2014高考考点突破之数列解答题专练

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2014高考数学理(真题讲练规律总结名师押题)热点专题突破：第九讲等差数列、等比数列

第九讲等差数列、等比数列数列等差数列通项公式定义前n 项和公式性质等比数列通项公式定义前n 项和公式性质1．(等比数列的前n 项和)(2013·北京高考)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝______；前n 项和S n ＝________.【解析】设出等比数列的公比，利用已知条件建立关于公比的方程求出公比，再利用前n 项和公式求S n .设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则：由a 2＋a 4＝20得a 1q (1＋q 2)＝20.① 由a 3＋a 5＝40得a 1q 2(1＋q 2)＝40.② 由①②解得q ＝2，a 1＝2.故S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.【答案】 2 2n ＋1－22．(等差数列的性质)在等差数列{a n }中，若a 2，a 2 014为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 1＋a 1 008＋a 2 015＝________.【解析】由题意知a 2＋a 2 014＝10，所以a 1 008＝5. 所以a 1＋a 1 008＋a 2 015＝3a 1 008＝3×5＝15. 【答案】 153．(等比数列的性质)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝________.【解析】在等比数列{a n }中，a 3a 7＝a 25；a 2a 6＝a 3a 5，所以a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝(22)2＝8.【答案】 84．(等差数列的通项公式)若数列{a n }满足1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，且a 1＝3，则a n ＝________ .【解析】由1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，得1a n ＋1－1a n＝2，∴数列{1a n }是首项为13，公差为2的等差数列．∴1a n ＝13＋(n －1)×2＝2n －53， ∴a n ＝36n －5.【答案】36n －55．(等差数列前n 项和)已知正数组成的等差数列{a n }，其前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是__________．【解析】 ∵S 20＝20(a 1＋a 20)2＝100，∴a 1＋a 20＝10. ∵a n >0，∴a 7·a 14≤(a 7＋a 142)2＝(a 1＋a 202)2＝25，当且仅当a 7＝a 14时取“＝”．【答案】 25(1)(2013·课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)(2013·湖北高考)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. ①求数列{a n }的通项公式．②是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．【思路点拨】 (1)先求a m ，a m ＋1，再根据a m ，a m ＋1，S m 列方程组求m .(2)①先求得a 1和公比q ，再求通项公式；②根据数列 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 仍然构成等比数列可求得数列 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前m 项和，进而作出判断．【自主解答】 (1)∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0， ∴a m ＝S m －S m －1＝2.∵S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝1.又S m ＝m (a 1＋a m )2＝m (a 1＋2)2＝0，∴a 1＝－2，∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，∴m ＝5. 【答案】 C(2)①设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝53，q ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1.故a n ＝53·3n －1，或a n ＝－5·(－1)n －1.②若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35·⎝⎛⎭⎫13n －1，故数列 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列．从而∑n ＝1m 1a n＝35·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m 1－13＝910·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m <910<1.若a n ＝(－5)·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而∑n ＝1m 1a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1(k ∈N ＋)，0，m ＝2k (k ∈N ＋).故∑n ＝1m 1a n <1.故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1成立．1．本例(2)中，通项公式含(－1)n －1，故需分n 为奇数与偶数两种情况讨论．2．涉及等差(比)数列的运算，一般是利用等差(比)数列的通项公式、求和公式“知三求二”．体现了方程思想的应用．3．在使用等比数列前n 项和公式时，若公比q 不能确定是否为1，应分q ＝1和q ≠1两种情况讨论．变式训练1 (2013·潍坊模拟)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m,92m )内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和S m .【解】 (1)因为{a n }是一个等差数列，所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，所以a 4＝28. 设数列{a n }的公差为d ，则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45，故d ＝9. 由a 4＝a 1＋3d 得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8(n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若9m <a n <92m ，则9m ＋8<9n <92m ＋8，因此9m －1＋1≤n ≤92m －1，故得b m ＝92m －1－9m －1.于是S m ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b m＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1)＝9×(1－81m )1－81－(1－9m )1－9＝92m ＋1－10×9m ＋180.【命题要点】 ①利用等差数列的性质求某一项，求和；②利用等比数列的性质，求值.(1)等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，数列{a n }前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．66(2)(2013·三门峡模拟)在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3【思路点拨】 (1)先求a 4和a 6，然后再根据a 1＋a 9＝a 4＋a 6求S 9.(2)先求a 7，再利用a 29＝a 11·a 7求解．【自主解答】 (1)由a 1＋a 4＋a 7＝39，得3a 4＝39，a 4＝13. 由a 3＋a 6＋a 9＝27，得3a 6＝27，a 6＝9. 所以S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×(13＋9)2＝99.(2)由a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243得a 7＝3，所以a 29a 11＝a 11·a 7a 11＝a 7＝3.【答案】 (1)C (2)D1．本例(2)用a 29＝a 11a 7求解，过程简单，当然也可以把a 9、a 11用a 7、公比q 表示出来，求解．2．等差、等比数列的性质n 123345＝18，则a 2a 3a 4＝( ) A ．512 B ．64 C ．1 D.1512【解析】因为a 1a 2a 3＝a 32＝8，a 3a 4a 5＝a 34＝18. 由题意知数列{a 3n }也是等比数列，且各项为正．故a 2a 3a 4＝a 33＝1.【答案】 C【命题要点】 ①判定或证明一个数列是等差数列；②判定或证明一个数列是等比数列.(2013·北京高考)给定数列a 1，a 2，…，a n ，对i ＝1,2，…，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .(1)设数列{a n }为3,4,7,1，写出d 1，d 2，d 3的值；(2)设a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0，证明：d 1，d 2，…，d n－1是等比数列；(3)设d 1，d 2，…，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．【思路点拨】 (1)根据d i 的定义求解．(2)需根据题意求出d n 的通项公式后利用定义证明． (3)利用等差数列的定义证明．【自主解答】 (1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6. (2)证明：因为a 1>0，公比q >1，所以a 1，a 2，…，a n 是递增数列．因此，对i ＝1,2，…，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1. 于是对i ＝1,2，…，n －1， d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q )q i －1.因此d i ≠0且d i ＋1d i ＝q (i ＝1,2，…，n －2)，即d 1，d 2，…，d n －1是等比数列．(3)证明：设d 为d 1，d 2，…，d n －1的公差．对1≤i ≤n －2，因为B i ≤B i ＋1，d >0，所以A i ＋1＝B i ＋1＋d i ＋1≥B i ＋d i ＋d >B i ＋d i ＝A i . 又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}，所以a i ＋1＝A i ＋1>A i ≥a i .从而a 1，a 2，…，a n －1是递增数列．因此A i ＝a i (i ＝1,2，…，n －2)．又因为B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1<a 1，所以B 1<a 1<a 2<…<a n －1. 因此a n ＝B 1.所以B 1＝B 2＝…＝B n －1＝a n . 所以a i ＝A i ＝B i ＋d i ＝a n ＋d i .因此对i ＝1,2，…，n －2都有a i ＋1－a i ＝d i ＋1－d i ＝d ，即a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．1．等差数列的判断方法：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 2．等比数列的判定方法：(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2≠0(n ∈N *)． (3)通项公式：a n ＝cq n －1(c 、q 均为非零的常数，n ∈N *)．3．要证明一个数列是等差(比)数列必须用定义法或等差(比)中项法．变式训练3 已知数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝34，a n ＋1＝2a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＝12，3b n －b n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{b n －a n }为等比数列，并求出数列{b n }的通项公式．【解】 (1)由a n ＋1＝2a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，可得a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)．∴数列{a n }是首项为a 1＝14，公差为d ＝a 2－a 1＝12的等差数列．∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12n －14(n ∈N *)，即a n ＝12n －14(n ∈N *)．(2)由3b n －b n －1＝n ，得b n ＝13b n －1＋13n (n ≥2，n ∈N *)，∴b n －a n ＝13b n －1＋13n －12n ＋14＝13b n －1－16n ＋14＝13(b n －1－12n ＋34) ＝13[b n －1－12(n －1)＋14] ＝13(b n －1－a n －1)．又b 1－a 1＝14≠0，∴b n －a n ≠0(n ∈N *)，得b n －a n b n －1－a n －1＝13(n ≥2，n ∈N *)，即数列{b n －a n }是首项为b 1－a 1＝14，公比为13的等比数列．于是，b n －a n ＝14·(13)n －1，即b n ＝2n －14＋14·(13)n －1＝14[(13)n －1＋2n －1](n ∈N *).等差、等比数列的通项公式a n 与前n 项和S n 是高考必考内容，其中把非等差、等比数列的求和问题转化为等差、等比数列的求和问题，体现了转化与化归的数学思想，是高考命题的生长点．可转化为等差、等比数列的求和问题(12分)等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列．n (2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 【规范解答】 (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意；当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18，所以公比q ＝3. 故a n ＝2·3n －1.4分(2)因为b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n [ln 2＋(n －1)ln 3]＝2·3n －1＋(－1)n (ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n ](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n ]ln 3.8分所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n 1－3＋n 2ln 3＝3n ＋n2ln 3－1；10分当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋(n －12－n )ln 3＝3n －n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n＝⎩⎨⎧3n ＋n2ln 3－1，n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1，n 为奇数.12分【阅卷心语】易错提示 (1)在确定a 1，a 2，a 3的值时，不会分类讨论导致无法求解．(2)在求数列{b n }的前n 项和S n 时，不会把S n 拆分成几个可求和的数列的和的形式，从而无法求解．(3)在求数列{b n }的前n 项和S n 时，对n 没分偶数和奇数两种情况求解导致答案错误．防范措施 (1)当a 1的值不确定时，应对a 1的所有可能取值逐一进行讨论．(2)当通项公式a n 是多项和的形式时，常把前n 项和S n 拆分成几个等差(比)数列和的形式求解．(3)数列问题中若遇到(－1)n 则需考虑n 的奇偶性对所求数值的影响．必要时应分n 为奇数和n 为偶数两种情况讨论．1．若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，则a 5与a 7的等比中项为( ) A ．42 B ．±42 C ．4 D ．±4 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知 ⎩⎨⎧S 9＝9a 1＋9×82d ＝－36，S 13＝13a 1＋13×122d ＝－104，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－2.∴a 5＝a 1＋4d ＝－4，a 7＝a 1＋6d ＝－8， ∴a 5a 7＝32，故a 5与a 7的等比中项为±4 2. 【答案】 B2．数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n， 0≤a n＜12，2a n－1， 12≤a n＜1，若a 1＝35，则数列的第2 013项为( )A.15B.25C.35D.45【解析】由题意知a 2＝2a 1－1＝2×35－1＝15，a 3＝2a 2＝25，a 4＝2a 3＝45，a 5＝2a 4－1＝2×45－1＝35，a 6＝2a 5－1＝2×35－1＝15，…从而数列{a n }的各项周期性出现，周期为4，故a 2 013＝a 1＝35.【答案】 C第11 页共11 页。

2014高考一轮复习数列专题一-理

第六章单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．若{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝ ( )A ．－2B ．－1C.12 D ．2答案 B解析由等差中项的定义结合已知条件可知2a 4＝a 5＋a 3，∴2d ＝a 7－a 5＝－1，即d ＝－12.故选B.2．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3答案 D 解析由等比数列性质可知a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，所以得a 7＝3，又a 29a 11＝a 7a 11a11＝a 7，故选D.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 5＝12S 5，且a 9＝20，则S 11＝ ( ) A ．260 B ．220 C ．130 D ．110答案 D解析 ∵S 5＝a 1＋a 52×5，又∵12S 5＝a 1＋a 5，∴a 1＋a 5＝0.∴a 3＝0，∴S 11＝a 1＋a 112×11＝a 3＋a 92×11＝0＋202×11＝110，故选D.4．各项均不为零的等差数列{a n }中，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则S2 009等于() A．0 B．2C．2 009 D．4 018答案 D解析各项均不为零的等差数列{a n}，由于a2n－a n－1－a n＋1＝0(n∈N*，n≥2)，则a2n－2a n＝0，a n＝2，S2 009＝4 018，故选D.5．数列{a n}是等比数列且a n>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于() A．5 B．10C．15 D．20答案 A解析由于a2a4＝a23，a4a6＝a25，所以a2·a4＋2a3·a5＋a4·a6＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝25.所以a3＋a5＝±5.又a n>0，所以a3＋a5＝5.所以选A.6．首项为1，公差不为0的等差数列{a n}中，a3，a4，a6是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是() A．8 B．－8C．－6 D．不确定答案 B解析a24＝a3·a6⇒(1＋3d)2＝(1＋2d)·(1＋5d)⇒d(d＋1)＝0⇒d＝－1，∴a3＝－1，a4＝－2，∴q＝2.∴a6＝a4·q＝－4，第四项为a6·q＝－8.7．设函数f(x)满足f(n＋1)＝2f(n)＋n2(n∈N*)，且f(1)＝2，则f(20)＝()A．95 B．97 C．105 D．192 答案 B解析f(n＋1)＝f(n)＋n2，∴îïíïìf(20)＝f(19)＋192，f(19)＝f(18)＋182，……f(2)＝f(1)＋12.累加，得f(20)＝f(1)＋(12＋22＋…＋192)＝f(1)＋19×204＝97.8．若a x－1，a y，a－x＋1(a>0，且a≠1)成等比数列，则点(x，y)在平面直角坐标系内的轨迹位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 D解析∵成等比，∴(a y)2＝a x－1·a－x＋1.即2y＝x－1－x＋1，x－1>0，∴x>1.x－1<x＋1，∴y<0，∴位于第四象限．9．已知等比数列{a n}的公比q<0，其前n项的和为S n，则a9S8与a8S9的大小关系是() A．a9S8>a8S9B．a9S8<a8S9C．a9S8≥a8S9D．a9S8≤a8S9答案 A解析a9S8－a8S9＝a9a1(1－q8)1－q－a8a1(1－q9)1－q＝a8a1(q－q9－1＋q9)1－q＝－a1a8＝－a21q7.因为a21>0，q<0，所以－a21q7>0，即a9S8>a8S9，故选A.10．在等差数列{a n}中，前n项和为S n，且S2 011＝－2 011，a1 007＝3，则S2 012的值为() A．1 006 B．－2 012C．2 012 D．－1 006答案 C解析方法一设等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意可得， îïíïìS 2 011＝2 011a 1＋2 011×(2 011－1)2d ＝－2 011，a 1 007＝a 1＋1 006d ＝3，即îïíïìa 1＋1 005d ＝－1，a 1＋1 006d ＝3，解得îïíïìa 1＝－4 021，d ＝4. 所以，S 2 012＝2 012a 1＋2 012×(2 012－1)2d ＝2 012×(－4 021)＋2 012×2 011×2 ＝2 012×(4 022－4 021)＝2012. 方法二由S 2 011＝2 011(a 1＋a 2 011)2 ＝2 011a 1 006＝－2 011，解得a 1 006＝－1，则S 2 012 2 012(a 1＋a 2 012)2＝2 012(a 1 006＋a 1 007)2 2 012×(－1＋3)2＝2 012. 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11．若m ，n ，m ＋n 成等差数列，m ，n ，m ·n 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的离心率为________．答案 2解析由题意知2n ＝m ＋m ＋n ，∴n ＝2m .又n 2＝m ·m ·n ，∴n ＝m 2，∴m 2＝2m . ∴m ＝2，∴n ＝4，∴a 2＝4，b 2＝2，c 2＝2. ∴e ＝ca ＝22.12．数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S nn ＝2n 3n ＋1，则a 100100＝________.答案 199299解析 a 100b 100＝a 1＋a 1992b 1＋b 199＝S 199T 199＝199299.13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于________．答案 2解析 ∵S 3＝(a 1＋a 3)×32＝6，而a 3＝4，∴a 1＝0. ∴d ＝a 3－a 12＝2.14．某人从2012年1月份开始，每月存入银行100元，月利率是3‰(不计复利)，到2012年12月底取出的本利和应是________元．答案 1 223.4解析应为 1 200＋0.3×12＋0.3×11＋…＋0.3＝1 200＋0.3×12×132 1 223.4(元)．15．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为________．答案 4解析设等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0，依题意得a 23＝a 2·a 4＝4.又a 3>0，因此a 3＝a 1q 2＝2，a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝12，由此解得q ＝1，a 1＝8，a n ＝8×(1)n －1＝24－n ，a n ·a n ＋1·a n ＋2＝29－3n .由于2－318>19，因此要使29－3n >19，只要9－3n ≥－3，即n ≤4，于是满足 a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为4.16．等比数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q 等于________．答案 12解析 S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝31－3232＝－132，即q 5＝(－12)5，所以q ＝12.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)数列{a n }中，a 1＝1，a n ，a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，求数列{b n }的前n 项和S n .答案 S n nn ＋1解析 ∵a n ，a n ＋1是x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两根， ∴a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，a n ·a n ＋1＝1b n.∴a n ＋1＋a n ＋2＝2n ＋3. ∴a n ＋2－a n ＝2. ∴a 3－a 1＝2， a 5－a 3＝2， ……a2n－1－a2n－3＝2.∴a2n－1－a1＝2(n－1)．∴a2n－1＝2n－1，∴当n为奇数时，a n＝n. 同理可得当n为偶数时a n＝n.∴a n＝n.∴b n＝1a n·a n＋1＝1n(n＋1)＝1n－1n＋1.∴S n＝b1＋b2＋b3＋…＋b n＝1－12＋12－13＋13－14＋ (1)n－1n＋1＝11n＋1＝n n＋1.18．(本小题满分12分)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5.(1)求数列{b n}的通项公式；(2)数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n＋5}是等比数列．答案(1)b n 54·2n－1＝5·2n－3(2)略解析(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d. 依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以{b n}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．故{b n}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝54.所以{b n}是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n＝54·2n－1＝5·2n－3.(2)数列{b n}的前n项和S n＝54(1－2n)1－2＝5·2n－2－54，即S n＋54＝5·2n－2.所以S1＋54＝52，S n＋1＋54S n＋54＝5·2n－15·2n－2＝2.因此{S n＋5}是以5为首项，公比为2的等比数列．19．(本小题满分12分)已知数列{x n}的首项x1＝3，通项x n＝2n p＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列，求：(1)p，q的值；(2)数列{x n}的前n项的和S n的公式．解析(1)由x1＝3，得2p＋q＝3，又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得p＝1，q＝1.(2)S n＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)＝2n＋1－2n(n＋1)2.20．(本小题满分12分)已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2(1 a11a2)，a3＋a4＋a5＝64(1a3＋1a4＋1a5)．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝(a n＋1a n)2，求数列{bn}的前n项和T n.解析(1)设{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1. 由已知，有îïíïìa 1＋a 1q ＝2èçæø÷ö1a 1＋1a 1q ，a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝64èçæø÷ö1a 1q 2＋1a 1q 3＋1a 1q 4，化简，得îïíïìa 21q ＝2，a 21q 6＝64.又a 1>0，故q ＝2，a 1＝1. 所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知，b n ＝èçæø÷öa n ＋1a n 2＝a 2n ＋1a 2n ＋2＝4n －1＋14n －1＋2. 因此，T n ＝(1＋4＋…＋4n －1)＋(1＋14＋…＋14n －1)＋2n ＝1－4n1－4＋1－1n 1－14＋2n ＝13(4n －41－n )＋2n ＋1.21．(本小题满分12分)某企业2010年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从2011年起每年比上一年纯利润减少20万元，2011年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年(2011年为第一年)的利润为500(1＋12n )万元(n 为正整数)．(1)设从2011年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元(须扣除技术改造资金)，求A n ，B n 的表达式；(2)依上述预测，从2011年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？思路 (1)A n 是一个等差数列的前n 项和，B n 是一个常数数列和一个等比数列的组合的前n 项和，根据数列的求和公式，就可以求出A n ，B n 的表达式．(2)建模B n >A n ，解这个关于n 的不等式．解析(1)依题意知，A n是一个以480为首项，－20为公差的等差数列的前n项和，所以A n＝480n＋n(n－1)2×(－20)＝490n－10n2，B n＝500(1＋12)＋500(1＋122)＋…＋500(1＋12n)－600＝500n＋500(12＋122＋…12n)－600＝500n＋50012[1－(12)n]1－12－600＝500n5002n－100.(2)依题意得，B n>A n，即500n－5002n－100>490n－10n2，可化简502n<n2＋n－10.∴可设f(n)＝502n，g(n)＝n2＋n－10.又∵n∈N*，∴可知f(n)是减函数，g(n)是增函数．又f(3)＝508>g(3)＝2，f(4)＝5016<g(4)＝10.则当n＝4时不等式成立，即4年．22．(本小题满分12分)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＋n＝2a n(n ∈N*)．(1)证明：数列{a n＋1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝(2n＋1)a n＋2n＋1，数列{b n}的前n项和为T n.求满足不等式T n－22n－1>2010的n的最小值．解析(1)因为S n＋n＝2a n，所以S n－1＝2a n－1－(n－1)(n≥2，n∈N*)．两式相减，得a n＝2a n－1＋1.所以a n＋1＝2(a n－1＋1)(n≥2，n∈N*)，所以数列{a n＋1}为等比数列．因为S n＋n＝2a n，令n＝1得a1＝1.a1＋1＝2，所以a n＋1＝2n，所以a n＝2n－1.(2)因为b n＝(2n＋1)a n＋2n＋1，所以b n＝(2n＋1)·2n.所以T n＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，①2T n＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，②①－②，得－T n＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1＝6＋2×22－2n＋11－2－(2n＋1)·2n＋1＝－2＋2n＋2－(2n＋1)·2n＋1＝－2－(2n－1)·2n＋1.所以T n＝2＋(2n－1)·2n＋1.T n－22n－1>2 010，2＋(2n－1)·2n＋12n－1>2 010，即2n＋1>2 010.由于210＝1 024,211＝2 048，所以n＋1≥11，即n≥10.所以满足不等T n－22n－1>2 010的n的最小值是10.1．已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，数列{b n}是等差数列，且a6＝b7，则有() A．a3＋a9≤b4＋b10B．a3＋a9≥b4＋b10C．a3＋a9≠b4＋b10D．a3＋a9与b4＋b10的大小关系不确定答案 B解析记等比数列{a n}的公比为q，由数列{b n}为等差数列可知b4＋b10＝2b7.又数列{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a3＋a9＝a3(1＋q6)＝a6(1＋q6q3)＝b7(1＋q6q3)，又1＋q6q3＝1q3＋q3≥2，当且仅当q＝1时，等号成立，∴a3＋a9≥b4＋b10.故选B.2．已知a n＝32n－11(n∈N＋)，数列{a n}的前n项和为S n，则使S n>0的n的最小值是() A．5B．6C．10 D．11答案 D解析令f(x)＝32x－11知f(x)关于(112，0)对称，∴a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a5＋a6＝0，且a6>a7>a8>a9>a10> 0∴S10＝0，S11>0，选D.3．数列{a n}中，S n为其前n项和，已知S1＝1，S2＝2，且S n＋1－3S n＋2S n－1＝0(n∈N*且n≥2)，则此数列为() A．等差数列B．等比数列C．从第二项起为等差数列D．从第二项起为等比数列答案 D解析S n＋1－3S n＋2S n－1＝0，∴S n＋1－S n＝2S n－2S n－1，∴a n＋1＝2a n.又a1＝1，a2＝1，∴从第二项起为等比数列．4．已知数列{a n}满足a1＝23，且对任意的正整数m，n，都有a m＋n＝a m＋a n，则a nn等于() A.12 B.23C.32D．2答案 B解析令m＝1，得a n＋1＝a1＋a n，即a n＋1－a n＝a1＝23，可知数列{a n}是首项为a1＝23，公差为d＝23的等差数列，于是a n＝23＋(n－1)·23＝23n，即a nn＝23.故选B.5．设a1，a2，…，a50是以－1,0,1这三个整数中取值的数列，若a1＋a2＋…＋a50＝9且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则a1，a2，…，a50当中取零的项共有() A．11个B．12个C．15个D．25个答案 A解析(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝a21＋a22＋…＋a250＋2(a1＋a2＋…＋a50)＋50＝107，∴a21＋a22＋…＋a250＝39，∴a1，a2，…，a50中取零的项应为50－39＝11个，故选A.6．已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有() A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0C．a3＋a99＝0 D．a51＝51答案 C解析由题意，得a1＋a2＋…＋a101＝a1＋a1012×101＝0.所以a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝0.7．已知数列{a n}，{b n}满足a1＝1，且a n，a n＋1是函数f(x)＝x2－b n x＋2n的两个零点，则b 10＝________.答案 64解析 a n ＋a n ＋1＝b n ，a n ·a n ＋1＝2n ， ∴a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1. ∴a n ＋2＝2a n .又∵a 1＝1，a 1·a 2＝2，∴a 2＝2. ∴a 2n ＝2n ，a 2n －1＝2n －1(n ∈N *)． ∴b 10＝a 10＋a 11＝64.8．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 构成的集合为________．答案 {5,6}解析等差数列中由S 10>0，S 11＝0，得 S 1010(a 1＋a 10)2>0⇒a 1＋a 10>0⇒a 5＋a 6>0， S 11＝11(a 1＋a 11)2＝0⇒a 1＋a 11＝2a 6＝0，故可知，等差数列{a n }是递减数列且a 6＝0，所以S 5＝S 6≥S n ，即k ＝5或6.∴集合为{5,6}．9．(2013·衡水调研)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，函数f (x )12px 2－(p ＋q )x ＋q ln x (其中p 、q 均为常数，且p >q >0)，当x ＝a 1时，函数f (x )取得极小值，点(a n,2S n )(n ∈N *)均在函数y ＝2px 2qx ＋f ′(x )＋q 的图像上．(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)记b n ＝4S n n ＋3·q n，求数列{b n }的前n 项和T n .解析(1)由题易得f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝px－(p＋q)＋qx＝px2－(p＋q)x＋qx＝(x－1)(px－q)x.令f′(x)＝0，得x＝1或x＝qp.∵p>q>0，∴0<qp<1.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：1(2)依题意，y＝2px2－qx＋f′(x)＋q＝2px2＋px－p，2S n＝2p·a2n＋p·a n－p(n∈N*)．∴2a1＝2p·a21＋pa1－p.由a1＝1，得p＝1.∴2S n＝2a2n＋a n－1. ①∴当n≥2时，2S n－1＝2a2n－1＋a n－1－1. ②①－②得2a n＝2(a2n－a2n－1)＋a n－a n－1.∴2(a2n－a2n－1)－(a n＋a n－1)＝0.∴(a n＋a n－1)(a n－a n－1－12)＝0.由于a n＋a n－1>0，∴a n－a n－1＝12(n≥2)．∴{a n}是以a1＝1为首项，12为公差的等差数列．∴a n ＝1＋(n －1)×12＝n ＋12.(3)S n ＝n ＋n (n －1)·1＝n 2＋3n ，∴b n ＝4S n n ＋3·q n＝nq n .∴T n ＝q ＋2q 2＋3q 3＋…＋(n －1)q n －1＋nq n .③已知p >q >0，而由(2)知p ＝1，则q ≠1. ∴qT n ＝q 2＋2q 3＋3q 4＋…＋(n －1)q n ＋nq n ＋1.④由③－④，得(1－q )T n ＝q ＋q 2＋q 3＋…＋q n －1＋q n －nq n ＋1＝q (1－q n )1－q－nq n ＋1.∴T n ＝q (1－q n )(1－q )2－nq n ＋11－q.10．将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表： a 1a 2 a 3 a 4a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 …已知表中的第一列数a 1，a 2，a 5，…构成一个等差数列，记为{b n }，且b 2＝4，b 5＝12.表中每一行正中间一个数a 1，a 3，a 7，…构成数列{c n }，其前n 项和为S n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a 13＝1.①求S n ；②记M ＝{n |(n ＋1)c n ≥λ，n ∈N *}，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取值范围．解析 (1)设数列{b n }的公差为d ，则îïíïìb 1＋d ＝4，b 1＋4d ＝10，解得îïíïìb 1＝2，d ＝2，所以b n ＝2n .(2)①设每一行组成的等比数列的公比为q.由于前n行共有1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2个数，且32<13<42，所以a10＝b4＝8.所以a13＝a10q3＝8q3，又a13＝1，解得q＝12.由已知可得c n＝b n q n－1，因此c n＝2n·(12)n－1＝n2n－2.所以S n＝c1＋c2＋c3＋…＋c n＝12－1＋220＋321＋…＋n2n－2.1 2S n120＋221＋…n－12n－2＋n2n－1.12S n12－1＋120＋121＋…12n－2－n2n－1＝412n－2－n2n－1＝4n＋22n－1.解得S n＝8－n＋2 2n－2.②由①知，c n＝n2n－2，不等式(n＋1)c n≥λ，可化n(n＋1)2n－2≥λ.设f(n)＝n(n＋1)2n－2，因为f(n＋1)－f(n)＝(n＋1)(2－n)2n－1，所以当n≥3时，f(n＋1)<f(n)．计算得f(1)＝4，f(2)＝f(3)＝6，f(4)＝5，f(5)＝154.因为集合M的元素个数为3，所以λ的取值范围是(4,5]．11．已知数列{a n}，a1＝1，a n＝λa n－1＋λ－2(n≥2)．(1)当λ为何值时，数列{a n}可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式；(2)若λ＝3，令b n＝a n＋12，求数列{b n}的前n项和S n.解析(1)a2＝λa1＋λ－2＝2λ－2，a3＝λa2＋λ－2＝2λ2－2λ＋λ－2＝2λ2－λ－2. ∵a1＋a3＝2a2，∴1＋2λ2－λ－2＝2(2λ－2)，得2λ2－5λ＋3＝0，解得λ＝1或λ＝32.当λ＝32时，a2＝2×32－2＝1，a1＝a2，故λ＝32不合题意舍去；当λ＝1时，代入a n＝λa n－1＋λ－2可得a n－a n－1＝－1. ∴数列{a n}构成首项为a1＝1，d＝－1的等差数列．∴a n＝2－n.(2)当λ＝3时，a n＝3a n－1＋1，即a n＋1＝3(a n－1＋1)，即b n＝3b n－1.∴数列{b n}构成首项为b1＝32，公比为3的等比数列．∴b n＝32×3n－1＝3n2.∴S n＝32(1－3n)1－3＝34(3n－1)．12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＋a2＝2S3，等比数列{b n}满足b1＝a2，b2＝a4.(1)求证：{b n}中的每一项均为{a n}中的项；(2)若a1＝12，数列{c n}满足：b n＋1·c n＝(－1)n(1＋2log2b n)，求数列{c n}的前n项和T n.解析(1)证明：设等差数列{a n}的公差为d，由S4＋a2＝2S3得4a1＋6d＋a1＋d＝6a1＋6d，∴a1＝d.则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1.∴b 1＝2a 1，b 2＝4a 1，等比数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2.则b n ＝2a 1·2n －1＝2n a 1.∵2n ∈N *，∴{b n }中的每一项均为{a n }中的项． (2)解析：∵a 1＝12，∴b n ＝2n ×12＝2n －1. 由b n ＋1·c n ＝(－1)n (1＋2log 2b n )，得 2n ·c n ＝(－1)n [1＋2(n －1)]＝(－1)n (2n －1)． ∴c n ＝(－1)n (2n －1)n＝(2n －1)(－1)n.T n ＝(－12＋3(－12)2＋5(－12)3＋…＋(2n －1)(－12)n ，－2T n ＝1＋3(－12＋5(－12)2＋…＋(2n －1)(12)n －1.两式相减，得－3T n ＝1＋2(－1)＋2(－1)2＋…＋2(－1)n －1－(2n －1)(－1)n ＝1－2＋2·[1＋(－12)＋(12)2＋…＋(12)n －1]－(2n －1)(12)n＝－1＋2·1－(12)n1－(12)－(2n －1)(12)n＝－143－43(12)n －(2n －1)(12)n 13－6n ＋13(12)n，∴T n ＝6n ＋19(－12)n －19.13．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n －2n －2＝0，(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ＋1＋1a n ＋2＋1a n ＋3＋…＋1a 2n，若对任意的正整数n ，当m ∈[－1,1]时，不等式t 2－2mt ＋16>b n 恒成立，求实数t 的取值范围．解析 (1)由题意得a n －a n －1＝2n (n ≥2)，累差叠加，得a n ＝n (n ＋1)(n ≥2)．又a 1＝2，所以a n ＝n (n ＋1)，(n ∈N *)． (2)b n 1(n ＋1)(n ＋2)＋1(n ＋2)(n ＋3)＋ (1)(2n )(2n ＋1)1n ＋1－12n ＋1＝n (n ＋1)(2n ＋1)＝n 2n 2＋3n ＋1， b n 12n 1n ＋3，b n 的最大值为b 1＝16，所以t 2－2mt ＋16>16恒成立，m ∈[－1,1]．构造g (m )＝－2tm ＋t 2，即g (m )>0恒成立m ∈[－1,1]．当t ＝0，不成立；当t ≠0，g (m )是一次函数，îïíïìg (－1)>0，g (1)>0，解得t ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．14．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26.{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 答案 (1)a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2) (2)T n ＝n4(n ＋1)解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2.由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n (a 1＋a n )2，所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2)．(2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 2n －1＝4n (n ＋1)．因此b n ＝14n (n ＋1)＝14(1n －1n ＋1)．故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n14(112＋12－13＋…1n －1n ＋1) 14(11n ＋1)n 4(n ＋1). 所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n 4(n ＋1). 15．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和S n ，若S 4≥10，S 5≤15，求a 4的最大值．解析方法一 a 5＝S 5－S 4≤5，S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝5a 3≤15，a 3≤3，则a 4＝a 3＋a 52≤4，a 4的最大值为4.方法二 ∵îïíïìS 4＝4a 1＋6d ≥10，S 5＝5a 1＋10d ≤15⇒ îïíïì－2a 1－3d ≤－5，a 1＋2d ≤3⇒d ≤1. 又∵S 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5a 3≤15，∴a 3≤3. ∴a 4≤4.故a 4的最大值为4.方法三本题也可利用线性规划知识求解．由题意得îïíïì4a 1＋6d ≥10，5a 1＋10d ≤15⇒ îïíïì2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3.a 4＝a 1＋3d . 画出可行域îïíïì2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3，求目标函数a 4＝a 1＋3d 的最大值，即当直线a 4＝a 1＋3d 过可行域内(1,1)点时截距最大，此时a 4＝4.16．(2012·天津)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a n b 1＋a n －1b 2＋…＋a 1b n ，n ∈N *，证明： T n ＋12＝－2a n ＋10b n (n ∈N *)．解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .由条件，得方程组îïíïì2＋3d ＋2q 3＝27，8＋6d －2q 3＝10，解得îïíïìd ＝3，q ＝2.所以a n ＝3n －1，b n ＝2n ，n ∈N *.(2)方法一由(1)得T n ＝2a n ＋22a n －1＋23a n －2＋…＋2n a 1，① 2T n ＝22a n ＋23a n －1＋…＋2n a 2＋2n －1a 1.②由②－①，得T n ＝－2(3n －1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n ＋2n ＋2＝12(1－2n －1)1－2＋2n ＋2－6n＋2＝10×2n－6n－10.而－2a n＋10b n－12＝－2(3n－1)＋10×2n－12＝10×2n－6n－10，故T n＋12＝－2a n＋10b n，n∈N*.方法二(1)当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立；(2)假设当n＝k时等式成立，即T n＋12＝－2a k＋10b k，则当n＝k＋1时，有T k＋1＝a k＋1b1＋a k b2＋a k－1b3＋…＋a1b k＋1＝a k＋1b1＋q(a k b1＋a k－1b2＋…＋a1b k)＝a k＋1b1＋qT k＝a k＋1b1＋q(－2a k＋10b k－12)＝2a k＋1－4(a k＋1－3)＋10b k＋1－24＝－2a k＋1＋10b k＋1－12.即T k＋1＋12＝－2a k＋1＋10b k＋1.因此n＝k＋1时等式也成立．由(1)和(2)，可知对任意n∈N*，T n＋12＝－2a n＋10b n成立．17．(2012·陕西)设{a n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S n，且a5，a3，a4成等差数列．(1)求数列{a n}的公比；(2)证明：对任意k∈N＋，S k＋2，S k，S k＋1成等差数列．解析(1)设数列{a n}的公比为q(q≠0，q≠1)，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4.即2a1q2＝a1q4＋a1q3.由a1≠0，q≠0，得q2＋q－2＝0，解得q1＝－2，q2＝1(舍去)，所以q＝－2.(2)方法一对任意k∈N＋，S k＋2＋S k＋1－2S k＝(S k＋2－S k)＋(S k＋1－S k)＝a k＋1＋a k＋2＋a k＋1＝2a k＋1＋a k＋1·(－2)＝0，所以，对任意k∈N＋，S k＋2，S k，S k＋1成等差数列．方法二对任意k∈N＋，2S k＝2a1(1－q k)1－q，S k＋2＋S k＋1＝a1(1－q k＋2)1－q＋a1(1－q k＋1)1－qa1(2－q k＋2－q k＋1)1－q，2S k－(S k＋2＋S k＋1)＝2a1(1－q k)1－q－a1(2－q k＋2－q k＋1)1－qa11－q[2(1－q k)－(2－q k＋2－q k＋1)]a1q k1－q(q2＋q－2)＝0，因此，对任意k∈N＋，S k＋2，S k，S k＋1成等差数列．18．(2012·广东)设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n＝a n＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．(1)求a1的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有11＋12＋…＋1n<3.解析(1)∵a1，a2＋5，a3成等差数列，∴2(a2＋5)＝a1＋a3.又∵2a1＝2S1＝a2－22＋1,2(a1＋a2)＝2S2＝a3－23＋1，∴a2＝2a1＋3，a3＝6a1＋13.因此4a1＋16＝7a1＋13，从而a1＝1.(2)由题设条件知，n≥2时，2S n－1＝a n－2n＋1，2S n＝a n＋1－2n＋1＋1.∴2a n＝a n＋1－a n－2n，于是a n＋1＝3a n＋2n(n≥2)．而由(1)知，a2＝2a1＋3＝5＝3a1＋2，因此对一切正整数n，有a n＋1＝3a n＋2n.所以a n＋1＋2n＋1＝3(a n＋2n)．又∵a1＋21＝3，∴{a n＋2n}是以3为首项，3为公比的等比数列．故a n＋2n＝3n，即a n＝3n－2n.(3)∵a n＝3n－2n＝3·3n－1－2n＝3n－1＋2(3n－1－2n－1)≥3n－1，∴1 a n≤13n－1.∴1 a1＋1a2＋…＋1a n≤1＋13＋132＋…＋13n－1＝1－13n1－13<32.19．(2012·湖北)已知等差数列{a n}前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n}的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．解析(1)设等差数列{a n}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d.由题意得îïíïì3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8.解得 îïíïìa 1＝2，d ＝－3或îïíïìa 1＝－4，d ＝3. 所以由等差数列的通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝îïíïì－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋(n －2)[2＋(3n －7)]2＝32n 2112n ＋10.当n ＝2时，满足此式．综上，S n ＝îíì4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n >1.20．(2012·江西)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝kc n －k (其中c ，k 为常数)，且a 2＝4，a 6＝8a 3.(1)求a n ；(2)求数列{na n }的前n 项和T n . 解析 (1)由S n ＝kc n －k ，得a n ＝S n －S n －1＝kc n －kc n －1(n ≥2)．由a 2＝4，a 6＝8a 3，得kc (c －1)＝4，kc 5(c －1)＝8kc 2(c －1)．解得îïíïìc ＝2，k ＝2，所以a 1＝S 1＝2，a n ＝kc n －kc n －1＝2n (n ≥2)，于是a n ＝2n . (2)T n ＝åi ＝1n ia i ＝åi ＝1ni ·2i ，即T n ＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ， T n ＝2T n －T n ＝－2－22－23－24－…－2n ＋n ·2n ＋1＝－2n ＋1＋2＋n ·2n ＋1＝(n －1)2n ＋1＋2.。

专题21 数列解答题丨十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编(解析版)(共84页)

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！1十年（2014－2023）高考真题分项汇编—数列解答题目录题型一：数列的概念和通项公式...............................................................1题型二：等差数列的定义与性质...............................................................9题型三：等比数列的定义与性质.............................................................12题型四：数列的求和..................................................................................13题型五：数列中的新定义问题.................................................................15题型六：数列中的证明问题.....................................................................45题型七：数列与其他知识的交汇.............................................................62题型八：数列的综合应用. (81)题型一：数列的概念和通项公式1．(2021年新高考Ⅰ卷·第17题)已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n +⎧+=⎨+⎩为奇数为偶数(1)记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；(2)求{}n a 的前20项和．【答案】122,5b b ==；300．解析:(1)由题设可得121243212,1215b a a b a a a ==+===+=++=又22211k k a a ++=+，2122k k a a +=+，故2223k k a a +=+即13n n b b +=+即13n n b b +-=所以{}n b 为等差数列，故()21331n b n n =+-⨯=-．(2)设{}n a 的前20项和为20S ，则2012320S a a a a =++++ ，因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=- ，所以()20241820210S a a a a =++++- ()1291091021021023103002b b b b ⨯⎛⎫=++++-=⨯⨯+⨯-= ⎪⎝⎭．2．(2014高考数学湖南理科·第20题)已知数列{}n a 满足*+∈=-=N n p a a a nn n ,,111，(Ⅰ)若{}n a 是递增数列，且3213,2,a a a 成等差数列，求p 的值；(Ⅱ)若21=p ，且{}12-n a 是递增数列，{}n a 2是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．【答案】(1)13p =(2)141(1)332nn n a --=+⋅解析：(I)因为{}n a 是递增数列，所以11nn n n n a a a a p ++-=-=。

2014全国各地高考真题 ——数列专题及答案解析

2014全国各地高考数列真题山东：(19) （本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，已知公差为2，2a 是1a 与4a 的等比中项. （Ｉ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设(1)2n n n b a +=，记1234(1)n n n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .（19）解：（I ）由题意知2111()(3)a d a a d +=+，即2111(2)(6)a a a +=+，解得12a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =. （II ）由题意知(1)2(1)n n n b a n n +==+.所以122334(1)(1)n n T n n =-⨯+⨯-⨯++-⨯+. 因为12(1)n n b b n +-=+. 可得，当n 为偶数时，12341()()()n n n T b b b b b b -=-++-+++-+48122n =++++(42)22nn += (2)2n n +=当n 为奇数时，1()n n n T T b -=+-(1)(1)(1)2n n n n -+=-+2(1)2n +=-所以2(1),2(2)2n n n T n n n ⎧+-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数，为偶数. 上海：23.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1113,*,13n n n a a a n N a +≤≤∈=. （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是等比数列，且11000m a =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比；（3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围.23.解：（1）由题得，263[3,6]933x x x x ⎧≤≤⎪⎪⇒∈⎨⎪≤≤⎪⎩ （文科）（2）∵1133n n n a a a +≤≤，且数列{}n a 是等比数列，11a =，∴11133n n n q q q --≤≤，∴111()03(3)0n n q q q q --⎧-≥⎪⎨⎪-≤⎩，∴1[,3]3q ∈。

2014高考数学(理)二轮专题升级训练：解答题专项训练数列(含答案解析)

专题升级训练解答题专项训练(数列)1。

设数列｛a n}的前n项和S n满足2S n=a n+1—2n+1+1，n∈N*,且a1，a2+5,a3成等差数列。

（1）求a1的值;（2)求数列｛a n｝的通项公式。

2。

已知各项都不相等的等差数列｛a n｝的前6项和为60，且a6为a1和a21的等比中项。

(1）求数列{a n｝的通项公式；(2）若数列{b n}满足b n+1-b n=a n(n∈N*)，且b1=3，求数列的前n 项和T n。

3。

已知数列{a n}是公差为正的等差数列，其前n项和为S n，点(n，S n）在抛物线y=x2+x上；各项都为正数的等比数列｛b n}满足b1b3=,b5=。

(1)求数列｛a n}，{b n}的通项公式;(2)记C n=a n b n，求数列{C n}的前n项和T n。

4.已知S n是等比数列{a n｝的前n项和，S4，S10，S7成等差数列. (1）求证：a3,a9,a6成等差数列；(2)若a1=1,求数列｛｝的前n项的积。

5。

已知数列｛a n}满足：a1=1，a n+1=(1）求a2,a3；（2)设b n=a2n—2,n∈N＊,求证：｛b n｝是等比数列，并求其通项公式;（3)在（2)的条件下，求数列｛a n｝前100项中的所有偶数项的和S.6。

已知数列｛a n｝(n∈N＊)是首项为a,公比为q≠0的等比数列,S n 是数列｛a n}的前n项和，已知12S3,S6,S12-S6成等比数列。

(1）当公比q取何值时，使得a1，2a7,3a4成等差数列;（2)在(1)的条件下，求T n=a1+2a4+3a7+…+na3n-2.7。

已知数列｛a n}的各项排成如图所示的三角形数阵,数阵中每一行的第一个数a1，a2,a4,a7,…构成等差数列｛b n｝，S n是｛b n}的前n 项和，且b1=a1=1，S5=15.(1)若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成仅比为正数的等比数列，且公比相等,已知a9=16，求a50的值；（2）设T n=+…+，求T n.8.设数列｛a n}的各项均为正数.若对任意的n∈N*，存在k∈N*，使得=a n·a n+2k成立,则称数列{a n}为“J K型”数列。

2014高考数学一轮复习单元练习--数列

2014高考数学一轮复习单元练习--数列I 卷一、选择题 1．数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（）A ．对任意*k N ∈，都有10k k a a +> B ．对任意*k N ∈，都有120k k k a a a ++> C ．对任意*k N ∈，都有20k k a a +> D ．对任意*k N ∈，都有240k k k a a a ++>【答案】C 2．)( 13,12,}{876项之和为则该数列的前有中在等差数列=++a a a a n104. 56. 52. 24.D C B A【答案】B3．若Sn 是等差数列{an}的前n 项和，有S8－S3＝10，则S11的值为( ) A ．22 B ．18 C ．12 D ．44 【答案】A4．设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，且20101-=a ，32008201120082011=-S S ，则2a =（）A ．2008-B ．2012-C ． 2008D ．2012【答案】A5．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am ＝a1a2a3a4a5，则m ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 【答案】C 6．已知数列{}n a 中，11=a ，当2≥n 时，121+=-n n a a ，则=n a （）A ．12-nB ．222+-n nC ．12-nD ．121+-n【答案】C7．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 【答案】D8．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( ) A ．①和 B ．⑨和⑩ C ．⑨和 D ．⑩和【答案】D9．已知各项不为0的等差数列{an}，满足2a3－a27＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【答案】D10．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝( )A ．5 2B ．7C ．6D ．4 2 【答案】A11．互不相等的三个正数a 、b 、c 成等差数列，又x 是a 、b 的等比中项，y 是b 、c 的等比中项，那么x2、b2、y2三个数（）A ．成等差数列，非等比数列B ．成等比数列，非等差数列C ．既是等差数列，又是等比数列D ．既不成等差数列，又不成等比数列【答案】A12．已知等差数列｛an ｝中，a2=6，a5=15，若nn a b 2 ，则数列｛bn ｝的前5项和等于（）A ．30B ． 45C ．90D ．186【答案】CII 卷二、填空题13．已知数列{an}的前n 项和Sn 满足log2(Sn ＋1)＝n ＋1，则数列{an}的通项公式是________．【答案】an ＝⎩⎪⎨⎪⎧3， n ＝12n ， n ≥214．若1＋3＋5＋…＋(2x －1)11·2＋12·3＋…＋1x(x ＋1)＝110 (x ∈N*)，则x ＝________.【答案】1015．已知数列{an}满足a1＝1，11＋an ＋1＝11＋an ＋1，则a10＝________.【答案】－171916．用砖砌墙，第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，……，依次类推，每一层都用去了前一层剩下的一半多一块，如果到第九层恰好砖用完，那么第九层用了________块砖，一共用了________块砖．【答案】2，1022三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和11()22n n n S a -=--+（n 为正整数）.(1）令2n n nb a =，求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2）令1n n n c a n +=，12........nn T c c c=+++试比较n T 与3的大小，并予以证明。

2014高考考点突破之概率解答题专练

2014高考考点突破之概率解答题专练1、某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制成如图1的频率分布直方图．样本数据分组为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100．若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[]80,100范围内的数据16个，则其中分数在[]90,100范围内的样本数据有（）A ．5个B ．6个C ．8个D ．10个【答案：B 】2、有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是（）A ．16 B ．13 C ．12 D ．38【答案：C 】3、如图3，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2y x =图象下方的点构成的区域．在D 内随机取一点，则该点落在E 中的概率为．【答案：12】 4、空气质量指数PM2.5 (单位:3/m μg )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：从甲城市2013年9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图5所示．（1）试估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数；（2）在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X 为空气质量类别为优或良的天数，求X 的分布列及数学期望．解：（1）由茎叶图可知，甲城市在2013年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5天． …………………………1分所以可估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天．…………2分3 2 045 56 47 6 9 78 8 0 79 1 8 0 9 图5图1（2）X 的取值为0，1，2，………………………………………………………………………………3分因为()02510215C C 30C 7P X ===，………………………………………………………………………5分 ()11510215C C 101C 21P X ===，……………………………………………………………………………7分()20510215C C 22C 21P X ===．…………………………………………………………………………9分所以X 的分布列为：所以数学期望3212211730=⨯+⨯+⨯=EX ．…………………………………………………12分5、甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是25，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是625，乙，丙两人同时能被聘用的概率是310，且三人各自能否被聘用相互独立．（1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；（2）设ξ表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值．解：（1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为1A ，2A ，3A ，由已知1A ，2A ，3A 相互独立，且满足()()()()()113232,5611,253.10P A P A P A P A P A ⎧=⎪⎪⎪--=⎡⎤⎡⎤⎨⎣⎦⎣⎦⎪⎪=⎪⎩解得()212P A =，()335P A =．所以乙，丙各自能被聘用的概率分别为12，35．（2）ξ的可能取值为1，3．因为()()()1231233P P A A A P A A A ξ==+()()()()()()123123111P A P A P A P A P A P A =+---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦213312525525=⨯⨯+⨯⨯625=． ……………………10分a 图3重量/克0.0320.02452515O 所以()()113P P ξξ==-=61912525=-=．所以ξ的分布列为所以1963713252525E ξ=⨯+⨯=．6、一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3.（1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++.）（3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.解：(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分解得0.03x =. ……………2分（2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分（或者13355E ξ=⨯=）7、某高校在自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组[75，80)，第二组[80，85)，第三组[85，90)，第四组[90，95)，第五组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第三，四，五组的频率；（2）该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试． ①已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率； ②学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D 的面试，设第四组中有ξ名学生被考官D 面试，求ξ的分布列和数学期望．解：（1）第三组的频率为0.06⨯5=0.3，第四组的频率为0.04⨯5=0.2，第五组的频率为0.02⨯5=0.1.（2）由题意知，在第三、四、五组中分别抽取了3，2，1名学生进入第二轮面试，第三组中共有303.0100=⨯名学生.①设“学生甲和学生乙同时进入第二轮面试”为事件A ，则1145为所求. ②0,1,2ξ=，且()520262402＝＝＝C C C P ξ，()1581261412＝＝＝C C C P ξ，()151226422＝＝＝C C C P ξ.所以ξ的分布列为：数学期望为3215121581520＝＝⨯+⨯+⨯ξE .75 80 85 90 95 100 分数频率0.010.028、右图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图. （1）求直方图中x 的值；（2）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列和数学期望．解：（1）依题意得，0.370.390.10.021x ++++=，解得0.12x =. （2）依题意得，~(3,0.1)X B ，因此33(0)0.90.729P X C ==⨯=， 123(1)0.10.90.243P X C ==⨯⨯=，223(2)0.10.90.027P X C ==⨯⨯=，333(3)0.10.001P X C ==⨯=.所以随机变量X 的分布列为：X 的数学期望为30.10.3EX np ==⨯=.9、生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现（1）试分别估计元件A 、元件B 为正品的概率；（2）生产一件元件A ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B ，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（1）的前提下．①求生产5件元件B 所获得的利润不少于300元的概率；②记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：（1）在分别抽取的100件产品中，为正品的元件A 有80件，元件B 有75件.所以元件A 、B 为正品的频率分别为5410080=，4310075=. 根据频率可估计元件A 、B 为正品的概率分别为45，34.（2）①设生产的5件元件中正品件数为x ，则有次品5x -件，由题意知10020(5)300x x --≥，得310≥x ，即45x =或．设“生产5件元件B 所获得的利润不少于300元”为事件C ，则12881434143)(555445=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=C C C P 为所求． ②随机变量X 的所有取值为150，90，30，－30，则433(150)545P X ==⨯=，133(90)5420P X ==⨯=， 411(30)545P X ==⨯=，111(30)5420P X =-=⨯=．所以XX 的数学期望为EX 150903030108520520=⨯+⨯+⨯-⨯=.10、电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.右图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图.将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否认为“（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望EX 和方差DX .2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有100(0.20.05)25⨯+=人，从而22⨯列假设0H ：“体育迷”与性别没有关系. 将22⨯列联表中的数据代入公式，计算得222()100(30101545)1003.030()()()()4555752533n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯.当0H 成立时，2( 3.841)0.05P K ≥≈.因为3.030 3.841<，所以没有充分理由认为“体育迷”与性别有关．（2）由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.由题意知，1~(3,)4X B . 所以X1344EX np ==⨯=，(1)34416DX np p =-=⨯⨯=.。

高考考点突破：数列专题(含答案)

数列专题达标检测一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＋2a 6＋a 10＝120，则a 3＋a 9等于 ( )A ．30B ．40C ．60D ．802．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4等于 ( )A ．7B ．8C ．15D ．163．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ，则Πn 中最大的是( )A ．Π11B ．Π10C ．Π9D ．Π84．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1D.n ＋1n5．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则这个数列的第10项等于( ) A.1210 B.129 C.110 D.156．数列{a n }中，a 1＝1，a n 、a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，则数列{b n }的前n 项和S n ＝( ) A.12n ＋1 B.1n ＋1 C.n 2n ＋1 D.n n ＋1二、填空题7．数列{a n }的构成法则如下：a 1＝1，如果a n －2为自然数且该自然数之前未出现过，则用递推公式a n ＋1＝a n －2，否则用递推公式a n ＋1＝3a n ，则a 6＝________.8．已知数列{a n }满足a n ＋1a n ＝n ＋2n(n ∈N *)，且a 1＝1，则a n ＝________.9．如图，它满足：(1)第n 行首尾两数均为n ；(2)图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行的第2 个数是________．10．对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和的公式是________．三、解答题11．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列， b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n的值．12．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1＋1n 2a n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(An 2＋Bn ＋C )·2n ，试推断是否存在常数A 、B 、C ，使得对一切n ∈N *，a n ＝b n ＋1－b n 恒成立？若存在，求出A 、B 、C 的值；若不存在，说明理由；(3)求证： i ＝1n a i <(n 2－2n ＋2)·2n ＋2.13．已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m ，n ∈N *都有a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2.(1)求a 3，a 5；(2)设b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列；(3)设c n ＝(a n ＋1－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和S n .数列专题达标检测一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＋2a 6＋a 10＝120，则a 3＋a 9等于( )A ．30B ．40C ．60D ．80解析：由等差数列性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，故a 2＋2a 6＋a 10＝4a 6＝120，故a 6＝30，a 3＋a 9＝2a 6＝2×30＝60.答案：C2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4等于( )A ．7B ．8C ．15D ．16解析：设等比数列的公比为q ，则由4a 1,2a 2，a 3成等差数列．得4a 2＝4a 1＋a 3.∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2.∴q 2－4q ＋4＝0∴q ＝2，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q＝15. 答案：C3．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ，则Πn 中最大的是 ( )A ．Π11B ．Π10C ．Π9D ．Π8解析：Πn ＝a 1a 2…a n ＝a n 1·q 1＋2＋…＋n －1＝29n ⎝⎛⎭⎫－12(n －1)n 2＝(－1)n (n －1)22－n 2＋19n 2，∴当 n ＝9时，Πn 最大．故选C答案：C4．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1D.n ＋1n 解析：∵f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1， ∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ＝x (x ＋1)，∴1f (x )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 答案：A5．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则这个数列的第10项等于( ) A.1210 B.129 C.110 D.15解析：∵1－a n a n －1＝a n a n ＋1－1，∴a n a n －1＋a n a n ＋1＝2，2a n ＝1a n －1＋1a n ＋1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公差为12的等差数列， ∴1a n ＝12n ，∴a 10＝15，故选D. 答案：D6．数列{a n }中，a 1＝1，a n 、a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，则数列{b n }的前n 项和S n ＝( ) A.12n ＋1 B.1n ＋1 C.n 2n ＋1 D.n n ＋1解析：由题意得a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，又∵a n －n ＝－[a n ＋1－(n ＋1)]，a 1＝1∴a n ＝n ，又a n ·a n ＋1＝1b n ，∴b n ＝1n (n ＋1). ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 答案：D二、填空题7．数列{a n }的构成法则如下：a 1＝1，如果a n －2为自然数且该自然数之前未出现过，则用递推公式a n ＋1＝a n －2，否则用递推公式a n ＋1＝3a n ，则a 6＝________.解析：∵a 1－2＝－1∉N ，∴a 2＝3a 1＝3.∵a 2－2＝1＝a 1，∴a 3＝3a 2＝9，∵a 3－2＝7，∴a 4＝7，∵a 4－2＝5，∴a 5＝5，∵a 5－2＝3＝a 2，∴a 6＝3a 5＝15. 答案：158．已知数列{a n }满足a n ＋1a n ＝n ＋2n(n ∈N *)，且a 1＝1，则a n ＝________. 解析：由已知得a n a n －1＝n ＋1n －1， a n －1a n －2＝n n －2， …a 2a 1＝31，a 1＝1，左右两边分别相乘得a n ＝1·31·42·53·64·…·n －1n －3·n n －2·n ＋1n －1＝n (n ＋1)2. 答案：n (n ＋1)29．如图，它满足：(1)第n 行首尾两数均为n ；(2)图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行的第2个数是________．解析：设第n (n ≥2)行的第2个数构成数列{a n }，则有a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝4，…，a n －a n －1＝n －1，相加得a n －a 2＝2＋3＋…＋(n －1)＝2＋n －12×(n －2)＝(n ＋1)(n －2)2， a n ＝2＋(n ＋1)(n －2)2＝n 2－n ＋22. 答案：n 2－n ＋2210．对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和的公式是________．解析：∵y ＝x n (1－x )，∴y ′＝(x n )′(1－x )＋(1－x )′·x n＝n ·x n －1(1－x )＋(－x n )． f ′(2)＝－n ·2n －1－2n ＝(－n －2)·2n －1. ∵函数在点x ＝2处点的纵坐标为y ＝－2n .∴切线方程为y ＋2n ＝(－n －2)·2n －1(x －2)，与y 轴交点纵坐标为y ＝(n ＋1)·2n ＝a n ∴a n n ＋1＝2n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1成等比数列，首项为2，公比为2， ∴前n 项和为2(1－2n )1－2＝2(2n －1)＝2n ＋1－2. 答案：2n ＋1－2 三、解答题11．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列， b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960. (1)求a n 与b n ；(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n的值．解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 2b 2＝(6＋d )q ＝64S 3b 3＝(9＋3d )q 2＝960，解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2q ＝8 或⎩⎨⎧ d ＝－65q ＝403(舍去)，故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1. (2)由(1)知S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).12．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1＋1n 2a n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(An 2＋Bn ＋C )·2n ，试推断是否存在常数A 、B 、C ，使得对一切n ∈N *，a n ＝b n ＋1－b n 恒成立？若存在，求出A 、B 、C 的值；若不存在，说明理由；(3)求证：∑i ＝1n a i <(n 2－2n ＋2)·2n ＋2.(1)解：由已知得a n ＋1(n ＋1)2＝2·ann 2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 2是公比为2的等比数列，且首项为2，∴a nn 2＝2·2n －1，a n ＝2n ·n 2(2)解：∵b n ＝(An 2＋Bn ＋C)·2n ，∴b n ＋1－b n ＝[A(n ＋1)2＋B(n ＋1)＋C]·2n ＋1－(An 2＋Bn ＋C)·2n＝[An 2＋(4A ＋B)n ＋2A ＋2B ＋C]·2n .若a n ＝b n ＋1－b n 恒成立，则An 2＋(4A ＋B)n ＋2A ＋2B ＋C ＝n 2恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ A ＝14A ＋B ＝02A ＋2B ＋C ＝0，解得A ＝1，B ＝－4，C ＝6，故存在常数A ＝1，B ＝－4，C ＝6满足条件．(3)证明：由(2)得，b n ＝(n 2－4n ＋6)·2n ，∴∑i ＝1n a i ＝(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋(b 4－b 3)＋…＋(b n ＋1－b n )＝b n ＋1－b 1＝[(n ＋1)2－4(n ＋1)＋6]·2n ＋1－6＝(n 2－2n ＋3)·2n ＋1－6<(n 2－2n ＋3)·2n ＋1＝⎝⎛⎭⎫n 22－n ＋32· 2n ＋2＝⎣⎡⎦⎤(n 2－2n ＋2)－⎝⎛⎭⎫n 22－n ＋12·2n ＋2＝⎣⎡⎦⎤(n 2－2n ＋2)－(n －1)22·2n ＋2≤(n 2－2n ＋2)·2n ＋2，∴原不等式成立．13．已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m ，n ∈N *都有a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2.(1)求a 3，a 5；(2)设b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列；(3)设c n ＝(a n ＋1－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和S n .(1)解：由题意，令m ＝2，n ＝1可得a 3＝2a 2－a 1＋2＝6. 再令m ＝3，n ＝1可得a 5＝2a 3－a 1＋8＝20.(2)证明：当n ∈N *时，由已知(以n ＋2代替m )可得a 2n ＋3＋a 2n －1＝2a 2n ＋1＋8.于是[a 2(n ＋1)＋1－a 2(n ＋1)－1]－(a 2n ＋1－a 2n －1)＝8，即b n ＋1－b n ＝8.所以，数列{b n }是公差为8的等差数列．(3)由(1)、(2)的解答可知{b n }是首项b 1＝a 3－a 1＝6，公差为8的等差数列．则b n ＝8n －2，即a 2n ＋1－a 2n －1＝8n －2.另由已知(令m ＝1)可得，a n ＝a 2n －1＋a 12－(n －1)2.那么，a n ＋1－a n ＝a 2n ＋1－a 2n －12－2n ＋1＝8n －22－2n ＋1＝2n . 于是，c n ＝2nq n －1.当q ＝1时，S n ＝2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)．当q ≠1时，S n ＝2·q 0＋4·q 1＋6·q 2＋…＋2n ·q n －1. 两边同乘q 可得qS n ＝2·q 1＋4·q 2＋6·q 3＋…＋2(n －1)·q n －1＋2n ·q n . 上述两式相减即得(1－q )S n ＝2(1＋q 1＋q 2＋…＋q n －1)－2nq n ＝2·1－q n1－q －2nq n＝2·1－(n ＋1)q n ＋nq n ＋11－q ，所以S n ＝2·nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2.综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n (n ＋1) (q ＝1)，2·nq n ＋1－(n ＋1)q n＋1(q －1)2 (q ≠1).。

2014年高考真题解答题专项：数列(文科)

2014年高考真题解答题专项：数列（文科）1．（2014.文.新课标全国一卷）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

（I ）求{}n a 的通项公式；（II 的前n 项和.2．（2014.文.四川）设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（*n N ∈）.（1）证明：数列{}n b 是等比数列；（2）若11a =，学科网函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为，求数列2{}n n a b 的前n 项和n S .3．（2014.文.山东）在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2，记1234(1)n n n T b b b b b =-+-+++- ，求n T .4．（2014.文.江西）已知数列{}n a 的前n 项和 (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：对任意1n >，都有m N *∈，使得1n m a a a ，，成等比数列.5．（2014.文.广东）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足()223n n S n n S -+--()230n n +=，n N *∈.（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有6．（2014.文.福建）在等比数列{}n a 中，253,81a a ==(1)求n a ；(2)设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .7．（2014.文.重庆）（已知{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和.（1）求n a 及n S ；（2）设{}n b 是首项为2的等比数列，公比q 满足()01442=++-S q a q ，求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .8．（2014.文.浙江）已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2336S S ⋅=（1）求d 及n S ；（2）求,m k （*,m k N ∈）的值，使得1265m m m m k a a a a +++++++= .9．（2014.文.湖南）已知数列{}n a 的前n 项和 (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.10．（2014.文.北京）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和.11．（2014.文.安徽）数列{}n a 满足111,(1)(1),n n a na n a n n n N ++==+++∈（1 （2，求数列{}n b 的前n 项和n S2014年高考真题解答题专项：数列（文科）参考答案1．（1（2 【解析】试题分析：（1）根据题中所给一元二次方程2560x x -+=，可运用因式分解的方法求出它的两根为2,3，即可得出等差数列中的242,3a a ==，运用等差数列的定义求出公差为d ，即可求出通项公式;（2）由第（1）小题中已求出n 观察此式特征，发现它是一个差比数列，故可采用错位相减的方法进行数列求和，即两边同式相减可得：试题解析：（1）方程2560x x -+=的两根为2,3，由题意得242,3a a ==.考点：1.一元二次方程的解法;2.等差数列的基本量计算;3.数列的求和2．（1）详见解析；（2【解析】试题分析：据题设可得，2n an b =.（1）当1n ≥时，将1,n n b b +相除，可得商为常数，从而证得其为等比数列.（2）首先可求出()2x f x =在22(,)a b 处的切线为2222ln 2()a y b x a -=-，令0y =得此可求出n a n =，2n n b =.所以24n n n a b n =⋅，这个数列用错位相消法可得前n 项和n T .试题解析：（1）由已知，2na nb =0>..当1n ≥时，所以，数列是首项为12a，公比为2d的等比数列.（2）()2x f x =求导得()2ln 2x f x '=，所以()2xf x =在22(,)a b 处的切线为2222ln 2()a y b x a -=-，令0y =得所以211,n d a n =-=∴=，2n n b =.所以24n n n a b n =⋅，其前n 项和：231142434(1)44n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ① 两边乘以4得：23414142434(1)44n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅② ①－②得：，所以【考点定位】等差数列与等比数列及其前前n 项和，导数的几何意义.3．（1）2n an =.（2 【解析】试题分析：（1）由题意知2111()(3)a d a a d +=+，解得12a =，即得所求.（2从而得到122334(1)(1)n n T n n =-⨯+⨯-⨯++-⨯+ .由于12(1)n n b b n +-=+.因此应分n 为偶数、n 为奇数讨论求和具体的，当n 为偶数时，12341()()()n n n T b b b b b b -=-++-+++-+当n 为奇数时，1()n n n T T b -=+-试题解析：（1）由题意知2111()(3)a d a a d +=+，即2111(2)(6)a a a +=+，解得12a =，所以数列{}n a的通项公式为2n a n =. （2所以122334(1)(1)n n T n n =-⨯+⨯-⨯++-⨯+ . 因为12(1)n n b b n +-=+. 可得，当n 为偶数时，12341()()()n n n T b b b b b b -=-++-+++-+当n 为奇数时，1()n n n TT b -=+-考点：等差数列、等比数列，数列的求和，分类讨论思想. 4．（1）32,n a n =-（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）由和项求通项，主要根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解. 因为所以当2n ≥时132,n n n a S S n -=-=-又1n =时，11312,n a S ===⨯-所以32,n a n =-（2）证明存在性问题，实质是确定.m 要使得1n m a a a ，，成等比数列，只需要21n m a a a =，即22(32)1(32),342n m m n n -=⨯-=-+.而此时m N *∈，且,m n >所以对任意1n >，都有m N *∈，使得1n m a a a ，，成等比数列.试题解析：（1所以当2n ≥时132,n n n a S S n -=-=-又1n =时，11312,n a S ===⨯-所以32,n a n =-（2）要使得1n m a a a ，，成等比数列，只需要21n m a a a =，即22(32)1(32),342n m m n n -=⨯-=-+.而此时m N *∈，且,m n >所以对任意1n >，都有m N *∈，使得1n m a a a ，，成等比数列. 考点：由和项求通项，等比数列【答案】（1）12a =；（2）2n a n =；（3）详见解析. 【解析】试题分析：（1）将1n =代入方程()()222330n n S n n S n n -+--+=得到21160S S +-=，结合题中条件（数列{}n a 的各项均为正数，得到0n S >）求出1S 的值，从而得到1a 的值；（2）由十字相乘法结合0n S >得到n S 的表达式，然后在2n ≥的情况下，由1n n n a S S -=-求出数列{}n a 的表达式，并验证12a =是否满足该表达式，从而得到数列{}n a 的通项公式；（3，于是得到不放缩，在2n ≥的条件下放缩为，最后在1n =和2n ≥时利用放缩法结合裂项法证明相应的不等式.（1）令1n =得：()2111320S S ---⨯=，即21160S S +-=，()()11320S S ∴+-=，10S > ，12S ∴=，即12a =；（2）由()()22233n n S n n S n n -+--+，得()()230n n S S n n ⎡⎤+-+=⎣⎦，()0n a n N *>∈ ，0n S ∴>，从而30n S +>，2n S n n ∴=+，所以当2n ≥时，()()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦，又1221a ==⨯，()2n a n n N *∴=∈；（3）解法一：当k N *∈时，证法二：当1n =时，当2n ≥时，考点：本题以二次方程的形式以及n S 与n a 的关系考查数列通项的求解，以及利用放缩法证明数列不等式的综合问题，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于中等偏难题. 6．(1) 13n n a -=.（2【解析】试题分析：(1)设{}n a 的公比为q ，依题意得方程组141381a q a q =⎧⎨=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，即可写出通项公式.（2）因为3log 1n n b a n ==-，利用等差数列的求和公式即得. 试题解析：(1)设{}n a 的公比为q ，依题意得141381a q a q =⎧⎨=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，因此，13n n a -=.（2）因为3log 1n n b a n ==-，所以数列{}n b 的前n考点：等比数列、等差数列.7．（1）221,n n a n S n =-=；（2【解析】试题分析：（1）已知等差数列的首项和公差，可直接利有公式.（2）利用（1）的结果求出44,a S ，解方程()01442=++-S q a q 得出等比数{}n b 列的公比q 的值，从而可直接由公式求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .解：（1）因为{}n a 是首项11a =，公差2d =的等差数列，所以()1121n a a n d n =+-=-（2）由（1）得，447,16.a S ==因为()01442=++-S q a q ，即28160q q -+= 所以()240q -=，从而4q =.又因12b =，是{}n b 公比4q =的等比数列，所以11211242n n n n b b q ---==⋅= 从而{}n b 的前n 项和考点：1、等差数列的通项公式与前n 项和公式；2、等比数列的通项公式与前n 项和公式8．（1）2=d ，2n S n =（*∈N n ）；（2）5=m ，4=k .【解析】试题分析：（1）根据2336S S ⋅=求出d ，再由0d >，求出数列}{n a 的通项公式n a ，用等差数列的求和公式求n S ；（2）由（1）的结论，把1265m m m m k a a a a +++++++= 表示为m 与k 的等式，由条件*∈N ,k m 得出⎩⎨⎧=+=-+511312k k m ，解方程组求得结论.（1）由题意，36)33)(2(11=++d a d a ，将11=a 代入上式得2=d 或5-=d ，因为0>d ，所以2=d ，从而12-=n a n ，2n S n =（*∈N n ）.（2）由（1）知，)1)(12(1+-+=+⋅⋅⋅++++k k m a a a k n n n ，所以65)1)(12(=+-+k k m ，由*∈N ,k m 知，1)1)(12(>+-+k k m ，所以⎩⎨⎧=+=-+511312k k m ，所以⎩⎨⎧==45k m .考点：数列的概念，通项公式，求和公式. 9．(1) n a n = (2) 21222n n T n +=+- 【解析】试题分析:(1)题目已知,n n a S 之间的关系,令1n =,利用11a S =,即可求的1a 的值,令2n ≥,利用n a 与前n 项和之间的关系1n n n a S S -=-即可得到n a ,令1n =检验首项即可得到n a 的通项公式.(2)把(1)得到的通项公式代入n b 可以得到n b 是由等比数列2n,数列()1nn - 之和,才用分组求和法,首先利用等比数列前n 项和公式求的等比数列2n的前n 项和,再利用()1234562121n n -+=-+=-+==--+= 对数列()1nn - 进行分组()()()()()123456212n n -++-++-+++--+ 即可求的数列n b 的前n 项和(1)当1n =时,111a S ==;当2n ≥时检验首项11a =符合n a n =,所以数列{}n a 的通项公式为n a n =.(2)由(1)可得()21nnn b n =+- ,记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ,则()()123222222123452nn T n =+++++-+-+-++21222n n T n +⇒=+-故数列{}n b 的前2n 项和为21222n n T n +=+- 考点：数列前n 项和等差数列等比数列分组求和法10．（1）3(1,2,)n a n n ==L ，132(1,2,)n n b n n -=+=L ；（2【解析】试题分析：（1）由已知{}n a 是等差数列，13a =，412a =，可求出{}n a 的通项公式；由{}n n b a -是等比数列，结合{}n a 的通项公式，可求出{}n b 的通项公式；（2）由（1）知，132(1,2,)n n b n n -=+=L ，从而可利用分组求和法，求出数列{}n b 的前n 项和. （1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得：所以1(1)3(1,2,)n a a n d n n =+-==L ，设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得：，解得2q =.所以1111()2n n n n b a b a q ---=-=，从而132(1,2,)n n b n n -=+=L . (2)由（1）知，132(1,2,)n n b n n -=+=L ，数列{}3n 的前n ，数列{}12n-的前n 所以数列{}n b 的前n 考点：本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，考查同学们的运算求解能力，考查分析问题与解决问题的能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想．数列是高考的热点问题之一，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.11．（1（2【解析】试题分析：（1）证明：在原等式两边同除以(1)n n +，为首项，1为公差的等差数列.（2）由（1）所以2na n =，从而3n nb n =⋅.（1项，1为公差的等差数列.（2）由（1，所以2n a n =，从而3n n b n =⋅.1231323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅ ① 234131323333n n S n +=⋅+⋅+⋅++⋅ ②①－②得考点：1.等差数列的证明；2.错位相减法求和.。

冲击高分系列】2014年高考数学(文)难题专项训练：数列

【冲击高分系列】2014年高考数学（文）难题专项训练：数列1.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，10,5分）若数列满足，则当取最小值时的值为()A. 或B.C.D. 或2.(2013年湖北七市高三4月联考，9,5分) 如右图，一单位正方体形积木，平放于桌面上，并且在其上方放置若干个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底面的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，如果所有正方体暴露在外面部分的面积之和超过8.8，则正方体的个数至少是()A. 6B. 7C. 8D. 103.(2013年北京海淀区高三第二次模拟，8,5分) 若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为. 已知¥数列满足，则下列结论中错误的是（）A. 若，则可以取3个不同的值B. 若，则数列是周期为的数列C. 且，存在，是周期为的数列D. 且，数列是周期数列4.（2013湖北黄冈市高三三月质量检测，9,5分）等差数列前项和为，已知则(）A. B.C. D.5. (2012浙江绍兴一中高三十月月考,7，3分)已知定义在R上的函数f(x),g(x)满足，且，，若有穷数列（）的前n项和等于，则n等于()A．4B．5C．6D．76. (2012北京东城区高三模拟，8,5分)定义：已知数列则的值为()7.(2012河南省毕业班模拟，11,5分)已知F 1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F1PF2＝90°，且△F1PF2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是()A．2B．3C．4D．58.(2009江西, 8, 5分) 数列{a n}的通项a n=n2·, 其前n项和为S n, 则S30为()A. 470B. 490C. 495D. 5109.(2013年河南十所名校高三第二次联考，16,5分) 设数列是等差数列，数列是等比数列，记数列{}，{}的前n项和分别为，. 若a5＝b5，a6＝b6，且S7－S5＝4（T6－T4），则＝____________.10.（2013年广东省广州市高三4月综合测试，13，5分）数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列的前项和为，则；. 11. (2012北京海淀区高三11月月考，14,5分)数列中，如果存在，使得“且”成立（其中，），则称为的一个峰值．（Ⅰ）若，则的峰值为；（Ⅱ）若，且不存在峰值，则实数的取值范围是．12. （2012安徽合肥高三第二次检测，14,5分）设函数的最大值和最小值分别为和，且，13.(2012河南高三模拟，16,5分)某数表中的数按一定规律排列,如下表所示,从左至右以及从上到下都是无限的. 此表中,主对角线上数列1,2,5,10,17,…的通项公式a n=.1 1 1 1 1 1 …1 2 3 4 5 6 …1 3 5 7 9 11 …1 4 7 10 13 16 …1 5 9 13 17 21 ……………………14.(2012四川,16,4分)记[x]为不超过实数x的最大整数. 例如,[2]=2,[1. 5]=1,[-0. 3]=-1. 设a为正整数,数列{x n}满足x1=a,x n+1=(n∈N*). 现有下列命题:①当a=5时,数列{x n}的前3项依次为5,3,2;②对数列{x n}都存在正整数k,当n≥k时总有x n=x k;③当n≥1时,x n>-1;④对某个正整数k,若x k+1≥x k,则x k=[].其中的真命题有. (写出所有真命题的编号)15.(2008江苏, 10, 5分) 将全体正整数排成一个三角形数阵:12 345 6789101112131415………………根据以上排列规律, 数阵中第n(n≥3) 行的从左至右的第3个数是.16.(2009湖南, 15, 5分) 将正△ABC分割成n2(n≥2, n∈N*) 个全等的小正三角形(图1, 图2分别给出了n=2, 3的情形) , 在每个三角形的顶点各放置一个数, 使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时) 都分别依次成等差数列. 若顶点A、B、C处的三个数互不相同且和为1, 记所有顶点上的数之和为f(n) , 则有f(2) =2, f(3)=, …, f(n) =.图1图217.(2011湖南, 16, 5分) 对于n∈N*, 将n表示为n=a0×2k+a1×2k-1+a2×2k-2+…+a k-1×21+a k×20, 当i=0时, a i=1, 当1≤i≤k时, a i为0或1. 记I(n) 为上述表示中a i为0的个数(例如:1=1×20,4=1×22+0×21+0×20, 故I(1) =0, I(4) =2) , 则(1) I(12) =;(2) 2I(n) =.18.(2011江苏, 13, 5分) 设1=a1≤a2≤…≤a7, 其中a1, a3, a5, a7成公比为q的等比数列, a2, a4, a6成公差为1的等差数列, 则q的最小值是.19.(2009上海, 12, 4分) 已知函数f(x) =sin x+tan x. 项数为27的等差数列{a n}满足a n∈,且公差d≠0. 若f(a1) +f(a2) +…+f(a27) =0, 则当k=时, f(a k) =0.20.(2007湖南, 15, 5分) 将杨辉三角中的奇数换成1, 偶数换成0, 得到如图所示的0-1三角数表. 从上往下数, 第1次全行的数都为1的是第1行, 第2次全行的数都为1的是第3行, …, 第n次全行的数都为1的是第行;第61行中1的个数是.第1行1 1第2行10 1第3行111 1第4行1000 1第5行11001 1………………………………………21.(2008北京, 14, 5分) 某校数学课外小组在坐标纸上, 为学校的一块空地设计植树方案如下:第k棵树种植在点P k(x k, y k) 处, 其中x1=1, y1=1, 当k≥2时,T(a) 表示非负实数a的整数部分, 例如T(2. 6) =2, T(0. 2) =0. 按此方案, 第6棵树种植点的坐标应为;第2 008棵树种植点的坐标应为.22.(2009湖北, 15, 5分) 已知数列{a n}满足:a1=m(m为正整数) , a n+1=若a6=1, 则m所有可能的取值为.23.(2010湖南, 15, 5分) 若数列{a n}满足:对任意的n∈N*, 只有有限个正整数m使得a m<n成立, 记这样的m的个数为(a n) *, 则得到一个新数列{(a n) *}. 例如, 若数列{a n}是1, 2, 3, …, n, …, 则数列{(a n) *}是0, 1, 2, …, n-1, …. 已知对任意的n∈N*, a n=n2, 则(a5) *=, ((a n) *)*=.24.（2013安徽省皖南八校高三第三次联合考试21,14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=a，S n=ka n+1且常数k满足0< |k|< 1.(I) 求数列{a n}的通项公式；(II) 对于每一个正整数m, 若将数列中的三项a m+1，a m+2，a m+3按从小到大的顺序调整后，均可构成等差数列，且记公差为d m，试求k的值及相应d m的表达式(用含m的式子表示) ；(III) 记数列{d m} (这里d m是(2) 中的d m的前m项和为T m=d1+d2+…+d m. 问是否存在a, 使得T m< 90对恒成立？若存在，求出a的最大值; 若不存在，请说明理由.25.（2013年安徽省皖南八校高三第三次联考，20,13分）已知椭圆为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，且构成等差数列，点到直线的距离为3。

数列解答题专练(含答案版)

数列高考真题汇编1．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n -14n a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2， S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，(3分)由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1. 所以a n ＝2n －1.(5分)(2)b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n(2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1.(6分)当n 为偶数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1.(10分)2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知，a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.3．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析 (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1.(4分) 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(5分)(2)解：由(1)得a nn ＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2. 从而b n ＝n ·3n .(7分)S n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，① 3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1.② ①—②，得－2S n ＝31＋32＋ (3)－n ·3n＋1＝3·(1－3n )1－3－n ·3n ＋1＝(1－2n )·3n ＋1－32.(10分)所以S n ＝(2n －1)·3n ＋1＋34.(12分)4．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1＝2，S n ＋1＝3S n ＋n 2＋2(n ∈N *)，设b n ＝a n ＋n .(1)证明：数列{b n }是等比数列；(2)若c n ＝n b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：T n <45.解析 (1)证明：因为a 1＝2，S n ＋1＝3S n ＋n 2＋2，所以当n ＝1时，a 1＋a 2＝3a 1＋12＋2，解得a 2＝7.(2分)由S n ＋1＝3S n ＋n 2＋2及S n ＝3S n －1＋(n －1)2＋2(n ≥2)，两式相减，得 a n ＋1＝3a n ＋2n －1.故a n ＋1＋n ＋1＝3(a n ＋n )．即b n ＋1＝3b n (n ≥2)．(4分)又b 1＝3，b 2＝9，所以当n ＝1时上式也成立．故数列{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列．(5分) (2)由(1)知b n ＝3n，所以c n ＝n3n .所以T n ＝13＋232＋333＋…＋n －13n －1＋n 3n ， ①3T n ＝1＋23＋332＋…＋n －13n －2＋n3n －1. ②(7分)②－①，得2T n ＝1＋13＋132＋…＋13n －1－n 3n ＝32－3＋2n2·3n . 所以T n ＝34－3＋2n4·3n .(10分) 因为n ∈N *，显然有3＋2n4·3n >0. 又34<45，所以T n <45.(12分)5．已知首项为12的等比数列{a n }是递减数列，其前n 项和为S n ，且S 1＋a 1，S 2＋a 2，S 3＋a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ·log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为T n .解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由题知a 1＝12，又∵S 1＋a 1，S 2＋a 2，S 3＋a 3成等差数列， ∴2(S 2＋a 2)＝S 1＋a 1＋S 3＋a 3.∴S 2－S 1＋2a 2＝a 1＋S 3－S 2＋a 3，即3a 2＝a 1＋2a 3. ∴32q ＝12＋q 2，解得q ＝1或q ＝12.(4分) 又{a n }为递减数列，于是q ＝12. ∴a n ＝a 1q n -1＝(12)n .(6分) (2)∵b n ＝a n log 2a n ＝－n (12)n ，∴T n ＝－[1×12＋2×(12)2＋…＋(n －1)(12)n －1＋n ×(12)n ]．于是12T n ＝－[1×(12)2＋…＋(n －1)(12)n ＋n ×(12)n ＋1]．(8分)两式相减，得12T n ＝－[12＋(12)2＋…＋(12)n －n ×(12)n ＋1]＝－12×[1－(12)n ]1－12＋n ×(12)n ＋1.∴T n ＝(n ＋2)(12)n－2，6．已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a nb n，求数列{c n }的通项公式；(2)若b n ＝3n -1，求数列{a n }的前n 项和S n .解析 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a n b n＝2，即c n ＋1－c n ＝2.(4分)所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1，知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1. 于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n －1)·3n －1， 3S n ＝1·31＋3·32＋…＋(2n －3)·3n －1＋(2n －1)·3n ，相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n ＝－2－(2n －2)3n .所以S n ＝(n －1)3n ＋1.7．已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根． (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和．解析 (1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2,3，由题意得a 2＝2，a 4＝3 设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而a 1＝32. 所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2. 两式相减，得12S n ＝34＋(123＋…＋12n ＋1)－n ＋22n ＋2＝34＋14(1－12n －1)－n ＋22n ＋2. 所以S n ＝2－n ＋42n ＋1.8．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1·a 2＝2，a 3·a 4＝32. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b 11＋b 23＋b 35＋…＋b n 2n －1＝a n ＋1－1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和．解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由已知得⎩⎨⎧a 21q ＝2，a 21q 5＝32.又∵a 1>0，q >0，∴⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2.∴a n ＝2n －1.(2)由题意，可得b 11＋b 23＋b 35＋…＋b n2n －1＝2n －1.∴2n －1－1＋b n 2n －1＝2n －1(n ≥2)，b n2n －1＝2n －1.∴b n ＝(2n －1)2n －1(n ≥2)．当n ＝1时，b 1＝1，符合上式， ∴b n ＝(2n －1)·2n －1(n ∈N *)．设T n ＝1＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)·2n －1，2T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ，两式相减，得－T n ＝1＋2(2＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n ＝－(2n －3)·2n －3. ∴T n ＝(2n －3)2n ＋3.9．已知数列{a n }是a 3＝164，公比q ＝14的等比数列．设b n ＋2＝3log 14a n (n ∈N *)，数列{c n }满足c n ＝a n b n .(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{c n }的前n 项和S n .解析 (1)证明：由已知，可得a n ＝a 3q n －3＝(14)n . 则b n ＋2＝3log 14(14)n ＝3n ，∴b n ＝3n －2. ∵b n ＋1－b n ＝3，∴{b n }为等差数列． (2)由(1)知c n ＝a n b n ＝(3n －2)(14)n ，∴S n ＝1×14＋4×(14)2＋7×(14)3＋…＋(3n －2)×(14)n ， ①14S n ＝1×(14)2＋4×(14)3＋7×(14)4＋…＋(3n －5)×(14)n ＋(3n －2)×(14)n ＋1. ② ①－②，得34S n ＝14＋3[(14)2＋(14)3＋(14)4＋…＋(14)n ]－(3n －2)·(14)n ＋1 ＝14＋3·(14)2[1－(14)n －1]1－14－(3n －2)·(14)n ＋1 ＝12－(3n ＋2)·(14)n ＋1.∴S n ＝23－3n ＋23·(14)n.健康文档放心下载放心阅读。

2014高考考点突破之解析几何解答题专练

证法2：依题意，直线的斜率存在．
设直线的方程为，
由
消去得．
因为直线与双曲线的右支交于不同两点，，
则有
设点，由，得．
整理得．1
将②③代入上式得．
整理得．④
因为点在直线上，所以．⑤
联立④⑤消去得．
所以点恒在定直线上．
（本题（3）只要求证明点恒在定直线上，无需求出或的范围．）
（1）求实数的值；
（ 2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；
（3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同两点，，在线段上取
异于点，的点，满足，证明点恒在一条定直线上．
解：（1）解：设双曲线的半焦距为，
由题意可得解得．
（2）证明：由（1）可知，直线，点．设点 , ，
故直线的方程为 .……………4分
令，得，
∴点的坐标为 .……………5分
同理可得点的坐标为 .……………6分
∴
.……………7分
∴ .……………8分
设线段的中点坐标为，
则
.……………9分
∴以线段为直径的圆的方程为 .
……………10分
展开得 .……………11分
令，得，解得或 .……………12分
故点的轨迹是以点为焦点, 为准线的抛物线.……………1分
∴曲线的方程为 .……………2分
解法2：设点的坐标为 ,依题意,得 ,
即 ,……………1分
化简得 .
∴曲线的方程为 .……………2分
(2)解法1:设点的坐标分别为，依题意得， .
由消去得，
解得 .

2014高考数学理(真题讲练规律总结名师押题)热点专题突破：第十讲数列求和及数列的综合应用

第十讲数列求和及数列的综合应用与不等式的综合应用与实际生活问题的综合应用1．(等差数列的前n 项和)(2013·上海高考)若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和S n ＝________.【解析】设S n ＝An 2＋Bn ，则有⎩⎪⎨⎪⎧36A ＋6B ＝23，81A ＋9B ＝57，解得⎩⎨⎧A ＝56，B ＝－76，故S n ＝56n 2－76n .【答案】 56n 2－76n2．(裂项求和)数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n ＝________.【解析】由a n ＝n ＋1－n (n ＋n ＋1)(n ＋1－n )＝n ＋1－n ，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝10，即n ＋1－1＝10，即n ＋1＝11，解得n ＋1＝121，n ＝120.【答案】 1203．(错位相减法求和)化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n－1的结果是________．【解析】 S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1， 2S n ＝2n ＋(n －1)×22＋(n －2)×23＋…＋2×2n －1＋2n ，两式作差S n ＝2n ＋2n －1＋2n －2＋…＋2－n ＝2n ＋1－2－n . 【答案】 2n ＋1－2－n4．(数列的通项公式)如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为3的等比数列，则a n ＝________.【解析】 a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1－3n 1－3＝3n －12.【答案】 3n －125．(数列的实际应用)(2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．【解析】每天植树的棵树构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.由2n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102.由于26＝64,27＝128，则n ＋1≥7，即n ≥6.【答案】 6【命题要点】 ①求和式的值；②已知和式的值，求项数.(2013·潍坊模拟)已知数列{a n }的各项排成如图3－2－1所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成等差数列{b n }，S n 是{b n }的前n 项和，且b 1＝a 1＝1，S 5＝15.图3－2－1(1)若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知a 9＝16，求a 50的值．(2)设T n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n ，当m ∈[－1,1]时，对任意n ∈N *，不等式t 2－2mt －83＞T n 恒成立，求t 的取值范围．【思路点拨】 (1)先求b n 及公比q ，再确定a 50在数阵中的位置，再根据等比数列求a 50. (2)先用裂项法求T n ，再利用导数求T n 的最大值，最后把问题转化为关于m 的函数求解．【自主解答】 (1)因为{b n }为等差数列，设公差为d ，b 1＝1，S 5＝15，所以S 5＝5＋10d ＝15，d ＝1，所以b n ＝1＋(n －1)×1＝n .设从第3行起，每行的公比是q ，且q ＞0，a 9＝b 4q 2,4q 2＝16，q ＝2， 1＋2＋3＋…＋9＝45，故a 50是数阵中第10行第5个数，则a 50＝b 10q 4＝10×24＝160.(2)因为S n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，所以T n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝2(n ＋1)(n ＋2)＋2(n ＋2)(n ＋3)＋…＋22n (2n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－12n ＋1＝2n (n ＋1)(2n ＋1). 令f (x )＝2x(x ＋1)(2x ＋1)(x ≥1)，f ′(x )＝2－4x 2(x ＋1)2(2x ＋1)2，当x ≥1时，f ′(x )＜0，f (x )在[1，＋∞)上为减函数，所以T n 为递减数列，T n 的最大值为T 1＝13.所以不等式变为t 2－2mt －3＞0恒成立，设g (m )＝－2tm ＋t 2－3，m ∈[－1,1]，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)＞0，g (1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋t 2－3＞0，－2t ＋t 2－3＞0，解得t ＞3或t ＜－3.即t 的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．1．裂项相消法求和主要应用在数列通项公式为分式结构时，其关键在于裂项后系数的确定．2．裂项求和的几种常见类型：(1)1n (n ＋k )＝1k (1n －1n ＋k )； (2)1n ＋k ＋n ＝1k(n ＋k －n )；(3)1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)； (4)若{a n }是公差为d 的等差数列，则1a n a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)．变式训练1 等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{1b n }的前n 项和．【解】 (1)设数列{a n }的公比为q . 由a 23＝9a 2a 6，得a 23＝9a 24，所以q 2＝19. 由条件可知q >0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.故1b n ＝－2n (n ＋1)＝－2(1n －1n ＋1)，1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝－2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝－2nn ＋1.所以数列{1b n}的前n 项和为－2nn ＋1.【命题要点】 ①求和式的值；②证明等式成立.(2013·山东高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n ＝λ(λ为常数)，令c n ＝b 2n (n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和R n .【思路点拨】 (1)利用等差数列的通项公式，前n 项和公式，建立方程组求解．(2)由已知求T n ，进而求b n ，c n ，用错位相减法求{c n }的前n 项和．【自主解答】 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋(2n －1)d ＝2a 1＋2(n －1)d ＋1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.因此a n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由题意知T n ＝λ－n2n －1，所以当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝－n2n －1＋n －12n －2＝n －22n －1.故c n ＝b 2n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝⎛⎭⎫14n －1，n ∈N *. 所以R n ＝0×⎝⎛⎭⎫140＋1×⎝⎛⎭⎫141＋2×⎝⎛⎭⎫142＋3×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n －1，则14R n ＝0×⎝⎛⎭⎫141＋1×⎝⎛⎭⎫142＋2×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n . 两式相减得34R n ＝⎝⎛⎭⎫141＋⎝⎛⎭⎫142＋⎝⎛⎭⎫143＋⎝⎛⎭⎫144＋…＋⎝⎛⎭⎫14n －1－(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ＝14－⎝⎛⎭⎫14n1－14－(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ＝13－1＋3n 3⎝⎛⎭⎫14n ，整理得R n ＝19⎝⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.所以数列{c n }的前n 项和R n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.1．错位相减只是实现求和的途径，其本质是相减后利用等比数列求和公式求和．在构造方程时，S n 的左右两边同乘以等比数列的公比．2．错位相减法的难点在于运算，为力求运算准确，要注意两式相减时幂指数相同的项要对齐，同时注意剩余的项．3．当{a n }为等差数列，{b n }为等比数列时，求数列{a n b n }的前n 项和，可用错位相减法．变式训练2 (2013·济南模拟)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1－3a n ＝3n (n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝a n3n .(1)证明数列{b n }是等差数列并求数列{b n }的通项公式． (2)求数列{a n }的前n 项和S n .【解】 (1)由b n ＝a n3n ，得b n ＋1＝a n ＋13n ＋1，所以b n ＋1－b n ＝a n ＋13n ＋1－a n 3n ＝13，所以数列{b n }是等差数列，首项b 1＝1，公差为13，所以b n ＝1＋13(n －1)＝n ＋23(n ∈N *)．(2)a n ＝3n b n ＝(n ＋2)×3n －1，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝3×1＋4×3＋…＋(n ＋2)×3n －1，① 所以3S n ＝3×3＋4×32＋…＋(n ＋2)×3n .② ①－②得－2S n ＝3×1＋3＋32＋…＋3n －1－(n ＋2)×3n ＝2＋1＋3＋32＋…＋3n －1－(n ＋2)×3n ＝3n ＋32－(n ＋2)×3n ，所以S n ＝－3n ＋34＋(n ＋2)3n2.【命题要点】 ①证明不等式；②比较大小；③数列的单调性.(2013·宁波模拟)设公比大于零的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 4＝5S 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，满足b 1＝1，T n ＝n 2b n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设c n ＝(S n ＋1)(nb n －λ)，若数列c n 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．【思路点拨】 (1)求a n 时，先求公比q ；求b n 时，先根据前n 项和求b n 与b n －1的关系，再用累乘法求b n .(2)把数列{c n }是单调递减数列转化为c n ＋1－c n ＜0恒成立问题，再分离λ，转化为求最值问题．【自主解答】 (1)由S 4＝5S 2，a 1＝1得1－q 41－q ＝5(1－q 2)1－q，又q ＞0，所以q ＝2，a n ＝2n－1.由⎩⎪⎨⎪⎧T n ＝n 2b n ，T n －1＝(n －1)2b n －1，得b n b n －1＝n －1n ＋1(n ＞1)，又b 1＝1.则b n b n －1·b n －1b n －2·b n －2b n －3·…·b 2b 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13＝2n (n ＋1).所以n ＞1时，b n ＝2n (n ＋1)，当n ＝1时，b 1＝1也满足，故b n ＝2n (n ＋1)(n ∈N *)．(2)S n ＝2n－1，所以c n ＝2n⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1－λ，若数列{c n }是单调递减数列，则c n ＋1－c n ＝2n⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋2－2n ＋1－λ＜0对n ∈N *都成立，即4n ＋2－2n ＋1－λ＜0⇒λ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋2－2n ＋1max ， 4n ＋2－2n ＋1＝2n (n ＋1)(n ＋2)＝2n ＋3＋2n ，当n ＝1或2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋2－2n ＋1max ＝13，所以λ＞13. 即系数λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，＋∞1．本例(1)中求数列{b n }的通项公式时利用累乘法，但需注意验证n ＝1时，b 1是否满足通项公式．2．数列与不等式的综合应用问题主要涉及两种题型： (1)比较大小，常采用作差比较法和放缩法；(2)证明不等式及不等式的应用，常采用比较法、分析综合法、基本不等式法、放缩法、最值法、反证法等．变式训练3 (2013·潍坊模拟)各项均为正数的数列{a n }中，前n 项和S n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋122.(1)求数列{a n }的通项公式． (2)若1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＜k 恒成立，求k 的取值范围．【解】 (1)因为S n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋122，所以S n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫a n －1＋122，n ≥2，两式相减得a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋122，n ≥2，整理得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0，因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n －a n －1＝2，n ≥2，所以{a n }是公差为2的等差数列．又S 1＝⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋122，得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)由题意得k ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1max ，因为1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＜12，所以k ≥12. 即k 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞.数列求和是历年高考必考内容之一，同时数列与不等式，数列与函数、方程的综合应用也是课标区高考的热点，这类题目往往涉及面较广，运算比较复杂，方法比较灵活，较好地考查了学生分析问题、解决问题的能力，其中利用函数的思想求数列的最大项与最小项问题应引起高度重视．利用单调性求数列问题的最值(12分)已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．【规范解答】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.3分又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12，故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .6分(2)由(1)得S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1＜S n ≤S 1＝32，故第 11 页共 12 页0＜S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56；9分当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n ＜1，故0＞S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.11分所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.12分【阅卷心语】易错提示 (1)不会处理S n 中的(－1)n ，导致思维受阻，无法求解． (2)不能根据S n 的范围，求S n －1S n的范围，解答失误或无法求解．防范措施 (1)当a n 或S n 中含有(－1)n 时，n 的奇偶性影响结果，故应分类讨论． (2)把S n 看作自变量，则S n －1S n 是增函数(或减函数)，故可根据S n 的范围，求S n －1S n的范围．1．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15【解析】由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1，即log 3a n ＋1a n＝1，解得a n ＋1a n ＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列．因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－log 335＝－5.【答案】 B2．在如图3－2－2的表格中，每格填上一个数字后，使得每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为________．。

2014年高考专题讲解(考点梳理+专项突破+练习)：第8讲_数列求通项、求和

第8讲数列求通项、求和【考情分析】1．考查由数列的递推关系式求数列的通项公式，已知S n 与a n 的关系求a n 等．2．考查非等差、等比数列求和的几种常见方法．3．通过数列求通项、求和考查学生的观察能力、分析问题与解决问题的能力以及计算能力．【复习指导】1．熟练掌握求解数列通项公式的基本方法，尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法，另外注意累加法、累积法的灵活应用．2．熟练掌握和应用等差、等比数列的前n 项和公式．3．熟练掌握常考的错位相减法，裂项相消以及分组求和这些基本方法，注意计算的准确性和方法选择的灵活性．[考点自主梳理]1．S n 与a n 的关系：:已知S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1. 2．由递推关系式求数列的通项公式的三种方法： (1)a n ＋1－a n ＝f (n )型，采用叠加法； (2)a n ＋1a n＝f (n )型，采用叠乘法； (3)a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)型，采用待定系数法转化为等比数列解决． 3．数列求和的常用方法 (1):公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和。

(2)倒序相加法：如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．(4)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(5)分组转化求和法：:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．(6)并项求和法：:一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.[考点专项突破]1.【2012高考全国】已知数列的前项和为，，，,则（A ）（B ）（C ）（D ）2.【2012高考新课标】数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）18303.【2102高考福建】数列{a n }的通项公式，其前n 项和为S n ，则S 2012等于 A.1006 B.2012 C.503 D.04.【山东实验中学2012届高三三次诊断】在数列中，，，则等于（） A.34 B.36 C.38 D.405.【山东省济南市2012届高三12月考】已知数列满足则的最小值为 A ．10 B.11 C.12 D.13 6．【2012高考江西】已知数列{a n }的前n 项和,且S n 的最大值为8. (1)确定常数k,求a n ;(2)求数列的前n 项和T n .[核心考点精解]考点一由a n 与S n 的关系求通项a n【例1】►已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n －1，则它的通项公式为a n ＝________.举一反三已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________．考点二由数列的递推公式求通项【例2】►根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2；(2)a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)；(3)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，且a 1＝2，求a n .举一反三根据下列各个数列{a n }的首项和基本关系式，求其通项公式．(1)a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n －1(n ≥2)； (2)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n .考点三分组转化求和【例3】►(2012·包头模拟)已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列．求： (1)p ，q 的值；(2)数列{x n }前n 项和S n 的公式．举一反三求和S n ＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋12n －1.考点四裂项相消法求和【例4】►在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式； (2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .举一反三【山东省青州市2012届高三2月月考数学】已知数列（常数p>0），对任意的正整数n ，并有（I ）试判断数列是否是等差数列，若是，求其通项公式，若不是，说明理由；（II ）令的前n 项和，求证：考点五错位相减法求和【例4】►(2011·辽宁)已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．举一反三【山东省潍坊市重点中学2012届高三2月月考】已知单调递增的等比数列{}满足：,且是的等差中项.（1）求数列｛a n ｝的通项公式.（2）若=,S n 为数列的前项和,求S n .[课后作业]1.【山东省泰安市2012届高三期末检测】12.已知数列满足：，用[x]表示不超过x 的最大整数，则的值等于 A.0 B.1 C.2 D.32.【山东省莱芜市2012届高三上学期期末】已知数列是首项为2，公差为1的等差数列，是首项为1，公比为2的等比数列，则数列前10项的和等于A.511B.512C.1023D.10333 ．（2012年高考浙江）设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和,则下列命题错误．．的是（）A．若d<0,则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项,则d<0C．若数列{S n}是递增数列,则对任意的n N*,均有S n>0D．若对任意的n N*,均有S n>0,则数列{S n}是递增数列4.【山东省泰安市2012届高三期末检测】14.设为等差数列的前n项和，若，公差d=2, ，则k= 。

2014高考(数列)真题练习

2014高考真题（数列1）1.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】C ．2. 设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件【答案】D3. 设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a =（）（A ）2 （B ）-2 （C ）12 （D ）12- 【答案】D . 4.对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列【答案】D5.根据右边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是（）.2n Aa n = .2(1)n B a n =-.2n n C a = 1.2n n D a -= 【答案】C6.数列{}n a 满足1+n a =n a -11，2a =2，则1a =_________. 【答案】 217.数列{}a n 是等差数列，若1a 1+，3a 3+，5a 5+构成公比为q 的等比数列，则q =________. 【答案】1q =。

8.在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取最大值，则d 的取值范围_________. 【答案】718d -<<-9. 若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= 。

【答案】50 10.如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC =A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C 的垂线，垂足为3A ；…，以此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a =_____ ___.【答案】1411. 已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

专题08 数列-2014年高考数学考纲解读及热点难点试题演练 Word版含解析]

专题8 数列2014高考对本内容的考查主要有：(1)数列的概念是A 级要求，了解数列、数列的项、通项公式、前n 项和等概念，一般不会单独考查；(2)等差数列、等比数列是两种重要且特殊的数列，要求都是C 级，熟练掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、前n 项求和公式、性质等知识，理解其推导过程，并且能够灵活应用．(4)通过适当的代数变形后，转化为等差数列或等比数列的问题． (5)求数列的通项公式及其前n 项和的基本的几种方法． (6)数列与函数、不等式的综合问题.试题类型可能是填空题，以考查单一性知识为主，同时在解答题中经常与不等式综合考查，构成压轴题．1．等差、等比数列的通项公式等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列{a n }的通项公式为a n＝a 1q n －1＝a m q n－m.2．等差、等比数列的前n 项和 (1)等差数列的前n 项和为 S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2d .特别地，当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且常数项为0，即可设S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)．(2)等比数列的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1，特别地，若q ≠1，设a ＝a 11－q，则S n ＝a －aq n .3．等差数列、等比数列常用性质(1)若序号m＋n＝p＋q，在等差数列中，则有a m＋a n＝a p＋a q；特别的，若序号m＋n＝2p，则a m＋a n＝2a p；在等比数列中，则有a m·a n＝a p·a q；特别的，若序号m＋n＝2p，则a m·a n ＝a2p；(2)在等差数列{a n}中，S k，S2k－S k，S3k－S2k，…成等差数列，其公差为kd；其中S n为前n 项的和，且S n≠0(n∈N*)；在等比数列{a n}中，当q≠－1或k不为偶数时S k，S2k－S k，S3k－S2k，…成等比数列，其中S n为前n项的和(n∈N*).4．数列求和的方法归纳(1)转化法：将数列的项进行分组重组，使之转化为n个等差数列或等比数列，然后应用公式求和；(2)错位相减法：适用于{a n·b n}的前n项和，其中{a n}是等差数列，{b n}是等比数列；(3)裂项法：求{a n}的前n项和时，若能将a n拆分为a n＝b n－b n＋1，则a1＋a2＋…＋a n＝b1－b n＋1；(4)倒序相加法：一个数列倒过来与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和容易求出，那么这样的数列求和可采用此法．其主要用于求组合数列的和．这里易忽视因式为零的情况；(5)试值猜想法：通过对S1，S2，S3，…的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出S n，然后用数学归纳法给出证明．易错点：对于S n不加证明；(6)并项求和法：先将某些项放在一起先求和，然后再求S n.例如对于数列{a n}：a1＝1，a2＝3，a3＝2，a n＋2＝a n＋1－a n，可证其满足a n＋6＝a n，在求和时，依次6项求和，再求S n.5．数列的应用题(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型{a n}，利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式.考点1、等差、等比数列中基本量的计算【例1】设数列{a n}是公差不为0的等差数列，S n为其前n项的和，满足：a22＋a23＝a24＋a25，S 7＝7.(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项的和S n ；(2)设数列{b n }满足b n ＝2a n ，其前n 项的和为T n ，当n 为何值时，有T n ＞512. 【解析】解 (1)由{a n }是公差不为0的等差数列，可设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d 2＋a 1＋2d 2＝a 1＋3d 2＋a 1＋4d 2，7a 1＋7×62d ＝7，【规律方法】求等差、等比数列通项与前n 项和，除直接代入公式外，就是用基本量法，要注意对通项公式与前n 项和公式的选择．【变式探究】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，{}1＋S n 是公比为2的等比数列． (1)证明：{a n }是等比数列，并求其通项；(2)设数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，其前n 项和为T n ，当n 为何值时，有T n ≤2 012?考点2、与等差、等比数列有关的最值问题【例2】等差数列{a n}的首项是2，前10项之和是15，记A n＝a2＋a4＋a8＋a16＋…＋a2n，求A n及A n的最大值．【规律方法】上述两种求A n 最值的方法都是运用函数思想．法一是直接研究子数列{a 2n }．法二是研究A n ＝19(19n ＋2－2n ＋1)的单调性求其最值．【变式探究】已知等差数列{a n }的首项a 1≠0，公差d ≠0，由{a n }的部分项组成的数列ab 1，ab 2，…，ab n ，…为等比数列，其中b 1＝1，b 2＝2，b 3＝6.(1)求数列{b n }的通项公式b n ；(2)若数列{b n }的前n 项和为S n ，求S n 的值； (3)求A n ＝S n －2 012n9的最小值．【解析】解 (1)由a 22＝a 1a 6，考点3、等差、等比数列的探求问题【例3】已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，S n为其前n项和，且满足a2n＝S2n－1，令b n＝1a n·a n＋1，数列{b n}的前n项和为T n.(1)求数列{a n}的通项公式及数列{b n}的前n项和T n；(2)是否存在正整数m，n(1＜m＜n)，使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．【解析】解(1)n＝1时，由a21＝S1＝a1，且a1≠0，得a1＝1.因为{a n}是等差数列，所以a n＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1) d，【规律方法】在一定条件下，判断某种数学对象是否存在，解答此类问题一般先假设要求(或证)的结论是存在的，然后利用有关概念、公理、定理、法则推理下去，如果畅通无限，则存在；如果推理过程中，有限或发生矛盾，则说明不存在．【变式探究】设{a n}是单调递增的等差数列，S n为其前n项和，且满足4S3＝S6，a2＋2是a1，a13的等比中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)是否存在m，k∈N*，使a m＋a m＋4＝a k＋2？说明理由；(3)若数列{b n}满足b1＝－1，b n＋1－b n＝a n，求数列{b n}的通项公式．【解析】解 (1)设数列{a n }的公差为d (d >0)，依题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧43a 1＋3×22d ＝6a 1＋6×52d ，a 1＋d ＋2＝a 1a 1＋12d ，难点一、可转为等差数列、等比数列的数列问题【例1】已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ∈N *)． (1)证明：数列{a n ＋1－a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)若数列{b n }满足4b 1－1·4b 2－1·…·4b n －1＝(a n ＋1)b n (n ∈N *)，证明{b n }是等差数列．④－③，得nb n＋2－2nb n＋1＋nb n＝0，即b n＋2－2b n＋1＋b n＝0，所以2b n＋1＝b n＋2＋b n(n∈N*)，所以{b n}是等差数列．【规律方法】按定义证明{a n}成等差(比)数列，可以考虑改证它的等价定义，即2a n＋1＝a n ＋a n＋2(a2n＋1＝a n·a n＋2)．【变式探究】在数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，且a n＋1＝(1＋q)a n－qa n－1(n≥2，q≠0，q≠1)．(1)求证：数列{a n＋1－a n}为等比数列；(2)若a6，a3，a9成等差数列，问对任意的n∈N*，a n＋3，a n，a n＋6是否成等差数列？说明理由．难点二、数列与恒成立问题【例2】已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－1，当n ≥3，n ∈N *时，a n n －1－a n －1n －2＝3n －n －.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在k ∈N *，使得n ≥k 时，不等式S n ＋(2λ－1)a n ＋8λ≥4对任意实数λ∈[0,1]恒成立？若存在，求出k 的最小值；若不存在，请说明理由．【解析】解 (1)∵当n ≥3时，n ∈N *时， a n n －1－a n －1n －2＝3n －n －＝3⎝⎛⎭⎫1n －2－1n －1，∴a n ＋3n －1＝a n －1＋3n －2.∴当n ≥2时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋3n －1是常数列． ∴n ≥2时，a n ＋3n －1＝a 2＋32－1＝2，a n ＝2n －5.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2.【规律方法】数列通项公式的还原方法比较多样，可以构造特殊数列，也可以立足于运算、归纳，最后补充证明．【变式探究】设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，2S nn＝a n＋1－13n2－n－23，n∈N*.(1)求a2的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1＋1a2＋…＋1a n<74.热点3、数列中的不等关系【例3】如果无穷数列{a n }满足下列条件：①a n ＋a n ＋22≤a n ＋1；②存在实数M ，使得a n ≤M ，其中n ∈N *，那么我们称数列{a n }为Ω数列．(1)设数列{b n }的通项为b n ＝5n －2n ，且是Ω数列，求M 的取值范围；(2)设{c n }是各项为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，c 3＝14，S 3＝74，证明：数列{S n }是Ω数列；(3)设数列{d n }是各项均为正整数的Ω数列，求证：d n ≤d n ＋1.【方法技巧】不等式证明是数列问题中的常见题型，一般方法是利用不等式证明的常规方法，如综合法、分析法等直接证明方法，也可以应用反证法等间接证明方法．【变式探究】已知α，β是方程x 2－x －1＝0的两个根，且α＜β.数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a 2＝β，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，b n ＝a n ＋1－αa n (n ∈N *)．(1)求b 2－a 2的值；(2)证明：数列{b n }是等比数列；(3)设c 1＝1，c 2＝－1，c n ＋2＋c n ＋1＝c n (n ∈N *)，证明：当n ≥3时，a n ＝(－1)n －1(αc n －2＋βc n )．1．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________.2．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 3＋a 7＝3，a 2a 8＝2，则a 13a 11＝________.3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 7＝________.【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13⇒a 1＝2d ，所以S 6S 7＝6a 1＋15d 7a 1＋21d ＝2735.【答案】27354．数列{a n }为正项等比数列，若a 2＝1，且a n ＋a n ＋1＝6a n －1(n ∈N *，n ≥2)，则此数列的前4项和S 4＝________.5．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝________.6．(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于________．7．已知公差不为零的等差数列{a n }的前4项和为10，且a 2，a 3，a 7成等比数列． (1)求通项公式a n ；(2)设b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .【解析】解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝10，a 1＋2d 2＝a 1＋d a 1＋6d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3，所以a n ＝3n －5(n ∈N *)．(2)∵b n ＝2a n ＝23n －5＝14·8n －1，∴数列{b n }是首项为14，公比为8的等比数列，所以S n ＝14－8n 1－8＝8n －128.8．已知数列{a n }是首项为133，公比为133的等比数列，设b n ＋15log 3a n ＝t ，常数t ∈N *.(1)求证：{b n }为等差数列；(2)设数列{c n }满足c n ＝a n b n ，是否存在正整数k ，使c k ，c k ＋1，c k ＋2按某种次序排列后成等比数列？若存在，求k ，t 的值；若不存在，请说明理由．9．已知数列{a n }成等比数列，且a n ＞0.(1)若a2－a1＝8，a3＝m.①当m＝48时，求数列{a n}的通项公式；②若数列{a n}是唯一的，求m的值；(2)若a2k＋a2k－1＋…＋a k＋1－(a k＋a k－1＋…＋a1)＝8，k∈N*，求a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值．【解析】解设公比为q，则由题意，得q＞0.10．正项数列{a n}的前n项和S n满足：S2n－(n2＋n－1)S n－(n2＋n)＝0.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)令b n＝n＋1n＋2a2n，数列{b n}的前n项和为T n，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<564.【解析】(1)解由S2n－(n2＋n－1)S n－(n2＋n)＝0，得[S n－(n2＋n)](S n＋1)＝0，由于{a n}是正项数列，所以S n＋1>0.所以S n＝n2＋n.n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n，n＝1时，a1＝S1＝2适合上式．∴a n＝2n.(2)证明由a n ＝2n ，得 b n ＝n ＋1n ＋2a 2n ＝n ＋14n 2n ＋2＝116⎣⎡⎦⎤1n 2－1n ＋2T n ＝116⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－132＋⎝⎛⎭⎫122－142＋⎝⎛⎭⎫132－152＋…⎦⎤＋⎝⎛⎭⎫1n －2－1n ＋2＋⎝⎛⎭⎫1n2－1n ＋2＝116⎣⎡⎦⎤1＋122－1n ＋2－1n ＋2<116⎝⎛⎭⎫1＋122＝564. 11．已知函数f (x )＝(x －1)2，g (x )＝4(x －1)，数列{a n }是各项均不为0的等差数列，其前n 项和为S n ，点(a n ＋1，S 2n －1)在函数f (x )的图象上；数列{b n }满足b 1＝2，b n ≠1，且(b n －b n ＋1)·g (b n )＝f (b n )(n ∈N ＋)．(1)求a n 并证明数列{b n －1}是等比数列；(2)若数列{c n }满足c n ＝a n4n －1b n －，证明：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <3.12．设函数f (x )＝2x ＋33x (x ＞0)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f ⎝⎛⎭⎫1an －1(n ∈N *，且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…＋(－1)n －1·a n a n ＋1，若T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，求实数t 的取值范围．。

2014届高考数学热点难点突破(九)由题定法,解开数列中

探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备，要求考生自己去探索，结合已知条件，进行观察、分析、比较和概括．它对考生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法解决问题的能力提出了较高的要求．这类问题不仅考查考生的探索能力，而且给考生提供了创新思维的空间，所以备受高考的青睐，是高考重点考查的内容．探索性问题一般可以分为：条件探索性问题、规律探索性问题、结论探索性问题、存在探索性问题等．[典例] 已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，n ∈N *. (1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为等比数列； (2)记S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n，若S n <100，求最大正整数n ； (3)是否存在互不相等的正整数m ，s ，n ，使m ，s ，n 成等差数列，且a m －1，a s －1，a n －1成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由．[解] (1)证明：因为1a n ＋1＝23＋13a n ，所以1a n ＋1－1＝13a n －13. 又因为1a 1－1≠0，所以1a n －1≠0(n ∈N *)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为等比数列． (2)由(1)，可得1a n －1＝23×⎝⎛⎭⎫13n －1，所以1a n＝2×⎝⎛⎭⎫13n ＋1. S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝n ＋2⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13n ＝n ＋2×13－13n ＋11－13＝n ＋1－13n ，若S n <100，则n ＋1－13n <100，所以最大正整数n 的值为99. (3)假设存在，则m ＋n ＝2s ，(a m －1)(a n －1)＝(a s －1)2，因为a n ＝3n3n ＋2，所以⎝⎛⎭⎫3n 3n ＋2－1⎝⎛⎭⎫3m 3m ＋2－1＝⎝⎛⎭⎫3s3s ＋2－12. 化简，得3m ＋3n ＝2·3s .因为3m ＋3n ≥2·3m ＋n ＝2·3s ，当且仅当m ＝n 时等号成立．又m ，s ，n 互不相等，所以3m ＋3n ＝2·3s 不成立，所以不存在满足条件的m ，n ，s .[题后悟道] 本题属于存在探索性问题，处理这种问题的一般方法是：假定题中的数学对象存在或结论成立或暂且认可其中的一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理．若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用．解决数列探索性问题基本方法：(1)对于条件开放的探索性问题，往往采用分析法，从结论和部分已知条件入手，执果索因，导出所需的条件．(2)对于结论探索性问题，需要先得出一个结论，再进行证明．注意含有两个变量的问题，变量归一是常用的解题思想，一般把其中的一个变量转化为另一个变量，根据题目条件，确定变量的值．数列中大小关系的探索问题可以采用构造函数，根据函数的单调性进行证明，这是解决复杂问题常用的方法．(3)处理规律探索性问题，应充分利用已知条件，先求出数列的前几项，根据前几项的特点透彻分析，发现规律、猜想结论．针对训练已知数列{a n }中，a 1＝1，且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n，S n 表示数列{b n }的前n 项和，试问：是否存在关于n 的关系式g (n )，使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在，写出g (n )的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．解：(1)由点P (a n ，a n ＋1)在直线x －y ＋1＝0上，即a n ＋1－a n ＝1，且a 1＝1，即数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列．则a n ＝1＋(n －1)×1＝n (n ∈N *)．(2)假设存在满足条件的g (n )，由b n ＝1n ，可得S n ＝1＋12＋13＋ (1)，S n －S n －1＝1n(n ≥2)， nS n －(n －1)S n －1＝S n －1＋1，(n －1)S n －1－(n －2)S n －2＝S n －2＋1，…2S 2－S 1＝S 1＋1.以上(n －1)个等式等号两端分别相加得nS n －S 1＝S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＋n －1，即S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝nS n －n ＝n (S n －1)，n ≥2. 令g (n )＝n ，故存在关于n 的关系式g (n )＝n ，使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立．。