初三《圆》知识点及定理
初三圆知识点
初三圆知识点圆是初中数学中非常重要的一个图形，也是中考的重点和热点内容。
下面我们来详细了解一下初三圆的相关知识点。
一、圆的定义圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
这个定点称为圆心，定长称为半径。
圆的标准方程为：＄（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2$，其中$（a,b)＄为圆心坐标，＄r$为半径。
二、圆的性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
圆是中心对称图形，其对称中心是圆心。
2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
3、弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
三、圆的位置关系1、点与圆的位置关系设点到圆心的距离为$d$，圆的半径为$r$，则有：点在圆外：＄d ＞ r$点在圆上：＄d ＝ r$点在圆内：＄d ＜ r$2、直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离为$d$，圆的半径为$r$，则有：直线与圆相离：＄d ＞ r$，没有公共点。
直线与圆相切：＄d ＝ r$，有一个公共点。
直线与圆相交：＄d ＜ r$，有两个公共点。
3、圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为$d$，两圆的半径分别为$R$和$r$（＄R ＞r$），则有：两圆外离：＄d ＞ R ＋ r$，没有公共点。
两圆外切：＄d ＝ R ＋ r$，有一个公共点。
两圆相交：＄R r ＜ d ＜ R ＋ r$，有两个公共点。
两圆内切：＄d ＝ R r$，有一个公共点。
两圆内含：＄d ＜ R r$，没有公共点。
四、圆的周长和面积1、圆的周长圆的周长公式为$C ＝ 2\pi r$，其中$＼pi$是圆周率，约等于 314，＄r$是圆的半径。
九年级圆的全部知识点归纳
九年级圆的全部知识点归纳圆是几何学中的重要概念，具有广泛的应用价值。
在九年级的学习中，我们需要对圆的相关知识进行全面的了解，包括定义、性质、定理等方面。
本文将对九年级学习中的圆相关知识点进行归纳总结。
一、定义与基本术语1. 圆：由平面上到定点的距离相等的所有点的轨迹称为圆。
2. 圆心：圆上所有点到圆心的距离相等，圆心是圆的中心点。
3. 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段称为半径，用字母r 表示。
4. 直径：通过圆心并且两端点都在圆上的线段称为直径，直径的长度等于半径的两倍。
5. 弧：圆上的两点间的部分称为弧。
6. 弦：圆上任意两点之间的线段称为弦。
二、圆的性质与定理1. 弧长公式：在圆心角相等的情况下，弧长和半径的乘积是相等的。
即L = rθ，其中L为弧长，r为半径，θ为对应的圆心角的度数。
2. 弧度制：1个圆周角对应的弧长等于圆周长的2π，使用弧度制时，1个圆周角对应的弧长等于半径的2π，即1圆周角= 2π弧度。
3. 弦弧定理：在圆上，相等弧所对应的弦相等，弦所对应的弧相等。
4. 弦切定理：一条弦上的两个切线所截的弧相等。
5. 切线与半径的关系：切线与半径的垂直分离定理，切线切圆的点与圆心连线垂直。
三、圆的重要定理与推论1. 中心角定理：圆上的中心角的度数等于它所对应的弧的度数。
2. 弧度的定义与利用：弧度是角度制的单位，通过弧长和半径之间的比值得到。
利用弧度可以简便地描述与计算圆的相关问题。
3. 圆周角定理：圆周角的度数等于360度，对应的弧度等于2π。
4. 平行弦定理：平行弦所对应的圆心角相等。
5. 弦割定理：当两条弦交于圆的内部一点时，各自所对应的弧之积相等。
四、圆的应用圆具有广泛的应用价值，在日常生活中有很多应用场景。
比如在建筑领域，圆经常用于设计弧形的拱门、圆顶等；在工程测量中，圆常被用于测量水井、桥梁等的半径；在电子工程中，圆被运用于制作集成电路的微缩线路等。
总结：通过本文对九年级学习中的圆相关知识点进行归纳总结，我们了解了圆的定义与基本术语、性质与定理以及应用。
九年级数学圆知识点梳理
九年级数学圆知识点梳理一、圆的定义与特点圆是由平面上离定点（圆心）距离相等的点构成的图形。
圆的特点有：1. 圆心：圆中心点的位置。
2. 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段的长度，即半径。
3. 直径：通过圆心的两个点所构成的线段，即直径。
直径的长度是半径的两倍。
4. 弧：连接圆上两点的弧。
5. 圆周：由圆上所有点组成的曲线，也叫圆周。
二、圆的计算公式1. 圆的周长公式：C = 2πr，其中C代表圆的周长，r代表圆的半径。
π取近似值3.14。
2. 圆的面积公式：S = πr²，其中S代表圆的面积，r代表圆的半径。
三、圆的相交关系1. 相离：两个圆没有任何公共点，彼此之间没有交集。
2. 外切：两个圆相切于一点，且外切的圆没有穿过另一个圆。
3. 相交：两个圆有公共点，且相交的圆穿过另一个圆。
4. 内切：一个圆刚好位于另一个圆内部，并且两圆相切于一点。
5. 同心圆：有相同的圆心，但半径不同的圆。
四、圆的性质和定理1. 弧与角度的关系：圆心角是以圆心为顶点的角，圆心角的度数等于其所对应的弧所对角的度数。
2. 弧长公式：弧长等于圆周的$\frac{1}{n}$，其中n是圆周上被划分的几等分，m是圆周上的弧所对应的角的角度。
3. 弧与切线的关系：圆上的切线与切点处的弧垂直。
4. 切线定理：当一条直线与圆相切时，切点与切线的连线垂直于半径。
5. 弦的性质：如果两个弦在圆内或圆外相交，那么穿过内圆或外圆的弦的两边相乘的和等于其他穿过的弦的两边相乘的和。
6. 弧度制：以圆心为顶点的角所对应的弧长与半径的比值等于一个常数，即弧度制。
7. 平行切线定理：平行于切线的直线也是切线。
8. 平行弦定理：当两个弦平行时，两个弦的长度之比等于两个弦所对应的弧的长度之比。
五、圆的应用1. 几何画图：根据已知的圆心、半径、弦、切线等元素要求画出几何图形。
2. 圆的作图：根据已知条件画出满足要求的圆。
3. 物体的运动轨迹：物体在圆周运动时，物体的位置与时间的关系可表示为圆。
九年级圆的定理总结
九年级圆的定理总结如下：1.圆上三点确定一个圆，且确定一个唯一的圆心，该圆心是三点所连线段垂直平分线的交点。
2.垂径定理：垂直于弦的直径平分该弦，且平分该弦所对的两条弧。
3.切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。
4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
5.弦心距定理：弦心距平分弦所对的弧。
6.相交弦定理：弦与直径垂直于弦的直径平分该弦，且平分该弦所对的两条弧。
7.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点和圆心的连线平分两条割线的夹角。
8.直径所对的圆周角等于90度，90度的圆周角所对的弦是直径。
9.同圆或等圆的半径相等，直径等于半径的两倍。
10.圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
11.如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（公共弦）垂直平分两圆的连心线。
12.如果两圆相切，那么两圆的半径之和等于圆心距，或两圆半径之差等于圆心距。
13.两圆的半径之比等于圆心距之比等于两圆周长之比。
14.圆内接四边形的对角互补，内角和等于360度。
15.弧长公式：l=nπr/18016.扇形面积公式：s=1/2lr=1/2nπr²17.圆锥侧面积公式：s=1/2rl=πrl18.点P在圆O内，PA切圆O于A，则OP<PA。
19.点P在圆O上，PA切圆O于A，则OP=PA。
20.点P在圆O外，PA切圆O于A，则OP>PA。
21.从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
22.从圆外一点因圆的两条割线，这一点到割线与圆交点的两条线段长的积等于这一点到圆心的距离与圆的半径的积。
23.直线和圆相交，则有公共点；直线和椭圆相交，则有公共点；直线和双曲线相交，则有公共点；直线和抛物线相交，则有公共点；平面解析几何适用范围要熟记。
九年级圆的知识点笔记
九年级圆的知识点笔记一、圆的定义圆是指平面上所有到圆心距离都相等的点的集合。
圆由圆心和半径组成，其中圆心是圆的中心点，半径是圆心到圆上任意一点的距离。
二、圆的性质1. 圆内任意两点的距离都小于等于圆的直径。
即对于圆上的两个点A和点B，线段AB的长度小于等于圆的直径。
2. 圆的直径是圆上任意两点间的最长距离，且它的长度恰好是圆半径的两倍。
3. 圆的半径垂直于圆的切线。
即半径与切线的交点的切线垂直。
4. 圆上任意一点与圆心连线所对的弧等于180度。
即圆弧上的任意两点与圆心连线所围的角恒为180度。
5. 与圆心在同一条半径上的两个圆的圆弧互补。
三、圆的相关公式和定理1. 圆的周长公式：周长= 2πr，其中r为半径，π约等于3.14。
2. 圆的面积公式：面积= πr²。
3. 弧长公式：弧长 = 弧度 ×半径，其中弧度是弧所对的圆心角的弧度数。
4. 弧度制和角度制转换公式：圆周角对应弧度数 = 圆周角对应角度数× π / 180。
5. 切线定理：切线和半径垂直相交。
6. 弦切角定理：弦切角等于其所对的弧的一半。
四、与圆相关的几何形体1. 弧：圆上两点间的一部分。
2. 弦：圆上的一条线段，连接圆上的两个点。
3. 直径：穿过圆心的弦，是圆的最长线段。
4. 切线：与圆只有一个交点的直线，且与半径垂直相交。
5. 圆心角：以圆心为顶点的角，其两边分别是两条半径。
6. 弦切角：指切线与弦所夹的角。
7. 弦弧角：指弧所对的角。
五、与圆相关的常见问题1. 如何求圆的周长和面积？根据圆的定义和性质，可以通过半径或直径计算出圆的周长和面积的数值。
根据相应的公式，代入已知的半径或直径即可求解。
2. 如何求圆上任意一点的坐标？已知圆心坐标和半径，可以利用平面坐标系的性质，通过圆的方程和坐标变换求得圆上任意一点的坐标。
3. 如何求圆上弦的长度？已知弦在圆上的长度和半径，可以利用勾股定理和圆的性质，通过计算可以求得弦的长度。
圆》的定理公式的知识点
圆》的定理公式的知识点圆的定理和公式是研究圆的性质和关系的基础知识。
下面将详细介绍一些常见的圆的定理和公式。
一、圆的基本概念1.定义：圆是平面上距离给定点（圆心）相等的所有点的集合。
2.圆心：圆上所有点到中心点的距离都是相等的，这个中心点就是圆心。
3.半径：连接圆心和圆上任意一点的线段被称为半径。
4.弦：连接圆上两点的线段被称为弦。
5.弧：弦所对的圆的部分被称为弧。
6.弧长：表示弧的长度。
7.圆周：圆的边界被称为圆周。
二、圆的定理和公式1.圆的周长公式：周长C=2πr(其中，C表示周长，r表示半径，π是一个数，近似等于3.14或22/7)2.圆的面积公式：面积S=πr^2(其中，S表示面积，r表示半径，π是一个数，近似等于3.14或22/7)3.直径和半径的关系：直径是通过圆心的任意两点的线段，直径的长度等于半径的2倍。
4.弦的性质：（1）两条相等弦所对的弧相等。
（2）弦上的两个角所对的弧，大的弧大于小的弧。
5.弧与圆心角的关系：（1）弧所对的圆心角等于弧内角的一半。
（2）等圆心角所对的弧相等。
（3）同弧上的两个圆心角互补（和为180度）。
6.弧长与圆心角的关系：（1）弧长等于圆心角所对的弧的长度。
（2）圆周角（圆心角为360度的角）所对的弧等于整个圆的周长。
7.切线与弦的性质：（1）切线与弦的交点在弦所对的弧的外部。
（2）切线与弦相交所成的两个角一对内角相等，一对外角互补。
8.切线和半径的关系：切线和半径的交点与圆心在同一条直线上，这条线垂直于切线。
9.两条切线的性质：（1）两条切线的交点与圆心在同一条直线上（切线的交点是切线所对的弧的中点）。
（2）切线所对的弧和圆心角相等。
10.弧与弦的关系：（1）过圆弧上的两点引圆的切线，这两个切点和圆弧两点所成的四边形是一个正方形。
（2）一个圆上的两个等弧所对的弦相等。
11.正多边形内接圆的半径公式：正n边形，内接圆的半径为r，正n边形的边长为a，则有r=a/2sin(π/n)。
数学九年级知识点圆
数学九年级知识点圆圆是数学中常见的几何图形之一，它不仅在数学中有广泛的应用，还与我们日常生活息息相关。
本文将对九年级数学中的圆相关知识点进行探讨。
一、基本概念1. 定义：圆是由平面上与一个定点的距离等于一定数值的所有点所组成的图形。
2. 元素：圆心、半径、弧、弦和扇形。
二、圆的性质1. 圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角，其度数等于对应弧所对的圆心角的度数。
2. 弧长：弧长等于弧所对圆心角的度数除以360°再乘以圆周长。
3. 弦长：弦长等于半径的两倍乘以正弦的一半。
三、圆的公式与定理1. 圆的周长：C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示半径。
2. 圆的面积：A = πr²，其中A表示圆的面积，r表示半径。
3. 切线与弧的关系：切线与弧的交点与圆心的连线垂直。
4. 弧与弦的关系：等弧所对的弦相等。
5. 弦切角定理：切线和弦所夹的角等于对应的弦与圆心角的一半。
四、圆的应用1. 圆的几何变换：平移、旋转和缩放。
2. 圆与三角函数：三角函数的周期、幅度与角度的关系等。
3. 圆与图形的位置关系：判断点与圆的位置关系、判断两圆的位置关系等。
4. 圆的测量：利用圆的周长和面积计算实际问题，如计算运动的轨迹、计算物体的表面积等。
五、习题1. 已知一个圆的半径为5cm，求其周长和面积。
2. 在一个半径为6cm的圆中，一条弧所对的圆心角为60°，求该弧的长。
3. 如果一个直径为12cm的圆，切割成一块长方形，长方形的长是10cm，求其宽。
4. 一个圆的直径是20cm，求它的面积与另一个半径为12cm的圆的面积之比。
5. 若一个半径为8cm的圆A与一个直径为18cm的圆B相切，求圆B的圆心到切点的距离。
六、小结通过对九年级数学中的圆的知识点进行了系统的介绍与讲解，我们对圆的定义、性质、公式与应用有了更深入的了解。
掌握圆的相关知识，对于解决几何问题和应用数学都至关重要。
希望同学们能在学习中努力提升对圆的理解与应用能力，为进一步学习数学打下坚实的基础。
初三圆的知识点总结
初三圆的知识点总结圆是初中数学中的重要概念之一，而初三阶段则是圆的学习重点。
在初三阶段，学生需要掌握圆的定义、性质、相关定理和应用。
下面我们来总结一下初三圆的知识点。
一、圆的定义和性质1. 圆的定义圆是由平面上到定点的距离等于定长的所有点构成的集合。
定点叫圆心，定长叫半径。
通常记作圆O，圆心为O，半径为r。
2. 圆的性质（1）圆的直径、半径、弧长和圆心角的关系：一个圆的直径是圆的一条弧上的两个端点，直径等于圆的半径的两倍。
（2）圆的周长公式：圆的周长等于2πr，其中r为圆的半径。
（3）圆的面积公式：圆的面积等于πr²，其中r为圆的半径。
（4）切线定理：在圆上的切线和半径垂直，切点、圆心和切线上的半径构成直角三角形。
二、圆的相关定理1. 圆心角定理定理：在同一个圆或等圆上的圆心角等于其对应弧所对的圆周角的一半。
结论：圆心角相等的弧是等弧。
2. 弧长定理定理：在同一个圆或等圆上，相等圆心角所对的弧相等，反之，相等弧对应的圆心角相等。
3. 弧度和角度定理：弧长与半径之比叫做弧度制下的角度。
1弧度（rad）=57.3°。
结论：弧长l=rθ，其中θ为弧度。
4. 正弦定理和余弦定理正弦定理：在一个三角形ABC中，a/sinA=b/sinB=c/sinC。
余弦定理：在一个三角形ABC中，a²=b²+c²-2bc*cosA。
5. 切线定理定理：在圆上的切线和半径垂直。
6. 切线与弦的关系定理：在圆上，如果一条切线和一条弦相交，那么切线和弦的交点与圆心的连线垂直。
三、圆的相关应用1. 圆的相关应用（1）圆的插值：根据圆的相关性质和定理求出圆的周长、面积及其相关角度。
（2）圆的相关推理：利用圆的性质和相关定理解决与圆相关的问题。
2. 圆的实际应用（1）工程中的车轮和齿轮。
（2）地理中的经纬度。
（3）天文中的星座和行星轨道。
（4）生活中的钟面和圆形的器物。
以上就是初三圆的知识点总结，希望对你的学习有所帮助。
圆九年级圆知识点归纳
圆九年级圆知识点归纳圆是数学中的一个重要概念，在九年级的数学课程中也是必修的内容之一。
本文将主要介绍九年级数学中关于圆的知识点，包括圆的基本概念、圆的性质以及与圆相关的一些定理和公式。
1. 圆的基本概念：圆是平面上所有与一个固定点距离相等的点的集合。
这个固定点称为圆心，用O表示。
而与圆心距离相等的距离称为半径，用r 表示。
圆的边界称为圆周，圆周上的任意一点与圆心的连线称为半径。
2. 圆的性质：（1）圆的直径是通过圆心的两个点之间的线段，它的长度等于圆的半径的两倍。
（2）圆的周长是圆周的长度，用C表示。
根据定义，圆周的长度等于半径乘以2π（π是一个常数，约等于3.14），即C = 2πr。
（3）圆的面积是圆内部的所有点组成的区域，用A表示。
圆的面积公式为A = πr²。
3. 圆的相关定理和公式：（1）弧长定理：一个圆周的弧长可以表示为θ/360°乘以圆的周长。
其中，θ是对应的圆心角的度数。
（2）圆心角定理：一个圆心角的度数等于它所对应的弧长的长度除以圆的半径。
（3）切线定理：如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆的半径的斜率相乘的结果等于-1。
（4）切线长定理：从切点到切线外一点的线段与切线相切，这条线段的长度等于这个切点与圆心连线的长度。
4. 圆的应用：圆在日常生活和工程中有着广泛的应用。
例如，轮子和齿轮就是圆的应用之一。
轮子的圆形设计可以减小与地面的摩擦力，使车辆行驶更顺畅。
齿轮是机械设备中的传动部件，由多个圆形齿突出，通过齿与齿之间的啮合来实现动力传递。
总结：通过对九年级数学中与圆相关的知识点的归纳和梳理，我们可以更好地理解和应用这些概念、定理和公式。
圆作为几何学中的一个基础概念，无论是在数学学科中还是在实际中都有着重要的作用。
希望通过学习和掌握这些知识，能够对九年级的数学学习有所帮助。
九年级数学圆的知识点总结大全
一、圆的定义和性质1.圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合。
2.圆的要素：圆心、半径、圆周。
3.圆的性质：（1）半径相等的两个圆是同心圆；（2）同圆中，圆心角等于圆周角的1/2；（3）同弧上的两条弦所对的圆心角相等；（4）圆心角相等的弧相等；（5）相等弧所对的弦相等；（6）正多边形的内角和是定值，因此内接于一个圆的正多边形的各个内角相等；（7）直径是弦中最长的。
二、弧与圆周角1.弧的定义：圆上两点间的弧是以这两点为端点的两条互不相交的圆弧中，长的那一段。
2.弧的性质：（1）圆周角所对的弧是唯一确定的；（2）全周角所对的弧是定长的。
3.圆周角的定义：以圆心为端点的两条互不相交的射线所夹的角。
4.圆周角的度量：可以用角的度数来衡量。
三、切线与弦1.切线的定义：切线是与圆只有一个公共点的直线。
2.切线与半径的关系：切线与半径的关系是切线⊥半径。
3.弦的定义：两点之间的线段叫做弦。
4.弦的性质：（1）圆内的弦比它们所对的圆心角小，而且与一个圆心角的两个弧所对的弧一样；（2）相等的弦所对的圆心角相等。
四、相交弦定理1.弦上的点：如果一个点在弦上，则这个点到两个端点的距离相等。
2.相交弦定理：如果两个弦相交于圆内的一个点，则这两个弦上的两个点一定分别在另一个弦上的两侧。
五、余弦定理1.面积的性质：圆内、圆外的面积相等，夹在一个圆内的圆周弧的面积也相等。
2.余弦定理：在一个圆上，任意两条弧所对的圆心角的余弦值相等。
六、正多边形的面积公式1.正六边形的面积：正六边形的面积=3×（边长）²×√3÷22.正八边形的面积：正八边形的面积=2×（边长）²×√23.正十二边形的面积：正十二边形的面积=3×（边长）²×√34. 正十六边形的面积：正十六边形的面积=4×（边长）²×tan(22.5°)。
九年级数学课本圆知识点
九年级数学课本圆知识点圆是九年级数学课本中的一个重要知识点，它涵盖了许多重要的概念和定理。
在这篇文章中，我们将深入探讨九年级数学课本中的圆知识，包括圆的定义、性质、常见的定理以及与圆相关的应用。
一、圆的定义和性质圆是平面上与给定点距离相等的所有点的集合。
给定圆心为O，半径为r，可以表示为圆O(r)。
圆的直径是通过圆心的一条线段，长度为2r。
圆的周长是圆周上所有点到圆心的距离之和，可以表示为2πr。
除了圆的定义，九年级数学课本还介绍了一些圆的性质。
首先是圆的对称性，即圆内任意两点关于圆心的连线对称。
其次是圆的切点，切点是过曲线与圆相切的点。
再次是圆与直线的关系，直线可以与圆相交、相切或者不相交。
二、常见的圆定理九年级数学课本中介绍了一些重要的圆定理，包括：1. 弧度与弧长的关系：弧长等于半径与对应的圆心角的弧度数之积。
这个定理是计算圆周长的基础。
2. 圆心角与半径的关系：圆心角的弧度数等于圆上对应的弧长除以半径。
这个定理可以帮助我们计算圆周上的角度。
3. 切线定理：切线与半径垂直。
切线与半径的交点称为切点。
4. 弧度制和度制的换算：1弧度等于180/π度。
这些定理在解决圆的问题时经常用到，掌握它们将极大地帮助我们解题。
三、与圆相关的应用圆不仅在数学中具有重要地位，而且在日常生活中也有许多应用。
例如，考虑到圆周短而面积相对较大的特点，我们可以使用圆形塑料盘子来装载食物。
圆形车轮的设计使车辆更加平稳，减少颠簸感。
圆形钢珠的形状使其在轨道上滚动时减少摩擦。
此外，许多雕塑和建筑物也使用了圆形的设计元素，如大型喷泉、圆顶等等。
另外，圆还与几何艺术和曲线图形密切相关。
圆有一种美学和和谐的感觉，被广泛应用于艺术和设计中。
它在几何图形和数学问题中也起着重要的作用，例如绘制图表和分析曲线。
结论：通过本文的探讨，我们深入了解了九年级数学课本中有关圆的知识点。
我们了解了圆的定义和性质，熟悉了一些常见的圆定理，并了解了与圆相关的应用。
九年级数学圆知识点
九年级数学圆知识点在九年级数学学习中，圆是一个重要的知识点。
下面将介绍圆的定义、性质以及与圆相关的主要公式和定理。
一、圆的定义和性质：1. 定义：圆是由平面上的一点到另一点距离不变的所有点的集合。
2. 圆心和半径：圆心是圆的中心，圆的半径是圆心到圆上任一点的距离。
3. 直径和直径长：直径是圆上任意两点之间通过圆心的线段，直径长等于半径的两倍。
4. 弦：连接圆上任意两点的线段。
5. 弧：由圆上两点所确定的一段圆形曲线。
6. 弧长：圆的周长被称为弧长，可以表示为2πr（r为圆的半径）。
7. 弧度制：圆的周长为360°，也可以用弧度来表示，一周的弧度数为2π。
二、圆的相关公式和定理：1. 圆的周长公式：C = 2πr，其中C表示周长，r表示半径。
2. 圆的面积公式：A = πr²，其中A表示面积，r表示半径。
3. 弧长公式：L = 2πr × (θ/360°)，其中L表示弧长，r表示半径，θ表示所对应的圆心角的度数。
4. 弦长公式：如果圆心角θ的度数已知，弦长可通过公式l = 2r × sin(θ/2)计算。
5. 切线与半径的关系：切线与半径的相交点处，切线是半径的垂直平分线。
6. 切线与弦的关系：切线与弦的相交点处，切线与弦的夹角等于所对应的弧的圆心角的一半。
7. 弦割定理：如果两个弦相交于圆的内部，那么相交点之间的两个弦的长度的乘积等于两个弦的切割线段的长度的乘积。
8. 切割定理：如果两条切线相交于圆的外部，那么相交点之间的两个切线段的长度的乘积等于两个切线的切割线段的长度的乘积。
三、应用示例：1. 根据给定的半径，求解圆的面积和周长。
2. 根据给定的弦长和半径，求解所对应的圆心角的度数。
3. 根据所给条件，利用切线和弦的关系解题。
4. 根据所给条件，应用弦割定理或切割定理解决问题。
综上所述，九年级数学中的圆知识点包括了圆的定义、性质、相关公式和定理。
初中《圆》知识点及定理
《圆》知识点及定理一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB CD⊥③CE DE=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
有关初三有关圆的概念以及公式和定理
有关初三有关圆的概念以及公式和定理一、圆的定义几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
二、圆的相关量1．圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.14159265358979323846…，通常用π表示，计算中常取3.1416为它的近似值。
2．圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
3．圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。
4．圆周角：顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
5．内心：和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
内心到三角形各边距离相等。
6．外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。
外心到三角形各顶点距离相等。
7．扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
圆锥侧面展开图是一个扇形。
这个扇形的半径成为圆锥的母线。
三、圆和其他图形的位置关系1．点和圆的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则d是点到圆心的距离），P在⊙O外，d＞r；P在⊙O上，d＝r；P在⊙O内，d＜r。
2．直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，设PO长是d）：AB与⊙O相离，d＞r；AB与⊙O相切，d＝r；AB与⊙O相交，d＜r。
3．两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
两圆的半径分别为R 和r，且R≥r，圆心距为d：①外离d＞R+r；②外切d=R+r；③相交R-r＜d＜R+r；④内切d=R-r；⑤内含0≤d＜R-r。
九年级数学圆的知识
九年级数学圆的知识
九年级数学中，圆的知识包括以下内容：
1. 圆的定义：圆是由平面上所有到定点距离相等的点组成的集合。
2. 圆的元素：圆心是圆的中心点，用O表示；半径是圆心到圆上任意一点的距离，用r表示；直径是通过圆心的一条线段，两端点在圆上，直径的长度是半径的两倍。
3. 圆的性质：
- 圆上任意两点与圆心的距离相等。
- 圆上的点与圆心的距离等于半径。
- 圆的直径是最长的线段，且等于半径的两倍。
- 圆的任意弦都可以作为直径，即两端点在圆上的线段。
- 圆的任意弦都可以分成两段，两段长度乘积等于这条弦所对应的弧的长度乘积。
- 圆的周长是圆周上一周的长度，等于2πr，其中π是一个无理数，约等于3.14159。
- 圆的面积是圆内部的所有点组成的区域的大小，等于πr²。
4. 圆的相关定理：
- 弧长定理：圆的弧所对应的圆心角的度数等于弧长所占圆周的度数。
- 弦切定理：在圆上，切线与弦的乘积等于切点外的弦与切点外
的弦的乘积。
- 切线定理：在圆上，切线与切点外的弦的乘积等于切点外的弦与切点外的弦的乘积。
- 弧度制：角度的度数可以转化为弧度制，1°对应π/180弧度。
以上是九年级数学中关于圆的基本知识，还有更深入的内容如圆锥、圆柱、圆台等，这些内容超出了本回答的范围。
初中《圆》知识点及定理
初中《圆》知识点及定理
《圆》知识点
一、定义
1、圆是平面上一种特殊的曲线，它满足以下两个条件：
（1）任意两点到圆心的距离相等；
（2）圆上的任意一点，可以以圆心为中心，过这一点作圆的圆周，且这个圆周上的任意一点都等距离圆心。
2、定义：圆：平面上一点为圆心，到圆心的距离一定的曲线叫圆，这个固定的距离叫圆的半径。
二、圆的相关概念
1、圆心：圆的中心点。
2、半径：指从圆心出发，连接圆上任意一点的线段的长度。
3、圆弧：圆上的一段弧形，可以看作是圆的一部分。
4、圆周：圆的一周的弧形，也叫圆的周长。
5、圆心角：圆上的任意两点连接的线段所形成的角，叫圆心角。
6、切线：切圆弧的线段，叫做切线。
7、圆心的夹角：圆上任意两条切线所成的夹角。
8、切点：切线与圆弧公共的一点，叫做切点。
三、圆的性质
1、任意一点到圆心的距离相等，半径r=OC=OD。
2、圆上，任意两点之间的距离相等。
3、圆上任意两点的连线，其长度都等于直径的2倍。
4、圆周的周长等于圆的直径的2倍乘以π，公式：C=2πr。
5、圆的面积A=πr²。
6、圆心角是任意一点到圆心的连线和圆的直径的线段的所成的角，它的度数与圆的弧长满足：圆心角的角度=弧长/半径。
四、圆的有关定理。
初中数学九年级上圆的知识点
初中数学九年级上圆的知识点圆是初中数学九年级上的一个重要知识点，下面将从圆的定义、圆的性质、圆的相关定理以及圆的应用等方面进行论述。
一、圆的定义圆是平面上的重要几何图形之一，是由与一个定点距离相等的所有点构成的集合。
这个定点称为圆心，距离称为半径，用字母r表示。
圆通常用圆的轮廓线表示，在数学表达中用字母O表示。
二、圆的性质1. 圆的任意两点到圆心的距离相等。
这意味着圆上的每一个点到圆心的距离都相等，即圆的半径。
2. 圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离。
直径的长度是半径的两倍。
3. 圆的弦是圆上任意两点之间的线段。
弦不一定通过圆心，可以在圆内或圆外。
4. 圆上的切线垂直于半径。
切线是与圆相切的线，与圆的切点处的半径垂直。
三、圆的相关定理1. 弧与角的关系圆上的弧对应的圆心角是两个端点在圆心所对应的角，它们的度数相等。
2. 弧长与圆周角的关系圆的弧长是圆心角所对应的弧所在圆的一部分的长度，弧长等于这个圆心角所对应的圆周角度数的比值。
3. 弦长与弦心角的关系弦上的弦长是弦心角所对应的弦所在圆的一部分的长度，弦长等于这个弦心角所对应的圆周角度数的比值的2倍。
4. 割线定理割线是两个切点之间的线段，割线上的两个切线段长度乘积等于这条割线与这两个切点之间的弦段长度乘积。
四、圆的应用1. 圆的测量圆的周长等于圆周上的任意一段弧长，即C=πd或C=2πr，其中d为直径，r为半径。
圆的面积等于圆内所包围的面积，即S=πr²。
2. 圆的位置关系两个圆之间的位置关系可以分为外切、内切、相交、相离四种情况，通过判断两个圆心的距离与两个圆的半径之间的关系可以确定两个圆的位置关系。
3. 圆的轴对称与旋转对称圆具有轴对称性和旋转对称性，利用这个特性可以解决一些与圆相关的问题。
综上所述，圆是初中数学九年级上的重要知识点，通过对圆的定义、性质、相关定理和应用进行论述，可以帮助同学们更好地理解和掌握圆的知识，提高数学学科的学习成绩。
九年级圆知识点总结
九年级圆知识点总结在数学中，圆是一个重要的几何概念，也是九年级数学课程中的重点内容之一。
掌握圆的基本性质和相关定理对于学好数学非常重要。
本文将对九年级圆的知识点进行总结和归纳，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握圆。
一、圆的性质1. 定义：圆是由平面内所有离定点相等距离的点组成的集合。
这个定点叫做圆心，相等的距离叫做圆的半径。
2. 圆的要素：圆心、半径、直径、弦、弧、切线、相切等。
3. 圆的基本性质：在同一个圆或等圆中，以下性质成立。
- 圆心角相等：具有相同圆心的弧所对的圆心角相等。
- 弧长比：在同一圆或等圆中，弧长是半径的倍数。
- 弦长比：在同一圆或等圆中，弦长相等的弦所对的两条弧相等。
- 圆内任何一点到圆心的距离相等。
二、圆的重要定理和公式1. 弧度制：弧度是角度的补充单位，它是圆心角所对圆弧长度等于半径的角。
弧度与角度之间的换算关系是：弧度 = 角度× π / 180。
2. 圆周长：圆周长等于直径与π的乘积，即C = πd。
其中d为圆的直径。
3. 扇形面积：扇形面积等于圆心角所对弧所在圆的面积的比例，即S = (θ/360°) × πr²。
其中θ为圆心角的度数。
4. 弧长公式：弧长等于圆心角所对弧的弧度乘以半径，即L = θr。
5. 切线的性质：切线与半径的关系是垂直。
并且半径和切线在切点处相互垂直(T ⊥ R)。
6. 切线长：切线长等于半径与相切点到圆心的距离的乘积，即L = r × d。
三、圆的相关定理1. 内切圆定理：如果一个圆与一个三角形的三条边相切，则这个圆的圆心是这个三角形的内心。
2. 外切圆定理：如果一个圆与一个三角形的每一边都相切，则这个圆的圆心是这个三角形的外心。
3. 正切线定理：如果一条直线与一个圆相切，则这条直线垂直于半径，并且相切点处的切线与直线为垂直关系。
4. 弦弧定理：在同一个圆中，两条相交弦所对的弧相等。
综上所述，九年级圆的知识点包括圆的性质、圆的重要定理和公式，以及圆的相关定理。
初中数学 圆知识点归纳
《圆》整章知识点复习《圆》章节知识点复习名词解释：1.弦——连接圆上任意两点的线段叫做弦。
2.弧——圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
3.半圆——圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，第一条弧都叫做半圆。
4.等圆——能够重合的两个圆叫做等圆。
5.等弧——在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
6.圆心角——顶点在圆心的角叫做圆心角。
7.圆周角——顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
8.圆内接多边形——如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
9.外心——外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形外心。
10.内心——三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
11.内切圆——与三角形各边相切的圆叫做三角形的内切圆。
12.割线——直线和圆有两个公共点（直线和圆相交），这条直线叫做圆的割线。
13.切线——直线和圆只有一个公共点（直线和圆相切），这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
14.切线长——经边圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
15.圆心距——两个圆圆心的距离叫做圆心距。
16.中心——正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
17.中心角——正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
18.边心距——中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
19.扇形——由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。
20.母线——连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；（补充）3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
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初三《圆》知识点及定理
一、圆的概念
集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆；
（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内⇒d r
<⇒点C在圆内；
2、点在圆上⇒d r
=⇒点B在圆上；
3、点在圆外⇒d r
>⇒点A在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离⇒d r
>⇒无交点；
2、直线与圆相切⇒d r
=⇒有一个交点；
3、直线与圆相交⇒d r
<⇒有两个交点；
四、圆与圆的位置关系
外离（图1）⇒无交点⇒d R r
>+；
外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r
=+；
相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r
-<<+；
内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r
=-；
内含（图5）⇒无交点⇒d R r
<-；
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,
并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理,简称2推3定理：此定理中共5个结论中,只要知道其中2
个即可推出其它3个结论,即：
①AB是直径②AB CD
⊥③CE DE
=④弧BC=弧BD⑤弧AC=
弧AD
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O中,∵AB∥CD
∴弧AC=弧BD
A
图4
图5
B
D
- 1 - / 4
4
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。
此定理也称
1推3定理,即上述四个结论中,
只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论, 即：①AOB
DOE ∠=∠；②AB DE =；
③OC OF =；④ 弧BA
=弧BD
七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧
AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙O 中,∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。
即：在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
即：在△ABC 中,∵OC OA OB ==
∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。
即：在⊙O 中,
∵四边形ABCD 是内接四边形
∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不可
即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理 切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB =
PO 平分BPA ∠
十一、圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙O 中,∵弦AB 、CD 相交于点P , ∴PA PB PC PD ⋅=⋅
（2）推论：如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
B
A
B
A O
D
B
A
- 3 - / 4
即：在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥, ∴2
CE AE BE =⋅
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙O 中,∵PA 是切线,PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙O 中,∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：12O O 垂直平分AB 。
即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：12Rt O O C ∆中
,2
2
1
AB CO = （2）外公切线长：2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和 。
十四、圆内正多边形的计算 （1）正三角形
在⊙O 中△ABC 是正三角形,有关计算在Rt BOD ∆中进
行：::2OD BD OB =；
（2）正四边形
同理,四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行
,::OE AE OA =
（3）正六边形
同理,六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行
,::2AB OB OA =.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式：180
n R
l π=
； （2）扇形面积公式： 2
1
3602
n R S lR π=
= n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长
S ：扇形面积
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
2S S S =+侧表底=2
22rh r ππ+
（2）圆柱的体积：2
V r h π=
（2）圆锥侧面展开图
（1）S S S =+侧表底=2
Rr r ππ+
l
O
C 1
D 1
- 4 - / 4
（2）圆锥的体积：2
1
3
V r h π= 十六、圆中常见的辅助线
1）．作半径,利用同圆或等圆的半径相等．
2）．作弦心距,利用垂径定理进行证明或计算,或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明．
3）．作半径和弦心距,构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算． 4）．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角．
5)．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角． 6)．遇到切线,作过切点的弦,构造弦切角． 7)．遇到切线,作过切点的半径,构造直角．
8)．欲证直线为圆的切线时,分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时,常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时,常过圆心向直线作垂线,证明垂线段的长等于圆的半径．
9)．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点．
10)．遇到三角形的内心,常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点． 11)．遇相交两圆,常作：(1)公共弦；(2)连心线． 12)．遇两圆相切,常过切点作两圆的公切线．
13)．求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线,将公切线平移成直角三角形的一条直角边．
十七、圆中较特殊的辅助线
1)．过圆外一点或圆上一点作圆的切线． 2)．将割线、相交弦补充完整． 3)．作辅助圆．
例1如图23-11,CA 为⊙O 的切线,切点为A,点B 在⊙O 上,如果∠CAB ＝55°,那么∠AOB 等于( ) A ．35° B ．90° C ．110°
D ．120°
例2 如果圆柱的底面半径为4cm,母线长为5cm,那么侧面积等于( )
A ．
B ．
C ．
D ．
例3 如图23-12,在半径为4的⊙O 中,AB 、CD 是两条直径,M 为OB 的中点,延长CM 交⊙O 于E,且EM>MC,连结OE 、DE,．
求：EM 的长．
例4如图23-13,AB 是⊙O 的直径,PB 切⊙O 于点B,PA 交⊙O 于点C,PF 分别交AB 、BC 于E 、D,交⊙O 于F 、G,且BE 、BD 恰好是
关于x 的方程(其中m 为实数)的两根．
(1)求证：BE ＝BD ；
(2)若
,求∠A 的度数．。