《利用导数判断函数的单调性》
导数法判断函数单调性
导数法判断函数单调性
微积分中，导数法判断函数单调性是一种直观简单、高效果的方式。当原函数在区间上单调时，其求得的导数不可能大于零同时也不可能小于零；反之，当函数在区间上不是单调的时候，其求得的导数有可能小于零同时也有可能大于零，由于函数的单调性十分直观，这就是应用微积分来判断函数单调性的常用方法。
导数法判断函数单调性，既可以利用导数的符号属性，也可以利用导数的极值属性，即函数在自变量的极点处，此时的导数取值为零。因此，当函数的导数存在极点的时候，改点即为函数的拐点。当函数存在多个拐点的时候，利用导数的符号属性来判断函数的单调性，即对于拐点左右的区间，导数的符号都不可能改变，便可正确判断有关函数的单调性。
总之，导数法判断函数单调性，是一种重要且高效的方法，也是在求解非线性微分方程、定性分析流形等复杂微积分问题时，非常有效的工具之一。
利用导数判断函数的单调性
二、复习引入:
设函数 y = f (x) 的定义域为I,D是I 的子集，当 对任意的两个 变量x 1、x 2 ∈D 且 x 1＜ x 2 时 1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在D 上是增函数； 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在D 上是减函数；
附近几乎没有升降
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。
y f ( x)
变化,切线平行x轴
y f ( x)
y A B
y A B
o
2
3 x
o
2
3 x
练习2:
函数 y f 的大致形状
( x ) 的图象如图所示, 试画出导函数 f ( x )图象
y
y f x
O
a
b
c
x
1 f ( x ) 0 当 , 即x [ 17 2 1 17 , ), x ( , ] 时， 2
2 3 2 (4) 因为 f ( x) 2x 3x 24x 1, 所以 f ( x) 6 x 6 x 24
函数 f ( x ) 单调递增; 1 17 1 17 f ( x ) 0 x [ ， ] 时, 函数 f ( x )单调递减. 当 ,即 函数 f
课前探究学习
第21讲 利用导数研究函数的单调性(解析版)
第21讲 利用导数研究函数的单调性
【基础知识回顾】
1. 利用导数研究函数的单调性
在某个区间(a ，b)内，如果f′(x)≥0且在(a ，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)≤0且在(a ，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递减．
2. 判定函数单调性的一般步骤 (1)确定函数y ＝f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； (4)根据(3)的结果确定函数的单调区间． 3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围 (1)函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上单调递增，可转化为f ′(x)≥0在(a ，b)上恒成立，且在(a ，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a ，b)⊆增区间．
函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上单调递减，可转化为f′(x)≤0在(a ，b)上恒成立，且在(a ，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a ，b)⊆减区间．
(2)函数y ＝f(x)的增区间是(a ，b)，可转化为(a ，b)＝增区间，也可转化为f′(x)＞0的解集是(a ，b)；
函数y ＝f(x)的减区间是(a ，b)，可转化为(a ，b)＝减区间，也可转化为a ，b 是f′(x)＝0的两根．
1、.函数f (x )＝3＋x ln x 的单调递减区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫1e ，e B.⎝⎛⎭⎫0，1
e C.⎝⎛⎭⎫－∞，1e
D.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞
利用导数判断函数的单调性
3.3.1
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，
3x2－1 2 f′(x)＝6x－ ＝2· . x x
令 f′(x)>0，
3x2－1 即 2· >0， x
3 3 解得－ 3 <x<0 或 x> 3 . 3 又∵x>0， ∴x> . 3
3x2－1 令 f′(x)<0，即 2· <0， x
3 3 解得 x<－ 3 或 0<x< 3 .
2a 2a 令x1 =0,可求得x2 = ,所以有f 0 =f ,显然 0, 2 2 2 1-a 1-a 1-a 2a
0<a<1时,f x 在[0, )上,不是单调函数.
课堂练习 1、函数的减区间为( ) (A) (-1,1) (B) (1,2) (C) (-∞,-1) (D) (-∞,-1) ，(1, +∞)
（4）对数函数的导数: 1 (1) (ln x ) . (2) x （5）指数函数的导数:
ex. (1) (e )
x
a x ln a(a 0, a 1). ( 2) (a )
x
2.导数的运算法则
（1）函数的和或差的导数
(u±v)/＝u/±v/.
（2）函数的积的导数(uv)/＝u/v+v/u （3）函数的商的导数
利用导数判断函数的单调性
3 6a 3b 12解得：a 1, b 3
练习3、已知函数f（x） x bx cx d的图象
3 2
过点p (0,2)，且在点M (1，f（ 1 ））处的切线 方程为6 x y 7 0. 1)求函数y f（x）的解析式； 2）求函数y f（x）的区间 .
利用导数判断函数的单调性
文昌中学 黄远群
• 一.复习. • 函数的单调性：对于任意的两个数 x1 , x2 I ，且 当 x1 x2 时 ,都有 f ( x1 ) f ( x2 ) ，那么函数f(x)就是 区间I上的增函数。对于任意的两个数 x1 , x2 I ， 且当 x1 x2 时，都有 f ( x1 ) f ( x2 ) ,那么函数f(x)就是 区间I上的减函数。
2、注意在某个区间内 是函数f(x)在该区间上为增（或减）函数的 充分条件。
f ' ( x) 0(或f ' ( x) 0)
三、例题讲解
例1已知函数 y x f ( x)的图象如右图所示(其中是函数的导函数)， 下面四个图象中的 y=f(x)图象大致是( )
'
1
y x
2 2 1 O -2 -1 1 2 -2 A 1 O 1 -2 B
解： 1 ）当k 0时，f ( x ) 3 x 2 1 f ( x )的单调增区间（ ， 0]，单调减区间为 [0， ）； 2）当k 0时，f ' 3kx 2 6 x 3kx( x 2 ) k
高三数学利用导数判断函数的单调性PPT教学课件
•
已知函数f(x)＝2ax－x3，x∈(0,1]，
a>0，若f(x)在(0,1]上单调递增，求a的取值范
围．
[误解]
∵f′(x)＝2a－3x2，且 f(x)在(0,1]上单调递增，
∴f′(x)>0 在(0,1]上恒成立，
即 a>32x2 在 x∈(0,1]上恒成立．
• 1.基本初等函数的导数公式
函数
导数
f(x)＝xu(x>0，u≠0) f′(x)＝__________(u 为有理数)
f(x)＝sinx
f′(x)＝__________
f(x)＝cosx
f′(x)＝__________
f(x)＝ax
f′(x)＝__________(a>0 且 a≠1)
f(x)＝ex
• 这类问题往往转化为不等式的恒成立问题．
• 已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范 围的方法：
• (1)利用集合的包含关系处理：f(x)在(a，b)上 单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；
• (2)利用不等式的恒成立处理：f(x)在(a，b)上
• 已知函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是单 调递增函数，则实数a的取值范围是 ________．
利用导数求函数的单调性
利用导数求函数的单调性
例讨论下列函数的单调性：
1．x x a a x f --=)(0>a 且1≠a ；
2．)
253(log )(2-+=x x x f a 0>a 且1≠a ； 3．)0,11(1
)(2≠<<--=b x x bx x f ． 分析：利用导数可以研究函数的单调性,一般应先确定函数的定义域,再求导数
)(x f ',通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内)(x f '的符号,来确定函数)(x f 在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时,分类讨论难于避免,不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同,应注意分类讨论的准确性．
解：1．函数定义域为R ．
当1>a 时,.0)(,0,0ln >'∴>+>-x f a
a a x x ∴函数)(x f 在),(+∞-∞上是增函数．
当10<+<-x f a
a a x x ∴函数)(x f 在),(+∞-∞上是减函数．
2．函数的定义域是3
1>x
或.2-a ,则当31>x 时,0)2)(13(,056,0log >+->+>x x x e a , ∴0)(>x f ,∴函数)(x f 在⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+，31上是增函数； 当2-
②若10<
1>x 时,0)(<'x f , ∴函数)(x f 在⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+，31上是减函数； 当2-'x f ,∴函数)(x f 在()2,-∞-上是增函数
3．函数)(x f 是奇函数,只需讨论函数在0,1上的单调性
当10<
222)1()1()1()(-'-⋅--⋅'⋅='x x x x x b x f 若0>b ,则0)(<'x f ,函数)(x f 在0,1上是减函数；
利用导数判断函数单调性
利用导数判断函数单调性
函数的单调性是数学中一个重要的概念，它描述了函数在指定区间上是递增还是递减的特性。通过判断函数的导数的正负性，我们可以确定函数在不同区间上的单调性。本文将介绍通过导数判断函数单调性的方法，并提供一些实例来帮助读者更好地理解。
导数的定义
在介绍如何利用导数判断函数单调性之前，让我们先复习一下导数的定义。给定函数y = f(x)，如果在某个点x处导数存在，那么该导数表示函数在该点的变化率。导数可以通过以下公式表示：
f'(x) = lim({f(x + h) - f(x)}/{h}) as h approaches 0
其中，f’(x)表示函数f(x)的导数。可以看出，导数的定义是通过求函数在某个点附近的斜率来描述函数的变化率。
利用导数判断函数单调性的方法
函数在某个区间上的单调性可以通过导数的正负来判断。具体而言，如果在区间[a, b]上，函数的导数大于0，则函数在该区间上是递增的；如果导数小于0，则函数在该区间上是递减的。
这可以用以下定理来描述：
定理 1：如果函数f(x)在一个区间(a, b)上连续，并且在该区间上处处可导，则有：
1.如果f’(x) > 0在(a, b)上成立，则f(x)在(a, b)上递增。
2.如果f’(x) < 0在(a, b)上成立，则f(x)在(a, b)上递减。
基于这一定理，我们可以通过以下步骤来判断函数在指定区间上的单调性：
1.求出函数的导数f’(x)。
2.找出导数f’(x)的所有零点，这些点被称为函数f(x)的临界点。
3.根据临界点将区间分为一系列子区间。
利用导数判断函数的单调性的方法
利用导数判断函数的单调性的方法
利用导数判断函数的单调性，其理论依据如下：
设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则
)(x f 为减函数。如果0)(='x f ，则)(x f 为常数。
要用导数判断好函数的单调性除掌握以上依据外还须把握好以下两点： 一． 导数与函数的单调性的三个关系
我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数)(x f y =在某个区间内可导。 1．0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
由前知，0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。 2．0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，此时)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。∴当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。
3．0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。
由前分析，)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。
利用导数判断函数的单调性(不含参)
小试牛刀
[例3] f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的 图象可能是( )
做对了吗
【变式解析】(2)函数f(x)的定义域为(0，π) ∵x∈(0，π)，∴cosx∈(－1,1) ∴f′(x)＝cosx－1＜0恒成立 ∴函数f(x)＝sinx－x在(0，π)上是单调递减函数．
小试牛刀
[例2] 已知x>1，求证：x>ln(1＋x)．
[分析] 设 f(x)＝x－ln(1＋x)，只需证得 f(x)在(1，＋∞)
【易错点】：若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)≥0 f′(x)＞0是f(x)在区间(a，b)内单调递增的充分不必要条件
理论基础
二、利用导数判断函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤
(1)求函数的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)由f′(x)>0和f′(x)<0解出对应的x的范围，并写出结论： 当f′(x)＞0时，f(x)在相应区间上是增函数； 当f′(x)＜0时，f(x)在相应区间上是减函数. 【易错点】：不等式的解集要和定义域求交集．
如何利用导数讨论函数单调性？
高三复习：利用导数讨论函数单调性、求极值、最值
1． 函数的单调性
在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内是增加的；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内是减少的． 2． 函数的极值
(1)判断f (x 0)是极值的方法
一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，
①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )；
②求方程f ′(x )＝0的根；
③检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 3． 函数的最值
(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f (x )在[a ，b ]上是增加的，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上是减少的，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．
(3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f (x )在(a ，b )内的极值；
全国高中数学优质课 利用导数判断函数的单调性 课件(3)
：
f ' (x) 2x 2 2x2 2 2(x2 1) 2(x 1)(x 1)
x
x
x
x
当f '(x)>0,即x>1时，函数f(x)=x2－2lnx单调递增；
当f '(x)<0,即0<x<1时，函数f(x)=x2－2lnx单调递减；
所以函数f(x)=x2－2lnx的单调增区间为 (1, )，单调
(x0，f(x0))
o
x
如果 f '(x) >0 , 那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；
如果 f '(x)<0 , 那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减；
特别地，如果 在某个区间内恒有f '(x)=0 , 那么函数 y=f(x)在这个区间内是常数函数.
二、讲授新课-----牛刀小试
例 1. 已知导函数 f '(x) 的下列信息: 当1 < x < 4 时, f '(x)>0；当 x > 4 , 或 x < 1时, f '(x) <0；
减区间为, 1 和 (1, )
四、巩固练习
2. f(x)=sinx-x ; x∈(0,p 解： f (x)=cosx-1<0
从而函数f(x)=sinx-x 在x∈(0,p)单调递减 。
利用导数判断函数的单调性的方法
利用导数判断函数的单调性的方法
利用导数判定函数的单调性，其理论依据如下：
设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数。如果0)(='x f ，则)(x f 为常数。
要用导数判定好函数的单调性除把握以上依据外还须把握好以下两点：
导数与函数的单调性的三个关系
我们在应用导数判定函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判定函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件差不多上函数)(x f y =在某个区间内可导。
1．0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
由前知，0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。如函数3
)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。
2．0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，现在)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。∴当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。
3．0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。
由前分析，)(x f 为增函数，一定能够推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。
14导数、利用导数研究函数的单调性(含答案)
14导数:利用导数研究函数的单调性
1.函数的单调性与导数的关系
2.确定不含参数的函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求f′(x)．
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
3.确定含参数的函数的单调性的基本步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求f′(x)，并尽量化为乘积或商的形式．
(3)令f′(x)＝0，
①若此方程在定义域内无解，考虑f′(x)恒大于等于0(或恒小于等于0)，直接判断单调区间．如举例说明中a≥1时，f′(x)>0，a≤0时，f′(x)<0.
②若此方程在定义域内有解，则用之分割定义域，逐个区间分析f′(x)的符号确定单调区间．如举例说明中0
练习
1.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是( )
答案 C
解析由y＝f′(x)的图象易得，当x<0或x＞2时，f′(x)>0；当0
2.f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为( )
A．(0,4) B．(0,2)
C．(4，＋∞) D．(－∞，0)
答案 A
解析f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0得0
3.函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
答案 D
解析函数f(x)＝(x－3)e x的导数为f′(x)＝[(x－3)e x]′＝e x＋(x－3)e x ＝(x－2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)e x>0，解得x>2.
利用导数判断函数单调性专题
利用导数判断函数单调性专题
一、用导数求函数的单调区间的基本步骤
（1） 确定函数)(x f 的定义域
（2） 求导数)(x f '
（3） 若0)(>'x f ，解出相应的x 的范围，则)(x f 在相应的区间上是增函数，若
0)(<'x f ，则)(x f 在相应的区间上是减函数
备注：注意因式分解，注意对参数的分类讨论
二、典型例题
例题1（不含参数型）
讨论函数2)32ln()(x x x f ++=的单调性
例题2（不含参数型） 已知函数x
x x f ln )(=
，判断函数)(x f 的单调性，并求在区间]2,1[上的最值
例题3（不含参数型）
求函数x x x f ln )(2=的单调区间和极值
例题4（含参数型、求导后研究一元二次函数） 已知函数1
ln )(+-
=x ax x x f ，当0≥a 时，讨论函数)(x f 的单调性
例题5（含参数型、求导后注意因式分解） 已知函数]1,21(],,0[,)1()(2∈∈--=k k x kx e x x f x ，求函数)(x f 的单调区间
例题6（因式分解解决不了的混合型函数） 已知函数)10(1
ln )1()(≠>-+=
x x x x x x f 且，讨论函数)(x f 的单调性
提升训练（含参数）
1、 已知函数11ln )(--+
-=x
a x ax x f ，试讨论)(x f 的单调性
2、设函数22()(ln )x e f x k x x x
=-+（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）. 当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；
利用导数判断函数的单调性
利用导数判断函数的单调性
知识要点梳理
1. 函数的导数与函数的单调性的关系：
（1）（函数单调性的充分条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间
内/y >0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x)
在这个区间内为减函数。
（2）（函数单调性的必要条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果函数y=f(x) 在这个区间内为增函数，那么在这个区间内/y ≥0；如果函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。 那么在这个区间内/y ≤0。 2. 求可导函数的单调区间的一般步骤和方法：
①确定函数()f x 的定义域；
②计算导数'()f x ，令'()0f x =，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根；
③把函数()f x 的间断点（即f(x)的无定义的点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺
序排列起来，然后用这些点把()f x 的定义域分成若干个小区间；
④确定'()f x 在各个开区间内的符号，根据'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区间
的增减性（若'()f x >0,则f(x)在相应区间内为增函数；若'()f x <0,则f(x)在相应区间内为减
函数。）
考点一 求不含参数的函数的单调区间
例1.求函数y =x 2(1－x )3的单调区间.
举一反三：
1.函数x x y ln =的单调递减区间是（ ）
A ．),(1+∞-e
B ．),(1--∞e
C ．),0(1-e
D ．),(+∞e
2.(05年广东高考题)函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( )
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故f(x)在(-∞,1)和 (3,+∞)内是增函数, 在(1,3)内是减函数. 而f(1)=1,f(3)=-3 可得函数的大致图象
1 1 )( x ) ,易知此时f(x) 若a<0,则 f ( x ) 3a( x 3a 3a
恰有三个单调区间.
1 1 , ). 故a<0,其单调区间是: 单调递增区间: ( 3a 3a 1 1 )和 ( ,). 单调递减区间: (, 3a 3a
例3:
∵x2>0，∴a≤2x3 在 x∈[2，＋∞)上恒成立． ∴a≤(2x3)min. ∵x∈[2，＋∞)时，y＝2x3 是单调递增的， ∴(2x3)min＝16，∴a≤16. 当 a＝16 时，只有 f′(2)＝0， ∴a 的取值范围是(－∞，16]．
(6 分) (7 分)
(10 分)
(12 分)
作业:
(uv)/＝u/v+v/u.
（3）．函数的商的导数 （
u）/ = v
u 'v v 'u 2 v
(v≠0)。
二、复习引入:
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时 1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是增函数； 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是减函数； G=(a,b) y y
练习1:求函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间.
答案:递增区间是( ,2) 和 (1,) ;递减区间是(-2,1).
练习2:求函数y=3x2-6lnx的单调区间.
答案:递增区间是(1,) ;递减区间是(0,1).
练习3:求函数y=xex的单调区间.
答案:递增区间是 (1,) ;递减区间是 (,1).
例1:确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个区间内是增函数,哪个 区间内是减函数. 解: f ( x) 2 x 2. 由2x-2>0,解得x>1,因此,当 x (1,) 时,f(x)是增函 数; 令2x-2<0,解得x<1,因此,当 x (,1) 时,f(x)是减函 数. 例2:讨论f (x)=x3-6x2+9x-3的单调性,并画出f (x)草图.
说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故
求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义 域, 在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与 定义域求两者的交集.
四、综合应用:
(2)f(x)=x/2+sinx;
解:(1)函数的定义域是R, f ( x )
1 cos x . 2
1 2 2 cos x 0 2 k x 2 k ( k Z ). 令 ,解得 2 3 3 1 2 4 cos x 0 令 ,解得 2k x 2k (k Z ). 2 3 3
3．应用函数的单调性求参数的范围或参数的值时，要 注意单调性与区间的对应．一般地，函数 f(x)在区间(a，b) 上单调递增，求出的一般是参数的范围． 函数 f(x)的单调递 增区间是(a，b)，求出的一般是参数的值．
课堂检测
1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是 A．f(x)＝sin x C．f(x)＝x3－x B．f(x)＝xex D．f(x)＝ln x－x ( )
ln x 2．判断函数 f(x)＝ x －1 在(0，e)及(e，＋∞)上的单调性．
四、综合应用:
例1:确定下列函数的单调区间: (1) f(x)=x/2-lnx+1
5．若函数 f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d 的单调递减区间为(－1,2)，则 b ＝________，c＝________.
解析： f′(x)＝ 3x2＋2bx＋c，由题意知－1＜x＜2 是不等式 f′(x)＜0 的解，即－1,2 是方程 3x2＋2bx＋c＝0 的两个根， 3 把－1,2 分别代入方程，解得 b＝－ ，c＝－6. 2 3 答案：－ －6 2
若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。
以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1<x2的 前提下,比较f(x1)<f(x2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂 的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用 导数来判断函数的单调性就比较简单.
三、新课讲解:
我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y= f(x)的导数. 从函数y=x2-4x+3的图像可以看到: 在区间(2,+∞)内,切线的斜 率为正,函数y=f(x)的值随着x y 的增大而增大,即 y>0 时,函数 y=f(x) 在区间(2, +∞)内为增函 数. 1 在区间(-∞,2)内,切线的斜 1 率为负,函数y=f(x)的值随着x o x 的增大而减小,即 y<0 时,函数 －1 y=f(x) 在区间(-∞,2)内为减函 数.
五、已知函数的单调性求参数范围
[例 3] a (12 分)已知函数 f(x)＝x ＋x(x≠0，常数 a∈R)．若
2
函数 f(x)在[2，＋∞)上单调递增，求 a 的取值范围．
[精解详析]
3 a 2x － a f′(x)＝2x－ 2＝ . x x2
(2 分)
要使 f(x)在[2，＋∞)上单调递增， 则 f′(x)≥0 在 x∈[2，＋∞)时恒成立， 2x3－a 即 ≥0 在 x∈[2，＋∞)时恒成立． x2 (5 分)
（4）.对数函数的导数: 1 (1) (ln x ) . (2) x （5）.指数函数的导数:
x (1) (e ) e . x
x
x (2) (a ) a ln a(a 0, a 1).
2.导数的运算法则
（1）函数的和或差的导数 （2）．函数的积的导数
(u±v)/＝u/±v/.
yห้องสมุดไป่ตู้
1 0 1 3
x
3
1．利用导数求函数 f(x)单调区间的方法如下： (1)求 f(x)的定义域； (2)求出 f′(x)； (3)解不等式 f′(x)>0(或 f′(x)<0)可得函数的增区间(或减区 间)． 2． 当函数 f(x)的单调性相同的区间不止一个时， 不能用“∪” 连接，要用“，”分开或用“和”连接．
3.3.1利用导数判断 函数的单调性
一复习回顾：1.基本初等函数的导数公式
（1）.常函数：(C)/ 0, (c为常数)；
（2）.幂函数 ： (xn)/ nxn1
（3）.三角函数 ：
(cos x) sin x （ 1） (sin x) cos x （2）
1 (log a x) . x ln a
2 2 因此,f(x)的递增区间是: ( 2k ,2k )(k Z ); 3 3 2 4 递减区间是: ( 2k 3 ,2k 3 )(k Z ).
例2:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值
范 围,并求其单调区间. 2 解: f ( x) 3ax 1. 若a>0, f ( x ) 0 对一切实数恒成立,此时f(x)只有一 个单调区间,矛盾. 若a=0, f ( x ) 1 0, 此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.
1 6．已知函数 f(x)＝2ax－ 2. x (1)若 f(x)在(0,1]上是增函数，求 a 的取值范围； (2)若 f(x)的单调增区间是(0,1)，求 a 的值．
2 解：(1)f′(x)＝2a＋ 3，且 f(x)在(0,1]上是增函数， x 1 故 f′(x)≥0 恒成立，所以 a≥－ 3恒成立， x 1 又 y＝－ 3在(0,1]上的最大值是－1，故 a≥－1. x a 的取值范围为[－1，＋∞)． (2)∵f(x)的单调递增区间是(0,1)， ax3＋1 2 ∴f′(x)＝2a＋ 3>0 的解集是(0,1)．即 >0 的解集是(0,1)． x x3 ∴ 3 1 －a＝1，解得 a＝－1.
o a b x o 若 f(x) 在G上是增函数或减函数， 则 f(x) 在G上具有严格的单调性。
a
b
x
G 称为单调区间
(1)函数的单调性也叫函数的增减性；
(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。 (3)单调区间：针对自变量x而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；
由上我们可得以下的结论:
设函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导， (1)如果在(a，b)内 f′(x)>0 ，则 f(x)在此区间是增函数； (2)如果在(a，b)内，
f′(x)<0
，则 f(x)在此区间是减函数．
y
y=f(x) f '(x)>0
y
y=f(x)
f '(x)<0
o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ( x) 0 ,则 f ( x)为常数.
解:函数的定义域是(0,+∞),
x2 0, 得x<0或x>2. 由 f ( x) 0 即 2x
1 1 x2 f ( x) . 2 x 2x
注意到函数的定义域是(0,+∞),故f(x)的递增区间是 (2,+∞); 由 f ( x ) 0 解得0<x<2,故f(x)的递减区间是(0,2).