课时 复数的三角形式2019(秋)数学 必修 第四册 人教B版(新教材)改题型
*10.3 复数的三角形式及其运算第一课时 复数的三角形式课标要求素养要求1.了解复数的三角形式，了解复数的代数形式及三角形式之间的关系.2.会进行复数的代数形式与三角形式的转化，了解辐角.通过复数的几何意义，了解复数的三角形式，培养学生的逻辑推理素养，提升数学抽象素养；通过复数的代数形式与三角形式的互化，提升学生的数学运算素养.教材知识探究通过前面的学习，我们已经知道在复平面内，复数z 有两种表示：一是代数表示，即z ＝a＋b i(a ，b ∈R )；二是几何表示，复数z 既可用点Z (a ，b )表示，也可用向量OZ→表示，但代数形式在解决复数乘、除、乘方等问题中还是较为繁琐. 问题 能否找到复数z 的另一种表示，彻底解决复数的乘、除、乘方、开方等问题？提示 复数的三角形式z ＝r (cos θ＋isin θ)(r ≥0)是解决问题的桥梁.1.复数的三角形式.复数三角形式的结构特征是：模非负、角相同、余弦前、加号连，否则不是三角形式一般地，如果非零复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )在复平面内对应点Z (a ，b )，且r 为向量OZ→的模，θ是以x 轴正半轴为始边、射线OZ 为终边的一个角，则r ＝|z |＝a 2＋b 2，a ＝r cos θ，b ＝r sin θ，从而z ＝a ＋b i ＝r (cos__θ＋isin__θ)，上式的右边称为非零复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的三角形式(对应地，a ＋b i 称为复数的代数形式)，其中的θ称为z 的辐角. 2.辐角与辐角主值(1)任何一个非零复数z 的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角都相差2π的整数倍，即辐角为θ＋2k π(k ∈Z ).(2)在[0，2π)内的辐角称为z 的辐角主值，记作arg__z .教材拓展补遗[微判断]1.z ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4－isin π4是复数z ＝1－i 的三角形式.(×)提示 不符合复数三角形式的结构特征. 2.复数0没有三角形式.(×)提示 任意复数都有三角形式，复数0的三角形式可写成0(cos θ＋isin θ)，其中θ可以为任意值.3.复数z ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6的辐角主值为－π6.(×)提示 辐角主值在[0，2π)内，－π6只是一个辐角. [微训练]1.说出下列复数的辐角主值. (1)2i ；(2)－5；(3)－3i.解 (1)arg(2i)＝π2.(2)arg(－5)＝π.(3)arg(－3i)＝32π. 2.将复数的代数形式化为三角形式. (1)z 1＝3＋i ；(2)z 2＝－1－i.解 (1)z 1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6. (2)z 2＝－1－i ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－22i ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π4＋isin 5π4.[微思考]1.复数三角形式z ＝r (cos θ＋isin θ)中θ一定是辐角主值吗？一个复数的三角形式唯一吗？提示 复数三角形式中的θ不一定是辐角主值，三角形式不唯一. 2.两个复数的模和辐角主值相等是两个复数相等的充要条件吗？提示 是.因为一个非零复数的模和辐角主值是唯一确定的，所以两个非零复数相等当且仅当他们的模和辐角主值相等.题型一 复数的辐角主值在[0，2π）内的角，与射线OZ 终边相同 【例1】 求下列复数的模和辐角主值. (1)－1＋i ；(2)3－i. 解 (1)|－1＋i|＝2，又tan θ＝－1，点(－1，1)在第二象限， 所以arg(－1＋i)＝3π4.(2)|3－i|＝2，又tan θ＝－33，点(3，－1)在第四象限， 所以arg(3－i)＝11π6.规律方法 适合于[0，2π)的辐角的值叫做辐角主值，除0外每个复数有且仅有一个辐角主值，一般先用复数z 对应的点Z (a ，b )确定角所在的象限，再由tan θ＝ba 确定在[0，2π)内的角θ，即为arg z .【训练1】 若复数z ＝(a ＋i)2的辐角是3π2，则实数a 的值是( ) A.1B.－1C.－ 2D.－ 3解析 复数z ＝(a ＋i)2＝a 2－1＋2a i 的辐角为3π2，则z 对应的点(a 2－1，2a )在y轴负半轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，2a ＜0，∴a ＝－1.答案 B题型二 复数的三角形式的判断 【例2】 判断下列复数是否为三角形式. (1)z 1＝－2(cos θ＋isin θ)； (2)z 2＝cos θ－isin θ； (3)z 3＝－sin θ＋icos θ； (4)z 5＝cos 60°＋isin 30°.解 (1)由r ≥0知，z 1不是三角形式.(2)z 2中cos θ与isin θ之间为减号，不是三角形式. (3)z 3中正、余弦位置不对，不是三角形式. (4)z 5中角不同，不是三角形式.规律方法 三角形式z ＝r (cos θ＋isin θ)，需要的条件：①r ≥0.②θ前后一致，可取任意值.③cos θ在前，sin θ在后.④加号连接，可简记为：模非负、角相同、余弦前、加号连，此四个条件缺一不可. 【训练2】 判断下列复数是否为三角形式. (1)3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 113π＋isin 116π；(2)2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π3＋isin π3；(3)sin π3－icos π3；(4)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3；(5)－3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋isin 2π3；(6)5⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π3＋isin 7π3.答案 (1)不是 (2)不是 (3)不是 (4)是 (5)不是 (6)是 题型三 复数代数形式与三角形式的互化【例3】 把复数z 1＝i ，z 2＝－1＋3i 分别表示为三角形式. 解 |z 1|＝1，arg z 1＝argi ＝π2，∴z 1＝cos π2＋isin π2.|z 2|＝（－1）2＋（3）2＝2，tan θ＝ba ＝－3，又Z 2(－1，3)在第二象限，∴arg z 2＝2π3， ∴z 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋isin 2π3.规律方法 代数形式化为三角形式的步骤为：①求复数的模r ＝|z |；②确定Z (a ，b )所在的象限；③根据象限求出辐角；④写出复数三角形式.三角形式中的辐角，不一定是辐角主值，但为使表达式简单，常取辐角主值. 【训练3】 将下列复数化为三角形式(要求辐角为辐角主值). (1)2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5－isin π5＝________；(2)－12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝________；(3)2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4＋icos 3π4＝________；(4)2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π5＋isin π5＝________.答案 (1)2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 9π5＋isin 9π5 (2)12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π3＋isin 4π3(3)2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π4＋isin 7π4 (4)2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π5＋isin 4π5一、素养落地1.通过复数的三角形式的理解及与代数形式的互化，培养逻辑推理素养，提升数学抽象、数学运算素养.2.任一非零复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )都可化为三角形式z ＝r (cos θ＋isin θ)，其中|r |＝a 2＋b 2，复数三角形式的结构特征是：模非负、角相同、余弦前、加号连，有一条不满足就不是三角形式.3.辐角主值在[0，2π)内，非零复数的模和辐角主值都是唯一的，但辐角有无数个，复数0的模为0，辐角主值不确定.二、素养训练1.复数－sin 50°＋icos 50°的辐角主值为( ) A.50° B.320° C.40°D.140°解析 －sin 50°＋icos 50°＝cos(90°＋50°)＋isin(90°＋50°)，∴arg z ＝140°. 答案 D2.将复数化为三角形式：－2＋2i ＝________.解析 |－2＋2i|＝22，点(－2，2)在第二象限，又tan θ＝－1，∴arg(－2＋2i)＝3π4，∴－2＋2i ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4＋isin 3π4.答案 22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4＋isin 3π43.arg ⎝ ⎛⎭⎪⎫i·cos π5＝________. 解析 z ＝icos π5，cos π5＞0，点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，cos π5在y 轴正半轴，故arg ⎝ ⎛⎭⎪⎫i·cos π5＝π2. 答案 π24.将复数z ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin 5π6化为代数形式为________.解析 z ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i ＝532＋52i.答案 z ＝532＋52i基础达标一、选择题1.复数1－3i 化成三角形式，正确的是( ) A.2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋isin 2π3B.2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π6＋isin 5π6C.2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π3＋isin 5π3D.2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 11π6＋isin 11π6 解析 |1－3i|＝2，又(1，－3)在第四象限且tan θ＝－3，故arg(－1＋3i)＝5π3.所以化成三角形式为2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π3＋isin 5π3.答案 C2.复数z ＝－sin 100°＋icos 100°的辐角主值是( ) A.80°B.100°C.190°D.260°解析 z ＝－sin 100°＋icos 100°＝cos(90°＋100°)＋isin(90°＋100°)，故arg z ＝190°. 答案 C3.两个复数z 1，z 2的模与辐角分别相等是z 1＝z 2成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析 若z 1＝z 2，则两复数的模相等，但辐角不一定相等. 答案 A4.设3＋4i 的辐角主值为θ，则(3＋4i)·i 的辐角主值是( ) A.π2＋θ B.π2－θ C.θ－π2D.3π2－θ解析 (3＋4i)i ＝－4＋3i ＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋35i .又3＋4i ＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45i ，∴cos θ＝35，sin θ＝45，∴－45＝－sin θ，35＝cos θ，∴5(－sin θ＋icos θ)＝5·⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ.∴(3＋4i)i 的辐角主值为π2＋θ.答案 A5.将复数1＋i 对应的向量OM →绕原点按逆时针方向旋转π4，得到的向量为OM 1→，那么OM 1→对应的复数是( ) A.2iB.2iC.22＋22iD.2＋2i解析 |1＋i|＝2，arg(1＋i)＝π4，∴OM 1→对应复数的辐角主值为π2，又模为2，∴对应复数为2i. 答案 B 二、填空题 6.1－1＋3i的三角形式为________(要求辐角为辐角主值).解析 1－1＋3i ＝－1－3i 4＝－14－3i4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π3＋isin 4π3.答案 12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π3＋isin 4π37.将复数1＋3i 所表示的向量绕原点按逆时针方向旋转θ角(0＜θ＜2π)所得的向量对应的复数为－2，则θ＝________.解析 arg(1＋3i)＝π3，arg(－2)＝π，|1＋3i|＝2.所以将1＋3i 所表示的向量逆时针旋转θ＝2π3，所得向量对应的复数为－2. 答案 2π38.若复数z 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪z －1z ＝12，arg ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －1z ＝π3，则z ＝________. 解析 令z －1z ＝z 0，则|z 0|＝12，arg z 0＝π3.∴z 0＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝14＋34i ，由z －1z ＝14＋34i 得z ＝1＋33i. 答案 1＋33i 三、解答题9.写出下列复数的三角形式.(1)tan θ＋i ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜θ＜π；(2)－3(sin θ－icos θ).解 (1)tan θ＋i ＝sin θcos θ＋i ＝－1cos θ(－sin θ－i·cos θ) ＝－1cos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ.(2)－3(sin θ－icos θ) ＝3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ. 10.已知复数z ＝2＋3i ，z －是z 的共轭复数，求复数u ＝z －i z －的辐角主值与模. 解 ∵z ＝2＋3i ，∴z －＝2－3i ，∴u ＝2＋3i －i·(2－3i)＝2＋3i －2i －3＝－1＋i ，u 对应的点为(－1，1)在第二象限，又tan θ＝－1，∵arg u ＝34π，|u |＝|－1＋i|＝ 2.能力提升11.复数z ＝－1－a i(a ＞0)的辐角主值为( ) A.arctan aB.π＋arctan aC.－arccos 11＋a 2D.2π＋arctan a解析 a ＞0时，z 对应的点(－1，－a )在第三象限，tan θ＝a ， ∴θ＝arctan a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴arg(－1－a i)＝π＋arctan a .答案 B12.求复数z ＝1＋cos θ＋isin θ(π＜θ＜2π)的模与辐角主值. 解 z ＝1＋cos θ＋isin θ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2θ2－1＋2i·sin θ2cos θ2＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ2＋isin θ2 ①.∵π＜θ＜2π，∴π2＜θ2＜π，∴cos θ2＜0. ∴①式右端＝－2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos θ2－isin θ2＝－2cos θ2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋θ2＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋θ2，∴r ＝－2cos θ2，arg z ＝π＋θ2＋2k π(k ∈Z ). ∵π2＜θ2＜π，∴32π＜π＋θ2＜2π，∴arg z ＝π＋θ2.创新猜想13.(多选题)下列复数不是三角形式的是( ) A.5⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4＋isin π4 B.2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4－isin π4 C.3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π3＋isin 4π3D.2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6＋isin π6 解析 由复数三角形式的结构特征判断，A 中角不同，B 中是减号，D 中cos π6前是负号，故A ，B ，D 都不是三角形式. 答案 ABD14.(多空题)复数z ＝33＋3i 化为三角形式为________，arg z ＝________. 解析 |z |＝6，z 对应的点(33，3)在第一象限，tan θ＝33，∴arg z ＝π6，∴z ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6. 答案 6⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6 π6。
人教B版 高中数学必修第四册 复数的三角形式及其运算 课件3
(二)复数乘、除运算的几何意义的应用
例2
如图，若
→ OZ1
与
→ OZ2
分别表示复数z1
＝1＋2 3i，z2＝7＋ 3i，求∠Z2OZ1，并判断
△OZ1Z2的形状．
【解析】
∵
z1 z2
＝
1＋2 7＋
3i ＝ 3i
（1＋2 （7＋
3i）（7－ 3i）（7－
3i） 3i）
＝ 1＋4
3i
＝12cosπ3＋isinπ3， →
变式训练：计算：
(2)2i÷12cos23π＋isin23π.
(2)法一：原式＝2cosπ2＋isinπ2÷12cos23π＋isin23π ＝4cosπ2－23π＋isinπ2－23π ＝4cos－π6＋isin－π6＝4 23－12i
＝2 3－2i.
法二：原式＝2i÷12－12＋ 23i＝2i÷－41＋ 43i＝2i－11614＋－13643i ＝8i－14－ 43i＝－2i＋2 3＝2 3－2i.
角形中角的大小问题，十分方便．
(2)1z＝rccooss0θ＋＋iissiinn0θ＝1r[cos(0－θ)＋isin(0－θ)] ＝1r[cos(－θ)＋isin(－θ)]
变式训练：计算：
(1)3cos74π＋isin74π÷12cos32π＋isin32π； (2)2i÷12cos23π＋isin23π. 解：(1)原式＝6cos74π－32π＋isin74π－32π ＝6cosπ4＋isinπ4＝6 22＋ 22i＝3 2＋3 2i.
根据任意角余弦、正弦地定义可知：
cos a ,sin b
r
r
a r cos ,b r sin
从而 z a bi r cos r sini r(cos sini) 称为非零实数 z a bi 的三角形式
新教材 人教B版高中数学必修第四册 第十章 复数 精品教学课件(共259页)
3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数 x，y 的值分别为________． 1，－1 [∵(x＋y)i＝x－1， ∴xx＋ －1y＝＝00，， ∴x＝1，y＝－1.]
4．已知 a 是实数，i 是虚数单位，若 z＝a2－1＋(a＋1)i 是纯虚 数，则 a＝________.
1 [∵z＝a2－1＋(a＋1)i 是纯虚数， ∴aa＋2－11≠＝00，， 解得 a＝1.]
【例 3】 (1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数 x，y 的值； (2)关于 x 的方程 3x2－a2x－1＝(10－x－2x2)i 有实根，求实数 a 的值．
[思路探究] 根据复数相等的充要条件求解．
[解] (1)由复数相等的充要条件，
x＋y＝0， 得y＝x＋1，
解得x＝－12， y＝21.
复数的概念
【例 1】 (1)给出下列三个命题：①若 z∈C，则 z2≥0；②2i－1 的虚部是 2i；③2i 的实部是 0.其中真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3 (2)(一题两空)已知复数 z＝a2－(2－b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3，则实数 a，b 的值分别是 a＝________，b＝________.
(2)对于复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它， 把复数 z 看成一个整体，又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认 识它．
(3)形如 bi 的数不一定是纯虚数，只有限定条件 b∈R 且 b≠0 时， 形如 bi 的数才是纯虚数．
复数相等的充要条件 [探究问题] 1．a＝0 是复数 z＝a＋bi 为纯虚数的充分条件吗？ [提示] 因为当 a＝0 且 b≠0 时，z＝a＋bi 才是纯虚数，所以 a ＝0 是复数 z＝a＋bi 为纯虚数的必要不充分条件． 2．3＋2i＞3＋i 正确吗？ [提示] 不正确，如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比 较大小．