《利用导数判断函数的单调性》

解:函数的定义域是(0,+∞),
x2 0, 得x<0或x>2. 由 f ( x) 0 即 2x
1 1 x2 f ( x) . 2 x 2x
注意到函数的定义域是(0,+∞),故f(x)的递增区间是 (2,+∞); 由 f ( x ) 0 解得0<x<2,故f(x)的递减区间是(0,2).
∵x2>0，∴a≤2x3 在 x∈[2，＋∞)上恒成立． ∴a≤(2x3)min. ∵x∈[2，＋∞)时，y＝2x3 是单调递增的， ∴(2x3)min＝16，∴a≤16. 当 a＝16 时，只有 f′(2)＝0， ∴a 的取值范围是(－∞，16]．
(6 分) (7 分)
(10 分)
(12 分)
作业:
例1:确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个区间内是增函数,哪个 区间内是减函数. 解: f ( x) 2 x 2. 由2x-2>0,解得x>1,因此,当 x (1,) 时,f(x)是增函 数; 令2x-2<0,解得x<1,因此,当 x (,1) 时,f(x)是减函 数. 例2:讨论f (x)=x3-6x2+9x-3的单调性,并画出f (x)草图.
3.3.1利用导数判断 函数的单调性
一复习回顾：1.基本初等函数的导数公式
（1）.常函数：(C)/ 0, (c为常数)；
（2）.幂函数 ： (xn)/ nxn1
（3）.三角函数 ：
(cos x) sin x （ 1） (sin x) cos x （2）
1 (log a x) . x ln a
若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。
以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1<x2的 前提下,比较f(x1)<f(x2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂 的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用 导数来判断函数的单调性就比较简单.
三、新课讲解:
我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y= f(x)的导数. 从函数y=x2-4x+3的图像可以看到: 在区间(2,+∞)内,切线的斜 率为正,函数y=f(x)的值随着x y 的增大而增大,即 y>0 时,函数 y=f(x) 在区间(2, +∞)内为增函 数. 1 在区间(-∞,2)内,切线的斜 1 率为负,函数y=f(x)的值随着x o x 的增大而减小,即 y<0 时,函数 －1 y=f(x) 在区间(-∞,2)内为减函 数.
o a b x o 若 f(x) 在G上是增函数或减函数， 则 f(x) 在G上具有严格的单调性。
a
b
x
G 称为单调区间
(1)函数的单调性也叫函数的增减性；
(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。 (3)单调区间：针对自变量x而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；
2 2 因此,f(x)的递增区间是: ( 2k ,2k )(k Z ); 3 3 2 4 递减区间是: ( 2k 3 ,2k 3 )(k Z ).
例2:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值
范 围,并求其单调区间. 2 解: f ( x) 3ax 1. 若a>0, f ( x ) 0 对一切实数恒成立,此时f(x)只有一 个单调区间,矛盾. 若a=0, f ( x ) 1 0, 此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.
解:f ' (x)=3x2-12x+9 令3x2-12x+9>0,解得x>3或x<1,因此,当 x (3,) 或 x (,1) 时, f(x)是增函数. 令3x2-12x+9<0,解得1<x<3,因此,当 x (1,3)时, f(x)是 减函数.
故f(x)在(-∞,1)和 (3,+∞)内是增函数, 在(1,3)内是减函数. 而f(1)=1,f(3)=-3 可得函数的大致图象
练习1:求函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间.
答案:递增区间是( ,2) 和 (1,) ;递减区间是(-2,1).
练习2:求函数y=3x2-6lnx的单调区间.
答案:递增区间是(1,) ;递减区间是(0,1).
练习3:求函数y=xex的单调区间.
答案:递增区间是 (1,) ;递减区间是 (,1).
5．若函数 f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d 的单调递减区间为(－1,2)，则 b ＝________，c＝________.
解析： f′(x)＝ 3x2＋2bx＋c，由题意知－1＜x＜2 是不等式 f′(x)＜0 的解，即－1,2 是方程 3x2＋2bx＋c＝0 的两个根， 3 把－1,2 分别代入方程，解得 b＝－ ，c＝－6. 2 3 答案：－ －6 2
（4）.对数函数的导数: 1 (1) (ln x ) . (2) x （5）.指数函数的导数:
x (1) (e ) e . x
x
x (2) (a ) a ln a(a 0, a 1).
2.导数的运算法则
（1）函数的和或差的导数 （2）．函数的积的导数
(u±v)/＝u/±v/.
1 6．已知函数 f(x)＝2ax－ 2. x (1)若 f(x)在(0,1]上是增函数，求 a 的取值范围； (2)若 f(x)的单调增区间是(0,1)，求 a 的值．
2 解：(1)f′(x)＝2a＋ 3，且 f(x)在(0,1]上是增函数， x 1 故 f′(x)≥0 恒成立，所以 a≥－ 3恒成立， x 1 又 y＝－ 3在(0,1]上的最大值是－1，故 a≥－1. x a 的取值范围为[－1，＋∞)． (2)∵f(x)的单调递增区间是(0,1)， ax3＋1 2 ∴f′(x)＝2a＋ 3>0 的解集是(0,1)．即 >0 的解集是(0,1)． x x3 ∴ 3 1 －a＝1，解得 a＝－1.
(uv)/＝u/v+v/u.
（3）．函数的商的导数 （
u）/ = v
u 'v v 'u= f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时 1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是增函数； 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是减函数； G=(a,b) y y
3．应用函数的单调性求参数的范围或参数的值时，要 注意单调性与区间的对应．一般地，函数 f(x)在区间(a，b) 上单调递增，求出的一般是参数的范围． 函数 f(x)的单调递 增区间是(a，b)，求出的一般是参数的值．
说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故
求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义 域, 在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与 定义域求两者的交集.
四、综合应用:
(2)f(x)=x/2+sinx;
解:(1)函数的定义域是R, f ( x )
1 cos x . 2
1 2 2 cos x 0 2 k x 2 k ( k Z ). 令 ,解得 2 3 3 1 2 4 cos x 0 令 ,解得 2k x 2k (k Z ). 2 3 3
五、已知函数的单调性求参数范围
[例 3] a (12 分)已知函数 f(x)＝x ＋x(x≠0，常数 a∈R)．若
2
函数 f(x)在[2，＋∞)上单调递增，求 a 的取值范围．
[精解详析]
3 a 2x － a f′(x)＝2x－ 2＝ . x x2
(2 分)
要使 f(x)在[2，＋∞)上单调递增， 则 f′(x)≥0 在 x∈[2，＋∞)时恒成立， 2x3－a 即 ≥0 在 x∈[2，＋∞)时恒成立． x2 (5 分)
课堂检测
1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是 A．f(x)＝sin x C．f(x)＝x3－x B．f(x)＝xex D．f(x)＝ln x－x ( )
ln x 2．判断函数 f(x)＝ x －1 在(0，e)及(e，＋∞)上的单调性．
四、综合应用:
例1:确定下列函数的单调区间: (1) f(x)=x/2-lnx+1
由上我们可得以下的结论:
设函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导， (1)如果在(a，b)内 f′(x)>0 ，则 f(x)在此区间是增函数； (2)如果在(a，b)内，
f′(x)<0
，则 f(x)在此区间是减函数．
y
y=f(x) f '(x)>0
y
y=f(x)
f '(x)<0
o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ( x) 0 ,则 f ( x)为常数.
1 1 )( x ) ,易知此时f(x) 若a<0,则 f ( x ) 3a( x 3a 3a
恰有三个单调区间.
1 1 , ). 故a<0,其单调区间是: 单调递增区间: ( 3a 3a 1 1 )和 ( ,). 单调递减区间: (, 3a 3a
例3:
y
1 0 1 3
x
3
1．利用导数求函数 f(x)单调区间的方法如下： (1)求 f(x)的定义域； (2)求出 f′(x)； (3)解不等式 f′(x)>0(或 f′(x)<0)可得函数的增区间(或减区 间)． 2． 当函数 f(x)的单调性相同的区间不止一个时， 不能用“∪” 连接，要用“，”分开或用“和”连接．