广东省2018-2019年高三下学期质量检查(4月)数学(文)

普通中学高中毕业班质量检查文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复平面内，复数6i i z =+对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2.已知集合{|04}A x Z x =∈≤≤，{|(1)(3)0}B x x x =+-≤，则A B = （ ）A ．{0123}，，， B ．{}123，， C ．{}|03x x ≤≤ D ．{}|14x x -≤≤ 3.已知{}n a 是等比数列，11a =，32a =，则51016a a a a +=+（ ）A ．1B ．2C ．4D ．84.用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，则两个小球颜色不同的概率为（ ）A ．13B ．12 C.23 D ．585.若tan 2θ=，则sin 2θ=（ ） A ．45 B ．45± C.25 D ．25± 6.执行如图所示的程序框图，如果输入的6N =，则输出的S 值为（ ）A ．25B ．5 C.6 D ．77.设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，(0)B b ，，若直线FB 与C 的一条渐近线垂直，则C 的离心率为（ ）A 1 D 8.玉琮是古代祭祀的礼器，如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆外方，前后对穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“璧圆象天，琮方象地”的天地思想，该玉琮的三视图及尺寸数据（单位：cm ）如图所示.根据三视图可得该玉琮的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．25614π+B ．25616π+ C.25629π- D ．25622π- 9.已知图象：则函数ln ()x f x x =，()ln g x x x =，()x m x x e =⋅，()x xn x e=对应的图象分别是（ ） A ．①②③④ B ．①②④③ C.②①④③ D ．②①③④10.如图，在下列四个正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 均为所在棱的中点，过E ，F ，G 作正方体的截面，则在各个正方体中，直线1BD 与平面EFG 不垂直的是（ ）A ．B ．C. D ．11.已知抛物线C ：24x y =，P 在C 的准线l 上，直线PA ，PB 分别与C 相切于A ，B ，M 为线段AB 的中点，则下列关于AB 与MP 的关系正确的是（ ）A ．AB MP = B ．2AB MP = C.2AB MP < D ．2AB MP > 12.已知函数ln(1)01()140x x x e f x e x +<-⎧=⎨--⎩，，≤≤≤，若函数1()()g x f x x a e =--恰有个3零点，则a 的取值范围是（ ）A ．[12)e --，B ．[10)(02)e -- ，， C.3[40)e e --， D ．3[10)(04]e e -+- ，， 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量a ，b ，若a 在b 方向上的投影为3，2b = ，则a b ⋅=．14.已知函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，2()sin2xf x x π=+，则(1)f -=．15.设x ，y 满足约束条件1010220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤，则1y z x =+的取值范围是．16.数列{}n a 满足21(1)n n n a a n ++=+-，则1011a a -=．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，2cos 2c A a b ⋅-=. （1）求C ；（2）若4a b ==，D 是AB 边上一点，且ACD △sin BDC ∠. 18.如图，正三棱柱111ABC A B C -中1AA AB =，D 为1BB 的中点.（1）求证：1AC AD ⊥； （2）若点P 为四边形11ABB A 内部及其边界上的点，且三棱锥P ABC -的体积为三棱柱111ABC A B C -体积的16，试在图中画出P 点的轨迹，并说明理由. 19. 德化瓷器是泉州的一张名片，已知瓷器产品T 的质量采用综合指标值M 进行衡量，[810]M ∈，为一等品；[48)M ∈，为二等品；[04)M ∈，为三等品.某瓷器厂准备购进新型窑炉以提高生产效益，在某供应商提供的窑炉中任选一个试用，烧制了一批产品并统计相关数据，得到下面的频率分布直方图：（1）估计该新型窑炉烧制的产品T 为二等品的概率；（2）根据陶瓷厂的记录，产品各等次的销售率（某等次产品销量与其对应产量的比值）及单件售价情况如下：根据以往的销售方案，未售出的产品统一按原售价的50%全部处理完.已知该瓷器厂认购该窑炉的前提条件是，该窑炉烧制的产品同时满足下列两个条件：①综合指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）不小于6； ②单件平均利润值不低于4元.若该新型窑炉烧制产品T 的成本为10元/件，月产量为2000件，在销售方案不变的情况下，根据以上图表数据，分析该新型窑炉是否达到瓷器厂的认购条件.20. 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为A ，B ，2a b =，点E 在C 上，E 在x 轴上的射影为C 的右焦点F ，且12EF =.（1）求C 的方程；（2）若M ，N 是C 上异于A ，B 的不同两点，满足BM BN ⊥，直线AM ，BN 交于点P ，求证：P 在定直线上.21. 已知函数()(2)1x f x e x ax =-++.（1）当(2)3f =时，判断0x =是否为()f x 的极值点，并说明理由；（2）记21()()22g x f x ax ax =+-.若函数()g x 存在极大值0()g x ，证明：0()1g x -≥.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ<≤）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线C ：=4cos ρθ. （1）当4πα=时，求C 与l 的交点的极坐标；（2）直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且两点对应的参数1t ，2t 互为相反数，求AB 的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x a x =-++.（1）当1a = 时， 求不等式()f x ≤5 的解集； （2）0x ∃∈R ，0()21f x a +≤，求a 的取值范围.文科数学试题参考答案及评分细则一、选择题1-5:BACCA 6-10:CBDDD 11、12：BB二、填空题13.6 14.2 15.[01]，16.5150 三、解答题17.解法一：（1）根据正弦定理，2cos 2c A a b ⋅-=等价于2sin cos sin 2sin C A A B ⋅-=．又因为在ABC △中，)sin()πsin(sin C A C A B +=--=C A C A sin cos cos sin +=．故2sin cos sin 2sin cos 2cos sin C A A A C A C ⋅-=+， 从而sin 2sin cos A A C -=， 因为()0πA ∈，，所以sin 0A ≠，得1cos 2C =-， 因为()0πC ∈，，所以2π3C =．（2）由4a b ==，可得π6A B ==，因为1sin 2ACD S AC AD A =⋅⋅△3=，所以AD =根据余弦定理，得22π424cos 76CD =+-=，即CD在ACD △4sin 2ADC =∠，得sinADC ∠== 因为πBDC ADC ∠+∠=，故sin BDC ∠=解法二：（1）同解法一． （2）由4a b ==，可得π6A B ==， 根据正弦定理sin sin sin a b cA B C==，可得c =取AB 的中点M ，连接CM ，CM 为ABC ∆边AB 上的高，且4sin 2CM A ==，由321=⨯⨯=CM AD S ACD △，得AD DM ==．又在直角三角形CMD 中，DM =2CM =，得CD =所以sin BDC ∠=18.解法一：（1）证明：取AB 的中点F ，连接1,CF A F ， ∵1AA ⊥平面ABC ，CF ⊂平面ABC ， ∴所以1AA CF ⊥．∵CAB ∆为正三角形，F 为AB 的中点， ∴CF AB ⊥，又∵⊂AB AA ,1平面11AA B B ，A AB AA = 1， ∴CF ⊥平面11AA B B ，又∵⊂AD 平面11AA B B ，所以CF AD ⊥正方形11AA B B 中，∵1Rt A AF Rt ABD △△≌，∴A FA DAB 1∠=∠， 又∵︒=∠+∠9011A FA AFA ，∴︒=∠+∠901DAB AFA ，故1AD A F ⊥， 又∵1CF A F F =I ，1,CF A F ⊂平面1ACF ， ∴AD ⊥平面1ACF ， 又∵⊂C A 1平面CF A 1，∴1AC AD ⊥． （Ⅱ）取1AA 中点E ，连接DE ，则线段DE 为点P 的运动轨迹． 理由如下11:∵//DE AB ，DE ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， ∴//DE 平面ABC ， ∴P 到平面ABC 的距离为112BB ． 所以11132P ABC ABC V S BB -∆=⋅⋅ 11111166ABC ABC A B C S BB V ∆-=⋅=． 解法二：（Ⅰ）证明：取AB 的中点F ，连接1,CF A F ，11正三棱柱中，平面⊥11A ABB 平面ABC ，平面 11A ABB 平面AB ABC =，⊂CF 平面ABC ， 因为CAB ∆为正三角形，F 为AB 的中点，所以CF AB ⊥，从而CF ⊥平面11AA B B ，所以CF AD ⊥．正方形11AA B B 中，因为1Rt A AF Rt ABD ∆≅∆，所以A FA DAB 1∠=∠， 又因为︒=∠+∠9011A FA AFA ，所以︒=∠+∠901DAB AFA ，故1AD A F ⊥，又因为1CF A F F =I ，1,CF A F ⊂平面1ACF ，所以AD ⊥平面1ACF ，11又因为⊂C A 1平面CF A 1，所以1AC AD ⊥． （2）取1AA 中点E ，连接DE ，则线段DE 为点P 的运动轨迹．理由如下． 设三棱锥ABC P -的高为h ， 依题意1616131111BB S V h S V ABC C B A ABC ABC ABC P ⋅⋅==⋅⋅=∆-∆- 故121BB h =． 因为E D ,分别为11,AA BB 中点，故//DE AB ，又因为DE ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以//DE 平面ABC ，所以P 到平面ABC 的距离为112BB ． 19.解法一：（1）记A 为事件“该新型窑炉烧制的产品T 为二等品”．由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品T 为二等品的频率为(0.110.17)20.54+⨯=， 故事件A 的概率估计值为0.54．（2）①先分析该窑炉烧制出的产品T 的综合指标值的平均数： 由直方图可知，综合指标值的平均数(10.0130.0450.1170.1690.18)2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯ 6.84=．该窑炉烧制出的产品T 的综合指标值的平均数的估计值6.846>， 故满足认购条件①．②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值：由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品T 为一、二、三等品的概率估计值分别为0.36，0.54，0.1． 故2000件产品中，一、二、三等品的件数估计值分别为720件，1080件，200件． 一等品的销售总利润为8720(2010)64009⨯⨯-=元；二等品的销售总利润为211080(1610)1080(108)360033⨯⨯--⨯⨯-=元； 三等品的销售总利润为23200(1210)200(106)32055⨯⨯--⨯⨯-=-元．……11分故2000件产品的单件平均利润值的估计值为(64003600320)2000 4.84+-÷=元， 有满足认购条件②，综上所述，该新型窑炉达到认购条件． 解法二： （1）同解法一． （2）①同解法一．②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值：由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品T 为一、二、三等品的概率估计值分别为0.36，0.54，0.1． 故2000件产品的单件平均利润值的估计值为821230.36(2010)0.54(1610)(108)0.1(1210)(106)93355⎡⎤⎡⎤⨯⨯-+⨯⨯--⨯-+⨯⨯--⨯-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦4.84=元，有满足认购条件②．综上所述，该新型窑炉达到认购条件．20.解法一：（1）因为12EF =，所以212b a =． 又因为2a b =，所以1,2==b a ．故椭圆C 的方程 （2）设直线BM 的方程为(2)y k x =-，代入椭圆C 的方程，得2222(14)161640k x k x k +-+-=设2111()(4)M x y x ≠，，则212164214k x k -=+，解得2128214k x k-=+，12414ky k -=+， 所以222824,1414k k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.用1k -替换k ，可得22282444k k N kk ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，. 解得直线AM 的斜率为2224114824214kk k kk -+=--++，直线BN 的斜率1k -，所以直线AM 的方程为：1(2)4y x k -=+① 直线BN 的方程为：1(2)y x k-=-② 由①②两直线的交点P 的横坐标103x =，所以点P 在定直线103x =上．解法二：（1）依题意，1()2E c ±，，代入椭圆方程，得141222=+b a c因为222b ac -=，代入整理得212b a =． 又因为2a b =，所以1,2==b a ．故椭圆C（2）证明：(20)A -，，(20)B ，设2000()(4)M x y x ≠，，因为点M 在椭圆C设 ()P t m ，，由于A ，M ，P 三点共线，所以()0022y m t x =++． 又BM BN ⊥，所以0BM BP ⋅=．所以()()000022202y x y t t x ⎛⎫-⋅-+= ⎪+⎝⎭，，， 即()()()200022202y x t t x -⋅-++=+整理得()()()()22001422044x x t t -⋅--+=-因为204x ≠，解得103t =，所以点P 在定直线103x =上．解法三：（1）同解法一或解法二；（2）设2111()(4)M x y x ≠，，直线NB MB MA ,,的斜率分别为321,,k k k ，则2111122111224y y y k k x x x =⋅=+--， 又221114x y =-，所以1214k k =-．又BM BN ⊥，则231k k =-．所以314k k =． 设直线MA 的方程为(2)y k x =+① 则直线BN 的方程为4(2)y k x =-②则两直线的交点的横坐标．所以点P 在定直线103x =上． 21.解：（1）由(2)3f =，可得1a =， 故()(2)1xf x x x =-++e ．0=x 不是)(x f 的极值点.理由如下：'()(1)1x f x x =-+e ． 记()(1)1x g x x =-+e ，则'()xg x x =⋅e .由'()0e x g x x =⋅≤，解得0≤x ；由'()0e xg x x =⋅≥，解得0x ≥， 所以()g x 在(,0]-∞单调递减，在[0,)+∞单调递增，故'()f x =()(0)0g x g ≥=，即()f x 在,)-∞+∞（恒单调递增， 故0=x 不是)(x f 的极值点．（2）依题意，21()(2)12xg x x ax ax =--++e ． 则'()()(1)xg x a x =+-e ．①0a ≥时，'()0g x ≤在(1]x ∈-∞，恒成立，'()0g x ≥在[1)x ∈+∞，恒成立， 所以()g x 在R 上先减后增，故()g x 在R 上有极小值，无极大值，应舍去．②a =-e 时，'()0g x ≤在(1]x ∈-∞，恒成立，'()0g x ≥在[1)x ∈+∞，恒成立， 所以()g x 在R 上先减后增，故()g x 在R 上有极小值，无极大值，应舍去． ③a <-e 时，由'()0g x =得ln()x a =-和1x =， 因为ln()1a ->，故有下列对应关系表：故()=(1)12g x g a =--+e 极大值， 记1()12h a a =--+e ， 因为1()12h a a =--+e 在()a ∈-∞-e ，上单调递减，所以()()112h a h >-=->-ee ．④当0a -<<e 时，因为ln()1a -<，故故2()=(ln())ln ()2()ln()212g x g a a a a a a -=-+--++极大值，设(0)t a =-∈e ，， 记21()2ln 2ln 12k t t t t t =--+， 则1'()ln (1ln )2k t t t =-，令'()0k t =得1t =和2t =e （舍去），故()(1)1k t k ≥=-．22.【试题简析】解法一：（Ⅰ）由4cos ρθ=，可得24cos ρρθ=， 所以224x y x +=，即2240x y x +-=，\当π4α=时，直线l的参数方程1,1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），化为直角坐标方程为y x =，联立22,40,y x x y x =⎧⎨+-=⎩解得交点为(0,0)或(2,2)， 化为极坐标为(0,0)，π)4（2）由已知直线恒过定点(1,1)P ，又021=+t t ，由参数方程的几何意义知P 是线段AB 的中点，曲线C 是以(2,0)C 为圆心，半径r 2=的圆，且||PC =由垂径定理知：||AB ===解法二：（1）依题意可知，直线l 的极坐标方程为π(R)4θρ=∈， 当0ρ>时，联立π,44cos θρθ,⎧=⎪⎨⎪=⎩解得交点π)4， 当0ρ=时，经检验(0,0)满足两方程， 当0ρ<时，无交点；综上，曲线C 与直线l 的点极坐标为(0,0)，π)4．（2）把直线l 的参数方程代入曲线C ，得22(sin cos )20t t αα+--=， 可知120t t +=，122t t ⋅=-，所以12||AB t t =-==．23.【试题简析】解：（1）当1a =时，()12f x x x =-++， ①当2x -≤时，()21f x x =--，令()5f x ≤即215x --≤，解得32x --≤≤， ②当21x -<<时，()3f x =， 显然()5f x ≤成立，所以21x -<<， ③当1x ≥时，()21f x x =+，令()5f x ≤即215x +≤，解得12x ≤≤， 综上所述，不等式的解集为{}|32x x -≤≤．（2）因为()2()(2)2f x x a x x a x a =-++--+=+≥， 因为0R x ∃∈，有()21f x a +≤成立， 所以只需221a a ++≤，化简可得210a -≥，解得11a a -≤或≥， 所以a 的取值范围为(,1][1,)-∞-+∞ ．。