概率与统计学课件第一章52概率直观意义1

=
C42 × 9 104
×
9
=
0.0486
例4.一批产品共有N件，其中M件是废品。 现在从全部N件产品中随机地抽取n件 （n≤N),求恰好取到m(m≤M)件次品 的概率。
P( A)
=
C C m n−m M N−M
C
n N
例5.设有n个人，每个人都等可能地被分配 到N 个房间中的任意一间中去住 (n ≤N)， 且设每个房间可容纳的人数不限，求下列 事件的概率。
1.2
2.1例历1.史2.例上1例有1历.多21史..位1上几著例历有名史位1多.科上2位科.学有1著家多学历名，位史科曾家著上学做名有做家过科多，成了曾学位千做家著掷上过，名万曾硬成科次做千币学的过上家抛成试万，掷千曾次验硬上做的币万，过抛试次成掷并验的千硬，抛统上币并掷万试计统硬次验计币在的，了并试抛n统验掷次计，硬并了币统n试计次验了，n并
P(C) =
Cnm (N −1)n−m Nn
=
Cnm
⎛ ⎜ ⎝
1 N
m
⎞ ⎟
⎜⎛1 −
⎠⎝
1 N
n−m
⎞ ⎟ ⎠
例6.设有带号码1，2，3，4的四件物品，任 意地放在标有1，2，3，4的空格中，求 下列事件的概率。
A={四件物品刚好都放在相应标号的空格中 } B={没有一件物品与所占空格号码相一致 }
P( A) = 1 24
P(B) = 9 = 3 24 8
�几何概型实验
�有限区域、无限样本点 �等可能性
�概率的几何定义
在几何概型试验中，设样本空间为 Ω， 事件A包含于Ω，则事件A发生的概率为
P( A) = SA = A的几何度量 SΩ Ω的几何度量
其中几何度量指长度、面积或体积等。
例7. 设公共汽车每5分钟一班，求乘客在车站 等车不超过3分钟的概率。
�概率的古典定义
若试验中只有n个等可能的基本事件，而 某个事件A由其中m个基本事件组成,则 m/n为事件A的概率，即
P( A) = 事件A包含的基本事件数 = m 所有可能的基本事件数 n
�古典概率的性质
�非负性：0≤P(A)≤1 �规范性：P(Ω)=1 �有限可加性：若 A1，A2，…， An是一 组两两互不相容的事件，则有
A : 等车时间不超过3分钟，t : 乘客等待的时长
Ω = {t | 0 ≤ t ≤ 5} A = {t | 0 ≤ t ≤ 3} P(A) = SA = 3
SΩ 5
∪ ∑ ⎛ n ⎞ n
P⎜⎜ Ai ⎟⎟ = P( Ai ) ⎝ i=1 ⎠ i=1
例3. 从0，1，2, …，9共10个数字中任取1 个，假定每个数字都以1/10的概率被取 中，取后放回，先后取出4个数字，试 求下列各事件的概率 。
A1 ：“4个数字各不相同” A2 ：“4个数字组成一个3位数” A3 ：“4个数字组成一个4位偶数” A4 ：“4个数字恰好有2个0”
及n次实验中事件A出现的频率fn(A)=m / n.
表1.2.1表历1.史2.表上1 一1历.些2史.著1上名表历一的史1些.抛上2著.硬一1名币些的历试著抛史验名上硬的一币抛些试硬著验币名试的验抛硬币试验
验者 实验者实验者掷币实次验数者掷币n 次掷数币n次数出现掷n正币面次出次数现数正n出面m现次正数面m次出数现频正m率面fn次(频A数)率mfn频(A率) fn(A)频率 莫弗 隶莫弗隶莫弗 隶20莫48弗 2048 2048 12006418 1061 1061 0.15016811 0.51810.5181 0. 蒲丰 蒲丰 蒲丰 4蒲04丰0 4040 4040 24004480 2048 2048 0.25004689 0.50690.5069 0. 弗勒 弗勒 弗勒 1弗00勒00 10000 10000 140907090 4979 4979 0.44997799 0.49790.4979 0. 尔逊 皮尔逊皮尔逊 皮24尔00逊0 24000 24000 1224001020 12012 12012 01.2501025 0.50050.5005 0.
A={某指定的n个房间中各有一个人住}。 B={恰好有n个房间，其中各住一人}。 C={某指定的一间房中恰好有m (m<n)人}.
A={某指定的n个房间中各有一个人住}
n! P( A) = N n
B={恰好有n个房间，其中各住一人}
P(B)
=
CNn n! Nn
=
N! Nn(N −
n)!
C={某指定的一间房中恰好有m (m<n)人}
现验正中面试出（验现事中正件出面现（试A正）验事n面的中件次（次出A数事现实）件正m的验面及次A）（相中数的应事m出次的件及数频现相A率m）应正及的的fn相次面(频A应数率)(=的事mfmn频及(件nA率相，) A应=f如nm)的(表A的频n)1，=率.次m2如.fn1表n数(所，A1m)示.如=2。表.，m1 所1n.，示2.如。1 所表示1.。2.1 所
A1 ：“4个数字各不相同”
10× 9×8× 7
P( A1) = 104
= 0.504
A2 ：“4个数字组成一个3位数”
P(
A2
)
=
1×
9
×10 104
×10
=
0.09
A3 ：“4个数字组成一个4位偶数”
P( A3
)
=
9 ×10 ×10 × 104
5
=
0.45
A4 ：“4个数字恰好有2个0”
P(A4 )
�概率的统计定义
在相同条件下对实验E重复进行n次，其 中事件A出现m次。当实验次数n充分大 时，事件A出现的频率fn(A)=m/n的稳定值p, 称为事件A的概率，记为P(A).
P(A)≈fn(A)=m / n
�统计概率的性质
�非负性：0≤P(A)≤1 �规范性：P(Ω)=1 �有限可加性：若 A1，A2，…， An是一 组两两互不相容的事件，则有
∪ ∑ ⎛ n ⎞ n
P⎜⎜ Ai ⎟⎟ = P( Ai ) ⎝ i=1 ⎠ i=1
例2. 抽查某厂的某一产品100件，发现有 5件不合格品，则不合格品(事件A)的 概率为
P(A)≈ 5/100 = 5%
�古典概型试验
�有限性：试验只有有限个基本事件
�等可能性：任何两个基本事件不可能同 时出现，且每次实验中各可能结果出现的 可能性均相同