历年中考数学易错题汇编-旋转练习题及答案

一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．(1)发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b．填空：

当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为(用含a，b的式子表示) (2)应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝4，AB＝1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．

①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．

(3)拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(6，0)，点P 为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

【答案】(1)CB的延长线上， a+b；(2)①CD＝BE，理由见解析；②BE长的最大值为5；(3)满足条件的点P坐标(222)或(222)，AM的最大值为2+4．

【解析】

【分析】

（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；（2）

①根据已知条件易证△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质即可得CD＝BE；②由于线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2+4；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标．如图3中，根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件，由此求得符合条件的点P另一个的坐标．

【详解】

(1)∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，

∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB＝a+b，

故答案为CB的延长线上，a+b；

(2)①CD＝BE，

理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，

∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，

∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，

即∠CAD＝∠EAB，

在△CAD与△EAB中，

AD AB

CAD EAB AC AE

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，

∴△CAD≌△EAB(SAS)，

∴CD＝BE；

②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，

由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC＝AB+BC＝5；

(3)如图1，

∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，

则△APN是等腰直角三角形，

∴PN＝PA＝2，BN＝AM，

∵A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(6，0)，

∴OA＝2，OB＝6，

∴AB＝4，

∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，

∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，

最大值＝AB+AN，

∵AN＝2

AP＝22，

∴最大值为22+4；

如图2，

过P作PE⊥x轴于E，

∵△APN是等腰直角三角形，

∴PE＝AE2，

∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝6﹣42＝22，

∴P(2﹣2，2)．

如图3中，

根据对称性可知当点P在第四象限时，P(2﹣2，﹣2)时，也满足条件．

综上所述，满足条件的点P坐标(2﹣2，2)或(2﹣2，﹣2)，AM的最大值为

22+4．

【点睛】

本题综合考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．

2．（12分）如图1，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接BE，CD，点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点．

（1）观察猜想：图1中，△PMN的形状是；

（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，△PMN的形状是否发生改变？并说明理由；

（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1，AB=3，请直接写出△PMN 的周长的最大值．

【答案】(1) 等边三角形；(2) △PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形,理由见解析；（3）6

【解析】

分析：（1）如图1，先根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，则

BD=CE，再根据三角形中位线性质得PM∥CE，PM=1

2

CE，PN∥AD，PN=

1

2

BD，从而得到

PM=PN，∠MPN=60°，从而可判断△PMN为等边三角形；

（2）连接CE、BD，如图2，先利用旋转的定义，把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，则BD=CE，∠ABD=∠ACE，与（1）一样可得PM=PN，∠BPM=∠BCE，

∠CPN=∠CBD，则计算出∠BPM+∠CPN=120°，从而得到∠MPN=60°，于是可判断△PMN为等边三角形．

（3）利用AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号）得到BD的最大值为4，则PN的最大值为2，然后可确定△PMN的周长的最大值．

详解：（1）如图1．

∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°．

∵AD=AE，∴BD=CE．

∵点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点，

∴PM∥CE，PM=1

2CE，PN∥AD，PN=

1

2

BD，

∴PM=PN，∠BPM=∠BCA=60°，∠CPN=∠CBA=60°，

∴∠MPN=60°，∴△PMN为等边三角形；

故答案为等边三角形；

（2）△PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形．理由如下：连接CE、BD，如图2．

∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=60°，

∴把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，

与（1）一样可得PM∥CE，PM=1

2

CE，PN∥AD，PN=

1

2

BD，

∴PM=PN，∠BPM=∠BCE，∠CPN=∠CBD，

∴∠BPM+∠CPN=∠CBD+∠CBD=∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN为等边三角形．

（3）∵PN=1

2

BD，∴当BD的值最大时，PN的值最大．

∵AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号）

∴BD的最大值为1+3=4，∴PN的最大值为2，∴△PMN的周长的最大值为6．

点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和三角形中位线性质．