(完整版)数的开方知识点汇总

数的开方知识点

平方根与立方根知识点1、平方根：（1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数（2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。

（3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数B零有一个平方根，它是零本身C负数没有平方根（4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号“”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“﹣”表示，a的平方根合起来记作“”，其中“”读作“二次根号”，“”读作“二次根号下a”．当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”.（5）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1.2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。

要特别注意：a≠±a。

3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0.②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。

4.平方根与算术平方根的区别与联系：区别：1定义不同 2个数不同：3表示方法不同：联系：①具有包含关系：②存在条件相同：2、立方根：1.（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，a叫做被开立方数（2）开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开平方。

（3）立方根的性质：A正数有一个正立方根 B负数有一个负立方根 C零的立方根是零3a（4）立方根的表示：数a的立方根我们用符号来表示，读作"三次根号a"，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略，否则与平方根混淆。

注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1.3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= ·（a≥0,b ≥0）。

数的开方知识点(最新编写)

平方根与立方根知识点
1、平方根：（1）定义：如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根，a 叫做被开方数（2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。（3）平方根的性质：A 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数 B 零有一个平方根，它是零本身 C 负数没有平方根
（4）平方根的表示：一个正数 a 的正的平方根，用符号 “ 方数，2 叫做根指数，正数a 的负的平方根用符号“﹣
（4）立方根的表示：数 a 的立方根我们用符号 3 a 来表示，读作"三次根号 a"，其中 a
叫做被开方数，3 叫做根指数，3 且不能省略，否则与平方根混淆。注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）
立方根等于本身的数有 0、1、-1.
1
3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即
是
.
4、 4 的算术平方根的立方根的相反数是
.
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5、已知 a, b 为实数， a 5 2 10 2a b 4 ，求 a =
；b =
.
6、若 A a2b3 a 3b 为 a 3b 的算术平方根， B a 2ab2 2 b2 3 为 a 2 b2 3 的算
术平方根，则 A+B 的平方根为
4.平方根与算术平方根的区别与联系：区别：1 定义不同 2 个数不同：3 表示方法不同：联系：①具有包含关系：
②存在条件相同： 2、立方根： 1.（1）定义：如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根，a 叫做被开立方数
（2）开立方：求一个数 a 的立方根的运算叫做开平方。（3）立方根的性质：A 正数有一个正立方根 B 负数有一个负立方根 C 零的立方根是零

数的开方知识点

平方根与立方根知识点1、平方根：（1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数（2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。

（3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数B零有一个平方根，它是零本身C负数没有平方根（4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号“”表示， a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“﹣”表示，a的平方根合起来记作“”，其中“”读作“二次根号”，“”读作“二次根号下a”．当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”.（5）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1.2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。

要特别注意：a≠±a。

3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0.②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。

4.平方根与算术平方根的区别与联系：区别：1定义不同2个数不同：3表示方法不同：联系：①具有包含关系：②存在条件相同：2、立方根：1.（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，a叫做被开立方数（2）开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开平方。

（3）立方根的性质：A正数有一个正立方根B负数有一个负立方根C零的立方根是3a零（4）立方根的表示：数a 的立方根我们用符号来表示，读作"三次根号a"，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略，否则与平方根混淆。

注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1.3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 =|a|=4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= · （a≥0,b ≥0）。

数开方知识点汇总

数的开方知识点汇总安皋二中八年级数学组一、平方根、算术平方根1、平方根的定义：假如一个数的平方等于 a 那么这个数就叫做数a 的平方根。

即假如 x2= a 那么 x 就是 a 有平方根。

2、平方根的性质：（1）正数有两个平方根，它们互为相反数。

（2）0 的平方根是 0（3）负数没有平方根（由于任何数的平方都是一个非负数）3、平方根的表示方法一个非负数 a 的平方根可表示为± a ，读作正负根号 a其实它的完好写法是±2 a 我们称2是根指数，a叫做被开方数，叫根号，我们平时省略了根指数 2。

3、算术平方根（1、）定义：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根。

（2）表示方法：一个非负数 a 的算术平方根可表示为a ，读作根号a,（3）算术平方根的性质：①正数有一个正的算术平方根。

②0 的算术平方根是 0 ③负数没有平方根，自然也没有算术平方根。

（4）a的两重非负性①第一， a 要存心义，第一被开方数一定是一个非负数。

②其次， a 表示一个非数的算术平方根，它的值不行能是一个负数，即它的值是一个非负数。

综上： a 中a≥0 a ≥0（5）初中所学的三类非负数ⅰ：绝对值非负即 |a| ≥0偶次ⅱ：偶次方非负即a≥0ⅲ：算术平方根非负即当 a≥0 时a≥0 4、立方根（1、）定义：假如一个数的立方等于 a 那么这个数就叫做 a 的立方根。

即假如 x3=a 那么 x 就是 a 的立方根。

（2、）立方根的表示方法：一数 a 的立方根表示为3a，读作三次根号 a此中 3 叫做根指数， a 叫被开方数。

（当根指数是 2 时能够省略，是 3 或其数时不可以省略）（3、）立方根的性质：任何数都有立方根且只有一个正数的立方根是一个正数， 0 的立方根是 0，负数的立方根是一个负数。

5、数的开方中的几个公式：（1）a2| a | (a 为随意实数 )（2、）（a）2=a (a ≥0)（3、）（3a）3= a （a 为随意实数）（4、）3a3a（a 为随意实数）（5、）- 3a =3a（a 为随意实数）6、实数与数轴（1、）无理数的定义：无穷不循环小数叫无理数（2、）实数的定义：有理数和无数统称为实数。

有关开方的知识点总结

有关开方的知识点总结开方的定义很简单：如果一个数x的平方等于另一个数y，那么y就是x的平方根。

符号√表示开方，可以理解为“根号”。

比如√9=3，因为3的平方是9。

有时候为了避免歧义，需要在根号下面加上一个正号或者负号，表示正根和负根。

开方的运算规则也很简单，主要有以下几点：1. 正数的开方对于正数来说，它的开方有且只有一个正解。

比如√9=3，因为3的平方是9。

任何一个正数都有一个正的平方根。

2. 负数的开方对于负数来说，它的开方有两个解，一个正数和一个负数。

比如√16=4或者-4，因为4的平方是16，同时-4的平方也是16。

在实际应用中，通常只考虑正数的解。

3. 0的开方0的开方是0，因为0的平方也是0。

这个特殊情况在数学中经常会用到。

开方的运算方法也有多种。

一般来说，可以用牛顿迭代法、二分查找等方法来计算。

对于大型数字或者小数，一般会使用计算器或者电脑来进行开方运算。

在实际应用中，开方经常会用到。

比如在几何学中，计算直角三角形的斜边长度、圆的半径等。

在物理学中，计算速度、加速度等也会用到开方。

在工程学中，计算电路中的电压、电流等也用到开方。

在金融学中，计算利率、贷款等也会用到开方。

开方还有一些重要的性质，比如：1. 开方的运算顺序开方和其他的运算符有不同的优先级。

一般来说，先进行括号内的运算，然后进行乘除法、最后进行加减法。

如果有多个开方运算符，一般从左往右进行计算。

2. 开方的乘法法则(√a) * (√b) = √(a * b)。

也就是说，两个数的开方的乘积等于这两个数的乘积的开方。

3. 开方的除法法则(√a) / (√b) = √(a / b)。

也就是说，一个数的开方除以另一个数的开方等于这两个数的商的开方。

4. 开方的加法法则√a + √b ≠ √(a + b)。

开方是无法直接进行加法运算的。

5. 开方的多重嵌套可以进行多重嵌套的开方运算，比如√(√a)等。

这种情况下，可以通过先进行内层的开方运算，然后再进行外层的开方运算来进行计算。

数学开方知识点总结

数学开方知识点总结一、整数的平方根1、定义对于一个非负整数a，如果存在一个非负整数b，使得b * b = a，那么b就是a的平方根。

通常用符号√a来表示a的平方根。

2、性质（1）非负整数的平方根是一个非负整数。

即如果a是一个非负整数，那么它的平方根一定是一个非负整数。

（2）如果a是一个非负整数，那么a的平方根存在且唯一。

即对于任意一个非负整数a，存在唯一的一个非负整数b，使得b * b = a。

（3）如果a和b是两个非负整数，且a = b * b，那么a的平方根就是b。

3、计算方法（1）试除法试除法是一种通过逐步增大的方式逐个尝试所有可能的非负整数来找到a的平方根的方法。

这种方法比较原始，但是对于小的非负整数还是比较有效的。

（2）牛顿迭代法牛顿迭代法是一种通过不断逼近的方式来计算a的平方根的方法。

该方法利用函数的导数和函数值来不断逼近函数的零点，从而找到a的平方根。

这种方法通常比试除法更加高效，尤其对于大的非负整数。

4、应用整数的平方根在实际生活中有很多应用，比如在工程领域中，用来计算各种物理量的大小，比如速度、加速度、功率等。

在数学领域中，整数的平方根也有很多应用，比如在代数、几何等方面的应用。

二、实数的平方根1、定义对于一个非负实数a，如果存在一个非负实数b，使得b * b = a，那么b就是a的平方根。

同样地，通常用符号√a来表示a的平方根。

2、性质（1）非负实数的平方根是一个非负实数。

即如果a是一个非负实数，那么它的平方根一定是一个非负实数。

（2）如果a是一个非负实数，那么a的平方根存在且唯一。

即对于任意一个非负实数a，存在唯一的一个非负实数b，使得b * b = a。

（3）如果a和b是两个非负实数，且a = b * b，那么a的平方根就是b。

3、计算方法（1）试除法试除法也适用于计算非负实数的平方根，但是由于实数的数量级比较大，那么这种方法通常比较低效。

（2）牛顿迭代法和整数的平方根一样，牛顿迭代法也适用于计算非负实数的平方根。

数的开方知识点与例题

.
5 x
11、已知 a b 3 2, b c 3 2 ，则 2(a 2 b2 c 2 ab bc ca) 的值为
.
12、设 a 10, b 7 1, c 3 2 ，则 a, b, c 的大小关系是
.
13、已知 M 101 100, N 99 98 ，则 M 与 N 的大小关系是
方根为
.
7、若 x 4 y 3 ， (4x 3y)3 8 ，则 (x y) 2n （n 为正整数）的值为
.
8、若 x 2 y 9 与 x y 3 互为相反数，则 x
，y
.
9、已知 xy 0 ，则二次根式 x y 化简后为
.
x2
10、把 (x 5) 1 的根号外面的因式移到根号内得
平方根与立方根
一、知识点和方法概述 1、平方根：
（1）平方根的定义：（2）开平方：（3）平方根的意义：（4）平方根的表示：（5）求一个数的平方根的方法：（6）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有 0，算术平方根等于本身的数有 0、1. 2、立方根：（1）立方根的定义：（2）开立方：（3）立方根的意义：（4）立方根的表示：（5）求一个数的立方根的方法：注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有 0、1、-1. 3、 n 次方根：
6.平方根与算术平方根的区别与联系：
区别：①定义不同
②个数不同：
③ 表示方法不同：

数的开方知识点

平方根与立方根知识点1、平方根：（1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数（2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。

（3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数B零有一个平方根，它是零本身C负数没有平方根（4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号“”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“﹣”表示，a的平方根合起来记作“”，其中“”读作“二次根号”，“”读作“二次根号下a”．当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”.（5）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1.2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。

要特别注意：a≠±a。

3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0.②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。

4.平方根与算术平方根的区别与联系：区别：1定义不同 2个数不同：3表示方法不同：联系：①具有包含关系：②存在条件相同：2、立方根：1.（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，a叫做被开立方数（2）开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开平方。

（3）立方根的性质：A正数有一个正立方根 B负数有一个负立方根 C零的立方根是零3a（4）立方根的表示：数a的立方根我们用符号来表示，读作"三次根号a"，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略，否则与平方根混淆。

注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1.3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= ·（a≥0,b ≥0）。

第章数的开方知识点总结

第章数的开方知识点总结数的开方是数学中的一个重要概念，它表示一个数的平方根。

在解决各种数学问题以及实际生活中的应用中，数的开方常常用到。

本文将对数的开方的基本概念、性质、计算方法以及其应用进行总结。

一、数的开方的基本概念数的开方是指求一个数的平方根。

对于非负实数a，如果有一个非负实数x，使得x的平方等于a，那么x就是a的平方根，记作√a。

二、数的开方的性质1.非负数的开方是唯一的。

即对于任意非负实数a，只有一个非负实数x，使得x的平方等于a。

2.平方根是非负实数。

即对于任意非负实数a，它的平方根也一定是非负实数。

三、数的开方的计算方法1.分解因数法：将被开方数分解成若干个互质的因数的乘积，然后对每个因数分别开方。

2.二分逼近法：从区间的两个端点开始，取区间中点作为试探值，然后逐步逼近所要求的平方根。

3.等差平方根法：根据等差数列的性质，可通过等差数列的特点，或相邻两项之间的差值关系，直接计算出平方根的近似值。

四、数的开方的应用1.几何学中的应用：如计算正方形的对角线长度、长方形的对角线长度等。

2.物理学中的应用：如计算速度、加速度等。

3.统计学中的应用：如计算标准差等。

4.工程学中的应用：如计算电路的电阻、计算建筑物的面积等。

五、注意事项1.负数的开方是复数，不是实数。

正数的开方是唯一的，但负数的开方有两个解，一正一负。

2.有时候需要对数的开方进行近似计算，可以使用牛顿迭代法等方法。

六、数的开方的扩展1.平方根的概念可以扩展到其他次方根的概念，如立方根、四次方根等。

2.对于复数，也可以进行开方运算，得到复数的开方。

总之，数的开方是数学中一个重要的概念，它有着广泛的应用。

通过对数的开方的基本概念、性质、计算方法以及应用的总结，我们可以更好地理解数的开方，并能够灵活运用数的开方解决各种数学问题以及实际生活中的应用。

数的开方知识点总结

第11章数的开方知识点总结1.关于平方根:（1）一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数;（2）0只有一个平方根,是它本身;（3）负数没有平方根.2.非负数a 的平方根表示为)0(≥±a a ,算术平方根表示为a .3.若A 有意义,则0≥A .即要求被开方数为非负数.其中的A 既可以是单个的字母,也可以是代数式.4.算术平方根等于它本身的数是0,1.5.a 具有双重非负性:（1）0≥a ;（2）0≥a .6.若几个非负数的和等于0,则每个非负数分别等于0.写出公式为: 若02=++C B A ,则⎪⎩⎪⎨⎧===000C B A7.若B A -与A B -都有意义,则.B A = 8.()a a =±2,分开来记为:（1）()a a =2;（2）()a a =-2. 9.⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a . 10.b a b a +≠+11.b a b a ⋅=. 12.)0(≥a a 与a 的平方根是不一样的.如16的平方根是4±,而16的平方根是2±.13.介绍一个新概念——完全平方数如果一个数是另一个整数的完全平方,那么这个数就叫做完全平方数.如0、1、4、9、16、25等都是完全平方数.完全平方数可用于估算某些无理数的值（如开方开不尽）.14.任何实数都有立方根,且每个数的立方根只有一个.正数的立方根是正数,负数的立方根是负数.15.关于立方根的重要结论:（1）()a a =33;（2）a a =33;（3）若33B A -=（或033=+B A ）,则0=+B A .16.立方根等于它本身的数是0,±1.17.有理数和无理数统称为实数,实数的分类:实数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧等数）如开方开不尽，无理数（无限不循环小或无限循环小数）分数（可化为有限小数负整数正整数整数有理数π0 18.实数与数轴上的点是一一对应的:任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示,数轴上的任何一个点,都表示一个实数.这种关系就是一一对应.。

数的开方知识点与复习

数的开方知识点与复习在数学中，数的开方是一个常见的运算方法。

开方是求一个数的平方根，即找到一个数，使得它的平方等于给定的数。

本文将介绍数的开方的基本概念和方法，并提供相关的复习知识点。

一、开方的概念开方是数学中的一种运算方法，用于求给定数的平方根。

开方运算的结果称为方根。

例如，2的平方根是√2，记作√2 = 2^(1/2)。

二、整数的平方根1. 完全平方数的平方根完全平方数是指可以写成某个整数的平方的数。

例如，4、9、16等都是完全平方数。

完全平方数的平方根一定是一个整数。

例如，√4 = 2，√9 = 3。

2. 非完全平方数的平方根非完全平方数的平方根是无限不循环小数，不能精确表示为一个整数或有限小数。

我们通常使用近似值来表示非完全平方数的平方根。

例如，√2 ≈ 1.414，√3 ≈ 1.732。

三、分数的平方根分数的平方根是指对一个分数进行开方运算。

分数的平方根可以是一个整数或者一个无限循环小数。

例如，√(1/4) = 1/2，√(1/9) = 1/3。

四、小数的平方根小数的平方根是指对一个小数进行开方运算。

小数的平方根可以是一个无限循环小数，或者是一个不能写成有限小数或无限循环小数的数。

例如，√0.25 = 0.5，√0.8 ≈ 0.894。

五、负数的平方根在实数范围内，负数的平方根是无法表示为一个实数的。

这是因为假设有一个实数x，它的平方等于一个负数，即x^2 = -a，其中a为正数。

根据乘法的性质，两个正数相乘的结果是正数，因此不存在一个实数的平方等于负数。

六、复数的平方根为了解决负数的平方根问题，我们引入了虚数单位i，定义为i = √(-1)。

利用虚数单位i，我们可以定义复数，其中实部和虚部都可以是实数。

例如，√(-4) = 2i，√(-9) = 3i。

复习知识点：1. 完全平方数的特点；2. 完全平方数的平方根是一个整数；3. 如何使用近似值表示非完全平方数的平方根；4. 分数和小数的平方根的计算方法；5. 负数的平方根无法表示为一个实数，需要引入虚数单位i来定义复数；6. 虚数单位i的定义及其应用。

总结开方知识点

总结开方知识点一、开方的定义开方，是指一个数的平方根，即开平方，表示为$\sqrt{x}$，其中x是被开方数（被开方数必须大于等于0）。

1.1 定义设a是一个非负实数，如果存在一个非负实数b，使得b的平方等于a，则称b是a的开方，记作$\sqrt{a}=b$。

这里，a称为被开方数，b称为平方根。

1.2 相关术语（1）被开方数：指开方运算的对象，即要开方的数，一般表示为x。

（2）开方结果：指开方运算得到的结果，即被开方数的平方根，一般表示为$\sqrt{x}$。

二、开方的运算规则开方运算具有以下运算规则：2.1 非负实数的平方根对于任何非负实数a，都有$\sqrt{a}≥0$，即非负实数的平方根是非负数。

2.2 开方运算的可逆性对于任何非负实数a和b，如果$\sqrt{a}=\sqrt{b}$，则必有a=b。

即开方运算是可逆的。

2.3 开方运算与乘法的关系对于任何非负实数a和b，有$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$。

即开方运算与乘法运算满足乘法分配律。

2.4 开方运算的次序对于任何非负实数a和b，有$\sqrt{a^b}=(\sqrt{a})^b=a^{\frac{1}{b}}$。

即开方和指数运算满足相互转换的关系。

2.5 开方运算的近似计算当被开方数a非常大时，可以通过近似计算来求得a的平方根，通常使用牛顿迭代法或二分法等方法进行计算。

三、开方的运算性质开方运算具有以下性质：3.1 求整数的平方根对于任何整数a（a≥0），如果a是某个整数的平方数，则a的平方根也是一个整数。

3.2 求分数的平方根对于任何正有理数a（a>0），如果a是某个正有理数的平方，且分子和分母的最大公因数为1，则a的平方根也是一个有理数。

3.3 求无理数的平方根对于任何无理数a（a>0），如果a是某个无理数的平方，且a不是某个有理数的平方，则a的平方根是一个无理数。

3.4 求复数的平方根对于任何复数a，都存在两个复数b和-c，使得b的平方和-c的平方等于a，即$\sqrt{a}=b$或$\sqrt{a}=-c$。

数的开方知识点

平方根与立方根知识点1、平方根：（1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数（2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。

（3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数B零有一个平方根，它是零本身C 负数没有平方根（4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号“”表示， a 叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“﹣”表示，a的平方根合起来记作“”，其中“”读作“二次根号”，“”读作“二次根号下a”．当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”.（5）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1.2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。

要特别注意：a≠±a。

3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0.②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。

4.平方根与算术平方根的区别与联系：区别：1定义不同 2个数不同：3表示方法不同：联系：①具有包含关系：②存在条件相同：2、立方根：1.（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，a叫做被开立方数（2）开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开平方。

（3）立方根的性质：A正数有一个正立方根 B负数有一个负立方根 C零的立方根是零3a（4）立方根的表示：数a的立方根我们用符号来表示，读作"三次根号a"，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略，否则与平方根混淆。

注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1.3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 =|a|=4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= · （a≥0,b ≥0）。

数的开方知识点

知识点一、平方根、算数平方根如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。

正数a正的平方根叫做a的算数平方根，0的平方根也叫做0的算术平方根．若x2=a(a≥0)，则x叫做a的平方根。

表示法：x=a±。

主要性质:正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

例1. (1) 若a2=5则a= ；（2）若a=1.2，则a=_________；（3）1316的算术平方根是___________；121的平方根是________；例2.如果一个数的平方根是a+3与2a-15，那么这个数是多少？练习.1.求下列各数的平方根与算术平方根(1) 196 (2)0.0144 (3)7 1 92.平方等于本身的数是；平方根等于本身的数是；算术平方根等于本身的数是；相反数等于本身的数是；绝对值等于本身的数是；3、若4a+1的平方根是±5，则a= ．4.====16215.81的算术平方根是___ ___的值是__ ______ ______ __6.2(的平方根是( )A．5 B.5±D.7.下列各数中有算术平方根的是个数为( )个21,2(1)-,-|-2|,0,πA.2B.3C.4D.58.下列语句写成数学式子正确的是（）A．9是81的算术平方根：9= B．5是-55=C．6±是366=± D．-2是42=-知识点二：两个有意义：(1)a(a≥0)；(2) 1(0)aa≠.例3. 当x_______时1x+在实数范围内有意义.练习：1.当x_______时3-x在实数范围内有意义.2.当x_______时x-1在实数范围内有意义.3.已知3y=+,求xy的算术平方根知识点三：三个非负数:(1) |a|;(2) 2a;(3) a例4.已知｜3a-b-1｜与4-b2a+互为相反数，求a-b的值.练习：1.已知031-=++ba，则a+b=_______.知识点四：开平方：求一个数平方根的运算。

(完整版)数的开方知识点汇总

数的开方知识点汇总
安皋二中八年级数学组
一、平方根、算术平方根
1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a那么这个数就叫做数a的平方根。即如果x2= a那么x就是a有平方根。
2、平方根的性质：
（1）正数有两个平方根，它们互为相反数。
（2）0的平方根是0
（3）负数没有平方根（因为任何数的平方都是一个非负数）
iii：算术平方根非负即当a>0时-,a>等于a那么这个数就叫做a的立方根。即如果x3=a那么x就是a的立方根。
（2、）立方根的表示方法：
一数a的立方根表示为3a，读作三次根号a其中3叫做根指数，a叫被开方数。
（当根指数是2时可以省略，是3或其数时不能省略）（3、）立方根的性质：
3、平方根的表示方法
一个非负数a的平方根可表示为土..a，读作正负根号a
其实它的完整写法是土2a我们称2是根指数，a叫做
被开方数，、叫根号，我们平常省略了根指数2。
3、算术平方根
（1、）定义：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根。
（2）表示方法：一个非负数a的算术平方根可表示为
a，读作根号a,
任何数都有立方根且只有一个
正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数。
5、数的开方中的几个公式：
(1).a2|a|(a为任意实数)
(2、(虫)2=a (a>0)
(3、(3a)3= a(a为任意实数)
(4、3a3a(a为任意实数)
(5、-3a=3a(a为任意实数)
6、实数与数轴
(1、无理数的定义：无限不循环小数叫无理数 (2、实数的定义：有理数和无数统称为实数。
（3）算术平方根的性质：
1正数有一个正的算术平方根。

数的开方知识点

平方根与立方根知识点1、平方根：（1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数（2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。

（3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数B零有一个平方根，它是零本身C负数没有平方根（4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号“”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“﹣”表示，a的平方根合起来记作“”，其中“”读作“二次根号”，“”读作“二次根号下a”．当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”.（5）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1.2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。

要特别注意：a≠±a。

3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0.②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。

4.平方根与算术平方根的区别与联系：区别：1定义不同2个数不同：3表示方法不同：联系：①具有包含关系：②存在条件相同：2、立方根：1.（1）定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，a 叫做被开立方数（2）开立方：求一个数a 的立方根的运算叫做开平方。

（3）立方根的性质：A 正数有一个正立方根B 负数有一个负立方根C 零的立方根是零（4）立方根的表示：数a 的立方根我们用符号来表示，读作"三次根号a"，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略，否则与平方根混淆。

注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1.3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=·（a≥0,b ≥0）。

开方知识点总结

开方知识点总结开方是一种常见的数学运算，也称为求平方根。

在数学中，开方是一种重要的运算方法，它在解决问题和计算中经常会用到。

本文将对开方的相关知识进行总结，包括开方的定义、性质、计算方法等内容。

一、开方的定义开方是一种运算方法，用来求一个数的平方根。

如果一个数的平方等于另一个数，那么这两个数互为平方根。

例如，3的平方根是√3，因为3的平方等于9，即3的平方根是3。

开方可以表示为√x，其中x是被开方数。

例如，√25=5，因为5的平方等于25。

二、开方的性质1. 非负性：一个数的平方根是非负数。

即使一个数的平方是负数，它的平方根也是非负的。

这是因为负数没有实数平方根，但是复数平方根是存在的。

2. 唯一性：每个正实数都有一个唯一的正实数平方根。

负数和零没有实数平方根。

3. 乘法性质：开方运算是可交换的，即√(ab)=√a*√b。

这条性质可以简化开方运算的复杂度。

4. 平方性质：一个数的平方根与这个数的平方相互关联，即(√a)^2=a。

5. 分配性质：开方运算与加法或减法运算具有分配性质，即√(a+b)≠√a+√b。

三、开方的计算方法1. 直接开方法：将一个数进行分解，然后再开方。

例如，√16=√(4*4)=4。

2. 逼近法：通过逼近的方式进行开方，可以使用牛顿法进行逼近计算。

3. 算术平方根：采用近似值进行计算，通过逐步逼近的方式得出结果。

四、开方的应用开方在实际生活中有着广泛的应用，尤其是在数学、物理、工程等领域。

1. 数学领域：在代数学、几何学、概率论、数论等数学学科中经常使用开方运算，例如在求解方程、计算面积、概率等方面。

2. 物理领域：在物理学中，开方运算常用来计算物体的速度、力的大小、波的频率等。

3. 工程领域：在工程领域中，开方运算常用来计算材料的强度、流体的压力、电路的电压等。

五、结语开方是数学中的一种常见运算方法，它有着重要的理论意义和广泛的应用价值。

通过对开方的定义、性质、计算方法和应用进行总结，可以更全面地了解开方运算以及它在数学和实际生活中的重要作用。