二阶奇异Sturm-Liouville边值问题m(λ)函数比较

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sturm-liouville问题特征值间的不等式

sturm-liouville问题特征值间的不等式Sturm-Liouville问题是一个常见的线性偏微分方程边值问题。

它的特征值间的不等式是指这些特征值之间存在一些关系或限制。

在本文中，我们将探讨Sturm-Liouville问题特征值间的不等式。

首先，我们回顾一下Sturm-Liouville问题的一般形式：$$\frac{d}{dx}\left(p(x)\frac{dy}{dx}\right) + q(x)y +\lambda \rho(x)y = 0$$其中，$p(x)$、$q(x)$和$\rho(x)$是已知函数，$\lambda$是待确定的常数，我们将其称为特征值。

对于一个给定的Sturm-Liouville问题，我们可以求解其特征值和特征函数。

特征函数满足边界条件和正交归一条件。

考虑两个相邻的特征值$\lambda_n$和$\lambda_{n+1}$，我们将利用正交归一条件来推导它们之间的不等式。

假设$y_n(x)$和$y_{n+1}(x)$分别是特征值$\lambda_n$和$\lambda_{n+1}$对应的特征函数。

由正交归一性可得：$$\int_a^b \rho(x)y_n(x)y_{n+1}(x)dx = 0$$其中，$a$和$b$是所考虑的区间的端点。

我们可以将这个积分写成另一种形式：$$\int_a^b \rho(x)y_n(x)y_{n+1}(x)dx = \int_a^b\rho(x)y_n(x)[c_ny_{n+1}(x) + c_{n+1}y_n(x)]dx$$其中，$c_n$和$c_{n+1}$是未知常数。

再次应用正交归一性条件：$$\int_a^b \rho(x)y_n^2(x)dx = c_n\int_a^b\rho(x)y_n(x)y_{n+1}(x)dx$$$$\int_a^b \rho(x)y_{n+1}^2(x)dx = c_{n+1}\int_a^b\rho(x)y_n(x)y_{n+1}(x)dx$$将这两个方程代入上一式，我们得到：$$\int_a^b \rho(x)y_n^2(x)dx = c_nc_{n+1}\int_a^b\rho(x)y_n(x)y_{n+1}(x)dx$$由于特征函数$y_n(x)$和$y_{n+1}(x)$不同时为零，我们可以得到：$$c_nc_{n+1} = \frac{1}{\int_a^b \rho(x)y_n^2(x)dx}$$现在我们引入一个新的函数：$$z_n(x) = y_n(x) - \frac{c_{n+1}}{c_n}y_{n+1}(x)$$通过代入上面的表达式并稍作变换，我们可以得到：$$\int_a^b \rho(x)z_n^2(x)dx = \left(1 -\frac{c_{n+1}^2}{c_n^2}\right)\int_a^b \rho(x)y_n^2(x)dx$$由于$\int_a^b \rho(x)y_n^2(x)dx$是一个正数，我们知道系数$\left(1 - \frac{c_{n+1}^2}{c_n^2}\right)$也是一个正数。

一类二阶奇异半正Sturm-Liouville边值问题的正解

・
１０・
王艳兵：一类二阶奇异半正Ｓｔｕｒｍ— ＬｉｏｕｖｉＵｅ边值问题的正解
定理１若（Ａ，）一（Ａ３）满足，那么奇异半正边值问题（１）至少有一个Ｃ（，）正解存在．定理２在定理１的条件下，再假设（Ａ）满足，则定理１中的解为ｃ（，）正解．为证明主要结果成立，我们引入下面引理：
第３５卷
第６期
曲靖师范学院学报ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＱＵＪＩＮＧＮＯＲＭＡＬＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ
Ｖ０Ｌ３５Ｎｏ．６ＮＯＶ．２０１６
２０１６年１１月
一
类二阶奇异半正Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ边值问题的正解
王艳兵
（山西师范大学临汾学院数计系，山西临汾０４１０００）
摘
要：通过构造格林函数及锥，利用范数形式的锥拉伸不动点定理，研究具有Ｓｔｕｒｍ —Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ边
界条件的一类二阶奇异半正微分方程的正解问题，得到了其正解存在的判定方法．关键词：Ｓｔｕｒｍ— Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ边值问题；正解；锥；不动点定理中图分类号：０１７５．８文献标识码：Ａ文章编号：１００９— ８８７９（２０１６）０６— ００１０— ４０

《2024年Sturm-Liouville问题的谱分析与数值计算》范文

《Sturm-Liouville问题的谱分析与数值计算》篇一一、引言Sturm-Liouville问题是一类重要的数学物理问题，它在微分方程、积分方程、谱理论等领域有着广泛的应用。

该问题涉及到在特定边界条件下求解线性微分方程的谱问题，包括特征值和特征函数的计算。

本文旨在分析Sturm-Liouville问题的谱性质，并探讨其数值计算方法。

二、Sturm-Liouville问题的谱分析Sturm-Liouville问题通常描述为在特定边界条件下求解二阶线性微分方程的特征值和特征函数。

对于形如L[y] = λN[y]的微分方程，其中L和N是线性微分算子，λ是特征值，y是特征函数。

谱分析主要关注该问题的可解性、特征值的性质以及特征函数的正交性等。

（一）可解性分析通过适当的选择边界条件，Sturm-Liouville问题通常可以转化为自伴算子的问题，此时谱分析是可行的。

在这种情况下，存在可数的离散特征值以及与之相关的正交归一化特征函数族。

（二）特征值性质特征值λ具有离散性、实数性和可数性等性质。

此外，特征值之间的大小关系可以通过比较相应的特征函数在边界条件下的行为来推断。

（三）特征函数的正交性在满足一定条件下，Sturm-Liouville问题的特征函数族构成一个正交函数系。

这种正交性在许多物理问题中具有重要意义，如量子力学中的波函数等。

三、数值计算方法对于Sturm-Liouville问题的数值计算，常用的方法包括有限差分法、有限元法、谱方法和打靶法等。

这些方法通过将微分方程转化为代数方程组来求解特征值和特征函数。

（一）有限差分法有限差分法通过将微分方程的导数用差商近似，将微分方程转化为代数方程组进行求解。

该方法简单易行，但精度受网格划分的影响较大。

（二）有限元法有限元法通过将求解区域划分为有限个单元，在每个单元上构造插值函数来逼近真实解。

该方法具有较高的精度和灵活性，适用于复杂边界条件的问题。

（三）谱方法谱方法利用正交函数系来逼近真实解，具有高精度和快速收敛的特点。

《2024年具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题的特征值不等式》范文

《具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题的特征值不等式》篇一一、引言Sturm-Liouville问题，是微分方程领域中的一个重要问题，它在量子力学、振动理论、谱分析等众多领域有着广泛的应用。

该问题主要研究的是具有特定边界条件的二阶线性微分方程的解及其性质。

其中，当该问题具有周期系数时，其解的性质及特征值的不等式关系尤为重要。

本文将详细探讨具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题的特征值不等式。

二、左定Sturm-Liouville问题及周期系数左定Sturm-Liouville问题是指二阶线性微分方程在左端点处具有确定性的边界条件的问题。

当该问题的系数具有周期性时，我们称之为具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题。

这种问题的解在物理上对应着周期性或准周期性的现象，如波动方程的解等。

三、特征值与特征函数对于具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题，其特征值和特征函数具有特殊的性质。

特征值是微分方程的解的频率，而特征函数则是与这些解相对应的函数。

在具有周期系数的情况下，特征值和特征函数都表现出周期性或准周期性的特点。

四、特征值不等式对于具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题，其特征值之间存在着一定的不等式关系。

这种关系主要由问题的边界条件和微分方程的性质决定。

在左定的情况下，由于微分方程在左端点处具有确定性的边界条件，因此特征值之间会形成一种特定的不等式关系。

这种关系可以通过分析微分方程的解及其性质来得到。

五、特征值不等式的应用特征值不等式在物理、工程、数学等领域有着广泛的应用。

在物理中，它可以用来描述周期性或准周期性现象的频率关系；在工程中，它可以用来分析结构的振动特性；在数学中，它可以用来研究函数的性质和分类等。

对于具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题，其特征值不等式可以用来分析该类问题的解的性质及其在各种应用中的表现。

Sturm－Liouville边值问题的特征值与特征函数

Sturm－Liouville边值问题的特征值与特征函数王帅;杨恩孝【摘要】This paper uses the research methods of a second order tensor and the differential operator eigenval -ue and eigenvector (functions) to study Sturm-Liouville boundary value problem .We can find that differential op-erator of Sturm-Liouville system eigenvalue problem is self-adjoint and its unit-orthogonal characteristic function sys-tem ( base ) constitutes a complete orthogonal system ( base ) .%本文采用二阶张量和常微分算子的特征值与特征向量（函数）的研究方法，研究了Sturm－Liouville边值问题。

通过这些研究得到， Sturm－Liouville系统特征值问题的微分算子是自伴的，并且其单位正交特征函数系（基）构成完备正交系（基）。

【期刊名称】《洛阳师范学院学报》【年(卷),期】2015(000)002【总页数】3页(P25-27)【关键词】Sturm-Liouville方程;特征值问题;完备正交系【作者】王帅;杨恩孝【作者单位】长春光华学院基础教研部，吉林长春130033;长春光华学院基础教研部，吉林长春130033【正文语种】中文【中图分类】O175方程称为Sturm-Liouville方程.其中p(x),ρ(x),q(x)在a≤x≤b上均是x的实函数,且p(x)>0,ρ(x)>0,q(x)≥0,而p′(x),ρ(x),q(x)在a<x<b上连续.对Sturm-Liouville方程提出的齐边界条件主要有：或Sturm-Liouville方程与齐边界条件①-③相结合,求其非零解,这就是Sturm-Liouville系统的特征值问题. Sturm-Liouville方程是用分离变量法解数学物理方程得到的一类方程.它的主要特点:1)方程中有参数λ;2) U(x)的一阶导数与二阶导数可以合起来,表达为形式.对Sturm-Liouville方程的边值问题讨论的主要问题是:参数λ取何值时,方程才有非零解.历史上已有过许多有价值的方程都归类于Sturm-Liouville系统.(1) Euler压杆稳定问题与Fourier一维热传导问题所得到的方程(2) Legengre方程(3) Bessel方程(4) Hermite方程对这些方程结合某些齐边界条件的本征值问题的讨论,得到许多非常有用的正交完备的基函数系.这些基函数系在数学物理方程研究中起到重要作用.我们就边值问题为例,讨论Sturm-Liouville系统的特征值问题.(2)与(1)中的λ相差一负号,我们约定 Sturm-Liouville系统的特征值是指各个Sturm-Liouville方程变成 (2)形式中的λ.(2)式中称为Sturm-Liouville系统特征值问题的微分算子.定义1 若U(x)≠0,U(x)满足边值问题(2),则称U(x)是Sturm-Liouville系统的特征函数,与U(x)对应的λ称为特征值.定义2 若(v,Lu)=(u,Lv),则称Sturm-Liouville系统特征值问题的微分算子L是自伴的，并且(u,Lv)≡x.定理1 Sturm-Liouville系统特征值问题的微分算子是自伴的.证明显然(v,Lu)=(u,Lv)⟺ .计算x.由齐边界条件① u(a)=u(b)=0,v(a)=v(b)=0,有；② u′(a)=u′(b)=0,v′(a)=v′(b)=0,有Δ=0;③ u(a)=u′(b),v(a)=v′(b)=0,有Δ=0.无论①,②,③的哪一种齐边界条件,都有(v,Lu)=(u,Lv).定理2 Sturm-Liouville系统特征值问题(2)的特征值有无穷多,均是实数,且是分离的,又λn≤0,(n=1,2,…).定义3 任意两个Riemann可积函数u(x),v(x)(a≤x≤b)称为函数u(x),v(x)的内积.积分称为函数u(x)的模(或范数,长度), 若则称两函数正交.定理3 Sturm-Liouville系统特征值问题(2)的特征函数是正交的,即：若特征值λn≠λm(n≠m),对应的特征函数为un(x),um(x),则有证明因为Lun=λnρun, Lum=λmρum， (un,Lum)=(um,Lun)(um,Lun)=(un,λmρum)=λn(um,ρun),(um,Lun)=(un,λmρum)=λn(um,ρun),于是有因为λn≠λm,(n≠m),必有 .Gram—Schmidt正交化方法.对重特征值,例如λ1=λ2=λ3对应的3个线性无关特征函数u1,u2,u3未必正交,但可由u1,u2,u3构造出与λ1=λ2=λ3对应的正交的3个特征函数v1,v2,v3.取v1=u1，设v2=u2+ku1=u2+kv1,使得,则可算出k,则得到v2,且v1,v2正交.再设v3=u3+k1v1+k2v2,使得 .由此二式又可算出k1,k2,则得到v3,且v3与v1,v2正交.对更高重特征值,如上作法也可构造出与重特征值对应的一组正交的特征函数.这种方法称为Gram—Schmidt正交化方法.如上所述, Sturm-Liouville系统特征值问题(2)有一正交的特征函数系(基){Ui(x)}(n=1,2,…).将其单位化,,则有单位正交特征函数系(基): {Ui(x)}(n=1,2,…).定理4 Sturm-Liouville系统特征值问题(2)的单位正交特征函数系(基):{Ui(x)}(n=1,2,…)在[a,b]上构成完备正交系(基).所谓“完备系”,即是在[a,b]上不存在不恒为零的连续函数f(x),使得.或者说[a,b]上的具有一阶连续导数或具有二阶分段连续导数的任意函数f(x),只要满足Sturm-Liouville系统特征值问题(2)的边界条件,则可以依单位正交特征函数系{Ui(x)}(n=1,2,…)展成绝对、一致收敛的广义Fourier级数其中(n=1,2,…) .【相关文献】[1] Garvey S D, Prells U,Friswell M I, Zheng Chen.General isospectral flows for linear dynamic systems[J].Linear Algebra and its Applications, 2004，45(3):365-368.[2] Chu M T, Fasma Diele, Ivonne Sgura. Gradient flow methods for matrix completion with prescribed eigenvalues[J]. Linear Algebra and its Applications, 2004，58(2)：35-112.[3] Friswell M I, Prells U, Garvey S D.Low-rank damping modifications and defective systems[J]. Journal of Sound and Vibration,2005，42(5):757-774.[4] Houlston P R, Garvey S D, Popov A A.Modal control of vibration in rotating machines and other generally damped systems[J].Journal of Sound and Vibration, 2007，45(7):104-116.[5] Houlston P R， Garvey S D， Popov A A. Optimal Controller Designs for Rotating Machines - Penalising the Rate of Change of Control Forcing[C].7th IFToMM-Conference on Rotor Dynamics, Vienna, Austria, 2006，32(8)：75-78.[6] Khattak A R, Garvey S D,Popov A A. Repeated resonances in folded-back beam structures[J]. Journal of Sound and Vibration,2006,30(9):309-320.。

sturm-liouville问题的m-函数与谱

sturm-liouville问题的m-函数与谱Sturm-Liouville问题是一个重要的微分方程问题，它出现在物理学、工程学和数学领域中。

它的求解方法涉及到m-函数和谱的概念。

Sturm-Liouville问题的一般形式为：$$\frac{d}{dx}\left(p(x)\frac{dy}{dx}\right) + q(x)y +\lambda w(x) y = 0$$在上述方程中，p(x)，q(x)，w(x)是已知函数，y(x)是未知函数，而λ是待求的常数。

该方程是一个边值问题，通常在一个区间[a, b]上求解。

边界条件可以是Dirichlet边界条件、Neumann边界条件或混合边界条件。

为了解决Sturm-Liouville问题，我们首先需要引入m-函数和谱的概念。

m-函数是解决Sturm-Liouville问题的关键步骤之一、m-函数定义为：$$m(x, t) = \begin{cases} 0, & x \leq t \\\frac{1}{w(t)}\left[\frac{y_1(t)y(x)}{y(x_1)y_1(x)} -\frac{y_2(t)y(x)}{y(x_2)y_2(x)}\right], & t < x < x_2 \\ 1, & x\geq x_2 \end{cases}$$在上述定义中，y1(x)和y2(x)是Sturm-Liouville问题的两个线性独立解，满足相同的边界条件。

x1和x2分别是区间[a, b]上的两个点，使得y1(x1)=0且y2(x2)=0。

m(x, t)既是一个关于x和t的函数，也是关于t的隐函数。

它在x=t时为0，在x=x1和x=x2时分别为1通过求解m(x, t)的零点，我们可以得到Sturm-Liouville问题的特征值。

事实上，当m(x, t)为0时，意味着存在一个特征值λ。

这些特征值将是Sturm-Liouville问题的解的集合。

《几类分数阶Sturm-Liouville问题的研究》范文

《几类分数阶Sturm-Liouville问题的研究》篇一一、引言在微分方程理论中，Sturm-Liouville问题作为基础而又重要的问题类型，历来都是学术研究的热点。

随着研究的深入和数学理论的扩展，分数阶微分方程开始进入人们的视野，与传统的整数阶微分方程一起，构成了现代微分方程理论的重要部分。

本篇论文旨在探讨几类分数阶Sturm-Liouville问题，并对其进行深入研究。

二、分数阶Sturm-Liouville问题的基本理论分数阶Sturm-Liouville问题是指对带有分数阶导数的微分方程进行研究的问题。

它的一般形式为：L_D(u) = λu(x) ，其中L_D 是一个关于u(x)的分数阶微分算子，λ是特征值，u(x)是特征函数。

这类问题具有广泛的物理背景和实际应用价值，例如在量子力学、振动理论、信号处理等领域都有重要的应用。

三、几类分数阶Sturm-Liouville问题的研究1. 线性分数阶Sturm-Liouville问题：主要针对具有线性算子的分数阶Sturm-Liouville问题进行研究，如基于常系数的微分方程问题。

此类问题常通过特定的变换，如Laplace变换、Fourier 变换等，将其转化为更容易求解的形式。

2. 非线性分数阶Sturm-Liouville问题：与线性问题相比，非线性问题更为复杂。

我们主要研究具有非线性算子的分数阶Sturm-Liouville问题，这类问题往往涉及到复杂的微分方程求解和数值分析方法。

3. 边界条件变化的分数阶Sturm-Liouville问题：当问题的边界条件发生变化时，问题的解将如何变化是我们关注的一个重点。

我们将研究在不同边界条件下，分数阶Sturm-Liouville问题的解的性质和变化规律。

4. 参数变化对问题的影响：我们将研究参数变化对分数阶Sturm-Liouville问题的影响，如改变算子中的参数值、增加新的约束条件等，探究这些变化如何影响问题的解及其性质。

《2024年Sturm-Liouville问题的谱分析与数值计算》范文

《Sturm-Liouville问题的谱分析与数值计算》篇一摘要：本文介绍了Sturm-Liouville问题的基本理论，通过对其谱的详细分析，以及探讨了谱计算的数值方法。

主要探讨了问题的重要性，并对求解策略进行了一系列数值计算，同时将得出的结论进行展示与评估。

本文的目的在于对Sturm-Liouville问题的深入研究提供一种系统的、科学的解决方案。

一、引言Sturm-Liouville问题是一种在微分方程领域中常见的特征值问题，广泛应用于量子力学、热传导等众多领域。

通过对其进行谱分析，可以获得一系列的特解，从而为相关领域的研究提供重要依据。

本文将详细介绍Sturm-Liouville问题的基本理论，并探讨其谱的详细分析以及数值计算方法。

二、Sturm-Liouville问题的基本理论Sturm-Liouville问题通常可以表述为二阶线性微分方程的定解问题。

这类问题的一般形式包括一阶和零阶微分项以及附加的条件如连续性和其他物理上的边界条件等。

针对此问题的解析研究为我们提供了一整套方法来分析和计算线性常微分方程和广义Sturm-Liouville系统的一些属性，例如，本征值和本征函数等。

三、谱的详细分析谱分析是解决Sturm-Liouville问题的重要步骤。

本部分详细介绍了如何通过求解微分方程来获得其特征值和特征函数。

通过使用特定的边界条件和连续性条件，我们可以得到一系列的特解，这些特解构成了问题的谱。

此外，还探讨了谱的稳定性及性质，对进一步研究该问题的性质和特征具有重要意义。

四、数值计算方法为了解决复杂的Sturm-Liouville问题，本文介绍了若干有效的数值计算方法。

其中包括差分法、有限元法、数值逼近等几种常用方法。

每一种方法都详述了其计算过程及注意事项，并给出了具体的计算实例。

同时，对各种方法的优缺点进行了比较和评价，为实际应用提供了参考依据。

五、数值计算实例与结论本部分通过具体的数值计算实例展示了各种数值计算方法在解决Sturm-Liouville问题中的应用。

三类Sturm-Liouville特征值问题

三类Sturm-Liouville特征值问题
众所周知,Sturm-Liouville问题起源于对固体热传导模型的处理.其理论
应用广泛,主要包括数学物理、工程技术、气象物理及其它理论和应用学科.因此,一个多世纪以来,常微分算子已逐步形成数学及物理学领域的一个重要研究分支.本文通过微分方程基本解的高阶展开式,研究边界条件中含谱参数的
Sturm-Liouville算子特征值的渐近展开式.进一步利用初值问题解的渐近估计,并借助于一个积分恒等式,采用留数方法,得到了边界条件中含谱参数的2×
2Sturm-Liouville问题特征值的迹公式.本文主要内容安排如下：第一章绪论.主要介绍Sturm-Liouville理论的研究状况及本文所做的工作.第二章本章研究定义在闭区间[0,1]上且边界条件中不含谱参数的正则Sturm-Liouville问题,其中势函数q(x)∈W2m-1([0,1])(m∈N).给出了微分方程基本解的高阶展开式.第三章本章讨论定义在闭区间[0,1]上且边界条件中含谱参数的
Sturm-Liouville问题,其中势函数q(x)∈W2m-1([O,1])(m∈N)借助于微分方程基本解的高阶展开式及系数特征,采用剩余估计法,给出该Sturm-Liouville问题的特征值的渐近展开式.第四章本章研究定义在闭区间[0,π]上且边界条件中含谱参数的2x2Sturm-Liouville问题.本章首先给出该问题的特征函数,然后借助于该特征函数,给出该问题的特征值的迹公式.。

一类二阶广义Sturm—Liouville边界条件多点边值问题的可解性

ｒ（）一厂（，，）＋Ｐ，ｚ（）ｚ（）（）
ｍ一２
∈ （，）Ｏ１
一２
１（一）ｏ肛（：∑ （）（＋（一∑ｂ（）ａ）ｚｏ，１１））ｊ。ｘ
、
一１
＝１
．１Ｎ
一Ｕｔ一
盯
一
Ｓｏｖｂｉｉｙｏｅｏｄｏｄｒｍｕｔ— ｉｔｂｎａｙｖｌｒｂｌｍｌａｌｔｆａｓｃｎｒｅｌｉｐｏｎｏｕｄｒａｕｅｐｏｅｗｉｈｇｅｅａｉｅｕｒＬｉｕｖｌｅｂｏｎｄｒｏｉｉｎｔｎｒｌｚｄＳｔｍ— ｏｉｌｕａｙｃｎｄｔｏ
的一个重要领域。Ｇｐａ在文献［１］ｕｔ．中对问题
ｒ（）ｆ（，￡，￡）ｅ￡，ｔ（１￡一ｔｚ（）ｚ（）＋（） ∈ ０，）
一
ｊ
ｒ１、
州２一
一２
ｒ９、
２
ｌ（一０ｚ１一∑ （）０，（ｚ），）８
、
一
ｌ０一∑ （）ｚ１一∑ｂ（）一ｚ）（８，（）ｊＺｘ＇ｊ
解的存在性．受文献［的启发，本文研究更一般２］
的二阶常微分方程多点边值问题
；１一
Ｌ●
关键词：广义Ｓｕｍ— ｉｕｉｅ边界条件；ＬｒｙＳｈｕｅ延拓定理；多点边值问题ｔｒＬｏｖｌｌｅａ — ｃａｄｒ中图分类号：Ｏ１５８７．文献标识码：Ａ文章编号：１０ —８Ｘ（０８０ — ０１００１９８２０）４００ — ５

自伴Sturm-Liouville差分方程的极值问题

自伴Sturm-Liouville差分方程的极值问题二阶Sturm-Liouville微分方程的边值问题起源于19世纪对于固体热传导模型的研究,它构成一类十分重要的二阶微分算子,在经典物理学和近代量子物理学中有广泛的应用,这方面的研究至今已经有相当悠久的历史和十分丰富的结论.二阶Sturm-Liouville差分方程是Sturm-Liouville微分方程的离散化,它导出的二阶差分算子也广泛应用于工程技术、生命科学等领域.微分或差分算子的逆谱理论是微分或差分算子理论中重要的课题,它主要研究什么样的谱信息可以何种程度地重构微分或差分算子，当给定一族谱信息，所有使得算子满足这些谱信息的势函数即为逆谱集,逆谱集对算子的重构有着重要作用.本文主要研究自伴Sturm-Liouville差分方程的逆谱问题,利用差分算子的Green函数和Mercer 定理等,得到了当已知一个Sturm-Liouville差分方程边值问题的第一特征值时,此问题的逆谱集中元素范数的下确界的一些相关信息,主要包括下确界的表示式、可达性和何时取到下确界.全文共分为五章.第一章作为绪论叙述了本文的研究背景及研究现状,并指出本文的主要研究工作和成果的创新点.第二章介绍了二阶Sturm-Liouville差分方程边值问题的谱理论相关内容,包括自伴性条件,特征值的个数和分布,以及特征值的连续依赖性,特征分支的单调性等.第三章介绍了二阶Sturm-Liouville差分方程边值问题的Green函数及相应的MMercer定理等,并以Mercer定理为基础得到了Green函数与特征值,势函数与Green函数之间的关系,为研究逆谱集的相关性质打下基础.第四章得到了本文的一个主要结论，，在Dirichlet边界条件下，逆谱集中元素范数的下确界关于已知的第一特征值的显式表示式.第五章得到了在一般自伴边界条件下,求已知的第一特征值的逆谱集中元素范数下确界的方法，并给出了某些边界条件下逆谱集中元素范数的下确界关于第一特征值的显式表示式。

偶数阶Sturm-Liouville边值问题的多个正解

偶数阶Sturm-Liouville边值问题的多个正解
孙红蕊;李万同
【期刊名称】《数学物理学报》
【年(卷),期】2006(026)005
【摘要】该文讨论了偶数阶边值问题(-1)my(2m)=f(t,y),0≤t≤1,αi+1y(2i)(0)-
βi+1y(2i+1)(0)=0,γi+1y(2i)(1)+δi+1y(2i+1)(1)=0,0≤i≤m-1正解的存在性.借助于Leggett-Williams不动点定理,建立了该问题存在三个及任意奇数个正解的充分条件.
【总页数】7页(P700-706)
【作者】孙红蕊;李万同
【作者单位】兰州大学数学与统计学院,兰州,730000;兰州大学数学与统计学院,兰州,730000
【正文语种】中文
【中图分类】O175.14
【相关文献】
1.偶数阶三点边值问题的多个对称正解 [J], 王社军;孙红蕊
2.一类偶数阶Sturm-Liouvile四点边值问题多个正解的存在性 [J], 沈志默;肖建中;曹银芳
3.高阶Sturm-Liouville型边值问题多个对称正解的存在性 [J], 庞慧慧;赵俊芳;葛渭高
4.四阶和一般偶数阶奇异边值问题正解的存在性 [J], 杨作东;柴新宽
5.具P-Laplace算子Sturm-Liouville型边值问题多个正解的存在性 [J], 张萌;姜洪冰;
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数理方程Sturm-Liouville问题

f ( x ) f n yn ( x )
n
第三章 Sturm-Liouville问题
5
Sturm-Liouville固有值问题的共有性质
d dy ( p( x) ) ( ( x) q( x)) y 0, x [a, b] 加上合适的边界条件 dx dx
称 f ( x) f n yn ( x)右边的级数为广义傅里叶级数
d d
贝赛尔方程
d sin sin 0 勒让德方程 d
它们都可以归纳为下面的一般形式
d dy ( p ( x) ) ( ( x) q ( x )) y 0 dx dx
这种类型的方程称为Sturm-Liouville型方程(简称S-L 型) ( x) 称为权重函数 0 一般 ( x) 0, ( x)
Sturm-Liouville问题
在前面几节中，我们讨论过常微分方程 X ''( x) X ( x) 0 的固有值问题以后，我们还将研究如下的方程
d dy v2 ( x ) ( x ) y 0 dx dx x
d 2 dy (1 x ) y 0 dx dx
sturmliouville问题在前面几节中我们讨论过常微分方程xx??xx0的固有值问题以后我们还将研究如下的方程ddyv2x??x?y0贝赛尔方程dxdxxd?2dy?d?d???1?x???y0d??sin?d????sin??0勒让德方程dx?dx???它们都可以归纳为下面的一般形式ddypx???x?qxy0dxdx这种类型的方程称为sturmliouville型方程简称sl型?x称为权重函数一般?x?0?x?0?第三章sturmliouville问题22ddypx???x?qxy0dxdxsl型方程附加上齐次的第一类第二类第三类边界条件或者是自然边界条件就构成sl型固有值问题?称为固有值满足sl型方程及相应的边界条件的非零解就是固有函数第三章sturmliouville问题33sturmliouville固有值问题的共有性质ddypx???x?qxy0x?ab加上合适的边界条件dxdx性质1如果?x是固有函数c是不为零的常数则c?x也是固有函数

《2024年Sturm-Liouville问题的谱分析与数值计算》范文

《Sturm-Liouville问题的谱分析与数值计算》篇一一、引言Sturm-Liouville问题作为微分方程中的一个经典问题，具有广泛的应用背景。

在物理、工程、数学等多个领域中，都涉及到了Sturm-Liouville问题的谱分析和数值计算。

本文旨在介绍Sturm-Liouville问题的谱分析方法以及相应的数值计算技术，以期为相关领域的研究者提供一定的参考。

二、Sturm-Liouville问题的谱分析（一）问题描述Sturm-Liouville问题主要指的是形如以下的二阶微分方程：L[y] = - (py')' + qy = λWy其中p、q、W是给定的实值函数，λ是特征值，y是特征函数。

该问题在一定的边界条件下进行求解，如y在端点处的取值等。

（二）谱分析方法对于Sturm-Liouville问题的谱分析，主要采用分离变量法和自伴算子法。

分离变量法将微分方程转化为常微分方程进行求解，而自伴算子法则将问题转化为求解自伴算子的特征值和特征函数。

这两种方法均能有效地求解Sturm-Liouville问题，并得到其谱的完整描述。

三、数值计算方法（一）有限差分法有限差分法是一种常用的数值计算方法，通过将微分方程转化为差分方程进行求解。

对于Sturm-Liouville问题，可以将区间进行等距或非等距划分，利用差商代替微商，从而得到差分方程。

通过求解差分方程，可以得到近似解。

（二）有限元法有限元法是一种基于变分原理的数值计算方法，通过将求解区域划分为有限个相互连接的子区域（即有限元），在每个有限元内假设一个近似解的分片函数，然后通过求解整个区域的能量泛函极值或残差平方和的最小值来得到近似解。

对于Sturm-Liouville问题，可以采用适当的基函数来逼近特征函数，从而得到近似的特征值和特征函数。

四、实例分析以某物理问题为例，采用Sturm-Liouville问题进行谱分析和数值计算。

采用m函数定义Sturm Liouville问题的广义特征多项式

采用m函数定义Sturm Liouville问题的广义特征多项式作者：陆骞来源：《科技风》2023年第36期摘要：分析SturmLiouville问题的m函数对谱参数与端点的导数，以此推出谱参数分段单调性。

通过m函数定义SturmLiouville问题广义特征多项式，从而得出SturmLiouville问题谱对参数、边界的导数简短证明。

关键词：m函数；SturmLiouville问题；广义特征多项式充分考慮SturmLiouville方程，在1910年H.Weyl将SturmLiouville方程划分为极限圆型与极限点型，极限圆型值指的是任意λ∈C/R，SturmLiouville方程所有解都为平方可积；极限点型指的是对于任意λ∈C/R，方程有且只有一个解为平方可积。

有研究人员在此基础上设置了有效处理工具，也就是TitchmarshWeylm（λ）理论，利用m（λ）函数性质对奇异SturmLiouville问题谱问题进行讨论，对于m（λ）函数具有重大研究意义。

在t=0点附加边值条件：y（0）sina-y’（0）cosa=0-π/2<a≤π/2以此构成SturmLiouville边值问题，分析不同函数中的m（λ）函数比较定理。

公式分别为Pro（q）和（1）q，以下给出结论：充分考虑a=π/2时候的两个奇异边值问题Pro=（q1），Pro（q2），为右定且为极限点型，并且使所对应m（λ）函数作为m1（λ）与m2（λ）。

-∞<λ0<λ1<…<λn<…为m1（λ）的极点；另外，-∞<u0<u1<…<un<…为m2（λ）的极点。

如果q1（t）≤q2（t），a.e.t∈（a，∞）其次，（λk-1，λk）⌒（uk-1，uk）=（ξk-1，ξk）≠￠的时候，在k=0的时候，λ-1，u-1，ξ-1指的是-∞，那么（ξk-1，ξk）为必有的：m1（λ）≥m2（λ）1有限谱问题分析微分算子指的是线性算子中使用比较广泛的算法，也就是描述固体热传导问题的数学模型从而产生的SturmLiouville问题研究，因为实际使用背景，促进了微分算子谱理论的发展。

微分方程的Sturm-Liouville问题

微分方程的Sturm-Liouville问题微分方程是描述自然界中运动、变化的数学工具，而微分方程的Sturm-Liouville问题是其中一种经典问题，它在数学和物理领域都有着重要的应用。

在本文中，我们将从微分方程的基本概念开始讨论Sturm-Liouville问题的定义、性质和解法。

微分方程的基本概念微分方程是描述函数、曲线以及它们变化率之间关系的方程。

通常，微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。

常微分方程描述的是一个未知函数及其导数之间的关系，而偏微分方程则描述多个未知函数以及它们的偏导数之间的关系。

常见的微分方程包括一阶、二阶以及高阶微分方程，它们的解通常需要满足一定的初值或边界条件。

Sturm-Liouville问题的定义Sturm-Liouville问题是一类特殊的常微分方程边值问题，其形式通常为：$$ \\frac{d}{dx}\\left(p(x)\\frac{dy}{dx}\\right) + q(x)y + \\lambda w(x)y = 0 $$其中，p(x)、q(x)和w(x)是给定的函数，$\\lambda$是待定的参数。

在Sturm-Liouville问题中，我们需要求解函数y(x)，使得上述微分方程满足一定的边界条件。

这类问题在分析数学、物理学和工程领域中都有着广泛的应用。

Sturm-Liouville问题的性质Sturm-Liouville问题具有许多重要的性质，其中一些包括：1.自伴性：Sturm-Liouville问题中的微分算子通常是自伴的，这使得问题的解具有重要的特殊性质。

2.特征值问题：Sturm-Liouville问题的解是关于参数$\\lambda$的特征函数，而$\\lambda$则是特征值。

3.正交性：Sturm-Liouville问题的一组特征函数在一定权函数下通常是正交的，这为问题的解提供了一种基函数展开的方式。

解Sturm-Liouville问题的方法解决Sturm-Liouville问题的一种常见方法是使用分离变量法，并将待解函数表示为一组已知函数的线性组合。

一类二阶广义Sturm-Liouville边界条件多点边值问题的可解性

一类二阶广义Sturm-Liouville边界条件多点边值问题的可
解性
徐有基
【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2008(044)004
【摘要】应用Leray-Schauder延拓定理,得到了二阶常微分方程多点边值问题x″(t)=f(t,x(t),x′(t))+e(t), t∈(0,1)αx(0)-βx′(0)=∑m-2i=1aix(ξi),
γx(1)+δx′(1)=∑n-2j=1bjx(τj)解的存在性,其中f:[0,1]×R2R满足Caratheodory 条件,e(·)∈L1(0,1),ai,bj∈R,ξi,τj∈(0,1),i=1,2,…,m-2,j=1,2,…,n-2,0＜ξ1＜ξ2＜…＜ξm-2＜1,0＜τ1＜τ2＜…＜τn-2＜1.
【总页数】5页(P1-5)
【作者】徐有基
【作者单位】西北师范大学,数学与信息科学学院,甘肃,兰州,730070
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.一类二阶多点边值问题在共振条件下的可解性 [J], 张海波
2.一类二阶广义Sturm-Liouville积分边值问题的可解性 [J], 汤小松;王志伟;
3.一类奇异二阶多点边值问题的可解性 [J], 许懿;罗治国
4.一类二阶广义Sturm-Liouville积分边值问题的可解性 [J], 汤小松;王志伟
5.一类二阶常微分方程多点边值问题的可解性 [J], 李晓燕
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《2024年几类分数阶Sturm-Liouville问题的研究》范文

《几类分数阶Sturm-Liouville问题的研究》篇一一、引言在微分方程理论中，Sturm-Liouville问题作为一族特殊的边值问题，广泛地存在于数学物理和工程领域的多个应用中。

随着近年来分数阶微积分理论的发展，分数阶Sturm-Liouville问题逐渐成为研究的热点。

本文旨在研究几类分数阶Sturm-Liouville问题，探讨其解的性质和求解方法，为相关领域的应用提供理论支持。

二、分数阶Sturm-Liouville问题的基本概念分数阶Sturm-Liouville问题是在传统的Sturm-Liouville问题基础上引入了分数阶导数。

其基本形式为：在一定的区间上，给定分数阶导数和边界条件，求解满足特定条件的函数。

这类问题在物理、力学、工程等领域具有广泛的应用。

三、几类分数阶Sturm-Liouville问题的研究（一）线性分数阶Sturm-Liouville问题线性分数阶Sturm-Liouville问题是最基本的分数阶Sturm-Liouville问题。

本文首先研究了该类问题的基本性质，如解的存在性、唯一性和连续性等。

然后，通过引入适当的变换，将该问题转化为更容易求解的形式，并给出了具体的求解方法。

（二）非线性分数阶Sturm-Liouville问题非线性分数阶Sturm-Liouville问题比线性问题更为复杂。

本文研究了该类问题的基本性质和求解方法。

针对不同类型的问题，分别采用了不同的方法进行求解，如迭代法、牛顿法等。

同时，还对解的稳定性和收敛性进行了分析。

（三）带有奇异核的分数阶Sturm-Liouville问题带有奇异核的分数阶Sturm-Liouville问题在应用中具有广泛的实际背景。

本文研究了该类问题的基本性质和求解方法，并针对奇异核的特点，提出了相应的处理方法。

同时，还对解的连续性和可微性进行了分析。

四、数值方法和算法实现针对不同类型的分数阶Sturm-Liouville问题，本文提出了相应的数值方法和算法实现。

《边界条件中带有谱参数的分数阶Sturm-Liouville问题》范文

《边界条件中带有谱参数的分数阶Sturm-Liouville问题》篇一一、引言在数学物理领域，Sturm-Liouville问题一直是一个重要的研究方向。

近年来，随着分数阶微分方程的兴起，分数阶Sturm-Liouville问题也逐渐成为了研究的热点。

特别是在考虑具有复杂边界条件和谱参数的情况下，分数阶Sturm-Liouville问题的研究变得尤为重要。

本文将重点探讨带有谱参数的边界条件在分数阶Sturm-Liouville问题中的应用。

二、问题描述在给定的区间内，我们考虑一个具有分数阶导数的Sturm-Liouville问题。

其中，该问题的边界条件中包含有谱参数。

我们要求解这个带有复杂边界条件的分数阶微分方程，并分析谱参数对解的影响。

三、模型建立首先，我们定义分数阶导数的形式，并给出相应的微分方程。

接着，我们根据问题的特点，设定带有谱参数的边界条件。

这样，我们就建立了一个具有分数阶导数和复杂边界条件的Sturm-Liouville问题模型。

四、问题分析在分析该问题时，我们需要考虑以下几个方面：1. 谱参数对解的影响：我们需研究谱参数的变化如何影响方程的解。

这需要通过对不同谱参数下的解进行比较和分析来实现。

2. 边界条件的处理：由于边界条件中包含有谱参数，我们需要采用适当的方法来处理这些条件。

这可能涉及到对边界条件的近似、插值或变换等方法。

3. 分数阶导数的处理：分数阶导数的处理是解决该问题的关键。

我们需要选择合适的数值方法或近似方法来求解分数阶导数，以保证解的准确性和稳定性。

五、数值方法与求解过程针对该问题，我们可以采用以下数值方法进行求解：1. 有限差分法：通过将微分方程和边界条件离散化，将问题转化为一个线性代数问题，然后采用适当的算法进行求解。

2. 谱方法：利用谱方法的优点，如高精度、快速收敛等，来求解该问题。

在处理分数阶导数和边界条件时，可以采用适当的基函数或变换来简化问题。

3. 迭代法：当问题的规模较大或难以直接求解时，可以采用迭代法进行求解。