【全国市级联考】山东省德州市2017届高三上学期期中考试理数(解析版)

山东省德州市2017届高三上学期期中考试理数试题第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. {}9A x x =是小于的质数，{}9B x x =是小于的正奇数，则A B 的子集个数是（ ）A ．32B ．16C ．8D ．4 【答案】C考点：集合的运算.2. 不等式2230x x --<的解集是（ ）A ．()3 3-，B ．()3 1-，C ．()()3 00 3-，，D ．()()1 00 1-，， 【答案】A 【解析】试题分析：当0x ≥时，原不等式等价于2230x x --<，解这得03x ≤<，当0x <时，原不等式等价于2230x x +-<，解这得30x -<<，所以原不等式的解集为()3 3-，，故选A. 考点：1.不等式的意义；2.二次不等式的解法.3. 已知sin cos x x +，()0 x π∈，，则tan x =（ ）A ． C ． 【答案】D 【解析】试题分析：因为()0 x π∈，，且0sin cos 1x x <+=<，所以324x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，由sin cos x x +=边平方得2sin cos x x =42sin 22,33x x x ππ===，tan x = D. 考点：1.同角三角函数基本关系；2.三角恒等变换. 4. 已知命题:2 6p x k k Z ππ≠+∈，；命题1:sin 2q x ≠，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B考点：1.三角函数的图象与性质；2.充分条件与必要条件. 5. 已知向量(1,),(3,2)a m b ==-，且()a b b +⊥，则m = A ．8- B ．6- C.6 D ．8 【答案】D 【解析】试题分析：(4,2)a b m +=-,()()0a b b a b b +⊥⇔+⋅=，即43(2)(2)0m ⨯+-⨯-=，解之得8m =，故选D.考点：1.向量的坐标运算；2.向量垂直与向量的数量积.6. 为了得到3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭函数的图象，只需把3sin y x =上所有的点（ ）A ．先把横坐标缩短到原来的12倍，然后向左平移6π个单位 B ．先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左平移6π个单位 C. 先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左右移3π个单位D ．先把横坐标缩短到原来的12倍，然后向右平移3π个单位 【答案】A【解析】试题分析：把3sin y x =上所有的点横坐标缩短到原来的12倍可得到函数3sin 2y x =的图象，再把3sin 2y x =的图象向左平移6π个单位得到函数3sin 2()3sin(2)63y x x ππ=+=+，故选A.考点：函数图象的平移变换与伸缩变换.7. 已知函数()211log 2xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若0x 是方程()0f x =的根，则0x ∈（ ）A ．10 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1 12⎛⎫ ⎪⎝⎭， C.31 2⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．3 22⎛⎫⎪⎝⎭，【答案】B考点：零点存在定理.8. 已知 x y ，满足约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，目标函数22z x y =+的最小值为（ ）A ．13 BC.45D【答案】C 【解析】试题分析：在直角坐标系内作出不等式组220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域，如下图所示，目标函数22z x y =+中z 的几何意义为坐标原点与可行域内点连线距离的平方，由图可知，其最小值为原点到直线220x y +-=距离的平方，所以2min45z ==，故选C.考点：线性规划.【名师点睛】本题考查线性规划，属基础题；线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．9. 设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x R ∈，都有()()4f x f x +=，且当[]2 0x ∈-，时，()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间( 2 6]-，内关于x 的方程()()()log 2001a f x x a -+=<<恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．10 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．0 ⎛ ⎝ C.1 2⎫⎪⎪⎭， D ．1 12⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【答案】C考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.函数与方程.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性、函数与方程，属中档题；函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-零点的个数⇔函数()()y f x g x =-在x 轴交点的个数⇔方程()()0f x g x -=根的个数⇔函数()y f x =与()y g x =交点的个数.10. 已知()f x 的定义域是()0 +∞，，()'f x 为()f x 的导函数，且满足()()'f x f x <，则不等式()()2222x xe f x x e f --+>的解集是（ ）A ．()2 1-，B ．(),2(1,)-∞-+∞ C.()() 1 2 -∞-+∞，，D ．()1 2-， 【答案】B考点：1.导数与函数的单调性；2.函数与不等式.【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、函数与不等式，属难题；联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11. 已知()f x 的定义域为[]1 1-，，则函数()()()12ln 1g x f x x =++的定义域为 ．【答案】11[,0)(0,]22- 【解析】 试题分析：由ln(1)0121x x +≠⎧⎨-≤≤⎩得102x -≤<或102x <≤，所以函数()g x 的定义域为11[,0)(0,]22-.考点：1.对数函数的性质；2.函数的定义域.12. 设函数()f x 对0x ≠的实数满足()1232f x f x x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，那么()21f x dx =⎰ ．【答案】12ln 22-考点：1.函数的解析式；2.定积分运算.13. 在Rt ABC △中，90A ∠=︒，1AB AC ==，点E 是AB 的中点，点D 满足23CD CB =，则CE AD ⋅= ．【答案】0 【解析】试题分析：由题意可知()11222CE AE AC AB AC AB AC =-=-=-，()()2212333AD AC CD AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+-=-，所以()()()2211122220236CE AD AB AC AB AC AB AC ⋅=-⋅-=-=.考点：向量线性运算、数量积的几何运算.【名师点睛】本题考查向量线性运算、数量积的几何运算，属中档题；平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素. 14. 若正数 a b ，满足121a b +=，则2112a b +--的最小值为 ． 【答案】2考点：基本不等式.15. 定义：()()1f x f x =，当2n ≥且*x N ∈时，()()()1n n f x f f x -=，对于函数()f x 定义域内的0x ，若正在正整数n 是使得()00n f x x =成立的最小正整数，则称n 是点0x 的最小正周期，0x 称为()f x 的n ～周期点，已知定义在[]0 1，上的函数()f x 的图象如图，对于函数()f x ，下列说法正确的是 （写出所有正确命题的编号．①1是()f x 的一个3～周期点； ②3是点12的最小正周期； ③对于任意正整数n ，都有2233n f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；④若01( 1]2x ∈，，则0x 是()f x 的一个2～周期点.【答案】①②③考点：1.新定义问题；2.函数综合.【名师点睛】本题考查新定义问题与函数性质的综合应用问题，属难题；新定义问题已成为最近高考的热点内容，主要考查学生学习新知识的能力与阅读能力、应用新知识的能力、逻辑思维能力与运算能力，体现数学的应用价值.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. （本小题满分12分）已知函数()()2sin cos 0f x x x x ωωωω=⋅>的最小正周期为π. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若 a b c ，，分别为ABC △的三内角 A B C ，，的对边，角A 是锐角，()0 1f A a ==，，2b c +=，求ABC △的面积.【答案】（Ⅰ）()5 1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，；【解析】试题分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换公式化简函数式可得()sin 23f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由周期为π可求得1ω=，从而得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()222232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈可求函数的单调递增区间；（Ⅱ）由()0 f A =先求出角=3A π，由余弦定理整理化简可得1bc =，代入三角形面积公式求之即可.试题解析：（Ⅰ）()2sin cos f x x x x ωωω=⋅-+11cos 2sin 2sin 2223x x x ωπωω+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭…………………………2分 ∴22T ππω==，从而得到1ω=………………………………………………3分 ∴()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.…………………………………………………………4分由()222232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈可得：()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为()5 1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，.………………6分考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图象和性质；3.余弦定理；【名师点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象和性质与余弦定理，属中档题；三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．17. （本小题满分12分）已知命题()()2:lg 1p f x ax ax =-+函数的定义域是R ；命题()21:a q y x-=幂函数在第一象限为增函数，若“p q ∧”为假，“p q ∨”为真，求a 的取值范围. 【答案】{}1014a a a -<<≤<或考点：1.逻辑联结词与命题；2.对数函数与幂函数的性质. 18. （本小题满分12分）已知函数()()()321213213f x x m x m m x =-++++，其中m 为实数.（Ⅰ）若函数()f x 在()()1 1f ，处的切线方程为3340x y +-=，求m 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间.【答案】（Ⅰ）0m =；（Ⅱ）当1m =时，()f x 增区间为() -∞+∞，；当1m >时，()f x 的增区间为() 2m -∞+，和()3 m +∞，；当1m <时，()f x 的增区间为() 3m -∞，和()2 m ++∞，.（Ⅱ）()()()()()2'2213232f x x m x m m x m x m =-+++=---…………5分当32m m =+即1m =时，()()2'30f x x =-≥，所以()f x 单调递增；…………6分 当32m m >+即1m >时，由()()()'320f x x m x m =--->可得2x m <+或3x m >；所以此时()f x 的增区间为() 2m -∞+，和()3 m +∞，………………………………8分 当32m m <+即1m <时，由()()()'32f x x m x m =---0>可得3x m <或2x m >+；所以此时()f x 的增区间为() 3m -∞，和()2 m ++∞，…………………………10分 综上所述，当1m =时，()f x 增区间为() -∞+∞，； 当1m >时，()f x 的增区间为() 2m -∞+，和()3 m +∞，； 当1m <时，()f x 的增区间为() 3m -∞，和()2 m ++∞，.……………………12分 考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性.19. （本小题满分12分）如图，扇形AOB 所在圆的半径是1，弧AB 的中点为C ，动点M ，N 分别在OA ，OB 上运动，且满足OM BN =，120AOB ∠=︒.（Ⅰ）设 OA a OB b ==，，若34OM OA =，用 a b ，表示 CM CN ，； （Ⅱ）求CM CN ⋅的取值范围.【答案】（Ⅰ）14CM a b =--,34CN a b =--；（Ⅱ）31 82⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（Ⅱ）设OM tOA ta ==，则()()11ON t OB t b =-=-，[]0 1t ∈，. ∴()1CM OM OC ta a b t a b =-=--=--，()1CN ON OC t b a b a tb =-=---=--………………………………8分∴()[]()()22111CM CN t a b a tb t a t t a b a b tb ⋅=----=----⋅+⋅+⎡⎤⎣⎦()22111312224t t t ⎡⎤⎛⎫=-+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦………………………………11分由[]0 1t ∈，，得CM CN ⋅的取值范围是31 82⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.………………12分 考点：1.向量加减法的几何意义；2.向量的数量积.20. （本小题满分13分）某工艺品厂要设计一个如图Ⅰ所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图Ⅱ所示，其周长为4m ，这种材料沿其对角线折叠后就出现图Ⅰ的情况.如图，()ABCD AB AD >为长方形的材料，沿AC 折叠后'AB 交DC 于点P ，设ADP △的面积为2S ，折叠后重合部分ACP △的面积为1S .（Ⅰ）设m AB x =，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围；（Ⅱ）求面积2S 最大时，应怎样设计材料的长和宽？（Ⅲ）求面积()122S S +最大时，应怎样设计材料的长和宽？【答案】（Ⅰ）121 12DP x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，；，宽为(2m 时，2S 最大；（Ⅲ）当材m ，宽为(2m 时，122S S +最大.试题解析：（Ⅰ）由题意， 2AB x BC x ==-，，因为2x x >-，故12x <<.……………………………………2分设DP y =，则PC x y =-，因为'ADP CB P △≌△，故PA PC x y ==-，由222PA AD DP =+，得()()2222x y x y -=-+，121 12y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，.……………………………………4分（Ⅱ）记ADP △的面积为2S ，则()2112S x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭…………………………………………5分 233x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭，当且仅当()1 2x =，时，2S 取得最大值.……………………7分，宽为(2m 时，2S 最大.……………………8分考点：1.函数建模问题；2.基本不等式；3.导数与函数的单调性.21. （本小题满分14分）已知函数()()ln 1f x a x x a =-+∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意()0 x ∈+∞，，都有()0f x ≤，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）证明11111n n e n n +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（其中*n N ∈，e 为自然对数的底数）.【答案】（Ⅰ）当0a ≤时，()f x 的递减区间为()0 +∞，；此时无增区间；当0a >时，()f x 的单调增区间为()0 a ，，单调减区间为() a +∞，；（Ⅱ）{}1；（Ⅲ）见解析.（Ⅲ）()1111111111ln 111ln 1ln 11n n e n n n n n n n n n+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<<+⇔+<<++⇔<+< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令11x n =+，则只要证()11ln 112x x x x -<<-<≤即可，构造函数()ln 1f x x x =-+与()()1ln 112x x x xϕ=+-<≤，由导数求函数的单调性与最值证之即可.试题解析：（Ⅰ）()'1a a x f x x x-=-=，定义域()0 +∞，，……………………1分 当0a ≤时，()'0f x <，所以()f x 在()0 +∞，上递减；……………………2分 当0a >时，令()'0f x =，得x a =，此时()'f x ，()f x 随的变化情况如下表：所以，()f x 的单调增区间为()0 a ，，单调减区间为() a +∞，……………………3分 综上，当0a ≤时，()f x 的递减区间为()0 +∞，；此时无增区间； 当0a >时，()f x 的单调增区间为()0 a ，，单调减区间为() a +∞，；………………4分 （Ⅱ）由题意得()max 0f x ≤，当0a ≤时，()f x 在()0 +∞，上递减，1110f a e e ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭， 所以不合题意；………………………………6分当0a >时，()f x 的单调增区间为()0 a ，，单调减区间为() a +∞，；所以，()()max f x f a =， 所以()ln 10f a a a a =-+≤，令()()ln 10g x x x x x =-+>，则()'ln g x x =，因此，()g x 在()0 1，上递减，在()1 +∞，上递增，所以()()min 10g x g ==，……8分 所以ln 10a a a -+≤的解只有1a =.综上得：实数a 的取值集合为{}1………………………………………………9分考点：1.导数与函数的单调性与极值；2.函数与不等式.【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性与极值、函数与不等式，属难题；近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.：。