分式培优讲义

（ n≥ 3） . 则 的值是
,
的结果是
时， n 的值
.
10、先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
(1) 计算
（ 2 ）探究 .
． ．（用含有 的式子表示）
精品文档 （ 3 ）若
的值为 ，求 的值．
二、选择题
11、如果 m 个人完成一项工作需要 d 天，则（ m+n）个人完成这项工作需要的天数为（
5、不论 x 取何值时，下列分式总有意义的是（
1
，则 x*( x+1)=________.
b
）
x1 A. x2
x2
B.
(x
2) 2
x
C.
x2
x D. x2 2
6、若 x2－ 9=0,则分式 x 2
5x 6
的值为（
）
x3
A.1
B. －5
C.1 或－ 5
D.5
7、若分式
|m | m2
1 的值为零，则 m
( x 1)( x 2)
2、若 M=
x 2 1 ,则当 x________时， M 有意义；当 x=________ 时， M =0；当 x=________ 时， M =4.
3、当 x________时，分式 x 2 的值为正数 . 5x
1
4、在正数范围内定义一种运算 * ，其规则为 a* b=
a
）
x 2y
A. 扩大 2 倍
B. 扩大 6 倍 C.扩大 3 倍
D.不变
10、甲、乙两人加工某种机器零件，已知甲每天比乙多做
a 个，甲做 m 个所用的天数与乙做 n 个所用的天数
相等（其中 m≠ n），设甲每天做 x 个零件，则甲、乙两人每天所做零件的个数分别是（
）
A. am 、 an mn mn
B. an 、 am mn mn
=1 的解是非
17、已知 a2+3a+1=0, 求
（ 1） a+ 1 ; a
（ 2） a2+
1 a2
;
（ 3） a4+
1 a4
a+2b
18、已知 a、b、 c 均不为 0，且
3b c
2c
ac
,求
2b 的值。
5
3
7
2b 3a
19、已知 a2 10a 25
b 4 a3 ab2 2a 2b b 2
b 3 ，求代数式
④ 分 式 值 为 正 或 大于 0： 分子 分 母 同 号（
或
）
.
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⑤ 分 式 值 为 负 或 小于 0： 分子 分 母 异 号（
或
）
⑥分式值为 1：分子分母值相等（ A=B ）
⑦分式值为 - 1：分子分母值互为相反数（ A+B=0 ）
知识点三：分式的基本性质
分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于
1 的分式，再通分。
分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减， 同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，
也要注意灵活，提高解题质量。
注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错
误或分析出错的原因。
知识点七：整数指数幂 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。
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讲义
———分式 姓名：
分式
.
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知识点一：分式的定义 一般地，如果 A ， B 表示两个整数，并且 B 中含有字母，那么式子
A 叫做分式， A 为分子， B 为分母。 B
知识点二：与分式有关的条件
①分式有意义：分母不为 0（ B≠ 0）
②分式无意义：分母为 0（ B=0 ） ③分式值为 0：分子为 0 且分母不为 0（ A=0 且 B≠ 0）
x x2 x2 x2
65 3x 2x 1
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1
2
4
2
x1 x1 x 1
x
5
1
2x 5 5 2x
x1
3
x1
( x 1)( x 2)
.
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分式典型题
1 1、代数式 ,
x
x y a2 a , ,0,
42a
b x2 b, x2
1 中，是整式的有 _____________，是分式的有 _____________. 1
m 取值为 (
)
A. m=± 1
B.m=－ 1 C.m=1
D.m 的值不存在
8、每千克 m 元的糖果 x 千克与每千克 n 元的糖果 y 千克混合成杂拌糖， 这样混合后的杂拌糖果每千克的价格
为( )
nx
A.
my 元
xy
B. mx my 元 xy
C. m n 元 xy
D. 1 ( x
y
)元
2m n
9、如果把分式 3 x 中的 x、 y 的值都扩大 2 倍，那么分式的值（
即
.
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★
★
★
★
（
）★
.
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★
（
）★
（
） （任何不等于
零的数的零次幂都等于 1） m， n 均为整数。
科学记数法 若一个数 x 是 0<x<1 的数，则可以表示为
a 10-n （ 1
a＜10 ，即 a 的整数部分只有一位，
n 为整数）的形
式，n 的确定：n=从左边第一个 0 起到第一个不为 0 的数为止所有的 0 的个数的相反数。 如 0.000000125= 1.25 10 7 若一个数 x 是 x>10 的数则可以表示为 a 10 n（ 1 a ＜10 ，即 a 的整数部分只有一位， n 为整数）的形式， n
）
A． d+n
B ． d- n
C
． md
mn
D
．d
mn
12、若 x+ 1 =3, 求
x2
的值是（
x
x4 x2 1
）． A ． 1 B ． 1 C ． 1
8
10
2
D． 1 4
a
a2 ab b2
13、如果 =2，则
＝( ) A
b
a2 b2
4
．
5
3
B ．1 C ．
5
D ．2
14、如果 满足
，那么 a 2
1
0，则是原方程的解。
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为
0。
知识点八：列分式方程
基本步骤
审：仔细审题，找出等量关系。
设：合理设未知数。
列：根据等量关系列出方程（组）。
解：解出方程（组）。注意检验
验：检验并答题。
计算专练
1、化简 ( 1 x1
1) x1
x
2x2
，然后从
2
2,1, 1中选取一个你认为合适．．的数作为 x 的值代入求值．
分式培优题
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ab
1、若 a、 b 满足 + =2，则的值是
。
ba
2、当 x_____________ 时， x 与 3 x 互为倒数． x3 x
3、如果，
则
；
．
m2 4m 3
11
a ab b
4、当 m=
时，分式
的值为零 . 5 、已知 - =4，则
=
。
m2 3m 2
ab
2a 2b 7ab
abc
2g
ab
b3
ab
a2 b 2 的值
.
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x 20、若 x y z 0, xyz 0 ，求
yz
y zx
z 的值。 xy
11
21、已知
ab
5( a b), 求 a
b 的值
b( a b) a(a b)
a 4 a3 b a2b 2 ab3
22、化简：
3
3
22
a b ab 2a b
a3 ab2
2
3
ab b
0 的整式，分式的值不变。
.
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字母表示：
，
，其中
A 、B 、C 是整式， C
0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即
.
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注意：在应用分式的基本性质时，要注意
C
0 这个限制条件和隐含
条件 B
0。
知识点四：分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因 式的最低次幂。
的值是 ( ) A
a2
15、已知分式
6a 18
a2
的值是正整数，求整数
9
a 的值。
4
4
．
B ．4 C ．
D ． 14
15
17
16、已知：
的值．
a
17、已知
b
c
0 ，求分式 3a 2b 3c 的值。
345
a bc
18、已知 x 1 x
3 ，求分式 x 2
的确定： n=比整数部分的数位的个数少 1。如 120 000 000= 1.2 108
知识点七分式方程的解的步骤 ⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程） ⑵解整式方程，得到整式方程的解。 ⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
.
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如果最简公分母为 0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为
23、计算：（巧算）
1
2
2
x 2 x1 x1
1 x2
x2 x3 x5 x 4 x1 x2 x4 x 3
11
1
…－
1
x x( x 1) (x 1)( x 2)
( x 2013)( x 2014)
2
2 2x 18
24、已知 x 为正整数，且
x3 3x
x2
也为正整数，求所有符合条件的
9
x 的值。
一、填空
.
3
x2
(x+1－
)÷
x 1 2x 2
a 3b 2 2 a b3 3
20050 22
1
1 3
(x 2y 3) 1 (x2 y 3)2
23
3.14 0
1 12
2
1
1 2
1
( 1)2 1
5 (2004 ) 0
2
0
1
1
( 2)3 1
2
2
3
2
2 3
0
2014
3
1 2
1x 3 1
2x
x2
.
1x 1 2 x2 2x
C. am 、 an mn mn
D. am 、 an nm nm
11、下列各式中，是分式的是 (
)
x
A.
2
B. 1 x2 3
2x 1
x
C.
x3
D. 1
2
12、当 a 为任何实数时，下列分式中一定有意义的一个是
(
)
a1 A. a2
1
B.
a1
a2 1
C.
a1
a1 D. a 2 1
.
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13、当 m______时，关于 x 的方程 x 2 m 有增根；
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数； Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。 知识点六：分式的四则运算与分式的乘方 分式的乘除法法则： 分式乘分式 ，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：
a1
(
)
()
x y x y x 2y x y
a a2 a2 1
a
a (
1 )
2
a1 a1
a2 4 a2 2a
÷（ 8
a2-4
）·
a2
4a a2
4
a 2 a2 8a 16 a 4 4a2
3x x x2 1 x1 x1 x
2b 2
a + b+
ab
x y y 2x y yx xy yx
2 3x 1 3x 2 4 9x2 2 3x 3x 2
x3
x3
若
关
于
x
的
方
程
=
x
14、已知
y
z (x
2x 0) ，求分式
3y
3z 的值。
23 4
2x 3y 3z
1
15、已知
1
3 ，求 5x xy 5y 的值 .
xy
x xy y
.
无解，则 m=
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16、若方程 2x a x2
1的解是正数，求 a 的取值范围 .
已
知
关
于
x
的
分
式
方
程
正数，求 a 的取值范围 .
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
知识点五：分式的通分
分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
.
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化简求值： a(4 1) a
1
，其中 a
1．
a 2a a2
3
xy
x2 y2
2y
化简：
x 3y
x2
6xy 9y2
x
．
y
(a2b)3
c2 ?(
)2
(bc)4
c ab a
1 ?(
x
)2
1
x 2y y
x2 (
y2)2
( x2
xy)3 ?( xy )2
y
yx
[(
b 2a3
)3
?(
4a3 3b2
)]
2
111 x 1 x2 1 1 x ；
11
x
2x
6
3x
2(x2
；
9)
2x 6 x2 4x 4
(x
3) x2 x 6 12 4x
.
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a a2 2a a 1
a a1
a2 4 a2 3a 2
a2 (
)3
( a6c)
bc
x 2 x1 x2 2x x2 4x 4
x
4 (2
x) 2
x
a a2 a2 1
2
a a1
a2 a1
a1
2
a1
x 2y xy 1 1
分式除以分式 ：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为
分式的乘方 ：把分子、分母分别乘方。式子
.
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分式的加减法则： 同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为
异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为
.
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整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为
6、若 a∶ b∶ c=1∶ 3∶ 5，则
=
a
a2 b2 c2
，
2
=
。
a
a 2b 5 a
7、已知：
= ，则 =
． 8 、已知
，则
=
。
b3 b
9、如图，第（ 1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为
，第（ 2）个多边形由正方形“扩展”而来，边
数记为 当
，…，依此类推 , 由正 边形“扩展”而来的多边形的边数记为