高一数学：2.2.3直线与圆,圆与圆的位置关系 课件 (北师大必修2)(2)
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2.2.3.2 圆与圆的位置关系 课件(北师大必修2)
7．(2012· 福建三明市高一检测)已知圆C：(x－3)2＋ (y－4)2＝4， (1)若直线l1过定点A(1,0)，且与圆C相切，求l1的 方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x＋y－2＝0
上，且与圆C外切，求圆D的方程． 解：(1)①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1， 符合题意．②若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝ k(x－1)，即kx－y－k＝0.
a＝1.
答案：1
[例3]
过两圆x2＋y2－4＝0和x2－4x＋y2＝0的交点，且
圆心在直线x－ 3y－6＝0上的圆的方程． [思路点拨] 求出交点，再求圆心和半径得圆的方程．
[精解详析]
法一：
x2＋y2－4＝0， 由 2 2 x ＋y －4x＝0， x＝1， 得 y＝ 3， x＝1， 或 y＝－ 3，
解得a＝3，或a＝－2， ∴D(3，－1)或D(－2,4)． ∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝9或(x＋2)2＋ (y－4)2＝9.
1．讨论圆与圆的位置关系问题，一般有两种方 法，即代数法和几何法，代数法有时比较麻烦且只提 供交点的个数；几何法就比较简洁，只要将圆心距d 与|r1－r2|，r1＋r2比较即可得出位置关系．
2．求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两个
圆的方程相减即可．而在求两圆的公共弦长时，则应注 意数形结合思想方法的灵活运用. 3.过圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆x2＋y2＋D2x＋ E2y＋F2＝0交点的圆方程可设为(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1) ＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，这就是过两圆交 点的圆系方程，特别地，λ＝－1时，为两圆公共弦的方 程．
当| 50－k－1|＝5，即 50－k＝6， k＝14时，两圆内切． 当14<k<34时，则4< 50－k<6， 即r2－r1<|C1C2|<r1＋r2，时，两圆相交． 当34<k<50时，则 50－k<4， 即 50－k＋1<|C1C2|时，两圆相离．
2.2.3.2 圆与圆的位置关系 课件(北师大必修2)
[通一类] 4．已知直线l：4x＋3y－2＝0和圆C：x2＋y2－12x－ 2y－13＝0相交于A、B两点，求过A、B两点的圆 中面积最小的圆的方程．
4x＋3y－2＝0， 解：法一：联立方程 2 2 x ＋y －12x－2y－13＝0， x＝－1， 解得 y＝2， x＝5， 或 y＝－6，
(3)法一：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， 2 x ＋y2＋2x＋2y－8＝0，
① ② ③
两式相减得 x＝2y－4.
把③代入②得 y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.
x ＝－4， 1 ∴ y1＝0， x ＝0， 2 或 y2＝2，
[自主解答]
x2＋y2＋6x－4＝0， 法一：解方程组 2 2 x ＋y ＋6y－28＝0，
得两圆的交点 A(－1,3)、B(－6，－2)． 设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线 x－y－4＝0 上，故 b＝a－4. 则有 a＋12＋a－4－32＝ a＋62＋a－4＋22，
[错因]
上述错解只考虑了圆心在直线y＝0上方
的情形，而漏掉了圆心在直线y＝0下方的情形，另外
错解没有考虑两圆内切的情况，也是不全面的． [正解] 由题意，设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2
＝r2，圆心为C，又圆C与直线y＝0相切且半径为4，故圆
心C的坐标为(a,4)或(a，－4)．又因为圆x2＋y2－4x－2y－
所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)． ∴两圆的公共弦长为 －4－02＋0－22＝2 5.
法二：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， 2 x ＋y2＋2x＋2y－8＝0，
两式相减得x－2y＋4＝0，即为两圆相交弦所在直线 的方程． 由x2＋y2－2x＋10y－24＝0， 得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
2.3 第一课时 直线和圆的位置关系课件(北师大版数学必修2)
2
①当直线AB⊥x轴时，∵l过(4，－4)， ∴AB方程为x＝4，点C(1,2)到l的距离d＝|4－1|＝3， 满足题意． ②当AB与x轴不垂直时，设方程为 y＋4＝k(x－4)，即kx－y－4k－4＝0. |k－2－4k－4| 3 ∴d＝ ＝3，解得k＝－4. k2＋－12 3 ∴l的方程为y＋4＝－4(x－4)，即3x＋4y＋4＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y＋4＝0.
根据直线与圆的方程能判断直线和圆的位置关 系，那么根据两个圆的方程能否判断它们的位置关系？
问题1：从两圆的交点个数上看，两圆有几种位
置关系？ 提示：三种．即相交、相切和相离．
问题2：从两圆具体位置来看，两圆的位置关系 应有几种？相交时两圆圆心距与两圆半径有什么关系？ 提示：五种，相交时，|r1－r2|<d<r1＋r2. 问题3：用两圆的方程组成的方程组有一解或无 解时能否准确判定两圆的位置关系？ 提示：不能．当两圆方程组成的方程组有一解 时，两圆有外切、内切两种可能情况，当方程组无解时， 两圆有相离、内含两种可能情况．
r相比较，相比代数法，几何法显得要更方便些．
[例1]
当m为何值时，直线mx－y－1＝0与圆
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2＋y2－4x＝0相交、相切、相离？
[思路点拨] 利用代数法或几何法求解．代数法
注意判别式与交点个数的关系，几何法则要对圆心到直 线的距离与圆的半径的大小作比较．
[精解详析] 方程并化简得
法一：将直线mx－y－1＝0代入圆的
消去y，
得x2－3x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝1. 故交点坐标为(2,0)，(1,3).
[例2]
圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，
且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程．
①当直线AB⊥x轴时，∵l过(4，－4)， ∴AB方程为x＝4，点C(1,2)到l的距离d＝|4－1|＝3， 满足题意． ②当AB与x轴不垂直时，设方程为 y＋4＝k(x－4)，即kx－y－4k－4＝0. |k－2－4k－4| 3 ∴d＝ ＝3，解得k＝－4. k2＋－12 3 ∴l的方程为y＋4＝－4(x－4)，即3x＋4y＋4＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y＋4＝0.
根据直线与圆的方程能判断直线和圆的位置关 系，那么根据两个圆的方程能否判断它们的位置关系？
问题1：从两圆的交点个数上看，两圆有几种位
置关系？ 提示：三种．即相交、相切和相离．
问题2：从两圆具体位置来看，两圆的位置关系 应有几种？相交时两圆圆心距与两圆半径有什么关系？ 提示：五种，相交时，|r1－r2|<d<r1＋r2. 问题3：用两圆的方程组成的方程组有一解或无 解时能否准确判定两圆的位置关系？ 提示：不能．当两圆方程组成的方程组有一解 时，两圆有外切、内切两种可能情况，当方程组无解时， 两圆有相离、内含两种可能情况．
r相比较，相比代数法，几何法显得要更方便些．
[例1]
当m为何值时，直线mx－y－1＝0与圆
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2＋y2－4x＝0相交、相切、相离？
[思路点拨] 利用代数法或几何法求解．代数法
注意判别式与交点个数的关系，几何法则要对圆心到直 线的距离与圆的半径的大小作比较．
[精解详析] 方程并化简得
法一：将直线mx－y－1＝0代入圆的
消去y，
得x2－3x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝1. 故交点坐标为(2,0)，(1,3).
[例2]
圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，
且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程．
2.3 第一课时 直线和圆的位置关系课件(北师大版数学必修2)
[思路点拨]
可利用点斜式设出直线方
程，利用弦心距、半径、半弦长构成的直角 三角形求解．
[精解详析]
如图所示，
作OC⊥AB于C，连接OA，则AB＝6 2 ， OA＝2 5. 在Rt△OAC中，|OC|＝ 20－3 22＝ 2. 显然直线的斜率存在，设所求直线的斜率为k，则直 线的方程为y＋4＝k(x－6)， 即kx－y－6k－4＝0.
还记得巴金的《海上日出》吧，随着作家
的描写，我们领略到海上日出的壮丽景象．实
际上，日出是一个不断变化的动态过程，如果
把太阳(透视图)看作一个圆，把海平面(透视图)看作一条直
线，太阳升起的过程中与海平面的位置关系就是直线与圆的
位置关系的最好例证．
问题1：在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关 系？ 提示：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系， 来判断，即直线与圆相交⇔d<r； 直线与圆相切⇔d＝r
直线与圆相离⇔d>r.
x2＋y2＝9， 问题2：方程组 3x＋4y－5＝0.
有解吗？
提示：由方程组得 0.
25x2－30x－119＝
∵Δ＝302＋100×119>0， ∴方程组有解．
问题3：圆x2＋y2＝9的圆心到直线3x＋4y－
5＝0的距离是多少？
5 提示：d＝5＝1.
问题4：根据问题2，问题3，可知直线3x＋4y－5
[一点通]
直线与圆的位置关系的两种判定方
法：代数法与几何法．直线与圆的位置关系是本节的重 点内容，也是高考重点考查内容之一．用方程研究直线 与圆的位置关系体现了解析几何的基本思想．判定直线
与圆的位置关系主要看交点个数，判别式法中方程组解
的个数即交点个数，而几何法利用数形结合更易判断，
2.3 第一课时 直线和圆的位置关系课件(北师大版数学必修2)
[思路点拨]
可利用点斜式设出直线方
程，利用弦心距、半径、半弦长构成的直角 三角形求解．
[精解详析]
如图所示，
作OC⊥AB于C，连接OA，则AB＝6 2 ， OA＝2 5. 在Rt△OAC中，|OC|＝ 20－3 22＝ 2. 显然直线的斜率存在，设所求直线的斜率为k，则直 线的方程为y＋4＝k(x－6)， 即kx－y－6k－4＝0.
1．判断直线和圆的位置关系主要利用几何法：圆
心到直线的距离与半径的大小关系．
2．和直线与圆的位置关系相关的一些问题也要掌
握，典型的是弦长和切线问题．弦长问题一般是利用勾股 定理，也可用弦长公式或解交点坐标；切线问题主要是利 用圆心到切线的距离等于半径．
3．在解决直线和圆的位置关系时，应充分
利用数形结合和分类讨论的思想．运用数形结合时
根据直线与圆的方程能判断直线和圆的位置关 系，那么根据两个圆的方程能否判断它们的位置关系？
问题1：从两圆的交点个数上看，两圆有几种位
置关系？ 提示：三种．即相交、相切和相离．
问题2：从两圆具体位置来看，两圆的位置关系 应有几种？相交时两圆圆心距与两圆半径有什么关系？ 提示：五种，相交时，|r1－r2|<d<r1＋r2. 问题3：用两圆的方程组成的方程组有一解或无 解时能否准确判定两圆的位置关系？ 提示：不能．当两圆方程组成的方程组有一解 时，两圆有外切、内切两种可能情况，当方程组无解时， 两圆有相离、内含两种可能情况．
2．已知直线l：3x＋y－6＝0和圆C：x2＋y2－2y－4＝0，
判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求出它们
交点的坐标．
解：法一：由直线与圆的方程得
3x＋y－6＝0， 2 x ＋y2－2y－4＝0.
2.2.3.1 直线与圆的位置关系 课件(北师大必修2)
[研一题]
[例2]
求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2
－2y－4＝0截得的弦长．
[自主解答]
法一：由直线l与圆C的方程，
3x＋y－6＝0， 得 2 2 x ＋y －2y－4＝0，
消去y得x2－3x＋2＝0. 设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根与系数的关系有x1＋x2＝3，x1·2＝2， x
[自主解答] (1)圆的方程 x2＋y2＋2x＋4y－4 ＝0 可化为 (x＋1)2＋(y＋2)2＝9， 圆心(－1，－2)，半径为 3. |－1－2| 3 2 圆心到直线的距离 d＝ ＝ <3， 2 1＋1
∴直线与圆有两个公共点．
x＋y＝0， 2 x ＋y2＋2x＋4y－4＝0，
形，数形结合利用勾股定理得到．
[通一类]
2．(2012· 临沂高一检测)已知关于 x，y 的方程 C：x ＋y － 2x－4y＋m＝0， (1)当 m 为何值时，方程 C 表示圆． (2)若圆 C 与直线 l：x＋2y－4＝0 相交于 M，N 两点， 4 且|MN|＝ ，求 m 的值． 5
2 2
解：(1)方程C可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m.显然 5－m＞0，即m＜5时，方程C表示圆． (2)圆的方程化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m圆心 C(1,2)，半径r＝ 5－m. 则圆心C(1,2)到直线l：x＋2y－4＝0的距离d＝ |1＋2× 2－4| 1 . 2 2 ＝ 5 1 ＋2
4 1 2 ∵|MN|＝ ，∴ |MN|＝ . 2 5 5 1 根据圆的性质有r ＝d ＋( |MN|)2， 2
2 2
1 2 2 2 ∴5－m＝( ) ＋( ) ，得m＝4. 5 5
【数学】2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 课件(北师大必修2)
解答
2 2 圆 ( x 1 ) ( y 1 ) 4 上到直线 3 x 4 y 6 0
的距离为 2 的点共有 ____ 2 个。
圆与圆的位置关系有几种？
在等圆的前提下有四 种，一般情况下有五种
圆与圆的 五 种 位置关系
两圆无公共点
R O1 r O2
O
1
R
O
r
2
外离
两圆仅有一公共点
C.x-y-3=0
例.己知圆C: x2+y2－2x－4y－20=0, 直线l: (2m+1)x+(m+1)y－7m－4=0(m∈R)
(1)证明: 无论m取何值 直线l与圆C恒相交.
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长,及此时 直线l的方程.
分析: 若直线经过圆内 的一定点，那么该直线 必与圆交于两点，因此 可以从直线过定点的角 度去考虑问题.
C.5
D. 5.5
2、M(3.0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点，则过点M最长的弦 所在的直线方程是( C )
A.x+y-3=0
A.相交
D.2x+y-6=0 3、直线l: x sina+y cosa=1与圆x2+y2=1的关系是（B ）
B.相切 C. 相离 D.不能确定
B. 2x-y-6=0
直线与圆的位置关系
把直线方程与圆的方程联立成方程组 利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程 求出其Δ 的值 比较Δ 与0的大
切 ;当Δ >0时,直线与圆相交。
直线与圆部分练习题
1、从点P(x.3)向圆（x+2)2+(y+2)2=1作切线，则切线长度的最 小值是（B ） A. 4 B. 2 6
2-2-3直线与圆、圆与圆的位置关系(二)课件(北师大版必修二)
自学导引 1．判断圆与圆的位置关系 (1)几何法： O1： 圆 (x－x1)2＋(y－y1)2＝r2(r1＞0)， O2： 圆 (x－x2)2 1 ＋ (y － y2)2 ＝ r 2 (r2 ＞ 0) ， 两 圆 的 圆 心 距 d ＝ |O1O2| ＝ 2 x1－x22＋y1－y22， d＞r1＋r2⇔圆 O1 与圆 O2 相离，如图①所示； d＝r1＋r2⇔圆 O1 与圆 O2外切 ，如图②所示； |r1－r2|＜d＜r1＋r2⇔圆 O1 与圆 O2相交，如图③所示； d＝|r1－r2|⇔圆 O1 与圆 O2内切，如图④所示； d＜|r1－r2|⇔圆 O1 与圆 O2 内含，如图⑤所示．
规律方法
判断两圆的位置关系有两种方法：一是解由两圆方
程组成的方程组，若方程组无实数解，则两圆相离；若方程组 有两组相同的实数解，则两圆相切；若方程组有两组不同的实 数解， 则两圆相交； 二是通过讨论两圆半径与圆心距的关系． 第 一种方法在计算上比较繁琐，因此一般采用第二种方法．
【变式 1】 当实数 k 为何值时，两圆 C1：x2＋y2＋4x－6y＋12 ＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0 相交、相切、相离？ 解 将两圆的一般方程化为标准方程， C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k， 圆 C1 的圆心为 C1(－2,3)，半径 r1＝1； 圆 C2 的圆心为 C2(1,7)，半径 r2＝ 50－k(k＜50)． 从而|C1C2|＝ －2－12＋3－72＝5.
3．两圆相交时公共弦长的求法． (1)若两圆相交时， 把两圆的方程作差消去 x2 和 y2 就得到两圆的 公共弦所在的直线方程． (2)求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再 结合勾股定理求弦长．
2.2.3.2 圆与圆的位置关系 课件(北师大必修2)
所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)． ∴两圆的公共弦长为 －4－02＋0－22＝2 5.
法二：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， 2 x ＋y2＋2x＋2y－8＝0，
两式相减得x－2y＋4＝0，即为两圆相交弦所在直线 的方程． 由x2＋y2－2x＋10y－24＝0， 得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
(3)法一：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， 2 x ＋y2＋2x＋2y－8＝0，
① ② ③
两式相减得 x＝2y－4.
把③代入②得 y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.
x ＝－4， 1 ∴ y1＝0， x ＝0， 2 或 y2＝2，
1 1 7 解得 a＝ ，故圆心为( ，－ )， 2 2 2 半径为 1 7 2 ＋1 ＋－ －32＝ 2 2 89 . 2
12 7 2 89 故圆的方程为(x－ ) ＋(y＋ ) ＝ ， 2 2 2 即 x2＋y2－x＋7y－32＝0.
法二：∵圆x2＋y2＋6y－28＝0的圆心(0，－3)不在直 线x－y－4＝0上， 故可设所求圆的方程为 x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)， 3 3λ 其圆心为(－ ，－ )，代入x－y－4＝0， 1＋λ 1＋λ 求得λ＝－7. 故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
∴A(－1,2)、B(5，－6)． 要使过 A，B 的圆的面积最小，则需以 AB 为直径， ∴圆心是 AB 的中点 M(2，－2)， －1－52＋2＋62 1 半径 r＝ |AB|＝ ＝5， 2 2 ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
法二：设所求圆的方程为： x2＋y2－12x－2y－13＋λ(4x＋3y－2)＝0， 即x2＋y2＋(4λ－12)x＋(3λ－2)y－13－2λ＝0， 12－4λ 2－3λ ∴圆心坐标为( ， )． 2 2 12－4λ 2－3λ ∴当圆心( ， )在l上时面积最小， 2 2 12－4λ 2－3λ ∴4× ＋3× －2＝0，解得λ＝2， 2 2 ∴所求圆的方程为x2＋y2－4x＋4y－17＝0.
2.2.3.2 圆与圆的位置关系 课件(北师大必修2)
联立得两交点坐标A(－1,2)、B(5，－6)． ∵所求圆以AB为直径， ∴圆心是线段AB的中点M(2，－2)， 1 圆的半径为r＝ |AB|＝5. 2 于是所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
[研一题] [例3] 求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋
6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的 方程．
[自主解答] 对圆 C1、C2 的方程，经配方 后可得： C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心 C1(a,1)，r1＝4， C2(2a,1)，r2＝1， ∴|C1C2|＝ a－2a2＋1－12＝a.
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切， 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交． (3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离． 当|C1C2|＜3，即a＜3时，两圆内含．
注意：当两圆相切时，公共弦所在直线即为两 圆的公切线．
[通一类]
2．已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2－
6x＋2y－40＝0相交，圆C过原点，半径为 10 ，圆
心在已知两圆圆心连线的垂直平分线上，求圆C的
方程．
解：设圆 C1 与圆 C2 交于 A，B 两点，由两圆的方程 相减，得 x＋3y－10＝0，此方程即为公共弦 AB 所在的 直线方程． 由已知，圆 C 的圆心 C 在两圆圆心连线的垂直平分 线上，即在直线 AB 上，设 C(a，b)，则 a＋3b－10＝0①， 又由|CO|＝ 10，得 a2＋b2＝10②， ①②联立，解得 a＝1，b＝3. 所以，圆 C 的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.
2.2.3.1 直线与圆的位置关系 课件(北师大必修2)
[悟一法] 经过圆内一点的圆的切线不存在；经过圆上一 点的圆的切线有一条；经过圆外一点的圆的切线有 两条，若只求出一条，则说明另一条切线的斜率不 存在，切线为x＝x0的形式．
[通一类] 3．若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1 相切，求直线l的方程． 解：①若直线l的斜率存在，
|AB|＝ x1－x22＋y1－y22 ＝ x1－x22＋[－3x1＋6－－3x2＋6]2 ＝ 1＋32x1－x22＝ 10[x1＋x22－4x1x2] ＝ 10×32－4×2＝ 10. ∴弦 AB 的长为 10.
法二：圆 C：x2＋y2－2y－4＝0 可化为 x2＋(y－1)2＝5. 其圆心坐标为 C(0,1)，半径 r＝ 5， |3×0＋1－6| 10 点 C(0,1)到直线 l 的距离为 d＝ ＝ ， 2 2 2 3 ＋1 |AB| 所以半弦长 ＝ r2－d2＝ 2 所以弦长|AB|＝ 10. 10 2 10 5 － ＝ . 2 2
则其方程为y＋1＝k(x－4)， 即kx－y－4k－1＝0. 圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝9. 圆心为(－1,2)，半径为3. ∵l是圆的切线，
|－5k－3| ∴ ＝3，∴8k2＋15k＝0. k2＋1 15 ∴k＝0或k＝－ ，代入kx－y－4k－1＝0并 8 整理，得切线方程为y＝－1或15x＋8y－52＝0.
y＝x＋5， 2 x ＋y2＋2x－4y＋3＝0，
消去 y 得 x2＋4x＋4＝0， ∴x＝－2，y＝3，∴切点(－2,3)．
(3)圆的方程化为(x－2)2＋(y＋1)2＝1， 圆心(2，－1)，半径长为1， |2－1－3| 圆心到直线的距离d＝ 2 2 ＝ 2>1， 1 ＋1 ∴直线与圆相离．
《圆与圆的位置关系》课件2 (北师大版必修2)
复习：
（1）点与圆有哪几种位置关系？ 如何判断？
（2）直线与圆有哪几种位置关系？ 如何判断？
问题：两个圆有哪几种位置关
系呢？如何判断？
后退 前进
注：d是指点到圆心的距离
点在圆外
d>R
点在圆上
d=R
点在圆内
d<R
后退 前进
注：d是指圆心到直线的距离
相离
d>R
相切
d=R
相交
d<R
返回 后退 前进
x 2 7 x 12 0 的两根， （3）两圆的半径为 且圆心距为8，则两圆 外离
后退 前进
例1、如图 O 的半径为5cm，P是 O 外一点， OP=8cm，求 （1）以 P为圆心作 P 与 O 外切，小圆 的半径是多少？ （2）以 P为圆心作 P 与 O 内切，大圆 的半径是多少？
两个圆有一个公共点
两个圆没有公共点
后退 前进
两个圆没有公共点
两圆外离 两圆内含
两个圆有一个公共点
两圆外切
相切 两圆内切
后退 前进
两圆外离
两个圆没有公共点，并且每个 圆上的点都在另一个圆的外部 两个圆有一个公共点，并且除 了这个公共点以外，每个圆上 的点都在另一个圆的外部 两个圆有两个公共点 两个圆有一个公共点，并且除 了这个公共点以外，一个圆上 的点都在另一个圆的内部 两个圆没有公共点 （两圆同心是内含的特例）后退 前进
两圆内切
两圆内含
d 指 圆 心 距
后退 前进
练习一：填表 o2 o1
的半径
4 7 2 4 5 3 4 5 2
的半径
圆心距d 9 8
两圆的位 置关系
（1）点与圆有哪几种位置关系？ 如何判断？
（2）直线与圆有哪几种位置关系？ 如何判断？
问题：两个圆有哪几种位置关
系呢？如何判断？
后退 前进
注：d是指点到圆心的距离
点在圆外
d>R
点在圆上
d=R
点在圆内
d<R
后退 前进
注：d是指圆心到直线的距离
相离
d>R
相切
d=R
相交
d<R
返回 后退 前进
x 2 7 x 12 0 的两根， （3）两圆的半径为 且圆心距为8，则两圆 外离
后退 前进
例1、如图 O 的半径为5cm，P是 O 外一点， OP=8cm，求 （1）以 P为圆心作 P 与 O 外切，小圆 的半径是多少？ （2）以 P为圆心作 P 与 O 内切，大圆 的半径是多少？
两个圆有一个公共点
两个圆没有公共点
后退 前进
两个圆没有公共点
两圆外离 两圆内含
两个圆有一个公共点
两圆外切
相切 两圆内切
后退 前进
两圆外离
两个圆没有公共点，并且每个 圆上的点都在另一个圆的外部 两个圆有一个公共点，并且除 了这个公共点以外，每个圆上 的点都在另一个圆的外部 两个圆有两个公共点 两个圆有一个公共点，并且除 了这个公共点以外，一个圆上 的点都在另一个圆的内部 两个圆没有公共点 （两圆同心是内含的特例）后退 前进
两圆内切
两圆内含
d 指 圆 心 距
后退 前进
练习一：填表 o2 o1
的半径
4 7 2 4 5 3 4 5 2
的半径
圆心距d 9 8
两圆的位 置关系
2-2-3直线与圆、圆与圆的位置关系(二)课件(北师大版必修二)
(2)过两圆交点的直线 设圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.② ①－②得：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，③ 若圆 C1 与圆 C2 相交， 则③为过两圆交点的弦所在的直线方程． 若圆 C1 与圆 C2 半径相等，则③表示两圆的对称轴，事实上， 可以证明直线③过两圆连心线的中点且与两圆连心线垂直．
y＋1 x＋1 (2)圆心 C2(1，－5)，过 C1，C2 的直线方程为 ＝ ，即 －5＋1 1＋1 2x＋y＋3＝0.
2x＋y＋3＝0， 由 y＝－x，
得所求圆的圆心为(－3,3)，
|－3－6＋4| 它到 AB 的距离为 d＝ ＝ 5， 5 ∴所求圆的半径为 5＋5＝ 10， ∴所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10.
当 1＋ 50－k＝5，k＝34 时，两圆外切． 当| 50－k－1|＝5， 50－k＝6，k＝14 时，两圆内切． 当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1， 即 14＜k＜34 时，两圆相交． 当 1＋ 50－k＜5 或| 50－k－1|＞5， 即 k＜14 或 34＜k＜50 时，两圆相离．
2．圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系． (1)与直线系方程一样，了解一些常见的圆系方程可以帮助我们 简化解题思路． ①同心圆系： 与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 同心的圆系方程为 x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋λ＝0.
②相交圆系：过两圆 x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 与 x2＋y2＋D2x ＋E2y＋F2 ＝0 的交点的圆系方程为(x2 ＋y2 ＋D1x＋E1y＋F1)＋ λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．λ＝－1 时为两圆公共弦 所在直线方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0，特别地，两 圆相切时，此方程表示两圆的公切线方程． ③过直线 l：Ax＋By＋C＝0 与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋ E2－4F＞0)的交点的圆系方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋ By＋C)＝0.
高一数学：2.2.3直线与圆-圆与圆的位置关系-课件-(北师大必修2)
轮船
二、新授讲解 1、直线与圆相离、相切、相交的定义。
切点
切线
交点
交点 割线
相离
相切
相交
直线和圆的位置关系是用直线和圆的公共点的个数来定义的，
直线与圆没有公共点------直线和圆相离;
只有一个公共点 -----------直线和圆相切; 有两个公共点--------直线和圆相交。
2、用圆心到直线的距离和圆半径的数量关系，来 判断圆和直线的位置关系。(几何性质)
|AB|的值
解法三：（弦长公式）
y
由
y x x2 y2
1
消 4
去
y
B
得 2x2 2x 3 0
x1
x2
1,
x1 x 2
3 2
A
O
x
| A B | (1 k 2 )[( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 ]
(1 12 )[( 1) 2 4 ( 3 )] 1 4 2
r o
d l
r o
dl
（1）直线l 和⊙O相 离
d>r
（2）直线l 和⊙O相切
d=r
（3）直线l 和⊙O相交
d<r
r
od
l
3.代数性质:
设圆 C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，直线 L的方程为Ax+By+C=0，
(x-a)2+(y-b)2=r2
Ax+By+C=0
(1)△＞0 直线与圆相交； (2)△=0 直线与圆相切； (3)△＜0 直线与圆相离.
高一数学：2.2.3直线 与圆-圆与圆的位置关 系-课件-(北师大必修2)
一、复习提问
1、点和圆的位置关系有几种？
二、新授讲解 1、直线与圆相离、相切、相交的定义。
切点
切线
交点
交点 割线
相离
相切
相交
直线和圆的位置关系是用直线和圆的公共点的个数来定义的，
直线与圆没有公共点------直线和圆相离;
只有一个公共点 -----------直线和圆相切; 有两个公共点--------直线和圆相交。
2、用圆心到直线的距离和圆半径的数量关系，来 判断圆和直线的位置关系。(几何性质)
|AB|的值
解法三：（弦长公式）
y
由
y x x2 y2
1
消 4
去
y
B
得 2x2 2x 3 0
x1
x2
1,
x1 x 2
3 2
A
O
x
| A B | (1 k 2 )[( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 ]
(1 12 )[( 1) 2 4 ( 3 )] 1 4 2
r o
d l
r o
dl
（1）直线l 和⊙O相 离
d>r
（2）直线l 和⊙O相切
d=r
（3）直线l 和⊙O相交
d<r
r
od
l
3.代数性质:
设圆 C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，直线 L的方程为Ax+By+C=0，
(x-a)2+(y-b)2=r2
Ax+By+C=0
(1)△＞0 直线与圆相交； (2)△=0 直线与圆相切； (3)△＜0 直线与圆相离.
高一数学：2.2.3直线 与圆-圆与圆的位置关 系-课件-(北师大必修2)
一、复习提问
1、点和圆的位置关系有几种？
2.2.3.2 圆与圆的位置关系 课件(北师大必修2)
位置关系
满足条件
图示
两圆内含
d < |r1－r2|
[小问题·大思维]
1．当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆是否一定相离？ 只有一组解时，一定外切吗？ 提示：不一定．当两圆组成的方程组无解时，两圆无公共
点，两圆可能相离也可能内含；只有一组解时，两圆只有
一个公共点，两圆相切，可能外切，也可能内切． 2．圆A：x2＋y2－8x＋7＝0和圆B：x2＋y2＋8x＋7＝0的位置 关系如何？ 提示：外离．圆A，圆心(4,0)，半径3.圆B，圆心(－4,0)，半
[通一类] 4．已知直线l：4x＋3y－2＝0和圆C：x2＋y2－12x－ 2y－13＝0相交于A、B两点，求过A、B两点的圆 中面积最小的圆的方程．
4x＋3y－2＝0， 解：法一：联立方程 2 2 x ＋y －12x－2y－13＝0， x＝－1， 解得 y＝2， x＝5， 或 y＝－6，
(3)法一：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， 2 x ＋y2＋2x＋2y－8＝0，
① ② ③
两式相减得 x＝2y－4.
把③代入②得 y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.
x ＝－4， 1 ∴ y1＝0， x ＝0， 2 或 y2＝2，
求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直
线y＝0相切的圆的方程．
[错解] 由题意知，所求圆与直线y＝0相切且半
径为4，设其圆心C的坐标为(a,4)，且其方程为 (x－a)2＋(y－4)2＝42， 又圆x2＋y2－4x－2y－4＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝32， 其圆心为A(2,1)，半径为3. 由两圆相切，得|CA|＝3＋4， 所以(a－2)2＋(4－1)2＝72， 解得a＝2± 10， 2 所以所求圆的方程为(x－2－2 或(x－2＋2 10)2＋(y－4)2＝16. 10 )2＋(y－4)2＝16
2.2.3.2 圆与圆的位置关系 课件(北师大必修2)
联立得两交点坐标A(－1,2)、B(5，－6)． ∵所求圆以AB为直径， ∴圆心是线段AB的中点M(2，－2)， 1 圆的半径为r＝ |AB|＝5. 2 于是所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
[研一题] [例3] 求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋
6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的 方程．
3．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋
12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆的方程．
x2＋y2－12x－2y－13＝0， 解：联立两圆方程 2 2 x ＋y ＋12x＋16y－25＝0.
相减得公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0.
4x＋3y－2＝0， 再由 2 2 x ＋y －12x－2y－13＝0.
注意：当两圆相切时，公共弦所在直线即为两 圆的公切线．
[通一类]
2．已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2－
6x＋2y－40＝0相交，圆C过原点，半径为 10 ，圆
心在已知两圆圆心连线的垂直平分线上，求圆C的
方程．
解：设圆 C1 与圆 C2 交于 A，B 两点，由两圆的方程 相减，得 x＋3y－10＝0，此方程即为公共弦 AB 所在的 直线方程． 由已知，圆 C 的圆心 C 在两圆圆心连线的垂直平分 线上，即在直线 AB 上，设 C(a，b)，则 a＋3b－10＝0①， 又由|CO|＝ 10，得 a2＋b2＝10②， ①②联立，解得 a＝1，b＝3. 所以，圆 C 的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.
1 1 7 解得 a＝ ，故圆心为( ，－ )， 2 2 2 半径为 1 7 2 ＋1 ＋－ －32＝ 2 2 89 . 2
2.3 第一课时 直线和圆的位置关系课件(北师大版数学必修2)
解析：因为直线y＝x＋b与x2＋y2＝2相切， |b| ∴ ＝ 2. 2 ∴b＝± 2.
答案：B
4．已知直线l过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1
相 切，求直线l的方程． 解：经检验知，点P(2,3)在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1
的外部. ①若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y－3＝ k(x－2)． ∵直线l与圆相切， |k×1－－2－2k＋3| ∴ ＝1， 2 k ＋1
1．已知P(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2内，试判断直线x0x＋
y0y
＝R2与圆的位置关系． 解：∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2的内部，
2 ∴x2＋y0<R2. 0
又圆心O(0,0)到直线x0x＋y0y＝R2的距离为 |R2| R2 d＝ 2＝R， 2 2 > R x0 ＋y0 ∴直线x0x＋y0y＝R2与圆 x2＋y2＝R2相离．
根据直线与圆的方程能判断直线和圆的位置关 系，那么根据两个圆的方程能否判断它们的位置关系？
问题1：从两圆的交点个数上看，两圆有几种位
置关系？ 提示：三种．即相交、相切和相离．
问题2：从两圆具体位置来看，两圆的位置关系 应有几种？相交时两圆圆心距与两圆半径有什么关系？ 提示：五种，相交时，|r1－r2|<d<r1＋r2. 问题3：用两圆的方程组成的方程组有一解或无 解时能否准确判定两圆的位置关系？ 提示：不能．当两圆方程组成的方程组有一解 时，两圆有外切、内切两种可能情况，当方程组无解时， 两圆有相离、内含两种可能情况．
2
①当直线AB⊥x轴时，∵l过(4，－4)， ∴AB方程为x＝4，点C(1,2)到l的距离d＝|4－1|＝3， 满足题意． ②当AB与x轴不垂直时，设方程为 y＋4＝k(x－4)，即kx－y－4k－4＝0. |k－2－4k－4| 3 ∴d＝ ＝3，解得k＝－4. k2＋－12 3 ∴l的方程为y＋4＝－4(x－4)，即3x＋4y＋4＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y＋4＝0.
2.2.3.2 圆与圆的位置关系 课件(北师大必修2)
[悟一法] 1．针对这个类型的题目，常用的方法有两种：其一 是利用圆系方程，其二是利用圆的几何性质求圆心和半径， 这两种方法运算量小且简便适用． 2．若两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋
y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过这两圆交点的圆的方程
可表示为C3：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y ＋F2)＝0.(不含圆C2)
2x＋2y－8＝0. (1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度．准方程，
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50， C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10. 则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5 2； 圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝ 10. 又|C1C2|＝2 5，r1＋r2＝5 2＋ 10. r1－r2＝5 2－ 10. ∴r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，∴两圆相交． (2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－ 2y＋4＝0.
[通一类] 4．已知直线l：4x＋3y－2＝0和圆C：x2＋y2－12x－ 2y－13＝0相交于A、B两点，求过A、B两点的圆 中面积最小的圆的方程．
4x＋3y－2＝0， 解：法一：联立方程 2 2 x ＋y －12x－2y－13＝0， x＝－1， 解得 y＝2， x＝5， 或 y＝－6，
[错因]
上述错解只考虑了圆心在直线y＝0上方
的情形，而漏掉了圆心在直线y＝0下方的情形，另外
错解没有考虑两圆内切的情况，也是不全面的． [正解] 由题意，设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2
＝r2，圆心为C，又圆C与直线y＝0相切且半径为4，故圆
心C的坐标为(a,4)或(a，－4)．又因为圆x2＋y2－4x－2y－
2.3 第一课时 直线和圆的位置关系课件(北师大版数学必修2)
[思路点拨]
可利用点斜式设出直线方
程，利用弦心距、半径、半弦长构成的直角 三角形求解．
[精ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ详析]
如图所示，
作OC⊥AB于C，连接OA，则AB＝6 2 ， OA＝2 5. 在Rt△OAC中，|OC|＝ 20－3 22＝ 2. 显然直线的斜率存在，设所求直线的斜率为k，则直 线的方程为y＋4＝k(x－6)， 即kx－y－6k－4＝0.
12 解得k＝ 5 . 12 ∴所求直线l的方程为y－3＝ 5 (x－2)． 即12x－5y－9＝0. ②若直线l的斜率不存在，则直线x＝2也符合题意． ∴所求直线l的方程为x＝2. 综上可知，所求直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.
5．(2012· 兴义检测)求经过点(3,2)，圆心在直线y＝2x上，
1．判断直线和圆的位置关系主要利用几何法：圆
心到直线的距离与半径的大小关系．
2．和直线与圆的位置关系相关的一些问题也要掌
握，典型的是弦长和切线问题．弦长问题一般是利用勾股 定理，也可用弦长公式或解交点坐标；切线问题主要是利 用圆心到切线的距离等于半径．
3．在解决直线和圆的位置关系时，应充分
利用数形结合和分类讨论的思想．运用数形结合时
根据直线与圆的方程能判断直线和圆的位置关 系，那么根据两个圆的方程能否判断它们的位置关系？
问题1：从两圆的交点个数上看，两圆有几种位
置关系？ 提示：三种．即相交、相切和相离．
问题2：从两圆具体位置来看，两圆的位置关系 应有几种？相交时两圆圆心距与两圆半径有什么关系？ 提示：五种，相交时，|r1－r2|<d<r1＋r2. 问题3：用两圆的方程组成的方程组有一解或无 解时能否准确判定两圆的位置关系？ 提示：不能．当两圆方程组成的方程组有一解 时，两圆有外切、内切两种可能情况，当方程组无解时， 两圆有相离、内含两种可能情况．
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问题:一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气 象台的台风预报:台风中心位于轮船正西70KM处, 受影响的范围是半径为30KM的圆形区域.已知港 口位于台风中心正北40KM处,如果轮船不改变航 线,那么这艘轮船是否会受到台风的影响?
港口 轮船
二、新授讲解
1、直线与圆相离、相切、相交的定义。
切点 切线
d
| AB | 2 r 2 d 2 14
x
㈡应用提高
2．直线 y=x+1 与圆 |AB|的值
2 x 相交于A,B两点，求弦长 x 22 y 22 y 4 25 y 2 25 x
解法三：（弦长公式）
y
y x 1 由 2 消去y 2 x y 4 得2 x 2 2 x 3 0 3 x1 x2 1, x1 x2 2
㈡应用提高
2 2．已知直线 y=x+1 与圆 x 2x 2y 2 4 y 25
相交于A,B两点，
求弦长|AB|的值
解法一：（求出交点利用两点间距离公式） y
y x 1 由 2 消去y 2 x y 4 得2 x 2 2 x 3 0 1 7 1 7 A , x2 2 2 1 7 1 7 y1 , y2 2 2 1 7 1 7 1 7 1 7 A( , ), B ( , ) 2 2 2 2 | AB | 14 x1
解法二：
令 y x b , 即y x b 则b可视为直线y x b的截距 又x y 4表示一个圆，
2 2
y
O
x
由图象可知，切线的截距最大与最小， 易求得切线的截距为 2 2， y x的最大值为2 2，最小值为 2 2
四、课堂小结：
直线和圆的三种位置关系 直线与圆的位置关系 公共点个数
2
2
O
x
㈠方法探索
解法二(利用d与r的关系)：圆x2+y2=4的圆心为（0，0）,半径为r=2 圆心到直线的距离为 d
y
00b 2
b 2
O x
（1）当-2 2 <b<2 2 时，d<r, 直线与圆相交，
（2）当b=2 2 或b= -2 2 时, d=r, 直线与圆相切；
（3）当b>2 2 或b<-2 2 时，d>r，直线与圆相离。
2 x 2 2bx b 2 4 0 4b 2 8(b 2 4) 4(b 2 8) 0 2 2 b 2 2
y x的最大值为2 2，最小值为 2 2
㈢发散创新
3．已知实数x, y满足 x 2 y 2 4 ，求y-x的最大与最小值.
一、复习提问
1、点和圆的位置关系有几种？ 设点P(x0，y0)，圆(x-a)2+(y-b)2=r2, 圆心(a,b)到P(x0，y0)的距离为d,则 点在圆内(x0 -a)2+(y0 -b)2＜r2 d<r, 点在圆上 (x0 -a)2+(y0 -b)2=r2 d=r, 点在圆外(x0 -a)2+(y0 -b)2＞r2 d>r.
例1 已知直线l : 3x y 6 0和圆心为C的圆 x y 2 y 4 0, 试判断直线l与圆的位置
2 2
关系; 如果相交, 求它们交点的坐标.
例2已知过点M (3,3)的直线l被圆x y 4 y
2 2
21 0所截得的弦长为4 5 , 求直线l的方程.
O
B
x
㈡应用提高
x 2 xy 22 225 4 25 2．已知直线x-y+1=0与圆 2x y 2 相交于A,B两点，求弦长 y
|AB|的值
解二：解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形）
设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则
y B r O
2 d 2 1 (1) 2
A
1
交点
交点
割线
相交 直线和圆的位置关系是用直线和圆的公共点的个数来定义的，
相离
相切
直线与圆没有公共点------直线和圆相离;
只有一个公共点 -----------直线和圆相切;
有两个公共点--------直线和圆相交。
2、用圆心到直线的距离和圆半径的数量关系，来 判断圆和直线的位置关系。(几何性质)
方法1：定义 方法2：几何性质
圆心到直线的距离d与 半径r的大小关系
方法3：代数性质 设圆 C∶
2、相切
直线与圆有一个交点 (d=r)
(x-a)2+(y-b)2=r2，
直线L的方程为 Ax+By+C=0， (x-a)2+(y-b)2=r2 Ax+By+C=0
3、相交
直线与圆有两个交点 (d<r)
相交
相切
相离
2
交点
1
切点
0
无
公共点名称
直线名称 数量关系
割线
切线
无
d<r
d=r
d>r
总结：
直线和圆的位置关系及判断方法:
方法 关系
代数法
几何法
相离 相切
△＜0
△＝0 △＞0
r＜d
r＝d r ＞d
相交
判断方法：
1、相离
直线与圆没有交点
(d>r)
(1)△＞0 直线与圆相 交 (2)△=0 直线与圆相切 (3)△＜0 直线与圆相 离
A
O
B
x
| AB | (1 k 2 )[( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 ] 3 (1 1 )[( 1) 4 ( )] 14 2
2 2
㈢发散创新
3．已知实数x, y满足 x 2 y 2 4 ，求y-x的最大与最小值.
解法一：
设y-x=b则y=x+b,代入已知，得
㈠方法探索
y x b 解法一(利用△)：解方程组 2 x y2 4
消去 y 得： 2x +2bx+b -4=0 ①
方程①的判别式
2 2
y
⊿=(2b) -4×2(b -4)=4(2 2 +b)(2 2 - b).
当-2 2<b<2 2 时，⊿>0, 直线与圆相交； 当b=2 2 或 b=-2 2 时, ⊿=0, 直线与圆相切； 当b>2 2 或b<-2 2 时，⊿<0，直线与圆相离。
r o d l
r o d l d>r d=r d<r
r o d
l
（1）直 和⊙O相交
3.代数性质: 设圆 C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，直 线L的方程为Ax+By+C=0， (x-a)2+(y-b)2=r2 Ax+By+C=0
(1)△＞0 直线与圆相交； (2)△=0 直线与圆相切； (3)△＜0 直线与圆相离.