正态分布知识点 - 360文档中心

正态分布知识点总结

4.正态分布 (1)正态分布的定义

态变量概率密度曲线的函数表达式为22

()2()

x f x μσ--=

，x ∈R ，其中μ，σ是参数，

且0σ>，μ-∞<<+∞．

式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ．

(2)正态曲线的性质

①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交，与x 轴之间的面积为1； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值

1

σ2π

；

④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. (3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682__6；②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954__4；③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997__4.

④正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率

是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．

5.(2017·西安调研)已知随机变量X 服从正态分布N (3，1)，且P (X >2c －1)＝P (X <c ＋3)，则c ＝________.

①P (X ＜a )＝1－P (X ≥a )；②P (X ＜μ－σ)＝P (X ≥μ＋σ).

【训练4】 (2017·常德一模)已知随机变量X ～N (1，σ2)，若P (0<X <2)＝0.4，则P (X ≤0)＝( ) A.0.6

正态分布所有的知识点

正态分布是统计学中一种常见的概率分布，也称为高斯分布。它在许多实际问题的建模和分析中都有重要应用。本文将从基本概念、性质和应用等方面介绍正态分布。

1. 基本概念

正态分布是一种连续型的概率分布，其特点是呈钟形曲线，对称分布于均值周围。正态分布的定义由两个参数确定，分别是均值μ和标准差σ。记为N(μ, σ^2)，表示随机变量X服从均值为μ，标准差为σ的正态分布。

2. 性质

正态分布具有许多重要的性质，包括：

2.1 对称性

正态分布是关于均值对称的。也就是说，分布在均值μ左侧的曲线与分布在均

值右侧的曲线是相似的。

2.2 峰度和偏度

正态分布的峰度是指其曲线的陡峭程度。正态分布的峰度为3，称为正态分布

的峰度系数。高于3的峰度表示曲线更陡峭，低于3的峰度表示曲线更平缓。

正态分布的偏度是指其曲线的对称性。正态分布的偏度为0，表示曲线对称。

大于0的偏度表示曲线向左偏斜，小于0的偏度表示曲线向右偏斜。

2.3 中心极限定理

中心极限定理是指在一定条件下，独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布。这个定理在统计学中有广泛的应用，使得正态分布成为统计推断的基础。

3. 应用

正态分布在实际问题中有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景：

3.1 统计推断

正态分布在统计推断中起到至关重要的作用。通过收集样本数据，我们可以根

据正态分布的性质进行参数估计和假设检验等统计分析。

3.2 财务分析

正态分布在财务分析中也有重要应用。例如，股票市场的收益率往往服从正态

分布，基于正态分布的模型可以用于分析和预测股票的风险和收益。

3.3 质量控制

高考正态分布知识点

在统计学中，正态分布是一种重要的概率分布，也被称为钟形曲线或高斯分布。在高考数学中，正态分布是一个常见的考察点，学生需要了解和掌握与正态分布相关的概念、性质和应用。下面将详细介绍高考正态分布的知识点。

一、正态分布的定义和性质

1. 正态分布的定义：正态分布是指在数理统计中，如果随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ²的正态分布，则记为X~N(μ, σ²)，其中N表示正态分布。

2. 正态分布的性质：

（1）正态分布是对称的，其均值、中位数和众数都相等，即μ=中位数=众数。

（2）正态分布的图像呈现出典型的钟形曲线。

（3）正态分布的曲线在均值两侧呈现出逐渐减小的趋势，但是永远不会到达横轴。

（4）正态分布的曲线关于均值μ对称。

（5）正态分布的标准差σ越大，曲线越矮胖；标准差σ越小，曲线越瘦高。

（6）约68%的数据落在均值±1个标准差范围内；约95%的数据落在均值±2个标准差范

围内；约99.7%的数据落在均值±3个标准差范围内。

二、正态分布的概率计算

1. 标准正态分布：标准正态分布是指均值为0，标准差为1的正态分布。记为Z~N(0, 1)。对于标准正态分布，我们可以通过计算标准正态分布表来得到对应的概率值。

2. 普通正态分布：当随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)时，可以进行标准化处理，将

X转化为一个服从标准正态分布的随机变量Z。即Z=(X-μ)/σ，这样就得到了一个标准

正态分布。对于普通正态分布，可以通过标准正态分布表和标准化公式来计算相应的概率值。

3. 概率计算：对于正态分布，我们常常需要计算在某个区间范围内的概率值。对于标准

正态分布知识点总结

正态分布（Normal distribution）是统计学中最为重要和常见的概

率分布之一、其分布特点为钟形曲线，对称分布，均值为中心点，标准差

决定了曲线的分散程度。正态分布在实际应用中非常广泛，特别适用于描

述大量独立随机变量之和的分布情况。

一、正态分布的定义和性质

1.定义：若随机变量X服从一个均值为μ，标准差为σ的正态分布（记作X∼N(μ,σ)），则其概率密度函数为f(x)=1/(σ√(2π))*e^(-

(x-μ)²/(2σ²))

2.性质：

a.对称性：正态分布是关于均值对称的，即平均值左右两侧的曲线是

对称的。

b.中心极限定理：大量独立随机变量的和趋向于正态分布，即使原始

数据并不服从正态分布，样本量足够大时，样本均值的分布也会接近正态

分布。

c.峰度与偏度：正态分布的峰度为3，即其曲线边际趋于水平而不陡。偏度为0，即左右两侧的概率密度完全对称。

d.累积分布函数：正态分布的累积分布函数可以用标准正态分布表查找，标准正态分布表给出了标准正态分布的累积概率，从而可以计算出任

意正态分布的累积概率。

二、正态分布的参数

1.均值（μ）：正态分布的均值决定了分布曲线的中心位置。在标准

正态分布中，均值为0。

2.标准差（σ）：正态分布的标准差决定了分布曲线的宽度和分散程度。标准差越小，曲线越尖锐；标准差越大，曲线越平缓。

三、标准正态分布

1. 定义：均值为0，标准差为1的正态分布称为标准正态分布（Standard Normal Distribution），记作Z∼N(0,1)。

2.标准化：通过标准化转换，将任意正态分布转化为标准正态分布。

正态分布的概念和特征

正态分布（normal distribution），又称高斯分布（Gaussian distribution），是概率统计学中最为重要和常见的一种连续概率分布。起初，正态分布是由德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss）于18世纪末发现并进行了深入研究，因而得名。

1. 均值（mean）：正态分布的均值决定了其分布的位置，是分布曲线的对称轴。在正态分布中，均值位于分布的最高峰处，对称地分布于左右两侧。记作μ。

2. 方差（variance）：正态分布的方差决定了分布的形态宽窄，方差越大，分布曲线越扁平。方差是各观测值与均值差的平方的平均数，可表示为σ²。

3. 标准差（standard deviation）：标准差是方差的平方根，用于衡量分布的离散程度，即观测值偏离均值的程度。标准差越大，分布曲线越扁平，表示数据的散布越广。标准差记作σ。

1.正态分布的曲线是对称的，即分布曲线两侧关于均值对称。

2.曲线的最大值位于均值处，即分布的峰值。

3.正态分布过程的结果是连续的变量，其取值范围无限。

4.正态分布的总体分布是平滑的，没有突变的点。

5.正态分布由两个参数确定，即均值和标准差，均值决定了分布的位置，标准差决定了分布的形态。

正态分布在实际中具有广泛的应用，原因如下：

1.中心极限定理：正态分布是中心极限定理的基础。中心极限定理指出，当独立随机变量的个数足够大时，这些随机变量的均值的分布将近似于正态分布。因此，正态分布被广泛用于描述各种自然现象和现实生活中的变量。

正态分布知识点回顾与专题训练

(1）正态分布概念：若连续型随机变量ξ的概率密度函数为

),(,21

)(2

22)(∞+-∞∈=

--x e

x f x σμσ

π,

其中,σμ为常数，且0σ>，则称ξ服从正态分布,简记为ξ～()2,N μσ。

()f x 的图象称为正态曲线。

(2)、正态分布的期望与方差：若ξ~()2,N μσ，则2,E D ξμξσ== (3）、正态曲线的性质:

①曲线在x 轴的上方,与ｘ轴不相交;②曲线关于直线ｘ=μ对称; ③曲线在x ＝μ时位于最高点．

④当x ＜μ时，曲线上升;当ｘ>μ时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，

以ｘ轴为渐进线，向它无限靠近；

⑤当μ一定时,曲线的形状由σ确定．σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;σ

越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

（４)、在标准正态分布表中相应于0x 的值()0x Φ是指总

体取值小于0x 的概率即 ()()00x P x x Φ=<

00≥x 时，则)(0x Φ的值可在标准正态分布表中查到 00<x 时,可利用其图象的对称性获得)

(1)(00x x -Φ-=Φ来求出,

)()()()()(121221x x x P x P x x P Φ-Φ=<-<=<<ξξξ

标准正态分布曲线

)

(0x Φ

x

y

O

（5)两个重要公式:① ②

（6)、()2,N μσ与()0,1N 的关系:

①若ξ～()2,N

μσ，则ξμησ-=

~()0,1N ，有()()000x P x F x μξσ-⎛⎫

高中正态分布知识点

正态分布（Normal distribution）在高中数学中起着重要的作用，它具有许多特点和应用。正态分布是一种连续概率分布，其特征是以均值为中心对称，并且呈钟型分布。它在统计学、概率论、自然科学等领域都有广泛的应用。

一、正态分布的特点

正态分布的特点主要有三个方面：对称性、均值、标准差。

1. 对称性：正态分布的曲线以均值为中心对称，即曲线两侧的面积相等。这意味着在正态分布中，均值附近的数值出现的概率较大，而离均值较远的数值出现的概率较小。

2. 均值：正态分布的均值是曲线的中心位置，也是分布的期望值。在正态分布中，均值的取值是有用的参考，可以帮助我们了解数据集的中心倾向。

3. 标准差：正态分布的标准差决定了曲线的宽度，标准差较小意味着数据集的值相对集中，标准差较大意味着数据集的值相对分散。标准差还可以用来衡量数据的离散程度。

二、正态分布的应用

正态分布在实际生活中有广泛的应用，以下是几个常见的场景：

1. 身高和体重：人类的身高和体重通常服从正态分布。这使得我们

可以通过计算均值和标准差来了解人群的平均身高和体重，也能够判

断某个个体身高和体重是否在正常范围之内。

2. 考试成绩：考试成绩常常呈正态分布。通过对成绩分布的分析，

教师可以了解学生的表现情况，设计适合学生的教学方案。

3. 生物学实验数据：生物学实验中的许多测量结果，如细胞数量、

药物浓度等，往往服从正态分布。通过对实验结果的分析，科研人员

可以评估实验的准确性和稳定性。

4. 财经领域：股市收益率、商品价格等经济指标常常符合正态分布。金融机构和投资者可以利用正态分布来进行风险评估和预测。

2022年新高考数学总复习：正态分布

2022年新高考数学总复习：正态分布知识点一正态曲线及其性质

(1)正态曲线：函数f(x)＝1

2πσ

e－

(x－μ)2

2σ2，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参

数．我们称函数f(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线，期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作__X～N(μ，σ2)__．

(2)正态曲线的性质：①曲线位于x轴__上方__，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它

关于直线__x＝μ__对称；③曲线在__x＝μ__处达到峰值

1

σ2π

；④曲线与x轴之间的面积为

__1__；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越__集中__；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越__分散__．

知识点二正态分布

(1)正态分布的定义及表示．

若对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝__

⎠⎛

a

bφμ，σ(x)d x__，则称X 服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．

(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：

①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝__0.682_6__；

②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝__0.954_4__；

③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝__0.997_4__．

归纳拓展

对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知

(1)P(X≥μ)＝P(X≤μ)＝0.5；

(2)对任意的a有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)；

(3)P(X＜x0)＝1－P(x≥x0)；

(4)P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．

高考正态分布知识点归纳

作为中国高等教育的重要选拔方式，高考在很大程度上决定了学生

的命运。而统计学中的正态分布是高考中常出现的一个重要概念。了

解和掌握正态分布的相关知识点对于高考数学考试至关重要。本文将

从不同角度对高考正态分布知识点进行归纳和总结，以帮助考生更好

地应对相关考题。

一、正态曲线和标准正态分布

正态曲线是一种在统计学中经常使用的函数图形。它呈现出钟形曲

线的形状，具有中心对称、均值和标准差两个重要参数的特征。高考

中常见的正态分布问题会涉及到正态曲线的图形特点、标准差的计算

等内容。

标准正态分布是指均值为0、标准差为1的正态分布。对于任意一

个正态分布，我们都可以通过标准化处理，将其转化为标准正态分布。标准正态分布具有良好的性质，比如其面积一定等于1，可以使用标准正态分布表进行查找。

二、正态分布的性质和应用

正态分布具有许多重要的性质，这些性质在高考中常常会涉及到。

首先是标准差的性质。标准差越大，曲线越扁平；标准差越小，曲

线越陡峭。这个性质可以帮助我们察觉数据的分散程度。

其次是与正态分布有关的概率问题。根据正态分布的特点，我们可

以计算某个数值在一定范围内的概率。例如，高考中常见的题目会要

求计算某个班级或某个学生在全省排名中的百分位数。

最后是正态分布在抽样理论中的应用。正态分布是许多统计方法的

基础，比如样本均值的抽样分布、样本比例的抽样分布等。这些应用

在高考数学考试中也经常会出现。

三、正态分布与假设检验

高考中的数学考卷通常涉及到学生的实际生活问题。与实际问题相

关的统计假设检验也常常和正态分布有关。

高中数学必修三正态分布知识点

正态分布为高中数学必修三课本的新增内容之一，有哪些知识点需要我们学习呢?下面是店铺给大家带来的高中数学正态分布知识点，希望对你有帮助。

高中数学必修三正态分布知识点

正态分布的定义：

如果随机变量ξ的总体密度曲线是由或近似地由下面的函数给定：x∈R，则称ξ服从正态分布，这时的总体分布叫正态分布，其中μ表示总体平均数，σ叫标准差，正态分布常用

来表示。

当μ=0，σ=1时，称ξ服从标准正态分布，这时的总体叫标准正态总体。

叫标准正态曲线。正态曲线

x∈R的有关性质：

(1)曲线在x轴上方，与x轴永不相交;

(2)曲线关于直线x=μ对称，且在x=μ两旁延伸时无限接近x轴;

(3)曲线在x=μ处达到最高点;

(4)当μ一定时，曲线形状由σ的大小来决定，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布比较离散，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体分布比较集中。

在标准正态总体N(0，1)中：

高中数学必修三二项分布知识点

二项分布：

一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则

k=0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并记

独立重复试验：

(1)独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一

个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验.

(2)一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为

此时称随机变量X服从二项分布，记作

正态分布知识点总结正态分布运算法则正态分布μ和σ代表什么

正态分布知识点总结

正态分布的定义：

如果随机变量的总体密度曲线是由或近似地由下面的函数给定：

xR，则称服从正态分布，这时的总体分布叫正态分布，其中表示总体平均数，叫标准差，正态分布常用

来表示。

当=0，=1时，称服从标准正态分布，这时的总体叫标准正态总体。

叫标准正态曲线。正态曲线

xR的有关性质：

(1)曲线在x轴上方，与x轴永不相交;

(2)曲线关于直线x=对称，且在x=两旁延伸时无限接近x 轴;

(3)曲线在x=处达到最高点;

(4)当一定时，曲线形状由的大小来决定，越大，曲线越矮胖，表示总体分布比较离散，越小，曲线越瘦高，表示总体分布比较集中。

在标准正态总体N(0，1)中：

高中数学关于正态分布知识总结【2】

二项分布：

一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则

k=0，1，2，n，此时称随机变量X服从二项分布，记作

X~B(n，p)，并记

独立重复试验：

(1)独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验.

(2)一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为

此时称随机变量X服从二项分布，记作

并称p为成功概率.

(3)独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的.

(4)独立重复试验概率公式的特点：

是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率.其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k

高中数学正态分布知识点总结

正态分布，又称高斯分布，是统计学中最为重要的分布之一。高中数学研究中，正态分布也是重点内容之一，本文将对高中数学正态分布知识点进行总结。

定义

正态分布是一种连续型的概率分布，是一种钟形曲线，分布函数呈钟形。它的参数由均值μ 和标准差σ 。正态分布的概率密度函数为：

$$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-

\mu)^2}{2\sigma^2}} $$

性质

1. 正态分布的随机变量总体分布是完全由两个参数：平均数和标准差决定的。

2. 标准正态分布是平均数为0，标准差为1的正态分布。

3. 正态分布曲线呈钟形，左右对称，中心峰值在平均数处，随着标准差增大曲线变扁平。根据“68-95-99.7”规则，在平均数左右1个标准差范围内的数据占比约为68%，在左右2个标准差范围内的数据占比约为95%，在左右3个标准差范围内的数据占比约为99.7%。

应用

正态分布广泛应用于科学、工程、金融管理等领域。在高中数学研究中，正态分布常用于以下几个方面：

1. 描述一个随机变量服从正态分布的特征；

2. 判断一组数据是否服从正态分布；

3. 根据正态分布性质计算一组数据的概率或置信区间等。

常见问题

1. 什么情况下数据可以视为近似正态分布？

答：当数据分布对称、峰型接近于钟形且数据量较大时，可以近似视为正态分布。

2. 怎样验证一组数据是否服从正态分布？

答：可用正态概率图和Shapiro-Wilk检验等方法进行验证。

高中数学正态分布知识点+练习

正态分布

高考

正态分布

要求

层次

重难点

正态分布

A

利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

例题

一) 知识内容

1．概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方

图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量 X ，则这条曲线称为 X 的概率密度曲线．

曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是 1，而随机变量 X 落在指定的两个数 a ，b

之间的概率就是对应的曲边梯形的面积．

2．正态分布

⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的准差为的正态分布通常记作 N( , 2) ．正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．

⑵标准正态分布：我们把数学期望为 0 ，标准差为 1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论： ①正态变量在区间 ( ,

) ，( 2 , 2 ) ，( 3 , 3 )内，取值的概率分别是 68.3% ，

95.4%， 99.7% ．

②正态变量在 ( ， ) 内的取值的概率为 1，在区间 ( 3

故正态变量的取值几乎都在距 x 三倍标准差之内，这就是正态分布的 3 原则．

变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．

服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．

正态变量概率密度曲线的函数表达式为 f(x)

2

π

(x

)2

e 2

，x 中，是参数，且

0 ，

式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为、标

正态分布知识点总结高中

1. 正态分布的定义

正态分布是一种连续型的概率分布，它的曲线呈钟形，左右对称，并且具有两个参数：均

值μ和标准差σ。正态分布的概率密度函数（probability density function）可以用以下公

式表示：

\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]

其中，$x$ 是随机变量的取值，$μ$ 是均值，$σ$ 是标准差，$e$ 是自然常数。正态

分布的曲线在均值处达到最高点，然后向两侧逐渐下降。

2. 正态分布的性质

正态分布具有许多重要的性质，包括以下几点：

（1）曲线对称性：正态分布的曲线是左右对称的，即以均值为中心的两侧曲线是对称的。

（2）均值与中位数和众数相等：在正态分布中，均值、中位数和众数是相等的，即它们

都在曲线的顶峰位置。

（3）68-95-99.7%法则：大约68%的数据落在均值加减一个标准差的范围内，大约95%

的数据落在均值加减两个标准差的范围内，大约99.7%的数据落在均值加减三个标准差的

范围内。

（4）正态分布的标准化：对于任意的正态分布，我们都可以通过标准化（即减去均值并

除以标准差）将其转化为标准正态分布，其均值为0，标准差为1。

（5）无穷远处的概率值：在正态分布中，曲线在无穷远处逐渐趋于0，即任意大于或小

于一个数值的概率值都是接近于0的。

3. 正态分布的应用

正态分布是一种非常重要的概率分布，它在许多领域都有着广泛的应用，包括但不限于以

正态分布知识点回顾与专题训练

（1）正态分布概念：若连续型随机变量ξ的概率密度函数为

),(,21

)(2

22)(∞+-∞∈=

--x e

x f x σμσ

π，

其中,σμ为常数，且0σ>，则称ξ服从正态分布，简记为ξ～()2,N μσ。

()f x 的图象称为正态曲线。

（2）、正态分布的期望与方差：若ξ～()2,N μσ，则2,E D ξμξσ== （3）、正态曲线的性质：

①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交；②曲线关于直线x=μ对称； ③曲线在x=μ时位于最高点．

④当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，

以x 轴为渐进线，向它无限靠近；

⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分

散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．

（4）、在标准正态分布表中相应于0x 的值()0x Φ是指总体

取值小于0x 的概率即 ()()00x P x x Φ=<

00≥x 时，则)(0x Φ的值可在标准正态分布表中查到 00<x 时，可利用其图象的对称性获得)(1)(00x x -Φ-=Φ来求出，

)()()()()(121221x x x P x P x x P Φ-Φ=<-<=<<ξξξ

标准正态分布曲线

)

(0x Φ

x

y

O

（5）两个重要公式：① ②

（6）、()2,N μσ与()0,1N 的关系：

①若ξ～()2

,N μσ，则ξμησ-=

～()0,1N ，有()()0

00x P x F x μξσ-⎛⎫

正太分布的知识点总结

一、正态分布的定义

正态分布又叫高斯分布，其数学表达式为：

P(x) = (1 / (σ * √(2*π))) * exp(-((x-μ)^2) / (2 * σ^2))

其中，P(x)表示随机变量x的概率密度函数，μ是正态分布的均值，σ是标准差，π是圆

周率。

二、正态分布的性质

1. 对称性：正态分布是以均值为中心对称的。

2. 集中趋势：均值μ决定了正态分布的集中趋势，即大多数数据分布在均值附近。

3. 标准差：标准差σ决定了正态分布的数据分散程度，即σ越小，数据越集中；σ越大，数据越分散。

4. 68-95-99.7法则：大约68%的数据分布在均值的一个标准差范围内，大约95%的数据

分布在均值的两个标准差范围内，大约99.7%的数据分布在均值的三个标准差范围内。

三、正态分布的应用

1. 统计学：正态分布广泛应用于统计学中，用于描述人口的身高、智力分布等现象。在假

设检验和参数估计中也有重要应用。

2. 自然科学：在自然现象中，许多现象都能够很好地拟合成正态分布，例如物理学中的测

量误差、生物学中的生长速度等。

3. 工程学：在工程学中，正态分布用于描述机械零部件的尺寸、材料的强度等参数。

4. 金融学：在金融市场中，股票价格的波动、交易量等经常符合正态分布，因此正态分布

在金融学中有广泛的应用。

四、正态分布的参数估计和假设检验

1. 参数估计：根据样本数据估计总体的均值和标准差，通常使用样本均值和样本标准差来

估计总体的均值和标准差。

2. 假设检验：假设检验是统计学中常用的推断方法，正态分布在假设检验中有重要的应用。常用的假设检验有单样本均值检验、双样本均值检验、方差检验等。