一类二阶拟线性中立型时滞微分方程的振动性判据
二阶Emden-Fowler型变时滞中立型微分方程的振荡性
二阶Emden-Fowler型变时滞中立型微分方程的振荡性张晓建【摘要】The oscillatory behavior of a class of second-order Emden-Fowler-type nonlinear neutral variable delay functional differential equations is studied in this ing a couple generalized Riccati transformation and some necessary analytic techniques,we establish two new oscillation criteria for the equations,which improve and generalize some corresponding known results.%利用广义双黎卡提变换技术及一些分析技巧,研究了一类二阶Emden-Fowler型非线性中立型变时滞泛函微分方程的振荡性,获得了该类方程振荡的2个新的判别准则,推广并改进了现有文献中的一些结果.【期刊名称】《浙江大学学报（理学版）》【年(卷),期】2018(045)003【总页数】6页(P308-313)【关键词】振荡性;变时滞;Emden-Fowler型微分方程;Riccati变换【作者】张晓建【作者单位】邵阳学院理学与信息科学系,湖南邵阳422004【正文语种】中文【中图分类】O175.70 引言研究如下形式的二阶非线性广义Emden-Fowler型变时滞微分方程的振荡性：[a(t)φ1(z′(t))]′+q(t)f(φ2(x(δ(t))))=0，t≥t0(1)其中，z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)),φ1(u)=|u|λ-1u,φ2(u)=|u|β-1u(λ>0,β>0为实常数)；a,p,q∈C([t0,+∞),R)；f∈C(R,R)且当u≠0时，uf(u)>0.并总假设以下条件成立：(H1) a∈C1([t0,+∞),(0,+∞))，且q(t)>0，p(t)≥0.(H2) 滞量函数τ,δ：[t0,+∞)→(0,+∞)，并且满足：及τ∘δ=δ∘τ，τ′(t)≥τ0(这里τ0>0为常数).(H3) 当u≠0时f(u)/u≥L(这里常数L>0).方程(1)的解及其振荡性定义可参见文献[1-2]. 由于时滞泛函微分方程在自然科学和工程技术中应用广泛，近年来，变时滞的中立型泛函方程的定性理论(特别是解的振荡和非振荡性、渐近性等)研究引起了国内外学者的极大兴趣[1-15]. 如黄记洲等[3]、曾云辉等[4]分别在条件a-1/λ(t)dt=+∞(2)和a-1/λ(t)dt<+∞(3)下研究了二阶Emden-Fowler型微分方程{a(t)|[x(t)+p(t)x(τ(t))]′|λ-1[x(t)+p(t)x(τ(t))]′}′+q(t)|x(δ(t))|β-1x(δ(t))=0(4)的振荡性，得到了方程(4)的若干新的振荡准则. 值得注意的是，文献[3-4]有限制条件：a′(t)≥0，0≤p(t)<1，(5)在λ<β时，文献[3]未得到方程(4)的振荡准则，并且在条件(3)下，文献[3-4]得到的结论是：方程(4)的每一个解x(t)或者振荡或者显然不能确定方程(4)是否振荡. 此结论在应用时也很不方便，因为无法知道方程(4)的解x(t)在什么条件下是振荡的、在什么条件下满足本文可看作文献[1]或[5]的延续. 文献[1]在条件(2)下研究了方程(1)的振荡性，得到了方程(1)振荡的一些新准则，这些振荡准则改进了现有文献中的一些结果(如去掉了限制条件(5)，在λ≤β和λ>β时均有方程(1)的振荡准则，在特殊情形即λ=β时提高了精确度等). 文献[5]又在一定程度上改进了文献[1]中定理1的结论，得到以下结果：定理[5] 设条件(H1)～(H3)及式(2)成立，0≤p(t)≤p0<+∞(其中常数p0≥0)，若有函数φ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))，使得当λ≤β时，(6)当λ>β时，其中，常数T≥t0充分大，η>0，函数Q(t)及Ψ(t,t1)的定义如下：Q(t)=min{q(t),q(τ(t))}，Ψ(t,t1)=t1≥t0，则方程(1)是振荡的.值得注意的是，由于受条件0≤p(t)<1的限制，文献[3-4]的结果不能用于下列方程(其中常数ρ0>0):因为不满足条件(2)，所以文献[1,5]中的定理对上述方程也不适用.本文的目的是利用广义的双Riccati(黎卡提)变换及不等式分析技巧，在条件(3)下建立方程(1)振荡的一些新的准则，以改进和丰富现有文献中的一系列结果.1 方程的振荡准则引理1[1] 设A>0，B>0，α>0均为常数，则当x>0时，(8)定理1 设条件(H1)～(H3)及式(3)成立，并且0≤p(t)≤p0<+∞(p0为常数)，如有函数φ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))使得当λ≤β时式(6)成立，当λ>β时式(7)成立，并且+∞，(9)其中，常数函数Q(t)=min{q(t),q(τ(t))}，k>0为常数，ζ(t)=a-1/λ(s)ds，则方程(1)是振荡的.证明反证法: 设方程(1)有一个最终正解x(t)(当方程(1)有一个最终负解x(t)时类似可证)，则存在t1≥t0，使得当t≥t1时，x(t)>0，x(τ(t))>0，x(δ(t))>0. 由文献[1]或[5]中定理1的证明知，函数a(t)φ1(z′(t))严格单调减小且最终定号，从而z′(t)最终为正或为负，因此只需考虑下列2种情形：(i) z′(t)>0(t≥t1)；(ii) z′(t)<0(t≥t1).情形(i) z′(t)>0(t≥t1). 由文献[5]中定理1的证明知，方程(1)是振荡的.情形(ii) z′(t)<0(t≥t1).首先，定义函数v(t)为(10)则v(t)<0(t≥t1). 由于a(t)φ1(z′(t))=a(t)×[-z′(t)]λ-1z′(t)是单调递减，则有a(τ(t))[-z′(τ(t))]λ-1z′(τ(t))≥a(t)[-z′(t)]λ-1z′(t)，即a(τ(t))[-z′(τ(t))]λ≤a(t)[-z′(t)]λ，亦即注意到z′(t)<0，于是由式(10)可得(11)其次，定义函数w(t)为w(t)==则w(t)<0(t≥t1)，用与上面类似的方法可得(12)由文献[1]或文献[5]中定理1的证明知，下式仍然成立：-L0Q(t)zβ(δ(t))≤0.于是，利用z(δ(t))≥z(t)，并综合式(11)和(12)，可得-L0Q(t)zβ-λ(t)-(13)若λ>β，则由z(t)>0，z′(t)<0(t≥t1)知，z(t)≤z(t1)，即zβ-λ(t)≥zβ-λ(t1)=k.若λ=β，则zβ-λ(t)=1.若λ<β，则由a(t)(-z′(t))λ-1z′(t)单调减小，当s≥t1时，有a(s)(-z′(s))λ-1z′(s)≤a(t1)(-z′(t1))λ-1z′(t1)=-M，其中M=-a(t1)(-z′(t1))λ-1z′(t1)>0为常数，于是a(s)(-z′(s))λ≥M，即z′(s)≤-M1/λa-1/λ(s).进一步有z(u)-z(t)≤-M1/λa-1/λ(s)ds，即z(t)≥z(u)+M1/λa-1/λ(s)ds≥M1/λa-1/λ(s)ds，在上式中令u→+∞，得z(t)≥M1/λa-1/λ(s)ds=M1/λζ(t)，即zβ-λ(t)≥kζβ-λ(t)，其中k=M(β-λ)/λ>0是常数.综合上述3种情形及函数π(t)的定义，由式(13)，有(14)上式两边同时乘以ζλ(t)，再从t1到t(t≥t1)积分，并利用ζ′(t)=-a-1/λ(t)及式(8)可得L0Q(s)π(s)ζλ(s)ds≤-+λζλ-1(s)ζ′(s)w(s)ds-(15)此外，再次利用a(t)(-z′(t))λ-1z′(t)的单调递减性，对s≥t≥t1，有a(s)(-z′(s))λ-1z′(s)≤a(t)(-z′(t))λ-1z′(t)，即两边对s从t到u(u≥t)积分，得z(u)-z(t)≤a1/λ(t)z′(t)a-1/λ(s)ds，从而z(t)+a1/λ(t)z′(t)a-1/λ(s)ds≥0，令u→+∞，则有z(t)+a1/λ(t)z′(t)a-1/λ(s)ds≥0，t≥t1.因此，于是由函数w(t)的定义知，-1≤w(t)ζλ(t)≤0，t≥t1.(16)同理可得-1≤v(t)ζλ(t)≤0，t≥t1.(17)结合式(16)、(17)，由式(15)得这与条件(9)矛盾. 定理证毕.定理2 设条件(H1)～(H3)及式(3)成立，并且0≤p(t)≤p0<+∞(p0为常数)，如有函数φ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))使得当λ≤β时式(6)成立，当λ>β时式(7)成立，并且(18)其中函数Q(t)，π(t)及ζ(t)的定义同定理1，则方程(1)是振荡的.证明前面部分的证明完全同定理1，可得式(14)、(16)和(17). 现将式(14)两边同时乘以ζλ+1(t)，再从t1到t(t≥t1)积分，注意到ζ′(t)=-a-1/λ(t)，则有L0Q(s)π(s)ζλ+1(s)ds≤-ζλ+1(s)w′(s)ds-ζλ+1(t)(-w(t))+ζλ+1(t1)w(t1)+(19)利用式(16)，可得|ζλ+1(t)(-w(t))|≤|ζλ(t)w(t)|ζ(t)≤ζ(t)<+∞，类似地，利用式(17)，可得|ζλ+1(t)(-v(t))|<+∞，于是，由式(19)得L0Q(s)π(s)ζλ+1(s)ds<+∞，这与条件(18)矛盾. 定理证毕.例1 考虑方程(E)其中ρ0>0为常数. 相当于方程(1)中a(t)=t2，q(t)=ρ0，p(t)=1+sin t，f(u)=u，τ(t)=δ(t)=t/2，λ=β=1，t0=1.显然有a-1/λ(t)dt=t-2dt<+∞.现取φ(t)=t，t1=1，则取T=3，则1/2≤Ψ(t,t1)≤1. 注意到L0=1，τ0=1/2，p0=2，于是，当ρ0>1.5时，且因此，由定理1知,当ρ0>1.5时方程(E)是振荡的.注1 实际上，上述计算还可进一步精确. 如取T=3.5，则0.6≤Ψ(t,t1)≤1，当ρ0>1.25时,于是，由定理1知,当ρ0>1.25时,方程(E)是振荡的.注2 由于不满足条件(2)，因此文献[1,5,9-10]中的结论对方程(E)不适用，又因不满足条件0≤p(t)<1，则文献[3-4]中的结果也不能用于方程(E)，其他文献如[2,6-8]中的定理也不能用于方程(E).参考文献(References)：[1] 杨甲山. 二阶Emden-Fowler型非线性变时滞微分方程的振荡准则[J]. 浙江大学学报(理学版), 2017,44(2)： 144-149.YANG J S. Oscillation of certain second-order Emden-Fowler-type variable delay neutral differential equations[J]. Journal of ZhejiangUniversity(Science Edition), 2017,44(2)： 144-149.[2] AGARWAL R P, BOHNER M, LI W T. Nonoscillation and Oscillation：Theory for Functional Differential Equations[M]. New York： MarcelDekker,2004.[3] 黄记洲, 符策红. 广义Emden-Fowler方程的振动性[J]. 应用数学学报, 2015,38(6)： 1126-1135.HUANG J Z, FU C H. Oscillation criteria of generalized Emden-Fowler equations[J]. Acta Mathematicae Applicatae Sinica, 2015,38(6)： 1126-1135.[4] 曾云辉, 罗李平, 俞元洪. 中立型Emden-Fowler时滞微分方程的振动性[J]. 数学物理学报, 2015,35(4)： 803-814.ZENG Y H, LUO L P, YU Y H. Oscillation for Emden-Fowler delay differential equations of neutral type[J]. Acta Mathematica Scientia, 2015, 35(4)： 803-814.[5] 杨甲山, 方彬. 二阶广义Emden-Fowler型微分方程的振荡性[J]. 华中师范大学学报(自然科学版), 2016,50(6)： 799-804.YANG J S, FANG B. Oscillation of certain second-order generalized Emden-Fowler-type differential equations[J]. 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Journal of East ChinaNormal University(Natural Science), 2015,2015(3)： 9-15.[14] 杨甲山,方彬.时间模上一类二阶非线性中立型泛函动态方程的振荡性[J].内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版), 2016,45(5)： 603-609.YANG J S, FANG B. Oscillation for certain second-order nonlinear neutral functional dynamic equations on time scales[J]. Journal of Inner Mongolia Normal University(Natural Science Edition), 2016,45(5)： 603-609. [15] 杨甲山, 张晓建. 具阻尼项的二阶拟线性泛函差分方程的振荡性判别准则[J]. 浙江大学学报(理学版) ,2015,42(3)： 276-281.YANG J S, ZHANG X J. Oscillation criteria for a class of second order quasi-linear functional difference equation with damping[J]. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2015,42(3)： 276-281.。
一类二阶非线性变时滞差分方程解的振动性
本文只讨论方程（ ） １ 的非平凡解．方程（ ） １ 的解 ｛（ ） 称为是最终正解（ ／｝ ２ 或最终负解 ） 如果存在整数 ，
Ⅳ≥ｎ ， 。 使得 当 ≥Ⅳ 时 ， Ｉ ０ 或 （ ）＜ ） 方程 （ ） （， （ １ ）＞ ｎ ０ ； １ 的解 ｛ ／ ｝ 为是 振 动的 ， （， 称 ７ ） 如果 它既 不最 终 为正
（ ： ≤Ｐ（ ） ； （ ） ０； （ ）＞ ， △ （ ） ０； Ｈ ）０ ｎ ≤１ 曰 ｎ ｉ Ａ ｎ ０ 且 Ａ ｎ ＞ ＞ １
（ ： ｎ ０是 整数 ， Ｈ ） （ ）＞ 且 （ ） ，ｌ 丁 ｎ ｎ≤ ｉ （ ）＝＋∞ ； ｍ
（） Ｅ
（ ）ｏ（ ）＞ Ｈ２ ：－ｎ ０是整 数 ， ｎ ≤ｎ ｌ （ ）：＋。 且 △ ｎ ＞ ； （ ） ， ｉ ａ ｒ 凡 。， （ ） ｔ０ （ ： Ｈ ） 存在 常数 ＞０ ＞ ， 得 ， ０ 使 ≥ ， ≤ 且 Ｑ ）一 （ ）＞ 卢， （ 凡 ０最终成 立 ；
ｎ ｎ ／ 、
（） ２
ｚ ） ｘ（ ｎ１ （ ＝ｅ ∑ｌ ＋ ｎ ｐ ［
５ ｎ ＝ ｏ
＼。／
］， ）
（） ３
则 方程 （ ） １ 可写 为
收稿 日期 ： ０ １ｏ ＿ ６ ２ １－ ４ｏ
基金项 目： 湖南省教育厅科研基金重点 资助项 目（０ Ａ ８ ） ９ ０２ ． 作 者简 介 ： 甲山（９ ３ ） 男 ，湖南城步人 ， 杨 １６ 一 ， 副教授 ， 研究方 向为微分差分方程
中 图分类 号 ： １５ Ｏ ７ 文 献标 志码 ： Ａ
随着计算机科学、 数值分析 、 生物数学及边缘科学 的不断发展 ， 在科学研究和社会实践 中提出了很多由
两类二阶中立型微分方程的振动性的开题报告
两类二阶中立型微分方程的振动性的开题报告一、选题背景微分方程在数学中具有非常重要的地位，是许多科学领域中必不可少的数学工具。
其中，中立型微分方程是指同时具有时滞项和常微分方程项的微分方程。
中立型微分方程的研究在掌握传统微分方程的基础上，增加了新的考虑因素，具有较高的研究价值和应用价值。
在实际问题中，中立型微分方程的研究可以应用于物理、生物、经济等领域，例如物理中的震动问题，经济中的消费行为问题等。
本文主要研究两类二阶中立型微分方程的振动性问题，以期探究不同类型微分方程在振动问题中的性质和应用。
二、研究内容1.二阶中立型微分方程的基础知识介绍中立型微分方程的定义、特点和基本性质，以及常见的解法方法，并且阐述相关的研究背景和文献资料。
2.第一类二阶中立型微分方程的振动性探究第一类二阶中立型微分方程的特点和振动性质，其中，第一类指具有单一时滞项，直接对其平衡解进行振动性的分析，并给出具体例子。
3.第二类二阶中立型微分方程的振动性第二类二阶中立型微分方程指具有多个时滞项的微分方程，我们通过仔细分析多个时滞项所产生的影响，探究其振动性的变化和特点，并给出具体的例子。
4.实例分析和讨论选取具体的物理或经济问题，通过建立相应的中立型微分方程模型，分别对第一类和第二类中立型微分方程进行振动性分析，探究其在不同领域的应用价值。
三、预期成果通过本文的研究，可以深入了解并掌握二阶中立型微分方程的振动性问题，从而有助于在不同领域的实际问题中进行应用。
同时，通过实例分析和讨论，可以更加具体地讨论不同中立型微分方程模型的振动性和应用，在实践中具有一定的参考意义。
二阶多时滞中立型微分方程的振动性
二阶多时滞中立型微分方程的振动性闫卫平;王兰红【摘要】研究二阶线性中立型微分方程的振动性，对具有多时滞的一类二阶中立型微分方程的振动性进行讨论，利用比较原理将二阶多时滞中立型微分方程的振动性判断转化为判断一阶方程的振动性，这种比较原则最大限度地使研究的二阶方程得到简化。
%To study the oscillation of the second order neutral differential equations with mutiple delays of a class of second order neutral differential equations were discussed .The obtained result were based on the new comparison theorems ,that enable us to reduce the problem ofthe oscillation of the second order equation to the oscillation of the first order equation .T he obtained comparison principles essentially simplifythe examination of the studied equations .【期刊名称】《安徽大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】4页(P1-4)【关键词】二阶多时滞线性中立型微分方程;比较原理;振动性;非振动性【作者】闫卫平;王兰红【作者单位】山西大学数学科学学院，山西太原030006;山西大学数学科学学院，山西太原 030006【正文语种】中文【中图分类】O175.4讨论二阶多时滞中立型微分方程的振动性.其中：qj（t）∈C（［t0，∞）），r（t），pi（t），τi（t），σj（t）∈C1（［t0，∞））（i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n），并且满足假设记方程（1）的解应满足x（t）∈C（［Tx，∞）），Tx≥t0 和r（t）z′（t）∈C1（［Tx，∞）），并且在［Tx，∞）上满足方程（1）.这里只考虑方程（1）的解，对于所有的T≥Tx 满足sup｛｜x（t）｜：t≥T｝＞0.假设方程（1）拥有这样的解，如果方程（1）的解在［Tx，∞）上有任意大的零解，那么称它为振动的，否则就是非振动的.若方程（1）的所有解都是振动的，那么这个方程就称为是振动的.二阶微分方程在物理、生物、经济等许多方面有重要应用.例如，文献［1－10］讨论了关于二阶中立型微分方程的振动性.在文献［4］中，作者研究了二阶中立型微分方程在文献［7－8］中，作者研究了关于非线性方程的振动性，但是多时滞方程的振动性的研究并不多见.受文献［4］的启发，作者对二阶多时滞中立型微分方程的振动性做了研究，并得到了满意的结果.1 预备知识文中涉及函数不等式都假设它们最终成立，即它们对足够大的t成立.不失一般性，在文中只考虑方程（1）的正解.引理1 设x（t）是方程（1）的一个正解，则对应的函数z（t）最终满足证明若x（t）是方程（1）的一个正解，那么，且由方程（1）知那么（r（t）z′（t））是递减的，最终z′（t）＞0或者z′（t）＜0.如果设z′（t）＜0，那么存在一个常数c，使得r（t）z′（t）≤－c＜0，并对该式从t1到t积分，可以得到当t→∞时，有这与z（t）的性质矛盾，从而引理得证.指定这里t是足够大的.2 定理证明定理1 设Q（t）是（3）中定义的且t是足够大的.若一阶多时滞中立型微分不等式没有正解，那么，方程（1）是振动的.证明设x（t）是方程（1）的一个正解，对应的函数z（t）满足z（t）＞0，z′（t）＞0，（r（t）z′（t））′＜0，且有所以，有这里应用了（H3）.另一方面，由（1）可知进一步，将（H1）代入计算可得那么所以，有将（H3）代入计算可以得到联合（6）和（8），有将（3）和（5）代入上式可得由引理1知y（t）＝r（t）z′（t）＞0是递减的，有从而可得联合（9）和（10）可得即这意味着y（t）是（4）的一个正解.这与假设矛盾，从而定理1得证.定理2 设Q（t）是（3）中定义的且t是足够大的.当τi（t）≥t（i＝1，2，…，m）时，且一阶微分不等式没有正解，那么方程（1）是振动的.证明设x（t）是方程（1）的一个正解，由引理1和定理1的证明知y（t）＝r （t）z′（t）＞0是递减的且满足不等式（4）.令，且由τi（t）≥t（i＝1，2，…，m）知将其代入（4），可以得到w（t）是不等式（11）的一个正解，这与假设矛盾，从而定理2得证.现在考虑τi（t）（i＝1，2，…，m）是滞后的时滞，用τ－1i（t）表示它的反函数.定理3 设Q（t）是（3）中定义的且t是足够大的.当τi（t）≤t，τ（t）＝min ｛τi（t）｝（i∈｛1，2，…，m｝）时，且一阶微分不等式没有正解，那么方程（1）是振动的.证明设x（t）是方程（1）的一个正解，由引理1和定理1的证明知y（t）＝r （t）z′（t）＞0是递减的，且满足不等式（4）.令，且由τi（t）≤t（i＝1，2，…，m）知将上式代入（4），可以得到w（t）是不等式（12）的一个正解.这与假设矛盾，从而定理3得证.参考文献：［1］Grammatikopoulos M K，Ladas G，Meimatidou A.Oscillation of second order neutral delay differential equation［M］.Rad Mat，1985［2］Sahine Y.On oscillation of second order neutral type delay differential equations［M］.Appl Math Comput，2007，150：697－706.［3］Baculikova J.Oscillation criteria for second order nonlinear differential equations［J］.Arch Math，2006，42：141－149.［4］Baculikova J，Dzurina A.Oscillation theorems for second order neutral differential equations［J］.Applied Mathematical Modelling，2011，61：94－99.［5］Liu L H，Bai Z.New oscillation criteria for second order nonlinear delay differential equtions［J］.Comput Appl Math，2009，231：657－663. ［6］Xu R，Xia Y.A note on the oscillation of second order nonlinear neutral functional differential equations［J］.Contemp Math Comput Sci，2008（3）：1441－1450.［7］Han Z，Li T，Sun S，et al.Oscillation criterial for second order nonlinear neutral delay differential equations［M］.Adv Difference Equ，2010：1－23.［8］Dzurina J，Hudakova D.Oscillation criteria for second order delay differential equations［J］.Math Bohem，2006：134 31－38.［9］Xu R，Meng F.Oscillation criteria for second order quasi linear neutral delay differential equations［M］.Appl Math Comput，2007，192：216－222.［10］Hasanbulli M，Rogovchenko Y.Oscillation criteria for second order nonlinear neutral differential equations［J］.Appl Math Comput，2010，。
一类偶数阶中立型阻尼偏微分方程解的振动性
ｈ
．
Ｕ
（， ＋∑Ｐ ｆ （，一 ， ＋ ｘ） ｔ ，） ￡ ． ］ （ ｒ ）
，： ｌ
（ １ Ｒ ＝［ ， Ｈ ） ＋ ０ ＋∞） Ｇ；Ｒ Ｘ ， ∈Ｒ 是 ， ＋
具有逐片光滑边界 ａ 力的有界区域 ， △是 中的 ｍ 维拉普拉斯算子 ；
１ｎ— Ｉ
ｈ
６ｔ （ ）
—
Ｕ●
［（， ＋∑Ｐ ｔ （，— ］ ｕｘ￡ ） ） ｔ ） （
ｒ＝ｌ
ｍ（） ｕ ，） 一 ｎ ｔａｕ ， 一 ） ＋ ｔＡ （ ｔ （） （ ｔ
（２ Ｐ ￡ Ｈ）ｒ ）∈ｃｔ ＋， ）＜１ （ （ （ Ｒ） ∑Ｐ ｔ ， （ ，￡ ｇ）
∈Ｃ ，Ｒ ） （， ＋ 且不恒为零 ， ，＝［ ， ｔ ＋∞）ｔ ≥０， 。 ， ０
第２ ６卷 第 ４期 ２０ ０ ８年 １ １月
贵州师范大学学报 （ 自然科学 版） Ｊｕｎｌ ｆ ｕｚｏ ｏｍ ｌ ｎ ｅｓｙ（ ａ ｒｌ ｃｅｃｓ ｏｒａ ｏ ｉ ｕＮ ｒ ａ Ｕ ｉ ｒ ｔ Ｎ ｔ ａ Ｓｉｎｅ） Ｇ ｈ ｖ ｉ ｕ
Ｖ ｌ２ ． ｏ ４ ｏ＿ ６ Ｎ ． ＮＯ ． ０ ８ Ｖ２０
该类 方程 在 Ｒ ｂｎ Ｄｒ ｈｅ 边值条件下振动 的充 分判据． ｏ ｉ， ｉｅｌｔ ｉ
关 键 词： 阻尼 ； 中立型； 偏微分方程 ； 振动性 文献标识码 ： Ａ 中图分类号 ： １５ ４ Ｏ ７ ．
Ｏｓ ｉ ａ ｉ ｎ ｏ ｏ ｕ ｉｎ ｏ ａ ｃａ ｓ ｏ ｖ ｎ ｏ ｄ ｒ ｎ ｕ ｒ ｌ ｃｌ ｔ ｆｓ ｌ ｔ ｓｔ ｌ ｓ ｆｅ ｅ ｒ ｅ ｅ ｔ ａ ｌ ｏ ｏ ｄ ｍｐ ｄ ｐ ｒ ｉｌｄ ｆｅ ｅ ｔ ｌｅ ｕ ｔ ｎ ａ ｅ ａ ｔａ ｉ ｒ ｎ ｉ ｑ ａ ｉ ｓ ａ ｏ
一类二阶时滞微分方程解的振动性质
（） １
方程 （ ）的不 最 终恒 为 零 的非 常数 解 ， １ 叫做 正 解 ［ ］ 一 个 正 则 解 称 为 振 动 的 ， 果 它 有 任 意 大 的零 点 ； １． 如 最 近 ， ［ ］ ［ ］利 用文 ［ ］的某 些技 巧 ， 究 了方 程 （ ）的 振 动 性并 给 出 了一 些 振 动 性 判 据 ． 别 ， 文 １ 、２ ３ 研 １ 特 文
（ ． 山 高等 专 科 学 校 散 学 系 。 徽 黄 山 １黄 安
摘 要 ： 用 函数 平 均技 巧 ， 进 并 推 广 了有 关论 文 中所 给 出的 二 阶 时滞 微 分 方 程 解 的振 动 性 准 利 改 则 ， 到 了一 类二 阶 时 滞微 分 方程 解 的振 动性 质 的 一 些新 的充 分 判据 ． 得 关键 词 ： 阶 时滞 微 分 方程 ； 动 ； 二 振 正则 解 中图分 类号 ： １ ５ ２ ０ ７ ．５ 文献标 识 码 ： Ａ
厂
㈩ ）一
） ）
（㈩ ）， ｒ ｒ（
改进 并 推广 文 ［ ］ ［ ］的某 些 已知结果 ． １ 、２
２ 主 要 结 果
本 文 中 ， 们 总体 假 设 我
（ ） ∈ Ｃ（ ， ） （ ） 最终 恒 为零 ： Ａ１ Ｊ Ｒ０ ， ￡ 不 ｒ∈ （ Ｊ Ｒ） ｒ ￡ ≤ ￡ 对 ￡ Ｃ（ ， ， （ ） ， ≥ ０且 ｌ ｒ ￡ ， ｉ （ ）＝＋ ｏ ， ｍ ｏ 其 中 Ｊ＝ ［０ ，＋Ｏ ） Ｒ０＝ ［ ， Ｏ ） Ｒ ＝ （ ， ｏ ） ０， ０ ＋ ０， ０ ＋ ｏ； Ａ（）厂， ∈ Ｃ（ Ｒ） 且 （ ２ ｇ Ｒ， ， ｚ）＞ ０ （ ≠ ０ ； Ｙ ≥ Ｃ ＞ ０（ ，ｚ ） ｇ（ ） Ｙ∈ Ｒ） Ｃ为 常 数 ． ，
几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的开题报告
几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的开题报告时滞微分方程（Delay Differential Equations，DDE）是一种具有时滞项的微分方程，其解的振动性和正解存在性是研究时滞微分方程的重要问题之一。
本文将介绍几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的研究情况。
1. 时滞线性微分方程时滞线性微分方程是一种常见的时滞微分方程形式。
对于具有时滞项的线性微分方程，可以通过矩阵指数函数的方法得到其正解存在性，并进一步确定其解的振动性。
研究表明，当时滞项小于一定值时，时滞线性微分方程的解为渐近稳定的；当时滞项在一定范围内时，时滞线性微分方程的解会出现振荡；当时滞项超过一定值时，时滞线性微分方程的解将变得不稳定。
2. Michaelis-Menten型时滞微分方程Michaelis-Menten型时滞微分方程是一种具有广泛应用的时滞微分方程形式。
研究表明，在一定参数范围内，Michaelis-Menten型时滞微分方程的解存在且唯一，并且解的振动性是有限的。
此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于无穷大。
3. Hopfield型神经网络模型Hopfield型神经网络模型是模拟神经网络的常用模型之一，也是一种具有时滞项的微分方程。
研究表明，在一定条件下，Hopfield型神经网络模型的解存在唯一，并且解的振动性也是有限的。
此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于发散。
4. Logistic型时滞微分方程Logistic型时滞微分方程是一种描述种群生长和传染病传播的时滞微分方程形式。
研究表明，在一定参数范围内，Logistic型时滞微分方程的解存在唯一，并且解的振动性也是有限的。
此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于无穷大或消失。
综上所述，时滞微分方程的解的振动性和正解存在性受时滞项大小和模型参数等因素影响。
研究时滞微分方程解的振动性和正解存在性对于深入理解时滞微分方程模型的特性，有助于应用时滞微分方程模型解决实际问题。
二阶中立型微分方程的振动准则的开题报告
二阶中立型微分方程的振动准则的开题报告一、研究背景振动是物理学中的基本概念之一，如弹簧振子、摆、电磁振荡等。
在考虑振动时，我们通常需要对微分方程进行求解。
而二阶中立型微分方程是一类涉及到时滞的微分方程，通常用于描述具有记忆和非局域特性的系统动力学。
因此，研究二阶中立型微分方程的振动准则具有重要的理论和实践意义。
二、研究内容本文将研究二阶中立型微分方程的振动准则，包括振动的存在性、稳定性和周期性等问题。
具体来说，研究内容将包括以下方面：（1）引入二阶中立型微分方程及其基本性质；（2）讨论该方程的振动情形以及振动的存在性；（3）研究振动的稳定性，包括稳定、渐近稳定和不稳定三种情况；（4）探讨二阶中立型微分方程的周期性和周期解的存在性；（5）给出具体的例子并进行计算验证。
三、研究方法本文主要采用数学分析和控制理论方法研究二阶中立型微分方程的振动准则。
具体来说，将运用李雅普诺夫函数、Lyapunov-Krasovskii函数、Razumikhin技巧等工具，分析该方程的振动情形和稳定性。
此外，还将引入数值仿真方法验证所得结果，确保研究的准确性和可靠性。
四、研究意义研究二阶中立型微分方程的振动准则，不仅可以深入理解含时滞因素的动态系统特性，而且有助于挖掘其在实际应用中的潜在价值。
比如，在电力系统中，时滞常常导致电网的不稳定和失控，而通过对二阶中立型微分方程的振动准则的研究，可以指导电网的稳定控制和优化调度。
此外，在生物学、化学、机械工程等领域，二阶中立型微分方程也有广泛的应用。
因此，研究该方程的振动准则，不仅是深化基础数学和控制理论的重要途径，而且具有重要的应用价值。
五、研究计划本文计划于两个月内完成。
具体的研究计划如下：第一周：查阅相关文献，了解二阶中立型微分方程的相关知识和研究现状；第二周：推导二阶中立型微分方程的振动准则的基本数学模型；第三周：分析振动的存在性和稳定性；第四周：探讨周期性和周期解的存在性，并进行数值仿真；第五周：给出具体的例子，并进行计算验证；第六周：撰写论文，并进行修改和润色；第七周：提交论文并进行答辩。
一类二阶中立型泛函微分方程的振动性
筹 ｚ ＋ ｃｘ ｖ＋ ｚ＋１）－） 耋（（ ｉ ㈤ ｉ（ｖ＋ ㈩ ｉ ｔ） ｔ － ） ｉ（ ｔｉ ＝ｔ ｘ ｃ
Ｉ （，， ｇ ｔ ）ｘ ｇｔ ）） 一０ 厂 ｂ （， ］Ｖ （， ］ （） Ｅ
的振动性 ． 在本 文 中 ， 假定下 列条 件成立 ： （ ）ａ ￡ ，（）Ｅ Ｃ（ｔ， ｏ ） Ｒ ） １≤ ａ ￡ ≤ ６ ￡ ， ａ ｆ 是 ［。 ＋ Ｃ ）上的二 阶可微 函数 Ａ１ （）６ ￡ Ｉ。 ＋ ｏ ， ； （） （） 且 （） ￡， ｘ ３
１ ７
０ ≤∑ｆ￡≤１ ≥ｔ ） ， 。 （ ｔ
ｉ １ ＝
（ ３）
成立 ， 如果存 在 函数 Ｑ（，）∈ Ｃ（ｔ， ｃ ） ［ ，－ Ｒ ） Ｆ（ ｔ Ｅ。 ＋ × × 口 ｂ ， 和 ３ １ ）∈ Ｃ Ｒ， ） 使 得 （ Ｒ，
ｆ ｔ ）ｇ ｘ≥ Ｑ（，） ｚ ｓ ｎ （， ， ｓ ｎ Ｆ（ ）ｇ ｘ，
（） ２
（ ）ｆ（）Ｅ ｃ Ｉ０ ＋ｃ ） Ｒ） ≥ ０ ｉ １ ２ … ， ；（ ，）Ｅ ｃ（ｔ， 。 ） ［ ，］ Ｒ ）和 厂 ｚ Ａ２ ￡ （ ｔ， × ， ， 。 ，一 ，， ｑ ￡ Ｉｏ ＋ 。 × ａ ６ ， （）
∈ Ｃ（ ， Ｒ Ｒ）；
（ ）ｇ ｔ ）∈ ｃ（ｔ， － 。 ｘ ［ ，］ Ｒ ） ｇ Ａ３ （， Ｉ。 ４ 。 ） ｎ ６ ， ； （，）≤ ｔ ∈ ［ ，］ ｇ ￡ ）分别 关 于 ｔ ， ＆６ ；（， 和 非减 ， 且
文章编 号 ： ６ ３ ６ ８ ２ ０ ） ６ ０ ６ ０ １ ７ —２ １ （ ０ ８ ０ —０ １ — ５
报
忧
０ 引 言 ｙ
近年来 ， 由于 中立型 微分方 程在 高速计算 机连 接开关 电路 的无损 耗传 输 网络 及 弹性 体 上质 点振 动 等 问题 中的实 际应用 背景 ， 其振动 理论受 到广 泛关注 ， 并获得 长 足发展［６ 文献 ［ ］考 虑 了一 类 具连续 偏 差 １３ －． ６
解析微分方程的性态分类与求解方法
解析微分方程的性态分类与求解方法微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
解析微分方程的性态分类与求解方法是微分方程研究的关键内容之一。
本文将对微分方程的性态分类和求解方法进行解析。
一、微分方程的性态分类微分方程的性态分类是指根据微分方程的特性将其分为不同类型。
常见的微分方程类型包括：一阶线性微分方程、一阶非线性微分方程、二阶线性常系数微分方程、二阶非线性微分方程等。
1. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式为dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是已知函数。
这类微分方程可以通过分离变量、齐次线性微分方程、一阶线性非齐次微分方程等方法进行求解。
2. 一阶非线性微分方程一阶非线性微分方程的一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知函数。
这类微分方程的求解方法较为复杂，常用的方法包括变量分离、恰当积分因子、可降阶的一阶非线性微分方程等。
3. 二阶线性常系数微分方程二阶线性常系数微分方程的一般形式为d²y/dx² + a(dy/dx) + by = 0，其中a和b 为常数。
这类微分方程可以通过特征方程的求解、待定系数法、变换法等方法进行求解。
4. 二阶非线性微分方程二阶非线性微分方程的一般形式为d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)，其中f(x, y, dy/dx)是已知函数。
这类微分方程的求解较为复杂，常用的方法包括变量变换、级数展开法、常数变易法等。
二、微分方程的求解方法微分方程的求解方法是指根据微分方程的类型和特性，采用相应的方法来求解微分方程。
1. 分离变量法分离变量法是一种常用的求解微分方程的方法，适用于一阶微分方程。
通过将微分方程中的变量分离，将微分方程转化为两个可分别积分的方程，从而求得微分方程的解。
2. 齐次线性微分方程法齐次线性微分方程法适用于一阶线性微分方程。
一类二阶中立时滞Emden-Fowler型微分方程的振动性
否则 就 称这 个解 是非 振 动 的． 如果 方 程 （ ） １ 的所 有 解都 是振 动 的 ， 称 方程 （ ） 振 动 的． 则 １是 对 于二阶 线 性 和 非 线 性 中立 时 滞 微 分 方 程 ， 有 许 多 关 于 其 解 振 动 或 非 振 动 的 充 分 条 件 ¨ ， 已 Ｗｏｇ［ 将 Ａｋｎｏ＿ 和 Ｂｌｏｅ＿关 于二 阶微 分方程 的结论推 广至 一类 二 阶 时滞泛 函微 分 方程 ， ｎ ２ １ ｔｉｓｎ３ ｅ ｒ ４ ｈ ｃ 并给 出 了几个公 开 问题 ，ａｅ＿解 决 了 Ｗｏｇ的一个 公 开 问题 ， 出 了方 程 （ ） 动性 的若 干充 分 条件 ． 本 文 Ｓｋｒ ５ ｎ 给 １振 在 中， 我们将 对 ［ ］ ５ 的相关 结果进 行进一 步推广 ， 以下 ， 我们 总假设用 到 的泛 函不等式 对充分 大的 ｔ 立． 成
李连 忠 何 乐亮 李晓 雯 ， ，
（ ．泰 山学 院 数 学与 系统科 学学院 ， 东 泰安 ｉ 山 ２ １２ ；．泰 山学院附属 中学 ，山 东 泰安 ７０ １２ ２ １０ ） ７０ ０
［ 摘
要 ］ 运用平均 积分技 巧 ， 文给 出了一类二 阶 中立时滞 Ｅ ｄｎ—Ｆ ｗｅ 型微分 方程振 动性 的新 结 本 ｍｅ ｏ ｌｒ
令（ ｐ 嚣 由］ １证 ， 充大 ｆ 时．） 且 ）（ 若 ，５理的明 在分的≥当 有（ ￡ ￡ ＝ ［ 定 存 ，≥ ｇ ＞ ￡
， ） 一 （） （ ）＋ ｌ￡ ｆ （ ≤ ｐ ￡ｇ ７ （） ）一Ｗｌ ￡ （） ｆ （ （ ） ￡． （） ８
在 （ ） 以 ｓ 替 ｔ两边 同乘 上 ｈ ｔｓ ｕ ｓ后从 Ｔ到 ｔ ８中 代 ， （，） （） 积分 ， ： 得
采 用反 证法． 假设 方程 （ ） 一个 非振 动解 Ｙ ｔ ， １有 （） 不失一 般性 ， 当 ｔ 分大 时有 ： 设 充
一类二阶Emden-Fowler型中立型时滞微分方程的区间振动性
［ ，ｏ ｏ ）的 区 间 列 的性 质 ， 非 整 个 ［。 。 ） 的性 质 ． 而 ￡，。 上 最后 ， 们 给 出 实 例 以 阐 述 主 要 结果 的 有 效性 ． 我 ［ 键 词 ］ 振 动 ；中立 型 时 滞 微 分 方 程 ； 分 平 均 法 关 积 ［ 图 分 类 号］ Ｏ ７． ３ 中 １ ５ １ ［ 献标识码］Ａ 文 ［ 章 编 号 ］ １ ７—４ ４ ２ １ ）３０ ２—７ 文 ６ ２１５ （０ １ ０— １４０
意 义． ３ 近 Ｏ年 以 来 ， 中 立 型 方 程 的 振 动 性 的 研 究 ， 到 人 们 的 广 泛 关 注 ， 得 到 许 多 成 果 ， 文 献 对 受 并 见
［ ， ，］ 最 近 ， １ ］ １３５ ． 文［ ３ 文献 ［ ］ ４ 关 于二 阶 Ｅ ｅ — ｏ ｅ 方 程 ２ 和［ ］ ｍｄ ｎＦ ｗｌｒ
１ 引
言
考虑 到二 阶 Ｅ ｅ— ｏ ｅ 型 中立 型时滞 微分方 程 ｍｄ ｎＦ ｗｌ ｒ
（ （） （） ＋ ｑ （）Ｉ （ 一 ）ｊｓ ｎｙ ｔ 口 ￡） ｌ ｔ ｙ 。ｇ （ 一 １ ＋ （）ｊ （ 一 ）Ｊｓ ｎｙ ｔ ） ￡ ｔ ２ ｇ （ 一 ） ＝ ｆ ￡ ｙ ＝ ０ ≥ 。， ＝
（ （ ） （ ） ｑ （）ｌ （ 一 ）ｌ ｇ （ 一 １ 十 （ ）ｌ （ 一 ）ｌ ｇ （ 一 ）一 ０， ￡ ≠ 十 １ ｔ １ ｎ ｔ ） ｓ ） ￡ ｔ ２ ｎ ｔ ｚ ｓ 利 用 Ｒ ｃａ ｉ 巧 和 积 分 平 均 法 ， 出 了一 些 判 定 其 解 振 动 的 充 分 判 据 ． 些 判 据 仅 依 赖 于 方 程 的 系 数 在 ｉ ｔ技 ｃ 给 这
始 条件 （） 兰 （）， 当 一０ ｔ） ， 且延 展到 ［ 。。 ）（ ｌＥ ￣ ． ， 时 并 。 ｔ，。 Ｈａｅ ６ ） 出于振动性 的环境考 虑 ， 们关 我
一类二阶中立型方程解的振动准则及应用
一类二阶中立型方程解的振动准则及应用
1一类二阶中立型方程解的振动准则
一类二阶中立型方程是最常用的一种振动方程，它可以描述许多振动系统中简单而又精确的动力特性。
这些方程可以用来推导常用的振动准则，这些准则可以提供可靠的惯性性能指标及其在工程设计中的应用。
2振动准则构成
振动准则是用来估计振动系统性能的重要参数。
它们是按照特定方程推导出来的，根据物理过程和特性确定。
振动准则主要是描述振动系统参数之间关系的性质，如振动幅度、相位、阻尼比、响应曲线和稳定区域等。
3振动准则的应用
振动准则主要应用于振动抑制和振动控制。
振动抑制技术主要是通过调整系统的参数，降低振动的振幅，来实现振动系统的抑制。
而振动控制技术则是指对振动系统进行参数调整，以实现振动幅度在指定范围内变化，从而达到控制振动的目的。
这些技术都是依据振动准则来完成的，确定系统性能指标，使得工程设计和振动行为都可以有效的控制。
4结论
一类二阶中立型方程是衡量振动系统特性的有效方式，它可以用来推导出多种振动准则。
这些准则有助于确定系统性能指标，从而实现振动抑制和振动控制。
掌握了这些振动准则，并运用到工程设计中，可以更加有效地控制和调节振动行为，从而提高振动系统的精度和可靠性。
二阶中立型时滞差分方程解的振动性准则
第３８卷第４期２０２０年７月 贵州师范大学学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕｉｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）Ｖｏｌ．３８．Ｎｏ．４Ｊｕｌ．２０２０引用格式：张思逸．二阶中立型时滞差分方程解的振动性准则［Ｊ］．贵州师范大学学报（自然科学版），２０２０，３８（４）：９０ ９３．［ＺＨＡＮＧＳＹ．Ｔｈｅｃｒｉｔｅｒｉａｏｆｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｎｅｕｔｒａｌｄｅｌａｙｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕｉｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ），２０２０，３８（４）：９０ ９３．］二阶中立型时滞差分方程解的振动性准则张思逸（湖南幼儿师范高等专科学校，湖南常德 ４１５０００）摘要：考虑了一类二阶中立型时滞差分方程的振动性，通过给出合适的条件，得到了此类方程的解的振动行为准则。
这些结果丰富了中立型差分方程振动性理论。
关键词：中立型；时滞差分方程；振动性中图分类号：Ｏ１７５．２５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００４—５５７０（２０２０）０４－００９０－０４ＤＯＩ：１０．１６６１４／ｊ．ｇｚｎｕｊ．ｚｒｂ．２０２０．０４．０１５ＴｈｅｃｒｉｔｅｒｉａｏｆｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｎｅｕｔｒａｌｄｅｌａｙｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｅｑｕａｔｉｏｎＺＨＡＮＧＳｉｙｉ（ＨｕｎａｎＣｏｌｌｅｇｅＦｏｒＰｒｅｓｃｈｏｏｌＥｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｃｈａｎｇｄｅ，Ｈｕｎａｎ４１５０００，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｏｆａｃｌａｓｓｏｆｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｎｅｕｔｒａｌｄｅｌａｙｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｅｑｕａｔｉｏｎｗａｓｓｔｕｄｉｅｄ．Ｂｙａｓｓｕｍｉｎｇｓｏｍｅｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｓｏｍｅｃｒｉｔｅｒｉａｏｆｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｂｅｈａｖｉｏｒｔｏｔｈｉｓｋｉｎｄｏｆｅ ｑｕａｔｉｏｎｗｅｒｅｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｔｈｅｓｅｒｅｓｕｌｔｓｅｎｒｉｃｈｔｈｅｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙｏｆｎｅｕｔｒａｌｄｅｌａｙｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｅｑｕａ ｔｉｏｎｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎｅｕｔｒａｌ；ｄｅｌａｙｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｅｑｕａｔｉｏｎ；ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ０ 引言二阶中立型差分方程的振动性理论在近十几年来得到了广泛的关注，主要体现在此类方程与某些类似微分方程的现象非常接近。
一类二阶中立型微分方程有界解的振动性
Ｖ０ ． Ｎｏ． １２３ ４ Ａｕ ｇ．２章编号 ：０ ４—１７ （ ０ ８ ０ ０ １ ０ １０ ４ ８ ２０ ）４— ｌ５— ３
一
类二阶中立型微分方程 有 界解 的振 动 性
徐 继军 任喜凤 ，
（． １ 郑州 师 范高等 专科 学校 数 学 系 ，河南 郑 州 ４ ０４ ； ５０４ ２ 郑 州轻 工业 学 院 继 续教 育 学院 ，河 南 郑 州 ４ ００ ） ． ５０ ２
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郑 州 轻 工 业 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ）
立， 即对充 公 大 的 ｔ 成立 ．
盾 不 等式 ．
综上 所述 ， ０， ｌ （）＝ ． 以＝ 即 ｉ ｔ ０ ｍｘ
１ 基 本 引 理
引理 １ 在方 程 ① 中 ， 设 ： Ｑ （） 假 Ａ ） ｔ 和 ，ｔ （）
㈩ 一
ｒ＝ ， 】
≥。 ①
行 讨论．
通 常 ， 程 ① 的 一 个 解 如 果 具 有 任 意 大 的 零 方 点 ， 为振 动 的 ， 果 它 最 终 为正 或 最 终 为 负 ， 为 称 如 称 非振 动 的． 本 文 中 的 不 等 式 除 特 别 说 明 外 ， 指 最 终 成 均
Ｑ（） ｔ ，
（）∈Ｃ ［。∞ ］Ｒ ， ，… ，． ｔ （ ｔ， ， ） ＝１ ｎ
０ 引 言
考虑 二 阶中立 型微 分方 程
－
在本 文 中 ， 们将 对任 意 自然 数 ｍ， 一 般周 我 ｎ和
期 函数 Ｑ （） Ｏ （ ） ＝１ ｊｔ ， ＇ ｔ（ ｊ ，… ， ） 常数 的情 形进 ｎ为
ｘ ｉｕ Ｒ Ｎ ｘｉｅ ｇ ｕ Ｊ－ ｎ ， ｊ Ｅ —ｎ ｆ
（ ． ｅｔ ｆＭａｈ ， ｈｎｚ０ ｅｃｅ Ｃ ｌｇ ，ｈ ｎｚｏ ４ ０ ４ ， ｈｎ ； １ Ｄｐ．ｏ ｔ． Ｚ ｅｇｈＭＴａｈ￣ ｏｅｅＺ ｅｇｈ Ｍ ５ ０４ Ｃ ｉａ ｌ ２ ｃ ｚ ｏ ｏ ｔ Ｍｎ ｄｃ ｔｎ Ｚ ｅｇｈ ＭＵ ｉ ｆＬｇ ｔ ｎ． Ｚ ｅｇｈ Ｍ ５ ０２，ｈｎ ） ． ｂｚ ｆＣ ｎｉ ｉｇＥ ｕａｉ ， ｈｎｚ。 ｎ ．ｏ ｉ ｄ ， ｈｎｚｏ ０ ０ Ｃ ｉａ ｅ ｎ 。 ｖ ｈＩ ４
一类二阶中立型微分方程的振动和非振动准则
一类二阶中立型微分方程的振动和非振动准则杨甲山;方彬【摘要】The oscillation theory of neutral functional differential equations plays an important role in both theory and application. This paper discusses oscillation of a class of second order nonlinear neutral delay functional differential equation with positive and negative coefficients. Using the fixed point theorem in Banach spaGe, and by introducing parameter function and certain analytic techniques , some new non-oscillation criteria for the equation are obtained. In addition, some sufficient conditions for oscillation of the e-quation are proposed. These criteria can improve the restriction of the conditions for the equation. Some existed results in the literatures are further improved and extended.%中立型泛函微分方程的振动性在理论和应用中有着重要意义.研究了一类具有正负系数的二阶非线性中立型时滞泛函微分方程的振动性,利用Banach空间的不动点原理,通过引入参数函数并结合一些分析技巧,获得了该类方程存在非振动解的新的准则,并同时得到了该类方程振动的判别准则,这些准则改善了对方程的条件限制,所得结论推广并改进了现有文献中的一系列结果.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(035)006【总页数】5页(P776-780)【关键词】正负系数;中立型泛函微分方程;非线性;振动和非振动;Riccati变换【作者】杨甲山;方彬【作者单位】邵阳学院理学与信息科学系,湖南邵阳422004;北京信息控制研究所,北京100037;信阳师范学院数学与信息科学学院,河南信阳464000【正文语种】中文【中图分类】O175.71 引言及问题的提出关于中立型时滞泛函微分方程的定性理论的研究，在理论和实际应用中均有着非常重要的意义.因此，在这一领域出现了许多研究成果［1-15］.近年来，在计算机科学研究中出现了一些同时具有正负系数的中立型方程的数学模型，使得这类方程的研究日益受到重视［1-12］.但注意到具有正负系数的一阶的和线性的中立型方程振动和非振动研究成果较多［1，2，4，6-7］，而具有正负系数的高阶的非线性方程的振动和非振动定理相对较少［3，5，8-12］.本文考虑如下一类非常广泛的具有正负系数的二阶非线性中立型时滞泛函微分方程其中，τn＞0，σi≥0，δj≥0，t0＞0为常数(n=1，2，…，N;i=1，2，…，m;j=1，2，…，l，下同，略);N、m、l均为正整数;Pn(t)∈C(［t0.TIF，+∞)，R);Qi (t)，Rj(t)∈C(［t0.TIF，+∞)，(0.TIF，+∞));fi (u)，g j(u)∈C(R，R)且ufi(u)＞0(u≠0)，ugj(u)＞0(u≠0).关于方程(1)的特殊情形，许多文献作过研究.如文献［2-8］分别研究了如下具有正负系数的线性方程及非线性方程的振动性，在∞”及“(H0)：对t≥t0及∀α＞0均有αQ(t)-R(t)≥0”成立的条件下得到了方程存在非振动解的结论;文献［5］等在“R(t)最终为负”的条件下给出了方程(3)振动的充分条件.本文的目的是要改善对方程的这些条件限制，利用Banach空间的不动点原理，通过引入参数函数和Riccati变换，并结合一些分析技巧，建立方程(1)振动和非振动的若干新的准则，所得定理推广并改进了现有文献中的一系列结论.函数x(t)称为方程(1)的解，如果x(t)∈C2(［t-1.TIF，+∞)，R)，并且x(t)满足方程(1)，这里.本文只讨论方程(1)的非平凡解.方程(1)的解称为是最终正解(或最终负解)，如果存在常数T≥t0，使得当t≥T时，x(t)＞0(或x(t)＜0).方程(1)的解x(t)称为是振动的，如果它既不最终为正也不最终为负，否则称它是非振动的;方程(1)称为是振动的，如果它的所有解都是振动的.考虑如下假设：(H1)：fi(0)=0，gj(0)=0，且存在常数Lfi＞0，Lgj＞0，使得对∀x≥0，y≥0，有|fi(x)-fi(y)|≤Lfi|x-y|和|gj(x)-gj(y)|≤Lgj|x-y|.(H3)：存在常数αi＞0，βj＞0，使得fi(u)/u≥αi，gj(u)/u≤βj.(H4)：σi≥δj≡δ且至少有一个i使得σi＞δ，(H5)：Pn(t)≥0且2 主要结果及证明定理1 设(H1)和(H2)成立，-1＜＜0并且最终有Pn(t)≤0，则方程(1)一定存在一个最终正解，这里证明记可选择一个充分大的T＞t0，使得T≥t0 +μ，且当t≥T时有考虑Banach空间B={x=x(t)|x(t)∈C(［T-μ.TIF，+∞)，R)且有界}，B上的范数定义为‖x‖定义B的子集B1={x∈B：a≤x(t)≤ A，t≥T-μ}，则B1是B的有界凸闭子集，这里常数A＞a＞0，并使得0＜a＜1+和A＞10/9成立.于是由条件(H2)，可选择一个充分大的t1≥T，使得当t≥t1时有这里L=max{.定义映照ρ：B1→B如下则显然ρ是连续的.注意到条件(H1)、(4)和(5)式，对∀x∈B1及t≥t1有另一方面，由定理的条件及(6)式，类似可得从而a≤ρx≤A，因此ρB1⊆B1.又对∀x1，x2∈B1和t≥t1，同理可得因0＜(A-a)/A＜1，所以ρ是B1上的压缩映照.于是，由Banach压缩映照原理知，ρ在B1上有唯一的不动点x*=x*(t)，容易验证此不动点x*(t)就是方程(1)的一个最终正解.定理证毕.例1 考虑具有正负系数的二阶微分方程若取τ=1，σ=3/2，δ=1/2，t0=2，P(t)=-1/2+ 2/t，Q(t)=2(2t-3)/t(t-1)3(2t+1)，R(t)= 2(2t-1)(3t+1)/t(t-1)3)(2t+3)，f(x)=x，g(x)=x，则易知此时方程满足定理1的条件，故所给方程一定存在一个最终正解.事实上，不难验证，x(t)=1/2+1/t就是一个这样的解.注1 文献［2-9］在“对任意t≥t0及任意常数α＞0均有αQ(t)-R(t)≥0”条件下给出具有正负系数的二阶方程(2)～(3)存在非振动解的判别准则，但本文定理却不需要这个条件，例1所给的方程显然也不满足这个条件.因此文献［2-9］中的定理均不能用于本文例1中的方程.下面给出方程(1)的新的振动准则.为此，记引理1 设(H3)和(H4)成立，如果Pn(t)≥0，x(t)为方程(1)的一个最终正解，则z(t)＞0，z'(t)≥0，z″(t)＜0.证明由于x(t)为方程(1)的一个最终正解，即存在t1≥t0，当t≥t1时，有x(t)＞0，x(t-τn)＞0，x(t-σi)＞0，x(t-δj)=x(t-δ)＞0，从而y(t)＞0，进而z(t)＞0(t≥t1).由(7)和(8)式及方程(1)，并注意到(H3)和(H4)，可得下证z'(t)≥0(t≥t1).事实上，若存在t2≥t1，使得z'(t2)＜0，则当t≥t2时，z'(t)≤z'(t2)＜0.取定T≥t2，并从T到t(t＞T)积分，得z(t)≤z(T)+令t→+∞，则有这与z(t)＞0矛盾.故z'(t)≥ 0.引理证毕.定理2 设(H3)～(H5)成立，如果存在一单调递增函数φ(t)∈C1(［t0.TIF，+∞)，(0.TIF，+∞))使得这里ε≥0为常数，则方程(1)是振动的.证明不妨设x(t)为方程(1)的一个最终正解(最终负解的情形类似可证)，即存在t1≥t0，当t≥t1时，有x(t)＞0，x(t-τn)＞0，x(t-σi)＞0，x(t -δj)＞0.于是由引理1及(11)式知，y'(t)＞0(t≥t1)，即y(t)为单调递增函数.由(H5)及(7)式知，y(t)≥x(t)(t≥t1)，于是从而有，将其代入(11)式，注意到(9)式得令V(t)=φ(t)z'(t)/y(t-δ)，则V(t)≥0(t≥t1).再由z'(t)≥0，y'(t)＞0(t≥t1)及(13)式得由于z'(t)单调减少，y(t)单调增加，于是有记ε=z'(t1)/y(t1-δ)，对上式两边从t1到t积分得令t→+∞，并注意到(12)式，有V(t)→-∞，这与V(t)≥0矛盾.定理证毕.定理3 设(H3)～(H5)成立，如果存在常数k≥2和函数φ(t)∈C1(［t0.TIF，+∞)，(0.TIF，+∞))及r(t)∈C(［t0.TIF，+∞)，［0.TIF，+∞))且r(t)在［t0.TIF，+∞)的任一子区间上均不恒为0使得这里h(t，s)=∫tsr(v)dv，则方程(1)是振动的.证明同定理2，令V(t)=φ(t)z'(t)/y(tδ)，则V(t)≥0(t≥t1)，且由(10)式知，y'(t)≥z'(t)≥0，又z″(t)≤0，于是由(13)和(15)式可得上式两边同乘以hk(t，s)并从t1到t(t＞t1)积分得即上式取上极限，即得与(14)式矛盾.定理证毕.注2 选择恰当的不同的函数φ(t)和r(t)，就能导出许多不同的关于方程(1)的具体振动准则.例2 若在定理3中取φ(t)=1，r(t)=1，则h(t，s)=∫tsr(v)dv=t-s，就有下面结果：推论1 设(H3)～(H5)成立，如果存在常数k≥2使得则方程(1)是振动的.例3 若在定理3中取，则h(t，s)=lnt-lns，为了简单取t0=1，于是就有：推论2 设(H3)～(H5)成立，如果存在常数k≥2和函数φ(t)∈C1(［1.TIF，+∞)，(0.TIF，+∞))使得则方程(1)是振动的.注3 文献［5］等在“R(t)最终为负”的条件下给出了具有正负系数的二阶泛函微分方程(3)振动的一个充分条件，但本文定理2和3却不需要这个条件.当方程(1)中的Rj(t)≡0时，方程退化为一般的二阶非线性中立型泛函微分方程，此时本文所给的振动准则仍然是非常好的振动准则.参考文献［1］Tang X H，Yu J S.Positive solution for a kind of neutral equationswith positive and negative coefficients［J］.Acta Math Sinica，1999，42(5)：795-802.［2］Kulenovic M R S，Hadziomerspahic S.Existence of nonoscillatory solution of second order linear neutral delay equation［J］.J Math Anal Appl，1998，228：436-448.［3］Gai M J，Shi B，Zhang D C.Oscillation criteria for second ordernonlinear differential equations of neutral type［J］.Appl Math J Chin Univ，2001，B16(2)：122-126.［4］李美丽，冯伟.二阶线性中立型时滞微分方程非振动解的存在性［J］.山西大学学报：自然科学版，2002，25(3)：195-199.［5］仉志余，王晓霞，林诗仲.非线性二阶中立型时滞微分方程的振动和非振动准则［J］.系统科学与数学，2006，26(3)：325-334.［6］Manojlovic J，Shoukaku Y，Tanigawa T，et al.Oscillation criteria for second order differential equations with positive and negative coefficients ［J］.Appl Math 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一类二阶非线性中立型时滞差分方程的振动性
≠０， ） 这里 ｇ ｕ， （ ）≥ Ｋ； ｚ ≤ Ｌ （ （ ） ｚ≠ ０ ． ） 其
中 Ｋ， Ｌ是正 实数 ． （ｚ Ｓ ）当 ｚ≠ ０ 时有 厂（ ）ｘ≥ ） （ ） Ｌ 。 ｚ／ ， ｚ ≤ ＿， ，
其 中 ） Ｌ是正 实数 ． ， ，
（ 。 存 在一 个正 实数 Ｍ 使 得 ４ ， ± 鲫 ）≥ Ｓ） － （
本文 研究 如下 的二 阶非 线性 中立 型 时滞 差分
方程 的振 动性 ：
△（ （ （ ） Ａｚ ｎ ）４ ｑ ） ｚ（ ） ）一 ０， ｒ ） ｚ（ ） （ ） － （ 厂（ （ ）
≥ ｏ （） １
（ｌ∑ Ａ） ５
。。． 。
（ ｆ （ ）≥ ０ ｚ ≠ ０ ， 存 在 非 负 函 数 Ｓ ） ｚ （ ）且 ｇ ｕ ） 足 厂（ ） ， （， 满 “ 一 （ ）一 ｇ ｕ ） “ （ ， （ 一 ） “ （，
Ｚ ＨＡＮＧ ｏ，ＺＨＯＮＧ ａ ～ ｈ Ｔａ Ｘｉｏ ｚ ｕ，Ｚ ＨＥＮＧ ｎ ｌ，Ｓ Ｙｕ —ｉ ＵＮ ｉｇ Ｊｎ
（ ｌ ｇ ｆＳ ｉｎ ｅ ，Ｙａ ｓ ａ ｉｅｓｔ Ｃｏｌ ｅｏ ｃｅ ｃｓ ｅ ｎ ｈ ｎ Ｕｎｖ ｒｉ ｙ，Ｑｉｈ ａ ｇ ａ ６ ０ ４，Ｃｈｎ ） ｎ ｕ ｎ ｄｏ０ ６０ ｉａ
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第２ ２卷 第 １ 期
２０ ０ ８年 １月
山 东 理 工 大 学 学 报（ 然 科 学 版） 自
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｈ ｎ ｏ ｇ Ｕｎｖ ｒｉｙｏ ｃ ｎ ｌｇ （ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅＥｄｔ ｎ） ｏ ｒ ａ ｆＳ ａ ｄ ｎ ｉｅ ｓｔ ｆＴｅ ｈ ｏｏ ｙ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｉｉ ｏ
（ ｛（ ｝ Ａ ）ｒ ） 是实 数 序 列 ， 且 满 足 ｒ ）≤ 并 （
一类二阶中立型方程解的振动准则
Ａｂ ｔａ ｔ Ａ ｌｓ ｅ ｏｎ ｄ ｒ ｎ ｕｔａ ｑ ｔｏ ｉｈ ｃ ｔｎｕ ｓ ｙ ｄ ｓ ｒｂｕｔ ｄ ｄｅ ａ ｉ ｇ ａ ｇ ｓ ｒ ｃ ： ｃａ ｓｏｆｓ ｃ ｄ ｏｒ ｅ ｅ ｒ ｌｅ ｕａ ｉ ｎｓ ｗ ｔ ｏｎ ｉ ｏｕ ｌ ｉｔ ｉ ｅ ｖｉｔｎ ｒ ｕｍ ｅ ｔ ｎｓ ｉ ｎｖ ｓ ｉ ａ ｅ ｓ ｉ ｅ ｔｇ ｔ ｄ， ａ ｎ ｏ ｃｌａ ｏｒ ｒｔ ｒａ ｆ ｕ ｈ ｅ ｕ ｔｏ ｓｏｂ ａ ｎ ｄ． ｎｄ ａ ｓ ｉｌ ｔ ｙ ｃ ｉｅ ｉ ｏｒｓ ｃ ｑ ａ ｉ ｎｓ ｉ ｔ ｉ ｅ Ｋｅ ｒ ｙ ｗｏ ｄｓ： ｃｌａ ｉ ｎ； ｄ ｓ ｒｂｕ ｅ ｅ ｉｔｎ ｒ ｏｓ ｉｌｔｏ ｉｔ ｉ ｔ ｄ ｄ ｖ ａ ｉ ｇ ａ ｇｕｍ ｅ ｓ； ｅ ｒ ｌｅ ｕ ｔｏ ｎｔ ｎ ｕｔａ ｑ ａ ｉ ｎｓ
本 文 的 目的 是 考 虑 下 列 具 有 连 续 分 布 偏 差 变 元 的 二 阶 中立 型 方 程
， 、 ．
（ （） Ｉ （，） ［ （，） （） Ｉ （，） Ｅ （，）曲（） ０ ｔ ｔ ｚ ￡ ＋ ｚ 叩］ ｒ ）＋ ￣ｘ ｇ ｔ ］ 一 ， ≥ ｏ Ｐ ／ ｑ
献 ［ —４ 讨论 了具有 阻尼 项 的微 分 方程解 的振 动性 问题 ； ２ ］ 文献 ［ —６ 给 出 了具 有分 布 偏 差变 元 的 二 阶差 分 ５ ］
方 程解 的振 动性 结果 ； 文献 ［ —８ 给 出 了具有 连 续 偏差 变 元 的 偏微 分 方 程 边 值 问 题 解 的振 动 性 判 别 准 则． ７ ］
Ｍ Ｓ ２０ ０： ４Ｋ４ Ｃ １ ３ ０
近 年来 ，由于具 有连 续偏 差变元 的模 型 的出 现 ， 人们 开 始关 注这 一 问题 的讨 论． 于具 有 连续 分 布偏 差 关 变元 的各 类方 程 的讨论 已有 部分 结果 ． 例如 ： 文献 Ｉ ］ － 讨论 了具 有连 续偏 差变元 的二 阶方程 的振 动性 问题 ； １ 文