第九章分式复习讲义

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分式讲义

分式讲义【思想方法】 1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ∙=,b c b d bda d a c ac÷=∙=4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;am●a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= a mb n, (a m)n= amn7.负指数幂: a-p=1pa a 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2一、分式定义题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有：题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x -84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.二、分式的基本性质1．分式的基本性质：MB MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）y x yx --+- （2）b a a --- （3）b a ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值.提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出yx 11+.【例4】已知：21=-x x ，求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 5.008.02.003.0+-（2）b a ba 10141534.0-+2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求aab b bab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.对应训练1．不改变分式的值，使分式115101139x yx y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ） A ．10 B ．9 C ．45 D ．90 2．下列等式：①()a b a b c c ---=-;②x y x y x x -+-=-;③a b a bc c-++=-; ④m n m nm m ---=-中,成立的是（） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④ 3．不改变分式2323523x xx x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（• ）A ．2332523x x x x +++-B ．2332523x x x x -++-C ．2332523x x x x +--+D ．2332523x x x x ---+4．分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a abab b +-中是最简分式的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．约分：（1）22699x x x ++-；（2）2232m m m m-+-．6．通分：（1）26x ab ，29y a bc ；（2）2121a a a -++，261a -．7．已知13x x +=，求2421x x x ++的值．8．下列各式πa ，11x +，15x y +，22a b a b--，23x -，0•中，是分式的有___ ________；是整式的有_____ ______；是有理式的有___ ______． 9．下列分式，当x 取何值时有意义．（1）2132x x ++；（2）2323x x +-．3．下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（） A ．121x + B ．21x x + C ．231x x + D ．2221x x +4．当x ______时，分式2134x x +-无意义．5．当x _______时，分式2212x x x -+-的值为零．6．当x ______时，分式435x x +-的值为1；当x _______时，分式435x x +-的值为1-．7．分式24xx -，当x _______时，分式有意义；当x _______时，分式的值为零． 8．有理式①2x ，②5x y +，③12a -，④1xπ-中，是分式的有（） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 9．分式31x ax +-中，当x a =-时，下列结论正确的是（） A ．分式的值为零； B ．分式无意义 C ．若13a -≠时，分式的值为零； D ．若13a ≠时，分式的值为零10．当x _______时，分式15x -+的值为正；当x ______时，分式241x -+的值为负． 11．下列各式中，可能取值为零的是（） A ．2211m m +- B ．211m m -+ C ．211m m +- D ．211m m ++12．使分式||1xx -无意义，x 的取值是（）A ．0B ．1C ．1-D ．1± 13．已知123x y x-=-，x 取哪些值时：（1）y 的值是正数；（2）y 的值是负数；（3）y 的值是零；（4）分式无意义．三、分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--；（2）a b b b a a 22,--；（3）22,21,1222--+--x x xx xx x ；（4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分：（1）322016xy y x -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+；（3）mn mn m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ；（5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--；（6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ；（7）)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；输入n 计算n （n+1）n>50 Yes No 输出结果m （2）已知：432zy x ==，求22232zy x xz yz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a aa --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值.四、分式其他类型试题：例1：观察下面一列有规律的数：32，83，154，245，356，487，……．根据其规律可知第ｎ个数应是＿＿＿（n 为正整数）例2：观察下面一列分式：2345124816,,,,,...,x x x x x---根据你的发现，它的第8项是，第n 项是。

第9章分式复习课件ppt沪科版七年级下

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例8、五一期间，小明和妈妈乘坐公交车去距离家 25千米的中国科技大学参观科普展，他们出发80 分钟后，爸爸驾车前往，结果他们同时到达，若爸爸的速度是公交车的3倍，求公交车的速度。变式：把题目中的“他们同时到达”改为“爸爸比公交车晚到20分钟”，公交车的速度又是多少呢？
愉快的时间过的真快啊，再见！
3x mx 例7、关于 x 的分式方程 x 1 1 x 2 有增根
则 m的值是多少？分析：把分式方程去分母得： 3x mx 2 整理得：
x 1
1 m x 2
把增根 x 1 代入得 m 3 变式： 3x mx 若关于x 的分式方程 x 1 1 x 2 无解，则 m的值是多少？
变式： 3x mx 若关于x 的分式方程 2 无解，
x 1 1 x
则 m的值是多少？
分析：把分式方程去分母得： 3x mx 2
x 1
整理得： 1 m x 2 则有: 情况1 当 1 m 0 时，方程无解，即 m 1 情况2 有增根 x 1 时，原分式方程也无解此时，m 3
2 m 3 2 补充：关于 x 的方程有增根 x2 x 4 x2
则 m的值是多少？分析：把分式方程去分母得到
2 x 2 m 3 x 2
整理得 x m 10 增根可能是 x 2 所以 m 8或m 12
第九章复习
合肥一六八陶冲湖学校数学组
翟梅
本章内容
分式的概念、性质
分式的运算
分式方程及其应用
主要思想与方法：类比
一、分式的概念及基本性质
知识点1.分式的概念
知识点2.分式有意义知识点3.分式的值为 0

分式总复习讲义

《分式》知识点回顾及考点透视一、知识总览本章主要学习分式的概念，分式的基本性质，分式的约分、通分，分式的运算（包括乘除、乘方、加减运算），分式方程等内容，分式是两个整式相除的结果，且除式中含有字母，它类似于小学学过的分数，分式的内容在初中数学中占有重要地位，特别是利用分式方程解决实际问题，是重要的应用数学模型，在中考中，有关分式的内容所占比例较大，应重视本章知识的学习．二、考点解读考点1：分式的意义例1．（1）当x 时，分式11+x 有意义．分析：要使分式有意义，只要分母不为0即可当x ≠-1时，分式11+x 有意义．（2）（2006年浙江省义乌市）已知分式11+-x x 的值是零，那么x 的值是（） A ．-1 B ．0 C ．1 D ． 1± 分析：讨论分式的值为零需要同时考虑两点：（1）分子为零；（2）分母不为零，当x=1时，分子等于零，分母不为0，所以，当x=1时，原分式的值等于零，故应选C ．评注：在分式的定义中，各地中考主要考查分式AB在什么情况下有意义、无意义和值为0的问题。

当B ≠0时，分式A B 有意义；当B=0时，分式AB无意义；当A=0且B ≠0时，分式AB 的值为0练习1.各式中，31x+21y, xy1 ,a +51 ,—4xy , 2x x , πx 分式的个数有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2．在b a b a x x x b a -+++-,5,3,2π，a12+中，是分式的有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个3.（1）当 x ≠___ 时，分式22+x x有意义；（2）当 x ____ 时，分式11-+x x 有意义；（3）分式xx -+212中，当____=x 时，分式没有意义，当____=x 时，分式的值为零；（4）当 x _____ 时，分式142-x 有意义。

（5）当________________x 时，分式8x 32x +-无意义；（6）当x = 时，分式33x x --无意义．（7）当x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（） A.23x + B.212x - C.1xD. 211x +（8）. 能使分式122--x xx 的值为零的所有x 的值是（）A 0=xB 1=xC 0=x 或1=xD 0=x 或1±=x （9）已知当2x =-时，分式ax bx -- 无意义，4x =时，此分式的值为0，则a b +的值等于（） A ．－6 B ．－2 C ．6 D ．2考点2：分式的基本性质 1．如果把分式22a ba b+-中的a ，b 都扩大 3 倍，那么分式的值（） A ．是原来的3 倍 B ．是原来的 5 倍 C ．是原来的13D ．不变2．如果把yx y322-中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值（）A 扩大5倍B 不变C 缩小5倍D 扩大4倍3、若x 、y 的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（）A 、y x 23B 、223y xC 、y x 232D 、2323y x考点3：分式的符号处理1．不改变分式的值. 使分子、分母都不含不含负号：(1)23x -= ；(2)x yz -- = ；(3)2ab---；(4)5yx --- = ．考点4：分式的化简求值一）约分1、把下列各式分解因式（1）ab+b 2(2)2a 2-2ab (3)-x 2+9 (4)2a 3-8a 2+8a 2、约分（16分）（1） 2912x xy (2) a b b a --22 (3) 96922+--x x x (4) aba b a +-2223 、约分（1）22699x x x ++-= ；（2）882422+++x x x = ；二）分式的乘除运算 1．化简：=⋅÷xy x x 12．计算2332n n mm m n ÷⋅-的结果是（）A ．22m nB ．33m n-C ．3n m -D ．3m n -3．计算：(1)4223()4a b ac b a c-⋅÷； (2)22222111(1)m m m m m m m m -++÷⨯--- 三)通分1、分式,21x xyy 51,212-的最简公分母为。

初中九年级数学分式复习课件

x 1 x 1
= (x 1)2 -(x 1)2
2
= (x 1)2
(3)［(1+
4
)(a-4+
)-3］÷( 4 -1).
4
a2
a
a
a24
(3)原式=［ a 2
a2 4a 4 -3］÷(
a
4a a
)
a2
=［ a 2
×
(a
2)2 a
-3］×
a
a
4
=(
a2-4-3a a
)×
a a4
=
=a+1
Байду номын сангаас
=
2(1
a 2 )2(1 1 a4
a
2
)
1
4 a
4
=
4 1 a4
4 1 a4
8 = 1 a8
方法小结：
1.当分式的值为零时，必须同时满足两个条件： ①分子的值为零； ②分母的值不为零.
2.分式的混和运算应注意运算的顺序，同时要掌握通分、约分等法则，灵活运用分式的基本性质，注意因式分解、符号变换和运算的技巧，尤其在通分及变号这两个方面极易出错，要小心谨慎！
(a
4)(a a
1)
×
a
a
4
【例4】 (2002年·山西省)化简求值：
(
-
a2
)÷
a 1
，其中a满a 足：4 a2+2a-1=0.
a2 2a a 2 4a 4
a2
解：原式=［a(aa22)-
a 1
(a 2)2］×
a a
2 4
(a2 4) (a2 a) a 2
=

第九章分式(复习课)

2
5、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：
1 a a 1 a a 2 2 1 a a 1 a a
2 3 2
3
2 x 2 x 1 x 1 x
2
2
6、不改变分式的值，使下列各式分子与分母中各项的系数化为整数：
1 x 0 .4 y 1 2 0 .2 x 0 . 3 y
x 1 2x 2 7 x2
经检验, x 2是原方程的解
分式方程必须检验, 若有增根, 要舍去
分式方程的应用
例、某市今年1月1日起调整居民用水价格，每
立方米水费上涨25％，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元．已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6立方米，求该市今年居民用水的价格。
第9章分式
今，我以七五为荣耀
（复习课）
明，社会有我而精彩
霍邱县乌龙镇中心学校龚家林
分式的概念、性质
分式的乘除、加减分式方程及其应用
分式的概念及基本性质 1.分式的定义:
分式的概念
A 形如 ,其中 A ,B 都是整式, B 且 B 中含有字母. B≠0 B=0
2.分式有意义的条件:
分式无意义的条件:
3.分式值为 0 的条件:
A=0且 B ≠0
分式的概念及基本性质
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘以(或除以)一个不为零的整式,分式的值不变。 A AXM A A÷M 用式子表示: 其中M为不 B = ( B X M) B = ( B÷M )
为0的整式
分式的符号法则:
例2.请将下面的代数式尽可能化简,再选择一个你

沪科版七年级数学下册第九章《分式》单元同步复习讲义(解析版)

沪科版七年级数学下册第九章《分式》单元同步复习讲义 01 本章结构图分式⎩⎪⎨⎪⎧分式⎩⎪⎨⎪⎧概念、基本性质分式的化简分式的运算⎩⎪⎨⎪⎧分式的乘除分式的加减整数指数幂分式方程⎩⎪⎨⎪⎧分式方程的解法分式方程的应用 02 重难点突破重难点1 分式的有关概念及基本性质【例1】 (衡阳中考)若分式x －2x ＋1的值为0，则x 的值为(C ) A ．2或－1 B ．0C ．2D ．－1【方法归纳】分式的值为0需要同时具备两个条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可．1．(成都中考)要使分式5x －1有意义，则x 的取值范围是(A ) A ．x ≠1 B ．x ＞1C ．x ＜1D ．x ≠－12．下列等式成立的是(C )A .1a ＋2b ＝3a ＋bB .12a ＋b ＝1a ＋bC .ab ab －b 2＝a a －bD .a －a ＋b ＝－a a ＋b3．(赤峰中考)化简a 2b －ab 2b －a结果正确的是(B ) A ．ab B ．－abC ．a 2－b 2D ．b 2－a 2重难点2 分式的运算【例2】 (雅安中考)先化简，再求值：(1－1m )÷m 2－1m 2＋2m ＋1，其中m ＝2. 解：原式＝(m m －1m )÷（m ＋1）（m －1）（m ＋1）2＝m －1m ·m ＋1m －1＝m ＋1m. 当m ＝2时，原式＝2＋12＝32. 【方法归纳】分式的运算要把握两个关键：一是灵活运用因式分解去通分和约分；二是巧借运算律简化运算．4．化简2a 2－1－1a －1的结果是－1a ＋1． 5．化简：(1＋1x )÷(2x －1＋x 2x)．解：原式＝x ＋1x ÷2x 2－1－x 2x＝x ＋1x ·x x 2－1＝1x －1.6．先化简(1x －2－2x)·x 2－2x 2，再从0，1，2中选取一个合适的x 的值代入求值．解：原式＝[x x （x －2）－2（x －2）x （x －2）]·x （x －2）2 ＝x －2（x －2）x （x －2）·x （x －2）2 ＝x －2x ＋42＝－x ＋42. 由于x ≠0且x ≠2，因此只能取x ＝1，所以当x ＝1时，原式＝－x ＋42＝－1＋42＝32.重难点3 分式方程【例3】分式方程2x －5x －2＝32－x的解是(C ) A ．x ＝－2 B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝1或x ＝2【方法归纳】解分式方程应注意：(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．(2)解分式方程一定注意要验根．7．若x ＝3是分式方程a －2x －1x －2＝0的根，则a 的值是(A ) A ．5 B ．－5 C ．3 D ．－38．(成都中考)已知关于x 的分式方程x ＋k x ＋1－k x －1＝1的解为负数，则k 的取值范围是k ＞12且k ≠1． 9．(广州中考)从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．(1)求普通列车的行驶路程；(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间短3小时，求高铁的平均速度．解：(1)根据题意，得400×1.3＝520(千米)．答：普通列车的行驶路程是520千米．(2)设普通列车平均速度是x 千米/时，根据题意，得520x －4002.5x＝3，解得x ＝120. 经检验，x ＝120是原方程的解，则高铁的平均速度是120×2.5＝300(千米/时)．答：高铁的平均速度是300千米/时．03 备考集训一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列式子：－3x ，2a ，x 2－y 2xy ，－a 2π，x －1y 2，a －2b ，其中是分式的个数有(C ) A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个2．将分式2x 2x ＋y中x ，y 的值都扩大10倍，则分式的值(A ) A ．扩大到原来的10倍B ．缩小到原来的110C ．扩大到原来的100倍D ．不变3．分式a x ，x ＋y x 2－y 2，a －b a 2－b 2，x ＋y x －y中，最简分式有(B ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．下列运算正确的是(C )A .－x －y －x ＋y ＝x －y x ＋yB .a 2－b 2（a －b ）2＝a －b a ＋bC .a 2－b 2（a －b ）2＝a ＋b a －bD .x －11－x 2＝1x ＋15．(济南中考)计算2x x ＋3＋6x ＋3，其结果是(A ) A ．2 B ．3C ．x ＋2D ．2x ＋66．(莱芜中考)将数字2.03×10－3化为小数是(C )A ．0.203B ．0.020 3C ．0.002 03D ．0.000 2037．(临沂中考)化简：a ＋1a 2－2a ＋1÷(1＋2a －1)＝(A ) A .1a －1 B .1a ＋1C .1a 2－1D .1a 2＋18．(锦州中考)为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4 800元，第二次捐款总额为5 000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x 人，那么x 满足的方程是(B )A .4 800x ＝5 000x －20B .4 800x ＝5 000x ＋20C .4 800x －20＝5 000xD .4 800x ＋20＝5 000x 9．(牡丹江中考)若2a ＝3b ＝4c ，且abc ≠0，则a ＋b c －2b的值是(B ) A ．2 B ．－2C ．3D ．－310．若分式方程3x x ＋1＝m x ＋1＋2无解，则m ＝(B ) A ．－1 B ．－3C ．0D ．－2二、填空题(每小题3分，共18分)11．当x ＝2时，分式3x －2无意义． 12．(重庆中考)计算：3－8＋(13)－2＋(π－1)0＝8． 13．化简：(2x x －3－x x ＋3)·x 2－9x ＝x ＋9. 14．如图，点A ，B 在数轴上，它们所表示的数分别是－4，4x －45x ＋1，且点A 到原点的距离是点B 到原点距离的2倍，则x ＝－1．15．分式方程1x －1＝a x 2－1的解是x ＝0，则a ＝1． 16．观察规律并填空．(1－122)＝12·32＝34； (1－122)(1－132)＝12·32·23·43＝12·43＝23； (1－122)(1－132)(1－142)＝12·32·23·43·34·54＝12·54＝58； (1－122)(1－132)(1－142)(1－152)＝12·32·23·43·34·54·45·65＝12·65＝35； …(1－122)(1－132)(1－142)…(1－1n 2)＝n ＋12n(用含n 的代数式表示，n 是正整数，且n ≥2)．三、解答题(共52分)17．(12分)计算：(1)(2x －3y 2)－2÷(x －2y)3；解：原式＝14x 6y －4÷x －6y 3＝x 124y 7.(2)4－x x －2÷(x ＋2－12x －2)．解：原式＝4－x x －2÷(x 2－4x －2－12x －2) ＝4－x x －2÷x 2－4－12x －2＝4－x x －2·x －2（x ＋4）（x －4）＝－1x ＋4.18．(12分)解分式方程：(1)2x x ＋1－1＝1x ＋1；解：方程两边乘x ＋1，得2x －x －1＝1.解得x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解．(2)x ＋4x （x －1）＝3x －1. 解：方程两边乘x(x －1)，得x ＋4＝3x.解得x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解．19．(9分)(锦州中考)先将(1－1x )÷x －1x 2＋2x化简，然后请自选一个你喜欢的x 值代入求值．解：原式＝x －1x ÷x －1x 2＋2x＝x －1x ·x （x ＋2）x －1＝x ＋2.当x ＝10时，原式＝10＋2＝12.(注意：x 不能取0，1，－2)20．(9分)对于代数式1x －2和32x ＋1，你能找到一个合适的x 值，使它们的值相等吗？写出你的解题过程．解：能．根据题意，令1x －2＝32x ＋1，则有2x ＋1＝3(x －2)．解得x ＝7.经检验，x ＝7是1x －2＝32x ＋1的解．即当x ＝7时，两代数式的值相等．21．(10分)某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13 200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28 800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？(2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率不低于25%(不考虑其他因素)，那么每件衬衫的标价至少是多少元？解：(1)设该商家购进的第一批衬衫是x 件，则购进的第二批衬衫是2x 件，由题意可得28 8002x －x13200＝10，解得x ＝120. 经检验x ＝120是原方程的根．答：该商家购进的第一批衬衫是120件．(2)设每件衬衫的标价至少是a元．由(1)得第一批的进价为：13 200÷120＝110(元/件)，第二批的进价为：120元/件．由题意可得120(a－110)＋(240－50)(a－120)＋50(0.8a－120)≥25%×(13 200＋28 800)．解得a≥150.答：每件衬衫的标价至少是150元．。

第9章分式复习课课件24张初中数学沪科版七年级下册

典型例题
例1.如果分式 x2 1 的值为0，那么x的值为 1 .
x1
分析:根据分式值为0的条件：分子为0而分母不为0，列出关于x的方程，求出x的值，并检验当x的取值时分式的分母的对应值是否为零.由题意可得： x2-1=0，解得x=±1.当x=-1时，x+1=0;当x=1时，x+1 ≠0. 归纳拓展:分式有意义的条件是分母不为0；分式无意义的条件是分母的值为0；分式的值为0的条件是：分子为0而分母不为0.
a3 4ab2 a3 4a2b 4ab2
a(a2 4b2 ) a(a2 4ab 4b2)
a 2b a 2b
把a=1，b=2代入，
2 22 1 2 2
三、知识梳理
2.分式的运算
(1)分式的乘法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
用式子表示为：
b c bc a d ad
因为m2+3m=-1，所以3m2+9m=-3，
1
所以原式= 3 .
三、知识梳理
3.分式方程
(1)分式方程的概念：
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
(2)解分式方程：分式方程
去分母
整式方程
(3)分式方程的检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式
方程的解是原分式方程的解；否则，这个解就是增根.
第 9 章分式复习课
一、学习目标
1.巩固分式的相关概念及其基本性质； 2.能熟练地进行分式的相关运算,解分式方程； 3.能用分式方程解决相关数学问题与生活中的实际问题.
二、知识结构
分式的定义分式的基本性质
分式分式的运算
约分

沪科版七年级数学下册第9章：分式单元复习课件

二、分式的性质
a• b•
m m
a
__b_,
a b
m m
a _b__
.（a、b是整式，m≠0）
约分：把分式的分子与分母的公因式约去最简分式：分子与分母只有公因式1的分式通分：化异分母分式为同分母分式的过程
对点练习2
对分式 a2 b2 的变形， ab
甲同学的做法是：
a2 b2 (a b)(a b)
课堂小结
分式
分式的定义及有意义的条件等分式的运算及化简求值
分式方程的定义
分
式分式方程分式方程的解法
分式方程的应用
步骤类型
一审二设三列四解五检六写，尤其不要忘了验根
行程问题、工程问题、销售问题等
错解：x＝1
正解：无解
辨析：本题错解的主要原因是没有验根， ∵解分式方程在去分母时，方程两边同时乘以的式子可能为0，∴解分式方程时必须验根.
典例讲授
例1 先化简： (x 3x 4) x 2 ，
x 1 x 1
再任选一个你喜欢的数x代入求值. 思考：（1）题中有哪些运算？
减法、除法，小括号
＝ x 1 x 1
解方程 2x 1 1 得x＝﹣3， 2x 3 2x 3
∴当x＝﹣3时，原式＝ 3 1 ＝2. 3 1
二、若关于 x 的方程x－x 3－2＝x－k 3有增根． (1)求出这个方程的增根； (2)求 k 的值．
解：(1)因为方程的增根能使最简公分母为 0，即 x－3＝0，所以这个方程的增根是 x＝3.
∴（1+20%）x＝1.2×2.5＝3（元）
当x＝2.5时，
乙种粽子个数：400÷2.5＝160（个）
甲种粽子个数：260－160＝100（个）.

分式的复习课件

特点
方程中可能包含有多个分式，未知数的个数多于一个，形式较为复杂。
示例
$frac{x}{2} + frac{y}{3} = frac{5}{2}$
分式方程的解法
方法一：去分母法方法三：分子有理化法
方法二：换元法方法四：通分法
04
CATALOGUE
分式在实际生活中的应用
物理中的应用
量度单位换算
工程学中的应用
在工程学中，分式用于表示各种物理量之间的关系，例如机械传动中的力和扭矩的关系等。
05
CATALOGUE
分式的易错点与难点解析
易错点解析
分母为零
分母不能为零，否则分式无意义。学生在计算过程中常常忽略这
一点，导致答案错误。
混淆分式与整式
分式和整式的概念容易混淆，学生在解题时常常将分式误认为是
分式的性质
总结词
分式具有一些基本的性质，这些性质是理解分式运算和化简的基础。
详细描述
分式的性质包括分式的分子和分母可以同时乘以或除以同一个非零整式，分式的值不变；分式的加减法则是通过通分后，再进行加减运算；分式的乘法则是直接将分子相乘，分母相乘；分式的除法则是转化为乘法运算。
分式的约分与通分
分式的加减法
总结词：掌握分式加减法的基本规则和技巧
$frac{a}{b} - frac{c}{d} = frac{adbc}{bd}$
$frac{a}{b} + frac{c}{b} = frac{a+c}{b}$
详细描述：分式的加减法需要统一分母，然后对分子进行加减运算。如果分母相同，则直接对分子进行加减运算。
感谢观看
frac{ad+bc-ef}{bd}$

沪科版七年级下册第九章《分式复习》教学教案设计

沪科版七年级下册第九章分式复习（第一课时）【教学目标：】1、通过习题的分析，理解分式的概念、分式的基本性质的应用。

2、把相关的概念与习题相结合，让学生能灵活运用知识点解决相关的问题。

3、会对分式进行约分、通分。

【教学重难点：】重点：分式的基本性质应用难点：分式化简的过程与方法【教学过程：】考点一：分式的概念一般地，如果a，b表示两个整式，并且b中________，那么式子________叫做分式．2．分式有意义的条件是________；分式无意义的条件是________；分式的值为0的条件是________；分式的值为正的条件是________；分式的值为负的条件是________．3．________________统称为有理式．例题分析：本考点共有五题：x 23其中第一题考察分式的基本概念。

(2) 32x(3)xx 22 (4) ∏x (5)x 231-1.下列各式(1)是分式的有个。

第二题考察分母不能为0 ，二次根式中被开方数要大于或等于零。

2.下列各式中x 取何值时,下列式子有意义.(1)21+-x x (2)11-x (3) (4)第三题通过分母不为0考察非负性 3.下列分式一定有意义的是( )A 21x x + B112++x x C112-+x x D11-x第四题考察字母之间的等量关系4、当 x .y 满足关系时,分式 y x yx -+22 无意义.第五题考察分母等于零时，分式的取值问题。

5.当x 为何值时,下列分式的值为0?(1) 14+-x x (2)21--x x (3)33--x x (4)12122++-x x x考点二、分式的基本性质1．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)_____________________，分式的值不变，即a b ＝a·m b·m ＝a÷mb÷m (________________)．21+-x x 1-x x2．根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的________叫做分式的约分．约分通常把分式化成最简分式或整式． 3．______________________的分式，叫做最简分式．本考题设计了四题：第一题：直接考察分式的基本性质。

分式及分式方程复习讲义

分式及分式方程教学目标：1．掌握分式概念、性质及运算．2．掌握分式方程的概念、解法、及增根问题．一、知识回顾知识点1：分式及分式概念分式：分母还字母的代数式：易辨错的分式有：0x ，2x x ，11x+等．分式方程：分母含字母的方程叫分式方程．知识点2：分式性质易错点1 约分，找公因式，同时约去分子分母的公因式．用的是分式的除法性质易错点2 通分，找最简公分母，化异分母为同分母，用的是分式的乘法性质．知识点3：解分式方程1．思路：去分母，变分式方程为整式方程求解，记得验根．2．易淆点（1）把分子分母中的分数，小数变成整数时，是分子分母同时扩大多少倍，用的是分式的性质；（2）去分母，方程的每项同乘分母的最简公分母，用的是等式性质； 3.增根问题增根的概念：是整式方程的根，同时又使最简公分母为0的根叫增根，必须满足这两个条件．常考题型：求含参数的增根问题． ◆课前热身1.下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？①x 1，②3x ，③5342+b ，④352-a ，⑤22y x x -，⑥ 121222+-++x x x x ， ⑦()b a c -÷，⑧x x 2，⑨2)1(--x 分式：____________________；整式___________________； 2. 当x ___________时，分式43x x --有意义；当x ____时，分式422--x x 无意义. 3. 若分式142+-x x 的值为0，那么____________．4. 填空（1）223(__)22x x x x =++；（2）2(____)()x y x y x y -=++；（3）2(____)a ab a bab --=5. 化简：232312a b ab -=__________；223(1)9(1)a b m ab m --=__________ ；（3）22211m m m -+-=_____________. 6. 计算：223286a y y a ⋅=_______；a a a a 21222+⋅-+=___________. 7. 1112+-+a a a =_____________；21422---a a a =______________． 8.下列关于x 的方程，是分式方程的是（）A .23356x x ++-=B .137x x a -=-+C .x a b xa b a b-=- D .2(1)11x x -=- 9. 若关于x 的分式方程311x a x x --=-有增根，则a =____________. 10.解下列分式方程：512552x x x+=--；分式部分二、例题辨析例1 若分式24xx +的值为正数，则x 的取值范围是( ) A. x >0 B. x >-4 C. x ≠0 D. x >-4且x ≠0练习（1）当x ________时，分式xx 61212-+的值为负数．例2 如果把分式xx y+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（） A ．不变 B ．变大3倍 C ．缩小3倍 D ．无法确定练习（1）把分式yx x +2中的x 和y 都扩大3倍，分式值____________．（2）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.①y x yx 41313221+- ②ba ba +-04.003.02.0例3 计算（1）3131+--x x练习：(1) a a --+242 (2) x x x ----13132例4 化简求值：若x =33，求233()22x x x x x-÷+--的值．练习化简求值3,32),()2(222222-==--+÷+---b a b a a b a a b ab a a b a a 其中．三、归纳总结1.区别分数与分式：分数是一个具体的数，是整式.分式的分母一定含有字母，是分式，2.分数与分式在形式上相近，性质上也类似，所以由熟悉的分数来类比学习和理解分式的性质和运算.3.分式的运算中，分子分母能因式分解的要先分解因式.四、拓展延伸例5 1.如果分式111a b a b+=+，那么a b b a +的值为（）. A.1 B.-1 C.2 D.-22.已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出y x 11+.练习 1．若实数a 、b 满足：2a bb a+=，则22224a ab b a ab b ++++的值为_________ ．例6 已知2310x x -+=,求441xx +的值.练习若x ＋1x =3,求2421x x x ++的值.分式方程部分例7 解下列分式方程（1）x x 311=-；（2）0.2100.10.3x x-=-；（3）114112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.练习解下列方程：（1）021211=-++-xxx x ；（2）0.4230.10.3x x x -=--；例8 若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值.练习 1. 若分式方程()1516-+=-x x x x 有增根，则增根是（） A. x ＝1 B. x ＝1和x ＝0 C. x ＝0 D. 无法确定2.若关于x 的方程21x x x +--13x =33x kx +-有增根，求增根和k 的值．3. m 为何值时，关于x 的方程234222+=-+-x x mx x 会产生增根？五、作业与思考（1）4441=+++x x x x ；（2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，61167++=++x x x ．。

《分式》全章复习与巩固(提高)知识讲解

《分式》全章复习与巩固（提高）【学习目标】 1.理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件•2•了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则. 3 •掌握分式的四则运算.4•结合实际情况，分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握方程的解法，体会解方程中的化归思想. 【知识网络】分式方程的解*卷卷【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质 i •分式A一般地，如果 A 、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子叫做分式.其中B叫做分子，B 叫做分母.要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为 0,A当B M 0时，分式A 才有意义.B2. 分式的基本性质A_AxM A A^M匸二匸匸（M 为不等于0的整式）.3. 最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式 .如果分子、分母中含有公因式，要进行约分化简.要点二、分式的运算 1 .约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中的公因式约去，不改变分式的值，样的分式变形叫做分式的约分 . 2•通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘以适当的整式，不改变分式的值，把异分母的目标!V ；分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.3 •基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似，具体运算法则如下：（1）加减运算---=a^b错误！未找到引用源。

；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相c c c加减•a c ad'hbc；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减b d bd—c —c（2）乘法运算，其中a、b、c、d是整式，bd工0 .b d bd两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.— c — d —d（3）除法运算，其中—b、c、d是整式，bcd^O.b d bc bc两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘（4 ）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的要点三、分式方程1 .分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.分式方程的解法解分式方程的关键是去分母，即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程.3.分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后,方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0,那么就会出现不适合原方程的根---增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根.验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0,如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些.解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量” 等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解【典型例题】类型一、分式及其基本性质、（2016?营口模拟）下列各式中，不论字母取何值时分式都有意义的是（1 1 1-3x 5x + 3A. B. C. 2 D. 22x 1 2x T x22x2 1【思路点拨】根据分式有意义的条件来判断• 【答案】D;【解析】一个分式有无意义，取决于它的分母是否等于 0.即若“是一个分式，则"有意义B B5x + 3■ B M 0.而选项D,分母2X 2+1 > 1，所以无论x 取何值 -一定有意义•2X + 1【总结升华】分式有意义的条件是分母不为零，无意义的条件是分母为零【思路点拨】本题如果直接通分计算太繁琐，观察比较发现，公式，通分后与第三个分式的分母又符合平方差公式，以此类推可解此题. 【答案与解析】224448解：原式224448 -1 -X 1+x 1+x 1 -X 1+x 1 -X【总结升华】此类题在进行计算时采用“分步通分”的方法，逐步进行计算，达到化繁为简的目的•在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑. 举一反三：1• _____ : ______ ■ ___ : •…a(a 1) (a 1)(a 2) (a 2)(a 3) (a 2005)(a 2006)、不改变分式的值, 1 a b(1) 2 茎1 1. a b 3 4【答案与解析】把下列各式分子与分母中各项的系数都化为最简整数.(2) OX °・2y ；0.05x —y(3)0.4X 2 - y 210-0.6y 21 4.a b2 3 1 1 . a b 34(1 4 ) —a+—b 仪 12 _12 3 丿 I ^a -1 b 卜 12 3 4 6a 16b 4a -3b(2)0.3x 0.2y _ (0.3x 0.2y) 100 30x 20y 0.05x-y (0.05x-y) 1005x -100y 5(6 X 4y) -5(x-20y)6X 4y ；;x - 20y (3)原式 (0.4X 2 0.3y 2) 10040X 2 30y 2原式—22—22(0.25X 2 —0.6 y 2)汉100 25X -60y 25(8X 2 6y 2) 5(5X 2 -12y 2)8X 2 6y 2 ； 5X 2 -12y 2 '【总结升华】在确定分子和分母中所有分母的最小公倍数时, 乘时分子、分母要加括号，注意不要漏乘.类型二、分式运算要把小数先化成最简分数；相3、计算：土代忌涣前两个分式分母之积为平方差【变式】计算【答案】1111 11 1 1解：原式l a a +1 丿(a+1 a+2 丿(a+2 a + 3 丿 (a+2005 a+2006 丿1111 1 1 1 1=—— ------ + ------ — ----- + ------- — ---- + …+ ----------- — -----------a aT a 1 a 2 a 2 a 3 a 2005 a 2006_ 11 _ a2006 a _ 2006一 a 一 a 2006一 a(a 2006) 一 a(a 2006)一 a 2 2006a '类型三、分式条件求值的常用技巧【思路点拨】直接求值很困难，根据其特点和已知条件，能够求出其倒数的值，这样便可求2出4 X 2 的值.x x 1【答案与解析】【总结升华】（1 ）本题运用转化思想将所求分式通过分式的基本性质转化为已知分式的代利用它们之间的关系进行互相转化. 举一反三：【变式】（2 015春？惠州校级月考）若 0 v x v 1,且■, ■ 1.:」：•的值.X X【答案】解：T x+ =6,已知x ^4，x2X的值42x x 1解：方法42x x 1 2x(x 4 x 2 1)-：- x 22・ 2=x 21 丄 x 2x 4 x 2115方法二：原式2 . 2x F X 4 2 2(x x 1)7 X1 1 x 1 二x115数式来求值.（2 ）根据完全平方公式，熟练掌握x 2 丄x 24x x 12x之间的关系,2•••( X -二)2= (X+二)2- 4=36 - 4=32,xy7a 4b-15c = 0,求雲笃 6C r 的值.a + 2b + 3c【答案与解析】「3a+2b —7c = 0「a = c 解：解关于a 、b 的方程组得、7a +4b —15c = 0、b = 2ca = c把代入原式中，b =2c2 2 2 2•原式 4c -5(2c) -6c -22c11 … 原工 J = 222~ =2 = —•c +2(2 c) +3c 12c6【总结升华】当所求分式的分子、公母无法约分，也无法通过解方程组后代入求值时，若将两个三元一次方程中的一个未知数当作已知数时，即可通过解方程组代入求值. 举一反三：【变式】已知2x 2 -xy -3y 2 =0 ,且x = -y ，求厂的值.x y - x-y【答案】解：因为 2x 2 - xy - 3y 2 二 0 ,所以(x y)(2x -3y) = 0 ,所以 x y =0或 2x -3y =0 ,又因为x - y ，所以x • y = 0,2所以2x -3^0，所以厂孑类型四、分式方程的解法5、设 abc = 0，且 3a 2b -7c = 0,所以x_2x y -x _ y2 x -32Xx x3Zx-3x 3• x -丄=± .：,X又••• O v X V 1,~2~x - 25 (x 3)(x 5) (x 3)( x - 5)【答案与解析】解：原方程整理得:----------------------------- — ------------------------------- -r --------------------------------(x 5)(x 「5) (x 3)(x 5) (x 3)(x 「5)方程两边同乘以(x • 3)( x 5)(x 一5)得：6(x 3) = 3(x -5) 5(x 5)去括号，移项合并同类项得：2x =8，二 x =4 .检验：把 x = 4代入(x 3)(x 5)(x 5)(x -5) = 0x = 4是原方程的根.【总结升华】解分式方程的基本思想是：设法将分式方程“转化”为整式方程，去分母是解分式方程的一般方法，在方程两边同乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程.但要注意可能会产生增根，所以必须验根. 举一反三：【变式】(2015春？靖江市校级月考)若关于 x 的方程—-'亡一-有增根，求增根和k 的值. 【答案】解：最简公分母为 3x (x - 1), 去分母得：3x+3k - x+1= - 2x ,由分式方程有增根，得到 x=0或x=1 ,把x=0代入整式方程得：k=-;类型五、分式方程的应用7、( 2015?扬州)扬州建城2500年之际，为了继续美化城市，计划在路旁栽树1200棵, 由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵数比原计划多 20%，结果提前2天完成，求原计划每天栽树多少棵？【思路点拨】设原计划每天种树 x 棵，则实际每天栽树的棵数为(1+20% ),根据题意可得，实际比计划少用2天，据此列方程求解. 【答案与解析】解：设原计划每天种树 x 棵，则实际每天栽树的棵数为(1+20%),由题意得，一 '- 一=2 ,x Cl+20%) X解得：x=100,经检验，x=100是原分式方程的解，且符合题意. 答：原计划每天种树 100棵.【总结升华】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验. 举一反三：【变式】某项工程限期完成，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要误期3天•现两队合做2天后，余下的工程再由乙队独做，也正好在限期内完成，问该工程限期是多少天？把x=1代入整式方程得:【答案】1 1解：设该工作限期为x天，则甲队的工作效率为，乙队的工作效率为---------- 依题意列出方程:整理，得—— 1 •x x+3两边都乘以x(x 3)，得2(x 3) x2 = x(x 3).解这个整式方程，得x=6 .经检验，x=6是原方程的根.答：该工程限期是6天.。