勾股定理种经典证明方法
勾股定理的十种证明方法
勾股定理的十种证明方法勾股定理是我们初中时就接触到的重要定理，也是数学史上最为著名的定理之一，在几何运算和三角函数中都有广泛应用。
其说法是：在直角三角形中，直角边上的平方和等于斜边上的平方，即 a^2+b^2=c^2。
本文将会介绍十种不同的证明方法，每种证明方法都体现了数学思维中的不同角度与方法。
1. 几何证明方法这种证明方法是最早的证明方法之一，它主要通过图形来证明定理的正确性。
我们可以通过构建一条边长为 a 和一条边长为 b 的正方形，再以这两条正方形的对角线为直角边构建一个直角三角形，即可证明勾股定理。
2. 相似三角形证明方法这种证明方法主要通过相似三角形来证明勾股定理的正确性。
我们可以画出一系列相似的三角形，来证明斜边和直角边之间的关系。
3. 数学归纳法证明方法根据数学归纳法，证明当 n=1 时定理成立，当 n=k 时定理成立，则推出 n=k+1 时定理也成立。
此证明方法需要适当运用代数知识来完成。
4. 三角函数证明方法使用三角函数来证明勾股定理也是一种有效的证明方法。
通过使用正弦、余弦、正切等函数来证明斜边和直角边之间的关系。
5. 向量证明方法通过考虑向量的长度和夹角关系，证明斜边和直角边之间的关系。
此方法依赖于向量的基本运算和性质。
6. 代数证明方法这种证明方法主要依赖于代数计算的过程，可以通过平方、开方、因式分解等方法来证明定理的正确性。
7. 微积分证明方法从微积分的角度来考虑勾股定理，可以通过求导和积分的运算关系来证明斜边和直角边之间的关系。
8. 数组和矩阵证明方法运用数组和矩阵的运算来证明勾股定理的正确性，需要适当了解数组和矩阵的基本运算和性质。
9. 物理学应用证明方法勾股定理在物理学中也有广泛的应用，比如在机械学中，勾股定理可以用来计算质点的速度和加速度。
10. 函数图像证明方法运用函数图像的特点来证明勾股定理的正确性，需要适当了解函数图像的特点和性质。
对于一些特殊的函数，也可以通过对其函数图像进行研究来证明定理的正确性。
勾股定理500种证明方法
勾股定理500种证明方法勾股定理是数学中的一条重要定理，它是说对于任意直角三角形，斜边的平方等于两个直角边的平方之和。
具体表达式如下：\[a^2+b^2=c^2\]这里，a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。
欧几里得给出了最早的证明方法，他使用了几何构造和演绎的方法来证明这个定理。
1.欧氏证明方法：欧几里得通过将两个直角边的平方进行拼贴，得到一个正方形，并证明这个正方形的面积等于斜边的平方。
2.平行线切割法：通过平行线的切割，将直角三角形分割为几个图形，然后利用这些图形的面积关系证明勾股定理。
3.三角形面积法：通过计算直角三角形各个边上的高，然后将两个直角边的长度和其对应的高代入三角形面积公式，证明勾股定理。
4.变形推导法：将勾股定理移项变形，推导出其他几何定理，再反推回来证明勾股定理。
5.相似三角形法：利用两个直角三角形的相似性质，建立它们之间的边长比例，然后通过约分和乘法证明勾股定理。
6.余弦定理法：利用三角形的余弦定理，将三角形的边长和夹角之间的关系表达式代入勾股定理，然后进行化简证明。
7.对角线法：通过划分直角三角形的对角线，构造与角度相关的图形，然后运用几何性质证明勾股定理。
......（继续列举）这些只是勾股定理证明的几种常见方法，还有很多其他方法，涉及不同的数学分支和概念。
基于这三个基本量的几何关系，有许多方法可以推导出这个定理，每种证明方法都有其独特之处，展示了数学的丰富性和多样性。
通过探究不同的证明方法，我们可以增加对数学的理解和思维能力。
勾股定理是一个基本而重要的定理，它在数学和物理等领域中都有广泛的应用，所以了解多种证明方法可以帮助我们更好地理解和应用这个定理。
勾股定理的所有证明方法
勾股定理的所有证明方法勾股定理是数学中的一个重要定理，它描述了直角三角形的两条短边和长边之间的关系，是中学数学必学内容。
勾股定理有多种推导方法，本文将介绍其中几种比较经典的证明方法。
证明方法一：图形法在平面直角坐标系中，假设有一个直角三角形，三个顶点分别为A（0，0）、B（a，0）、C（0，b），其中AB为直角边，AC为短边，BC为长边。
根据勾股定理，有：AB²+AC²=BC²即a²+ b² = c²这一定理可以通过勾股定理图像证明。
证明方法二：代数法假设直角三角形ABC为直角三角形，角ACB为直角，线段AB为直角边，BC和AC分别为长边和短边。
假设长边为c，其中AC长度为a，BC长度为b。
那么由勾股定理得：c² = a² + b²移动式子的顺序，得a² = c² - b²然后得a = （c² - b²）¹/²同样的，b = （c² - a²）¹/²因此，假设c² = a² + b²，那么a = （c² - b²）¹/²， b =（c² - a²）¹/²的证明结束。
证明方法三：相似性质法由于三角形ABC与其相似的三角形ABC’（BC=BC’）可以通过旋转，翻转或缩放在三角形平面内重叠，因此，我们可以确保AB/CB等于AB’/C’B’。
我们可以推出:AB/BC = C’B’/BC’这是三角形ABC和AC’B’C之间的相似性质。
而对于三角形ABC，根据勾股定理有：AB² + BC² = AC²在代入上述比例式之后有:AB² + BC² = AC²AB² + BC² =(C’B’*BC/BC’)² + (CB –C’B’)²(AB/BC)² + 1=C’B’² / BC’² + (1-C’B’/BC’)²(AB/BC)² + 1= C’B’² / BC’² + (BC’-C’B’)² / BC’²将BC’ =AB,BB’=BC,AC’=C’B’（AB/BC）² + 1 = AC’² / BB’² + (BB’ –AC’)² / BB’²（AB/BC）² + 1 = a² / c² + (c - a)² / c²（AB/BC）² + 1 = a² / c² + (a²) / c² - 2a / c + 1(AB/BC)² + 1= 2a² / c² - 2a / c + 2因此，就得到了AB/BC的值，将其代入勾股定理公式中，就可得到其证明方法。
勾股定理五种证明方法
勾股定理五种证明方法
1. 代数证明：假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜
边为c。
根据勾股定理，我们有a^2 + b^2 = c^2。
将三条边的
长度代入该等式，进行计算验证即可证明。
2. 几何证明：通过绘制直角三角形，并利用几何原理证明。
例如，可以画一个正方形，然后在其两条相对边上各画一个相等的直角三角形，再使用平行四边形的性质可以得出a^2 + b^2
= c^2。
3. 相似三角形证明：假设两个直角三角形，已知其斜边比例为m:n，利用相似三角形的性质可以得出直角边的比例也是m:n，进而得到a^2 + b^2 = c^2。
4. 平行四边形法证明：利用平行四边形的性质，可通过画出一个具有相等对边的平行四边形来证明勾股定理。
通过平行四边形的性质可以得出a^2 + b^2 = c^2。
5. 微积分证明：利用微积分的知识可以证明勾股定理。
通过对直角三角形边长进行微分，并进行适当的运算，可以得到a^2 + b^2 = c^2。
这种证明方法比较复杂，需要较高的数学知识和
技巧。
勾股定理证明方法大全
勾股定理证明方法大全
勾股定理是数学中比较基础的内容，下面介绍几种证明方法： 1. 几何证明法
构造直角三角形ABC，其中∠ABC=90度，AB=c，AC=a，BC=b，则根据勾股定理，有：
c = AB + AC
即：
c = a + b
这个方法是最常见的证明方法，也是最直观的。
2. 代数证明法
将勾股定理转化为代数式，如下所示：
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则根据勾股定理，有：
c = a + b
将c用另一种方式表示，如下所示：
c = sqrt(a + b)
将c代入原式，并进行平方操作可以得到：
c = a + b
因此，勾股定理成立。
3. 数学归纳法
首先，在直角三角形中，当一条直角边为0时，另外两条直角边的长度必然相等，而且都为0，勾股定理显然成立。
接下来，假设当直角边长为n时，勾股定理成立，即：
c = a + b
考虑当直角边长为n+1时，如何证明勾股定理仍然成立。
此时，可以将直角边长为n+1的直角三角形划分成以一条边长为n的直角三角形和一个长度为1的小直角三角形。
根据勾股定理，前者的斜边平方和等于两直角边平方和，后者的斜边平方就是1。
组合起来就得到：
(c + 1) = a + b + 1
即：
c + 2c + 1 = a + b + 1
移项可得：
c = a + b
因此，当直角边长为n+1时，勾股定理仍然成立。
根据数学归纳法，勾股定理对所有正整数均成立。
十种方法证明勾股定理
十种方法证明勾股定理勾股定理是中学数学中最基本的定理之一，解决了数学中的许多问题。
它是一个既基础且实用的定理，有许多方法可以证明它，下面介绍十种方法：1.欧拉定理证明法：构造出一个直角三角形，把它的两条直角边对应的两个正方形放在直角三角形外面，另一条边对应的正方形放在直角三角形内部，再利用欧拉定理计算出三个正方形的面积，可以证明勾股定理。
2.代数证明法：利用代数的平方公式，把直角三角形的两条直角边平方相加，再把斜边平方，然后再将两者相减，得到一个等式，即可证明勾股定理。
3.数学归纳法证明：用数学归纳法证明勾股定理，证明当n为正整数时，定理成立。
4.相似三角形证明法：构造出相似的三角形，利用相似三角形的性质，可以推导出勾股定理。
5.向量证明法：用向量的几何意义证明勾股定理，首先利用向量的长度和夹角的公式计算出向量的长度和夹角，再利用向量的点积公式计算出勾股定理中的各个变量，最后推导出勾股定理。
6.割圆术证明法：利用割圆术将直角三角形对角线作为半径画圆，利用圆上弧角定理，可以得到勾股定理。
7.平面几何证明法：用平面几何证明勾股定理，利用平面几何图形的形状和大小关系，推导出勾股定理。
8.解析几何证明法：用解析几何证明勾股定理，利用平面直角坐标系，将三角形的三个点用坐标表示出来，推导出勾股定理。
9.三角函数证明法：用三角函数证明勾股定理，利用三角函数的性质，将三角形分离出直角三角形和非直角三角形，再用三角函数计算出各个变量，推导出勾股定理。
10.古希腊证明法：古希腊人对勾股定理有自己的证明方法，即利用几何图形的形状和大小，通过构造几何图形推导出勾股定理。
这些证明方法都可以证明勾股定理的正确性，它们有不同的适用范围和难度级别，可以根据自己的水平和兴趣选择合适的证明方法。
勾股定理20种证明方法
勾股定理20种证明方法1. 最常见的勾股定理证明是基于三角形面积公式的。
利用三角形的底边与高的关系，可以将直角三角形分成两个三角形，然后应用面积公式进行计算得出勾股定理。
2. 通过向直角三角形内部引入一个圆形，利用圆的性质可以得到勾股定理。
3. 将直角三角形中的一条直角边平移到非直角边上，形成一个平行四边形，再利用平行四边形对角线的关系即可得到勾股定理。
4. 利用正弦定理和余弦定理进行推导，可以得出勾股定理。
5. 通过三角形内部的相似三角形进行推导得出勾股定理。
将直角三角形分成两个相似三角形，利用相似三角形的性质进行推导得出勾股定理。
6. 通过归纳法进行证明，即证明勾股定理对于所有自然数n都成立。
7. 利用勾股定理推导其他几何定理，例如正弦定理、余弦定理等，进而证明勾股定理。
8. 利用数学归纳法，可证勾股定理对于所有正整数n都成立。
9. 利用勾股定理证明勾股三角形的存在性，也就是存在一组自然数a、b、c，使得a²+b²=c²。
这可以通过暴力算法或递推算法来实现。
10. 利用反证法证明勾股定理。
假设勾股定理不成立，即假设存在一个直角三角形，其两条直角边的平方和不等于斜边的平方。
通过假设的前提，推导出矛盾的结论，从而证明勾股定理成立。
11. 利用勾股定理证明三角形的周长和面积公式。
将直角三角形分成两个直角三角形，利用勾股定理计算出直角边的长度，然后应用周长和面积公式。
12. 利用勾股定理证明三角形的内心与垂心之间的关系。
将直角三角形分成两个相似三角形，利用勾股定理计算出内心与垂心之间的距离。
13. 利用勾股定理证明三角形的外心与垂心之间的关系。
通过三角形的外接圆，证明外心与垂心之间的距离等于直角边之间距离的一半。
14. 利用圆的性质证明勾股定理。
将三角形中的一条直角边作为直径，表示成圆上的弦长，利用圆的定理得到勾股定理。
15. 通过三角形的相似性质，证明勾股定理。
将直角三角形分成两个与之相似的三角形，利用相似三角形的性质得到勾股定理。
勾股定理的证明方法5种
勾股定理的证明方法5种勾股定理是几何学中最为经典的定理之一，它揭示了直角三角形中直角边与斜边的关系。
勾股定理有多种不同的证明方法，下面我们将依次介绍其中五种不同的证明方法。
方法一：几何法证明这种证明方法是最为直观的，它通过几何形状的变换来证明勾股定理。
首先，我们先画出一个直角三角形ABC，然后作出辅助线AD ⊥BC，将三角形ABC分成两个小三角形ΔABD和ΔADC。
根据相似三角形的性质，我们可以得到BD/AB=AB/AC，即BD*AC=AB^2。
同理，我们可以得到CD*AB=AC^2。
将这两个式子相加起来，我们就可以得到BD*AC+CD*AB=AB^2+AC^2，根据平行四边形的性质，我们可以得到BC*AD=AB^2+AC^2，而BC*AD就是直角三角形ABC的斜边的平方AC^2。
因此，通过几何法证明，我们可以得到勾股定理成立。
方法二：代数法证明这种证明方法是使用代数运算来证明勾股定理。
我们可以用直角三角形的三条边的长度来表示三角形的面积。
假设直角三角形的三条边分别为a、b、c，其中c 为斜边，利用面积公式S=1/2*底*高，我们可以得到三角形面积的两种表达式：S=1/2* a*bS=1/2* c*h通过这两个表达式，我们可以得到c*h=a*b，即c^2=a^2+b^2。
方法三：相似三角形法证明这种证明方法利用相似三角形的性质来证明勾股定理。
我们可以在直角三角形ABC中找到一个与之全等的直角三角形DEF。
然后我们可以发现直角三角形ABC和DEF分别是直角三角形ACB和EDF的相似三角形。
由于相似三角形的对应边成比例，我们可以得到AB/DE=BC/EF=AC/DF。
利用这个性质，我们可以得到AB^2=DE^2+DF^2和AC^2=DE^2+EF^2。
将这两个式子相加起来，我们可以得到AB^2+AC^2=DE^2+DF^2+DE^2+EF^2，根据平行四边形的性质，我们可以得到AB^2+AC^2=2*DE^2+2*DF^2。
勾股定理500种证明方法
勾股定理500种证明方法勾股定理是数学中的一个重要定理，它表明在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
因为勾股定理的证明方法有很多，以下仅列举其中的一些方法，并进行简要说明。
1.几何证明法：利用几何图形的性质和关系，通过构造适当的图形来推导出勾股定理。
常见的方法有直角三角形的外接圆和内切圆法、相似三角形法等。
2.代数证明法：通过代数运算推导出勾股定理。
常见的方法有使用平方差公式，将直角三角形的三边平方代入公式进行计算。
3.向量证明法：利用向量的性质和关系来证明勾股定理。
可以使用向量的内积和外积进行计算和推导。
4.能量守恒法：利用机械能守恒定律，将直角三角形看作一个物体在斜坡上滑动的问题，从而推导出勾股定理。
5.数学归纳法：通过数学归纳法来证明勾股定理。
可以先证明直角三角形边长为整数时勾股定理成立，然后再利用数学归纳法推广到一般情况。
6.解析几何证明法：利用坐标系和直角三角形的性质，通过坐标运算来推导勾股定理。
7.平面几何证明法：利用平面几何中的定理和性质，通过推演来证明勾股定理。
8.近似证明法：通过近似的方法进行证明，例如使用三角函数的泰勒级数展开来近似计算直角三角形的边长关系。
9.反证法：假设勾股定理不成立，推导出矛盾的结论，从而证明勾股定理的正确性。
10.画图证明法：通过绘制恰当的图形，利用图形的特征和性质来推导和证明勾股定理。
以上仅是列举了一些常见的证明方法，实际上还有很多其他的证明方法可以应用于勾股定理的证明。
不同的证明方法多角度地展示了勾股定理的内在原理和几何意义，使我们对这个定理有了更深入和多样化的理解。
勾股定理的500种证明方法
勾股定理的500种证明方法1.几何推导：这是最著名的证明方法。
它通过将直角三角形切割、旋转、重新拼合，利用几何图形的性质，推导出勾股定理。
2. 代数证明：假设直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c。
则根据勾股定理，我们有c² = a² + b²。
我们可以将这个等式写成(a + b)² = c² + 2ab。
将c² = a² + b²代入，得到(a + b)² = a² + b² + 2ab。
再进一步化简，得到a² + 2ab + b² = a² + b² +2ab。
最后，化简为a² + b² = a² + b²。
我们可以发现，等式两边完全相等，从而验证了勾股定理。
3.数学归纳法证明：我们首先证明直角三角形边长为3,4,5时，满足勾股定理。
然后，假设对于边长小于n的所有直角三角形，都满足勾股定理。
接下来，我们考虑直角三角形边长为n的情况。
我们可以将这个三角形切割成由三个直角子三角形组成的形状。
根据归纳假设，这三个子三角形满足勾股定理。
我们可以对这些子三角形应用基本的代数运算和性质，进一步证明整个直角三角形也满足勾股定理。
4.平行四边形法证明：将一个直角三角形内切于正方形中，然后根据正方形的性质和等式关系，利用平行四边形的性质推导出勾股定理。
5.反证法证明：假设存在一个直角三角形，它的三条边无法满足勾股定理。
然后，通过对无法满足定理的条件进行分析，得出矛盾，从而证明了勾股定理的正确性。
6.数学几何方法：通过利用数学几何的原理和定理，如相似三角形、垂直直角等，推导出勾股定理的等式。
7.三角函数法证明：将三角函数引入到勾股定理的等式中，然后根据三角函数的性质，推导出等式成立。
以上仅为部分常见的证明勾股定理的方法，实际上有无数种证明方法可供选择。
勾股定理16种证明方法
勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即abc ab b a 214214222⨯+=⨯++， 整理得 222c b a =+.【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2.∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2.∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +. ∴ ()222121221c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.又∵ AB = BE = EG = GA = c ， ∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD .∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则abS c 2122⨯+=,∴ 222c b a =+. 【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上.过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P . 过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点 F 作FN ⊥PQ ，垂足为N . ∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM ⊥PQ ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ， 交AB 于点M ，交DE 于点L . ∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，∵ ΔFAB 的面积等于221a ，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a .同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积 ∴ 222b a c += ，即 222c b a =+. 【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB .AD ∶AC = AC ∶AB ， 即 AB AD AC •=2.同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC •=2. ∴ ()222AB AB DB AD BC AC =•+=+，即 222c b a =+. 【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC .又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c ，∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ DH = BC = a ，AH = AC = b .由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a . ∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴ 824321S ab b S S --=+= 812S S b -- . ②把②代入①，得= 922S S b ++ = 22a b +.∴ 222c b a =+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE . 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，BT = BE = b ， ∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . ∴ HT = AE = a . ∴ GH = GT ―HT = b ―a .又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠∴ ∠GHF = ∠DBC .∵ DB = EB ―ED = b ―a ， ∠HGF = ∠BDC = 90º， ∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ，∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵ 27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c ， 即 222c b a =+. 【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得=()()BD AB BE AB -+ =()()a c a c -+= 22a c -，即222a cb -=， ∴ 222c b a =+. 【证法12】在Rt ΔABC 中，设直角边BC . 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB •+•=•，∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ，∴ 222AC BC AB +=，即 222b a c +=， ∴ 222c b a =+.【证法13】在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+= CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+， ∴ c r b a +=+2.∴ ()()222c r b a +=+，即 ()222242c rc r ab b a ++=++，∵ab S ABC 21=∆，∴ ABC S ab ∆=42， 又∵ AOC BOCAOB ABC S S S S ∆∆∆∆++= = br ar cr 212121++ = ()r c b a ++21= ()r c c r ++221= rc r +2，∴()ABC S rc r ∆=+442， ∴ ()ab rc r242=+，∴ 22222c ab ab b a +=++， ∴ 222c b a =+.【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+•可知 AD AB AC •≠2，或者 BD AB BC •≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠A = ∠A ，∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ， ∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+. 【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+. 【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ， 则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ， ∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ，∠AED = 90º， AE = b ， ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC .∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中，∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=， 732S S a +=，76451S S S S S +===，∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++=2c ∴ 222c b a =+.。
勾股定理500种证明方法
勾股定理500种证明方法
勾股定理是数学中的基本定理之一，有着广泛的应用和许多证明方法。
下面介绍一些常见的证明方法：
1.几何证明法：利用几何图形构造，例如在直角三角形的两个直角边
上分别构造平方和的面积相等，然后利用面积的性质进行证明。
2.代数证明法：利用代数式推导和变换，例如假设直角三角形的三边
长度为a、b和c，然后将直角三角形的两边长度的平方相加，利用分配
律和可交换性进行推导。
3.数学归纳法：先证明三边全为整数的勾股三元组存在，然后利用数
学归纳法证明勾股三元组的通解存在。
4.平行四边形证明法：构造直角三角形的对角线，利用平行四边形的
性质推导得出结论。
5.等腰三角形证明法：构造以直角为顶点的等腰三角形，利用等腰三
角形的性质推导得出结论。
6.射影证明法：构造勾股定理三角形的高，利用射影的性质进行证明。
7.相似三角形证明法：构造与直角三角形相似的三角形，利用相似三
角形的性质进行证明。
8.三角函数证明法：利用正弦、余弦和正切函数的性质进行证明。
9.黎曼几何证明法：利用黎曼几何的相关定理和性质进行证明。
10.三角恒等式证明法：利用三角恒等式进行推导和变换，将勾股定
理转化为等式的形式进行证明。
还有许多其他的证明方法，如使用卡西尼恒等式、向量法等。
总共可能有上百种证明方法，每种方法都有其独特的思路和证明过程。
由于篇幅限制，无法一一详细介绍所有方法，但上述方法已经涵盖了常见的证明思路。
勾股定理五种证明方法
勾股定理五种证明方法1. 几何证明法勾股定理是数学中的基本定理之一，用于描述直角三角形的边长关系。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和。
几何证明法是最直观的证明方法之一。
我们可以通过绘制一个正方形来证明勾股定理。
假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c。
我们可以将这个三角形绘制在一个边长为a+b的正方形内。
将正方形分成四个小正方形，其中三个小正方形的边长分别为a，b和c。
通过计算小正方形的面积，我们可以得出结论：c^2 = a^2 + b^2。
2. 代数证明法代数证明法是另一种常用的证明勾股定理的方法。
这种方法使用代数运算和方程的性质来证明定理。
假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c。
我们可以通过使用平方的性质来证明勾股定理。
根据勾股定理，我们有：c^2 = a^2 + b^2。
我们可以将c^2展开为(a + b)2，即：c2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
通过对比等式两边的表达式，我们可以得出结论：2ab = 0。
由于直角三角形的边长必须为正数，因此我们可以得出结论：ab = 0。
这意味着a或b至少有一个为0。
如果a为0，那么直角三角形就变成了一个直角边长为b的直角三角形，此时勾股定理显然成立。
同样地，如果b为0，那么直角三角形就变成了一个直角边长为a的直角三角形，此时勾股定理也成立。
综上所述，勾股定理成立。
3. 数学归纳法证明数学归纳法是一种常用的证明数学命题的方法，它通常用于证明自然数的性质。
虽然勾股定理是针对直角三角形的，但我们可以通过数学归纳法证明勾股定理对于所有正整数的直角三角形都成立。
首先，我们证明当直角三角形的直角边长度为1时，勾股定理成立。
这是显而易见的，因为直角三角形的斜边长度必然大于1，所以直角边长度为1的直角三角形一定满足勾股定理。
然后，我们假设当直角三角形的直角边长度为k时，勾股定理成立。
即假设a^2 + b^2 = c^2，其中a和b分别为直角三角形的直角边，c为斜边。
勾股定理的十六种证明方法
勾股定理的十六种证明方法
1.几何法：构造一个直角三角形，利用勾股定理求出斜边长。
2. 代数法：将直角三角形三边的长度带入勾股定理的公式中，证明等式成立。
3. 数学归纳法：证明当斜边长为n时，勾股定理成立，再证明当斜边长为n+1时，勾股定理仍然成立。
4. 三角函数法：利用正弦、余弦、正切等三角函数的定义，证明勾股定理。
5. 相似三角形法：利用相似三角形的性质，证明勾股定理。
6. 矩形法：将一个直角三角形内切于一矩形中，从而证明勾股定理。
7. 差积公式法：利用差积公式(a+b)(a-b)=a-b，证明勾股定理。
8. 面积法：利用直角三角形的两条直角边构成一个矩形，证明勾股定理。
9. 旋转法：将一个直角三角形绕其斜边旋转，证明勾股定理。
10. 图像法：将勾股定理表示为x+y=z的图像，证明勾股定理。
11. 平行四边形法：将直角三角形内切于一个平行四边形中，从而证明勾股定理。
12. 三角形面积法：利用直角三角形的面积公式1/2ab，证明勾股定理。
13. 坐标法：将直角三角形的三个顶点的坐标表示出来，利用距离公式证明勾股定理。
14. 行列式法：利用行列式公式证明勾股定理。
15. 夹角法：通过两向量的夹角关系推导出勾股定理。
16. 对数法：利用对数函数的性质，证明勾股定理。
证明勾股定理的16种方法
勾股定理证明十六种方法方法一：赵爽弦图证法
方法二：毕达哥拉斯证法
方法三：书本证明方法
法四：利用三角形相似推导
方法五：切割线定理证明
方法六：托勒密定理证明
方法七：利用切线长定理
方法八：总统证法
方法九：八法变式
方法十和方法十一：
总结：上述方法是非常常见的方法，当然同学们可以总结出，用到最多的还是面积法，对于面积法无论证明方法如何变化，图形如何变化，方法都有一种熟悉感。
同时，还有很多其它与圆相关的定理应用，要理解它们，同学们要掌握更多的相关知识。
以下方法，只展示图片，同学们可以自行感悟。
方法十二：
方法十三：面积法
方法十四：拼接法１
方法十五：拼接法２
方法十六：射影定理。
勾股定理20种证明方法
勾股定理20种证明方法勾股定理是中国古代数学中的一个重要定理，也被称为勾股三角形定理，它是指直角三角形中，直角边的平方等于两直角边的平方和。
勾股定理的发现和证明有很多方法，下面我们来看看20种不同的证明方法。
1. 几何方法：这是最常见的证明方法，可以通过绘制直角三角形，然后运用几何知识来证明。
2. 代数方法：可以通过代数运算来证明，将直角三角形的三边长度表示为变量，然后通过代数运算得出结论。
3. 物理方法：可以利用物理学知识，比如平面几何法，来证明勾股定理。
4. 数学归纳法：可以运用数学归纳法来证明勾股定理，将直角三角形的边长依次递增，然后证明其中一个等式成立，推导出其他情况。
5. 解析几何法：可以通过解析几何的方法，利用坐标系和直线方程来证明勾股定理。
6. 函数法：可以通过函数图像和函数性质来证明勾股定理。
7. 同余定理方法：可以通过同余定理来证明勾股定理。
8. 三角函数方法：可以运用三角函数的性质和公式来证明勾股定理。
9. 相似三角形方法：可以通过相似三角形的性质来证明勾股定理。
10. 斜率方法：可以运用直线的斜率来证明勾股定理。
11. 反证法：可以通过反证法来证明勾股定理，假设直角三角形的三边不符合勾股定理，然后推导出矛盾。
12. 三角形面积法：可以通过计算直角三角形的面积来证明勾股定理。
13. 欧拉定理法：可以通过欧拉定理来证明勾股定理。
14. 空间几何法：可以将直角三角形的顶点放置在空间中，运用空间几何知识来证明勾股定理。
15. 弦与切线相交定理：可以利用弦与切线相交的性质来证明勾股定理。
16. 数列方法：可以通过构造数列，运用数列的性质来证明勾股定理。
17. 微积分方法：可以通过微积分的知识来证明勾股定理。
18. 统计方法：可以通过统计实验来证明勾股定理，比如通过大量的直角三角形数据验证勾股定理成立。
19. 推广方法：可以通过勾股定理的推广形式来证明勾股定理，比如勾股定理的逆定理。
20. 全等三角形法：可以通过全等三角形的性质来证明勾股定理。
勾股定理16种证明方法
勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）?????????做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即，整理得.【证法2】（邹元治证明）以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C 三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,∴∠AHE = ∠BEF.∵∠AEH + ∠AHE = 90o,∴∠AEH + ∠BEF = 90o.∴∠HEF = 180o―90o= 90o.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2.∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴∠HGD = ∠EHA.∵∠HGD + ∠GHD = 90o,∴∠EHA + ∠GHD = 90o.又∵∠GHE = 90o,∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o.∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.∴. ∴.【证法3】（赵爽证明）以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴∠HDA = ∠EAB.∵∠HAD + ∠HAD = 90o，∴∠EAB + ∠HAD = 90o，∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90o.∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.∴.∴.【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴∠ADE = ∠BEC.∵∠AED + ∠ADE = 90o,∴∠AED + ∠BEC = 90o.∴∠DEC = 180o―90o= 90o.∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,∴ AD∥BC.∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于.∴.∴.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴∠EGF = ∠BED，∵∠EGF + ∠GEF = 90°，∴∠BED + ∠GEF = 90°，∴∠BEG =180o―90o= 90o.又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC + ∠CBE = 90o.∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴∠ABC = ∠EBD.∴∠EBD + ∠CBE = 90o.即∠CBD= 90o.又∵∠BDE = 90o，∠BCP = 90o，BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则,∴.?【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵∠BCA = 90o，QP∥BC，∴∠MPC = 90o，∵ BM⊥PQ，∴∠BMP = 90o，∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90o.∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o，∴∠QBM = ∠ABC，又∵∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ΔFAB ≌ΔGAD，∵ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴矩形ADLM的面积 =.同理可证，矩形MLEB的面积 =.∵正方形ADEB的面积= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积∴，即.【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.在ΔADC和ΔACB中，∵∠ADC = ∠ACB = 90o，∠CAD = ∠BAC，∴ΔADC ∽ΔACB.AD∶AC = AC ∶AB，即.同理可证，ΔCDB ∽ΔACB，从而有.∴，即.【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT 于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.∵∠BAD = 90o，∠PAC = 90o，∴∠DAH = ∠BAC.又∵∠DHA = 90o，∠BCA = 90o，AD = AB = c，∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.∴ DH = BC = a，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =CA = b，AP= a，从而PH = b―a.∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,RtΔDHA ≌ RtΔBCA.∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA .又∵∠DGT = 90o，∠DHF = 90o，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o，∴ DGFH是一个边长为a的正方形.∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）.用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为①∵ = ，，∴ = .②把②代入①，得= = .∴.?【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵∠TBE = ∠ABH = 90o，∴∠TBH = ∠ABE.又∵∠BTH = ∠BEA = 90o，BT = BE = b，∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE.∴ HT = AE = a.∴ GH = GT―HT = b―a.又∵∠GHF + ∠BHT = 90o，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90o，∴∠GHF = ∠DBC.∵ DB = EB―ED = b―a，∠HGF = ∠BDC = 90o，∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即.过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90o，可知∠ABE= ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM .即.由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE.∵∠AQM + ∠FQM = 90o，∠BAE + ∠CAR = 90o，∠AQM = ∠BAE，∴∠FQM = ∠CAR.又∵∠QMF = ∠ARC = 90o，QM = AR = a，∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即.∵，，，又∵，，，∴==，即.??【证法11】（利用切割线定理证明）在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90o，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得=== ，即，∴.?【证法12】（利用多列米定理证明）在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）.过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有，∵ AB = DC = c，AD = BC = a，AC = BD = b，∴，即，∴.?【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，∴= = r + r = 2r,即，∴.∴，即，∵，∴，又∵ = == = ，∴，∴，∴，∴.【证法14】（利用反证法证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.假设，即假设，则由==可知，或者. 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.在ΔADC和ΔACB中，∵∠A = ∠A，∴若 AD：AC≠AC：AB，则∠ADC≠∠ACB.在ΔCDB和ΔACB中，∵∠B = ∠B，∴若BD：BC≠BC：AB，则∠CDB≠∠ACB.又∵∠ACB = 90o，∴∠ADC≠90o，∠CDB≠90o.这与作法CD⊥AB矛盾. 所以，的假设不能成立.∴.?【证法15】（辛卜松证明）??????设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 =.∴ ,∴.?【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，则 AD = c.∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a，∴ DM = EM―ED = ―a = b.又∵∠CMD = 90o，CM = a，∠AED = 90o， AE = b，∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC.∴∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c.∵∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180o，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90o，∴∠ADC = 90o.∴作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.∵∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90o，∴∠BAF=∠DAE.连结FB，在ΔABF和ΔADE中，∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE，∴ΔABF ≌ΔADE.∴∠AFB = ∠AED = 90o，BF = DE = a.∴点B、F、G、H在一条直线上.在RtΔABF和RtΔBCG中，∵ AB = BC = c，BF = CG = a，∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG.∵，，，，∴===∴.。
勾股定理16种经典证明方法
勾股定理16种经典证明方法本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.Marchabc ab b a 214214222⨯+=⨯++【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即整理得 222c b a =+.【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF,∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE,∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴ ()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE,∴∠HDA = ∠EAB.∵∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+.【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +.∴ ()222121221c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则,21222ab S b a ⨯+=+ abS c 2122⨯+=,∴ 222c b a =+.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上.过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P .过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点F 作FN ⊥PQ ，垂足为N .∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ，∴ ∠MPC = 90º，∵ BM ⊥PQ ， ∴ ∠BMP = 90º，∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF .从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L . ∵ AF = AC ，AB = AD ，∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ， ∵ ΔFAB 的面积等于221a， ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， ∴ 矩形ADLM 的面积 =2a .同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积∴ 222b a c += ，即 222c b a =+.【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.在ΔADC和ΔACB中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB .AD ∶AC = AC ∶AB ，即 AB AD AC •=2.同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC •=2.∴ ()222AB AB DB AD BC AC =•+=+，即 222c b a =+. 【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC . 又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，AD = AB = c ，∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ DH = BC = a ，AH = AC = b . 由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a . ∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ,Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴ 824321S ab b S S --=+=812SS b -- . ② 把②代入①，得98812212S S S S b S S c ++--++== 922S S b ++ = 22a b +.∴ 222c b a =+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE .又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，BT = BE = b ，∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE .∴ HT = AE = a .∴ GH = GT ―HT = b ―a . 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º， ∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠∴ ∠GHF = ∠DBC . ∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90º，∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ， ∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵ 27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c ，即 222c b a =+.【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得AD AE AC •=2=()()BD AB BE AB -+=()()a c a c -+ = 22a c -，即222a c b -=，∴ 222c b a =+.【证法12在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB •+•=•，∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ，∴ 222AC BC AB +=，即 222b a c +=，∴ 222c b a =+.【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+ = CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+， ∴ c r b a +=+2. ∴ ()()222c r b a +=+， 即 ()222242c rc r ab b a ++=++，∵ab S ABC 21=∆，∴ ABC S ab ∆=42，又∵ AOC BOCAOB ABC S S S S ∆∆∆∆++= = br ar cr 212121++ = ()r c b a ++21= ()r c c r ++221= rc r +2，∴()ABC S rc r ∆=+442， ∴ ()ab rc r242=+，∴ 22222c ab ab b a +=++， ∴ 222c b a =+. 【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+•可知 AD AB AC •≠2，或者 BD AB BC •≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A ， ∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中，∵∠B = ∠B，∴若BD：BC≠BC：AB，则∠CDB≠∠ACB.又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立. ∴ 222c b a =+.【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ，则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ，∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ， ∠AED = 90º， AE = b ， ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC . ∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a .D D∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中， ∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=， 732S S a +=，76451S S S S S +===，∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++=2c ∴ 222c b a =+.。
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勾股定理的证明【证法1】做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即abc ab b a 214214222⨯+=⨯++， 整理得 222c b a =+.【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴ ()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c .又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD ∥BC . ∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +.∴ ()222121221c ab b a +⨯=+.∴ 222c b a =+. 【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形.同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则,21222ab S b a ⨯+=+ abS c 2122⨯+=,∴ 222c b a =+.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上.过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P .过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点 F 作FN ⊥PQ ，垂足为N . ∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM ⊥PQ ，∴ ∠BMP = 90º，∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B三点在一条直线上，连结BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE 交AB 于点M ，交DE 于点 L . ∵ AF = AC ，AB = AD ∠FAB = ∠GAD ，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，∵ ΔFAB的面积等于221a，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a .同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积 ∴ 222b a c += ，即 222c b a =+. 【证法8】（利用相似三角形性质证明） 【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，∴ ∠DAH = ∠BAC .又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，AD = AB = c ，∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA .∴ DH = BC = a ，AH = AC = b . 由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a .∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ,Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴824321S ab b S S --=+= 812S S b -- . ②把②代入①，得98812212S S S S b S S c ++--++==922S S b ++ = 22a b +.∴ 222c b a =+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE . 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，BT = BE = b ，∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE .∴ HT = AE = a . ∴ GH = GT ―HT = b ―a .又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º， ∴ ∠GHF = ∠DBC .∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90º，∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE= ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ，∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵ 27S S =，58S S =，64S S =， ∴8736122S S S S S b a ++++=+=52341S S S S S ++++=2c ， 即 222c b a =+.【证法11】（利用切割线定理证明） 【证法12】（利用多列米定理证明） 【证法13】（作直角三角形的内切圆证明） 【证法14】（利用反证法证明）【证法15】（辛卜松证明）D D设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +. ∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ，则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ，∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ，∠AED = 90º， AE = b ， ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC .∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c .∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中，∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ，∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG . ∵ 54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=， 732S S a +=，76451S S S S S +===， ∴6217322S S S S S b a ++++=+=()76132S S S S S ++++ =5432S S S S +++=2c ∴ 222c b a=+.。