浅述单跨静定梁弯矩图的快速绘制
快速绘制刚架的弯矩图
m1
//////
//////
/////
///// /////
/////
m2 //////
m1
m2 //////
快速绘制弯矩图的解题技巧
4、刚结点力矩平衡，即刚结点隔离体上所受的力矩代数和为零； 5、利用分段叠加法作弯矩图，可减少计算控制面弯矩数量； 6、对称结构M图的简化，即在对称荷载下M图是对称的，在反对称荷载下 M图是反对称的； 7、铰结点可以传递剪力，铰结点两边剪力大小相等； 8、在主从型结构中，作用在基本部分的荷载，在附属部分不产生内力； 9、当由平衡力系组成的荷载作用在静定结构的某一几何不变部分上时，则 只有此部分受力，其余部分的反力内力皆为零。
快速绘制弯矩图的解题技巧
P P
P P
例题解析
P
P
P
Pa
Pa
Pa B C Pa D E
G
例题解析
m=80KN·m
A BC
P=20KN
D
2m 2m 2m 2m
A
BC
D
例题解析
4kN
4kN.m
1kN/m
2 2
ql 2
2
2
8
例题解析
ql 2
m
2m
静定梁习题
结构力学电子教程
3 静定梁
10kN
A C B E
3.20 用分段叠加法作图示梁的弯矩图,并计算C点的弯矩值。
2kN/m
D
3kN
2m
2m
4
(10)
2m
6
2m
【解】
∴MC=5kN· m
m) M (kN·
3.22 【解】
5
2kN A
D
2kN/m
B C
2m
2m
(4)
2m
28
12
B
∴MC=-12kN· m
m) M (kN·
2m
2.5m
2m
2kN/m
4m
2kN/m
20kN
B A C
F
D
E
2kN/m
0
F
2、求支反力
20kN
0
A 9.28kN
0
2.89kN
B
C 13.61kN D
2kN/m
E 15.11kN
4kN
4kN
结构力学电子教程
3 静定梁
2kN/m
0 0
2kN/m 2.89kN
B D E 15.11kN
F
4kN
4kN
8kN m
A C D E
4kN
4kN
2kN/m
浅述单跨静定梁弯矩图的快速绘制
浅述单跨静定梁弯矩图的快速绘制
摘要：梁是结构的主要受力单元，在计算梁的承载及破坏时，弯矩图的作用至关重要。而弯矩图的绘制是学生在学习的一个弱点，因此针对静定粱结构的弯矩图快速绘制进行探讨，可以大大提高作图速度和效率。
关键词：静定梁弯矩弯矩图
引言：
力学课程是工科专业学生的一门必不可少的基础课程，它对于后续钢筋混凝土等课程的学习起十分重要的作用。就建筑本身来说，就是一个力学模型，要保证结构的安全就必须确保每个受力构件的计算准确。因此学好力学课程有非常重要的意义，而在日常力学课程的学习中，梁的弯矩图绘制却是学生在学习中的难点，文章通过总结各种弯矩图绘制的方法后，给出一种能够较为快速的绘制弯矩图的方法，对于梁的后续计算打下基础。
1理论知识
1、1 单跨静定梁的种类（如图1）：（a)悬臂梁(b)简支梁(c) 外伸梁[1]
图1 ：单跨静定梁的种类(Figure 1: The single-span beam statically determinate types)
1、2弯矩出现的原因：弯矩伴随梁的弯曲变形而出现
1、3弯矩的位置：弯矩出现在梁的截面上
1、4弯矩的正方向规定：弯矩使梁的下侧（以梁的轴线为分界）纤维受拉为正
1、5弯矩计算的基本方法：利用截面法计算，通过分段列弯矩图的函数表达式求解
1、6 弯矩图绘制的方法：先绘制梁的轴线，弯矩图绘制在梁的受拉侧，
不需要标明正负号
2静定梁弯矩图绘制的实用结论
2、1 弯矩的本质：弯矩是为了平衡所有外界力对截面的转动效果
2、2弯矩分段的位置：弯矩作为内力的一种，与外力作用密切相关。因此，绘制梁的弯矩图时，在有外力（）作用的位置分段进行[2]
任务二十七单跨超静定梁的内力计算及内力图绘制
这就是求解多余力X1 、X2和X3所要建立的力法方程 其物理意义是：在基本结构中，由于全部多余力和已知 荷载的共同作用，在去掉多余联系处的位移应与原结构中相
应的位移相等
五、 力法典型方程
用同样的分析方法，我们可以建立力法的一般方程。 对于n次超静定结构，用力法计算时，可去掉n个多余联 系得到静定的基本结构，在去掉的n个多余联系处代之以n个 多余未知力。 当原结构在去掉多余联系处的位移为零时， 相应地也就有n 个已知的位移条件：
因此可解出多余力X1
X1
1P
11
ql 4 8 EI
l3 3EI
3ql 8
三、 力法的基本方程
多余力X1 求出后，其余所有反力和内力都可用静ห้องสมุดไป่ตู้平衡条件确定。超 静定结构的最后弯矩图M，可利用已经绘出的 M 1 和 M 图按叠加原理绘出， P 即
的共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结构中相 应的位移相同的位移条件，建立力法典型方程 3. 求系数和自由项 4. 解典型方程，求出多余未知力。
5. 绘出原结构最后内力图。
六、 力法的计算步骤和举例
例1：作图(a)所示单跨超静定梁的内力图。已知梁的EI、EA均
为常数。 解： （1）确定超静定次数，选取基本结构 三次超静定梁，选取图(b)所示的悬臂梁作为基本结构。 (2) 建立力法方程 根据原结构支座B处位移为零的条件，建立如下方程：
快速绘制刚架的弯矩图
Q
C x
M 斜直线 图M x M
特
xM
曲线
xM
自左向右折角 自左向右突变
xM
x
M M1 x
征
M2
增函数 降函数
静定梁和静定刚架的知识总结
应熟记常用单跨梁的弯矩图
FP a
FP
A
a
bB
l
ql2
2 q
A
B
l
静定梁和静定刚架的知识总结
F
A
B
Fab
l
a
b
l
q
A
B
ql2
8
l
静定梁和静定刚架的知识总结
am
A
快速绘制弯矩图的解题技巧
P P
P P
例题解析
P
P
P
Pa
Pa
Pa B C Pa D E
G
例题解析
m=80KN·m
A BC
P=20KN
D
2m 2m 2m 2m
A
BC
D
例题解析
4kN
4kN.m
1kN/m
2 2
ql 2
2
2
8
例题解析
ql 2
m
2m
mm P
P
l
m
B
bm
l
a
01-静定梁和超定结构知识点小结
第3章 静定梁和静定刚架（知识点小结）
一、杆件内力分析方法
1、内力分量
轴力N F 是横截面上的应力沿截面法线方向的合力，一般以拉力为正，压力为负。 剪力S F 是横截面上的应力沿截面切线方向的合力，以绕截面处微段隔离体顺时针方向转动为正，反之为负。
弯矩M 是横截面上的应力对截面形心取矩的代数和，一般不规定正负号。有时按习惯也可规定，在水平杆件中弯矩使杆件截面的下侧纤维受拉时为正，上侧受拉时为负。
2、截面法
截面法是计算指定截面内力的基本方法，即沿指定截面假想将结构截开，切开后截面内力暴露为外力，取截面左侧（或右侧）作为隔离体，作隔离体受力图，建立平衡方程，从而可确定指定截面的内力。
由截面法可得截面上三个内力分量的运算规则如下：
（1）轴力N F 等于截面左侧（或右侧）的所有外力（包括支座反力）沿截面法线方向的投影代数和；
（2）剪力S F 等于截面左侧（或右侧）的所有外力（包括支座反力）沿截面切线方向的投影代数和；
（3）弯矩M 等于截面左侧（或右侧）的所有外力（包括支座反力）对截面形心取矩的代数和。
3、内力图
内力图表示结构上各截面的内力随横截面位置变化规律的图形，包括M 图、S F 图和N F 图。内力图用平行于杆轴线方向的坐标表示横截面位置（又称基线），用垂直于杆轴线的坐标（又称竖标）表示相应截面的内力值。
轴力图、剪力图中，竖标正、负值分别画在杆件基线的两侧，要标明正负号；弯矩图画在杆件的受拉侧，不标正负。内力图要画上竖标，标注某些控制截面处的竖标值，并写明图名和单位。
4、内力图的形状特征
结构力学弯矩图
结构⼒学弯矩图
画弯矩图的基本理论
1.1 指定截⾯上的弯矩计算
弯矩等于截⾯⼀侧所有外⼒对截⾯形⼼⼒矩的代数和，画在受拉⼀侧。
1.2 荷载、剪⼒、弯矩三者之间的微分关系
即：当荷载为常数时，剪⼒图为斜直线，弯矩图为⼆次曲线；当荷载为零时，剪⼒图为平⾏线或为零线，弯矩图为斜直线或为平⾏线、零线。
1.3 区段叠加法
区段叠加法是以⼀段梁的平衡为依据，⽐拟相应跨度简⽀梁的计算⽽得到的⽅法：以⼀段梁的两端弯矩值的连线为基线，叠加该段相应简⽀梁的弯矩图。
1.4 刚结点处⼒矩的分配与杆端弯矩的传递
利⽤⼒矩分配法中的结点分配和传递的原理，计算出结点的分配系数，将结点的不平衡⼒矩快速分配和传递给其他杆的近端及远端。
1.5 剪⼒分配法的应⽤
对于在结点⽔平荷载作⽤下的排架（横梁EA为⽆穷⼤）、框架及框排架结构（横梁EI为⽆穷⼤），可以根据各个柱⼦的侧移刚度，计算出剪⼒分配系数，得到各柱的剪⼒。在弯矩为零处作⽤该柱的剪⼒，按悬臂柱即可计算其柱端弯矩。
速画弯矩图的基本技巧
2.1 单跨静定梁和超静定梁的弯矩图
熟练掌握单跨静定梁在简单荷载作⽤下的弯矩图，单跨超静定梁的载常数和形常数。
2.2 集中⼒及约束处弯矩图的特征
集中⼒处的弯矩图有尖⾓，尖⾓的⽅向同荷载的指向；集中⼒偶处的弯矩图有突变，突变的幅值等于⼒偶的⼤⼩，突变的变化与⼒偶的效应对应。例如：对于⽔平杆，弯矩图若从左向右绘制，遇到顺时针转向的⼒偶，有增加右段杆下侧受拉的效应，因此弯矩图形向下突变。
固定端处的弯矩⼀般不为零；⾃由杆端、杆端铰⽀座及铰结点处，若⽆外⼒偶作⽤，该处的弯矩恒等于零；当直线段的中间铰上⽆集中⼒作⽤时，由于中间铰两侧的剪⼒相同，因此，中间铰两侧杆的弯矩图形连续，并且经过中间铰（铰结点处的弯矩恒等零）；当直线段的滑动约束上⽆集中⼒作⽤时，由于滑动约束两侧的剪⼒为零，因此，滑动约束两侧杆的弯矩图形为⼀平⾏线；在两杆相连的刚结点处，两杆的杆端弯矩⼤⼩相同、同侧（⾥侧或外侧）受拉；在三杆相连的刚结点处，当已知两杆的杆端弯矩时，另外⼀杆的弯矩值可按结点的⼒矩平衡求得。
(土建施工)单跨静定梁教学设计(1)
单跨静定梁的内力计算
一、教学内容
知识目标：熟练掌握静定梁和静定刚架的内力计算和内力图的绘制方法；
熟练掌握绘制弯矩图的叠加法及内力图的形状特征；
掌握绘制弯矩图的技巧。
能力目标：具备熟练绘制内力图并分析结构内力的能力。
二、教学重难点
重点：截面法、微分关系的应用、简直梁叠加法。
难点：简直梁叠加法，绘制弯矩图的技巧。
三、教学方法
采用线上线下混合式教学法、小组讨论法、案例分析等方法。
四、教学实施
课前：教师利用云课堂APP部署任务，学生在课前回忆资料力学中的学习内力的相关知识，求内力的作用，并答复教师在云课堂APP中提出的相关问题。
课中：教师首先讲单跨静定梁的内力组成及受力特点分析，从而总结不同力作用效果不同，内力图的区别。结合视频内容讲解内力与外力之间的区分关系。请学生以小组为单位，观看并讨论不同荷载作用内力图的区别，分析假设两种荷载共同作用内力的效果，引入叠加法，然后通过练习稳固相关知识，最后老师点评。
课后：教师通过云课堂APP部署相关知识点的作业，要求学生按时完成，教师对作业进行批改，总结学生学习的缺乏。
五、教学小结
学生通过云课堂APP进行本次课程学习效果的评价；教师总结课程内容，并进行下次课程任务部署。
结构力学——第3章静定梁与静定刚架PPT优秀课件
21
§3-3 静定平面刚架
例3-5 试作图a所示刚架的内力图。
解：计算支座反力，由刚架的整体平衡
Fx 0 FAx 48kN() MA 0 FB 42kN() Fy 0 FAy 22kN()
绘弯矩图，控制截面弯矩为
至为正，注明正负； 弯矩M1—绘在杆件受拉侧，没有正负； 剪力FS—规定正面上的剪力指向某一侧为正，
不注正负，将其绘在正面上的剪力所 指向的一侧，标明杆轴的正方向。
33
§3-6 静定空间刚架
以AB杆为例，取距A端为x的任意截面K以左部分为隔离体，如图b。
根据平衡条件
Fx 0 FN 0
Fy 0 FSy 0
AC 段 用
M CD
ql 2 2
48kN m （左）
叠
M BE 0 M EB M EC 126kN m （下）
加 法
MCB 192kN m（下）
M AC 0 MCA 144kN m（右） 22
§3-3 静定平面刚架
绘剪力图和轴力图控制截面剪力为
FSDC0, FSCD24kN FSBE 42kN, FSEC 22kN FSAC 48kN, FSCA 24kN
§3-2 多跨静定梁
各段梁的 隔离体图 如图c。
先算附
快速绘制剪力图和弯矩图
D、若梁段上剪力图为位于基线下方的斜直 线，则画一条上升曲线，曲线的凸向与荷载 集度指向一致，曲线上升的铅直高度等于该 梁段剪力图面积； E、若遇集中力偶作用截面，力偶顺时针转 时，则向下画铅直线，力偶逆时针转时，则 向上画铅直线，铅直线的长度等于该集中力 偶的力偶矩； F、若遇铰链，弯矩图必过铰链中心。 注：由以上方法画得的轮廓线与基线所围图 形加上正负号，即得梁的弯矩图（弯矩图可 不标正负号）。
（3）式的几何意义为分布荷载的正负(即指 向）可以确定弯矩图的凹凸方向。
（4）式的几何意义为B、A两横截面的剪力差， 等于这两横截面间梁段上的荷载图面积。
（5）式的几何意义为B、A两横截面的弯矩之 差，等于这两横截面间剪力图的面积。
二、荷载图、剪力图、弯矩图的规律
1、无荷载作用的梁段：
剪力图为水平线，弯矩图为斜直 线，斜率的大小等于对应梁段上剪力的 大小。V>0时弯矩图下斜(\)，V<0时弯矩 图上斜(/)，V=0时弯矩图为水平线(--)。
四、快速绘制剪力图和弯矩图举例
4kN m
6kN
2kN m
4.5 1m
1m
+
1.5
4
8.5
7
2m
_
5.5
V(kN) 5.5
M(kNm)
80kN m 160kN
C A
DE 130kN
单跨静定梁
MB =0
M
L B
= 17KN
m
Y = 0 F L = 17KN QB
MB =0 Y = 0
M
R B
= 17KN
m
F R = 9KN QB
MC = 0 MC = 26KN m Y = 0 FQC = 9KN
第14页/共21页
M E 16KN m
FQE E
F
G
7kN
M
L F
16KN m
FL F G QF 7kN
Step2： 求控制截面的弯矩和剪力。
选A、BL、BR、C、E、FL、FR 、G为控制截面，设弯矩下侧受拉 为正。
第13页/共21页
MA
A FQA
17kN
ML B
A B FL QB
17kN
8KN M
R B
A B FR QB 17kN
8KN MC
A BCF
17kN
QC
M A = 0 M A = 0KN m Y = 0 FQA = 17KN
B
FNB
FQB
图(b)
经计算得：
Fy0A = FQA Fy0B = FQB
所以图（b）、（c） 的M图均为：
A
MA
M
M M0
B
MB
图(d)
q
MA
简捷法绘制单跨静定梁的内力图分析(1).
简捷法绘制单跨静定梁的内力图分析(1)
摘要：正确计算截面内力，快速绘
制静定梁内力图十分重要，阐述了用简捷法作单跨静定梁的内力图的基本条件，并举例说明了内力图在集中力、集中力偶处的特点和规律，还强调了弯矩图中抛物线的开口方向以及控制截面的选择方法。?
关键词：简捷法；剪力；剪力图；弯矩；弯矩图?
梁的内力图绘制的目的是用图示方法形象地表示出剪力Q、弯矩M沿梁长变化的情况，绘制梁的内力图是材料力学教材中的一个重点和难点内容，熟练、正确地绘制内力图是材料力学的一项基本功，也是后续课程结构力学的基础。绘制梁内力图的方法有静力法、简捷法和叠加法，其中简捷法是利用剪力、弯矩和荷载集度之间的微分关系作图的一种简便方法，通常是用来确定梁的危险截面作为强度计算的依据，因此熟练掌握简捷法作梁的内力图是十分必要的。?
1 简捷法绘制单跨静定梁的内力图的基本要求?
（1）能快速准确地计算单跨梁的支座反力（悬臂梁除外）?
支座反力的正确与否直接影响内力的计算，因此在静力学的学习过程中要打好基础。?
（2）能用简便方法求解指定截面的内力?
1．1 求剪力的简便方法?
某截面的剪力等于该截面一侧所有外力在截面上投影的代数和，即Q=?Y??左侧外力?（或）?Y??右侧外力?
代数和中的符号为截面左侧向上的外力（或右侧向下的外力）使截面产生正的剪力，反之产生负剪力。（即外力左上右下为正） ?
1．2 求弯矩的简便方法?
某截面的弯矩等于该截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和，即
M=?M??c左侧外力?（或?M??c右侧外力?）?
代数和中的符号为截面的左边绕截面顺时针转的力矩或力偶矩（或右边绕截面逆时针转的力矩或力偶矩）使截面产生正的弯矩，反之产生负弯矩。（即外力矩或力偶矩左顺右逆为正）?
单跨超静定梁的杆端弯矩和杆端剪力
掉固定支座B，加上相应的多余未知力X1、X2和X3， 便得到图19.10(b)所示的基本结构。由位移条件可知，
基本结构在外荷载和多余未知力X1、X2及X3共同作 用下，B处的水平位移Δ1、竖向位移Δ2和角位移Δ3即 分别沿X1、X2及X3
Δ1＝0
Δ2＝0
Δ3＝0
a
图19.10(c)、(d)、(e)、(f)分别表示了单位力X1=1、 X2=1、X3=1和荷载P单独作用于基本结构上时，B处 沿X1、X2及X3方向的相应位移。根据叠加原理，B处 应满足的位移条件可表示为
③ 根据剪力图和荷载利用结点平衡作轴力图，如图 19.14(h)所示。
【例19.4】求图19.15(a)所示超静定桁架各杆件的内力。已 知各杆EA相同。 【解】(1) 选取基本结构 此结构为一次超静定桁架， 切断下弦杆EF代之以相应的多余未知力X1，得到图19.15(b) 所示静定桁架作为基本结构。
(2) 建立力法方程 根据原结构支座B处位移为零的
δ11X1+δ12X2+δ13X3+Δ1P=0 δ21X1+δ22X2+δ23X3+Δ2P=0 δ31X1+δ32X2+δ33X3+Δ3P=0
(3) 计算系数和自由项 分别作基本结构的荷载弯矩 图MP图和单位弯矩图M1图、M2图、M3图，如图19.11(c)、 (d)、(e)、(f)
二建：建筑结构与建筑设备讲义. 第五章第三节 静定结构的受力分析、剪力图与弯矩图
第三节静定结构的受力分析、剪力图与弯矩图
静定结构包括静定桁架、静定梁、多跨静定梁、静定刚架、三铰刚架、三铰拱等。
一、多跨静定梁
多跨静定梁是由若干根梁用铰相连，并与基础用若干个支座连接而成的静定结构。例如图5-41中所示的多跨静定梁，AB部分（在竖向荷载作用下）不依赖于其他部分的存在就能独立维持其自身的平衡，故称为基本部分；BC部分则必须依赖于基本部分才能维持其自身的平衡，故称为附属部分。
受力分析时要从中间铰链处断开，首先分析比较简单的附属部分，然后分别按单跨静定梁处理，如图5-41～图5-44所示。
图5-41
图5-42
图5-43
图5-44
二、静定刚架
静定平面刚架的常见形式有悬臂刚架、简支刚架、外伸刚架，它们是由单片刚接杆件与基础直接相连，各有三个支座反力。
弯矩M画在受拉一侧，剪力V、轴力N要标明+、-号。
实际上，如果观察者站在刚架内侧，把正弯矩画在刚架内侧，把负弯矩画在刚架外侧，那么与弯矩画在受拉一侧是完全一致的。如图5-45、图5-46所示。
校核：利用刚结点C的平衡。
图5-45
图5-46
三、三铰刚架
三铰刚架由两片刚接杆件与基础之间通过三个铰两两铰接而成，有4
个支座反力(图5-47)；三铰刚架的一个重要受力特性是在竖向荷载的作用下会产生水平反力（即推力）。多跨（或多层）静定刚架则与多跨静定梁类似，其各部分可以分为基本部分[如图5-48(a)中的ACD部分]和附属部分[如图5-48 (a)中的BC部分]。
图5-47
图5-58
如图5-49（a）所示的三铰刚架。可先取整体研究平衡：
图5-49
04-讲义：3.2 单跨静定梁
第二节 单跨静定梁
一、单跨静定梁的内力分析
单跨静定梁通常有三种基本形式，即简支梁(图3-7(a))、悬臂梁(图3-7(b))和外伸梁（图3-7(c)），还有如图3-7(d)所示简支斜梁以及如图3-7(e)所示曲梁。这些梁支座反力都只有三个，可取全梁段为隔离体，由三个整体平衡方程先行求出。
图3-7 单跨静定梁的形式
(a)简支梁 (b)悬臂梁 (c)外伸梁 (d)简支斜梁 (e)曲梁
根据上一节所述的截面法、内力图的形状特征和区段叠加法作弯矩图，可将单跨静定梁内力图的绘制步骤归纳如下：
（1）利用整体平衡条件求支座反力（悬臂梁可不求支座反力）；
（2）选定外力的不连续点 (如支座处、集中荷载及集中力偶作用点左右截面、分布荷载的起点及终点等) 为控制截面，采用截面法求出控制截面处的内力值；
（3）根据内力图的形状特征，直接作相邻控制截面间的内力图。如果相邻控制截面间有横向荷载作用，其弯矩图应采用区段叠加法来绘制。
【例3-1】作图3-8(a)所示两端外伸梁的内力图。
【解】：（1）求支座反力
取全梁为隔离体，由0=∑A M ，即：
810210423010290B F ⨯+⨯-⨯⨯--⨯⨯=,
得：33.75()B F kN =↑。
再由0y F =∑，得：36.25()A F kN =↑。A 支座的水平方向支座反力为零。
（2）绘制剪力图
先采用截面法求下列各控制截面的剪力值。
SD 101036.2526.2510233.7513.7510220R L SA R SA L SC SB R SB F F kN
F kN
单跨静定梁弯矩图的绘制
［ １］ 龙驭球， 包世华．结构力学教程， 北京： 高教出版社， ２０００． ［ ２］ 朱慈勉， 结构力学，北京： 高教出版社， ２００４．
作者简介： 刘彩棉（ １９６７—） ， 女， 三峡大学土木学院高级讲师。
［ 责任编辑： 翟成梁］
５４５
１） 、选定外力的不连续点为控制截面， 求其弯矩。 ２） 分段作弯矩图。当控制截面间无荷载时， 直线相连； 若有荷载 时， 先将两端弯矩连一虚线， 然后以该虚线为基线， 叠加上简支梁在跨 间荷载作用下的弯矩图。 采用叠加法作弯矩图时， 可以少求控制截面的弯矩， 外力的不连 续 点 间 可 夹 有 荷 载 。梁 的 分 段 点 不 一 定 取 集 中 外 力 的 作 用 点 以 及 分 布 荷载的起点和终点， 只要把相应梁段视为简支梁时， 弯矩图易画就行。 由于所取的外力不连续点比《材料力学》明显减少， 绘图工作得到了简 化。
１．注重基础
若《材料力学》的基础知识掌握得不牢靠， 将给《结构力学》的学习 带来很大困难。《材料力学》中讲解的作弯矩图的许多知识点中， 《结构 力 学 》将 主 要 用 到 以 下 几 点 ：
１） 弯矩图画在受拉侧， 但弯矩图上不注明正负； ２） 梁任一截面的弯矩等于截面一侧所有外力对其形心矩的代数和， 左顺右逆矩为正； 或不论取截面的左侧或右侧， 向上的外力均引起正 值的弯矩； （ 正值的弯矩画在梁下侧） ３） 熟记简支梁在集中力、集中力偶、均布荷载作用下的弯矩图。 ２．注意叠加法的应用 在 《材 料 力 学 》中 ， 绘 Ｍ 图 的 目 的 是 分 析 极 值 弯 矩 ， 确 定 危 险 截 面， 以进行强度、刚度计算。通常是在作弯矩图之前， 先把剪力图画出， 其原因是： 若梁上有均布荷载， 在剪力 Ｑ＝０ 处， 弯矩 Ｍ 必有极值。《结 构 力 学 》的 研 究 重 点 是 要 解 决 静 定 结 构 、超 静 定 结 构 的 内 力 、变 形 计 算， 无论是求静定结构的位移， 还是用力法计算超静定结构， 都要用到 “图乘法”。在图乘时， 关键是要把复杂的弯矩图分解为简单图形， 因 此， 在作弯矩图时， 我们关注的是复杂形状的弯矩图是哪些简单图形 “叠加”的结果， 不再把注意力集中在弯矩图的极值上。由于两门课程 肩负的任务不同， 绘弯矩图时的方法也就有了差异： 在《结构力学》中， 绘 Ｍ 图前不必先画 Ｑ 图， 作图时选用叠加法， 即方便又快捷。 ２．１ 直杆段弯矩图叠加法
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浅述单跨静定梁弯矩图的快速绘制
摘要：梁是结构的主要受力单元，在计算梁的承载及破坏时，弯矩图的作用至关重要。而弯矩图的绘制是学生在学习的一个弱点，因此针对静定粱结构的弯矩图快速绘制进行探讨，可以大大提高作图速度和效率。
关键词：静定梁弯矩弯矩图
引言：
力学课程是工科专业学生的一门必不可少的基础课程，它对于后续钢筋混凝土等课程的学习起十分重要的作用。就建筑本身来说，就是一个力学模型，要保证结构的安全就必须确保每个受力构件的计算准确。因此学好力学课程有非常重要的意义，而在日常力学课程的学习中，梁的弯矩图绘制却是学生在学习中的难点，文章通过总结各种弯矩图绘制的方法后，给出一种能够较为快速的绘制弯矩图的方法，对于梁的后续计算打下基础。
1理论知识
1、1 单跨静定梁的种类（如图1）：（a)悬臂梁(b)简支梁(c) 外伸梁[1]
图1 ：单跨静定梁的种类(Figure 1: The single-span beam statically determinate types)
1、2弯矩出现的原因：弯矩伴随梁的弯曲变形而出现
1、3弯矩的位置：弯矩出现在梁的截面上
1、4弯矩的正方向规定：弯矩使梁的下侧（以梁的轴线为分界）纤维受拉为正
1、5弯矩计算的基本方法：利用截面法计算，通过分段列弯矩图的函数表达式求解
1、6 弯矩图绘制的方法：先绘制梁的轴线，弯矩图绘制在梁的受拉侧，
不需要标明正负号
2静定梁弯矩图绘制的实用结论
2、1 弯矩的本质：弯矩是为了平衡所有外界力对截面的转动效果
2、2弯矩分段的位置：弯矩作为内力的一种，与外力作用密切相关。因此，绘制梁的弯矩图时，在有外力（）作用的位置分段进行[2]
2、3 需要求解弯矩的截面位置：通常出现在梁的两端以及分段位置的截面处
2、4 弯矩图形的特点：
梁上的荷载分为四种情况：无荷载区段、均布荷载区段、集中力作用点和集中力偶作用点。可以对梁的弯矩图特点总结出以下规律（如表1）：
2、4、1、当某段梁上无分布荷载（无荷载区段），即时，是与无关的常数，是的一次函数。故剪力图为一条水平直线，弯矩图为一条斜直线。其中包括：
(1)当为正常数时，弯矩图为指向右下方的斜直线；
(2)当为负常数时，弯矩图为指向右上方的斜直线；
(3)当时，弯矩图为水平直线。
2、4、2、当某段梁上有均布荷载，即为常数时，是的一次函数，是的二次函数。故剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线，且弯矩图凸出方向与指向一致。其中包括：
(1)当为向上作用的正常数时，剪力图为指向右上方的斜直线；弯矩图为向上凸的二次抛物线。
(2) 当为向下作用的负常数时，剪力图为指向右下方的斜直线；弯矩图为向下凸的二次抛物线。
(3)剪力图上的点，对应着弯矩图中二次抛物线的顶点，即该区段弯矩的极值点。
2、4、
3、当某段梁上有按一次函数分布的荷载，即为的一次函数时，是的二次函数，是的三次函数。此时剪力图为二次抛物线，弯矩图为三次抛物线。
表1几种荷载作用下的剪力和弯矩图
(Table 1several loads of shear and bending moment diagram)
2、4、4在有集中力偶作用的横截面处，弯矩无定值，左右两侧发生突变。突变值的大小就是该处集中力偶矩的值。从左往右画弯矩图时，当集中力偶逆时针方向时，弯矩图由下向上突变；集中力偶顺时针方向时，弯矩图由上向下突变。
2、4、5在梁端的铰支座处，只要该处无集中力偶作用，则梁端铰内侧截面的弯矩一定等于0；若该处有集中力偶作用，则值一定等于这个集中外力偶矩。应注意，外伸梁外伸处的铰支座与梁端铰不同，无此特点。
2、4、6利用叠加法绘制弯矩图：
当区段内出现均布荷载时，先求出和的数值，连虚线，以虚线为基线，在虚线的中点顺着均布荷载的箭头方向叠加。
当区段内出现集中力时，先求出和的数值，连虚线，以虚线为基线，在虚线的集中力出现的位置顺着集中力的箭头方向叠加。
3计算实例
求图2所示外伸梁的图。
图2外伸梁(Figure 2 overhanging beam)
【解】1用基本理论方法绘制弯矩图
(1)首先求出支座反力。
由梁整体的平衡方程得
分段并建立弯矩方程
以为坐标原点建立坐标系，取任意截面
AC段：弯矩方程：它是一直线方程。
CB段：弯矩方程：它是一直线方程。
BD段：弯矩方程：它是一个二次抛物线方程。
计算各控制点的值（如表2）
表2：控制点的值（）
(4)绘出弯矩图
根据弯矩方程及各控制点的内力值，绘出弯矩图如图3所示。2用弯矩的相关结论求解：
本题只需按支座将梁分为、两个区段即可。
值：
区段点的弯矩叠加值
区段中点的弯矩叠加值
由叠加作图如图3所示。
图3 弯矩图(Figure 3Bending moment diagram)
4结束语
梁的弯矩计算对于梁华的后续设计十分重要，而在日常的学习过程中，弯矩图的绘制却是个难点，通过对例题的求解，可以看出利用弯矩的相关结论绘制弯矩图对于提高解题速度有很大的帮助，而且也能够降低学习的难度，提高了教学质量，达到事办功倍的效果。
参考文献：
[1]《建筑力学》，夏锦红主编，郑州大学出版社，2007年第7版
[2]《材料力学中弯矩图的使用划法》，苗德，天津轻工业学院学报，1993，92
[3]骆行，快速绘制剪力图、弯矩图[J]. 成都电子机械高等专科学校学报2004，32
注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。