内切球、外接球问题--原创

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高中数学难搞问题之外接球内切球问题(学生版)

外接球、内切球专题外接球几何体的外接球一、定义1. 球的定义: 空间中到定点的距离等于定长的点的集合 (轨迹) 叫球面, 简称球.2. 外接球的定义: 若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球.3. 内切球的定义: 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切,则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球.二、外接球的有关性质1.性质:性质1:过球心的平面截球面所得圆是大圆,大圆的半径与球的半径相等;性质2:经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心,该平面截球所得圆是大圆;性质3:过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面 (类比:圆的垂径定理);性质4:球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心;性质5:在同一球中,过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交, 交点是球心 (类比:在同圆中,两相交弦的中垂线交点是圆心 ).2.结论:由上述性质,可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论.结论1:正方体或长方体的外接球的球心是其对角线的中点.结论2:正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.结论3:直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心外心的连线的中点.结论4:正棱雉的外接球的球心在其高上, 具体位置可通过计算找到.结论5:若棱雉的顶点可构成共斜边的直角三角形,则公共斜边的中点就是其外接球的球心.正方体正方体的外接球、内切球和棱切球1.正方体的外接球的球心是其对角线的中点,若正方体的棱长为a ，则正方体外接球的半径为R =22a 2+a 2 2=32a .2.正方体的内切球的球心是其对角线的中点,若正方体的棱长为a ，则正方体内切球的半径为R =a 2.3.正方体的棱切球的球心是其对角线的中点,若正方体的棱长为a ，则正方体棱切球的半径为R =a 2 2+a 2 2=2a 2.正方体的每个面与其棱切球的交线轨迹为圆.正三棱锥正三棱锥的外接球结论：正三棱锥的外接球的球心在顶点与底面外接圆的圆心连线上,切球心到顶点与到底面的距离之比为3:1,即OP :OO 1=3:1.则若正三棱锥的边长为a ,则正三棱锥外接球的半径R =64a ,正三棱锥的高h =63a .【证明】：如图所示：将正三棱锥P -ABC 放进正方形中，由正三棱锥的边长为a 可得正方体的棱长为22a 故正三棱锥外接球的半径即为正方体外接球的半径∴R =32⋅22a =64a ,即OP =OC =64a 设底面ABC 外接圆的半径为r ，正三棱锥P -ABC 的高为h则a sin 60∘=2r ,即r =33a ,h =O 1P =PC 2-r 2=a 2-33a 2=63a ∴OO 1=OC 2-O 1C 2=R 2-r 2=612a 故OP OO 1=64a 612a =3正十四面体正十四面体的外接球定义：从正方体中切掉八个小的正三棱锥所得到的几何体称为正十四面体，如图所示，它有六个面为正方形，八个面为正三角形.正十四面体是阿基米德立体中的一种.结论①：正十四面体的外接球的球心就是正方体棱切球的球心.若正十四面体的边长为a ,则正方体的边长为2a ,正十四面体的高R =22⋅2a =a .结论②：若正十四面体的边长为a ,则正十四面体的体积V =532a 3.【证明】：由正十四面体的边长为a 可知：正方体的边长为2a 故切掉的一个小三棱锥的体积为V 0=13×12×22a 3=224a 3∴正十四面体的体积V =2a 3-8V 0=532a 3结论③：正十四面体的体积与正方体的体积之比为5∶6.【证明】：∵正十四面体的体积V =532a 3,正方体的体积为V 1=2a 3=22a 3∴正十四面体的体积与正方体的体积之比为V V 1=532a 322a 3=56.长方体长方体的外接球结论：长方体的外接球的球心是其对角线的交点,若长方体的长为a,宽为b，高为c，则长方体外接球的半径R=a2+b2+c22.【证明】：如图所示：AC=AB2+BC2=a2+b2∴2R=AC1=AC2+CC12=a2+b2+c2,即R=a2+b2+c22四种典型模型：外接球对棱相等模型结论：对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造长方体的方法解决.若三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z.,则几何体外接球的半径为R= x2+y2+z28.【证明】：如图，设长方体的长、宽、高分别为a,b,c，AC=BD=x,AB=CD=y, AD=BC=z.则b2+c2=z2 a2+c2=y2 a2+b2=x2三式相加可得a2+b2+c2=x2+y2+z22,而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R，则a2+b2+c2=4R2，∴R=a2+b2+c22=x2+y2+z28.外接球墙角模型定义：墙角模型是指几何体中有三条棱两两互相垂直的模型，采用构造法长方体或正方体解决问题.1.如果两两互相垂直的三条棱相等，则构造正方体模型.若棱长为a ，则几何体的外接球半径为R =32a .2.如果两两互相垂直的三条棱不全相等，则构造长方体模型.若两两互相垂直的三条棱的棱长分别为a 、b 、c ,则几何体的外接球半径为：R =a 2+b 2+c 22柱体与锥体外接球①柱体的外接球：柱体的外接球的球心是上下底面圆心连线的中点,若柱体的底面半径为r,高为h，则柱体外接球的半径R=r2+h2 2.②锥体的外接球：锥体的外接球的球心在顶点与底面圆心的连线上,若锥体的底面半径为r,高为h，则锥体外接球的半径R=r2+h2 2.【证明】：如图所示：OA=OP=R,O1A=r,O1P=h则OO1=O1P-OP=h-R在△AOO1中：OA2=OO12+O1A2,即R2=h-R2+r2∴R=h2+r22h汉堡模型是直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法解决找球心法:多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．则多面体外接球的半径为：R =r 2+h 24其中，h 为直棱柱的高，r 为底面外接圆的半径.以直棱柱为例，模型如下图：如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形)第一步：确定球心O 的位置，O 1是ΔABC 的外心，则OO 1⊥平面ABC ；第二步：算出小圆O 1的半径AO 1=r ，OO 1=12AA 1=12h (AA 1=h 也是圆柱的高)；第三步：勾股定理：OA 2=O 1A 2+O 1O 2⇒R 2=h 2 2+r 2⇒R =r 2+h 2 2，解出R .注意：底面外接圆的半径r 的求法1.正弦定理：a sinA =2R (通用)；2.直角三角形：半径等于斜边的一半；3.等边三角形：半径等于三分之二高；4.长（正）方形：半径等于对角线的一半.结论：垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O 的位置是△CBD 的外心O 1与△AB 2D 2的外心O 2连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1=r ，OO 1=h 2,则棱锥的外接球半径为：R =r 2+h 24．解题步骤：第一步：将ΔABC 画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：O 1为ΔABC 的外心，所以OO 1⊥平面ABC ，算出小圆O 1的半径O 1D =r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得a sin A =b sin B =c sin C =2r )，OO 1=12PA =12h ；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R )2=PA 2+(2r )2⇔2R =PA 2+(2r )2；②R 2=r 2+OO 12⇔R =r 2+OO 12=r 2+h 24外接球斗笠模型斗笠模型：棱锥、圆锥的顶点在底面的射影是底面外心的．多面体外接球公式为：R =h 2+r 22h其中h 为几何体的高，r 为几何体的底面半径或底面外接圆的半径.【证明】：∵P 的射影是△ABC 的外心∴三棱锥P -ABC 的三条棱相等取△ABC 的外心O 1,球心O 的位置，则P ,O ,O 1三点共线；由勾股定理可得：OA 2=O 1A 2+O 1O 2,即R 2=h -R 2+r 2解得：R =h 2+r 22h台体外接球台体的外接球结论：台体的外接球的球心在上下底面外接圆圆心的连线上,若台体下底面的外接圆半径为r 1,上底面的外接圆半径为r 2,高为h ，则台体外接球的半径为：R =r 12-r 22+h 22h2+r 22【证明】：如图所示：设球心到下底面的距离为h 1，到上底面的距离为h 2,则R 2=h 22+r 22⋯①R 2=h 12+r 12⋯②②-①得：h 22+r 22-h 12-r 12=0,即h 22+r 22-h -h 2 2-r 12=0整理得：r 22-h 2-r 12+2h ⋅h 2=0∴h 2=r 12-r 22+h 22h故R 2=h 22+r 22=r 12-r 22+h 22h2+r 22,即R =r 12-r 22+h 22h2+r 22切瓜模型是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面,即α⏊β.类型Ⅰ：△ABC与△BCD都是直角三角形,则三棱锥A-BCD的外接球球心在斜边BC的中点O.类型Ⅱ：△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，则三棱锥A-BCD的外接球球心为△ABC外接圆的圆心O.类型Ⅲ：△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD 的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ：侧面△ABC是一般三角形，设为α平面，底面是一般三角形或四边形，设为β平面，如图，解决方法是过α，β的外心O2,O1作所在平面的垂线，垂线必交于一点O，O即为外接球的球心.则几何体的外接球半径为R=r21+r22-l24其中r1、r2为平面α，β的外接圆的半径，l为两个面的交线BC的长.【证明】：过O1，O2作AB的垂线，则OO1⎳O2E,OO2⎳O1E∵α⏊β∴四边形OO2EO1为矩形∴R2=OB2=OO22+O2B2=O1E2+O2B2=O1B2-BE2+O2B2=r21+r22-l24即R=r21+r22-l2 4折叠模型：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠.结论：如图所示：△ABD 和△CBD 是两个全等的三角形（或者等腰三角形），把△ABD 沿BD 折叠起来，使点A 折叠到点A ,E 为BD 的中点，设折叠的二面角 ∠A EC =α,CE =A E =h ，△ABD 和△BCD 的外接圆的半径为r ,H 1和H 2分别为△BCD ,△A BD 外心，过H 1作平面BCD 的垂线，过H 2作平面A BD 的垂线，这两条垂线相交于球心O ,则R =r 2+(h -r )2tan 2α2【证明】：在△BCD 中：CH 1=r ,CE =h ,EH 1=CE -CH 1=h -r ,在△COH 1中：OH 1=EH 1⋅tan α2=(h -r )tanα2由勾股定理可得：R 2=OC 2=OH 21+CH 21=(h -r )2tan 2α2+r 2.∴R =r 2+(h -r )2tan 2α2结论：鳄鱼模型即普通三棱锥模型（两个面不垂直），用找球心法可以解决.如果m 为平面ACD 外接圆圆心O 2到交线CD 的距离，n 为平面BCD 外接圆圆心O 1到交线CD 的距离，θ为二面角A -CD -B 的平面角，l 为交线CD 的长,R 为外接球半径,则R =m 2+n 2-2mn cos θsin 2θ+l 24【证明】：如图所示：∵OO 1⏊O 1E ,OO 2⏊O 2E∴O ,O 1,E ,O 2四点共圆在△O 1O 2E 中，由余弦定理可得：O 1O 22=m 2+n 2-2m ⋅n ⋅cosθ在△OO 1O 2中，由正弦定理可得：O 1O2sinθ=2r 0=OE （r 0为△OO 1O 2外接圆半径）∴R 2=OC 2=OE 2+CE 2=O 1O 2sinθ 2+l 2 2=m 2+n 2-2mn ⋅cos θsin 2θ+l 24内切球内切球结论以三棱锥P-ABC为例，如下图所示：求其内切球的半径r．方法：等体积法，三棱锥P-ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：V P-ABC=V O-ABC+V O-PAB+V O-PAC+V O-PBC⇒V P-ABC=13S△ABC·r+13S△PAB·r+13S△PAC·r+13S△PBC·r=13(S△ABC+S△PAB+S△PAC+S△PBC)·r；第三步：解出内切球半径r=3V P-ABCS O-ABC+S O-PAB+S O-PAC+S O-PBC=3VS表．内切球半径公式：r=3VS表，其中S表为几何体的表面积，V表示几何体的体积.题型一：墙角模型1.长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD=3,AA1=1，则球面面积为()A.83πB.43πC.4πD.8π2.已知正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为2，则此三棱锥的外接球的表面积为()A.πB.3πC.6πD.9π3.已知三棱锥A-BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC=3，BC=2，CD=5，则球O的表面积为( )A.12πB.7πC.9πD.8π4.若三棱锥S−ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球半径为( ).A.3B.6C.36D.95.已知S，A，B，C，是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=2，则球O的表面积等于( ).A.4πB.3πC.2πD.π6.点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为().A.7πB.14πC.72πD.714π37.三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=3，PA⊥PB，三棱锥P-ABC的外接球的体积为()A.272πB.2732π C.273πD.27π8.已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=2，则球O的体积等于.9.已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，AB=23，AC= AD=4，CD=22，则球O的表面积为.10.已知正方体的所有顶点在一个球面上，若这个球的表面积为12π，则这个正方体的体积为.11.已知长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为325，AA1=25，则当长方体ABCD-A1B1C1D1的表面积最小时，该长方体外接球的体积为.变式演练1.在正三棱锥S-ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=22，则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为( )A.6πB.12πC.32πD.36π2.(多选题)一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在同一球的球面上，则该球的体积可能是()A.22πB.32πC.πD.52π3.在古代将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，已知四面体A-BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，且AB=BC=36CD，若此四面体的体积为833，则其外接球的表面积为.4.长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为2，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为.5.已知正四棱柱(底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱)的底面边长为3，侧棱长为4，则其外接球的表面积为.6.在四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC，三内角B，A，C成等差数列，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为.7.如图，在△ABC中，AB=AC=3，cos∠BAC=-13，D是棱BC的中点，以AD为折痕把△ACD折叠，使点C到达点C 的位置，则当三棱锥C -ABD体积最大时，其外接球的表面积为.8.在三棱锥P-ABC中，点A在平面PBC中的投影是△PBC的垂心，若△ABC是等腰直角三角形且AB=AC=1，PC=3，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为9.已知三棱锥S-ABC的三条侧棱SA,SB,SC两两互相垂直且AC=13,AB=5，此三棱锥的外接球的表面积为14π，则BC=．10.三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，直线PB与平面ABC所成角的大小为30°，AB=23，∠ACB=60°，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为．题型二：对棱相等模型1.在正四面体A-BCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为7，则该正四面体的外接球的体积是( )A.6πB.6πC.3632π D.3 2π2.四面体P-ABC的一组对棱分别相等，且长度依次为25，13，5，则该四面体的外接球的表面积为( )A.294πB.28πC.29296π D.29π3.在三棱锥P-ABC中，PA=BC=4，PB=AC=5，PC=AB=11，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为( )A.26πB.12πC.8πD.24π4.在三棱锥P-ABC中，PA=BC=3，PB=AC=2，PC=AB=5，则三棱锥P-ABC外接球的体积为( )A.2πB.3πC.6πD.6π5.正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为________．6.在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为________．7.在三棱锥A-BCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，则该三棱锥的外接球的体积为．8.已知三棱锥A-BCD，三组对棱两两相等，且AB=CD=1，AD=BC=3，若三棱锥A-BCD的外接球表面积为9π2，则AC=．9.在四面体ABCD中，AD=AC=BC=BD，AB=CD=42，球O是四面体ABCD的外接球，过点A作球O的截面，若最大的截面面积为9π，则四面体ABCD的体积是．变式演练1.表面积为83的正四面体的外接球的表面积为( )A.43πB.12πC.8πD.46π2.正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为14，则该正四面体的外接球表面积是( )A.12πB.32πC.8πD.24π3.蹴鞠(如图所示)，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A，B，C，D，满足AB=CD=5，BD=AC=6，AD=BC=7，则该鞠的表面积为( )A.55πB.60πC.63πD.68π4.已知正四面体ABCD的外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为________．5.已知四面体ABCD满足AB=CD=6，AC=AD=BC=BD=2，则四面体ABCD的外接球的表面积是________．6.三棱锥中S-ABC，SA=BC=13，SB=AC=5，SC=AB=10．则三棱锥的外接球的表面积为______.7.已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB=CD=a，AC= AD=BC=BD=5，则a=________.8.在三棱锥P-ABC中，若PA=PB=BC=AC=5，PC=AB=42，则其的外接球的表面积为．9.已知在四面体ABCD中，AB=CD=22,AD=AC=BC=BD=5，则四面体ABCD的外接球表面积为．10.若四面体ABCD中，AB=CD=BC=AD=5，AC=BD=2，则四面体的外接球的表面积为．11.在三棱锥P-ABC中，PA=BC=5，PB=AC=17，PC=AB=10，则该三棱锥外接球的表面积为；外接球体积为．12.在四面体ABCD中，AC=BD=2，AD=BC=5，AB=CD=7，则其外接球的表面积为.题型三：斗笠模型1.已知在高为2的正四棱锥P-ABCD中，AB=2，则正四棱锥P-ABCD外接球的体积为()A.4πB.9π2C.27π4D.8π32.正三棱锥P-ABC底面边长为2，M为AB的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P-ABC外接球的体积为()A.32π3B.6πC.6πD.82π33.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=5，AB=AC=BC=3，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是()A.9πB.152πC.4πD.254π4.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB= BC=AC=OO1，则球O的表面积为( )A.64πB.48πC.36π D.32π5.在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =2，AB =AC =1，BC =3，则该三棱锥外接球的体积为( )A.4π3 B.823π C.43π D.323π6.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B.16πC.9πD.27π47.正三棱锥P -ABC 底面边长为2，M 为AB 的中点，且PM ⊥PC ，则三棱锥P -ABC 外接球的体积为()A.32π3B.6πC.6πD.82π38.已知一个圆锥的底面面积为3π，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于.9.一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60°，若该圆锥的侧面积为33π，则该圆锥外接球的表面积为________．10.如图所示，在正四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，cos ∠PEF =22，若A ，B ，C ，D ，P 在同一球面上，则此球的体积为．11.在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =26,AC =AB =4，且AC ⊥AB ，则该三棱锥外接球的表面积为．变式演练1.某圆锥的侧面展开后，是一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为()A.243256B.128243C.128729D.2567292.已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O 的球面上，圆锥的母线长为3，侧面展开图的面积为3π，则球O 的表面积等于()A.81π8B.81π2C.121π8D.121π23.已知一个圆锥的底面圆面积为3π，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于()A.12πB.16πC.36πD.48π4.已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O 面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为2π3，面积为3π，则球O 的表面积等于()A.81π8B.81π2C.121π8D.121π25.已知一个圆锥的底面半径为2，高为3，其体积大小等于某球的表面积大小，则此球的体积是()A.43πB.833π C.4π D.4π36.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32π3，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为()A.3πB.4πC.9πD.12π7.在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =3，侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为( )A.πB.π3C.4π D.4π38.在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =6，AC =AB =2，且AC ⊥AB ，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.4π B.8π C.16π D.9π9.已知体积为3的正三棱锥P -ABC 的外接球的球心为O ，若满足OA +OB +OC =0 ，则此三棱锥外接球的半径是( )A.2 B.2 C.32 D.3410.已知正四棱锥P -ABCD 的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为2，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为( )A.124π3 B.625π81 C.500π81D.256π911.已知在高为2的正四棱锥P -ABCD 中，AB =2，则正四棱锥P -ABCD 外接球的体积为()A.4πB.9π2C.27π4D.8π312.设圆锥的顶点为A ，BC 为圆锥底面圆O 的直径，点P 为圆O 上的一点(异于B 、C )，若BC =43，三棱锥A -PBC 的外接球表面积为64π，则圆锥的体积为.13.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，若ΔSAB的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是．14.在六棱锥P-ABCDEF中，底面是边长为2的正六边形，PA=2且与底面垂直，则该六棱锥外接球的体积等于．题型四：汉堡模型1.已知正三棱柱的高与底面边长均为2，则该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为()A.17B.77C.37D.2172.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且PA=8，AC=6，则球O的表面积为()A.10πB.25πC.50πD.100π3.三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=30°，ΔAPC的面积为3，则三棱锥P-ABC的外接球体积的最小值为()A.323π3 B.43π3 C.86π D.326π4.已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上，PA⊥底面ABCD，AB=AD=1，BC= CD=2，若球O的表面积为9π，则四棱锥P-ABCD的体积为()A.4B.43C.25D.2535.已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，AB=2，CD=2，AC=AD=5，则球O的表面积为()A.6πB.2πC.3πD.6π6.已知边长为3的正△ABC的顶点和点D都在球O的球面上.若AD=6，且AD⊥平面ABC，则球O的表面积为()A.323πB.48πC.24πD.12π7.已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的底面边长为a，高为h，球的体积为86π，则这个正四棱柱的侧面积的最大值为()A.482B.242C.962D.1228.(多选题)在四面体ABCD中，AB⊥AC，AC⊥CD，直线AB，CD所成的角为60°，AB=CD =43，AC=4，则四面体ABCD的外接球表面积为()A.16053π B.52π C.80π D.208π9.已知四棱锥P-ABCD的五个顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是高为12的等腰梯形，AD⎳BC，AD=PA=1，BC=2，则球О的表面积为()A.10πB.4πC.5πD.6π10.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面积为334，一个侧面的周长为63，则正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为( )A.4πB.8πC.16πD.32π11.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB=AC=1，AA1=23，∠BAC=2π3，则球O的体积为( )A.32π3B.3πC.4π3D.8π12.在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥底面ABCD,AB⊥BC,AD⊥CD，且∠BAD=120°,PA=设直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是4010π3，AB=AC=AA1，∠BAC=120°，则此直三棱柱的高是______．变式演练1.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为( )．A.3172 B.210 C.132D.3102.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )．A.πa2B.73πa2C.113πa2D.37πa23.直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于( )．A.10πB.20πC.30πD.40π4.已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )A.4πB.16π3C.32π3D.16π5.若一个圆柱的表面积为12π，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为( )A.(125-12)πB.123πC.(123+3)πD.16π6.一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为( )A.28π3B.22π3 C.43π3 D.7π7.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且PA=8，AC=6，则球O的表面积为()A.10πB.25πC.50πD.100π8.已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上，PA⊥底面ABCD，AB=AD=1，BC=CD =2，若球O的表面积为9π，则四棱锥P-ABCD的体积为()A.4B.43C.25D.2539.有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，此圆锥的母线与底面所成角为60°,若此圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则此圆柱的高是其底面半径的( )A.2倍B.2倍C.22倍D.3倍10.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，AA1=2，则该三棱柱的外接球的体积为( )A.40π3B.4030π27 C.32030π27 D.20π11.三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=30°，ΔAPC的面积为3，则三棱锥P-ABC的外接球体积的最小值为()A.323π3 B.43π3 C.86π D.326π12.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=6，则该直三棱柱外接球的表面积为( )A.72πB.114πC.136πD.144π13.设直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在一个球面上，AB=AC=AA1，∠BAC=120°，且底面△ABC的面积为23，则此直三棱柱外接球的表面积是( )A.16πB.4010π3 C.40π D.64π14.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的表面积为( )A.36πB.144πC.169πD.256π题型五：垂面模型1.已知在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB=30°，AC=2AB=23，SA=1．则该三棱锥的外接球的体积为( )A.13813πB.13πC.136πD.13136π2.三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=PC=AC=2，AB=4，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为( )A.23πB.234πC.64πD.643π3.在三棱锥S-ABC中，侧棱SA⊥底面ABC，AB=5，BC=8，∠ABC=60°，SA=25，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.643πB.2563πC.4363πD.2048327π4.在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC=120˚，PA=AB=AC=2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.103πB.18πC.20πD.93π5.已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，BC⊥平面PAB，若AB=BC=1，PA=2，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A.24πB.8πC.6πD.8π36.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．若四棱锥P-ABCD为阳马，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB=2，AD=4，二面角P-BC-A为60°，则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为( )A.16πB.20πC.643πD.32π7.三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，若SA=AB=BC=AC=3，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.18πB.21π2C.21πD.42π8.四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形，若AB=2，则球O的表面积为( )A.4πB.12πC.16πD.32π9.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=120°，AC=2，AB=1，设D为BC中点，且直线PD与平面ABC所成角的余弦值为55，则该三棱锥外接球的表面积为________．10.中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA⊥平面ABCE，四边形ABCD为正方形，AD=5，ED=3，若鳖臑P-ADE的外接球的体积为92π，则阳马P-ABCD的外接球的表面积为________．11.我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，PA⊥平面ABCD，PA=4，AB=3，AD=1，则该“阳马”外接球的表面积为．12.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=4．若三棱锥P-ABC外接球的半径为22，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为．13.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=4，cos∠ACB=13，若三棱锥P-ABC外接球的表面积为52π，则三棱锥P-ABC体积的最大值为．变式演练1.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=23，AB=1，AC =2，∠BAC=60°，则球O的表面积为( )A.4πB.12πC.16πD.64π2.在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC=60°，PA=2，AB=AC=3，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.4π3B.82π3 C.8πD.12π3.如图，在△ABC中，AB=BC=6，∠ABC=90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，连接PC，得到三棱锥P-BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )A.7πB.5πC.3πD.π4.已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23的正方形．若PA=26，则△OAB的面积为( )．A.3B.22C.33D.635.在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，SA=4，底面ΔABC是边长为3的正三角形，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为( )A.19πB.28πC.43πD.76π6.三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC且PA=2，ΔABC是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.4π3B.4πC.8πD.20π7.三棱锥P-ABC中，AB=BC=15，AC=6，PC⊥平面ABC，PC=2，则该三棱锥的外接球表面积为( )A.253πB.252πC.833πD.832π8.在三棱锥S-ABC中，侧棱SC⊥平面ABC，SA⊥BC，SC=1，AC=2，BC=3，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A.14πB.12πC.10πD.8π9.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=60°,AB=AC=23,PA=2，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π10.三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，BC⊥CA，AC=1，BC=2，PA=2，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.9πB.36πC.92πD.94π11.三棱锥P-ABC中，AB=BC=15，AC=6，PC⊥平面ABC，PC=2，则该三棱锥的外接球表面积为________．12.已知三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，SA=AB=4，BC=6，AC=213，则三棱锥S-ABC外接球的表面积为．13.已知四面体P-ABC中，PA=PB=4，PC=2，AC=25，PB⊥平面PAC，则四面体P-ABC外接球的表面积为．14.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=120°，AC=2，AB=1，设D为BC中点，且直线PD与平面ABC所成角的余弦值为55，则该三棱锥外接球的表面积为．15.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AP=2，点M是矩形ABCD内(含边界)的动点，且AB=1，AD=3，直线PM与平面ABCD所成的角为π4．记点M的轨迹长度为α，则tanα= ；当三棱锥P-ABM的体积最小时，三棱锥P-ABM的外接球的表面积为．题型六：切瓜模型1.在矩形ABCD中，AB=4,BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为()A.12512πB.1259πC.1256πD.1253π2.已知三棱锥A-BCD中，△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A-BD-C为直二面角，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为( )A.10π3B.5πC.6πD.20π33.已知三棱锥A-BCD中，CD=22，BC=AC=BD=AD=2，则此几何体外接球的表面积为。

高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)-精选.pdf

高考数学中的内切球和外接球问题
一、有关外接球的问题
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面
体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球 . 有关多面体外接
球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点 . 考查
学生的空间想象能力以及化归能力 .研究多面体的外接球问题，既要
学习 .
五 .确定球心位置法
例 5 在矩形 ABCD 中， AB 4, BC 3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一
个直二面角 B AC D ，则四面体 ABCD 的外接球的体积为
125
A. 12
125
B. 9
125
C. 6
125
D. 3
D
A
O
C
图4 B
解设矩形对角线的交点为 O ，则由矩形对角线互相平分，可知
例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的
表面积为 24 ，则该球的体积为 ______________.4 3 . 2、求长方体的外接球的有关问题
例 3 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条
棱长分别为 1,2,3 ，则此球的表面积为
.14 .
例 4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，
只是希望能有个人，在我说没事的时候，知道我不是真的没事；能有个人，在我强颜欢笑的时候，知道我不是真的开心。 ——张小娴
OA OB OC OD .∴点 O 到四面体的四个顶点 A、B、C、D 的距离相
等，即点 O 为四面体的外接球的球心，如图 2 所示 .∴外接球的半径
5 R OA
V 球 4 R3 125
2 .故
3
6 .选 C.

专题——几何体的外接球和内切球问题

B．112π
C.1 000π 9
D.5 000 10π 81
※内切球问题 1．正棱锥的内切球.
第一步：先现出内切球的截面图， E, H 分别是两个三角形的外心；第二步：由 POE 相似于 PDH ，建立等式： OE PO ，解出 r
DH PD
2．任意多面体的内切球：等体积法，
例 3 非直二面角类型
（1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
专题——几何体的外接球和内切球问题
※基础知识：
1．常见平面图形：正方形，长方形，正三角形的外接圆和内切圆
长方形（正方形）的外接圆半径为对角线长的一半，正方形的内切圆半径为边长的一半；
正三角形的内切圆半径： 3 a 6
外接圆半径： 3 a 3
面体的外接球的球心。由定义，给出以下简单多面体外接球的球心的结论。
结论 1：正方体或长方体的外接球的球心就是其体对角线的中点，即其外接球的半径 R 满足：
2R2 a2 b2 c2 ，即 R a2 b2 c2
2 结论 2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点，即正棱柱的外接球的半径 R 为： R h 2 r 2 （其中 h 为正棱柱的侧棱长， r 是底面多边形的外接圆的半径）
（1）已知边长为 2 3 的菱形 ABCD 中，BAD 60 ，沿对角线 BD 折成二面角 A BD C 的大
小为120 的四面体，则该四面体的外接球的表面积为
。
第一步：先求出多面体的表面积和体积；第二步：解出 r 3V S表
例 1、正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）
球。
3．球的截面：
用一平面去截一个球 O ，设 OO 是平面的垂线段，O 为垂足，且 OO d ，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以

立体几何中球的内切和外接问题完美版

性质
内切球的球心位于旋转体的轴线上，且球的半径等于旋转体半径。
应用
在几何和工程领域中，内切球常用于研究旋转体的体积和表面积。
旋转体的外接球
定义
旋转体的外接球是指与旋转体外侧相切的球。
性质
外接球的球心位于旋转体外侧，且球的半径等于旋转体轴线到旋转体外侧的垂直距离。
应用
在几何ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ工程领域中，外接球常用于研究旋转体的空间位置和关系。
立体几何中球的内切和外接问题完美版
目录
• 球与多面体的内切和外接问题 • 球与旋转体的内切和外接问题 • 球与几何体的内切和外接问题实例 • 总结与展望
01
CATALOGUE
球与多面体的内切和外接问题
多面体的内切球
01
02
03
04
多面体的内切球是指与多面体的所有顶点和面都相切的
球。
内切球半径的求法：设多面体的每个面为$S_i$，内切球的半径
03
CATALOGUE
球与几何体的内切和外接问题实例
多面体内切球实例
总结词
多面体内切球是指一个球完全内切于一个多面体，且与多面体的每个面都相切。
详细描述
多面体内切球的问题可以通过几何定理和公式来解决，例如欧拉公式和球内切定理。例如，一个正方体的内切球就是其中心，半径等于正方体边长的一半。
旋转体外接球实例
外接球的性质：外接球与多面体的每个顶点都相切，且外接球的直径等于多面体的对角线长度。
外接球的应用：在几何、物理和工程领域中，外接球的概念被广泛应用于研究多面体的性质和计算。
02
CATALOGUE
球与旋转体的内切和外接问题

立体几何外接球和内切球十大题型

立体几何外接球和内切球十大题型
立体几何中的外接球和内切球是常见的题型，下面我将列举十个常见的题型并进行解答。

1. 求立方体的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于立方体的对角线的一半，内切球的半径等于立方体的边长的一半。

2. 求正方体的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于正方体的对角线的一半，内切球的半径等于正方体的边长的一半。

3. 求圆柱体的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于圆柱体的底面半径，内切球的半径等于圆柱体的高的一半。

4. 求圆锥的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于圆锥的底面半径，内切球的半径等于圆锥的高的一半。

5. 求球的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于球的半径的根号3倍，内切球的半径等于球的半径的一半。

6. 求棱锥的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于棱锥的底面边长的一半，内切球的半径等于棱锥的高的一半。

7. 求棱柱的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于棱柱的底面边长的一半，内切球的半径等于棱柱的高的一半。

8. 求四面体的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于四面体的外接圆的半径，内切球的半径等
于四面体的内切圆的半径。

9. 求正六面体的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于正六面体的对角线的一半，内切球的半径等于正六面体的边长的一半。

10. 求正八面体的外接球和内切球的半径。

外接球的半径等于正八面体的对角线的一半，内切球的半径等于正八面体的边长的一半。

以上是关于立体几何中外接球和内切球的十个常见题型及其解答。

希望能对你有所帮助。

球的内切、外接问题

例 10 若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上,求
P
球的表面积．
解1：作出截面图如图示. 由图可知，
3
AD
a,
2
2
3
AO AD
a.
3
3
a
6
2
2

∴PO PA AO
a.
3
6
∴OO PO PO
a R.
3
P
a
R
R
A
A
R O•
O•
•
O′
解得R
时，球内切于圆锥，如图所示，
O为球心，M为球O与母线PB的切点，E为底面圆心，
设球O的半径为R，底面圆E的半径为r，
因为圆锥侧面积为2π，
LOGO
（4）正棱锥、圆锥 ②外接球
例8 正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，若该正
四棱锥的底面边长为4，侧棱长为2 6，求这个球
P
的表面积. 36π
PO′= 4，OO′=4－R，AO=R
2 6
AO2 = OO′ 2 + AO′ 2，
R=3
•
O′
R
R
A
O
O•
•
O′
O′
•
O
LOGO
（4）正棱锥、圆锥 ②外接球
正棱锥外接球半径求法——轴截面法
1.球心在棱锥的高所在的直线上
2.球心到底面外接圆圆心的距离d等于锥体的高h 减去球半径R的绝对值
d= |h －R |
P
3. R 2 r 2 (h R ) 2
4
9
O
1
，解得r= 3
轴截面法

(word完整版)高考数学中的内切球和外接球问题

高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24 ,则该球的体积为.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ,则此球的表面积为.例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为（）.A. 16B. 20C. 24D. 323.求多面体的外接球的有关问题例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9,底面周长为3,则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为x ,高为h ,则有 6x 3 9 会 3 2.6 — x h 8 4的半径的常用公式二、构造法（补形法）1、构造正方体例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 V 3 ,则其外接球的表面积是.例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为V 3 ,则其外接球的表面积是.故其外接球的表面积S 4 r 2 9 .小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a,b,c ,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ,则有2R va 2 b 2 c 2.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

空间几何体的外接球与内切球问题(学生版)

空间几何体的外接球与内切球问题目录一、必备秘籍二、典型题型题型一：内切球等体积法题型二：内切球独立截面法题型三：外接球公式法题型四：外接球补型法题型五：外接球单面定球心法题型六：外接球双面定球心法三、专项训练一、必备秘籍1．球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。

定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。

类型一球的内切问题(等体积法)例如：在四棱锥P-ABCD中，内切球为球O，求球半径r.方法如下：V P-ABCD=V O-ABCD+V O-PBC+V O-PCD+V O-PAD+V O-PAB即：V P-ABCD=13S ABCD⋅r+13S PBC⋅r+13S PCD⋅r+13S PAD⋅r+13S PAB⋅r，可求出r.类型二球的外接问题1、公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点2、补形法(补长方体或正方体)①墙角模型(三条线两个垂直)题设：三条棱两两垂直(重点考察三视图)②对棱相等模型(补形为长方体)题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB=CD，AD=BC，AC=BD) 3、单面定球心法(定+算)步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P-ABC中，选中底面ΔABC，确定其外接圆圆心O1(正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2r=asin A)；②过外心O1做(找)底面ΔABC的垂线，如图中PO1⊥面ABC,则球心一定在直线(注意不一定在线段PO1上)PO1上；③计算求半径R:在直线PO1上任取一点O如图：则OP=OA=R，利用公式OA2=O1A2+OO12可计算出球半径R.4、双面定球心法(两次单面定球心)如图：在三棱锥P-ABC中：①选定底面ΔABC，定ΔABC外接圆圆心O1②选定面ΔPAB，定ΔPAB外接圆圆心O2③分别过O1做面ABC的垂线，和O2做面PAB的垂线，两垂线交点即为外接球球心O.二、典型题型题型一：内切球等体积法1(22·23·全国·专题练习)正三棱锥P-ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为()A.1：3B.1：3+3C.3+1 ：3D.3-1 ：32(22·23下·朔州·阶段练习)正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为．3(23·24上·萍乡·期末)已知球O 是棱长为1的正四面体的内切球，AB 为球O 的一条直径，点P 为正四面体表面上的一个动点，则PA ⋅PB的取值范围为.4(22·23上·张家口·期中)球O 为正四面体ABCD 的内切球，AB =4，PQ 是球O 的直径，点M 在正四面体ABCD 的表面运动，则MP ⋅MQ的最大值为．5(22·23上·河南·阶段练习)已知正四面体ABCD 的棱长为12，球O 内切于正四面体ABCD ,E ,F 是球O 上关于球心O 对称的两个点，则AE ⋅BF的最大值为.6(22·23上·扬州·期中)中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，则该“阳马”的内切球表面积为，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为．题型二：内切球独立截面法1(23·24上·淮安·开学考试)球M 是圆锥SO 的内切球，若球M 的半径为1，则圆锥SO 体积的最小值为()A.43π B.423π C.83π D.4π2(22·23下·咸宁·期末)已知球O 内切于圆台(即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切)，且圆台的上、下底面半径r 1:r 2=2:3，则圆台的体积与球的体积之比为()A.32B.1912C.2D.1963(22·23·全国·专题练习)若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为.4(23·24上·佛山·开学考试)若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的体积为4π3，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥的表面积为．5(22·23下·成都·阶段练习)已知圆锥的底面半径为2，高为42，则该圆锥的内切球表面积为.题型三：外接球公式法1(16·17·全国·单元测试)若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,则该长方体的外接球表面积为　()A.50πB.100πC.150πD.200π2(22·23·全国·专题练习)设球O 是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球O 的截面，则最小截面的面积为()A.3πB.4πC.5πD.6π3(14·15上·佛山·阶段练习)正方体的外接球(正方体的八个顶点都在球面上)与其内切球(正方体的六个面都与球相切)的体积之比是．题型四：外接球补型法1(23·24上·成都·开学考试)在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =2，PA ⊥PB ,PA ⊥PC ,PB ⊥PC ,则该三棱锥的外接球的表面积为()A.43πB.12πC.48πD.323π2(22·23下·揭阳·期中)在三棱锥S -ABC 中，SA =BC =5，SB =AC =41，SC =AB =34，则该三棱锥的外接球表面积是()A.50πB.100πC.150πD.200π3(23·24上·成都·开学考试)已知四面体ABCD 满足AB =CD =3，AD =BC =5，AC =BD =2，且该四面体ABCD 的外接球的表面积是()A.2πB.6πC.6π11D.4π4(22·23下·黔西·阶段练习)正三棱锥P -ABC 的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为.5(22·23下·黔西·期中)如图，已知在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥PA ，且PA =2PB =2PC =2，求该三棱锥外接球的表面积是．题型五：外接球单面定球心法1(23·24上·汉中·模拟预测)如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ,PA =6,BC =3,∠CAB =π6,O为△ABC 外接圆的圆心，O 为三棱锥P -ABC 外接球的球心，OQ ⊥PA ，则三棱锥P -ABC 的外接球O 的表面积为．2(23·24上·秦皇岛·开学考试)三棱锥P-ABC中，AB⊥BC,P在底面的射影O为△ABC的内心，若AB=4,BC=3，PO=5，则四面体PABC的外接球表面积为.3(22·23下·石家庄·阶段练习)已知球O是正四面体P-ABC的外接球，E为棱PA的中点，F是棱PB上的一点，且FC=2EF，则球O与四面体P-EFC的体积比为.4(22·23下·淄博·期末)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，其中AD=2，AB=3，则四棱锥P-ABCD的外接球表面积为.题型六：外接球双面定球心法1(22·23上·抚州·期中)已知菱形ABCD的各边长为2,∠D=60°.如图所示，将△ACD沿AC折起，使得点D到达点S的位置，连接SB，得到三棱锥S-ABC，此时SB=3.若E是线段SA的中点，点F在三棱锥S-ABC的外接球上运动，且始终保持EF⊥AC则点F的轨迹的面积为.2(22·23·赣州·模拟预测)如图，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中AB=4，把△ADE沿着DE翻折至△A DE的位置，得到四棱锥A -BCED，则当四棱锥A -BCED的体积最大时，四棱锥A -BCED外接球的球心到平面A BC的距离为.3(22·23下·湖南·期末)为加强学生对平面图形翻折到空间图形的认识，某数学老师充分利用习题素材开展活动，现有一个求外接球表面积的问题，活动分为三个步骤，第一步认识平面图形：如图(一)所示的四边形PABC中，AB=BC=2，PA=PC，∠ABC=60°，PA⊥PC.第二步：以AC为折痕将△PAC折起，得到三棱锥P-ABC，如图(二).第三步：折成的二面角P-AC-B的大小为120°，则活动结束后计算得到三棱锥P-ABC外接球的表面积为.三、专项训练一、单选题1(22·23下·河南·模拟预测)已知直六棱柱的所有棱长均为2，且其各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ).A.16πB.20πC.24πD.25π2(22·23下·宁德·期中)正四面体ABCD的外接球的半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为()A.2π3B.4π3C.8π3D.3π3(23·24上·河北·开学考试)长方体的一个顶点上三条棱长是3，4，5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是()A.12523π B.1252π C.50π D.125π4(22·23下·临夏·期末)已知四棱锥P-ABCD的体积为83，侧棱PA⊥底面ABCD，且四边形ABCD是边长为2的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为()A.12πB.8πC.4πD.2π5(23·24上·广东·阶段练习)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使得A,B,C三点重合于点A ，若三棱锥A -EFD的所有顶点均在球O的球面上，则球O的表面积为()A.2πB.3πC.6πD.8π6(23·24上·安徽·开学考试)在封闭的等边圆锥(轴截面为等边三角形)内放入一个球，若球的最大半径为1，则该圆锥的体积为()A.3πB.6πC.9πD.12π7(23·24上·莆田·阶段练习)三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为23的正三角形，PA=4,PA⊥AB,D为BC中点且PD=5，则该三棱锥外接球的表面积为()A.16πB.32πC.48πD.64π8(22·23·九江·一模)三棱锥A-BCD中，△ABD与△BCD均为边长为2的等边三角形，若平面ABD ⊥平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为()A.8π3B.20π3C.8πD.20π二、填空题9(23·24·柳州·模拟预测)已知圆锥的底面直径为23，轴截面为正三角形，则该圆锥内半径最大的球的体积为.10(22·23·唐山·二模)已知某圆台的上、下底面的圆周在同一球的球面上，且圆台上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面的面积为3，则该圆台的外接球的体积为．11(22·23·大同·模拟预测)四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑．在鳌臑P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=4，AB=BC=2，鳌臑P-ABC的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是．12(23·24上·辽宁·阶段练习)已知圆锥的底面半径为2，侧面展开图的面积为8π，则该圆锥的内切球的体积为.13(23·24上·成都·阶段练习)已知三棱锥S-ABC底面ABC是边长为2的等边三角形，平面SAB⊥底面ABC，SA=SB=2，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为.14(23·24上·遂宁·阶段练习)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点在球O1上，又球O2与此三棱柱的5个面都相切，则球O1与球O2的表面积之比为.15(22·23下·赣州·阶段练习)已知圆锥的内切球半径为1，若圆锥的侧面展开图恰好为一个半圆，则该圆锥的体积为．。

内切球与外接球常见解法

内切球与外接球常见解法一、内切球内切球是指一个球体恰好能够被另一个球体包围，且两个球体相切于球面上的一个点。

在数学中，内切球经常与三角形、四面体等几何图形相关联。

1. 三角形的内切圆对于一个任意形状的三角形，都存在唯一一个内切圆，该内切圆的圆心与三角形的三条边相切。

下面介绍一种常见的求解方法：以三角形的三个顶点为A、B、C。

1) 求解三个边长a、b、c。

利用两点之间的距离公式可以得到三条边的长度：a = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]b = √[(x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2]c = √[(x1 - x3)^2 + (y1 - y3)^2]2) 求解三角形的半周长s。

s = (a + b + c)/23) 求解内切圆的半径r。

r = √[(s - a)(s - b)(s - c)/s]4) 求解内切圆的圆心坐标。

利用三角形面积公式可以求解内切圆的圆心坐标：x = (a*x1 + b*x2 + c*x3)/(a + b + c)y = (a*y1 + b*y2 + c*y3)/(a + b + c)2. 四面体的内切球对于四面体，即由四个平面三角形组成的几何图形，也存在一个内切球。

下面介绍一种常见的求解方法：以四面体的四个顶点为A、B、C、D。

1) 求解四个面的面积S1、S2、S3、S4。

利用三角形面积公式可以求解四个面的面积。

S1 = 1/2 * |(B - A) × (C - A)|S2 = 1/2 * |(C - B) × (D - B)|S3 = 1/2 * |(D - C) × (A - C)|S4 = 1/2 * |(A - D) × (B - D)|2) 求解四面体的体积V。

四面体的体积可以通过以下公式求解：V = 1/6 * |(B - A) · [(C - A) × (D - A)]|3) 求解四面体内切球的半径r。

与内切球外接球半径相关的问题

与内切球外接球半径相关的问题有关于内切球、外接球的问题，应该说是一个比较困难的问题，几乎所有同学都会感到无从下手，这是正常的，因为这类问题需要强有力的想象力，同时方法性极强。

我们就这部分问题，尽量总结全面。

1．内切球和外接球的基本定义;立体图形的内切球是指：与该立体图形的所有面都相切的球，注意是与所有面都相切，因此，很多立体图形是不存在内切球的。

基本性质是：球心到所有面的距离相等，且为内切球半径。

立体图形的外接球是指：立体图形的所有顶点都在球面上。

基本性质是：球心到所有顶点的距离相等，且为外接球半径。

2.长方体的外接球：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2，长方体体对角线长l ，则2222c b a R ++=3.正方体的外接球：正方体的棱长为a ，则正方体的体对角线为a 3，其外接球的直径R 2为a 3。

4.正四面体的内切球、外接球（1）正四面体的内切球球心和外接球球心是重合的，并且都在正四面体的高线上。

（2）正四面体的高若为h ，则外接球半径34R h =，内切球半径14r h = 5. 直棱柱的外接球：直棱柱外接球半径的思想是：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。

（1）直棱柱的体对角线长就是外接球的直径，这是核心。

（2）直棱柱的体对角线2=底面图形的外接圆直径2+侧棱（即高）26.正棱锥的外接球：正棱锥外接球半径的思想是：球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是外接球半径，列出关于半径的方程。

我们需要考虑将“球心”“底面正多边形的中心”“底面上任一个顶点”这三个点连接起来，构成一个直角三角形，利用勾股定理，列出关于半径的方程。

一般来说这个方程是：222()h R a R -+=或222()R h a R -+=，这里的h 是指正棱锥的高，a 是指底面正多边形的对角线长的一半，若底面为正三角形时，a 是指正三角形中线长的23，考生可以划出一个图形，印证一下这些内容。

空间几何体的外接球内切球问题

ＰＤS ＣAＯ空间几何体的外接球、内切球问题外接球问题一.棱锥的外接球三棱锥都有外接球；底面有外接圆的任意棱锥都有外接球。

1.确定棱锥外接球球心的通法先找到棱锥底面的外接圆的圆心D ，过D 作底面的垂线ＤＰ交一侧棱的中垂面于O ，点O 即为外接球的球心。

练习：1.三棱锥S-ABC 的各顶点都在同一球面上，若SB ⊥平面ABC ,SB=6，AB=AC=2120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于。

2. 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的体积为。

3.四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，32=AC ，6=BD ，则该球的表面积为（）A ． π14 B.π15 C.π16 D.π182.补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一结论求解。

练习：1.三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（）A ．26a πB ．29a πC ．212a πD ．224a π2.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC =O 表面积等于（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π3.,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( )A.3πB.4πD.6π4.3.公共边所对的两个角为直角确定球心法练习1.在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π2.空间四边形ABCD中，1,AB BC AD DC ====ABCD 的外接球的表面积为4.利用轴截面截球为大圆确定球半径正四、六、八棱锥的外接球的一个轴截面为大圆，该圆的半径等于外接球的半径. 练习：1.正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .2.正六棱锥EF S ABCD -的底面边长为1S A B C D 、、、、、E 、F 都在同一球面上，则此球的表面积为 .3.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为_ C_ A_ O_ D _ BA．3B．13π C．23π D．3二.棱柱的外接球底面有外接圆的直棱柱才有外接球。

空间正方体的外接球和内切球问题

空间正方体的外接球和内切球问题外接球
外接球是一个与正方体相切于所有顶点的球体。

换句话说，外接球的球心与正方体的顶点相重合，并且球体的半径刚好与正方体的边长相等。

由于正方体的六个顶点之间的距离是相等的，所以外接球也是一个等边球体。

外接球的性质有以下几点：
1. 外接球的球心与正方体的中心重合。

2. 外接球的半径等于正方体的边长。

内切球
内切球是一个与正方体的六个面相切的球体。

换句话说，内切球的球心位于正方体的中心，并且球体的半径刚好与正方体的边长的一半相等。

内切球的性质有以下几点：
1. 内切球的球心与正方体的中心重合。

2. 内切球的半径等于正方体的边长的一半。

外接球和内切球的关系如下：
1. 外接球的半径等于内切球半径的两倍。

2. 外接球的球心和内切球的球心重合。

外接球和内切球的问题在几何学和工程学中具有一定的应用价值。

通过研究它们的性质和特点，可以帮助我们更好地理解立体几何和球体的关系。

本文只是简单介绍了空间正方体的外接球和内切球问题，希望能对您有所帮助。

如需深入了解此问题，还需进一步研究和探索。

超全的外接球与内切球问题

第二章：外接球与内切球1．空间几何体的内切球几何体示例图像截面图对应性质圆柱r h 、分别为圆柱的底面圆半径和高，R 为内切球半径．R r =且2h R =；正三棱柱r h 、分别为柱体的底面三角形内切圆半径和高，R 为内切球半径．R r =且2h R =；正棱锥PE 为锥体的斜高，h r 、分别为锥体的高和底面内切圆半径，R 为内切球半径．1POF PEO △∽△可得R OP h R r PE PE -==“钻石”PE 为锥体的斜高，h r 、分别为锥体的高和底面内切圆半径，R 为内切球半径．在Rt POE △中，满足h rR PE⋅=一般三棱锥记R 为内切球半径，三棱锥的四个面面积分别为1234S S S S 、、、，则1234VR S S S S =+++【示例1】1．如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V =__________．【解析】记内切球半径为R ，底面圆半径为r ，圆柱高为h ；则R r =且2h R =；则23122V h s r r r ππ=⋅=⋅=，3324433V R r ππ==；∴1232V V =2．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为__________．【解析】轴截面如右图，记h r 、为圆锥的高和底面圆半径，R 为内切球半径；由题意，3h R =，同时由1POF PEO △∽△可得1OP OFPE EO =；即R r==，得r =，则PE =．∴在圆锥1O P 中，2212S PE r R ππ=⋅=侧，2=4S R π球；则:3:1S S =侧球【例1】1．已知正方体的内切球（球与正方体的六个面都相切）的体积是323π，则该正方体的表面积为__________．2．如果一个八面体各个面都是全等的正三角形，如图所示，则这个几何体叫正八面体，则棱长为4的正八面体的内切球半径是__________．3．在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是__________．4．天津滨海文化中心地处天津滨海新区开发区，是天津乃至京津冀地区的标志性文化工程．其中滨海图书馆建筑独具特色，被称为“滨海之眼”，如图1所示，中心球状建筑引起了小明的注意，为了测量球的半径，小明设计了两个方案，方案甲，构造正三棱柱侧面均与球相切如图2所示，底面边长约为30米，估计此时球的完整表面积为平方米；方案乙，测量球被地面截得的圆的周长约为16π米，地面到球顶部高度约为16米，估计此时球的完整体积为立方米，你认为哪种方案好呢？课堂练习1：1．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是32，那么3这个球的半径是，三棱柱的体积是．2．正四棱锥的高与底面边长相等且体积为83，（1）以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧棱中点的球的表面积为__________；（2）该正四棱锥的内切球体积为__________．3．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为．2．柱体外接球问题概述具备外接球的柱体，一定是“直”的，即侧棱垂直于底面或圆柱体．其球心必在柱体上下底面外接圆圆心连线的中点．此时球心到柱体底面的距离d 等于柱体高h 的一半（即2h d =）．示例图像圆柱长方体直三棱柱计算公式222224h R d r r =+=+22224R a b c =++2sin ar A=，222R d r =+问题设计①．先求出柱体高和底面相关信息，再求外接球半径；②．已知外接球半径，求柱体的高或底面相关变量．【示例2】1．如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面是面积为2的正方形，该长方体的外接球体积为323π，点E 为棱AB 的中点，则三棱锥1D ACE -的体积是__________．【解析】Ⅰ．确定长方体的高→Ⅱ．求1D ACEV -3432233V R R ππ==→=球，则2222114222AB AD AA R AA AB AD ⎫++=⎪→=⎬==⎪⎭；∴在三棱锥1D ACE -中，122112ACE h AA S AE BC ⎧==⎪⎨=⋅=⎪⎩△；得112233D ACE ACE V h S -=⋅=△2．已知直三棱柱111ABC A B C -的外接球半径为4，同时BA BC ⊥，BA BC =则111ABC A B C -体积的最大值为__________．【解析】Ⅰ．找到侧棱和底面棱长的关系→Ⅱ．函数求最值显然Rt ABC △为等腰直角三角形，则22r AB =；此时212ABC S AB CB r =⋅=△；同时222224h R d r r =+=+可得22164h r =-；则()()23116640844ABCh V h S h h h h ⎛⎫=⋅=⋅-=-<< ⎪⎝⎭△；令()()36408f x x x x =-+<<，则()2364f x x '=-+；令()0f x '=得x =；∴()f x 在⎛ ⎝上递增，在⎫⎪⎭上递减，则()max 9f x f ==，则()max max14V f x ==【例2】1．若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为__________．2．在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为，则正方体外接球的体积为__________．3．已知直三棱柱的各棱长都相等，三棱柱的所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为28π，则该三棱柱的体积为__________．4．如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABB A 的面积为__________．5．“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为12cm ，外层底面直径为16cm ，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为20cm 的球面上．此模型的体积为__________．课堂练习2：1．已知正方体的体积是8，则这个正方体的外接球的体积是__________．2．在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为，则正方体外接球的体积为__________．3．一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为__________．4．已知一个体积为8的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内．则该半球体的体积为__________．3．侧棱垂直于底面的锥体外接球问题阐述若锥体有一条侧棱PA 满足PA ⊥底面ABC ，则该锥体必可还原成一个直棱柱．即侧棱垂直于底面的棱锥与还原之后的直棱柱具有相同的外接球．示例图像还原至长方体还原至长方体还原至直三棱柱对应条件AP AB AC 、、两两垂直AP AB BC 、、两两垂直PA ⊥面ABC 计算公式22224R AP AB AC =++22224R PA AB BC =++12sin AB r C =⋅且12d h =222R d r =+备注当锥体有三条棱两两垂直时，记这三条棱的棱长分别为a b c 、、，则22224R a b c =++．若锥体的底面不含直角，仅有侧棱垂直于底面时，用222R d r =+求出外接球半径【示例3】在三棱锥P ABC -中，90ACB ∠=︒，8AB =，PC ⊥面ABC 且6PC =，则该三棱锥外接球的表面积为__________．【解析】由题意可知CA CB CP 、、两两垂直；则222222222464410041006R CP CB CA CA CB AB R S R CP ππ⎫=++⎪+==→=→==⎬⎪=⎭【例3】1．在三棱锥A BCD -中，AB AC AD 、、两两垂直，且ACB ACD ABD △、△、△的面积分别为22A BCD -的外接球的表面积为__________．2．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，且ABC △为等边三角形，2AP AB ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积__________．3．如图，PA ⊥面ABCE ，其中ABCD 为正方形，2AD =，1ED =．若三棱锥P ADE -的外接球的体积为92π．则四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为__________．课堂练习3：1．在边长为2的等边三角形ABC 中，点D 是BC 的中点．以AD 为折痕，将ABC △折成直二面角B AD C --，则过A B C D 、、、四点的球的表面积为__________．2．在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，120BAC ∠=︒，1AB =，2AC =，3SA =，则该四面体外接球面积为__________．3．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．已知四棱锥M ABCD -为阳马，侧棱MA ⊥底面ABCD ，且1MA =，2BC =，3AB =．若该四棱锥的顶在都在同一球面上，则该球的表面积为__________．4．正棱锥和圆锥的外接球补充：问题阐述①．正四面体内嵌于正方体，则两者具有相同的外接球．记正四面体的边长为a ，正方体的边长为b ，外接球半径为R ；②．两个具有相同底面，且顶点（P Q 、）在底面的射影均为底面外接圆圆心的锥体的外接球．记底面外接圆半径为r ，两个锥体的高分别为12h h 、，外接球半径为R示例图像对应计算①．2a b =且2243R b =；②．22342R a =①．122h h R +=且PA QA ⊥（PQ 为球的直径）；②．212r h h =⋅（直角三角形内射影定理）；【示例4】1．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则其外接球的体积为__________．【解析】Ⅰ．确定正棱锥的高和底面外接圆半径ABC △是边长为3的等边三角形，则333r AB ==；在Rt POA △中，3360OA r OP h PAO ⎫==⎪→==⎬∠=︒⎪⎭；Ⅱ．求外接圆半径，并求其体积则2231243222633h r R V R h ππ+===→==2．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为__________．【解析】Ⅰ．求出12R h h r→→、3432233V R R ππ==→=球，显然PQ 是球O 的直径，则PA QA ⊥，则212r h h =⋅；121122243331h h R h r h h h +===⎫⎧→→=⎬⎨==⎭⎩Ⅱ．求锥体的体积则()21211233V h S h h r ππ=⋅=+⋅=【例4】1．若一个四面体的所有棱长均为1，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为__________．2．如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD -，该四棱锥的体积为3，则该半球的体积为__________．3．已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O 的球面上，圆锥的母线长为3，侧面展开图的面积为3π，则球O 的表面积等于__________．4．以ABC 为底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球，并且正三棱锥P ABC -的侧面与底面ABC 所成的角为45︒，记正三棱锥P ABC -和正三棱锥Q ABC -的体积分别为1V 和2V ，则12V V =__________．5．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中有很多对几何体体积的研究，已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为32π，高为h 的圆柱，上面是一个底面积为32π，高为h 的圆锥，若该容器有外接球，则外接球的体积为__________．6．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2的正三角形，E F 、分别是PA AB 、的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为__________．课堂练习4：1．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为__________．2．底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为__________．3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，其各面中心分别为E F G H M N 、、、、、，则连接相邻各面中心构成的几何体的外接球表面积为__________．4．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且面积为D ABC -体积的最大值为__________．5．在正三棱锥P ABC -中，6AB BC AC ===，点D 是PA 的中点．若PB CD ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为__________．5．其他模型问题阐述①．面ABC ⊥面BCD ；②．记12r r 、分别为ABC BCD △、△的外接圆半径，R 为三棱锥A BCD -外接球半径．①．三棱锥D ABC -中，AD 为外接球直径；②．记球面距1OO d =，ABC △的外接圆半径为r ，D ABC -的高为h ．示例图像对应性质①．2h d =；②．2222124BC R r r =+-（BC 为交线长）；①．AB DB AC DC ⊥⊥、（直径所对圆周角）；②．222R d r =+且2h d =；解题步骤①．确定三棱锥A BCD -中的两个垂直平面；②．求出对应的外接圆半径和交线长；③．求外接球的半径；①．确定外接球的直径；②．求出底面三角形外接圆半径r ；③．22D ABC R r d h V --→→→；【示例5】1．将长、宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，得到四面体A BCD -，则四面体A BCD -的外接球的表面积为__________．【解析】由题意，面ACD ⊥面ACB 且5AC =而ACD ACB △、△都是直角三角形，则12522AC r r ===；则2222122544AC R r r =+-=；得2425S R ππ==2．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此三棱锥的体积为__________．【解析】在ABC △中，2sin 3AB r C ==；同时112R SC ==，则d ==，则2h d ==∴111sin 33326V hS AB AC C ==⨯⋅⋅=【例5】1．已知三棱维A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC △是边长为6的正三角形，BCD ∆是直角三角形，且2BCD π∠=，4CD =，则此三棱锥外接球的表面积为__________．2．在三棱锥A BCD -中，BA AD ⊥，BC CD ⊥，且AD ==A BCD -外接球的体积为__________．3．已知球的直径4SC =，A ，B 是该球球面上的两点，AB =，30ASC BSC ∠=∠=︒，则棱锥S ABC -的体积为__________．4．已知球的直径4SC =，A ，B 是该球球面上的两点．2AB =，45ASC BSC ∠=∠=︒，则棱锥S ABC -的体积为__________．5．已知三棱锥S ABC -外接球的球心O 在线段SA 上，若ABC △与SBC △均为面积是的等边三角形，则三棱锥S ABC -外接球的体积为__________．6．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为__________．课后作业：1．已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为__________．2．已知一个圆柱的高是底面半径的2倍，且其上、下底面的圆周均在球面上，若球的体积为323π，则圆柱的体积为__________．3．已知在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且2a =，6A π=，又点A B C 、、都在球O 的球面上，且点O 到平面ABC ，则球O 的体积为__________．4．一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为__________．5．正四面体A BCD -的棱长为4，点E 为BC 边上的中点，过点E 做其外接球的截面，则截面圆的面积最小值为__________．6．已知一个正三棱柱所有棱长均为3，若该正三棱柱内接于半球体，即正三棱柱的上底面的三个顶点在球面上，下底面的三个顶点在半球体的底面圆内，则该半球体的体积为__________．7．所有棱长都是3的直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是__________．8．已知圆柱1OO 的两底面圆周上的所有点都在球C 的表面，且圆柱1OO 的底面半径为1，高为，则球C 的表面积为__________．9．已知某圆柱的轴截面为正方形，则此圆柱的表面积与此圆柱外接球的表面积之比为__________．10．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若1AB =，AC =，AB AC ⊥，14AA =，则球O 的表面积为__________．11．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．12．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为__________．13．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若A ，B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为__________．14．直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===，120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于__________．15．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为2的球O 的球面上，且AB =，BC =，过点D作DE 垂直于平面ABCD ，交球O 于点E ，则棱锥E ABCD -的体积为__________．16．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，5PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__________．17．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC-为鳖臑，PA⊥平面ABC，2==，4PA AB-的四个顶点都在球O的球AC=，三棱锥P ABC面上，则球O的表面积为__________．18．已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若2==，则四面体ABCD的AB CD体积的最大值为（）．A B C．D19．已知四棱锥P ABCD=====，且底面ABCD为正方形，则-满足2PA PB PC PD AB该四棱锥的外接球的体积为__________．20．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，PA PC ⊥，则球O 的体积为__________．21．高为1的圆锥内接于半径为1的球，则该圆锥的体积为__________．22．已知正四棱锥P ABCD -的高为2，AB =，过该棱锥高的中点且平行于底面ABCD的平面截该正四棱锥所得截面为1111A B C D ，若底面ABCD 与截面1111A B C D 的顶点在同一球面上，则该球的表面积为__________．23．已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3l ≤≤，则该正四棱锥体积的取值范围是__________．24．已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为__________．25．已知四棱锥S ABCD -的所有棱长均相等，且底面是边长为的正方形，其5个顶点都在直径为10的球面上，则该四棱锥的体积为__________．26．已知1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点1111S A B C D 、、、、在同一球面上，则该球的表面积为__________．27．已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2SA SB SC AB ====，设S ，A ，B ，C 四点均在以O 为球心的某个球面上，则O 到平面ABC 的距离为__________．28．现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知6DAB π∠=，4BAC π∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为（）．A B C D 29．已知三棱锥A BCD -的四个顶点A ，B ，C ，D 都在球O 的表面上，BC CD ⊥，AC ⊥平面BCD ，且AC =，2BC CD ==，则球O 的表面积为__________．30．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是__________．31．已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上，且AB=，BC=，过点D 作DE垂直于平面ABCD，交球O于点E，则棱锥E ABCD-的体积为（）．32．已知圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，该圆锥的内切球也是棱长为a的正四面2体的外接球，则此正四面体的棱长a为__________．33．设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且3PB=，PA=，6三棱锥P ABC-的体积为18，则球O的体积为__________．34．已知六棱锥P ABCDEFPA=，PA⊥底面-的七个顶点都在球O的表面上，若2ABCDEF，且六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，则球O的体积为__________．35．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为__________．36．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、∆分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三E、F为圆O上的点，DBC∆，ECA∆，FAB角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC∆，使得D、∆，FAB∆，ECAcm的最大E、F重合，得到三棱锥．当ABC△的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：3)值为__________．37．已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为__________．38．已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC =O 的表面积等于__________．39．已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若2AB CD ==，则四面体ABCD 的体积的最大值为__________．40．已知点P A B C D 、、、、是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为正方形．若PA =，则OAB ∆的面积为__________．41已知四面体P ABC -的外接球的球心O 在AB 上，且OP ⊥面ABC ，2AC =．若32P ABC V -=，则该球的体积为__________．。

立体几何中球的内切和外接问题完美版

B、体积为 3
D、外接球的表面积为 16
3
1正视图
1
3 1 侧视图
俯视图
点 A、B、C、D 均在同一球面上，其中
是正三角形，
AD 平面 ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为（）
(A)
(B)
(C)
(D)
平面四边形 ABCD中， AB AD CD1， BD 2, BD CD ，
将其沿对角线 BD 折成四面体 A'BCD，使平面 A' BD 平面 BCD，
Q 3, 4,5, P 0,0,0
2R PQ 32 42 52 5 2
R 5 2 , S 4 R2 50
2
4 举一反三-突破提升
考点三组合体的表面积与体积
-28-
【例 3】正三棱锥(正三棱锥是底面为等边三角形,三个侧面为全等的等腰
三角形的三棱锥)的高为 1,底面边长为 2 6,内有一个球与它的四个面都相
例 2.（全国卷）一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在
同一球面上，则此球的表面积为（）
A. 3 B. 4 C. 3 3 D. 6
2 破译规律-特别提醒
3
球与正四面体内切接问题
【例3】求棱长为a的正四面体内切球的体积．
3
球与正四面体内切接问题
3 正四面体内切、外接结论球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体（棱长为a）的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1.外接球半径：R 6 a
C 注意：①割补法，②
1 1 V 3 S V多多面面体体 3 S全 r内切全球
r内切球
变式训练：一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（）

球的内切和外接问题

正方体外接球的直径2R 3 2 a, R 6 a
2
4
S表
3 2
a 2
A B
O D
C
求正多面体外接球旳半径
求正方体外接球旳半径
球旳内切、外接问题
1、内切球球心到多面体各面旳距离均相等，外接球球心到多面体各顶点旳距离均相等。 2、正多面体旳内切球和外接球旳球心重叠。 3、正棱锥旳内切球和外接球球心都在高线上，但不重叠。
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( A )
A. 1:2:3
B. 1: 2: 3 C. 1:3 4:3 9 D. 1: 8: 27
图3
图4
图5
甲球为内切球直径=正方体棱长
设为1
S甲 4 R12 =
D
C
A
B
中截面
O
.
D1
C1
A1
B1
球内切于正方体旳棱
正方形旳对角线等于球旳直径= 2a
S乙 4 R22 =2
连 AO 延长交 PD 于 G
6a 3
P
则 OG ⊥ PD，且 OO1 = OG
3
∵ Rt △ PGO ∽ Rt △ PO1D
A
a 2
•O G
O1 D
R
6 a R 3
3a
3a
2
6
R 6 a 4
E 3a
6
S表
3 2
a2
求棱长为a的正四面体P ABC的外接球的表面积
解法2：
正方体的棱长为 2 a, 2
球与多面体旳内切、外接
球旳半径r和正方体旳棱长a有什么关系？
.r
a
一、球体旳体积与表面积
①
V球

高中数学立体几何之外接球与内切球问题常见模型归纳(完整版)

外接球问题江西省永丰中学陈保进若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

若一个定点到一个多面体的所有顶点的距离都相等，则这个定点就是该多面体外接球的球心。

以下为常见模型。

1、长方体模型结论：长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，直径为体对角线。

公式：2222c b a R ++=（a ,b ,c 为长宽高）补充：以下情况可转化成长方体模型。

①若三棱锥的三条棱PA ,PB ,PC 两两互相垂直(墙角模型），则可在长方体中构造。

2222PC PB P A R ++=②正四面体P -ABC 可在正方体中构造，正方体棱长2=PA a ③若三棱锥的三组对棱两两相等，则可在长方体中构造。

设AC =BP =m ,AP =BC =n ,AB=PC =t ,则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222t c b n c a m b a ，三式相加,222222)(2t n m c b a ++=++2)2(2222222t n m c b a R ++=++=abc2、直三棱柱模型结论：直三棱柱外接球的球心是上、下底面外心连线的中点，222()2hR r =+r 为底面三角形外接圆的半径，可用正弦定理求，h 为直三棱柱的高。

补充：有一条侧棱垂直底面的三棱锥可补成直三棱柱，如图P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，则可补成直三棱柱PB 1C 1-ABC ,外接球半径公式同上。

提醒：底面具有外接圆的直棱柱才有外接球，比如正棱柱，且球心在上、下底面外心连线的中点，底面无外接圆的直棱柱，以及所有斜棱柱均无外接球。

3、共斜边模型四面体D-ABC 中，DC AD ⊥，BC AB ⊥，AC 为公共的斜边，O 为AC 的中点，则O 为四面体D-ABC 外接球的球心。

4、正棱锥模型外接球的球心在正棱锥的高所在直线上，如图正三棱锥A-BCD 中，作AO 1⊥平面BCD ，则易得BO 1=CO 1=DO 1，所以O 1为△BCD 的外心，设O 为其外接球球心，半径为R ，则BO =AO =R ,设AO 1=h ,BO 1=r ,则由BO 2=BO 12+OO 12,得R 2=r 2+(h-R )2。