九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系1.4解直角三角形同步练习

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精品试卷北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系同步训练试卷(含答案详细解析)

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系同步训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，建筑工地划出了三角形安全区ABC ，一人从A 点出发，沿北偏东53°方向走50m 到达C 点，另一人从B 点出发沿北偏西53°方向走100m 到达C 点，则点A 与点B 相距（）4tan 533≈︒⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．130m2、某山坡坡面的坡度i =100米，小刚上升了（）A ．B ．50米C ． D3、如图，在33⨯的网格中，A ，B 均为格点，以点A 为圆心，AB 的长为半径作弧，图中的点C 是该弧与格线的交点，则tan BAC ∠的值是（）A ．12B ．255C ．53D ．234、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC =BC ＝1，以下正确的是（）A ．1cos 2A =B ．sin A =C ．tan A =D ．cos B =5、将一矩形纸片ABCD 沿CE 折叠，B 点恰好落在AD 边上的F 处，若:4:5AB BC =，则cos AFE ∠的值为（）A ．54 B ．35 C ．34 D ．456、如图，为测量小明家所住楼房AB 的楼高，小明从楼底A 出发先沿水平方向向左行走到达点C ，再沿坡度1:2.4i =的斜坡行走104米到达点D ，在D 处小明测得楼底点A 处的俯角为14︒，楼顶最高处B 的仰角为22︒，AB 所在的直线垂直于地面，点A 、B 、C 、D 在同一平面内，则AB 的高度约为（）米．（参考数据：sin140.24︒≈，cos140.97︒≈，tan140.25︒≈，sin 220.37︒≈，cos220.93︒≈，tan220.40︒≈）A ．104B ．106C ．108D ．1107、如图，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则cos ∠ACB 的值为（）A ．12BCD 8、在正方形网格中，ABC 的位置如图所示，点A 、B 、C 均在格点上，则cos B 的值为（）A ．12B ．22C ．32D ．249、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 边的中点，连接CD ，若4BC =，3CD =，则sin DCB ∠的值为（）A ．23 B C D 10、如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，E 为AB 的中点，将ADE 沿DE 翻折得到FDE ，延长EF 交BC 于G ，FH ⊥BC ，垂足为H ，连接BF 、DG ．以下结论：①BF ∥ED ；②DFG ≌DCG ；③FHB ∽EAD ；④tan∠GEB ＝43；其中正确的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）102sin 45π︒-=______．2、计算：sin30°－tan45°＝____________．3、矩形ABCD 中，E 为边AB 上一点，将ADE 沿DE 折叠，使点A 的对应点F 恰好落在边BC 上，连接AF 交DE 于点N ，连接BN ．若3AD =，13BF BC =．（1）矩形ABCD 的面积为________；（2）sin BNF ∠的值为_________．4、如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 在DC 边上，且2CE DE =，连接AE 交BD 于点G ，过点D 作DF AE ⊥，连接OF 并延长，交DC 于点P ，过点O 作⊥OQ OP 分别交AE 、AD 于点N 、H ，交BA 的延长线于点Q ，现给出下列结论：①45AFO ∠=︒；②2N P O D H H =⋅；③Q OAD ∠=∠；④OG DG =．其中正确的结论有________（填入正确的序号）．5、如图，在A 处测得点P 在北偏东60°方向上，在B 处测得点P 在北偏东30°方向上，若AP ＝6A ，B 两点的距离为 _____千米．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、计算：020*******( 3.14)60(2)()2π︒---⋅ 2、（1）计算：2sin60tan60︒+︒（2）解方程：()2190x --=3、在平行四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，连接CE ，F 为CE 上一点，且∠DFE=∠A ．（1）求证：△DCF ∽△CEB ；（2）若BC=4，CE=CDF=12，求线段BE 的长．4、计算：112cos302-⎛⎫︒ ⎪⎝⎭． 5、如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，与BD 交O 一点，直线EF 过点O 分别交直线AB ，CD ，BC 于E ，F ，H ．（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）若OC 2＝HC •BC ，OC ：BH ＝sin∠BAC ；（3）在△AOF 中，若AF ＝8，AO ＝OF ＝ABCD 的面积．-参考答案-一、单选题1、B【分析】设经过A点的东西方向线与经过B点的南北方向线相交于点D，过C作CF⊥AD，CE∥AD，BE∥AG，则∠GAC＝∠ACF＝∠EBC＝∠BCF＝53°，在Rt△ACF和Rt△BCE中，根据正切三角函数的定义得到AF FC＝CEEB＝43，结合勾股定理可求得AF＝40，CF＝DE＝30，FD＝CE＝80，BE＝60，在Rt△ABD中，根据勾股定理即可求得AB．【详解】解：如图，设经过A点的东西方向线与经过B点的南北方向线相交于点D，过C作CF⊥AD，CE∥AD，BE∥AG，∴∠CEB＝90°，∠GAC＝∠ACF＝∠EBC＝∠BCF＝53°，AC＝50，BC＝100，四边形CEDF是矩形，∴DE＝CF，DF＝CE，在Rt△ACF中，tan∠ACF＝AFFC＝tan53°，在Rt△BCE中，tan∠EBC＝CEBE＝tan53°，∵tan53°≈43，∴AFFC＝CEEB＝43，∴AF＝43CF，CE＝43BE，在Rt△ACF中，AF2+CF2＝AC2，∴CF2+（43CF）2＝502，解得CF＝DE＝30，AF＝43×30＝40，在Rt△BCE中，BE2+CE2＝BC2，∴BE2+（43BE）2＝1002，解得BE＝60，CE＝DF＝43×60＝80，∴AD＝AF+DF＝120，BD＝BE﹣DE＝30，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，∴AB故选：B．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．2、B【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．【详解】解：设小刚上升了x 米．根据勾股定理可得：)222100x +=．解得50x =．即此时该小车离水平面的垂直高度为50米．故选：B ．【点睛】考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题和勾股定理，熟悉且会灵活应用公式：坡度=垂直高度÷水平宽度是解题的关键．3、B【分析】利用CD AB ∥，得到∠BAC =∠DCA ，根据同圆的半径相等，AC =AB =3，再利用勾股定理求解,CD 可得tan ∠ACD =AD CD =. 【详解】解：如图， ∵CD AB ∥，∴∠BAC =∠DCA ．∵同圆的半径相等， ∴AC =AB =3，而2,AD = 225,CDAC AD在Rt △ACD 中，tan ∠ACD =AD CD∴tan ∠BAC =tan ∠ACD ．故选B ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用图形的性质进行角的等量代换是解本题的关键．4、C【分析】根据勾股定理求出AB ，三角函数的定义求相应锐角三角函数值即可判断．【详解】解：∵在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC =BC ＝1，根据勾股定理AB 2==，∴cos A =AC AB =A 不正确； sin A ＝12BC AB =，选项B 不正确；tan A ＝BC AC =C 正确； cos B ＝12BC AB =，选项D 不正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握锐角三角函数定义是解题的关键．5、D【分析】由∠AFE ＋∠CFD ＝90°得cos sin CD AFE CFD CF∠=∠=，根据折叠的定义可以得到CB ＝CF ，则CD AB CF BC=，即可求出cos AFE ∠的值，继而可得出答案．【详解】∵∠AFE ＋∠CFD ＝90°， ∴cos sin CD AFE CFD CF∠=∠=，由折叠可知，CB ＝CF ，矩形ABCD 中，AB ＝CD ，4cos 5CD AB AFE CF BC ∠===．故选：D ．【点睛】本题考查了折叠变换的性质及锐角三角函数的定义，解题关键是得到CB ＝CF ．6、A【分析】根据题意作DE AB ⊥交于E ，延长AC ，作DF CF ⊥交于F ，由坡度的定义求出DF 的长，得AE 的长，再解直角三角形求出DE 、BE 的长，即可解决问题．【详解】解：如图，作DE AB ⊥交于E ，延长AC ，作DF CF ⊥交于F ，∵斜坡CD 的坡度为i =1：2.4，CD =104米，∴DF =AE =40（米），CF =96（米），∵14EDA ︒∠=, ∴40tan tan140.25AE EDA DE DE︒∠===≈， ∴160DE =（米），∵22EDB ︒∠=, ∴tan tan 220.4160BE BE EDB DE ︒∠===≈， ∴64BE =（米），∴4064104AB AE BD =+=+=（米）.故选：A.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，正确作出辅助线，构造直角三角形是解答此题的关键．7、D【分析】根据图形得出AD 的长，进而利用三角函数解答即可．【详解】解：过A 作AD ⊥BC 于D ，∴DC =1，AD =3，∴AC∴cos ∠ACB =DC AC == 故选：D ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握勾股定理逆定理及余弦函数的定义．8、B【分析】如图所示，过点A 作AD 垂直BC 的延长线于点D 得出△ABD 为等腰直角三角形，再根据45°角的余弦值即可得出答案．【详解】解：如图所示，过点A 作AD ⊥BC 交BC 延长线于点D ，∵AD =BD =4，∠ADB =90°，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴∠B =45°∴cos B =故选B ．【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值，解题的关键在于根据根据题意构造直角三角形求解．9、D【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB ，再根据三角函数的意义，可求出答案．【详解】解：∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为AB 边的中点，∴AD ＝BD ＝CD ＝12AB ，∴DCB B ∠=∠,又∵CD ＝3，∴AB ＝6，AC =∴sin DCB ∠＝sin B ＝AC AB == 故选：D ．【点睛】本题考查直角三角形的性质和三角函数，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提．10、A【分析】根据正方形的性质以及折叠的性质依次对各个选项进行判断即可．【详解】解：∵正方形ABCD中，AB=6，E为AB的中点∴AD=DC=BC=AB=6，AE=BE=3，∠A=∠C=∠ABC=90°∵△ADE沿DE翻折得到△FDE∴∠AED=∠FED，AD=FD=6，AE=EF=3，∠A=∠DFE=90°，∴BE=EF=3，∠DFG=∠C=90°，∴∠EBF=∠EFB，∵∠AED+∠FED=∠EBF+∠EFB，∴∠DEF=∠EFB，∴BF∥ED，故结论①正确；∵AD=DF=DC=6，∠DFG=∠C=90°，DG=DG，∴Rt△DFG≌Rt△DCG，∴结论②正确；∵FH⊥BC，∠ABC=90°∴AB∥FH，∠FHB=∠A=90°∵∠EBF=∠BFH=∠AED，∴△FHB∽△EAD，∴结论③正确；∵Rt△DFG≌Rt△DCG，∴FG=CG，设FG=CG=x，则BG=6-x，EG=3+x，在Rt△BEG中，由勾股定理得：32+（6-x）2=（3+x）2，解得：x=2，∴BG=4，∴t an∠GEB=43 BGBE，故结论④正确．故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理、三角函数，综合性较强．二、填空题1、【分析】先算化简二次根式，三角函数值和0次幂，再利合并同类二次根式即可得出答案．【详解】解：原式＝21⨯-，2＝1，＝1．故答案为：．【点睛】本题考查的是实数的运算，二次根式化简，特殊三角函数值，零指数幂，比较简单，需要熟练掌握实数的运算，二次根式化简，特殊三角函数值，零指数幂是解题关键．2、-12【分析】根据解特殊角的三角函数值即可解答．【详解】，tan45°=1，解：∵sin30°=12原式＝12-1＝-12．故答案为：-12．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，有理数减法，解题的关键是牢记这些特殊三角函数值．3、【分析】（1）矩形ABCD 中，由折叠可得DF =AD =3，在Rt CDF 中，用勾股定理求得CD ABCD 的面积；（2）由折叠可得AF DE ⊥，AE EF =，矩形ABCD 中，90ABF ∠=︒，B E N F 、、、四点共圆，故BNF BEF ∠=∠，设AE EF x ==，在Rt BEF △中，由勾股定理得： x =sin BNF ∠的值. 【详解】（1）矩形ABCD 中，3AD =，13BF BC =，∴3BC AD ==，113BF AD ==，2CF BC BF =-=，90C ∠=︒，由折叠可得DF =AD =3，在Rt CDF 中，CD =∴矩形ABCD 的面积=3AD CD ⋅=故答案为：（2）将ADE 沿DE 折叠，使点A 的对应点F 恰好落在边BC 上，∴AF DE ⊥，AE EF =，矩形ABCD 中，90ABF ∠=︒，B E N F ∴、、、四点共圆，BNF BEF ∴∠=∠，设AE EF x ==，则BE AB AE x =-=，在Rt BEF △中，由勾股定理得：222BE BF EF +=，即222)1x x +=，解得x =∴sin BNF ∠=sin BF BEF EF ∠==【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的性质、锐角三角函数等知识，掌握相应的定理是解答此题的关键.4、①②④【分析】①由“ASA ”可证△ANO ≌△DFO ，可得ON =OF ，由等腰三角形的性质可求∠AFO =45°；④由外角的性质可求∠NAO =∠AQO ．②由“AAS ”可证△OKG ≌△DFG ，可得GO =DG ；③通过证明△AHN ∽△OHA ，可得，进而可得结论DP 2=NH •OH ．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AO =DO =CO =BO ，AC ⊥BD ，∵∠AOD =∠NOF =90°，∴∠AON =∠DOF ，∵∠OAD +∠ADO =90°=∠OAF +∠DAF +∠ADO ，∵DF ⊥AE ，∴∠DAF +∠ADF =90°=∠DAF +∠ADO +∠ODF ，∴∠OAF =∠ODF ，∴△ANO ≌△DFO （ASA ），∴ON =OF ，∴∠AFO =45°，故①正确；如图，过点O 作OK ⊥AE 于K ，∵CE =2DE ，∴AD =3DE ，∴tan ∠DAE =1=3DE DF AD AF ， ∴AF =3DF ，∵△ANO ≌△DFO ，∴AN =DF ，∴NF =2DF ，∵ON =OF ，∠NOF =90°，∴OK =KN =KF =12FN ，∴DF =OK ，又∵∠OGK =∠DGF ，∠OKG =∠DFG =90°，∴△OKG ≌△DFG （AAS ），∴GO =DG ，故④正确；∵∠DAO =∠ODC =45°，OA =OD ，∠AOH =∠DOP ，∴△AOH ≌ODOP （ASA ），∴AH =DP ，∠ANH =∠FNO =45°=∠HAO ，∠AHN =∠AHO ，∴△AHN ∽△OHA ，∴=AH HN HO AH ， ∴AH 2=HO •HN ，∴DP 2=NH •OH ，故②正确；∵∠NAO +∠AON =∠ANQ =45°，∠AQO +∠AON =∠BAO =45°，∴∠NAO =∠AQO ，即Q OAG∠=∠故③错误．综上，正确的是①②④．故答案为：①②④．【点睛】本题是四边形综合题，查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．5、6【分析】证明AB＝PB，在Rt△PAC中，求出PC＝Rt△PBC中，解直角三角形可求出PB的长，则可得出答案．【详解】解：由题意知，∠PAB＝30°，∠PBC＝60°，∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°，∴∠PAB＝∠APB，∴AB＝PB，在Rt△PAC中，∵AP＝∴PC＝12PA＝在Rt△PBC中，∵sin∠PBC＝PC PB，∴PB6千米．∴AB＝6千米．故答案为：6．【点睛】本题考查了解直角三角形应用题，方向角：指正北或指正南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．注意在描述方向角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度.当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．三、解答题1、7【分析】根据01(0a a =≠），立方根的求法，特殊三角函数的值，积的乘方，计算即可得答案．【详解】解：020*******-3.14tan 60(2)()2π︒--（）=()2020112222⎡⎤+-+-⨯⨯-⎢⎥⎣⎦（）（）=1-2+6-（-2）=7【点睛】本题考查了二次根式、零指数幂、特殊三角函数的值、积的乘方的相关计算，做题的关键是掌握相关法则，特别积的乘方的逆运算，认真计算．2、（1）（2）14x =，22x =-【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别进行计算，再把所得的结果合并即可；（2）运用直接开平方法即可得出答案．【详解】解：（1）2sin60tan60︒+︒2==（2）()2190x --= ()219x -=()13x -=±∴14x =，22x =-【点睛】此题考查了解一元二次方程和特殊角的三角函数值，灵活运用解方程的方法是解答本题的关键．3、（1）证明见解析（2）【分析】（1）由平行四边形的性质有AB//CD ，AD//BC ，可得∠DFE=∠A ，∠DFC=∠B ，故△DCF ∽△CEB ．（2）过点E 作EH ⊥CB 交CB 延长线于点H ，由题意可设EH=x ，CH=2x ，由勾股定理即可得EH=3，CH=6，再由勾股定理即可求得（1）证明：在平行四边形ABCD 中，AB//CD ，AD//BC∴∠DCE=∠BEC ，∠A+∠B=180°∵∠DFE+∠DFC=180°又∵∠DFE=∠A∴∠DFC=∠B∴△DCF ∽△CEB（2）∵△DCF ∽△CEB∴∠CDF=∠ECB∴tan∠CDF= tan∠ECB=12过点E 作EH ⊥CB 交CB 延长线于点H在Rt △CEH 中1tan 2EH ECB CH =∠= ∴设EH=x ，CH=2x∴=∵=∴x=3，则有EH=3，CH=6∵BC=4∴BH=6-4=2在Rt △EBH 中有则【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质解直角三角形以及勾股定理，第二问作辅助线将三角函数值转化到直角三角形中是解题的关键．4、2【分析】原式利用负整数指数幂法则，绝对值、二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【详解】解：原式22=- 2=．【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．5、（1）证明见解析；（2（3）80．【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得,OB OD AB CD =，再根据平行线的性质可得,OBE ODF OEB OFD ∠=∠∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）先根据菱形的判定证出平行四边形ABCD 是菱形，再根据菱形的性质可得,AC BD AB BC ⊥=，然后设(0),(0)BH x x CH y y =>=>，从而可得,OC AB BC x y ===+，代入2OC HC BC =⋅解一元二次方程可得9y x =，由此可得10,AB x OB ==，最后在Rt AOB 中，利用正弦三角函数的定义即可得；（3）先根据平行四边形的判定证出四边形AECF 是平行四边形，再根据矩形的判定证出平行四边形AECF 是矩形，根据矩形的性质可得90AFC ∠=︒，然后利用勾股定理可得16CF =，设(0)AD CD a a ==>，从而可得16DF a =-，在Rt ADF 中，利用勾股定理可得10a =，最后利用平行四边形的面积公式即可得．【详解】证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形，,,AB CD OB OD AB CD ∴==，,OBE ODF OEB OFD ∴∠=∠∠=∠，在BOE △和DOF △中，OBE ODF OEB OFD OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BOE DOF AAS ∴≅；（2）AB CD ∥，BAC ACD ∴∠=∠， AC 平分BAD ∠，BAC DAC ∴∠=∠，ACD DAC ∴∠=∠，AD CD ∴=，∴平行四边形ABCD 是菱形，,AC BD AB BC ∴⊥=，:OC BH =∴设(0),(0)BH x x CH y y =>=>可得,OC AB BC x y ===+，由2OC HC BC =⋅得：2)()y x y =+，解得9y x =或100y x =-<（不符题意，舍去），10,AB x OB ∴==，在Rt AOB 中，sin OB BAC AB ∠== （3）由（1）已证：BOE DOF ≅△△，,BE DF OE OF ∴==，AB CD =，AB BE CD DF ∴+=+，即AE CF =，又AB CD ∥，即AE CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，AO OF ==AO OF OE OC ∴====AC EF ∴==∴平行四边形AECF 是矩形，90AFC ∴∠=︒，16CF ∴=，设(0)AD CD a a ==>，则16DF a =-，在Rt ADF 中，222AF DF AD +=，即2228(16)a a +-=，解得10a =，即10CD =，则平行四边形ABCD 的面积为10880CD AF ⋅=⨯=．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、一元二次方程的应用、正弦三角函数等知识点，熟练掌握特殊平行四边形的判定与性质是解题关键．。

北师大版初三数学9年级下册第1章(直角三角形的边角关系)同步单元训练卷(含答案)

北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系同步单元训练卷一、选择题（共10小题，3*10=30）1．2cos60°＝( )A ．1 B.3 C.2 D.122．下列各式不成立的是( )A ．sin 50°＜sin 89°B ．cos 1°＜cos 88°C ．tan 22°＜tan 45°D ．cos 23°＞sin 23°3．如图，点A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示sin α的值，错误的是( )A.CD BCB.AC ABC.AD ACD.CD AC4．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( )A.sin B ＝AD AB B ．sin B ＝AC BCC.sin B ＝AD AC D ．sin B ＝CD AC5．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin ∠ACB 的值为( )A ．355B ．175C ．35D ．456. 如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB ＝α，则拉线BC 的长度为(点A ，D ，B 在同一条直线上)( )A.hsin α B.h cos α C.h tan α D ．h·cos α7．如图，某轮船在点O 处测得一个小岛上的电视塔A 在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B 处，测得电视塔A 在船的西北方向，若要轮船离电视塔最近，则还需向西航行( )A ．10(3＋1)海里B ．10(3－1)海里C ．20(3＋1)海里D ．20(3－1)海里8．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB 为1.5 m ，她先站在A 处看路灯顶端O 的仰角为35°，再往前走3 m 站在C 处，看路灯顶端O 的仰角为65°，则路灯顶端O 到地面的距离约为(已知sin 35°≈0.6，cos 35°≈0.8，tan 35°≈0.7，sin 65°≈0.9，cos 65°≈0.4，tan 65°≈2.1) ( )A ．3.2 mB ．3.9 mC ．4.7 mD ．5.4 m9．如图，若△ABC 和△DEF 的面积分别为S 1，S 2，则( )A ．S 1＝12S 2B ．S 1＝72S 2C ．S 1＝85S 2 D ．S 1＝S 210．如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长32 m ，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长为33 m ，则鱼竿转过的角度是( )A.60°B.45°C.15°D.90°二．填空题（共8小题，3*8=24）11．sin60°的相反数是_________.12. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，BC＝6，则tan B的值是_________．13．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sin B＝0.5，若AC＝6，则BC的长为__________.14．如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80 m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为____________m.15．如图，在距离铁轨200 m的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10 s后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是 m/s.16．如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β，则tan β的值是__________．17．如图，海中有一个小岛A，它的周围15海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西60°的B处，往东航行20海里后到达该岛南偏西30°的C处后，货船继续向东航行，你认为货船航行途中________触礁的危险．(填“有”或“没有”)18．如图，正方形ABCD 的边长为22，过点A 作AE ⊥AC ，AE ＝1，连接BE ，则tan E ＝________.三．解答题（7小题，共66分）19．(8分) 计算：14tan 245°＋1sin 230°－3cos 230°＋tan 45°cos 60°－sin 40°cos 50°20．(8分) a ，b ，c 是△ABC 的三边，且满足等式b 2＝c 2－a 2，5a －3c ＝0，求sin A ＋sin B 的值．21．(8分) △ABC 是一块钢板余料，其中∠A ＝30°，∠B ＝45°，AB ＝20 dm ，现要从中剪裁出边长为6 dm 的等边△DEF ，如图所示，其中点D 在BC 上，点E 和点F 在AB 上，求AE ，BF 的长．(结果保留根号)22．(10分) )如图，某校课外活动小组，在距离湖面7米高的观测台A 处，看湖面上空一热气球P 的仰角为37°，看P 在湖中的倒影P′的俯角为53°(P′为P 关于湖面的对称点)．请你计算出这个热气球P 距湖面的高度PC 约为多少米？(参考数据：sin 37°≈35，cos 37°≈45，tan 37°≈34；sin 53°≈45，cos 53°≈35，tan 53°≈43)23．(10分) 已知：如图，在△ABC 中，AB ＝13，AC ＝8，cos ∠BAC ＝513，BD ⊥AC ，垂足为点D ，E 是BD 的中点，连接AE 并延长，交边BC 于点F.(1)求tan ∠EAD 的值；(2)求BF CF 的值．24．(10分) 某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2 m，台阶AC的坡度i＝1∶2，且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．(测角器的高度忽略不计，结果保留根号)25．(12分) 某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N.观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N 的俯角β为45°，已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米．(1)求两渔船M，N之间的距离；(结果精确到1米)(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i＝1∶1.75，施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？(参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52)参考答案1-5ABDCD6-10BACDC 11. －32 12. 43 13. 63 14. 20 3 15. 20（3＋1） 16. 19315 17.没有 18.2319. 解：原式＝14×12＋1(12)2 －3×(32)2 ＋112－1＝14＋4－3×34＋2－1＝3.20．解：由b2＝c2－a2，得a2＋b2＝c2，∴△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°. ∵5a －3c ＝0，∴a c ＝35，即sin A ＝35. 设a ＝3k ，则c ＝5k ，∴b ＝（5k ）2－（3k ）2＝4k. ∴sin B ＝b c ＝45，∴sin A ＋sin B ＝35＋45＝75.21. 解：作DG ⊥AB 于G.∵△DEF 是等边三角形，∴DE ＝DF ＝EF ＝6，EG ＝FG ＝3，DG ＝EG·tan60°＝33，在Rt △DGB 中，∵∠B ＝∠GDB ＝45°，∴DG ＝BG ＝33，∴BE ＝3＋33，∴AE ＝AB －EB ＝20－(3＋33)＝17－33，BF ＝BG －FG ＝33－322．过点A 作AD ⊥PP′，垂足为点D ，图略，则有CD ＝AB ＝7米．设PC 为x 米，则P′C ＝x 米，PD＝(x －7)米，P′D ＝(x ＋7)米，在Rt △PDA 中，AD ＝PDtan 37°≈43(x －7)，在Rt △P′DA 中，AD ＝P ′D tan 53°≈34(x ＋7)，∴43(x －7)＝34(x ＋7)，解得x ＝25，则热气球P 距湖面的高度PC 约为25米23. 解：(1)∵BD ⊥AC ，∴∠ADE ＝90°，在Rt △ADB 中，AB ＝13，cos ∠BAC ＝513，∴AD ＝5，由勾股定理得：BD ＝12，∵E 是BD 的中点，∴ED ＝6，∴tan ∠EAD ＝ED AD ＝65　(2)过D 作DG ∥AF 交BC 于G ，∵AC ＝8，AD ＝5，∴CD ＝3，∵DG ∥AF ，∴CD AD ＝CG FG ＝35，设CG ＝3x ，FG ＝5x ，∵EF ∥DG ，BE ＝ED ，∴BF ＝FG ＝5x ，∴BF CF ＝5x 8x ＝5824. 解：过点A 作AF ⊥DE ，设DF ＝x ，在Rt △ADF 中，∵∠DAF ＝30°，∴AF ＝3x ，AC 的坡度i ＝1∶2，∴AB CB ＝12，∴BC ＝4(m).∵AB ⊥BC ，DE ⊥CE ，AF ⊥DE ，∴四边形ABEF 为矩形，∴EF ＝AB ，BE ＝AF ＝3x ，∴DE ＝DF ＋EF ＝x ＋2，在Rt △DCE 中，tan ∠DCE ＝DE CE，∴CE ＝33(x ＋2)，∵BE ＝BC ＋CE ＝4＋33(x ＋2)，∴33(x ＋2)＋4＝3x ，∴x ＝1＋23(m)，∴DE ＝3＋23(m)25. 解：(1)MN＝20米．(2)过点D作DG⊥AB于点G，则DG＝24(米)，∵AD的坡度为1∶0.25，DH的坡度为1∶1.75，∴AG＝6(米)，GH＝42(米)，∴AH＝GH－GA＝36(米)，∴S△ADH＝12AH·DG＝432(平方米)，∴需要填筑土石方为432×100＝43 200(立方米)．设施工队原计划平均每天填筑土石方x立方米，则10x＋(43 200x－20－10)·2x＝43 200，解得x＝864，∴施工队原计划平均每天填筑土石方864立方米．。

2023年北师大版九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系》复习题附答案解析

2023年九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系》复习题一、单选题1．如图，在ABC ∆中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5,则tan B 的值是（）A ．34B ．43C ．35D ．452．定义：圆心在原点，半径为1的圆称为单位圆.如图，已知点()(),0,0P x y x y >>在单位圆上，则sin POA ∠等于（）A ．x B ．yC ．x y D ．y x 3（）A ．3B ．1C ．2D ．124．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，AB ＝3，那么AC 等于（）A ．3sinαB ．3cosαC ．3sin αD ．3cos α5．tan60°的值等于()A ．1BC ．D ．26．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=α，BC=m ，则AB 的长为（）A ．m sinαB ．C ．m cosαD ．7．如图，网格中的每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1，ABC 的顶点均在格点上，则∠ABC 的正弦值为（）A ．12B ．5C ．35D ．108．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，sinA=35，则AB=（）A ．8B ．9C ．10D ．129．如图，冬奥会滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC 为100米，则BC 的长为（）米．A ．100cos 20︒B ．100cos 20︒C ．100sin 20︒D ．100sin 20︒10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （1，2），点P 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为α（0°<α<90°），那么tanα的值是（）A ．2B ．12C ．2D 二、填空题11．计算：012⎛⎫ ⎪⎝⎭–2cos60°=.12．cos30°+sin45°=13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，AD=95，BD=165，则sinB=.14．如图，已知斜坡AC 的坡度i ＝1：2，小明沿斜坡AC 从点A 行进10m 至点B ，在这个过程中小明升高m.三、计算题15．计算：0(3)4sin601π-+--16．计算：0(3)22cos30π---︒．四、解答题17．今年五、六月份，我省各地、市普遭暴雨袭击，水位猛涨.某市抗洪抢险救援队伍在B 处接到报告：有受灾群众被困于一座遭水淹的楼顶A 处，情况危急！救援队伍在B 处测得A 在B 的北偏东60 的方向上（如图所示），队伍决定分成两组：第一组马上下水游向A 处救人，同时第二组从陆地往正东方向奔跑120米到达C 处，再从C 处下水游向A 处救人，已知A 在C 的北偏东30 的方向上，且救援人员在水中游进的速度均为1米/秒.在陆地上奔跑的速度为4米/秒，试问哪组救援队先到A 处？请说明理由.（参1.732=）18．如图，升国旗时，某同学站在离国旗20m 的E 处行注目礼（即BE=20m ），当国旗升至旗杆顶端A 时，该同学视线的仰角∠ADC=42°，已知他的双眼离地面的高度DE=1.60m ．求旗杆AB 的高度（结果精确到0.01m ）．参考数据：sin42°≈0.6691，cos42°≈0.7431，tan42°≈0.9004．19．如图，小明站在A 处，准备测量教学楼CD 的高度．此时他看向教学楼CD 顶部的点D ，发现仰角为45°．他向前走30m 到达A '处，测得点D 的仰角为67.5°．若小明的身高AB 为1.8m （眼睛与头顶的距离忽略不计），则教学楼CD 的高度为多少？（计算结果精确到0.1m ，参考数据：67.50.924sin ︒≈，67.50.383cos ︒≈，67.5 2.414tan ︒≈，1.414≈）20．先化简，再求代数式262393a a a a -÷+--的值，其中a ＝tan60°﹣6sin30°．21．先化简，再求代数式23211m m m m m m-+-÷-的值，其中60230m tan sin =︒-︒五、综合题22．五一期间，数学兴趣小组的几位同学到公园游玩，看到公园内宝塔耸立，几人想用所学知识测量宝塔的高度．为此，他们在距离宝塔中心18m 处（AC ＝18m ）的一个斜坡CD 上进行测量．如图，已知斜坡CD 的坡度为i ＝1斜坡CD 长12m ，在点D 处竖直放置测角仪DE ，测得宝塔顶部B 的仰角为37°，量得测角仪DE 的高为1.5m ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内．（1）求点D 距地面的高度；（2）求宝塔AB 的高度．（结果精确到0.1，参考数据；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）23．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长120mm AB =，支撑板长80mm CD =，底座长90mm DE =，托板AB 固定在支撑板顶端点C 处，且40mm CB =，托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕点D 转动．（结果保留小数点后一位）（参考数据：40400.766sin ︒︒≈≈，，400.839tan ︒≈，26.60.448sin ≈ ，26.60.89426.60.500cos tan ︒︒≈≈，3 1.732≈）（1）若80DCB ︒∠=，60CDE ︒∠=，求点A 到直线DE 的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB 绕点C 逆时针旋转10 后，再将CD 绕点D 顺时针旋转，使点B 落在直线DE 上即可，求CD 旋转的角度．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：在△ABC 中，∵AC=3,BC=4,AB=5，又因32+42=52，即AC 2+BC 2=AB 2,∴△ABC 是直角三角形，且∠C=90°，∴tanB=34AC BC =.故答案为：A.【分析】首先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC 是直角三角形，再根据正切函数的定义即可得出答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：过P 作PE OA ⊥于E ，则PO=1,PE=y,OE=x,∴sin 1PE yPOA y PO ∠===，故答案为：B.【分析】过P 作OA 的垂线构造直角三角形，利用正弦的定义可得答案.3．【答案】C 【解析】【解答】解：∵sin45°=2.故答案为：C.【分析】根据特殊角的三角函数值即可求得答案.4．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，∵ACcosαAB=,∴AC=3cosα.故答案为：B.【分析】根据余弦等于邻边比斜边即可求解.5．【答案】C 【解析】【解答】C 。

【小初高学习】九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(二)解直角三角形应用中的六种基本模型

专题训练(二) 解直角三角形应用中的六种基本模型►模型一“独立”型1．如图2－ZT－1，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处恰好遇见渔船，那么救援船航行的速度为( )图2－ZT－1A．10 3海里/时B．30海里/时C．20 3海里/时D．30 3海里/时2．2017·台州如图2－ZT－2是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB 为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)图2－ZT－2►模型二“背靠背”型3．如图2－ZT－3，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( )图2－ZT－3A．160 3 m B．120 3 mC．300 m D．160 2 m4．如图2－ZT－4，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部有一点A，某人在岸边的点B处测得点A在点B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4千米到达点C处，再次测得点A在点C的北偏西45°的方向上(其中点A，B，C在同一平面上)．求这个标志性建筑物底部上的点A到岸边BC的最短距离．图2－ZT－4►模型三“母抱子”型5．如图2－ZT－5，某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在点C 处仰望建筑物顶端A处，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达点D处，测得建筑物顶端A的仰角为64°，求建筑物的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：sin48°≈710，tan48°≈1110，sin64°≈910，tan64°≈2)图2－ZT－56．2017·内江如图2－ZT－6，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A 处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)图2－ZT－6►模型四“拥抱”型7．如图2－ZT－7，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动1 m(即BD＝1 m)到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18′，求梯子的长．(参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248)图2－ZT－7►模型五梯形类8．如图2－ZT－8，梯形ABCD是拦水坝的横断面示意图，图中i＝1∶3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．(结果精确到0.1.参考数据：3≈►模型六“斜截”型9．“蘑菇石”是贵州省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚点B处先乘坐缆车到达与BC平行的观景平台DE处观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由点E步行到达“蘑菇石”点A处，“蘑菇石”点A到水平面BC的垂直距离为1790 m．如图2－ZT－9，DE∥BC，BD＝1700 m，∠DBC＝80°，求斜坡AE的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin80°≈0.9848，sin29°≈0.4848)详解详析1．[解析] D 由“B 在海岛A 的南偏东20°方向”和“海岛C 在海岛A 的南偏西10°方向”得∠BAC ＝30°，同理得∠ABC ＝60°，∴∠ACB ＝90°.∵AB ＝20海里，∴BC ＝10海里，AC ＝10 3海里，再由“救援船由海岛A 开往海岛C 用时20分钟”可求得救援船航行的速度为30 3海里/时．故选D.2．解：车门不会碰到墙．理由如下：如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C .在Rt △ACO 中，∵∠AOC ＝40°，AO ∴AC ＝AO ·sin∠AOC ≈1.2×0.64＝0.768(米)．∵汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，0.8>0.768， ∴车门不会碰到墙．3．[解析] A 过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则∠BAD ＝30°，∠CAD ＝60°，AD ＝120 m. 在Rt △ABD 中，BD ＝AD ·tan30°＝120×33＝40 3(m)．在Rt △ACD 中，CD ＝AD ·tan60°＝120×3＝120 3(m)， ∴BC ＝BD ＋CD ＝40 3＋120 3＝160 3(m)．4．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长度就是点A 到岸边BC 的最短距离．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝45°，设AD ＝x 千米，则CD ＝AD ＝x 千米．在Rt △ABD 中，∠ABD ＝60°，因为tan ∠ABD ＝AD BD ，即tan60°＝x BD，所以BD ＝x tan60°＝33x 千米．又因为BC ＝4千米，所以BD ＋CD ＝4千米，即33x ＋x ＝4，解得x ＝6－2 3，所以这个标志性建筑物底部上的点A 到岸边BC 的最短距离为(6－2 3)千米． 5．解：根据题意，得∠ADB ＝64°，∠ACB ＝48°. 在Rt △ADB 中，tan64°＝AB BD ，则BD ＝AB tan64°≈12AB ，在Rt △ACB 中，tan48°＝AB CB，则CB ＝ABtan48°≈1011AB ，∴CD ＝CB －BD ，即6＝1011AB －12AB ，解得AB ＝1329≈14.7(米)，∴建筑物的高度约为14.7米．6．[解析] 先求出∠DBE ＝30°，∠BDE ＝30°，得出BE ＝DE ，设EC ＝x ，则BE ＝2x ，DE ＝2x ，DC ＝3x ，BC ＝3x ，再根据∠DAC ＝45°，可得AC ＝DC ，列出方程求出x 的值，即可求出塔DE 的高度．解：由题意知，∠DBC ＝60°，∠EBC ＝30°， ∴∠DBE ＝∠DBC －∠EBC ＝60°－30°＝30°. 又∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝90°－∠DBC ＝90°－60°＝30°， ∴∠DBE ＝∠BDE ，∴BE ＝DE .设EC ＝x m ，则DE ＝BE ＝2EC ＝2x m ，DC ＝EC ＋DE ＝3x m ， BC ＝BE 2－EC 2＝3x m.由题意可知，∠DAC ＝45°，∠DCA ＝90°，AB ＝60 m ， ∴△ACD 为等腰直角三角形，∴AC ＝DC ， ∴3x ＋60＝3x . 解得x ＝30＋10 3.答：塔ED 的高度为(30＋10 3)m. 7．解：设梯子的长为x m.在Rt △ABO 中，cos ∠ABO ＝OBAB，∴OB ＝AB ·cos∠ABO ＝x ·cos60°＝12x m.在Rt △CDO 中，cos ∠CDO ＝OD CD， ∴OD ＝CD ·cos∠CDO ＝x ·cos51°18′≈0.625x m. ∵BD ＝OD －OB ，∴0.625x －12x ＝1，解得x ＝8.答：梯子的长约为8 m.8．解：过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F . 在Rt △ABF 中，∠B ＝60°，AB ＝6， ∴AF ＝AB sin B ＝6sin60°＝3 3， BF ＝AB cos B ＝6cos60°＝3. ∵AD ∥BC ，AF ⊥BC ，DE ⊥BC ， ∴四边形AFED 是矩形，∴DE ＝AF ＝3 3，FE ＝AD ＝4.在Rt △CDE 中，i ＝DE CE ＝13，∴CE ＝3DE ＝3×3 3＝9，∴BC ＝BF ＋FE ＋CE ＝3＋4＋9＝16， ∴S 梯形ABCD ＝12(AD ＋BC )·DE＝12×(4＋16)×3 3 ≈52.0.答：拦水坝的横断面ABCD 的面积约为52.0.9．解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，延长DE 交AC 于点M ，由题意，得EM ⊥AC ， ∴四边形DMCF 为矩形， ∴DF ＝MC .在Rt △DFB 中，sin80°＝DF BD ，则DF ＝BD ·sin80°＝1700×sin80°(m)， ∴AM ＝AC －MC ＝AC －DF ＝(1790－1700×sin80°)m. 在Rt △AME 中，sin29°＝AM AE，则AE ＝AMsin29°＝1790－1700×sin80°sin29°≈238.9(m)．答：斜坡AE 的长度约为238.9 m.。

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系 1.4 解直角三角形同步练习 (新版)北师大版

课时作业(五)[第一章 4 解直角三角形]一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝52°，b ＝12，则a 的值约等于() A ．15.36 B ．16.35 C ．17.36 D ．18.352．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝2，则∠B 的度数为链接听课例1归纳总结()A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°3．如图K －5－1，AD ⊥CD ，AB ＝13，BC ＝12，CD ＝3，AD ＝4，则sin B 的值为()图K －5－1A.513 B.1213 C.35 D.454.如图K －5－2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，tan A ＝12，下列判断正确的是( )链接听课例1归纳总结图K －5－2A ．∠A ＝30°B ．AC ＝12C ．AB ＝2D ．AC ＝2 二、填空题5．2017·广州如图K －5－3，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tan A ＝158，则AB ＝________．图K －5－36．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝13，AC ＝2，那么BC ＝________．7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝10，若△ABC 的面积为5033，则∠A 的度数为________．8．2018·奉贤区一模如图K－5－4，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，垂足为H，如果AH ＝BC，那么sin∠BAC的值是________．图K－5－49．菱形ABCD的对角线AC＝6 3，BD＝6，则菱形ABCD的四个角的度数分别是______________．10．如图K－5－5，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，若CD＝2，AB＝6，则S△ABD ＝________．图K－5－511．如图K－5－6，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，点A的坐标为(－1，0)，∠ABO＝30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ＝3，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为________．图K－5－6三、解答题12．在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，c＝2，求这个三角形的其他元素．13．已知Rt△ABC在直角坐标系中的位置如图K－5－7所示，求A，C两点的坐标．图K－5－714．2017·湘潭某游乐场部分平面示意图如图K－5－8所示，点C，E，A在同一直线上，点D，E，B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80米，C处与D处的距离为34米，∠C＝90°，∠ABE＝90°，∠BAE＝30°.(参考数据：2≈1.4，3≈1.7)(1)求旋转木马E处到出口B处的距离；(2)求海洋球D处到出口B处的距离(结果保留整数).链接听课例3归纳总结图K－5－15．如图K－5－9①所示，将直尺摆放在三角尺上，使直尺与三角尺的边分别交于点D，E，F，G，已知∠CGD＝42°.(1)求∠CEF的度数；(2)将直尺向下平移，使直尺的边缘通过三角尺的顶点B，交AC边于点H，如图②所示，点H，B在直尺上的读数分别为4，13.4，求BC的长(结果精确到0.01；参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)图K－5－9操作探究题两个城镇A，B与两条公路ME，MF的位置如图K－5－10所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部．(1)点C应选在何处？请在图中用尺规作图找出符合条件的点C(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)；(2)设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN＝2(3＋1)km，测得∠CMN＝30°，∠CNM＝45°，求点C到公路ME的距离．图K－5－10详解详析【课时作业】 [课堂达标] 1．[答案] A2．[解析] A 因为tan B ＝b a＝26＝33，所以∠B ＝30°. 3．[答案] A4．[解析] D 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，tan A ＝12，tan A ＝BCAC ，∴AC ＝BCtan A ＝112＝2， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝22＋12＝ 5. ∵tan A ＝12，tan30°＝33，∴∠A ≠30°.故选D.5．[答案] 17[解析] ∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝158，BC ＝15，∴15AC ＝158，解得AC ＝8.根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝82＋152＝17. 故答案为17.6．[答案] 4 2[解析] 在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∴cos A ＝AC AB ＝13.∵AC ＝2，∴AB ＝6，∴BC ＝AB 2－AC 2＝36－4＝4 2. 7．[答案] 60°[解析] 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝10，△ABC 的面积为503 3，∴12AC ·BC ＝503 3，∴AC ＝103 3. ∵tan A ＝BC AC ＝1010 33＝3，∴∠A ＝60°.故答案为60°.8．[答案] 45[解析] 如图，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，设AH ＝BC ＝2x ， ∵AB ＝AC ，AH ⊥BC ， ∴BH ＝CH ＝12BC ＝x ，根据勾股定理，得AC ＝AH 2＋CH 2＝（2x ）2＋x 2＝5x ，S △ABC ＝12BC ·AH ＝12AC ·BD ，即12·2x ·2x ＝12·5x ·BD ，解得BD ＝4 55x ， ∴sin ∠BAC ＝BD AB ＝4 55x 5x ＝45.9．[答案] 60°，120°，60°，120° 10．[答案] 9 32－3[解析] 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°，∴∠A ＝30°.∵AB ＝6，∴BC ＝12AB ＝3，AC ＝3BC ＝3 3.又∵CD ＝2，∴AD ＝AC －CD ＝3 3－2，∴S △ABD ＝12AD ·BC ＝12×(3 3－2)×3＝9 32－3.故答案为9 32－3.11．[答案] 412．解：在Rt △ABC 中，b ＝c 2－a 2＝22－（3）2＝1.因为sin A ＝a c＝32，所以∠A ＝60°，所以∠B ＝30°. 13．解：如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于点D ， ∵BC ＝AOcos30°＝2 332＝4，∴点C 的坐标为(4，0)．在Rt △ABD 中，sin30°＝AD AB ，cos30°＝BD AB，而AB ＝2 3，∴AD ＝AB sin30°＝2 3×12＝3， BD ＝AB cos30°＝2 3×32＝3， ∴点A 的坐标为(3，3)．14．解：(1)∵在Rt △ABE 中，∠BAE ＝30°， ∴BE ＝12AE ＝12×80＝40(米)．故旋转木马E 处到出口B 处的距离为40米．(2)∵在Rt △ABE 中，∠BAE ＝30°，∴∠AEB ＝90°－30°＝60°，∴∠CED ＝∠AEB ＝60°，∴在Rt △CDE 中，DE ＝CD sin ∠CED ≈341.72＝40(米)，则BD ＝DE ＋BE ≈40＋40＝80(米)．故海洋球D 处到出口B 处的距离约为80米．15．[解析] (1)先根据“直角三角形的两锐角互余”求出∠CDG 的度数，再根据“两直线平行，同位角相等”求出∠CEF 的度数．(2)根据直尺上的读数求出HB 的长度，再根据∠CBH ＝∠CGD ＝42°，利用42°的余弦值求解．解：(1)∵∠CGD ＝42°，∠C ＝90°， ∴∠CDG ＝90°－42°＝48°.∵DG ∥EF ，∴∠CEF ＝∠CDG ＝48°.(2)∵点H ，B 在直尺上的读数分别为4，13.4， ∴HB ＝13.4－4＝9.4，∴BC ＝HB cos42°≈9.4×0.74≈6.96. 答：BC 的长约为6.96. [素养提升]解：(1)如图①所示：点C 即为所求．(2)过点C 作CD ⊥MN 于点D .如图②所示：∵在Rt △CMD 中，∠CMN ＝30°，tan ∠CMN ＝CD MD，∴MD ＝CD tan30°＝CD33＝3CD .∵在Rt△CND 中，∠CNM ＝45°，tan ∠CNM ＝CD DN ，∴DN ＝CDtan45°＝CD .∵MN ＝2(3＋1)km ，∴MN ＝MD ＋DN ＝3CD ＋CD ＝2(3＋1)，解得CD ＝2(km)．答：点C 到公路ME 的距离为2 km.。

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.4解直角三角形测试含解析新版北师大版

1.4 解直角三角形一、单项选择题（共15 题）1.在△ ABC中，AB=12，AC=13，cos∠ B=，则BC边长为（）或17或172.如图，在直角△ BAD中，延长斜边BD到点 C，使 DC= BD，连接 AC，若 tanB= ，则 tan ∠CAD的值（）A. B. C. D.3.等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则顶角为（）【答案】 A【解析】如图，在△ABC中， AB=AC， AD⊥ CB于 D，5.在△ ABC中，AB=5，BC=6，∠ B为锐角且sinB=3，则∠ C的正弦值等于（）5【答案】 C【解析】试题解析：过点 A 作 AD⊥ BC，依据三角函数的定义得出AD的长，再求得BD、 CD，依据勾股定理得出 AC，再由三角函数的定义得出答案即可．试题解析：过点A作 AD⊥BC，6.在Rt△ABC中，∠ C=Rt∠，若BC：AC=3：4，BD均分∠ ABC交AC于点D，则tan∠DBC的值为（）【答案】 B【解析】如图，作DE⊥ AB于 E，在 Rt△ ABC中，设 BC为3x，则 AC为4x，依据勾股定理， AB=5x，设 CD为 a，∵ BD均分∠ ABC，则 DE=CD=a，∴AD=4x-a ， AE=5x-3 x=2x，222在 Rt△ ADE中， AD=DE+AE，即（ 4x-a）2=a2+（ 2x）2，7.如图，在Rt △ABC中，∠ ACB=90°， CD⊥AB，垂足为D， AB=c，∠ A=α，则CD长为（）A. c?sin 2αB.c?cos 2αC.c?sin α?tan αD.c?sin α?cosα11.数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC 和△ DEF，尺寸如图．假如两个三角形的面积分别记作S△ABC、S△DEF，那么它们的大小关系是（）A. S△ABC＞S DEF B. S＜ S C. S= S△ DEFD.不可以确立△△ ABC△ DEF△ ABC【答案】 C【解析】如图，过点A、 D分别作 AG⊥ BC， DH⊥ EF，垂足分别为G、 H，在 Rt△ ABG中， AG=ABsinB=5× sin 50°=5 sin 50°，在 Rt△ DHE中，∠ DEH=180°- 130°=50°，DH=DEsin∠DEH=5sin50°，∴AG=DH．∵BC=4， EF=4，∴S△ABC= S△DEF．应选 C．12.假如三角形满足一个角是另一个角的3 倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．以下各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A. 1 ，2，3B. 1，1，C. 1，1，D. 1，2，【答案】 D考点：三角形的性质.13.在直角三角形ABC中，已知∠ C=90°，∠ A=40°， BC=3，则 AC=（）A. 3sin40 °B.3sin50 °C.3tan40 °D.3tan50 °【答案】 D【解析】试题解析：利用直角三角形两锐角互余求得∠ B 的度数，此后依据正切函数的定义即可求解．解：∠ B=90°﹣∠ A=90°﹣ 40°=50°，又∵ tanB=，∴AC=BC?tanB=3tan50 °．应选： D．考点：解直角三角形．14.等腰三角形的底边长10m，周长为36cm，则底角的正弦值为（）15.如图，在等腰Rt △ABC中，∠ C=90°， AC=6， D是 AC上一点，若tan ∠DBC= ，则 AD的长为（）A.2B.4C.D.【答案】 A【解析】试题解析：依据题意可知，tan ∠ DBC=, 设 DC=2X,BC=3X,由于 BC=AC,因此 3X=6,X=2，因此AD=X=2，应选 A考点：特别角的三角函数二、填空题（共 5 题）16.已知在△ ABC 中， AB=AC=8，∠ BAC=30°，将△ ABC 绕点 A 旋转，使点 B 落在原△ ABC 的点 C处，此时点C 落在点 D处，延长线段AD，交原△ ABC 的边 BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于 ____________【答案】【解析】试题解析：作CH⊥ AE 于 H，如图，∵AB=AC=8，∴∠ B=∠ ACB= （180° - ∠ BAC）=（180° - 30°）=75°，∵△ ABC绕点 A 旋转，使点 B 落在原△ ABC的点 C 处，此时点 C 落在点 D 处，∴AD=AB=8，∠ CAD=∠ BAC=30°，∵∠ ACB=∠CAD+∠ E，∴∠ E=75°-30 ° =45°，在 Rt △ ACH中，∵∠ CAH=30°，∴CH= AC=4，AH= CH=4 ，∴DH=AD-AH=8-4 ，在Rt △CEH中，∵∠E=45°，∴ EH=CH=4，∴ DE=EH-DH=4（- 8-4）=4-4 ．考点： 1. 解直角三角形； 2. 等腰三角形的性质．17.如图，在菱形ABCD中， AE⊥BC， E 为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是________【答案】【解析】设菱形ABCD的边长为 x，则 AB=BC=x，又 EC=2，因此 BE=x-2，由于 AE⊥BC于 E，因此在 Rt△ ABE中， cosB=，又cosB=于是＝，解得 x=10，即 AB=10．因此易求 BE=8， AE=6，当 EP⊥ AB时， PE获得最小值．故由三角形面积公式有：? =? ，求得PE 的最小值为 4.8 ．AB PE BE AE点睛：此题观察了余弦函数在直角三角形中的运用、三角形面积的计算和最小值的求值问题，求PE的值是解题的要点18.如图，在菱形ABCD中， DE⊥AB，垂足是E， DE=6，sinA=，则菱形ABCD的周长是___________【答案】 40【解析】此题第一由DE⊥AB，垂足是E，得 Rt △AED，依据直角三角形的性质，sinA=，能求出AD，再11因此△ AED为直角三角形，∴菱形 ABCD的周长为， 10×4=40．故答案为： 40．此题观察的知识点是解直角三角形和菱形的性质，解题的要点是先依据直角三角形的性质求出菱形 ABCD的边长 AD．19.如图，在等腰Rt △ABC中，∠ C=90°， AC=6， D是 AC上一点，若tan ∠DBA= ，则 AD的长为 ________【答案】 2【解析】作DE⊥ AB于 E，如图，∵∠ C=90°， AC=BC=6，∴△ ACB为等腰直角三角形，∴∠ A=45°，在Rt △中，设=，则= ，=，ADE AE x DE x AD在 Rt△ BED中， tan ∠ DBE=，∴BE=5x，点睛：此题观察认识直角三角形，在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也观察了等腰直角三角形的性质20.如图，两条宽度都为 1 的纸条，交错重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中暗影部分）的面积为________三、解答题（共 5 题）21.若等腰三角形两边为 4， 10，求底角的正弦值【答案】【解析】试题解析：依据三角形三边关系定理确立腰和底边的长．作底边上的高，利用等腰三角形三线合一的性质和勾股定理求得底边上的高的长，再利用三角函数的定义求解即可.试题解析：∵4+4=8＜10，22.如图，在△ ABC中，AC=2，∠ A=45°，tanB=，求BC的长【答案】【解析】试题解析：过点 C 作 CD⊥AB于 D，利用∠ A 的正弦值求出CD的长，再依据∠B 的正切值求出BD的长，利用勾股定理列式求出BC的长 .试题解析：如图，过点C作 CD⊥ AB于 D，∵AC=2，∠ A=45°，【解析】试题解析：作AD⊥ BC于 D，依据等腰三角形三线合一的性质可求得BD的长，再依据勾股定理可得AD的长，依据正弦函数等于对边比斜边，即可得答案.试题解析：如图，作 AD⊥ BC于 D，24.我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．假如等腰三角形的腰长为 2，“内角正度值”为 45°，求该三角形的面积【答案】 1或 2【解析】试题解析：依据题意，分顶角为最小角和顶角为最大角两种状况求解即可.试题解析：当顶角为最大角时，设底角为x，则顶角为x+45°时，因此x+x+x+45°=180°，解得x=45°，因此此三角形为等腰直角三角形，此三角形的面积=×2×2=2；当顶角为最小角时，设顶角为 x 时，则底角为x+45°，因此 x+x+45°+x+45°=180°，解得 x=30°，因此此三角形为极点为 30°的等腰三角形，AB=AC=2，∠A=30°，作 CD⊥ AB于 D，在 Rt△ ADC中，∵∠ A=30°，综上所述，该三角形的面积等于1或2．点睛：此题观察认识直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也观察了等腰三角形的性质，解决此题时要注意分类议论思想的应用.25.在△ ABC中，∠ C=90°，sinA=，BC=12，求AC的长【答案】 5【解析】试题解析：在Rt△ ABC中，依据锐角三角函数的定义求得BC的长，再利用勾股定理求得AC的长即可 .试题解析：在△ ABC中，∠ C=90°，∵ sinA =，BC=12，∴AB=13，∴AC==5．。

北师大版初三数学9年级下册第1章(直角三角形的边角关系)1.1、1.2 同步练习题(含答案)

北师大版九年级数学下册第一章 1.1、1.2 同步练习题一、选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，AB＝4，则sinA的值是( )A.154B.13C.1515D.142．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC，则cosA＝( )A.12B.52C.255D.553．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D.若BD∶CD＝3∶2，则tanB＝( )A.32B.23C.62D.634．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝25，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cos∠ECF的值为( )A.23B.104C.53D.55二、填空题5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是______．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，连接CD.若BC＝4，CD＝3，则cos∠DCB的值为______．7．如图，已知两点A(2，0)，B(0，4)，且∠1＝∠2，则tan∠OCA＝______．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A 落在A′处．若EA′的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为______．9．将一副三角板按如图的方式摆放在一起，连接AD，则tan∠ADB＝______．10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，已知点D在边BA的延长线上，AB＝2AD，则tan∠DCA＝______．三、解答题11．如图所示，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO＝5，sin∠BOA＝35.求：(1)点B的坐标；(2)cos∠BAO的值．12．如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，斜边AC与l3所夹的锐角为α，求tanα的值．13．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CF⊥DE于点F，过点A作AG∥CF交DE于点G.(1)求证：△DCF≌△ADG；(2)若点E是AB的中点，设∠DCF＝α，求sinα的值．14．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，线段AB，CD的端点均为格点．(1)AB的长度为25，CD的长度为______；(2)若AB与CD所夹锐角为α，求tanα的值．参考答案北师大版九年级数学下册 1.1-1.2 同步练习题一、选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，AB＝4，则sinA的值是(D)A.154B.13C.1515D.142．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC，则cosA＝(D)A.12B.52C.255D.553．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D.若BD ∶CD ＝3∶2，则tanB ＝(D)A.32B.23C.62D.634．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝25，E 是BC 的中点，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点F 处，连接CF ，则cos ∠ECF 的值为(C)A.23 B.104C.53D.55二、填空题5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD ⊥AB ，垂足为D ，则tan ∠BCD 的值是34．6．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为AB 边的中点，连接CD.若BC ＝4，CD ＝3，则cos ∠DCB 的值为23．7．如图，已知两点A(2，0)，B(0，4)，且∠1＝∠2，则tan ∠OCA ＝2．8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在A ′处．若EA ′的延长线恰好过点C ，则sin ∠ABE 的值为1010．9．将一副三角板按如图的方式摆放在一起，连接AD ，则tan ∠ADB ＝3－12．10．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，已知点D 在边BA 的延长线上，AB ＝2AD ，则tan ∠DCA ＝14．三、解答题11．如图所示，在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(10，0)，点B 在第一象限内，BO ＝5，sin ∠BOA ＝35.求：(1)点B 的坐标；(2)cos ∠BAO 的值．解：(1)过点B 作BH ⊥OA 于点H ，在Rt △OHB 中，∵BO ＝5，sin ∠BOA ＝35，∴BH ＝3.∴OH BO 2－BH 2＝4.∴点B 的坐标为(4，3)．(2)∵OA ＝10，OH ＝4，∴AH ＝6.在Rt △AHB 中，∵BH ＝3，∴AB AH 2＋BH 2＝ 5.∴cos ∠BAO ＝AH AB ＝55.12．如图，已知l 1∥l 2∥l 3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角△ABC 的三个顶点分别在这三条平行直线上，斜边AC 与l 3所夹的锐角为α，求tan α的值．解：过点A 作l 1的垂线，垂足为D ，过点C 作l 1，l 3的垂线，垂足为E ，F ，设l 1，l 2之间的距离为a ，则l 2与l 3之间的距离也为a.∵∠ABC ＝90°，∴∠DBA ＋∠EBC ＝90°.∵∠DBA ＋∠DAB ＝90°，∴∠EBC ＝∠DAB.又∵∠ADB ＝∠BEC ，AB ＝BC ，∴△ADB ≌△BEC(AAS)．∴AD ＝BE ＝2a ，DB ＝EC ＝a.∴AF ＝DE ＝3a.∴tan α＝CF AF ＝a3a ＝13.13．如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，连接DE ，过点C 作CF ⊥DE 于点F ，过点A 作AG ∥CF 交DE 于点G.(1)求证：△DCF ≌△ADG ；(2)若点E 是AB 的中点，设∠DCF ＝α，求sin α的值．解：(1)证明：在正方形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝90°，∵CF⊥DE，∴∠CFD＝∠CFG＝90°.∵AG∥CF，∴∠AGD＝∠CFG＝90°.∴∠AGD＝∠CFD.∵∠ADG＋∠CDE＝∠ADC＝90°，∠DCF＋∠CDE＝90°，∴∠ADG＝∠DCF.在△DCF和△ADG中，{∠DFC＝∠AGD，∠DCF＝∠ADG，DC＝AD，∴△DCF≌△ADG(AAS)．(2)设正方形ABCD的边长为2a.∵点E是AB的中点，∴AE＝12×2a＝a.在Rt△ADE中，DE AD2＋AE2＝（2a）2＋a2＝5a，∴sin∠ADG＝AEDE＝a5a＝55.∵∠ADG＝∠DCF＝α，∴sinα＝5 5 .14．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，线段AB，CD的端点均为格点．(1)AB的长度为25，CD的长度为13；(2)若AB与CD所夹锐角为α，求tanα的值．解：取格点E，连接CE，使CE∥AB，取格点F，连接EF，交CD于点G，取格点H，使CH＝2，∵∠CHD＝∠EDF＝90°，HD＝DF＝3，CH＝DE＝3，∴△CHD≌△EDF(SAS)．∴∠EDG＝∠EFD.又∵∠GED＝∠DEF，∴△DEG∽△FED.∴EGED＝DGFD＝DEFE，即EG2＝DG3＝213.∴EG＝1313，DG＝1313.∴CG＝CD－DG＝13 13.∴tan∠ECG＝EGCG＝47.∵AB∥CE，∴α＝∠ECG.∴tanα＝4 7 .。

北师版九年级数学下册作业课件第一章直角三角形的边角关系本章考点整合训练一

解：根据题意可知EF＝AB＝15 m，延长EF交DC于点H，则CH＝BF＝AE＝
1.5 m．设FH＝x m，则EH＝EF＋FH＝(15＋x) m，在Rt△DFH中，DH＝FH·tan
∠DFH＝tan
45°x＝x(m).又∵在Rt△DHE中，tan
∠DEH＝
DH EH
，∴ x＋x15
＝tan
34°≈0.67，∴x≈30.5，∴DC＝DH＋CH＝x＋1.5≈30.5＋1.5＝32(m)，∴拂云阁DC的
解：原式＝3×
3 3
－11
＋
2
＝2 3 －1
8
×
2 2
＋
（1－ 3）2 ＝
3 －2＋2＋
3 －1
考点三解直角三角形
9．(2022·广西)如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12 m，AB与
AC的夹角为α，则高BC是( A )
A.12sin α m
B．12cos α m
C．si1n2α m
解：(1)∵在Rt△ DEA中，AD＝
DE sin A
＝
2 2
＝3，∴AB＝BD＋AD＝12，∴在
3
Rt△ ABC中，BC＝AB·sin A＝12×23 ＝8
(2)∵AC＝ AB2－BC2 ＝ 122－82 ＝4 5 ，AE＝ AD2－DE2 ＝ 32－22 ＝
5 ，∴CE＝AC－AE＝4 5 － 5 ＝3 5 ，∴CD＝ CE2＋DE2 ＝（3 5）2＋22
解：过点E分别作EF⊥CD交CD的延长线于点F，EG⊥AC于点G，过点A′作
A′H⊥EG交EG的延长线于点H，则四边形EFCG和四边形A′BGH为矩形，EF∶DF
＝i＝1∶0.75，∴DF＝34 EF，∴DE＝ DF2＋EF2 ＝（34EF）2＋EF2 ＝54 EF＝

北师版九年级下册第一章直角三角形的边角关系知识点及习题

九年级下册第一章直角三角形的边角关系【知识要点】一、锐角三角函数：正切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即b A atan =; 正弦．．：．在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即ca sin =A ; 余弦：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cA bcos =; 余切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cA b cot =; 注：（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). （2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号；（3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位. （4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关. （5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 1、三角函数和角的关系tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。

sinA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，sinA 的值越大。

cosA 的值越小，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，cosA 的值越大。

2、三角函数之间的关系（1）互为余角的函数之间的关系0º 30 º 45 º 60 º 90 º若∠A 为锐角，则①)90cos(sin A A ∠-︒=；)90sin(cos A A ∠-︒=②)90cot(tan A A ∠-︒=；)90tan(cot A A ∠-︒=（2）同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 2)倒数关系：tanA ·cotA ＝13)商的关系：tanA ＝A o A s c sin ，cotA ＝A Asin cos二、解直角三角形：※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。

九年级下第一章直角三角形的边角关系全章综合测评题含答案

全章综合测评题一、选择题1.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，若2AC BC =，则sin A 的值是（）A.12B.2 2.如图，ABC △的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tan A 的值是（）A.65B.563.在ABC △中，若cos A ，tan B = ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形4.如图，在平地上种树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ，如果在坡度为0.5的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离约为（） 2.24）A.4.5mB.4.6mC.6mD.8m5.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，若4AB =，3sin 5A =，则斜边上的高等于（） A.6425 B.4825C.165D.125 6.甲、乙、丙三个梯子斜靠在一堵墙上（梯子顶端靠谱），小明测得：甲与地面的夹角为60︒；乙的底3 ）A.甲较陡B.乙较陡C.丙较陡D.一样陡7.如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70︒方向的M 处，它以每小时40海里的速度向正北方方向航行，2小时后到达位于灯塔P 的北偏东40︒方向的N 处，则N 处与灯塔P 的距离为（）A.40海里B.60海里C.70海里D.80海里8.小亮在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，这样就可以求出67.5︒角的正切值是（）1 1 C.2.5二、填空题9.计算：()0212sin 45π 3.142-︒+-+=________. 10.周长为20的等腰三角形，一边长为6，则底角的余弦值为______.11.如图，小颖利用有一个锐角是30︒的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的眼睛与地面的距离），那么这棵树高是______m .（结果保留根号）12.如图，一个小球由地面沿着坡度1:3i =的坡面向上前进了10m ，此时小球距离地面的高度为_____m .13.如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC 为3米，引桥的坡角ABC ∠为15︒，则引桥的水平距离BC 的长是______米.（精确到0.1米，sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈）14.在平面直角坐标系中，已知()2,3P ，OP 与x 轴所夹锐角为α，则tan α=_____.15.将一副三角尺如图所示叠放在一起，若14cm AB =，则阴影部分的面积是______2cm .16.如图，已知直线1234l l l l ∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α=______.三、解答题17.水务部分为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD ，如图所示，已知迎水坡面AB 的长为16米，60B ∠=︒，背水坡面CD 的长为ABED ，CE 的长为8米.（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？（2）求加固后大坝背水坡面DE 的坡度.18.如图所示，秋千链子的长度为3m ，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m ，秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为53︒，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？（参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈）19.如图，某校教学楼AB 的后面有一建筑物CD ，当光线与地面的夹角是22︒是，教学楼在建筑物的墙上留下高2m 的影子CE ；而当光线与地面的夹角是45︒时，教学楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有13m 的距离（B 、F 、C 在一条直线上）.求教学楼AB 的高度. （参考数据：3sin228︒≈，15cos2216︒≈，2tan 225︒≈）20.小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图所示是晒衣架的侧面示意图，立杆AB 、CD 相交于点O ，B 、D 两点立于地面，经测量：136cm AB CD ==，51cm OA OC ==，34cm OE OF ==，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF 成一条线段，且32cm EF =.（1）求扣链EF 与立杆AB 的夹角OEF ∠的度数.（精确到0.1︒）（2）小红的连衣裙挂在衣架后的总长度达到122cm ，垂挂在晒衣架上是否拖落到地面？通过计算说明理由.（参考数据：sin 61.90.882︒≈，cos61.90.471︒≈，tan 28.10.533︒≈）聊旺角认识新朋友——正弦：小菱形面积的性质新朋友——正弦，它已帮我们解决了好几个题目，但我们对它了解得却并不多，现在就来熟悉一下它. 正弦性质1：sin 0sin1800︒=︒=，sin 901︒=.道理很简单：菱形的一个角为0︒或180︒时，菱形就退化为线段；面积当然是0，菱形的一个角为90︒时，菱形就是正方形，因此，sin 90︒就是单位正方形的面积，当然是1.（如图1-1）正弦性质2：()sin 180sin αα︒-=.这是因为，当菱形有一角为α时，必有另一个角等于180α︒-，因此，sin α和()sin 180α︒-按定义表示的是同一块面积.（如图1-2）当菱形一个角为0︒时，面积为0，这个角慢慢变大时，菱形面积也随着增大，直到变为正方形，这个角继续变大时，菱形面积又变小，直到变成0，这种性质也体现在正弦的性质上.在我们的书上，直接规定“直角三角形中锐角的正弦sin A 等于A ∠的对边与斜边之比”，这种用直角三角形的边长之比来定义正弦的方法，是18世纪的大数学家欧拉首先引进的，关于正弦的性质我们将在以后继续学习，有兴趣的同学可以试一试.创新寄语提出新的疑问，新的可能，从新的角度看老问题，需要创造性的想象力，并且标志着科学的真正进步. 答案一、1.C2.A3.A4.A5.B6.D7.D8.B二、 9.1410.23或373213.11.1 14.3215.49三、17.（1）（2 18.1.7m19.12m20.解：（1）如图，在OEF △中，34cm OE OF ==，32cm EF =，作OM EF ⊥于点M ，则16cm EM =，16cos 0.47134EM OEF OE ∠==≈∴， 61.9OEF ∠=︒∴（2）小红的连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面.理由：EF BD ∵∥，61.9ABD OEF ∠=∠=︒∴过点A 作AH BD ⊥于点H在Rt ABH △中，sin AH AND AB∠=∵，()sin 136sin61.91360.882120.0cm AH AB ABD ⋅=∠=⨯︒≈⨯≈∴ ∵小红的连衣裙挂在晒衣架后总长度122cm >晒衣架高度120.0cm ， ∴会拖落到地面上.。

北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系同步测试

北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系同步测试一．选择题1．sin30°的值为（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝4，BC＝3，则sinA是（）A．B．C．D．3．已知∠A为锐角，且tanA＝，则∠A的取值范围是（）A．0°＜∠A＜30 B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°4．在Rt△ABC中，已知△B=90°，AC=10，AB=5√2，则△A等于（）A．45°B．30°C．60°D．50°5．在Rt△ABC中，△C＝90°，tanA＝，则cosB的值为（）A．B．C．D．6．如图．在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A．5cosa B．C．5sina D．7．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知AC＝3，CD＝2，则cosA的值为（）A．B．C．D．8．规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，给出以下四个结论：（1）sin（﹣30°）＝﹣；（2）cos2x＝cos2x﹣sin2x；（3）cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；（4）cos15°＝．其中正确的结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，测得一商场自动扶梯的长AB为12米，自动扶梯与地面所成的角为α，则该自动扶梯到达的高度BC为（）A．12tanα米B．12sinα米C．12cosαD．米10．小明同学想要测量如图所示的仙女峰的高度，他利用已学的数学知识设计了一个实践方案，并实施了如下操作：先在水平地面A处测得山顶B的仰角△BAC 为38．7°，再由A沿水平方向前进377米到达山脚C处，测得山坡BC的坡度为1：0．6，那么仙女峰的高度为（）（参考数据：tan38．7°≈0．8）A．650 米B．580 米C．540 米D．520 米二．填空题11．如图，在△ABC中，△C＝90°，AC＝6，若cosA＝，则BC的长为．12．如果α是锐角，且sinα＝，那么cosα的值为．13．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC 的正切值是．14．计算tan60°﹣的结果．15．如图,△α的顶点为O,它的一边在x轴的正半轴上,另一边OA上有一点P(b,4), ,则b=若sinα= 4516．比较下列三角函数值的大小：sin40°sin50°．17．在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|tanA﹣1|+（﹣cosB）2＝0，则∠C ＝°．18．某飞机模型的机翼形状如图所示，其中AB△DC，△BAE＝90°，根据图中的（参考数据：sin37°≈0．60，cos37°≈0．80，数据计算CD的长为cm（精确到1cm）tan37°≈0．75），BE=2，则tan△DBE的值是________．19．在菱形ABCD中，DE△AB，cosA= 3520．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，△OCD=90°，△AOB=60°，若点B的坐标是（6，0），则点C的坐标是________．三．解答题21．如图，在Rt△ABC 中，△C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，求△A 的正弦值、余弦值和正切值．22．计算：(1) +（）﹣1﹣4cos45°﹣（）0．(2)计算：．(3)计算：（﹣12）0+（13）﹣1·√3﹣|tan45°﹣√3|23．嘉琪在某次作业中得到如下结果：sin 27°+sin 283°≈0．122+0．992＝0．9945，sin 222°+sin 268°≈0．372+0．932＝1．0018，sin 229°+sin 261°≈0．482+0．872＝0．9873，sin 237°+sin 253°≈0．602+0．802＝1．0000，sin 245°+sin 245°＝（）2+（）2＝1．据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC 中，△C ＝90°，设△A ＝α，有sin 2α+sin 2（90°﹣α）＝1．（1）当α＝30°时，验证sin 2α+sin 2（90°﹣α）＝1是否成立．（2）请你对嘉琪的猜想进行证明．24．如图，在一条笔直公路BD的正上方A处有一探测仪，AD＝24m，△D＝90°．一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得△ABD＝31°，1秒后到达C点，测得△ACD ＝50°．（1）求B，C两点间的距离（结果精确到1m）；（2）若规定该路段的速度不得超过25m/s，判断此轿车是否超速．参考数据：tan31°≈0．6，tan50°≈1．2．25．钓鱼岛是我国的神圣领土，中国人民维护国家领土完整的决心是坚定的，多年来，我国的海监、渔政等执法船定期开赴钓鱼岛巡视．某日，我海监船（A处）测得钓鱼岛（B处）距离为20海里，海监船继续向东航行，在C处测得钓鱼岛在北偏东45°的方向上，距离为10√2海里，求AC的距离．（结果保留根号）26．某仓储中心有一个坡度为i＝1：2的斜坡AB，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平地面上，其横截面如图．（1）求该斜坡的坡面AB的长度；（2）现有一个侧面图为矩形DEFG的长方体货柜，其中长DE＝2．5米，高EF ＝2米，该货柜沿斜坡向下时，点D离BC所在水平面的高度不断变化，求当BF＝3．5米时，点D离BC所在水平面的高度DH．27．如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB 的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin68°≈0．93，cos68°≈0．37，cot68°≈0．40）答案提示1.A．2.A．3.C．4.A．5.A．6.B．7.A．8.C．（1）（2）（3）9.B．10.B．11.8．12.．13.．14.﹣．15.3．16.＜．17.75．18.22．19.设菱形ABCD边长为t，△BE=2，△AE=t-2，△cosA= 35，△ AEAD =35，△ t−2t =35，△t=5，△AE=5-2=3，△DE= √AD2−AE2=√52−32=4，△tan△DBE= DEBE =42=2．20.解：分别过A作AE△OB，CF△OB，△△OCD=90°，△AOB=60°，△△ABO=△CDO=30°，△OCF=30°，△△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，点B的坐标是（6，0），△D（8，0），则DO=8，故OC=4，=2 √3，则FO=2，CF=CO•cos30°=4× √32故点C的坐标是：（2，2 √3）．故答案为：（2，2 √3）．21.解：由勾股定理得，AB＝＝＝13，则sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．22．(1)解：原式＝2+2﹣4×﹣1，＝2+2﹣2﹣1，＝1．(2)解：原式＝＝＝＝3+2．√3﹣︳1﹣√3︳(3)解：原式=1+3×23=1+2√3﹣√3+1=2+√3．23.解：（1）当α＝30°时，sin2α+sin2（90°﹣α）＝sin230°+sin260°＝（）2+（）2＝+＝1；（2）嘉琪的猜想成立，证明如下：如图，在△ABC中，△C＝90°，设△A＝α，则△B＝90°﹣α，△sin2α+sin2（90°﹣α）＝（）2+（）2＝＝＝1．24.解：（1）△Rt△ACD中，，△．△在Rt△ABD中，，△．△BC＝BD﹣CD＝20．（2）此轿车的速度，△此轿车在该路段没有超速．25.解：作BD△AC交AC的延长线于D，由题意得，△BCD=45°，BC=10√2海里，△CD=BD=10海里，△AB=20海里，BD=10海里，△AD= √AB2−BD2=10√3，△AC=AD﹣CD=10√3﹣10海里．答：AC的距离为（10√3﹣10）海里．26.解：（1）△坡度为i＝1：2，AC＝4m，△BC＝4×2＝8m．△AB＝＝＝（米）；（2）△△DGM＝△BHM，△DMG＝△BMH，△△GDM＝△HBM，△，△DG＝EF＝2m，△GM＝1m，△DM＝，BM＝BF+FM＝3．5+（2．5﹣1）＝5m，设MH＝xm，则BH＝2xm，△x2+（2x）2＝52，△x＝m，△DH＝＝m．27.解：过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，设CH＝x，则AH＝CH＝x，BH＝CHcot68°＝0．4x，由AB＝49知x+0．4x＝49，解得：x＝35，∵BE＝4，∴EF＝BEsin68°＝3．72，则点E到地面的距离为CH+CD+EF＝35+28+3．72≈66．7（cm），答：点E到地面的距离约为66．7cm．11/ 11。

北师大版九年级下第1章直角三角形的边角关系练习题含答案

第一单元练习题1． cos60°的值等于 ()3 2 1A. 3B.3C. 2D.22．在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°，AB ＝ 5，BC ＝3，则 tanA 的值是 ()3 4 3 4A.4B.3C.5D.513．在 Rt△ ABC 中， cosA ＝2，那么 sinA 的值是 ()2 3 3 1A. 2B. 2C. 3D.2图 1－Y－14．如图1－Y－ 1，一辆小车沿倾斜角为α 的斜坡向上行驶13 米，已知12 cosα＝ 13，则小车上涨的高度是( )A．5 米B．6 米C． 6.5 米D． 12 米5．如图 1－ Y－2，小明为了丈量一凉亭的高度AB( 顶端 A 到水平川面BD 的距离 )，在凉亭的旁边搁置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE(DE ＝ BC ＝ 0.5 米，A ，B ，C 三点共线 )，把一面镜子水平搁置在平台上的点G 处，测得 CG＝15 米，而后沿直线CG 退后到点 E 处，这时恰幸亏镜子里看到凉亭的顶端 A ，测得 EG＝3 米，小明身高EF＝ 1.6 米，则凉亭的高度AB约为()A． 8.5 米B．9 米C．米D．10米图 1－Y－ 2 图 1－Y－ 36．如图 1－ Y－3，小王在长江边某眺望台 D 处，测得江面上的渔船 A 的俯角为40°，若 DE＝ 3 米， CE＝ 2 米，CE 平行于江面AB ，迎水坡 BC 的坡度 i ＝ 1∶，坡长 BC＝ 10米，则此时AB 的长约为(参照数据：sin40°≈， cos40°≈， tan40°≈ 0.84)( ) A． 5.1 米B．米C．米D．9.2 米7．如图 1－Y－ 4，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从 A 滑行至B，已知AB ＝ 500 米，则这名滑雪运动员的高度降落了________米．(参照数据： sin34°≈，cos34°≈， tan34°≈ 0.67)图 1－Y－4图 1－Y－ 58．如图 1－ Y－ 5，创新小组要丈量公园内一棵树的高度AB ，此中一名小构成员站在距离树 10 米的点 E 处，测得树顶 A 的仰角为54° .已知测角仪的架高CE＝ 1.5 米，则这棵树的高度为 _______米 (结果保存一位小数．参照数据： sin54°≈，cos54°≈，tan54°≈1.3764) ．9．如图 1－Y－ 6，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， D 是 AB 的中点， ED⊥ AB 交 AC 于1点 E.设∠ A ＝α，且 tanα＝3，则 tan2α＝ ________．图 1－Y－ 610．某消防支队在一幢居民楼行进行消防演习，如图 1－ Y－ 7 所示，消防官兵利用云梯成功救出在 C 处的求救者后，发此刻 C 处正上方 17 米的 B 处又有一名求救者，消防官兵马上高升云梯将其救出，已知点 A 与居民楼的水平距离是 15 米，且在 A 点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠ CAD ＝ 60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠ BAD 的度数(结果精准到1° )．图 1－Y－ 711．“蘑菇石”是我省有名自然保护区梵净山的标记，小明从山脚 B 点先乘坐缆车到达观景平台DE 观景，而后再沿着坡脚为29°的斜坡由 E 点步行抵达“蘑菇石” A 点，“蘑菇石” A 点到水平面BC 的垂直距离为1790 m．如图 1－ Y－8，DE ∥BC ，BD ＝ 1700 m，∠DBC ＝ 80°，求斜坡 AE 的长度． ( 结果精准到0.1 m)图 1－Y－ 812．乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分构成(如图 1－ Y－9 所示 )．建筑前工程师用以下方式做了丈量：无人机在 A 处正上方97 m 处的 P 点，测得 B 处的俯角为30° (当时 C 处被小山体阻拦没法观察) ．无人机飞翔到 B 处正上方的 D 处时能看到 C 处，此时测得 C 处的俯角为80° 36′ .(1)求主桥 AB 的长度；(2)若两察看点P， D 的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥 BC 的长度．(长度均精准到 1 m，参照数据：3≈，sin80° 36′≈， cos80° 36′≈，tan 80° 36′≈ 6.06)图 1－Y－ 913．如图 1－Y－ 10，某校教课楼 AB 后方有一斜坡，已知斜坡 CD 的长为 12 米，坡角α为60°，依据相关部门的规定，∠α ≤ 39°时，才能防止滑坡危险，学校为了除去安全隐患，决定对斜坡 CD 进行改造，在保持坡脚 C 不动的状况下，学校起码要把坡顶 D 向后水平挪动多少米才能保证教课楼的安全？(结果取整数 )(参照数据： sin39°≈， cos39°≈， tan39°≈，2≈，3≈， 5≈2.24)图 1－Y－ 1014．把 (sinα )2记作 sin 2α，依据图 1－Y－ 11①和②达成以下各题：(1)sin2A1＋ cos2A 1＝ ________， sin2A 2＋ cos2A 2＝ ________，sin2A 3＋cos2A 3＝ ________ ；(2)察看上述等式猜想：在Rt△ ABC 中，∠C＝ 90°，总有 sin2A＋ cos2A ＝________；(3)如图② ，在 Rt△ ABC 中证明 (2) 题中的猜想；12(4)在△ ABC 中，∠ A ＋∠ B ＝ 90°，且 sinA ＝13，求 cosA 的值．图 1－Y－ 11详解1． D5．A [分析 ] 由题意知∠ AGC＝∠ FGE .又∠ FEG ＝∠ ACG＝ 90°，∴△ FEG ∽△ ACG ，∴FE ＝EG ＝ 3AC CG ，即AC 15，∴ AC＝ 8.∴AB＝AC＋ BC＝米．应选 A.6．A [分析 ] 如图，延伸 DE 交 AB 的延伸线于点P，过点 C 作 CQ⊥AP 于点 Q.∵ CE∥ AP，∴DP ⊥AP，∴四边形 CEPQ 为矩形，∴ CE＝ PQ＝ 2， CQ＝ PE.∵ i＝CQ＝ 1 ＝4BQ 3，∴设 CQ＝ 4x， BQ＝ 3x.由 BQ2＋ CQ2＝ BC2可得 (4x)2＋(3x)2＝ 102，解得 x＝ 2 或 x＝－ 2(舍去 )．则 CQ＝PE＝ 8， BQ＝ 6，∴ DP＝ DE ＋ PE＝ 11.在 Rt△ADP 中，AP＝DP＝11≈， tanA tan40°∴AB＝ AP－ BQ－ PQ≈－ 6－2＝ 5.1(米 )．7．3[分析 ] 如图，连结 BE，9.4∵D 是 AB 的中点， ED⊥ AB，∴ED 是 AB 的垂直均分线，∴ EB＝ EA，∴∠ EBA＝∠ A＝α，∴∠ BEC＝2α.设 DE ＝ a，∵ tanα＝1 3，∴AD＝ 3a， AE＝ 10a，∴AB＝ 6a，∴ BC＝3 10a， AC＝9 10a，55∴ CE＝ AC－ AE＝910a－10a＝410 a，5 53 10∴ tan2α＝BC＝5 a 3 3. CE 10a＝ .故答案为44 4510．解：如图，延伸AD交BC所在直线于点 E.由题意，得 BC＝ 17 米， AE＝ 15 米，∠ CAE ＝60°，∠AEB＝ 90° .在 Rt△ACE 中， tan∠ CAE＝CEAE，∴ CE＝ AE·tan60°＝ 15 3米．BE 17＋ 15 3在 Rt△ABE 中， tan∠ BAE＝AE ＝15 ，∴∠ BAE≈71° .答：第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD 的度数约为71° . 11．解：如图，过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，延伸 DE 交 AC 于点 M.由题意可得EM⊥AC ，DF ＝ MC，∠ AEM＝ 29° .在 Rt△DFB 中， sin80°＝DFBD，则 DF ＝ BD·sin80°，AM＝ AC－ MC ＝ AC－ DF ＝ 1790－ 1700 ·sin80°，在 Rt△AME 中， sin29°＝AMAE，故AE＝ AM ＝1790 － 1700 ·sin80°≈238.9(m)．sin29°sin29°答：斜坡 AE 的长度约为238.9 m.12．解： (1) 由题意知∠ ABP＝ 30°， AP＝97 m ，∴ AB＝AP ＝97 ＝97＝ 97 3≈ 168(m)．tan∠ ABP tan30° 33答：主桥 AB 的长度约为168 m.(2)∵∠ ABP＝ 30°， AP＝ 97 m ，∴PB ＝2AP＝ 194 m. ∵∠ DBA＝ 90°，∠ PBA＝ 30°，∴∠ DBP＝ 60° .又∠ DPB＝ 30°＋ 30°＝ 60°，∴△ PBD 是等边三角形，∴ DB＝PB＝194 m.在 Rt△BCD 中，∵∠ C＝ 80° 36′，∴BC＝DB＝194 ≈ 32(m) ．tanC tan80° 36′答：引桥 BC 的长度约为32 m.13．解：假定点 D 挪动到点 D′的地点时，恰巧∠α＝ 39°，过点 D 作 DE⊥ AC 于点 E，过点 D ′作 D′ E′⊥ AC 于点 E′.∵CD＝12 米，∠DCE ＝ 60°，∴ DE ＝ CD ·sin60°＝ 12× 23＝ 6 3(米 )， CE ＝ CD ·cos60°＝ 12×12＝ 6(米 ) ．∵ DE ⊥ AC ，D ′ E ′⊥ AC ， DD ′∥ CE ′ ，∴四边形 DEE ′D ′是矩形，∴ DD ′＝ EE ′， D ′ E ′＝ DE ＝ 6 3米．∵∠ D ′ CE ′＝ 39° ，∴ CE ′＝ D ′E ′≈6 3≈ 12.8(米 )，tan39°∴ DD ′＝ EE ′＝ CE ′－ CE ≈－ 6＝≈ 7(米 )．答：学校起码要把坡顶D 向后水平挪动约 7 米才能保证教课楼的安全．221 2 321 314．解： (1)sin A 1＋ cos A 1＝ (2) ＋ ( 2 ) ＝ 4＋4＝ 1，sin 2A 2＋ cos 2A 2＝ ( 1 )2＋(1) 2＝ 1＋1＝ 1，2222sin 2A 3＋ cos 2A 3＝ (3)2＋ (4)2＝ 9＋16＝ 1.55 2525故答案为： 1， 1， 1.(2)察看上述等式猜想：在22Rt △ ABC 中， ∠C ＝ 90°，总有 sin A ＋ cos A ＝ 1.故答案为： 1.(3)证明：在 Rt △ ABC 中， ∵ sinA ＝ a ，cosA ＝ b，且 a 2＋ b 2＝ c 2，cc22a 2b 2 a 2 b2a 2＋b 2c 222∴ sin A ＋ cos A ＝ (c )＋ (＝ 22＝ 22c )c ＋c c ＝ c ＝ 1，即 sin A ＋ cos A ＝ 1. (4)∵在△ ABC 中， ∠ A ＋∠ B ＝ 90° ，∴∠ C ＝ 90°，∴ sin 2A ＋ cos 2A ＝1，即 (12 ) 2＋ cosA 2＝ 1， 13解得 cosA ＝ 5 或 cosA ＝－ 5(舍) ，13 13即 cosA 的值为 135.。

九下第1章直角三角形的边角关系4解直角三角形作业新版北师大版

【点拨】如图，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H. ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°. ∵AH⊥BC， ∴BH＝12BC＝3，∠BAH＝12∠BAC＝30°， ∴∠BAD＋∠DAH＝30°.
∵∠BAC＝60°，∠DAE＝30°，
∴∠BAD＋∠EAC＝30°，∴∠DAH＝∠EAC， ∴tan∠DAH＝tan∠EAC＝13. 又∵AH＝AB·sin 60°＝6× 23＝3 3， ∴tan∠DAH＝DAHH＝3DH3＝13， ∴DH＝ 3，∴BD＝BH－DH＝3－ 3.
【答案】D
10 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°.
(1)在斜边AC上求作线段AO，使AO＝BC，连接OB；(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) 【解】如图所示．
(2)若OB＝2，求AB的长．【解】∵∠A＝30°，∠ABC＝90°，∴AC＝2BC. ∵AO＝BC，∴AC＝2AO， ∴OC＝AO，即点 O 为 AC 的中点． ∵OB＝2，∴AC＝2OB＝4， ∴AB＝AC·cos A＝2 3.
(2)sin ∠ADC的值．【解】∵AD 是△ABC 的中线，∴CD＝12BC＝2. ∴DE＝CD－CE＝1. ∵AE⊥BC，DE＝AE＝1，∴∠ADC＝45°. ∴sin ∠ADC＝ 22.
【点方法】
∠B和∠C均不在直角三角形中，需要作出BC边上的高来构造直角三角形，问题便容易解决．
12 (1)[问题呈现]如图①，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE.求证：BD＝CE. 【证明】∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°. ∴∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE. 即∠BAD＝∠CAE. ∴△BAD≌△CAE(SAS)．∴BD＝CE.

第一章直角三角形的边角关系(单元测试)(解析版)

第一章直角三角形的边角关系单元测试参考答案与试题解析一、单选题1．（2020·哈尔滨德强学校）在△ABC 中，若，）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】A【解析】试题解析：∵cos A tan B ，∴∠A =45°，∠B =60°．∴∠C =180°-45°-60°=75°．∴△ABC 为锐角三角形．故选A ．2．（2019·福建三明市·九年级月考）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，那么下列各式中，正确的是( )A ．sinB ＝23B ．cos B ＝23C ．tan B ＝23D ．tan B ＝32【答案】C【解析】∵∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，∴，∴sinB=AC AB ==，cosB=BC AB ==，tanB=AC 2BC 3=，故选C.3．（2020·济南历下区明德中学九年级期中）如图所示，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE AB ^，垂足为E ，35DE AD =，则下列结论正确的有（）①3DE cm =；②1BE cm =；③菱形的面积为215cm ；④BD =．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】解：Q 菱形ABCD 的周长为20cm ，5cm AD \=，35DE AD =Q ，3cm(DE \=①正确），4cm AE \==，5cm AB =Q ，541cm(BE \=-=②正确），\菱形的面积25315cm (AB DE =´=´=③正确），3cm DE =Q ，1cm BE =，BD \==④不正确），故选：C ．【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等内容，掌握菱形的性质是解题的关键．4．（2019·辽宁抚顺市·九年级月考）在△ABC 中（2cosA-）2+|1-tanB|=0，则△ABC 一定是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】D【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得∠A 、∠B 的度数，根据直角三角形的判定，可得答案．【详解】解：由（）2+|1-tanB|=0，得，1-tanB=0．解得∠A=45°，∠B=45°，则△ABC 一定是等腰直角三角形，故选：D ．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．5．（2020·山东枣庄市·九年级期末）若α为锐角，且()sin10a °-=，则α等于（）A ．80°B ．70°C ．60°D ．50°【答案】B【解析】【分析】根据sin 60°=得出α的值．【详解】解：∵sin 60°=∴α-10°=60°，即α=70°．故选：B ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．6．（2019·全国九年级单元测试）已知∠A 为锐角，且tan A ，则∠A 的取值范围是（）A ．0°＜∠A ＜30°B ．30°＜∠A ＜45°C ．45°＜∠A ＜60°D ．60°＜∠A ＜90°【答案】C【解析】【分析】通过tan30°、tan45°、tan60°这些特殊角度的正切值来判断随角度变化正切值的变化规律，再通过具体数值确定其大致范围.【详解】解：tan30°，tan45°＝1，tan60°，则可知正切值随角增大而增大，由145°＜∠A ＜60°．故选择C ．【点睛】熟悉特殊角的正切值以及由此判断正切函数随角度变化的变化规律是解题关键.7的值是( )A ．1－B －1C －1D ．1【答案】A【解析】11=-=故本题应选A.点睛：00a a a a a ³ì=í-<î，， .8．（2019·全国九年级单元测试）=（）A ．B ．C ．D ．1【答案】D【解析】【分析】由于tan30°=，故1-tan30°＞0，再对根号里的各项利用完全平方公式变形，从而可以计算出答案．【详解】解：∵tan30°=，∴ 1-tan30°＞0，原式=+tan30°=|1-tan30°|+tan30°=1-tan30°+tan30°=1．故选：D ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、完全平方公式．以及二次根式的性质与化简，本题的关键有两步：第一步判断tan30°-1的正负；第二步熟练运用=|a|进行化简，同时也要掌握绝对值的代数意义．9．（2019·福建三明市·九年级月考）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于（）A B C D．2 3【答案】C【解析】试题解析：设正方形网格每个小正方形边长为1，则BC边上的高为2，则AB===，sin ABCÐ== .故本题应选C.10．（2020·福建莆田市·九年级一模）小明沿着坡角为30°的山坡向上走，他走了1000m，则他升高了（）A．B．500m C．D．1000m【答案】B【解析】【分析】根据坡角的概念，直角三角形中30°所对直角边等于斜边一半的性质计算即可．【详解】解：设他升高了xm，∵山坡的坡角为30°，∴x=12×1000=500（m），故选：B．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用：坡度坡角问题，属于简单题,掌握坡角的概念是解题的关键．二、填空题11．（2020·四川攀枝花市·九年级期末）△ABC中，∠C＝90°，tan A＝43，则sin A+cos A＝_____．【答案】7 5【解析】∵在△ABC 中，∠C=90°，4tan 3A =，∴可设BC=4k ，AC=3k ，∴由勾股定理可得AB=5k ，∴sinA=4455BC k AB k ==，cosA=3355AC k AB k ==，∴sinA+cosA=437555+=.故答案为75.12．（2020·全国九年级单元测试）如图，某地修建高速公路，要从B 地向C 地修一座隧道（B ，C 在同一水平上），某工程师乘坐热气球从B 地出发，垂直上升100m 到达A 处，在A 处观测C 地的俯角为30°，则B 、C 两地之间的距离为__________m.【答案】【分析】利用题意得到∠C=30°，AB=100，然后根据30°的正切可计算出BC ．【详解】根据题意得∠C=30°，AB=100，∵tanC=A B B C，∴BC=0100tan 30=0100tan 30（m ）．故答案为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．13．（2020·阜康市第三中学九年级其他模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若BC＝6，AC＝8，则tan∠ACD的值为_____．【答案】3 4【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD，再根据等边对等角可得∠A=∠ACD，然后利用锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD，∴tan∠ACD＝tan∠A＝BCAC＝68＝34．故答案为：34．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，锐角三角函数的定义，熟记性质并求出∠A=∠ACD是解题的关键．14．（2020·江苏淮安市·淮安六中八年级期中）有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一个树的树梢，则小鸟至少飞行_________________米【答案】10【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【详解】解：如图，设大树高为12AB m =，小树高为6CD m =，过C 点作CE AB ^于E ，则四边形EBDC 是矩形，连接AC ，6EB m \=，8EC m =，1266()AE AB EB m =-=-=，在Rt AEC D 中，10()AC m ==．故小鸟至少飞行10m ．故答案为：10．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据实际得出直角三角形，培养学生解决实际问题的能力．15．如图，在建筑平台CD 的顶部C 处，测得大树AB 的顶部A 的仰角为45°，测得大树AB 的底部B 的俯角为30°，已知平台CD 的高度为5 m ，则大树的高度为_______m(结果保留根号)．【答案】5＋【分析】作CE ⊥AB 于点E ，则△BCE 和△BCD 都是直角三角形，即可求得CE ，BE 的长，然后在Rt △ACE 中利用三角函数求得AE 的长，进而求得AB 的长，即为大树的高度．【详解】如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，在Rt △BCE 中，BE ＝CD ＝5m ，CE ＝tan 30BE o＝（m ），在Rt △ACE 中，AE ＝CE·tan 45°＝（m ），AB ＝BE ＋AE ＝5＋m ）．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．16．（2019·全国九年级单元测试）小明乘滑草车沿坡比为1：2.4的斜坡下滑130米，则他下降的高度为________ 米．【答案】50【分析】根据斜坡的坡比为1：2.4，可得BC ：AC=1：2.4，设BC=x ，AC=2.4x ，根据勾股定理求出AB ，然后根据题意可知AB=130米，求出x 的值，继而可求得BC 的值．【详解】解：如图所示：∵坡比为1：2.4，∴BC ：AC=1：2.4，设BC=x ，AC=2.4x ，则，∵AB=130米，∴x=50，则BC=x=50（米）．故答案为50．【点睛】此题主要考查了坡度的定义和勾股定理，根据勾股定理把AB 用x 表示出来并求出是解题的关键.三、解答题17．计算：(1)(－1)2－2cos 30°＋(－2017)0；(2)3tan 302tan 60cos 60°-°°＋4sin 60°.【答案】(1) 2；(2) 0.【解析】试题分析：(1)先求出式子每一项的值，然后相加即可.(2)先计算每一个特殊角的三角函数值，然后代入式子求值即可.试题解析：(1) 原式＝1－1＝11＝2；(2)＋＝－＝0.18．（2019·福建三明市·九年级月考）如图，在△ABC 中，BD ⊥AC ，AB ＝6，AC ＝，∠A ＝30°.(1)求BD 和AD 的长；(2)求tan C 的值．【答案】(1) BD ＝3，AD ＝；(2) tan C.【解析】（1）∵BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°．在Rt △ADB 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∴BD ＝AB·sin30°＝3，∴·cos30AD AB =°=．（2）CD AC AD =-=-=，在Rt △BDC 中，tan BD C CD Ð===19．（2020·辽宁盘锦市·）如图，埃航MS804客机失事后，国家主席亲自发电进行慰问，埃及政府出动了多艘舰船和飞机进行搜救，其中一艘潜艇在海面下500米的A 点处测得俯角为45°的前下方海底有黑匣子信号发出，继续沿原方向直线航行2000米后到达B 点，在B 处测得俯角为60°的前下方海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C 点距离海面的深度（结果保留根号）．【答案】米【分析】过C 作CD ⊥AB 于D ，交海面于点E ，设BD=x ，利用锐角三角函数的定义用x 表示出BD 及CD 的长，由CE=CD+DE 即可得出结论．【详解】解：过C 作CD ⊥AB 于D ，交海面于点E ，设BD=x ， ∵∠CBD=60°，∴tan ∠CBD=CD BD∴． ∵AB=2000， ∴AD=x+2000，∵∠CAD=45° ∴tan ∠CAD=CD AD=1，x=x+2000，解得， ∴+1000）∴．答：黑匣子C 点距离海面的深度为米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．20．如图，AB 是长为5m ，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD 与大楼CE 垂直，且与扶梯AB 的长度相等，在B 处测得大楼顶部C 的仰角为65°，求大楼CE 的高度（结果保留整数）．（参考数据：3sin 375°»，3tan 374°»，9sin 6510°»，15tan 657°»）【答案】大楼CE 的高度约为14m ．【分析】如图（见解析），先在Rt ABF V 中，利用正弦三角函数可求出BF 的长，再在Rt CDB V 中，利用正切三角函数可求出CD 的长，然后根据线段的和差即可得．【详解】如图，作BF AE ^于点F ，则BF DE=由题意得：5,BD AB m BD CE ==^，37,65BAF CBD Ð=°Ð=°在Rt ABF V 中，sin BF BAF AB Ð=则3sin 3753()5BF AB m =×°»´=在Rt CDB V 中，tan CD CBD BDÐ=则15tan 65511()7C mD BD °»»=×´则31114()CE DE CD BF CD m =+=+»+=答：大楼CE 的高度约为14m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．21．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD ，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60°．沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度i=1AB=10米，AE=15米．（i=1坡面的铅直高度BH 与水平宽度AH 的比）（1）求点B 距水平面AE 的高度BH ；（2）求广告牌CD 的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1»1.414，1.732）【答案】（1）点B 距水平面AE 的高度BH 为5米.（2）宣传牌CD 高约2.7米.【分析】（1）过B 作DE 的垂线，设垂足为G ．分别在Rt △ABH 中，通过解直角三角形求出BH 、AH.（2）在△ADE 解直角三角形求出DE 的长，进而可求出EH 即BG 的长，在Rt △CBG 中，∠CBG=45°，则CG=BG ，由此可求出CG 的长然后根据CD=CG+GE ﹣DE 即可求出宣传牌的高度.。

九年级数学下第一章---直角三角形的边角关系复习与训练

九年级数学下第一章---直角三角形的边角关系复习与训练一、锐角三角函数的定义1.在Rt △ABC 中，∠C=900,直角三角形边角之间的关系：（1）三边关系：_________________(即_______定理)（2）三角关系：_____________________(即_______________定理)____________________（性质：直角三角形两锐角______）（3）边角关系（即tanA ，sinA,cosA 与边的关系）锐角∠A 的正弦： ∠A 的（）边（）（）sinA= = =（）边（）（）锐角∠A 的余弦： ∠A 的（）边（）（）cosA= = =（）边（）（）锐角∠A 的正切： ∠A 的（）边（）（）tanA= = =∠A 的（）边（）（）注：① 锐角A 的______、______、______都是∠A 的三角函数．．．．。

② 三角函数值是一个比值，没有．．．．．．．．．．．．．单位．．．．2.练习：1. 在Rt △ABC 中，∠C=900,AC=3,BC=4,求tanA 、sinA 和cosA 的值。

2. 在Rt △ABC 中，∠C=900, cosA=1312，AC=10, 求AB 、BC 的值。

3. 在Rt △ABC 中，∠C=900, cosA=0.6，BC=8, 求AB 、BC 的值。

4. 在Rt △ABC 中，∠C=900,sinA=43，求tanA 和cosA 的值。

5.如图，△ABC 是等腰三角形，AB=AC=5，BC=8,求tanB 、sinB 和cosB 。

AB C6. 在Rt △ABC 中，∠BCA=900,CD 是AB 边上的中线，BC=6,CD=5, 求sin ∠ACD,cos ∠ACD, tan ∠ACD ；BDA C7：坡度（坡比）与坡角：⑴坡面与水平面的夹角叫做________，⑵坡面的____________与____________的比称为坡度（或______）（用字母．．．．i ．表示）．．． ⑶坡度与坡角有什么关系？⑷正切在日常生活中的应用很广泛,例如建筑、工程技术等.正切经常用来描述山坡的_______、堤坝的_______.例：如图，有一山坡在水平方向上每前进100m 就升高60m,那么山坡的坡度是：（）（） i=_______α= =（）（） 60米二、特殊角的锐角三角函数值 100米1.⑴在Rt △ABC 中，∠C=900, 若∠A=300,设BC=a,则AB=______ AC=________ ⑵在Rt △DEF 中，∠F=900, 若∠D=450,设DF=a,则EF=______ DE=________ B EA C D F 2.利用上图，可求出下列特殊角的锐角三角函数值．3.锐角三角函数的大小比较(1) 正弦、正切的锐角三角函数值随角度的增大而_____ ，随角度的减小而____ _． (2)余弦的锐角三角函数值随角度的增大而_____ ，随角度的减小而____ _。

【北师大版】数学九(下)1.4解直角三角形同步练习本(课件版)

解：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∴tan A = BC = 28 = 0.7.
AC 40
∴∠A ≈ 35°. ∴ ∠B = 55°.
课堂总结
在直角三角形中，除直角外，有 5 个边角元素，已知“一边一锐角”或“两边”可以解这个直角三角形.
重难易错
9. 在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，
课程标准
第一章直角三角形的边角关系
第5课解直角三角形
目录
新课学习课堂总结重难易错三级检测
新课学习
1. 如图，在 Rt△ABC 中，共有 6 个元素（三条边，三个角），
其中∠C = 90°.
（1）三边关系 c2 = a2 + b2 ；
（2）两锐角关系：∠A + ∠B = 90° ；
a
（3）边角关系：sin A = c
且 a∶b∶c = 3∶4∶5，求证：sin A + sin B = 7.
5
证明：设 a = 3k，则 b = 4k， c = 5k（k＞0）. ∵a2 + b2 = （3k）2 + （4k）2 = 25k2 = c2， ∴△ABC 是直角三角形，且∠C = 90°.
∴sin A = a = 3k = 3，sin B = b = 4k = 4.
，
b
cos A = c
，
a
tan A = b
.
2. 解直角三角形的概念：由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形 . 在直角三角形的 6 个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来.
3. （例 1）如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， ∠A = 30°， BC = 3，解这个直角三角形.

北师大版九年级数学下册第一章1.4解直角三角形同步练习(PDF版,无答案)

26、如图，由 12 个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为 6，△ABC 的顶点都在格点. (1)求每个小矩形的长与宽.
(2)在矩形网格中找一格点 E，使△ABE 为直角三角形，求出所有满足条件的线段 AE 的长.(3) 求 sin∠BAC 的值.
4、如图，△ABC 中，cosB= ，sinC= ，AC=5，则△ABC 的面积是（）
A． B．12 C．14 D．21 5、如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 0，∠AOB=60°，AB=5，则 AD 的长是（）
A．5 B．5 C．5 D．10 6、如图是教学用直角三角板，边 AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC= ，则边 BC 的长为（）
北师大版九年级数学下册第一章 1.4 解直角三角形同步练习
一、选择题 1、在直角三角形 ABC 中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则 AC=（） A．3sin40° B．3sin50° C．3tan40° D．3tan50°
2、在 Rt△ACB 中，∠C=90°，AB=10，sinA= ，cosA= ，tanA= ，则 BC 的长为（）
A．75cm2 B．（25+25 ）cm2 C．（25+
）cm2 D．（25+
）cm2
二、填空题
15、在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 AB=4，sinA= ，则斜边上的高等于_______.
16、如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠C=90°，AC=6，D 是 AC 上一点，若 tan∠DBA= ，则 AD 的长是_______.
25、如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点 D 为 AC 中点，点 E 为边 AB 上一动点，点 F 为射线 BC 上一动点，且∠FDE＝90°. (1)当 DF∥AB 时，连接 EF，求 tan∠DEF 的值; (2)当点 F 在线段 BC 上时，设 AE＝x，BF＝y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围; (3)连接 CE，若△CDE 为等腰三角形，求 BF 的长.