考点24 直线与圆-2017届高三数学(文)黄金考点总动员(解析版)

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2017年高考数学(考点解读+命题热点突破)专题14 直线与圆文

专题14 直线与圆文【考向解读】考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系特别是弦长问题，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现. 【命题热点突破一】直线的方程及应用 1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．3．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.例1、【2016高考新课标3理数】已知直线l ：30mx y m ++-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =||CD =__________________.【答案】4【变式探究】(1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2(2)已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( ) A ．0或－12 B.12或－6C ．－12或12D ．0或12【答案】 (1)C (2)B【特别提醒】(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．【变式探究】已知A (3,1)，B (－1,2)两点，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为( ) A ．y ＝2x ＋4 B ．y ＝12x －3C ．x －2y －1＝0D ．3x ＋y ＋1＝0 【答案】 C【解析】由题意可知，直线AC 和直线BC 关于直线y ＝x ＋1对称．设点B (－1,2)关于直线y ＝x ＋1的对称点为B ′(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0＋1＝－1，y 0＋22＝x 0－12＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝0，即B ′(1,0)．因为B ′(1,0)在直线AC上，所以直线AC 的斜率为k ＝1－03－1＝12，所以直线AC 的方程为y －1＝12(x －3)，即x －2y －1＝0.故C 正确．【命题热点突破二】圆的方程及应用 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以(－D 2，－E 2)为圆心，D 2＋E 2－4F2为半径的圆．例2、【2016高考新课标2理数】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（）（A ）43-（B ）34- （C （D ）2 【答案】A【变式探究】(1)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4(2)已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x ＋1)2＋y 2＝4 C ．x 2＋(y －1)2＝4D ．x 2＋(y ＋1)2＝4【答案】 (1)D (2)B【解析】 (1)因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3，所以选D.(2)由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a,0)，a >－2，半径为r ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＋32＝r 2，|2a －4|4＋5＝r ，解得满足条件的一组解为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r ＝2，所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.故选B.【特别提醒】解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．【变式探究】(1)经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为________________． (2)已知直线l 的方程是x ＋y －6＝0，A ，B 是直线l 上的两点，且△OAB 是正三角形(O 为坐标原点)，则△OAB 外接圆的方程是____________________．【答案】 (1)(x －2)2＋(y －1)2＝10 (2)(x －2)2＋(y －2)2＝8(2)设△OAB 的外心为C ，连接OC ，则易知OC ⊥AB ，延长OC 交AB 于点D ，则|OD |＝32，且△AOB 外接圆的半径R ＝|OC |＝23|OD |＝2 2.又直线OC 的方程是y ＝x ，容易求得圆心C 的坐标为(2,2)，故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －2)2＝8.【命题热点突破三】直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d <r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d >r ⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b 2＝r2消去y ，得关于x 的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21，圆C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22，两圆心之间的距离为d ，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)d >r 1＋r 2⇔两圆外离； (2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切； (3)|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆相交； (4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切； (5)0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．例3、【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围。

热点16直线与圆2017年高考数学二轮核心考点总动员(附解析)

2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第一篇热点16 直线与圆【热点考法】本热点考题形式为选择题、填空题或解答题，与函数、解析几何结合考查直线的倾斜角、斜率、直线方程、两直线的位置关系、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识和方法，考查运算求解能力、数形结合思想，难度为基础题或中档题. 【热点考向】考向一直线的方程【解决法宝】1.求直线方程的本质是确定方程中两个独立的系数，其常用方法是： ①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；②待定系数法：即先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一待定系数，再由其他条件求出待定系数．2.判定两直线平行与垂直的关系时，如果直线方程中含有字母系数，一定要注意斜率不存在的情况．3.使用点到直线的距离公式时，要注意将直线方程化成一般式，再利用公式求其距离；使用两平行线间的距离公式时，两直线必须是一般式且两直线方程中y x ,的系数要对应相等．例1．【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评，4】若直线20x ay +-=与以()3 1A ，，()1 2B ，为端点的线段没有公共点，则实数a 的取值范围是（） A ．()2 1-，B ．()() 2 1 -∞-+∞，， C.11 2⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．()1 1 2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，【分析】因为直线20x ay +-=过定点()2 0C ，，斜率为a1-，结合图形即可确定其范围，即可求出实数a 的取值范围.【解析】直线20x ay +-=过定点()2 0C ，,所以11(,)(2,1)(,1)(,)2CB CA k k a a-∈=-⇒∈-∞-+∞，选D. 考向二圆的方程【解决法宝】圆的方程的求法：①几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求出圆的基本元素（圆心、半径）和方程；②代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．注：根据条件，设圆的方程时要尽量减少参数，这样可减少运算量．例2．【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断，8】抛物线223y x x =--与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（） A . 22(1)2x y +-= B.22(1)(1)4x y -+-= C.22(1)1x y -+= D. 22(1)(1)5x y -++=【分析】先求出抛物线于坐标轴的交点，用待定系数法求出圆的方程.考向三直线与圆的位置关系【解决法宝】1.在解决直线与圆的位置关系问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能地简化运算，判断直线与圆的位置关系的2种方法：(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离；(2)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d<r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d>r ⇔相离．2.直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点的距离，利用勾股定理计算．3．弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，222d r l -=(其中l 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)．(2)根据公式：l ＝1＋k 2|x 1－x 2|求解(其中l 为弦长，x 1，x 2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k 为直线的斜率)．(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解．例3．【河北邯郸2017届9月联考，3】以(,1)a 为圆心，且与两条直线240x y -+=与260x y --=同时相切的圆的标准方程为（）A ．22(1)(1)5x y -+-=B ．22(1)(1)5x y +++=C ．22(1)5x y -+=D ．22(1)5x y +-=【分析】利用直线圆相切的充要条件为圆心到直线的距离等于半径，根据题意列出关于a 的方程，解出a 的值，即可求圆心与半径，即可求出圆的方程.考向四圆与圆的位置关系【解决法宝】两圆位置关系的判定方法：设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21，条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .例4【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，10】圆222240x y ax a +++-=和圆2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若,a R b R ∈∈，且0ab ≠，则2211a b +的最小值为（） A ．1 B ．3 C ．19 D ．49【分析】由两圆恰有三条公切线知连圆相外切，有两圆的位置关系的充要条件，得到b a ,的关系，再利用基本不等式即可求出所求式子的最小值.【解析】由题意得两圆22()4x a y ++=与22(2)1x y b y +-=相外切，即21=+，即2249a b +=，所以22222222221111(4)141()[5][51999a b a b a b a b b a ++=+=++≥+=，当且仅当22224=a b b a 时取等号，所以选A. 考向五直线和圆与其他知识的交汇【解决法宝】1.将直线和圆与函数、不等式、平面向量、数列及圆锥曲线、概率等知识交汇，体现命题创新．2.求解与圆有关最值问题常用转化与化归思想，常见类型有： (1)圆外一点与圆上任一点间距离的最值； (2)直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值；(3)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题； (4)形如求ax ＋by ，ax ＋bycx ＋dy等的最值，转化为直线与圆的位置关系．例5 【山东省枣庄市2017届高三上学期期末，15】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值是．【分析】先求出定点A 、B 的坐标，由题知两动直线垂直，所以PA PB ⊥，所以222||PA PB AB +=，再用重要不等式即可求出PA PB +的最大值.【解析】由题意，得(0,0)A ，因为直线30mx y m --+=，即(1)30m x y --+=，经过定点(1,3)B ．又直线0x my +=与直线30mx y m --+=始终垂直，点P 又是两条直线的交点，所以PA PB ⊥，所以222||10PA PB AB +==,所以PA PB +≤)|||(|222PB PA +==PA PB 取等号，所以PA PB +的最大值是【热点集训】1. 【广西柳州市2017届高三10月模拟，3】已知直线230x y --=的倾斜角为θ，则s i n2θ的值是（） A ．14B ．34C ．45D ．25【答案】C【解析】22tan 4tan 2,sin 21tan 5θθθθ===+，选C.2. 【湖南永州市2017届高三第一次模拟，5】已知直线1:10l x y ++=，2:10l x y +-=，则1l 与2l 之间的距离为（）A ．1BCD ．2 【答案】B【解析】由平行线距离公式可知，1l 与2l 之间的距离为22|)1(1|=--=d . 3.【长春市普通高中2016届高三质量监测（二）】已知AB 为圆:O 22(1)1x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅的最小值为（）A. 1B.C. 2D.【答案】A 【解析】4.【广西南宁、梧州2017届高三毕业班摸底联考，7】直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为，则直线的倾斜角为（） A ．6π或56π B ．3π-或3π C.6π-或6π D ．6π【答案】A【解析】由题知：圆心()2 3，，半径为2,所以圆心到直线的距离为1d .即1d ==，∴k =tan k α=，得6πα=或56π.故应选A 5.【四川省遂宁市2016届高三（上）期末】圆C 1：x 2+y 2+2x=0与圆C 2：x 2+y 2﹣4x+8y+4=0的位置关系是（）A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离【答案】B6.【山东省肥城市2017届高三上学期升级统测，5】已知b 是实数, 则 “2b =” 是 “直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=” 相切的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．即不充分也不必要条件【答案】B7 【广东省汕头市2017届高三上学期期末，3】圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a （）A ．34-B ．43- C ．3 D ．2 【答案】A【解析】由题意，知圆心为(1,4)1=，解得43a =-，故选A ．8.【河北衡水中学2017届高三摸底联考，5】若直线:4l mx ny +=和圆22:4O x y +=没有交点，则过点(),m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（） A ． 0 B ．至多有一个 C ．1 D ．2 【答案】D【解析】因为直线:4l mx ny +=和圆22:4O x y +=2>，即2<，所以点(,)m n 在圆O 内，即点(,)m n 在椭圆22194x y +=内部，所以过点(,)m n 的直线与椭圆有两个公共点，故选D.9.【河北石家庄2017届高三上学期第一次质检，9】若,a b 是正数，直线220ax by +-=被圆224x y +=截得的弦长为t =取得最大值时a 的值为（）A ．12 B C. D ．34 【答案】D【解析】因为圆心到直线的距离d =，则直线被圆截得的弦长L =＝=2244a b +=．因为t ==2222)]12(44)]a a +=++-=，当且仅当222281244a ba b ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩,解得34a =，故选D ． 10.【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评，11】如果直线()70 0ax by a b +=>>，和函数()()1log 0 1m f x x m m =+>≠，的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆()()221125x b y a +-++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是（） A ．34 43⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．340 43⎛⎤⎡⎫+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，， C.4 3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， D ．30 4⎛⎤ ⎥⎝⎦，【答案】A11.【山东省实验中学2017届高三第一次诊断,9】已知直线l ：20kx y +-=（k R ∈）是圆C ：226290x y x y +-++=的对称轴，过点(0,)A k 作圆C 的一条切线，切点为B ，则线段AB 的长为（）A ．2B ．C ．3D ．【答案】D【解析】由题意直线l ：20kx y +-=过点(3,1)C -，所以1k =，所以切线AB 的长为= D.12.【河南师大附中2017届上学期高三期末】已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点（-1，4）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（） A ．15 B ．30 C ．45 D ．60 【答案】B【解析】圆的标准方程为22(3)(4)25x y -+-=，过点（-1，4）的最长弦AC 所在的直线圆心，故10AC =，过点（-1，4）的最短弦BD 所在直线垂直于AC ，由勾股定理得6BD =，故四边形ABCD 的面积为1610302S =⨯⨯=． 13.【四川省2016年普通高考适应性测试，14】已知圆的方程为2260x y x +-=，过点()1 2，的该圆的三条弦的长123 a a a ，，构成等差数列，则数列123 a a a ，，的公差的最大值是．【答案】2【解析】222260(3)9x y x x y +-=⇒-+=，数列123 a a a ，，的公差的取最大值时，1 a 为最短弦，3a 为最大弦（直径），12a =，因此公差的最大值是23222⨯-= 14.【湖南郴州市2017届高三第二次教学质量监测，16】已知抛物线C ：28y x =，点P 为抛物线上任意一点，过点P 向圆D ：22430x y x +-+=作切线，切点分别为A ，B ，则四边形PADB 面积的最小值为____________．15.【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷,15】过点1(,1)2M 的直线l 与圆22:(1)4C x y -+=交于A B 、两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线l 的方程为_________.【答案】2430x y -+=【解析】由题意得，当CM AB ⊥时，ACB ∠最小，从而直线方程为11121()012y x --=--，即2430x y -+=.16.【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗,16】已知圆22:8150C x y x +++=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围为______________. 【答案】4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦17.【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评，14】机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图所示，“海宝”从圆心T 出发，先沿北偏西12sin 13θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭方向行走13米至点A 处，再沿正南方向行走14米至点B 处，最后沿正东方向行走至点C 处，点 B C ，都在圆T 上，则在以线段BC 中点为坐标原点O ，正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向的直角坐标系中，圆T 的标准方程为．【答案】()229225x y +-= 【解析】试题分析：22252cos 1691962131422513TB TA AB TA AB A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，1413cos 9OT θ=-⨯=，∴圆T 方程为()229225x y +-=.18.【吉林省长春外国语学校2016届高三上学期期末】已知直线过定点P （2，1）．（1）求经过点P 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；（2）若过点P 的直线l 与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程．【答案】（1）x+y ﹣3=0；（2）x+2y ﹣4=0．【解析】（1）∵直线过定点P （2，1）且在两坐标轴上的截距相等，设直线方程为：x+y=a ，将P （2，1）代入得：a=3，故直线方程是：x+y ﹣3=0；（2）由题意设直线的截距式方程为+=1（a ，b ＞0）， ∵直线过P （2，1），∴+=1， ∴1=+≥2，∴ab≥8，当且仅当=即a=4且b=2时取等号， ∴△AOB 的面积S=ab≥4，∴△AOB 面积的最小值为4，此时直线l 的方程为+=1，化为一般式方程可得x+2y ﹣4=0．19.【广东省汕头市2017届高三上学期期末，20】（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.【答案】（1）1)1()6(22=-+-y x ；（2）052=+-y x 或0152=--y x ；（3）]2122,2122[+-．【解析】圆M 的标准方程为25)7()6(22=-+-y x ，所以圆心)7,6(M ，半径为5. （1）由圆心在直线6=x 上，可设),6(0y N ，因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以700<<y ，于是圆N 的半径为0y ，从而0057y y +=-，解得10=y ，因此，圆N 的标准方程为1)1()6(22=-+-y x . （2）因为直线OA l //，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为m x y +=2，即02=+-m y x ，则圆心M 到直线l 的距离d ==因为BC OA === 而222,2BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()252555m +=+，解得5=m 或15-=m .故直线l 的方程为052=+-y x 或0152=--y x .20. 【江苏徐州丰县民族中学2017届高三上学期第二次月考，18】如图所示，已知圆A 的圆心在直线2y x =-上，且该圆存在两点关于直线10x y +-=对称，又圆A 与直线1l ：270x y ++=相切，过点(2,0)B -的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与1l 相交于点P ．（1）求圆A 的方程；（2）当||MN =时，求直线l 的方程；（3）()BM BN BP +⋅是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．【答案】(1) 22(1)(2)20x y ++-=；(2)2x =-或3460x y -+=；（3）是定值，10-. 【解析】（1）由圆存在两点关于直线10x y +-=对称知圆心A 在直线10x y +-=上．由2,10,y x x y =-⎧⎨+-=⎩得(1,2)A -，设圆A 的半径为R ，因为圆A 与直线1l ：270x y ++=相切，所以R ==所以圆A 方程为22(1)(2)20x y ++-=．（3）∵AQ BP ⊥，∴0AQ BQ ⋅=，∴()2BM BN BP BQ BP +⋅=⋅2()BA AQ BP =+⋅2BA BP =⋅，当直线l 与x 轴垂直时，得5(2,)2P --，则5(0,)2BP =-，又(1,2)BA =， ∴()2BM BN BP BQ BP +⋅=⋅210BA BP =⋅=-，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(2)y k x =+，由(2),270y k x x y =+⎧⎨++=⎩，解得475(,)1212k kP k k ---++， ∴55(,)1212kBP k k--=++， ∴()2BM BN BP BQ BP +⋅=⋅2BA BP =⋅5102()101212kk k-=-=-++，综上所述，()BM BN BP +⋅为定值10-．21. 【湖南百所重点中学2017届高三上学期阶段诊测，22】（本小题满分12分）已知圆C 经过点(0,2)(2,0)A B ，，圆C 的圆心在圆222x y +=的内部，且直线3450x y ++=被圆C 所截得的弦长为点P 为圆C 上异于A B 、的任意一点，直线PA 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N .（1）求圆C 的方程；（2）求证：||||AN BM •为定值；（3）当PA PB •取得最大值时，求||MN .【答案】（1）224x y +=；（2）证明见解析；（3）22-4.（2）证明：当直线PA 的斜率不存在时，||||8AN BM =•，………………5分当直线PA 与直线PB 的斜率都存在时，设00(,)P x y ，直线PA 的方程为0022y y x x -=+，令0y =得02(,0)2x M y -.………………6分直线PB 的方程为00(2)2y y x x =--，令0x =得002(0,)2y N x -.………………7分 ∴00000000000022||||(2)(2)44[]2222(2)(2)y x y x x y AN BM x y x y x y =--=+++------• 220000000000000000000000224224224444448(2)(2)(2)(2)422y y x x x y y x x y y x x y x y x y y x x y -+-+--+--+=+⨯=+⨯=+⨯=------+，故||||AN BM •为定值8.………………9分（3）解：∵00(,2)PA x y =--，00(2,)PB x y =--，∴220000002242()PA PB x x y y x y =-+-=-+•，………………10分设00z x y =+，22004x y +=，易知当直线00z x y =+与圆22004x y +=切于第三象限时，z取得最小值，此时00x y ==………………11分此时(2220)M -，(0,2)N -，故|2(222)422MN ==-………………12分22. 【河北唐山2017届高三上期期末，21】（本小题满分12分）已知圆()()22:222M x y -+-=，圆()22:840N x y +-=，经过原点的两直线12,l l 满足12l l ⊥，且1l 交圆M 于不同两点2,,A B l 交圆N 于不同两点,C D ，记1l 的斜率为k .（1）求k 的取值范围；（2）若四边形ABCD 为梯形，求k 的值．【答案】（1）2k <<（2）1k =．（2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，将l 1代入圆M 可得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋6＝0，所以x 1＋x 2＝4(1＋k ) 1＋k 2，x 1x 2＝61＋k 2；…7分将l 2代入圆N 可得：(1＋k 2)x 2＋16kx ＋24k 2＝0，所以x 3＋x 4＝－16k 1＋k 2，x 3x 4＝24k 21＋k 2．…9分由四边形ABCD 为梯形可得x 1x 2＝x 4x 3，所以(x 1＋x 2)2 x 1x 2＝(x 3＋x 4)2 x 3x 4，所以(1＋k )2＝4，解得k ＝1或k ＝－3（舍）．…12分。

高考数学直线与圆知识点总结

高考数学直线与圆知识点总结数学一直是高考重点科目之一，而其中的直线与圆是常见的考点之一。

在高考中，对于这部分知识点的掌握不仅仅是学生们考试取得好成绩的关键，更是对于综合能力的全面考核。

本篇文章将对高考数学直线与圆的知识点进行总结，帮助同学们更好地备考。

直线与圆的基本性质：直线和圆是平面几何中最基本也是最常见的两个图形。

直线无限延伸，没有端点，而圆是由一组平面上距离圆心相等的点组成的。

直线与圆之间有一些基本的性质需要掌握。

1. 直线在平面上可以有不同的位置关系，即相交、平行和重合。

相交的直线在交点处满足公共点的特性。

平行的直线在平面上永远不相交。

重合的直线完全重叠在一起，所有的点都相同。

2. 圆与直线的位置关系通常包括内外离散、相切和内含三种情况。

离散的情况是直线与圆没有交点。

相切的情况直线与圆恰好有一个交点。

内含的情况是直线与圆有两个交点。

直线的方程与性质：直线是最基本的图形之一，它常常需要考生们掌握准确的方程表达以及相应的性质。

1. 直线的一般方程是Ax + By + C = 0，其中A、B、C分别是实数，也称为直线的一般式方程。

一般式方程用于表示直线的位置关系。

2. 直线的斜率是非常重要的一个性质，它是直线上任意两点对应坐标差的比值。

斜率可以帮助我们判断直线的倾斜方向以及直线是否垂直。

3. 两条直线的位置关系可以通过它们的斜率进行判断。

如果两条直线的斜率相等，那么它们是平行的；如果两条直线的斜率的乘积为-1，那么它们是垂直的。

圆的方程与性质：圆是平面几何中的一个基本图形，它有特定的方程表达和一系列的性质需要考生们进行掌握。

1. 圆的标准方程是(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径；标准方程可以用于表示任意圆。

2. 圆的一般方程是x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F是实数。

一般方程可以用于表示特定的圆。

2017高考数学(理)(新课标版)考前冲刺复习讲义：第2部分专题5第1讲直线与圆含答案

第1讲直线与圆直线的方程自主练透夯实双基1．直线方程五种形式（1）点斜式:y－y1＝k(x－x1)．(2）斜截式：y＝kx＋b。

（3）两点式:y－y1y2－y1＝错误!(x1≠x2,y1≠y2）．(4）截距式：错误!＋错误!＝1（a≠0，b≠0)．(5)一般式：Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0)．2．三种距离公式（1)A（x1,y1)，B（x2，y2)两点间的距离：｜AB｜＝错误!。

(2)点到直线的距离:d＝错误!（其中点P(x0，y0），直线方程：Ax ＋By＋C＝0）．(3）两平行直线间的距离：d＝错误!（其中两平行线方程分别为l1:Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．3．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1,k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．[题组通关]1．设直线l1:2x－my－1＝0，l2:(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的( ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件C [解析］由于两直线方程中的常数项之比为－1,故两直线平行的充要条件是错误!＝错误!≠－1.由错误!＝错误!,得m（m－1)＝2，解得m＝2或m＝－1。

当m＝－1时，错误!＝错误!＝－1，两直线重合,所以两直线平行的充要条件是m＝2.所以“m＝2"是“l1∥l2”的充要条件．2．在△ABC中，A（1，1)，B（m,错误!)（1<m〈4)，C（4,2），则当△ABC的面积最大时,m＝（)A.错误!B.错误!C.错误!D。

错误!B ［解析] 由两点间距离公式可得｜AC｜＝错误!，直线AC的方程为x－3y＋2＝0,所以点B到直线AC的距离d＝错误!，所以△ABC 的面积S＝错误!｜AC|·d＝错误!|m－3错误!＋2｜＝错误!|错误!错误!－错误!｜，又1〈m<4，所以1〈错误!<2，所以当错误!＝错误!，即m＝错误!时,S取得最大值．3．过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2:2x＋3y－8＝0的交点，且到点P（0，4）距离为2的直线方程为________．[解析] 由错误!得错误!所以l1与l2交点为(1，2)，直线x＝1显然不适合．设所求直线为y－2＝k（x－1)，即kx－y＋2－k＝0，因为P（0，4)到直线的距离为2，所以2＝错误!，所以k＝0或k＝错误!.所以直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0。

2017届高三数学(理)黄金考点总动员考点26 直线与圆含解析

2017届高三数学33个黄金考点总动员考点26 直线与圆【考点剖析】1。

最新考试说明:（1）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．（2）会求两直线的交点坐标．（3）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。

（4)掌握圆的标准方程和一般方程．(5）能判断直线与圆、圆与圆的位置关系．（6）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．2。

命题方向预测：（1）两条直线的平行与垂直，点到直线的距离，两点间距离是命题的热点．对于距离问题多融入解答题中，注重考查分类讨论与数形结合思想．题型多为客观题，难度中低档.（2）求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标，半径是高考的热点，多与直线相结合命题,着重考查待定系数法求圆的方程，同时注意方程思想和数形结合思想的运用．多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题。

（3)直线与圆的位置关系，特别是直线与圆相切一直是高考考查的重点和热点．多以选择题和填空题的形式出现,有时也与圆锥曲线结合出现在综合性较强的解答题中。

3。

课本结论总结：(1)。

直线的概念与方程①概念：直线的倾斜角θ的范围为[0°，180°)，倾斜角为90°的直线的斜率不存在，过两点的直线的斜率公式k＝tanα＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)；②直线方程：点斜式y－y0＝k(x－x0），两点式错误!＝错误!(x1≠x2，y1≠y2），一般式Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0)；③位置关系：当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时，两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2，两直线垂直l1⊥l2⇔k1·k2＝－1,两直线的交点就是以两直线方程组成的方程组的解为坐标的点；④距离公式：两点间的距离公式,点到直线的距离公式,两平行线间的距离公式．(2）．圆的概念与方程①标准方程：圆心坐标（a，b），半径r，方程（x－a)2＋(y－b)2＝r2,一般方程:x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F>0);②直线与圆的位置关系：相交、相切、相离,代数判断法与几何判断法；③圆与圆的位置关系：相交、相切、相离、内含，代数判断法与几何判断法。

高考数学直线与圆归纳总结

高考数学直线与圆归纳总结直线与圆是高中数学中重要的几何概念。

在高考数学中，直线与圆的相关知识点常常出现，并且在解决几何问题时扮演着重要的角色。

下面将对高考数学中涉及直线与圆的知识进行归纳总结。

一、直线与圆的位置关系1. 直线和圆可能有三种位置关系：相离、相切和相交。

a. 如果直线和圆没有交点，则称直线和圆相离。

b. 如果直线与圆有且仅有一个交点，则称直线与圆相切。

c. 如果直线与圆有两个交点，则称直线与圆相交。

2. 判断直线与圆的位置关系的方法：a. 判断直线与圆相离：计算直线到圆心的距离是否大于圆的半径。

b. 判断直线与圆相切：计算直线到圆心的距离等于圆的半径。

c. 判断直线与圆相交：计算直线到圆心的距离小于圆的半径。

二、直线与圆的方程1. 直线的一般方程：Ax + By + C = 0。

直线的一般方程表示直线上的所有点 (x, y)，满足方程左侧等式。

2. 圆的标准方程：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2。

圆的标准方程表示平面上距离圆心 (a, b) 距离为半径 r 的点 (x, y)。

3. 直线与圆的方程应用：a. 直线与圆的相交问题可以通过联立直线和圆的方程求解。

b. 直线与圆的相切问题可以通过判断直线方程是否与圆方程有且仅有一个交点来确定。

三、直线与圆的性质1. 切线与半径的关系：切线与半径的夹角是直角，即切线垂直于半径。

2. 切线的性质：a. 切点：切线与圆的交点称为切点。

b. 切线长度：切点到圆心的距离等于半径的长度。

c. 外切线：若直线与圆内切于一点，则这条直线称为外切线。

d. 内切线：若直线切圆于两个相交点，则这条直线称为内切线。

3. 弦的性质：弦是圆上的两个点之间的线段。

弦的性质有：a. 弦长：弦长等于圆心到弦的距离的两倍。

b. 直径：直径是通过圆心的弦。

直径等于半径的两倍。

四、圆的位置关系1. 同心圆：具有共同圆心的多个圆称为同心圆。

2. 内切圆与外接圆：如果一个圆与另一个圆有且仅有一个切点，则这两个圆称为内切圆与外接圆。

高中直线与圆题型归纳总结

高中直线与圆题型归纳总结直线与圆是高中数学中的重要知识点，涉及到的题型较为广泛。

在这篇文章中，我将对高中直线与圆题型进行归纳总结，以帮助同学们更好地掌握和应用这些知识。

一、直线与圆的基本性质在解题过程中，掌握直线与圆的基本性质是非常重要的。

下面列举了一些常见的性质：1. 直线与圆的位置关系：a. 若直线与圆有两个交点，则该直线称为切线；b. 若直线与圆相交于两个不重合的交点，则该直线称为割线；c. 若直线与圆不相交，则该直线称为外切线或外割线；d. 若直线完全在圆内，则该直线称为内切线或内割线。

2. 判定直线与圆的位置关系的方法：可以通过直线的方程与圆的方程进行联立，进而判断位置关系。

二、直线与圆的相交性质1. 两条直线与圆的相交性质：a. 相交弧的性质：两条直线与圆相交，相交的弧度数相等；b. 垂直切线的性质：切线与半径垂直；c. 切线长度的性质：切线长的平方等于切点到圆心的距离与圆半径的乘积。

2. 直线与圆的切线性质：a. 切线定理：切线与半径垂直；b. 外切角性质：切线与半径的夹角等于其对应的弧所对圆心角的一半。

三、直线与圆的方程1. 圆的一般方程：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为圆半径。

2. 直线的一般方程：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为实数且不全为零。

3. 判定直线与圆的位置关系的方法：将直线方程代入圆的方程，求解该二次方程的判别式，进而判断位置关系。

四、直线与圆的应用题1. 判断两个圆的位置关系：比较两个圆的圆心距离与两个圆半径之和的大小来判断位置关系。

2. 直线与圆的垂直与切线问题：通过证明直线与半径的斜率乘积为-1，判定直线与圆的垂直关系；通过判定直线与圆的切点的情况，判定直线与圆的切线关系。

3. 直线与圆的联立方程求解问题：列出直线方程与圆方程，通过解联立方程，求解直线与圆的交点坐标。

4. 直线与圆的面积问题：求直线与圆所形成的图形的面积，可以通过计算扇形面积与三角形面积之和来完成。

高考文数直线与圆知识点

高考文数直线与圆知识点在高考数学的考试中，直线与圆是非常重要的几何知识点。

掌握直线与圆的相关性质和计算方法，对于解题有着重要的指导意义。

本文将介绍一些高考中常见的直线与圆知识点，希望能帮助同学们更好地理解和学习。

1. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交、直线与圆相切和直线与圆相离。

当直线与圆相交时，可能会有两个交点或者一个交点。

这要根据直线与圆的位置关系来判断。

如果直线穿过圆的两个交点，则称为直线与圆相交于两点；如果直线与圆只有一个交点，则称为直线与圆相切。

当直线与圆相离时，直线与圆之间没有任何交点。

2. 直线与圆的性质（1）切线性质：过圆外一点，可作无数条与圆相切的直线，这些相切直线上的切点和该点到圆心的线段相等。

当直线与圆相切时，该直线被称为切线。

切线与圆相切于一个点，且切点到圆心的距离与切点到该点的距离相等。

（2）切线定理：切线所构成的角与该切点与圆心连线所构成的角相等。

当直线与圆相切时，切线与该切点与圆心连线所构成的角相等。

（3）幅度定理：圆心角的幅度是其所对应扇形的幅度的两倍。

圆心角是以圆心为顶点的角，其幅度定义为其所对应扇形的幅度的两倍。

（4）正切定理：切线与半径的正切相等。

当直线与圆相切时，该切线与切点处的半径的正切相等。

3. 直线与圆的计算方法（1）直线方程的计算方法：已知直线上的两个点，可以求出直线的方程。

设直线上两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则直线的方程可以表示为(y - y1)/(y2 - y1) = (x - x1)/(x2 - x1)。

（2）圆的方程的计算方法：已知圆心和半径，可以求出圆的方程。

设圆的圆心坐标为(h, k)，半径为r，则圆的方程可以表示为(x - h)² + (y - k)² = r²。

通过计算直线方程和圆的方程，可以解决很多与直线与圆有关的几何问题。

4. 直线与圆的应用在实际生活和工作中，直线与圆的知识点也有很多应用。

09直线与圆(高考押题)-2017年高考数学(文)考纲解读与热点难点突破含解析

1．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R）是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则｜AB｜＝（)A．2 B．4错误!C．6 D．2错误!【答案】C【解析】圆C的标准方程为（x－2)2＋（y－1）2＝4，圆心为C（2,1)，半径为r＝2，因此2＋a×1－1＝0，所以a＝－1，从而A(－4，－1)，｜AB｜＝错误!＝错误!＝6。

2．已知圆x2＋y2＋mx－错误!＝0与抛物线y＝错误!x2的准线相切，则m＝( )A．±2错误!B．±错误!C.错误!D。

错误!【答案】B【解析】抛物线的准线为y＝－1，将圆化为标准方程得错误!2＋y2＝错误!，圆心到准线的距离为1＝错误!⇒m＝±3。

3．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x ＋y－5＝0上运动，则AB的中点M到原点的距离最小值为( ）A。

错误! B．2错误!C．3 2 D．4错误!【答案】C4．一条光线从点（－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋（y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ）A．－错误!或－错误!B．－错误!或－错误!C．－错误!或－错误!D．－错误!或－错误!【答案】D5．两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线,若a∈R,b∈R且ab≠0，则错误!＋错误!的最小值为（)A．1 B．3C。

错误! D.错误!【答案】A【解析】x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0,即(x＋a）2＋y2＝4，x2＋y2－4by－1＋4b2＝0，即x2＋（y－2b）2＝1,依题意可得，两圆外切,则两圆心距离等于两圆的半径之和，则a2＋2b2＝1＋2＝3,即a2＋4b2＝9，所以错误!＋错误!＝错误!错误!＝错误!错误!≥错误!错误!＝1,当且仅当错误!＝错误!即a＝±错误!b时取等号,故选A.6．已知圆的方程为（x－1）2＋(y－1）2＝9，点P （2,2)是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是( ）A．3错误!B．4错误!C．57 D．6错误!【答案】D【解析】依题意，圆的最长弦为直径，最短弦为过点P垂直于直径的弦，所以|AC｜＝2×3＝6。

高三数学直线与圆知识点知识点总结

高三数学直线与圆知识点知识点总结同学们要利用这些复习的时间强化学习，为大家整理了高三数学直线与圆知识点，在高三数学第一轮复习时，给您最及时的帮助!直线与圆知识点：1.直线方程⑴点斜式：;⑵斜截式：;⑶截距式：;⑷两点式：;⑸一般式：，(A，B不全为0)。

(直线的方向向量，法向量）2.求解线性规划问题的步骤是：(1)列约束条件;(2)作可行域，写目标函数;(3)确定目标函数的最优解。

3.两条直线的位置关系：4.直线系5.几个公式⑴设A(_1,y1)、B(_2,y2)、C(_3,y3)，⊿ABC的重心G：( );⑵点P(_0,y0)到直线A_+By+C=0的距离：;⑶两条平行线A_+By+C1=0与 A_+By+C2=0的距离是;6.圆的方程：⑴标准方程：① ;② 。

⑵一般方程： ( 注：A_2+B_y+Cy2+D_+Ey+F=0表示圆 A=C0且B=0且D2+E2-4AF7.圆的方程的求法：⑴待定系数法;⑵几何法;⑶圆系法。

8.圆系：⑴ ; 注：当时表示两圆交线。

⑵ 。

9.点、直线与圆的位置关系：(主要掌握几何法)⑴点与圆的位置关系：( 表示点到圆心的距离)① 点在圆上;② 点在圆内;③ 点在圆外。

⑵直线与圆的位置关系：( 表示圆心到直线的距离)① 相切;② 相交;③ 相离。

⑶圆与圆的位置关系：( 表示圆心距，表示两圆半径，且)① 相离;② 外切;③ 相交;④ 内切;⑤ 内含。

10.与圆有关的结论：⑴过圆_2+y2=r2上的点M(_0,y0)的切线方程为：_0_+y0y=r2;过圆(_-a)2+(y-b)2=r2上的点M(_0,y0)的切线方程为：(_0-a)(_-a)+(y0-b)(y-b)=r2;⑵以A(_1，y2)、B(_2,y2)为直径的圆的方程：(_-_1)(_-_2)+(y-y1)(y-y2)=0。

2017年高考数学(文)黄金易错点：专题14-直线和圆(含答案)

1．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离答案 B解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，2．已知点A (2，3)，B (－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A ．34，2]B ．(－∞，34]∪2，＋∞) C ．(－∞，1]∪2，＋∞) D ．1,2]答案 B解析直线kx －y ＋1－k ＝0恒过点P (1,1)，k P A ＝3－12－1＝2，k PB ＝－2－1－3－1＝34；若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，结合图象(图略)得k ≤34或k ≥2，故选B. 3．若方程(x －2cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝1(0≤θ<2π)的任意一组解(x ，y )都满足不等式y ≥33x ，则θ的取值范围是( )A ．π6，7π6] B ．5π12，13π12] C ．π2，π] D ．π3，π] 答案 D 解析根据题意可得，方程(x －2cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝1(0≤θ<2π)的任意一组解(x ，y )都满足不等式y ≥33x ，表示方程(x －2cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝1(0≤θ<2π)在y ＝33x 的左上方(包括相切)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ |2sin θ－33×2cos θ|1＋13≥1，2sin θ>33×2cos θ，∴sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6≥12，∵0≤θ<2π，∴θ∈π3，π]，故选D. 4．已知点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x ＋4y 取得最小值时，过点P 引圆(x －12)2＋(y ＋14)2＝12的切线，则此切线段的长度为________．答案 625．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是______________．半径是________．答案 (－2，－4) 5解析由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，。

专题13 直线与圆—三年高考(2015-2017数学(文)真题分项版解析(解析版)(批量下载)

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一、选择题1. 【2014高考北京文第7题】已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（）A.7B.6C.5D.4 【答案】B考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.2. 【2015高考北京，文2】圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（） A ．()()22111x y -+-= B ．()()22111x y +++= C ．()()22112x y +++= D ．()()22112x y -+-= 【答案】D【解析】由题意可得圆的半径为r =()()22112x y -+-=，故选D .【考点定位】圆的标准方程.【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“过原点”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是圆的标准方程，即圆心(),a b ，半径为r 的圆的标准方程是()()222x a y b r -+-=．3.【 2014湖南文6】若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=相外切，则m =（）.21A .19B .9C .11D -【答案】C【解析】因为()()22226803425x y x y m x y m +--+=⇒-+-=-,所以250m ->25m ⇒<且圆2C 的圆心为()3,4,根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得1=+9m ⇒=,故选C.【考点定位】圆与圆之间的外切关系与判断【名师点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解决问题的关键是根据条件得到圆的半径及圆心坐标，然后根据两圆满足的几何关系进行列式计算即可.4. 【2014全国2，文12】设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（）（A ）[]1,1-- （B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）⎡⎣ （D ）⎡⎢⎣ 【答案】A【考点定位】直线与圆的位置关系【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一． 5. 【2014四川，9文】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（）A 、B 、C 、D 、【答案】B 【解析】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB 为直径的圆上，，所以，令||10sin ,||10cos PA PB θθ==，则||||)4PA PB πθθθ+=+=+.因为||0,||0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.sin()14πθ≤+≤||||PA PB ≤+≤选B. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换. 【名师点睛】在几何意义上表示P 点到与的距离之和，解题的关键是找P点的轨迹和轨迹方程；也可以使用代数方法，首先表示出，这样就转化为函数求最值问题了.6. 【2015高考四川，文10】设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )(A )(1，3) (B )(1，4) (C )(2，3) (D )(2，4) 【答案】D当t ＝0时，若r ≥5，满足条件的直线只有1条，不合题意，若0＜r ＜5，则斜率不存在的直线有2条，此时只需对应非零的t 的直线恰有2条即可. 当t ≠0时，将m ＝3－2t 2代入△＝16t 2＋16m ，可得3－t 2＞0，即0＜t 2＜3 又由圆心到直线的距离等于半径，可得d ＝r==由0＜t 2＜3，可得r ∈(2，4).选D【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、参数取值范围等综合问题，考查数形结合和分类与整合的思想，考查学生分析问题和处理问题的能力.【名师点睛】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题，注意到弦的斜率不可能为0，但有可能不存在，故将直线方程设为x ＝ty ＋m ，可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论.在对r 的讨论中，要注意图形的对称性，斜率存在时，直线必定是成对出现，因此，斜率不存在(t ＝0)时也必须要有两条直线满足条件.再根据方程的判别式找到另外两条直线存在对应的r 取值范围即可.属于难题.7.【2014年.浙江卷.文5】已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（）A.2-B. 4-C. 6-D.8- 【答案】B考点：直线与圆相交，点到直线的距离公式的运用，容易题.【名师点睛】本题主要考查直线与圆相交的弦长问题，解决问题的关键点在讨论有关直线与圆的相交弦问题时，如能充分利用好平面几何中的垂径定理，并在相应的直角三角形中计算，往往能事半功倍．8. 【2014，安徽文6】过点(P 的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A.]60π，（B.]30π，（C.]60[π，D.]30[π，【答案】D ．【解析】试题分析：如下图，要使过点P 的直线l 与圆有公共点，则直线l 在PA 与PB 之间，因为1sin 2α=，所以6πα=，则23AOB πα∠==，所以直线l 的倾斜角的取值范围为]30[π，.故选D.考点：1.直线的倾斜角；2.直线与圆的相交问题.【名师点睛】研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半弦长2l、弦心距d 和半径长r 之间形成的数量关系为222()2l d r +=.但在具体做题过程中，常利用数形结合的方程进行求解，通过图形会很快了解具体的量的关系.另外，直线的倾斜角和斜率之间的关系也是重要考点，告知斜率的范围要能求出倾斜角的范围，反之一样.当90α=，斜率不存在. 9. 【2015高考安徽，文8】直线3x +4y =b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（）（A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或12 【答案】D【考点定位】本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用.【名师点睛】在解决直线与圆的位置关系问题时，有两种方法；方法一是代数法：将直线方程与圆的方程联立，消元，得到关于x （或y ）的一元二次方程，通过判断0;0;0<∆=∆>∆来确定直线与圆的位置关系；方法二是几何法：主要是利用圆心到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d ，然后再将d 与圆的半径r 进行判断，若r d >则相离；若r d =则相切；若r d <则相交；本题考查考生的综合分析能力和运算能力.12.【2014上海,文18】已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（）（A ）无论k ，21,P P 如何，总是无解（B)无论k ，21,P P 如何，总有唯一解（C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解（D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解【答案】B【解析】由题意，直线1y kx =+一定不过原点O ，,P Q 是直线1y kx =+上不同的两点，则OP 与OQ 不平行，因此12210a b a b -≠，所以二元一次方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩一定有唯一解．选B.【考点】向量的平行与二元一次方程组的解．【名师点睛】可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y 的二元一次方程组：ax by cdx ey f +=⎧⎨+=⎩,当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解. 当a/d=b/e=c/f 时，该方程组有无数组解. 当a/d=b/e≠c/f 时，该方程组无解.13. 【2014福建,文6】已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是（）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=【答案】D考点：圆的方程，直线的垂直，直线方程.【名师点睛】本题主要考查直线方程与圆的方程及运算能力.直线与圆的位置关系在高考中常以客观题形式出现，本题中用到的垂直结论是：若直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-.14. 【2015湖南文9】已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++ 的最大值为( )A 、6B 、7C 、8D 、9 【答案】B【解析】由题意，AC 为直径，所以24437PA PB PC PO PB PB =++++≤≤+= ,当且仅当点B 为（-1，0）时，PA PB PC ++取得最大值7，故选B. 【考点定位】直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想. 由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键.15. 【2015新课标2文7】已知三点(1,0),A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（）5A.3 4D.3【答案】B【考点定位】本题主要考查圆的方程的求法,及点到直线距离公式.【名师点睛】解决本题的关键是求出圆心坐标,本题解法中巧妙利用了圆的一个几何性质：圆的弦的垂直平分线一定过圆心,注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径r 、弦长l 、圆心到弦的距离d 之间的关系：2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在求圆的方程时常常用到. 二、填空题1. 【2015高考湖南，文13】若直线3450x y -+=与圆()2220x y r r +=>相交于A,B 两点，且120o AOB ∠=（O 为坐标原点），则r =_____. 【答案】【解析】如图直线3450x y -+=与圆2220x y r r +=（＞）交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且120o AOB ∠=，则圆心（0，0）到直线3450x y -+=的距离为12r，12r r =∴，=2 .故答案为2.【考点定位】直线与圆的位置关系【名师点睛】涉及圆的弦长的常用方法为几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则222().2l r d =-本题条件是圆心角，可利用直角三角形转化为弦心距与半径之间关系,再根据点到直线距离公式列等量关系.2.【2014山东.文14】圆心在直线02=-y x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为32，则圆C 的标准方程为 . 【答案】22(2)(1)4x y -+-=考点：圆的方程，直线与圆的位置关系.【名师点睛】本题考查圆的方程、直线与圆的位置关系、弦长问题.此类问题的基本解法有 “几何法”和 “代数法”，涉及切线、弦长问题，往往利用圆心到直线的距离建方程求解. 本题是一道能力题，在考查查直线与圆的位置关系等基础知识的同时，考查考生的计算能力、逻辑思维能力及数形结合思想.是一道常见题型，故考生易于正确解答. 3. 【2014高考重庆文第14题】已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且BC AC ⊥，则实数a 的值为_________.【答案】0或6 【解析】试题分析：圆C 的标准方程为：()()22129x y ++-=,所以圆C 的圆心在()-12，，半径3r =又直线0x y a -+=与圆C 交于,A B 两点，且AC BC ⊥,所以圆心C 到直线0x y a -+=的距离d =，整理得：33a -=解得：0a =或6a =. 考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、点到直线的距离公式.【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，本题属于基础题，注意仔细分析题目条件，将垂直条件等价转化为圆心到直线的距离是非常关键的.4. 【2015高考重庆，文12】若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________. 【答案】250xy+-=【考点定位】圆的切线.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.5. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷17】已知圆1:22=+y x O 和点)0,2(-A ，若定点)2)(0,(-≠b b B 和常数λ满足：对圆O 上那个任意一点M ，都有||||MA MB λ=，则:（1）=b ；（2）=λ . 【答案】（1）21-；（2）21【解析】试题分析：设),(y x M ，因为||||MA MB λ=，所以])2[()(22222y x y b x ++=+-λ，整理得04)24()1()1(2222222=+-++-+-λλλλb x b y x ，配方得0141242222222=--+⋅-+++λλλλb x b y x ，因为对圆O 上那个任意一点M ，都有||||MA MB λ=成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+1140242222λλλb b ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2121λb 或⎩⎨⎧-=-=28λb （舍去）.故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2121λb . 考点：圆的性质，两点间的距离公式，二元二次方程组的解法，难度中等.【名师点睛】以圆的方程为载体，重点考查含参数方程的恒成立问题，其解题的关键是正确地使用两点间的距离公式计算线段的长度，准确把握恒成立问题所需条件.充分体现了方程思想在数学问题中的重要性，能较好的考查学生基础知识的识记能力、综合运用能力.6. 【2015高考湖北，文16】如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________；（Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________. 【答案】（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）1-.d ，解之得1k =.即圆C在点B 处的切线方程为x 1)y =+，于是令0y=可得x 1=，即圆C 在点B 处的切线在x轴上的截距为1--，故应填22(1)(2x y -+=和1-.【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题.【名师点睛】将圆的标准方程、圆的切线方程与弦长问题联系起来，注重实际问题的特殊性，合理的挖掘问题的实质，充分体现了数学学科特点和知识间的内在联系，渗透着方程的数学思想，能较好的考查学生的综合知识运用能力.其解题突破口是观察出点C 的横坐标.7.【2017江苏，13】在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是 ▲ .【答案】【考点】直线与圆，线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 三、解答题1. 【2015高考广东，文20】（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）()3,0；（2）492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<335x ；（3）存在，752752≤≤-k 或34k =±．【解析】试题分析：（1）将圆1C 的方程化为标准方程可得圆1C 的圆心坐标；（2）先设线段AB 的中点M 的坐标和直线l 的方程，再由圆的性质可得点M 满足的方程，进而利用动直线l 与圆1C 相交可得0x 的取值范围，即可得线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）先说明直线L 的方程和曲线C 的方程表示的图形，再利用图形可得当直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点时，k 的取值范围，进而可得存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点．试题解析：（1）圆1C :22650x y x +-+=化为()2234x y -+=，所以圆1C 的圆心坐标为()3,0（2）设线段AB 的中点00(,)x y M ，由圆的性质可得1C M 垂直于直线l .设直线l 的方程为mx y =（易知直线l 的斜率存在），所以1C 1k m M ⋅=-，00mx y =，所以130000-=⋅-x y x y ，所以0320020=+-y x x ，即49232020=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x .因为动直线l 与圆1C 相交，所以2132<+m m ，所以542<m . 所以202022054x x m y <=，所以20200543x x x <-，解得350>x 或00<x ，又因为300≤<x ，所以3350≤<x .所以),(00y x M 满足49232020=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<3350x即M 的轨迹C 的方程为492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<335x .（3）由题意知直线L 表示过定点T (4,0)，斜率为k 的直线.结合图形，492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<335x 表示的是一段关于x 轴对称，起点为的圆弧.设P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-352,35，则752354352=-=PT k ，而当直线L 与轨迹C 相切时，2314232=+-k k k，解得43±=k.在这里暂取43=k ，因为43752<，所以k k PT <.结合图形，可得对于x 轴对称下方的圆弧，当0k ≤≤或34k =时，直线L 与x 轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知：当0k ≤<或34k =-时，直线L 与x 轴对称上方的圆弧有且只有一个交点.综上所述，当752752≤≤-k 或34k =±时，直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点.考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系.【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程、直线与圆的位置关系，属于难题．解题时一定要注意关键条件“直线l 与圆1C 相交于不同的两点A ，B ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是圆的标准方程和直线与圆的位置关系，即圆22D F0x y x y +++E +=的圆心D ,22E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线与圆相交⇔d r <（d 是圆心到直线的距离），直线与圆相切⇔d r =（d 是圆心到直线的距离）．2. 【2015高考新课标1，文20】（本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点. （I ）求k 的取值范围；（II ）12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .【答案】（I ）4747,33（II ）2【解析】试题分析：（I ）设出直线l 的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于k 的不等式，即可求出k 的取值范围；（II ）设1122(,),(,)M x y N x y ，将直线l 方程代入圆的方程化为关于x 的一元二次方程，利用韦达定理将1212,x x y y 用k 表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及12OM ON ⋅=列出关于k 方程，解出k ，即可求出|MN|. 试题解析：（I ）由题设，可知直线l 的方程为1ykx .因为l 与C1.47473k.所以k 的取值范围是4747,33.由题设可得24(1)8=121k k k ，解得=1k ，所以l 的方程为1yx .故圆心在直线l 上，所以||2MN .考点：直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力【名师点睛】直线与圆的位置关系问题是高考文科数学考查的重点，解决此类问题有两种思路，思路1：将直线方程与圆方程联立化为关于x 的方程，设出交点坐标，利用根与系数关系，将1212,x x y y 用k 表示出来，再结合题中条件处理，若涉及到弦长用弦长公式计算，若是直线与圆的位置关系，则利用判别式求解;思路2：利用点到直线的距离计算出圆心到直线的距离，与圆的半径比较处理直线与圆的位置关系，利用垂径定理计算弦长问题. 3．【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy 中，曲线与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为.当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【答案】（1）不会；（2）详见解析试题解析：（1）设，则是方程的根，所以，则，所以不会能否出现AC ⊥BC 的情况.（2）解法1：过A ，B ，C 三点的圆的圆心必在线段AB 垂直平分线上，设圆心，则，由得，化简得，所以圆E 的方程为，令得，所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为，所以所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值解法2：设过A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D，由可知原点O在圆内，由相交弦定理可得，又，所以，所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为，为定值.【考点】圆一般方程，圆弦长【名师点睛】：直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．。

高三专题复习直线和圆知识点和经典例题(附含答案解析)

高三专题复习直线和圆知识点和经典例题(附含(Han)答案解析)【知识要(Yao)点】圆的(De)定义：平面内与一定点距离(Li)等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标(Biao)准方程形如：这个方程叫做圆的标准方程。

说明：1、若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是。

2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a,b,r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。

就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定a,b,r ，可以根据3个条件，利用待定系数法来解决。

（二）圆的一般方程将圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-,展开可得。

可见，任何一个圆的方程都可以写成 :。

问题：形如022=++++F Ey Dx y x 的方程的曲线是不是圆？将方程022=++++F Ey Dx y x 左边配方得：（1）当时，方程（1）与标准方程比较，方程022=++++F Ey Dx y x 表示以为圆心，以为半径的圆。

（2）当时，方程022=++++F Ey Dx y x 只有实数解，解为,所以表示一个点)2,2(ED --.（3）当时，方程022=++++F Ey Dx y x 没有实数解，因而它不表示任何图形。

圆的一般方程的定义：当0422>-+F E D 时，方程022=++++F Ey Dx y x 称为圆的一般方程.圆的一般方程的特点：（i ）的系数相同，不等于零；（ii ）没有xy 这样的二次项。

（三）直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离； (2)相切---求切线；（3）相交---求焦点弦长。

2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式(Shi)，利用圆的方程求出圆心和半径（2）利(Li)用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作(Zuo)判断(Duan): 当(Dang)d>r时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切;当d<r时，直线与圆相交。

备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之直线与圆：专题三两条直线的位置关系含解析

I ．题源探究·黄金母题【例1】已知两条直线1l ：(3)453m x y m ++=-，2l ：2(5)8x m y ++=，m 为何值时，1l 与2l ：（1）相交；（2）平行；（3）垂直．【答案】（1）7m ≠-且1m ≠-；（2）7m =-；（3）133m =-【解析】（1）若直线1l 与2l 相交，则有(3)(5)8m m ++≠，解得7m ≠-且1m ≠-．（2）若直线1l 与2l 平行，则有3453258m mm +-=≠+，解得7m =-．（3）若直线1l 与2l 垂直，则有2(3)4(5)0m m +++=，解得133m =-． II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016上海高考卷】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离____________.【解析】利用两平行线间距离公式得d ===【例3】【2013年辽宁高考卷】已知点(0,0),(0,)O A b ，3(,)B a a ．若ABC ∆为直角三角形，则必有（）A ．3b a = B ．31b a a=+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--= 【答案】C【例4】【2013年高考湖南卷】在等腰三角形ABC 中,=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发,经,BC CA 发射后又回到原点P [如图)．若光线QR 经过ABC ∆的中心,则AP 等于（）A ．2B ．1C ．83D ．43【答案】D【解析】以A 为原点AB 为x 轴建立直角坐标系，取三角形ABC 的重心M ，其关于y 轴的对称点为,'M 关于BC 的对称点为N ，则44(,)33M ，44'(,)33M -，)38,38(N ．设)0,(a P ，则,3838,3434'ak a k NP PM -=+-=又PQNPPQ P M k k k k 1,'=-=，所以48334833aa -=+，解得34=a ．【例5】【2012高考真题浙江理3】设a ∈R ，则“1a =”是“直线1l ：20ax y +=与直线2l ：()140x a y +++=平行的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当1=a 时，直线1l ：02=+y x ，直线2l ：042=++y x ，则12l l ；若12l l ，则有012)1(=⨯-+a a ，即022=-+a a ，解之得，2-=a 或1=a ，所以不能得到1=a ，故选A.【例6】【2011浙江高考卷】若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =___________．【答案】1【解析】利用直线与直线垂直的充要条件1212A A B B +＝0，得1220m ⨯-=，解得1m =．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修二第109页习题2.3A 组第3题．【母题评析】本题根据方程含有参数的两条直线的位置关系，求参数的值．本题包括了两条位置关系中三类典型的位置关系，具有较强的代表性，命题人常常以此为母题加以改造命制新的高考试题．【思路方法】根据方程含有参数的两条直线的位置关系，求参数的值，主要是利用平行、垂直的充要条件建立等式或不等式来求解．【命题意图】本类题主要考查两条直线的位置关系，以及考查逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想的应用、分类讨论思想的应用．【考试方向】这类试题在考查题型上，既可以单独命题在选择题与填空题中考查，也可渗透于直线与圆、直线与圆锥曲线等综合题中，涉及到知识难度中等或中等偏下．【难点中心】处理两条直线的位置关系问题，主要两类难点：（1）处理方程含有参数的两条直线位置关系时，可能遇到分类讨论，会出现一定错误；；（2）处理距离问题时，常常会遇要对距离由一种形式转化为另一种形式来解决，这也是一个难点．III ．理论基础·解题原理考点一两条直线相交两条直线的交点由直线1l 的方程1110A x B y C ++=与直线2l 的方程2220A x B y C ++=构成方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩．若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行．考点二两条直线平行1两条直线平行：设两条不重合的直线1l ，2l 的斜率分别为1k 、2k ，则12l l ⇔12k k =．特别地，当直线1l 、2l 的斜率都不存在时，1l 与2l 的关系为平行．考点三两条直线垂直设两条不重合的直线1l ，2l 的斜率分别为1k 、2k ，则12l l ⊥⇔121k k ⋅=-．特别地当直线1l 、2l 中一条的斜率为0，另一条斜率不存在时，1l 与2l 的关系为垂直．考点四平行线间距离两平行直线距离公式：平行直线1l ：10Ax By C ++=与直线2l ：2120()Ax By C C C ++=≠间的距离：d =IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题可单独命题在选择题与填空题中出现，也可以渗透的形式出现在直线与圆的位置关系、直线与圆锥曲线的位置关系等综合题中，涉及难度中档略偏下．【技能方法】（1）抓住斜率，判断其关系，若遇平行，还须判断两条直线的截距是否相同；（2）已知两条直线的位置关系，通常要建立方程或不等式来解决.．（3）当给出的条件较复杂时，常常要结合待定系数法求直线方程.．【易错指导】（1）求两平行线间距离时，忽视两条直线方程中,x y 系数的一致性；（2）处理两条直线的平行关系，一定要注意两条直线的截距相同．（3）无论是两条直线垂直，还是平行，还是其它的位置关系，千万要注意直线斜率不存在的情况．V ．举一反三·触类旁通考向1 两条直线的平行问题【例7】【2016海南中学考前模拟十一】若直线10ax y -+=与直线220x y ++=平行，则a 的值为（）A ．-2B ．-1C ．12D ．1 【答案】A【题型归纳】求解两条直线的平行问题，要关注两个方面：（1）两条直线的斜率之间的关系，注意斜率不存在的情况；（2）在斜率相同的条件下考虑它们的截距是否相等．【跟踪练习】【2016届吉林省吉林大学附中高三上第四次摸】直线1l ：30ax y --=，2l ：0x by c ++=，则1ab =-是12l l 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】当1ab =-且3c =时，1l 与2l 重合，而12l l 时一定有()110a b ⨯--⨯=，即1ab =-，所以1ab =-是12l l 的必要不充分条件，故选B ．考向2 两条直线垂直问题【例8】【2016山东牟平一中上期期末】直线()12230a x y --+=与直线320x y a ++=垂直，则实数a 的值为（） A ．52-B ．16C ．56D ．72【答案】B【技巧点拨】判断斜率存在的两直线垂直是考虑它们的斜率之积是否为1-，对于判断方程以一般式给出的直线1l ：1110A xB yC ＋＋＝，2l ：2220A x B y C ＋＋＝是否垂直，通常判断12120A A B B ＋＝是否成立．【跟踪练习】【2016贵阳市一中第五次月考】已知1b >，直线2(1)20b x ay +++=与直线(1)10x b y ---=互相垂直，则a 的最小值等于（）A ．1B ．1C ．2D ．2 【答案】C【解析】1b >，因为直线2(1)20b x ay +++=与直线(1)10x b y ---=互相垂直，所以由2(1)b +-(1)0a b -=，得2122122111b a b b b b -=+=-++---≥，当1b 时，等号成立，故选C ．考向3 两条直线的交点问题【例9】【2016浙江绍兴市一中上学期期中】设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +（）A ．最小值为15BC ．最大值为15D 【答案】A【解析】直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，则点(1,0)A ，(2,1)B ，应分布在直线1ax by +=两侧，将(1,0)A 与(2,1)B 代入，则()110(2)a a b -+-≤，以a 为横坐标，b 为纵坐标画出区域如下图：则原点到区域内点的最近距离为OA ，即原点到直线210a b +-=的距离，OA =，22a b +表示原点到区域内点的距离的平方，∴22a b +的最小值为15，故选A ．【方法点睛】求解两条直线交点问题的处理方法：（1）通过解方程组求出交点坐标，再结合其它条件求解；（2）根据相关的条件得出交点坐标，然后此交点代入两条直线方程进行求解．【跟踪练习】【2016广东华南师大附中高三5月】已知直线1:l 210x y --=，直线2:l 10ax by -+=，其中a ，{}1,2,3,4,5,6b ∈．则直线1l 与2l 的交点位于第一象限的概率为（） A ．16 B ．14 C ．13 D ．12【答案】A考向4 距离公式的应用【例10】【2017贵州铜仁一中上期入学模拟】已知直线3430x y +-=，6140x my ++=平行，则它们之间的距离是___________．【答案】2【解析】因为直线3430x y +-=，6140x my ++=平行，所以364m=，解得8m =，则6140x my ++=化为3470x y ++=732--=．【易错警示】利用点到直线的距离公式时，一定要注意将直线方程化为一般式，同时代点的坐标时注意准确性；而利用平行线间的距离公式必须注意两条直线方程的系数要一致．【跟踪练习】【2016重庆市巴蜀中学高三3月月考】已知曲线12-=x xy 在点)4,2(P 处的切线与直线l 平行且距离为52，则直线l 的方程为（） A ．022=++y x B ．022=++y x 或0182=-+y x C ．0182=--y x D ．022=+-y x 或0182=--y x 【答案】B考向5 关于特殊点与直线的对称问题【例11】【2016山东枣庄市三中12月月考】原点O 关于直线2x y +=对称点P 的坐标________．【答案】(2,2)【解析】设(,)P a b ，则01000222b a a b -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+=⎪⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩，即(2,2)P ．【名师点睛】直线中关于特殊点与直线的对称主要体现为关于原点、关于x 轴、关于y 轴等的对称，如果对称轴为非特殊点与直线，解答时主要用到中点坐标公式与两条直线垂直条件，通过建立方程组来解决．【跟踪练习】【2016长春十一中上期中】如图，已知()()4,0,0,4A B ，从点()2,0P 射出的光线经过直线AB 反射后再射到直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（）A ．3 B． C． D．【答案】B【解析】点()2,0P 关于y 轴的对称点P '坐标是()2,0-，设点P 关于直线40:x y AB +-=的对称点(),P a b ''，则()011422204022b a a b a b -⎧⨯-=-⎪=⎧⎪-⇒⎨⎨=++⎩⎪+-=⎪⎩，故光线所经过的路程P P '''=，故选B ．考向6 两条直线位置关系的应用【例12】【2016届江西省南昌市高三第一次模】已知点P 在直线320x y +-=上，点Q 在直线360x y ++=上，线段PQ 的中点为00()M x y ，，且002y x <+，则0y x 的取值范围是（）A. 1[,0)3-B. 1(,0)3-C. 1(,)3-+∞D. 1(,)(0,)3-∞-+∞【答案】D【方法点拨】两条直线的位置关系的应用，在试题中主要表示为某两条直线平行或垂直为条件，以此为依托设置与其它知识相关的问题，解答时通常从两条直线的平行或垂直关系入手，探究出新的结论，然后利用此结论解决相关问题．【跟踪练习】【江西上饶重点六校二模理】设m ∈R ，过定点A 的动直线10x my +-=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点()P x y ，，则•P A P B 的最大值是___________．【答案】5【解析】由题意可得(10)(23)A B ，，，，且两直线斜率之积等于1-，所以直线10x my +-=和直线230mx y m --+=垂直，则222102PA PB AB PAPB +==≥‖，所以•5PA PB ≤．。

2017届高三文科数学二轮复习：第1部分专题5 突破点11 直线与圆含解析

专题五平面解析几何建知识网络明内在联系高考点拨]平面解析几何是高考的重点内容，常以“两小一大”呈现，两小题主要考查直线与圆的位置关系．双曲线的图象和性质(有时考查抛物线的图象和性质)，一大题常考查以椭圆(或抛物线)为背景的图象和性质问题．基于上述分析，本专题将从“直线与圆”“圆锥曲线的定义、方程、几何性质”“圆锥曲线中的综合问题”三条主线引领复习和提升．突破点11直线与圆提炼1圆的方程(1)圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.(2)圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F ＞0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F2为半径的圆．提炼2 求解直线与圆相关问题的两个关键点 (1)三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理．(2)两个公式：点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2，弦长公式|AB |＝2r 2－d 2(弦心距d )．提炼3 求距离最值问题的本质 (1)圆外一点P 到圆C 上的点距离的最大值为|PC |＋r ，最小值为|PC |－r ，其中r 为圆的半径．(2)圆上的点到直线的最大距离是d ＋r ，最小距离是d －r ，其中d 为圆心到直线的距离，r 为圆的半径．(3)过圆内一点，直径是最长的弦，与此直径垂直的弦是最短的弦．回访1 圆的方程1．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎨⎧m 2＋4＝r 2，(4－m )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.]2．(2014·山东高考)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为______________________．(x －2)2＋(y －1)2＝4 设圆C 的圆心为(a ，b )(b >0)，由题意得a ＝2b >0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.]回访2 直线与圆的相关问题3．(2016·全国甲卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43 B.－34 C. 3D.2A 由圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.] 4．(2016·全国乙卷)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．4π 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.]热点题型1 圆的方程题型分析：求圆的方程是高考考查的重点内容，常用的方法是待定系数法或几何法．(1)(2016·黄山一模)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成的两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为________．(2)(2016·郑州二模)已知⊙M 的圆心在第一象限，过原点O 被x 轴截得的弦长为6，且与直线3x ＋y ＝0相切，则圆M 的标准方程为________．(1)x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43 (2)(x －3)2＋(y －1)2＝10 (1)因为圆C 关于y 轴对称，所以圆C 的圆心C 在y 轴上，可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2. 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋(－b )2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝43，b ＝±33.所以圆C 的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43.(2)法一：设⊙M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(a ＞0，b ＞0，r ＞0)，由题意知⎩⎨⎧b 2＋9＝r 2，|3a ＋b |32＋12＝r ，a 2＋b 2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝10，故⊙M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.法二：因为圆M 过原点，故可设方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0，又被x 轴截得的弦长为6且圆心在第一象限，则⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 22＝32，故D ＝－6，与3x ＋y ＝0相切，则－E 2－D2＝13，即E ＝13D ＝－2，因此所求方程为x 2＋y 2－6x －2y ＝0.故⊙M 的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.]求圆的方程的两种方法1．几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．2．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．变式训练1] (1)已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝4 B.(x ＋1)2＋y 2＝4 C.x 2＋(y －1)2＝4D.x 2＋(y ＋1)2＝4(2)(2016·长春一模)抛物线y 2＝4x 与过其焦点且垂直于x 轴的直线相交于A ，B 两点，其准线与x 轴的交点为M ，则过M ，A ，B 三点的圆的标准方程为________．(1)B (2)(x －1)2＋y 2＝4 (1)由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a,0)，a ＞－2，半径为r ，得⎩⎨⎧(a ＋2)2＋(3)2＝r 2，|2a －4|4＋5＝r ，解得满足条件的一组解为⎩⎨⎧a ＝－1，r ＝2，所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. 故选B.(2)由题意知，A (1,2)，B (1，－2)，M (－1,0)，△AMB 是以点M 为直角顶点的直角三角形，则线段AB 是所求圆的直径，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.]热点题型2 直线与圆、圆与圆的位置关系题型分析：直线与圆、圆与圆的位置关系是高考考查的热点内容，解决的方法主要有几何法和代数法．(1)(2016·全国丙卷)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.4 如图所示，∵直线AB 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，∴∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. 在Rt △BOD 中， ∵|OB |＝23，∴|OD |＝2.取AB 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥AB ， ∴OH 为直角梯形ABDC 的中位线，∴|OC|＝|OD|，∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4.](2)(2016·开封一模)如图13-1，已知圆G：(x－2)2＋y2＝r2是椭圆x216＋y2＝1的内接△ABC的内切圆，其中A为椭圆的左顶点．(1)求圆G的半径r；(2)过点M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，证明：直线EF与圆G 相切．图13-1解](1)设B(2＋r，y0)，过圆心G作GD⊥AB于D，BC交长轴于H.由GDAD＝HBAH得r36－r2＝y06＋r，即y0＝r6＋r6－r，①2分而B(2＋r，y0)在椭圆上，y20＝1－(2＋r)216＝12－4r－r216＝－(r－2)(r＋6)16，②3分由①②式得15r2＋8r－12＝0，解得r＝23或r＝－65(舍去).5分(2)证明：设过点M(0,1)与圆(x－2)2＋y2＝49相切的直线方程为y＝kx＋1，③则23＝|2k＋1|1＋k2，即32k2＋36k＋5＝0，④解得k1＝－9＋4116，k2＝－9－4116.将③代入x216＋y2＝1得(16k2＋1)x2＋32kx＝0，则异于零的解为x＝－32k16k2＋1.8分设F(x1，k1x1＋1)，E(x2，k2x2＋1)，则x1＝－32k116k21＋1，x2＝－32k216k22＋1，9分则直线FE的斜率为k EF＝k2x2－k1x1x2－x1＝k1＋k21－16k1k2＝34，于是直线FE的方程为y＋32k2116k21＋1－1＝34⎝⎛⎭⎪⎫x＋32k116k21＋1.即y＝34x－73，则圆心(2,0)到直线FE的距离d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－731＋916＝23，故结论成立.12分1．直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点的距离，利用勾股定理计算．2．弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l＝2r2－d2(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)．(2)根据公式：l＝1＋k2|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)．(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解．变式训练2](1)(2016·哈尔滨一模)设直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则直线l的方程为________.【导学号：85952047】y ＝x ＋1 直线l 恒过定点M (0,1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，易知点M (0,1)在圆C 的内部，依题意当l ⊥CM 时直线l 被圆C 截得的弦最短，于是k ·1－00－1＝－1，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.](2)(2016·泉州一模)已知点M (－1,0)，N (1,0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍．①求曲线E 的方程；②已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点．当CD 的斜率为－1时，求直线CD 的方程．解] ①设曲线E 上任意一点坐标为(x ，y )，由题意，(x ＋1)2＋y 2＝3(x －1)2＋y 2，2分整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0，即(x －2)2＋y 2＝3为所求.4分②由题知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1,0)，设曲线E 的圆心为E ，则E (2,0)，线段CD 的中点为P ，则直线EP ：y ＝x －2，设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎨⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t ，解得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22，t －22.7分由圆的几何性质，|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222，|ED |2＝3， |EP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝⎛⎭⎪⎫t －222＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，解得t ＝0，或t ＝3，11分所以直线CD 的方程为y ＝－x 或y ＝－x ＋3.12分。

高考直线与圆知识点

高考直线与圆知识点直线与圆是高中数学中重要的几何概念之一，也是高考中常考的知识点。

了解直线和圆的性质，能够灵活运用相关定理和公式，对解题和理解几何问题有很大帮助。

本文将介绍高考直线与圆的一些重要知识点，帮助同学们更好地掌握相关内容。

一、直线的斜率直线的斜率是指直线在平面直角坐标系中与$x$轴正方向夹角的正切值。

设直线L的斜率为$k$，则有斜率公式：\[k = \tan \theta = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$为直线上的两个点。

直线的斜率决定了其在平面直角坐标系中的倾斜程度。

二、直线的方程直线的方程可以由直线上的一点和其斜率求得。

直线的一般方程形式为$Ax + By + C = 0$，其中$A$、$B$、$C$为常数。

而直线的斜截式方程为$y = kx + b$，其中$k$为斜率，$b$为截距。

根据已知信息，可以通过这两种形式的方程来确定直线的位置和性质。

三、圆的方程圆的方程可以用不同的方式表示。

设圆的圆心坐标为$(a, b)$，半径为$r$，则有以下三种常见的圆的方程形式：标准方程、一般方程和截距方程。

1. 标准方程：$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$2. 一般方程：$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，其中$D$、$E$、$F$为常数。

3. 截距方程：$\left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1$，其中$a$、$b$分别是$x$轴和$y$轴上的截距。

四、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的位置关系主要有以下三种情况：- 直线与圆相离，即直线不交圆。

- 直线与圆相切，即直线与圆只有一个交点。

- 直线与圆相交，即直线与圆有两个交点。

2. 判断直线和圆的位置关系的方法有很多，常用的是判别式法和距离关系法。