平面直角坐标系中求面积( 全)

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平面直角坐标系中如何求几何图形的面积

图1

图2

图3

平面直角坐标系中如何求几何图形的面积

一、求三角形的面积

1、有一边在坐标轴上或平行于坐标轴

例1：如图1，平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为（-3,0）、（0,3）、（0，-1），你

能求出三角形ABC 的面积吗

2、无边在坐标轴上或平行于坐标轴

例2：如图2，平面直角坐标系中，已知点A （-3，-1）、B （1,3）、C （2，-3），你能求出三角形ABC 的面积吗

归纳：求三角形面积的关键是确定某条边及这条边上的高，如果在坐标系中，某个三角形中有一条边在坐标轴上或平行于坐标轴，则根据这条边的两个顶点的坐标易求出这边的长，根据这条边的相对的顶点可求出他的高。

二、求四边形的面积

例3：如图3，你能求出四边形ABCD 的面积吗

分析：四边形ABCD 是不规则的四边形，面积不能直接求出，我们可以利用分割或补形来求。

归纳：会将图形转化为有边与坐标轴平行的图形进行计算。

怎样确定点的坐标

一、象限点

解决有关象限点问题的关键是熟记各象限的符号特征，由第一到底四象限点的符号特征分别为（+，+）、（-，+）、（-，-）、（+，-）。

例1：已知点M （a 3-9,1-a ）在第三象限，且它的坐标都是整数，则a =（）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、0

二、轴上的点

解决有关轴上点问题的关键是把握“0”的特征，x 轴上点的纵坐标为0，可记为（x ，0）；y 轴上点的横坐标为0，可记为（0，y ）；原点可记为（0,0）。

例2：点P （m+3,m+1）在直角坐标系的x 轴上，则P 点的坐标为（）

A 、（0，-2）

中考专题平面直角坐标系中求面积

图（3）
y
4
3
B1 (4,0) 2
1
O
A(2,1)
1 23 图（3）
4x
SOAB1
1 41 2
2
y
4
3
B2
(0,2)
2
1
A(2,1)
O
1 234
x
图（4）
S OAB2
1 2
2 2
2
Y
4
B3 (2,3)
3
2
A(2,1)
1
O
1
234
X
图（5）
SOAB3
1 2
2
2
2
y
4
N
B4 (4,4)
方
3
6y
5
4
C(1,3)
3
2
1
B(6,2)
-2 -1O -1
1
2 3 4 56 7 8
x
A(-1,-2)-2 -3
14
y
5 F(-14,3) C(1,3)
3
方法1
E(6,3)
B(6,2)
-2 2O 1 2 3 4 5
-1 -1 6 7 8
1
A(-1,-2)
D(6,-2)
x
2
15
y
5
4
C(1,3)

在平面直角坐标系中三角形面积的求法

在平面直角坐标系中，三角形面积的求法是一种基本的几何计算方法。本文将介绍两种常用的计算三角形面积的方法：海伦公式和向量法。

一、海伦公式

海伦公式是一种通过三角形的三条边长来计算其面积的方法。假设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可以通过以下公式来计算：

S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

其中，s为三角形的半周长，可以通过以下公式求得：

s = (a + b + c) / 2

通过海伦公式，我们可以很方便地计算任意三角形的面积。下面通过一个具体的例子来演示海伦公式的应用。

例：已知三角形的三个顶点坐标分别为A(1, 1)，B(2, 3)，C(4, 1)，求该三角形的面积。

计算三条边的长度：

AB = √((2-1)^2 + (3-1)^2) = √5

BC = √((4-2)^2 + (1-3)^2) = 2√2

AC = √((4-1)^2 + (1-1)^2) = 3

然后，计算半周长s：

s = (AB + BC + AC) / 2 = (√5 + 2√2 + 3) / 2

代入海伦公式求得三角形的面积：

S = √(s(s-AB)(s-BC)(s-AC))

将计算得到的数值代入公式，即可得到三角形的面积。

二、向量法

向量法是另一种计算三角形面积的常用方法。我们知道，三角形的面积可以通过任意两边的向量叉乘来计算。假设三角形的两条边的向量分别为a和b，则三角形的面积S可以通过以下公式来计算：

S = 1/2 * |a × b|

其中，|a × b|表示向量a和向量b的叉乘的模。

平面直角坐标系求面积

2.已知△ABC中，A(-1,-2),B(6,2),C(1,3),求△ABC的面积.
.
5 4 3 2 1 -4 -3A -2 -1 0 -1 -2 -3 -4
1 2 3B 4 5
6 5 4 3 2 1
y
C(1,3) B(6,2)
C
-2 -1 O -1 -2 A(-1,-2) -3
1
2 3 4
5 6 7 8
y
(2,0)
(-4,0) B
C
x
（若不限定A 的横坐标，求 A点的坐标又如何？）
10
点A在哪条直线上运动时, △ABC的面积保持不变？为什么？
y
A B (-4,0) O C
x (2,0)
11
1. 已知A(-2,0)，B（4，0），C（x,y).若点C在第四象限
上，且三角形ABC的面积=9，|x|=3,点C的坐标为
平面直角坐标系求面积
1.位于x轴上的点的坐标的特征是: 纵坐标为0；位于y轴上的点的坐标的特征是: 横坐标为0 . 2.已知P（a，b），则P到x轴的距离是 b ；到y轴的距离是 a .
2
1.进一步了解平面直角坐标系中点、图形与坐标的对应关系，会在平面直角坐标系中求简单图形的面积； 2．在平面直角坐标系中，会根据一个图形面积，求出图形某个顶点的坐标. 3. 体会数形结合的思想.

平面直角坐标系中求面积

20 3.25
谈谈我们的收获
1.等积变换
方法
2.割补法求面积
化复杂为简单
转化
化未知为已知
21
小结
一般的，在平面直角坐标系中，求已知顶点坐标地的多边形面积都可以通过割补的方法解决
3
方法3
E(6,3)
B(6,2)
-2 2O 1 2 3 4 5 -1 -1 6 7 8
1
A(-1,-2)
x
2
18
练习１.三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A（2，-1），B（1，-3），C（4，-3.5）。
y
（1）把三角形A1B1C1向右
7
平移4个单位，再向下平
6 5
移3个单位，恰好得到三
几种常见面积问题的求法
平面直角坐标系中求面积
一、自主学习
1、（1）已知点P在x轴上，且到y轴的距离为2，则点P的坐标为(_-_2_,_0_)_(_2_,_0_)
（2）已知点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点P的坐标为_(_4_,_3_)_(_-_4_,_3_)_(_4_,_-_3_)_(_-_4_,_-_3_)_
3
问题1 如图（1），△AOB的面积是多少？
y
4
B ຫໍສະໝຸດ Baidu0,3)
3
2
1
A (4,0)

在直角坐标系中求图形的面积

图形的面积可以利用相应的面积公式求得，但是在平面直角坐标系内的求面积问题，往往不直接给出边或高之类的条件，而是给出一些点的坐标.现对这类题目的解法举例说明如下：

一、计算三角形的面积

例1 如图1所示，三角形ABC 的三个顶点的坐标分别是A （-4，-3），B （0，-3），C （-2，1）.求三角形ABC 的面积.

分析：观察图形，在坐标系中读取三角形ABC 的一边的长度，和该边上的高的长度.因为AB ∥x 轴，所以AB 可以作为底边.

解：因为AB=0-（-4）=4，AB 边上的高为h=1-（-3）=4，所以

三角形ABC 的面积是：21AB ·h=2

×4×4=8.

评注：当两点在平行于x 轴的直线上时，两点之间的距离是两点的横坐标的差的绝对值；当两点在平行于y 轴的直线上时，两点之间的距离是两点的纵坐标的差的绝对值.

如果三角形中有一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，可以直接利用三角形的面积公式求解.

例2 如图2所示，在三角形AOB 中，A ，B ，C 三点的坐标分别为（-1，2），（-3，1），（0，-1），求三角形AOB 的面积.

分析：三角形的三边都不与坐标轴平行，根据平面直角系的特点，可以将三角形的面积转化为正方形EFCD 的面积减去多余的直角三角形的面积，即可求出此三角形的面积.

解：如图2，作正方形EFCD ，则该正方形的面积为EF ·FC=3×3=9.

因为三角形AEB 的面积是：21×AE ·EB=2

×2×1=1，三角形

BFC 的面积是：21BF ·FC=21×2×3=3，三角形ACD 的面积是：

如何求平面直角坐标系中三角形的面积

在平面直角坐标系中，求解三角形的面积是几何学中的基本问题之一。下面将介绍两种求解平面直角坐标系中三角形面积的方法。

方法一：行列式法

行列式法是一种常用的求解三角形面积的方法。设三角形的顶点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。

首先将三个顶点的坐标依次排列成行：

A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)

然后将A点的坐标复制到下方形成两行：

A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)

接下来按照主对角线往右上方的方向连线，并将相乘的结果写在对应的线上：

A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)

计算两条斜线上的乘积之和，再减去两条副对角线上的乘积之和，最后除以2即可得到三角形的面积。

行列式法的计算较为繁琐，但是适用于所有类型的三角形。

方法二：海伦公式

海伦公式是通过三角形的边长来求解三角形面积的一种方法。假设三角形的三边长度分别为a、b、c，半周长为p。

首先计算半周长p：p = (a + b + c) / 2

然后套用海伦公式进行计算：面积S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))海伦公式较为简单，适用于已知三边长度的情况。

根据不同的题目要求和数据提供的形式，可以选择适合的方法进行计算。总之，无论使用哪种方法，都可以准确求解平面直角坐标系中三角形的面积。

平面直角坐标系中三角形面积的计算

平面直角坐标系中三角形面积的计算设直角坐标系中的三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。我们可以利用向量的性质和行列式的方法求出三角形的面积。

首先，我们计算向量AB和向量AC的坐标分量分别为(u,v)和(w,z)。则有：

u=x2-x1

v=y2-y1

w=x3-x1

z=y3-y1

然后，根据向量的性质，可以计算向量AB与向量AC的叉积的大小，即面积的两倍：

2*面积=，u*z-v*w

最后，我们可以通过取绝对值并除以2来得到三角形的面积，即：面积=，u*z-v*w，/2

这就是通过向量的方法计算三角形面积的基本公式。

下面我们通过一个具体的例子来演示一下计算三角形面积的过程。

设直角坐标系中的三角形的三个顶点分别为A(2,3)，B(5,6)，

C(8,1)。我们将依次计算向量AB和向量AC的坐标分量：

u=5-2=3

v=6-3=3

w=8-2=6

z=1-3=-2

然后，根据公式面积=，u*z-v*w，/2，我们计算：

面积=，3*(-2)-3*6，/2=，-6-18，/2=24/2=12

所以，三角形ABC的面积为12平方单位。

除了向量方法，我们还可以使用行列式的方式来计算三角形的面积。

具体步骤如下：

1.将三个顶点的坐标按照行列式的顺序排列，构成一个3×3的矩阵：

x1y1

x2y2

x3y3

2.计算矩阵的行列式的值。

3.取行列式的绝对值并除以2，即为三角形的面积。

以上就是使用行列式方法计算三角形面积的基本步骤。

总结起来，平面直角坐标系中三角形的面积可以通过向量或行列式的

方法进行计算。这些方法都是基于向量叉积的性质和行列式的性质进行推

【初一方法归纳专题】平面直角坐标系中图形面积的求法

【初⼀⽅法归纳专题】平⾯直⾓坐标系中图形⾯积的求法Hello,各位⽼铁

周末愉快

应部分⽼铁的要求

今天分享

平⾯直⾓坐标系中⾯积的求法

好了

话不多说

~~上货~~

回顾篇——知识链接

1.⾯积公式：

（1）三⾓形的⾯积：S三⾓形＝1/2×底×⾼

（2）梯形的⾯积：S梯形＝1/2×（上底+下底）×⾼

2.两点间的距离：

（1）当两点横坐标相同时，两点间的距离为这两点纵坐标差的绝对值

（2）当两点纵坐标相同时，两点间的距离为这两点横坐标差的绝对值

基础篇——三⾓形⾯积的求法

题型1 三⾓形有⼀边在坐标轴上

【例1】如图，平⾯直⾓坐标系中，已知三⾓形ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（-

4，0），C（4，0），求三⾓形ABC的⾯积.

温馨提⽰：【思路及解答】请观看视频

【⽅法归纳】

当三⾓边有⼀边在坐标轴上时，将此边作为底边，那么⾼便垂直于坐标轴，底和⾼就能通过两

点间的距离很快求出.

题型2 三⾓形有⼀边与坐标轴平⾏

【例2】如图，平⾯直⾓坐标系中，已知三⾓形ABC的三个顶点的坐标分别是A（-1，-

4），B（2，0），C（-4，-4），求三⾓形ABC的⾯积.

温馨提⽰：【思路及解答】请观看视频

【⽅法归纳】

当三⾓边有⼀边与坐标轴平⾏时，将此边作为底边，那么⾼便垂直于坐标轴，底和⾼就能通过

两点间的距离很快求出.根据图形特殊，我们通常把平⾏于坐标轴的⼀边作为底边.

题型3 三⾓形三边均不与坐标轴平⾏

【例3】在如图所⽰的正⽅形⽹格中，每个⼩正⽅形的单位长度均为1，三⾓形ABC的三个顶点

恰好是正⽅形⽹格的格点.

（1）写出图中所⽰各顶点的坐标；

(完整版)平面直角坐标系中的面积问题

AD
44 2
8
（2）A（0,5），B（0,3），C（3,1）；
如图，过点C做CD⊥AB
∵A（0,5），B（0,3），C（3,1）
∴CD=3，AB=2
∴
SABC
1 ABCD 1 23 3
2
2
小结
平面直角坐标系中，求三角形的面积，关键在于找到平行x轴或平行y轴的线段作为规则图形的底和高。
问题3
• 如图，在平面直角坐标系中，A（0,4）， B（-3，-1），C（3，3），D（0,1），
ΔABC的边BC过点D，求ΔABC的面积。
方法一
将ΔABC补成如由图所示的长方形GEFB
SABC S长方形GEFB SAEC SBFC SBAG
BG• BF 1 AE • EC 1 CF • BF 1 AG• BG
平面直角坐标系中的面积问题
陈玲萍
问题1 已知平面直角坐标系中，点A（1，-2）， B（-4，-2），C（1,3）.
则①线段AB与x轴的位置关系平行，线段 AB的长度为 5 ； ②线段AC与y轴的位置关系平行，线段 AC的长度为 5 。
平行x轴的直线上的AB两点间的距离为：AB= xA xB 平行y轴的直线上的AC两点间的距离为：AC= yA yC
问题2
• 求下列三角形的面积： • （1）A（1,4），B（0,0），C（4,0）； • （2）A（0,5），B（0,3），C（3,1）；

平面直角坐标系中的面积问题-专题练习

化复杂为简单
转化
化未知为已知
作业
»书P80 第9题
例2 如图，平面直角坐标系中，已知点A(-3，-2)，B(0，3)，C(-3，2)．求△ABC的面积．
例2 如图，平面直角坐标系中，已知点A(-3，-2)，B(0，3)，C(-3，2)．求△ABC的面积．
例3 如图3，平面直角坐标系中，已知 △ABC三个顶点的坐标分别是A(-3，-1)， B(1，3)，C(2，-3)．求△ABC的面积．
A(2,1)
F(4,0) 1 2 3 图（11） 4
x
O
y
4 3
B4 (4,4)
B3 (2,3)
B2 (0,2)
2 1
A(2,1)
1 2 图（12） 3ห้องสมุดไป่ตู้4
O
B1 (4,0)
x
SOAB1 SOAB2 SOAB3 SOAB4
一般的，在平面直角坐标系中，求已知顶点坐标的多边形面积都可以通过__ 割补 __的方法解决；在平面直角坐标系中，对于某些图形的面积不易直接求出，我们也可以通过__ _____，等积变换使之变为与它等面积的图形。
解 : 补成梯形DEC1 B1 S A1B1C1 S梯形DEC1B1 S A1B1D S A1C1E 1 (2.5 2) 3 2 1 1 1 2 2 2.5 2 2 6.75 1 2.5 3.25

(完整版)平面直角坐标系中的面积问题-专题练习

1 4 4 1 (2 4) 1 1 2 3
2
2
2
2
y
4
G(0,4)
3
2
B4 (4,4)
方
法
4
1
E(4,1)
A(2,1)
F(4,0)
O
1
2 3 4x
图（10）
SOAB4 S正方形OFB4G SOB4G S四边形OFB4 A
44 1 446 2
2
y
4
B4 (4,4)
方
3
法
5
2
1
A(2,1)
O
1 234
x
图（4）
SOAB2
1 2
2
2
2
Y
4
3
B3 (2,3)
2
1
A(2,1)
O
1
234
X
图（5）
SOAB3
1 2
2
2
2
y
4
B4 (4,4)
3
2
1
A(2,1)
O
1
2 3 4x
图（6）
y
4
N
B4 (4,4)
方
3
法
1
2
1
A(2,1)
O
1
2M 3 4 x
图（7）

平面直角坐标系中面积与坐标的求法

1 、平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？

2、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（-2，-2），B（0，-1），C（1，1），求△ABC的面积。

3、在平面直角坐标系中，四边形ABCD的各个顶点的坐标分别为A（-4，-2）B（4，-2）C（2，2）D（-2，3）。求这个四边形的面积。

4、在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的四个点A、B、C、D的坐标分别为（0，2）、（1，0）、（6，2）、（2，4），求四边形ABCD的面积。

5、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，-1），B（-1，4），C（-3，1），（1）求△ABC的面积；

6、在平面直角坐标系中，A（-5，0），B（3，0），点C在y轴上，且△ABC的面积

12，求点C的坐标。

7、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为：（2，5）、（6，-4）、（-2，0），且边AB与x轴相交于点D，求点D的坐标。

8、已知，点A（-2，0）B（4，0）C（2，4）（1）求△ABC的面积；

（2）设P为x轴上一点，若

APC PBC

S S

=，试求点P的坐标。

9、在平面直角坐标系中，P（1，4），点A在坐标轴上，4

PAO

S=，求点P的坐标

10、在直角坐标系中，A（-4，0），B（2，0），点C在y轴正半轴上，18

ABC

S=，（1）求点C的坐标；

（2）是否存在位于坐标轴上的点P，使得

APC ABC

S S

=。若存在，请求出P的坐标，若

直角坐标系中的面积问题

在平面直角坐标系中，常常要求与面积有关的问题，在解与面积有关的问题时，常常用点到x 轴、y 轴的距离或两点之间的距离，进行求解．

例1 在如图1所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A 、B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在5×5的方格纸中，找出格点C ，使△ABC 的面积为两个平方单位，则满足条件的格点C 的个数是（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2

解析:如图2，由三角形ABC 的面积为22221

=⨯⨯得点C 1、C 2、C 3，由三角形ABC

的面积为21421=⨯⨯得点C 4，由三角形ABC 的面积为2212

2121=⨯⨯+⨯⨯得点

C 5．故满足条件的格点C 共有5个．

评注:解决三角形面面积积问题的基本方法是面积公式法．

例2 已知点A(0，0)，B(4，0)，点C 在y 轴上，且△ABC 的面积为5，则点C 的坐标为_______．

解析：有已知点A 为原点，点B 在x 轴正上方，因为点C 在y 轴上，有两种情况，如图3，因为△ABC 的面积为5，而三角形的面积公式为高底⨯⨯21．所以△ABC

的面积=AC AB ⨯⨯21，又因为A(0，0)，B(4，0)，所以AB=4，代入求得AC=2

．

因为点C 在y 轴上，有两种情况，∴设点C 坐标为(0，|y|)．

∵AB=|4|=4，AC=|y|．又△ABC 的面积=AC AB ⨯⨯21，得.42

5y ⨯⨯= ∴25=

y ，即25=y 或2

5-=y ． ∴C 点坐标为(0，

25)或(0， -2

平面直角坐标系中的面积计算(专题)

平面直角坐标系中的面积计算

一、

例1：平面直角坐标系中，A(4，-4)，B(1，0)，C(6，0). 求△ABC的面积.

例2：平面直角坐标系中，A(0，3)，B(0，-3)，C(2，1). 求△ABC的面积.

变式1.若A、B两点的坐标和△ABC的面积均保持不变，且C点坐标为（2，y）,求y.

变式2.若A、B两点的坐标保持不变，△ABC的面积为9，且C点坐标为(x，1),求x的值. 二、

例3：平面直角坐标系中，A(-2，3)，B(-2，-3)，C(2，1). 求△ABC的面积

三、

变式1.保持A 、C 不动，改变点B 的位置：B (0，-3), 求△ABC 的面积.

变式2.保持A 、C 不动，再次改变点B 的位置：B (3，-3), 求△ABC 的面积.

例4：在平面直角坐标系中，已知A(-5, 4)，B(-2, -2)，C(0, 2).若点P 在坐标y 轴上，

且△PBC 和△ABC 的面积相等.求点P 的坐标.

思考题：

1.平面直角坐标系中，A(-3，-2)，B(3，-2)，C(1，3)，D(-2，1)，求四边形

ABCD 的面积.

2.已知点O(0,0)，B(1,2)，点A 在坐标轴上，且2OAB S ∆=，求满足条件的点A 的坐标. 坐标轴上，且2=∆OAB S ，求满足条件的点A 的坐标.