材料力学9-2

2
以1代表max作用面的方位角， 2代表min作用面的方位角。

0 0 σ x σ y , 则 α 1 45 (α 1 在 90 范围内取值)
若 σ x σ y , 则 α 1 450
若 σ x σ y ,则 α1
{ 45
450 (τ x 0)
得到 max 和 min(主应力）
σ max σ min
}
σ x σ y σ x σ y 2 ( ) τ xy 2 2
2
（2）主平面的位置
2τ xy σ x σy
tg 2α 0
α1
α 2 α 1 90
0
σ max σ min
}
σ x σ y σ x σ y 2 ( ) τ xy 2 2

B1
A1
2 B
A

o
c
τy
σy


σα
E
(b)
σx
e
σx
f
o
τα
y
2
B2 C D2 x B1
D1
τx
τy
τx

σy
图 9-4
（4）利用应力圆求主应力 数值和主平面位置
σ2
o
D1
主应力数值
A1和 A2两点为与主平面 对应的点，其横坐标 为主应力 1 ,2
OA1 OC CA1
§9-2
平面应力状态下的应力研究 • 应力圆
y
(2)
σy
平面应力状态的普遍形式如
τx σx
图 9-2 a 所示 。单元体上有
x
τy
a
σx τx
z
b
d
τy
c
x ,x 和 y , y。
σy
单元体用平面图形来表示(图9-2b)
图 9-2
一、斜截面上的应力 1、 截面法: 假想地沿斜截面 ef 将单元体截分为二(图9-2b) ,
x y
（9-3）
（9-4）
1 1 σ 2 2 (σ x σ y ) 2
(σ σ ) 4τ 2 x
2
x y

主平面方位
σ2
o
D1
由 CD1 顺时针转 2α o 到 CA1
A2 B2
C y D2 2α o
B1
A1
所以从 x 轴顺时针转 α o
（负值）即到1对应的主平 面的外法线
x y d 2[ sin 2 x cos 2 ] 0 d 2
当即正应力达到极值的面上，剪应力必等于零。 此平面为主平面。正应力的极值为主应力。 由公式
tg 2α 0
2τ xy σ x σy
求出0就可确定主平面的位置。
（1）主应力 将0代入公式
σ x σ y σ x σ y σα cos 2α τ xy sin 2α 2 2
{ -96
MPa
α0
27.5 62.5
0
0

A x
σ max σ min
=
{ -96
26
MPa
3
1
σ 1 26 MPa
σ2 0
σ 3 96 MPa
四、平面应力y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
（2）应力圆作法 在 - 坐标系内 , 选定比例尺 o 量取 OB1 = x , B1D1 = x , 得 D1点

(b)
D1 B1

τy
σy
x
σx τx
τy
σx τx
σy
量取 OB2=y , B2D2= y , 得D2 点 o y B2 D2 x B1
(b)
D1

0
D2 (-0.4,0.2)
σ 40 0.95 MPa
0
τ 40
0
B 80
1
0
o
C
D1 (-1,0.2)
B2

τ 40 0.26 MPa
0
σ 30 0.68 MPa
0
τ 30 0.36 MPa
0
σ 40 0.95 MPa
0
τ 40 0.26 MPa
0
σ x 1
σx τx
x
σx
τx
τ x 0.2
σ y 0.4
τy σy
τ y 0.2
解: (1) 画应力圆 OB1 = x= - 1MPa , B1 D1 = x= - 0.2MPa,定出 D1点; OB2 =y= - 0.4MPa 和 B2D2 = y = 0.2MPa , 定出 D2 点 . 以 D1 D2 为直径绘出的圆即为应力圆。 D2 (-0.4,0.2) B1 o
3
三、平面应力状态分析——解析法
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
令
dσ α
dα
2[
σ x σy
2
2τ xy
sin 2α τ xy cos 2α ] 0 得到
σ x 1
τ x 0.2
σ y 0.4
C
D1 (-1,-0.2)
B2

τ y 0.2
(2) 确定 = 30°斜截面上的应力 将 半径 CD1 逆时针转动 2 = 60°到半径 CE, E 点的坐标就
代表 = 30°斜截面上的应力。
D2 (-0.4,0.2) B1 o
τy
σy
σx τx
τy
σx τx
σy
图 9-4
连接D1D2两点的直线与 轴相交于C 点, 以C为

(b)
D1 o y B2 C D2 x B1
圆心, CD1或CD2为半径
作圆

τy
σy
σx τx
τy
σx τx
σy
图 9-4

该圆的圆心 C 点到 坐标
原点的 距离为 半径为
(
x y
B1
A1
σx
σ1
平面应力圆画法
应力圆作法总结
例题9-1
从水坝体内某点处取出的单元体如图所示,
x= - 1MPa , y= - 0.4MPa , x= - 0.2MPa , y= 0.2MPa , 绘出相应的应力圆 确定此单元体在 =30°和 = - 40°两斜面上的应力。
σy τy
σx
σ1
α o 确定后， 1 对应的主平面方位即确定。

tg ( 2α 0 )
B1D1 2τ x CB1 (σ x σ y )
σ2
o
D1
A2 B2
C y D2 2α o
B1
A1
σx
σ1
tg ( 2τ x ) 2α 0 σ x σ y
1
（9-5）

τ tg ( 2 x ) 2α 0 σ x σ y
二、主应力和主平面
主平面: 一点处剪应力等于零的平面称为主平面 主应力: 主平面上的正应力称为主应力 说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直
的面均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为 1 ,2 , 3
且规定按代数值大小的顺序来排列, 即
2
1
1 2 3
y
(d)
σ y dA sinα
2、平面应力状态下, 任一斜截面 ( 截面 ) 上的应力 ¸
的 计算公式

x y x y
2
2 x y 2
cos 2 x sin 2
(9 - 1) (9 - 2)
sin 2 x cos 2
y
α 30
0
x
α 400
例题 9-2 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图 a , b 所示
，梁的横截面尺寸示于图 c 中。试绘出截面 c 上 a , b 两点处 的应力圆，并用应力圆求出这两点处的主应力。
120
250KN
9 z 270
A C
B
1.6m
2m
(a)
a b
(c) 单位：mm
250KN 解: 首先计算支反力, 并作出 梁的剪力图和弯矩图 A C 1.6m 2m QC左 = 200 kN
剪应力 ：对单元体任一点的矩顺时针转为正，反之为负。
设斜截面的面积为 dA , eb 的面积为 dAcos ， bf 的面积为dAsin 研究对象的受力如图 9-2d 所示
e
e
x
x


τ x dA cosα σ x dA cosα
b

σ α dA
τ α dA
f
y
b
f
τ y dA sinα
200KN
B
+ MC = 80 kN•m
50KN
+
IZ
6 4 120300 111270 8810 mm 12 12 3 3
留下左边部分的单体元 ebf 作为研究对象(图9-2c)。
y
y
e
y
x
n e x
x
x
x
x
x

b
f
y
y
b
f
y
图9-2
y
y
y
e
y
x
n e x
x
x
x
x
x

b
f
y
y
b
f
y