3.2.1立体几何中的向量方法

所以，PA// 平面EDB
A X D
G
C B
Y
解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
1 1 1，0) 依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), E (0, , ), B(1, (1)证明： 2 2 1 1 PA (1,0, 1), DE (0, , ) Z DB =(1, 1，0) 2 2
F
N A M C E
证明 MN MD DE EN
2 2 DB DE EA 3 3
2 2 ( DA DC ) DE ( DA DE ) B 3 3
D
2 1 DC DE 3 3
几何法呢？
所以MN、DC、DE共面
但MN 平面CDE
故MN // 平面CDE
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z )
则 n AB ， n AC .∵ AB (3,4,0) , AC (3,0, 2)
3 y x ( x, y, z ) ( 3,4,0) 0 3 x 4 y 0 4 ∴ 即 ∴ ( x , y , z ) ( 3,0, 2) 0 3 x 2 z 0 z 3 x 2 取 x 4 ,则 n (4, 3,6)
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
(3) / / ① u / / v u v.
u
α
v
β
例1.用向量方法证明 定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行 已知 :直线l与m相交,
u
ｍ ｌ
A M
B N C
D
1 1 1 MN AB ( AB AC AD) AB 0 2 2 2
MN⊥AB, 同理 MN⊥CD.
例1
四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD
的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD. 证3 如图所示建立空间直角坐标系，设AB=2.
B(0, 0, 0) D(0, 2,0)
一. 平行关系：
(1)l // m a // b a b
a
l
m
b
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l / / ① a u a u 0 ；
u
α
a
② a∥AC
③ a xAB y AD
1 2 2 求平面ABC的单位法向量为 ( ， - ，） 3 3 3
练习 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC 的中点， 求平面EDB的一个法向量.
解：如图所示建立空间直角坐标系. Z
依题意得D(0, 0, 0), P (0, 0,1), 1 1 B(1, 1，0) E (0, , ) 2 2 1 1 DE (0, , ) DB =(1, 1，0) 2 2
4 4 8 此时Q （ ， ，） 3 3 3
2、平面的法向量
换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面
的法向量
平面 α的向量式方程
l
a
a AP 0

A
P
探究：P102“思考”
如何确定一个点在空间的位置？在空 间中给定一个点A和一个定方向（向量）， 能确定一条直线在空间的位置吗？给定 一个定点和两个定方向（向量），能确 定一个平面在空间的位置吗？给定一个 定点和一个定方向（向量），能确定一 个平面在空间的位置吗？
设平面EDB的法向量为 n ( x, y,1)
P E
则n DE, n DB
1 1 y 0 于是 2 n 1, 1, 1 2 x y 0
PA n 0 PA n
而PA 平面EDB
所以，PA// 平面EDB
D A X B
C
Y
解4：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
E
D
G
C Y
AE//FG
A X
F
B
例3 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正 方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的 中点， (1)求证：PA//平面EDB.
解1 立体几何法
P E
D A
G
C B
解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结C,AC交BD于点G,连结EG
∴ n (4, 3,6) 是平面 ABC 的一个法向量.
总结:如何求平面的法向量
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z )
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程
Z
C ( 3,1,0) A( 3 ,1, 2 6 )
3 3
A M
3 1 6 M( , , ) 6 2 3
3 3 N ( , , 0) 2 2

y
B

C
D N
y x
x
棱长为a 的正方体 OABC O' A' B' C ' 中,E、F分别是棱AB,OA上的动点，且AF=BE,求证： 练习
A F O E
n a 0 组 n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
令x、y、z中某个为定值
例3.如图所示, 正方体的棱长为1
平面AB1C 的一个法向量坐标为___________
(1,1, -1)
(-1,-1,1)
z
O1 A1 B1 C1
o
A B
C
y
x
例4：已知AB (2, 2,1), AC (4,5,3), 求平面ABC的 单位法向量。
(2) l
a // u a u
u
l
a

C A
B
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
（3） u v u v 0
β
u
v
α
例1
四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD
的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD. 证1 立几法
3.2立体几何中的向 量方法
---------方向向量与法向量
一. 两个重要的空间向量
１．直线的方向向量
如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。
换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量
A

l
a
P
直线ｌ的向量式方程
AP ta
P
E
D
B
设平面EDB的法向量为 n ( x, y,1)
1 A 1 y 0 于是 2 n 1, 1, 1 2 X x y 0
则n DE, n DB
C
Y
如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中， 已知DC=DD1=2AD=2AB=2，AD⊥DC， AB∥DC.
M B N C D A
例1
四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD
的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD. 证2 ＭＮ ＝MA AD DN
1 1 AB AD DC 2 2 1 1 AB AD ( AC AD ) 2 2 1 1 1 AB AC AD 2 2 2
E
x
A F O E
1 1
A F O E 0
1 1
例2. 四棱锥P - ABCD中, 底面ABCD是正方形, PD 底面ABCD, PD DC , 点E是PC的中点, 作EF PB交PB于点F . (2) 求证 : PB 平面EFD.
证1：如图所示建立 空间直角坐标系，设DC=1. 1 1 PB (1, 1, 1) DE (0, , ) 2 2 1 1 故PB DE 0 0 2 2 所以PB DE
1 1
解：如图所示建立空间 O’ 直角坐标系，设AF=BE=b. C’ A1 (a, a, a) F (0, a b, 0)
Z
A’ B’
O1 (0,0, a) E (a b, a, 0)
A F (a, b, a)
1
O C
F A
y
O1E (a b, a, a)
B
１ A F O1 E
例1. 如图所示, 正方体的棱长为1
(1,0,0) (1)直线OA的一个方向向量坐标为___________ (0,0,1) (2)平面OABC 的一个法向量坐标为___________
z
O1 A1 B1 C1
o
A B
C
y
x
例 2.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n (4, 3, 6)
求平面A1BD的一个法向量
用向量方法解决几何问题
因为方向向量与法向量可以确定 直线和平面的位置，所以我们可以利 用直线的方向向量与平面的法向量表 示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角、距离等位置关系.
二、
立体几何中的向量方法 ——平行关系
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
a
α
l , m , l∥ , m∥ 求证∥ .