对数的计算以及对数函数的基本性质
对数的计算以及对数函数的基本性质
对数的计算以及对数函数的基本性质1.对数与对数运算 （1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N=，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式：log 10a =，log 1a a =，log ba ab =． （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10log N； 自然对数：ln N ，即log e N（其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 2.对数函数及其性质 定义：函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象：定义域：(0,)+∞ 值域：R 过定点：图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．1 xy O1xyO奇偶性：非奇非偶 单调性：在(0,)+∞上是增函数1a >；在(0,)+∞上是减函数01a <<； 函数值的变化情况：log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响：在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高． 判断技巧：指数函数令1=x 得到第一象限内底大图上；对数函数令1=y 得到第一象限底大图下。
对数的运算与对数函数
1.对数的概念如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。
即指数式与对数式的互化：log ba aN b N =⇔=2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。
自然对数：通常将以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。
3．对数的运算性质：如果0a >，且1,0,0a M N ≠>>，那么：⑴log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（积的对数等于对数的和） 推广1212log (...)log log ...log a k a a a k N N N N N N ⋅=+++ ⑵log log log aa a MM N N=-；（商的对数等于对数的差） ⑶log log (R)a a M M ααα=∈，则log a = 。
⑷log a N a N =2．换底公式：log log log a b a NN b=（,0,,1,0a b a b N >≠>） 换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的． 推广：⑴1log log a b b a=⑵log log log log a b c a b c d d =， ⑶1log log n a a M M n =，则log na m M = 。
特别地：log log 1a b b a =知识要点对数运算与对数函数【例1】 求下列各式中x 的取值范围。
（1）2log (5)x +（2）1log (10)x x --【例2】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。
（1） 1642= （2） 9132=- （3） 481log 3=（4） 6125log -=a （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606【例3】 计算（1）lg 4lg 25+ （2）22log 24log 6-（3）531log ()3（4） 001.0lg （5）e1ln （6）1lg【巩固1】3log =2log =(2log (2= 21log 52+=【巩固2】）. A. 1 B. －1 C. 2 D. －2【巩固3】计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ .知识要点【例4】 （1）（2 。
对数函数的基本性质及运算法则
对数函数的基本性质及运算法则对数函数是数学中常见的一种函数，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍对数函数的基本性质及运算法则，帮助读者更好地理解和应用对数函数。
一、对数函数的定义和基本性质对数函数是指数函数的反函数。
设a为一个正实数且不等于1，b为正实数，则对数函数的定义如下：y = loga(b)其中，a称为底数，b称为真数，y称为对数。
对数函数的基本性质如下：1. 对数函数的定义域为正实数集合，即x > 0。
2. 对数函数的值域为实数集合，即y ∈ R。
3. 对数函数的图像在直线y = x的左侧，且与x轴交于点(1, 0)。
4. 对数函数是递增函数，即当b1 > b2时，loga(b1) > loga(b2)。
5. 对数函数的反函数是指数函数，即y = loga(x)的反函数为x = a^y。
二、对数的运算法则对数函数的运算法则是指对数函数在进行运算时的一些基本规则和性质。
1. 对数的乘法法则loga(b * c) = loga(b) + loga(c)这个法则表明，对数函数中两个数的乘积的对数等于这两个数分别取对数后的和。
2. 对数的除法法则loga(b / c) = loga(b) - loga(c)这个法则表明，对数函数中两个数的商的对数等于这两个数分别取对数后的差。
3. 对数的幂法法则loga(b^c) = c * loga(b)这个法则表明，对数函数中一个数的幂的对数等于该数取对数后乘以指数。
4. 对数的换底公式loga(b) = logc(b) / logc(a)这个法则表明，当底数不同时，可以通过换底公式将对数转化为另一个底数的对数。
5. 对数函数的性质（1）loga(1) = 0，即任何底数的对数函数中1的对数都等于0。
（2）loga(a) = 1，即任何底数的对数函数中底数的对数都等于1。
（3）loga(a^x) = x，即任何底数的对数函数中底数的幂的对数等于指数。
对数函数的运算与性质
对数函数的运算与性质对数函数是数学中常见的一类函数，具有独特的运算性质和特点。
本文将探讨对数函数的运算规则、性质以及其在实际应用中的重要意义。
一、对数函数的定义和性质对数函数的定义如下：对于任意实数x>0和正实数a (a ≠ 1)，称满足a^x = y的x为以a为底y的对数，记作x=log_a y。
对数函数有以下基本运算性质：1. 对数与指数的互为反函数关系：log_a a^x = x，a^log_a y = y。
2. 对数的运算法则：log_a (xy) = log_a x + log_a y，log_a (x/y) =log_a x - log_a y，log_a x^m = mlog_a x。
3. 对数函数的定义域和值域：对数函数log_a x的定义域是x>0，值域是实数集。
4. 对数函数的图像特点：不同底数的对数函数在x轴的正半轴上有不同的图像特点。
以e为底的自然对数函数y=lnx是单调递增函数，底数大于1的对数函数是增函数，底数在0和1之间的对数函数是减函数。
二、对数函数的运算法则1. 对数的乘方法则：log_a x^p = plog_a x。
其中，对于底数相同的对数函数，指数相加等于原来两个数的乘积的对数。
例如，log_a (x^2y^3) = 2 log_a x + 3 log_a y。
2. 对数的换底公式：log_a x = log_b x / log_b a。
该公式用于将一个底数为a的对数转化为底数为b的对数。
例如，log_3 2 = log_10 2 / log_10 3。
3. 对数的消去法则：如果log_a x = log_a y，则x=y。
该法则用于解方程时，当两个对数底相同时，如果其对数相等，那么其底数也相等。
三、对数函数的应用对数函数在实际应用中有广泛的用途，以下介绍几个常见的应用领域：1. 科学计算与统计学：对数函数可以简化复杂计算和数据分析过程，特别适用于大数据的处理和处理结果的可视化呈现。
计算对数函数
计算对数函数对数函数是数学中重要的一类函数，广泛应用于各个领域。
本文将介绍对数函数的定义、性质以及计算方法，并通过实例演示其应用。
一、定义与性质对数函数是指将正实数x映射到另一个实数y的函数，满足x为底的对数为y，记作y=logₓ(x)。
对于x>0且x≠1，对数函数有以下性质：1. 对于任意正实数x和y，有logₓ(xy) = logₓ(x) + logₓ(y)；logₓ(x/y) = logₓ(x) - logₓ(y)。
2. 对于任意实数a和b，有logₓ(xⁿ) = nlogₓ(x)；logₓ(a) =log_y(a)/log_y(x)。
3. 对于任意正实数x，有logₓ(x) = 1/logₓ⁻¹(x)；log(1/x) = -log(x)。
其中logₓ⁻¹(x)表示以x为底的对数函数的反函数。
二、常见对数函数在实际计算中，常用的对数函数包括自然对数函数(ln(x))、常用对数函数(log₁₀(x))以及二进制对数函数(log₂(x))。
1. 自然对数函数ln(x)的底数为e，其中e≈2.71828。
自然对数函数在计算微积分、概率论、统计学等领域具有广泛的应用。
2. 常用对数函数log₁₀(x)的底数为10，常用于计算各种科学计算以及日常生活中的计算，例如pH值、音频分贝等。
3. 二进制对数函数log₂(x)的底数为2，常用于计算计算机科学中的信息量、算法复杂度等。
三、计算方法对于计算对数函数，我们可以利用计算器或者数学公式来求解。
以下是一些常见的计算方法：1. 对于自然对数函数ln(x)，可以使用科学计算器或者计算软件直接计算，也可以通过泰勒展开公式进行近似计算。
2. 对于常用对数函数log₁₀(x)，同样可以使用科学计算器或计算软件进行计算，或者利用对数函数的性质转化为自然对数进行计算。
3. 对于二进制对数函数log₂(x)，可以利用换底公式将其转化为其他底数的对数进行计算，例如log₂(x) = log₁₀(x)/log₁₀(2)。
对数运算和对数函数
对数与对数函数一、相关知识点1.对数的定义：如果()1,0≠>=a a N a x 且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作N x a log =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
2.几种常见对数(1)()1,0≠>a a 且①01log =a ; ②1log =a a ; ③N a Na =log ; ④N a N a =log .（两个对数恒等式） (2)对数的重要公式：①换底公式：()0,1,log log log >=N b a b aN aNb均为大于零且不等于；②abba log 1log =，推广：da d c cb b a log log log log =⋅⋅. （3）对数的运算法则：如果0,0,1,0>>≠>N M a a 且，那么 ①()Na M a MN aloglog log += ; ②NaM a N Malog log log -=； ③()R n n MaM a n∈=log log ；④b a b a mnnm log log = . 3.反函数，只需了解：指数函数xa y =与对数函数xa y log =互为反函数，它们的图象关于直线x y =对称。
题型一：对数的化简和求值1.计算:(1)2110025lg 41lg ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-；(2)32log 2450lg 2lg 5lg +⋅+；(3)()232031027.0252lg 3.0lg 21000lg 8lg 27lg --⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+-++-+；(4)()222lg 20lg 5lg 8lg 325lg +++. 2.已知()[]0lg log log 25=x ，求x 的值.3.已知0>a ，且1≠a ，m a =2log ，n a =3log ，求nm a +2的值能力提高：(1).设m ba==52，且211=+ba ,则=m ; (2).若632==b a ，求证：c b a 111=+题型二：（1）对数函数的基本性质题型一：基本性质1.函数()()223lg +-=x x f 恒过定点_______________________2.如果0log log 2121<<y x ，那么（）(A)1<<x y ； (B)1<<y x ；(C)y x <<1； (D)x y <<1.3.已知()x x f a log =，()x x g b log =，()x x r c log =，()x x h d log =的图象如图所示则a ,b ,c ,d 的大小为A.b a d c <<<;B.a b d c <<<;C.b a c d <<<;D.d c b a <<<4.若函数()⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫⎝⎛+≥=）（）（4214log 2x x f x x x f ,则⎪⎭⎫⎝⎛23f 的值是( ) A.21; B.1; C.23; D.2 5.若点()b a ,在x y lg =图像上,1≠a ,则下列点也在此图像上的是（）A.⎪⎭⎫⎝⎛b a ,1;B. ()b a -1,10;C.⎪⎭⎫⎝⎛+1,10b a ; D.()b a 2,2. 6.函数()()13log 2+=xx f 的值域为7.为了得到函数103lg+=x y 的图像,只需把函数x y lg =的图像上所有的点( ) A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度； B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度； C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度； D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度.8.若函数()()()101≠>--=a a a a k x f xx且在R 上既是奇函数,又是减函数()()k x x g a +=log 的图象是( )9.对于函数()x f 定义域中任意的()2121,x x x x ≠，有如下结论： ①()()()2121x f x f x x f ⋅=+； ②()()()2121x f x f x x f +=⋅; ③()()02121>--x x x f x f ； ④()()222121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+. 当()x x f lg =时，上述结论中正确结论的序号是. 能力提高：1.已知函数()22log 21+-=a y x 的值域是R ，求a 的取值范围.2.已知函数()()1log 22++=ax ax x f 的定义域为全体实数，求a 的取值范围.3.已知函数()()1log 22++=ax axx f 的值域域为全体实数，求a 的取值范围。
对数公式及对数函数的总结
对数公式及对数函数的总结对数公式是数学中一种重要的数学工具，可以用来简化复杂的计算、求解方程和表示关系等。
对数公式和对数函数广泛应用于数学、物理、工程等领域，有很多重要的性质和应用。
下面将对对数公式及对数函数的性质、定义以及应用进行总结。
一、对数公式1. 对数的定义：设a>0且a≠1，b>0，则称b是以a为底的对数的真数，记作b=logₐb。
a称为对数的底数，b称为真数，带底数和真数的对数，称为对数的对数。
对数的定义可以用反函数的概念来构造对数函数，即对数函数是幂函数的反函数。
2. 常用对数公式：常用对数是以10为底的对数，记作logb(x)，其中b=10，x>0。
常用对数公式如下：十进制和对数公式：logb(xy) = logb(x) + logb(y)数字乘方和对数公式：logb(x/y) = logb(x) - logb(y)对数乘方和对数公式：logb(x^k) = klogb(x)对数的换底公式：loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中c>0且c≠1自然对数的定义：ln(x) = logₑ(x)自然对数的性质：ln(e^x) = x，其中x为任意实数。
二、对数函数1. 对数函数的定义：对数函数y=logₐ(x)是幂函数y=a^x的反函数，其中a>0且a≠1、对于任意正数x和任意实数a，对数函数的守恒是：a^logₐ(x) = x。
2.对数函数的性质：对数函数有以下性质：a) 当0<x<1时，0<logₐ(x)<∞；当x>1时，-∞<logₐ(x)<0。
b) 对数函数logₐ(x)在定义域内是递增函数。
c)对数函数的图像是以(1,0)为对称轴的反比例函数图像。
d)对数函数的增长速度比幂函数的增长速度慢。
三、对数函数的应用1.指数增长和对数函数：对数函数常用于描绘指数增长的情况。
例如，在经济学中，对数函数可以用来描述人口增长、物质消耗和资本积累等指数增长的趋势。
深入了解对数函数的性质及计算方法
对数函数与其他函 数的关系
对数函数和幂函数在形式上的关系：对数函数和幂函数在形式上具有密切的联系，可以通过对数函数的性质和幂 函数的性质相互推导。
对数函数和幂函数的图像关系：对数函数和幂函数的图像在坐标系中呈现出不同的形状和趋势，可以通过观察图 像了解它们之间的关系。
对数函数和幂函数的运算关系：对数函数和幂函数在运算上也有一定的关系，例如对数函数的运算可以利用幂函 数进行推导，反之亦然。
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注意事项：换底公式在使用时需要注意a和b的取值范围，以及底数c的要求
乘法法则：log(a*b) = log(a) + log(b) 除法法则：log(a/b) = log(a) - log(b) 指数法则：log(a^n) = n*log(a) 换底公式：log(b) = log(a)/log(b)
计算方法：对数函数的计算方法包括换底公式、对数的四则运算、对数的性质等。
应用：对数函数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，如计算复利、求解方程、信号处理等。
定义：log_b(a) = log_c(a) / log_c(b)，其中a > 0，b > 0，c > 1 应用：换底公式可以将对数转换为任意底数形式，方便计算和转换 证明：利用对数的定义和性质，通过推导证明换底公式
互转换。
对数函数的应用
金融计算：对数可以帮助计算复利、折现等金融问题。 信号处理：在通信和音频处理中，对数函数常被用来转换信号的幅度。 物理学：在声学、光学和热力学等领域，对数函数被用来描述一些物理现象。 生物学：在生态学和生物统计学中，对数生长和几何级数增长等概念经常用到对数函数。
对数函数在金融建模中的应用， 如复利计算和风险评估
初中数学知识归纳对数的运算与性质
初中数学知识归纳对数的运算与性质对数是数学中常见的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在初中数学中，对数的运算与性质是我们必须要掌握的知识点之一。
本文将对初中数学中对数的运算与性质进行详细的归纳总结。
一、对数的定义与基本概念对数的定义：对数是指数运算的逆运算。
设a为正实数，b为正实数且不等于1，若满足b=a^x（a的x次方等于b），则称x为以a为底，以b为真数的对数。
对数的表示：我们用log_a^b表示以a为底，以b为真数的对数，其中a称为底数，b称为真数。
二、对数的运算性质1. 对数运算的特点：（1）对数是单调递增函数，即底数相同时，对数越大，真数也越大。
（2）对数运算的结果为实数，且有无限个解。
2. 对数的运算法则：（1）指数与对数互为逆运算。
即log_a(a^x)=x，a^log_a(x)=x。
（2）对数的乘法法则：log_a(mn) = log_a(m) + log_a(n)（3）对数的除法法则：log_a(m/n) = log_a(m) - log_a(n)（4）对数的幂法法则：log_a(m^p) = p * log_a(m)三、对数的常见性质1. 对数与指数的关系：若a^x=b，则log_a(b)=x，即指数与对数互为逆运算。
2. 对数的底数变换：若log_a(b)=x，则log_c(b)=log_c(a) * x，即对数的底数变化只影响对数的值。
3. 对数与指数的运算：（1）log_a(a)=1，即以a为底的对数a的对数值为1。
（2）log_a(1)=0，即以a为底的对数1的对数值为0。
（3）log_a(a^x)=x，即以a为底，指数为x的幂的对数为x。
四、对数的应用对数在实际生活和各个学科中都有广泛的应用，以下列举一些常见的应用场景：1. 对数在计算机科学中的应用：对数可用于衡量计算机算法的时间复杂度和空间复杂度。
2. 对数在经济学中的应用：对数可用于描述经济指标的增长速度和变化趋势。
对数函数的运算与性质
对数函数的运算与性质对数函数是数学中常见的一种特殊函数形式，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将探讨对数函数的运算法则及其重要性质，帮助读者更好地理解和应用对数函数。
一、对数函数的定义与表示对数函数的定义是：若正数 a、b，并且a ≠ 1，则称正数 b 对以 a 为底的对数函数。
对数函数常用的表示形式为：logₐb，其中 a 为底数，b 为真数，log 为对数运算符号。
二、对数函数的运算法则1. 对数函数的乘法法则：logₐ (b × c) = logₐ b + logₐ c2. 对数函数的除法法则：logₐ (b / c) = logₐ b - logₐ c3. 对数函数的幂法法则：logₐ bᵈ= d × logₐ b三、对数函数的性质1. 对数函数的定义域与值域：对数函数logₐ b 的定义域为正实数集，值域为实数集。
2. 对数函数的图像特征：- 当 a > 1 时，对数函数y = logₐ x 的图像在 (0,1) 区间上递减，而在(1,∞) 区间上递增。
图像与 x 轴在点 (1,0) 相交，与 y 轴平行。
- 当 0 < a < 1 时，对数函数y = logₐ x 的图像在 (0,1) 区间上递增，而在(1,∞) 区间上递减。
图像与 x 轴在点 (1,0) 相交，与 y 轴平行。
3. 对数函数的特殊性质：- logₐ 1 = 0：任何正数以其自身为底的对数函数都等于 0。
- logₐ a = 1：任何正数以其自身为底的对数函数都等于 1。
- logₐ a = logₐ a₁：任意底数相同的对数函数都相等。
四、对数函数的应用对数函数在各个领域中都有重要的应用，以下列举其中几个典型的应用场景：1. 指数增长问题：对数函数可以用来描述指数增长问题，如人口增长、物种繁衍等。
通过对数函数的运算法则，可以更好地分析和预测相关数据的增长趋势。
2. 数据压缩与存储：对数函数可以用来进行数据压缩和存储。
对数函数及其性质,对数的公式互化,详尽的讲解
§2.2对数函数2．2.1对数与对数运算1．对数的概念一般地，如果a x＝N (a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y＝a x的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式a x＝N⇔x＝log a N，从而得对数恒等式：a log a N＝N.(2)“log”同“＋”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．(3)根据对数的定义，对数log a N(a>0，且a≠1)具有下列性质：①零和负数没有对数，即N>0；②1的对数为零，即log a1＝0；③底的对数等于1，即log a a＝1.2．对数的运算法则利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．(1)基本公式①log a(MN)＝log a M＋log a N (a>0，a≠1，M>0，N>0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和．②log a MN＝log a M－log a N(a>0，a≠1，M>0，N>0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数．③log a M n＝n·log a M (a>0，a≠1，M>0，n∈R)，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．(2)对数的运算性质注意点①必须注意M>0，N>0，例如log a[(－3)×(－4)]是存在的，但是log a(－3)与log a(－4)均不存在，故不能写成log a[(－3)×(－4)]＝log a(－3)＋log a(－4)．②防止出现以下错误：log a(M±N)＝log a M±log a N，log a(M·N)＝log a M·log a N，log a M N＝log a Mlog a N，log a M n ＝(log a M )n . 3．对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：log b N ＝log c Nlog c b(b >0，且b ≠1；c >0，且c ≠1；N >0)．证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边取以c 为底的对数，得x log c b ＝log c N .所以x ＝log c N log c b ，即log b N ＝log c Nlog c b.换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用．由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)log b N ＝1log N b 或log b N ·log N b ＝1 (N >0，且N ≠1；b >0，且b ≠1)；(2)log bn N m ＝mnlog b N (N >0；b >0，且b ≠1；n ≠0，m ∈R ).题型一 正确理解对数运算性质对于a >0且a ≠1，下列说法中，正确的是( ) ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①与③B ．②与④C ．②D ．①、②、③、④解析 在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立． 在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立． 在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N .例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立． 所以，只有②成立． 答案 C点评 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．题型二 对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53；(2)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)log 52·log 79log 513·log 734.分析 利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算．解 (1)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3 ＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg 102·lg(2×10)＋(lg2)2＝2lg(5×2)＋(1－lg2)·(lg2＋1)＋(lg2)2 ＝2＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.(3)∵log 52·log 79log 513·log 734＝12log 52·2log 73－log 53·13log 74＝－lg2lg5·lg3lg7lg3lg5·13·lg4lg7＝－32.点评 对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．题型三 对数换底公式的应用计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．分析 由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同．解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值． 解 方法一 原式＝⎝⎛⎭⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28⎝⎛⎭⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝⎛⎭⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13.方法二 原式＝⎝⎛⎭⎫lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125 ＝⎝⎛⎭⎫3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5 ＝⎝⎛⎭⎫13lg53lg2⎝⎛⎭⎫3lg2lg5＝13.点评 方法一是先将括号换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底)，然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．已知log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，数x 的值．错解 由对数的性质可得x 2＋3x ＝x ＋3. 解得x ＝1或x ＝－3.错因分析 对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了．正解 由对数的性质知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＝x ＋3，x 2＋3x >0，x ＋3>0且x ＋3≠1.解得x ＝1，故实数x 的值为1.对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．1．(高考)方程9x －6·3x －7＝0的解是________． 解析 ∵9x －6·3x －7＝0，即32x －6·3x －7＝0 ∴(3x －7)(3x ＋1)＝0 ∴3x ＝7或3x ＝－1(舍去) ∴x ＝log 37. 答案 log 372．(高考)设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝____. 解析 g ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12<0，g ⎝⎛⎭⎫ln 12＝eln 12＝12， ∴g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝12. 答案 121．对数式log (a －3)(7－a )＝b ，实数a 的取值围是( )A ．(－∞，7)B ．(3,7)C ．(3,4)∪(4,7)D ．(3，＋∞) 答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －3>0，a －3≠1，7－a >0，解得3<a <7且a ≠4.2．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( )A ．a －2B ．3a －(1＋a )2C ．5a －2D ．－a 2＋3a －1 答案 A解析 ∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1) ＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 3．log 56·log 67·log 78·log 89·log 910的值为( )A ．1B ．lg5 C.1lg5D ．1＋lg2答案 C解析 原式＝lg6lg5·lg7lg6·lg8lg7·lg9lg8·lg10lg9＝lg10lg5＝1lg5.4．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1，＋∞) 答案 C解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，2a >1，∵a >0，a ≠1，log a (a 2＋1)<log a 2a ，∴0<a <1.∴12<a <1.5．已知函数f (x )＝a x －1＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a 2，则a 的值为( )A ．4 B.14 C ．3 D.13答案 D6．若方程(lg x )2＋(lg7＋lg5)lg x ＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于( )A ．lg7·lg5B ．lg35C ．35 D.135答案 D解析 ∵lg α＋lg β＝－(lg7＋lg5)＝－lg35＝lg 135∴α·β＝135.7．已知f (log 2x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________. 答案 2解析 令log 2x ＝12，则212＝x ，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝212＝ 2.8．log (2－1)(2＋1)＝________. 答案 －1解析 log 2－1(2＋1)＝log 2－1(2＋1)(2－1)2－1＝log (2－1)12－1＝－1.9．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg x ＝－2＋0.778 1，则x ＝________. 答案 0.06解析 ∵lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，而0.301 0＋0.477 1＝0.778 1，∴lg x ＝－2＋lg2＋lg3， 即lg x ＝lg10－2＋lg6.∴lg x ＝lg(6×10－2)，即x ＝6×10－2＝0.06.10．(1)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求log 2xy的值；(2)已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365. 解 (1)lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0. 即(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ， 又∵⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x －2y >0，∴x >2y >0，∴x ＝y ，应舍去，取x ＝4y .则log 2x y ＝log 24y y ＝log 24＝lg4lg 2＝4.(2)∵18b ＝5，∴log 185＝b, 又∵log 189＝a ， ∴log 365＝log 185lg 1836＝blog 18(18×2)＝b 1＋log 182＝b 1＋log 18189＝b 1＋(1－log 189)＝b2－a. 11．设a ，b ，c 均为不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z ＝0，求abc 的值．解 令a x ＝b y ＝c z ＝t (t >0且t ≠1)，则有1x ＝log t a ，1y ＝log t b ，1z ＝log t c ，又1x ＋1y ＋1z＝0，∴log t abc ＝0，∴abc ＝1. 12．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根，试判定△ABC 的形状．解 ∵关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根， ∴Δ＝0，即4－4[lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1]＝0.即lg(c2－b2)－2lg a＝0，故c2－b2＝a2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．2．2.1对数与对数运算(一)学习目标1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．2．了解常用对数与自然对数的意义．3．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算．自学导引1．如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作b＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质有：(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数．3．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数叫做自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N .4．若a >0，且a ≠1，则a b ＝N 等价于log a N ＝b . 5．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1).一、对数式有意义的条件例1 求下列各式中x 的取值围：(1)log 2(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)；(3)log (x ＋1)(x －1)2.分析 由真数大于零，底数大于零且不等于1可得到关于x 的不等式(组)，解之即可． 解 (1)由题意有x －10>0，∴x >10，即为所求．(2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，x －1>0且x －1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x >1且x ≠2，∴x >1且x ≠2. (3)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2>0，x ＋1>0且x ＋1≠1，解得x >－1且x ≠0，x ≠1.点评 在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.变式迁移1 在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2<a <5 C ．2<a <3或3<a <5 D ．3<a <4 答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0a －2>0a －2≠1，∴2<a <5且a ≠3.二、对数式与指数式的互化例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：(1)54＝625； (2)log 128＝－3；(3)⎝⎛⎭⎫14－2＝16; (4)log 101 000＝3. 分析 利用a x ＝N ⇔x ＝log a N 进行互化． 解 (1)∵54＝625，∴log 5625＝4.(2)∵log 128＝－3，∴⎝⎛⎭⎫12－3＝8. (3)∵⎝⎛⎭⎫14－2＝16，∴log 1416＝－2. (4)∵log 101 000＝3，∴103＝1 000.点评 指数和对数运算是一对互逆运算，在解题过程中，互相转化是解决相关问题的重要途径．在利用a x ＝N ⇔x ＝log a N 进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．变式迁移2 将下列对数式化为指数式求x 值：(1)log x 27＝32； (2)log 2x ＝－23；(3)log 5(log 2x )＝0; (4)x ＝log 2719；(5)x ＝log 1216.解 (1)由log x 27＝32，得x 32＝27，∴x ＝2723＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，得2－23＝x ，∴x ＝1322＝322.(3)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1，∴x ＝21＝2.(4)由x ＝log 2719，得27x ＝19，即33x ＝3－2，∴x ＝－23.(5)由x ＝log 1216，得⎝⎛⎭⎫12x ＝16，即2－x ＝24， ∴x ＝－4.三、对数恒等式的应用例3 (1)a log a b ·log b c ·log c N 的值(a ，b ，c ∈R ＋，且不等于1，N >0)；(2)412(log 29－log 25)．解 (1)原式＝(a log a b )log b c ·log c N ＝b log b c ·log c N ＝(b log b c )log c N＝c log c N ＝N .(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝95.点评 对数恒等式a log a N ＝N 中要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为真数．变式迁移3 计算：3log 35＋(3)log 315.解 原式＝5＋312log 315＝5＋(3log 315)12＝5＋15＝655.1．一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．利用a b ＝N ⇔b ＝log a N (其中a >0，a ≠1，N >0)可以进行指数与对数式的互化． 3．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1)．一、选择题1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg1＝0B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 312＝9与912＝3D ．log 55＝1与51＝5 答案 C2．指数式b 6＝a (b >0，b ≠1)所对应的对数式是( )A ．log 6a ＝aB ．log 6b ＝aC ．log a b ＝6D ．log b a ＝6 答案 D3．若log x (5－2)＝－1，则x 的值为( ) A.5－2 B.5＋2C.5－2或5＋2 D ．2－ 5 答案 B4．如果f (10x )＝x ，则f (3)等于( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103 D ．310 答案 B解析 方法一 令10x ＝t ，则x ＝lg t ， ∴f (t )＝lg t ，f (3)＝lg3.方法二 令10x ＝3，则x ＝lg3，∴f (3)＝lg3.5．21＋12·log 25的值等于( )A ．2＋ 5B ．2 5C ．2＋52D ．1＋52答案 B解析 21＋12log 25＝2×212log 25＝2×2log 2512＝2×512＝2 5.二、填空题6．若5lg x ＝25，则x 的值为________． 答案 100解析 ∵5lg x ＝52，∴lg x ＝2，∴x ＝102＝100.7．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n 的值为________． 答案 12解析 ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.8．已知lg6≈0.778 2，则102.778 2≈________. 答案 600解析 102.778 2≈102×10lg6＝600. 三、解答题9．求下列各式中x 的值(1)若log 3⎝⎛⎭⎫1－2x 9＝1，则求x 值；(2)若log 2 003(x 2－1)＝0，则求x 值． 解 (1)∵log 3⎝⎛⎭⎪⎫1－2x 9＝1，∴1－2x 9＝3 ∴1－2x ＝27，即x ＝－13 (2)∵log 2 003(x 2－1)＝0 ∴x 2－1＝1，即x 2＝2 ∴x ＝±210．求x 的值：(1)x ＝log224；(2)x ＝log 93；(3)x ＝71－log 75； (4)log x 8＝－3；(5)log 12x ＝4.解 (1)由已知得：⎝⎛⎭⎫22x ＝4，∴2－12x ＝22，－x2＝2，x ＝－4.(2)由已知得：9x ＝3，即32x ＝312.∴2x ＝12，x ＝14.(3)x ＝7÷7log 75＝7÷5＝75.(4)由已知得：x －3＝8， 即⎝⎛⎭⎫1x 3＝23，1x ＝2，x ＝12. (5)由已知得：x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116.2.2.1 对数与对数运算(二)学习目标1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．自学导引1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么， (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．2．对数换底公式：log a b ＝log c blog c a.一、正确理解对数运算性质例1 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( ) ①log a x · log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案 A解析 对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的． 点评 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件． 变式迁移1 若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x答案 A二、对数运算性质的应用例2 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1； (3)lg 27＋lg8－lg 1 000lg1.2；(4)(lg5)2＋lg2·lg50. 分析 利用对数运算性质计算．解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55 ＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2＝lg 2(lg2＋lg5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.(3)原式＝32lg3＋3lg2－32lg3＋2lg2－1＝3lg3＋6lg2－32(lg3＋2lg2－1)＝32.(4)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝1.点评 要灵活运用有关公式．注意公式的正用、逆用及变形使用． 变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64. 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7)＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝[log 262＋log 62·log 6(3×6)]÷log 622 ＝log 62(log 62＋log 63＋1)÷(2log 62)＝1.三、换底公式的应用例3 (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值；(2)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645. 解 (1)由已知分别求出x 和y . ∵3x ＝36,4y ＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得： x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364，∴1x ＝log 363，1y ＝log 364， ∴2x ＋1y ＝2log 363＋log 364 ＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.(2)∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a .点评 指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但式子两端取倒数后，利用对数的换底公式可将差异消除．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 1227＝a ，求log 616的值．解 (1)利用换底公式，得lg4lg3·lg8lg4·lg mlg8＝2，∴lg m ＝2lg3，于是m ＝9.(2)由log 1227＝a ，得3lg32lg2＋lg3＝a ，∴lg3＝2a lg23－a ，∴lg3lg2＝2a3－a .∴log 616＝4lg2lg3＋lg2＝42a 3－a ＋1＝4(3－a )3＋a.1．对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题． 3．对于多重对数符号对数的化简，应从向外逐层化简求值．一、选择题1．lg8＋3lg5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 D解析 lg8＋3lg5＝lg8＋lg53＝lg1 000＝3. 2．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36等于( ) A.a ＋b a B.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b 答案 B解析 log 36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a ＋bb.3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg ab 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 A解析 由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝⎛⎭⎫lg ab 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.4．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 答案 A解析 由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000， 则1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝13.5．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 005)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．2log a 8 答案 C解析 因为f (x )＝log a x ，f (x 1x 2…x 2 005)＝8，所以f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 005＝2log a |x 1|＋2log a |x 2|＋…＋2log a |x 2 005| ＝2log a |x 1x 2…x 2 005|＝2f (x 1x 2…x 2 005)＝2×8＝16. 二、填空题6．设lg2＝a ，lg3＝b ，那么lg 1.8＝__________.答案 a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg1.8＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg2＋lg9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为____． 答案 1解析 log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c∵log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6∴log x a ＝12，log x b ＝13，log x c ＝16，∴log abc x ＝112＋13＋16＝11＝1.8．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝________. 答案 2解析 由log 63＋log 6x ＝0.613 1＋0.386 9＝1. 得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2. 三、解答题9．求下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.解 (1)方法一 原式＝12(5lg2－2lg7)－43·32lg2＋12(2lg7＋lg5) ＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5) ＝12lg10＝12. 方法二 原式＝lg 427－lg4＋lg7 5＝lg42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12.(2)方法一 原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg10·lg 52＋lg4＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4＝lg10＝1. 方法二 原式＝(lg10－lg2)2＋2lg2－lg 22 ＝1－2lg2＋lg 22＋2lg2－lg 22＝1.10．若26a ＝33b ＝62c ，求证：1a ＋2b ＝3c .证明 设26a ＝33b ＝62c ＝k (k >0)，那么 ⎩⎪⎨⎪⎧6a ＝log 2k ，3b ＝log 3k ，2c ＝log 6k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝6log 2k＝6log k 2，1b ＝3log 3k ＝3log k3，1c ＝2log 6k ＝2log k6.∴1a ＋2b＝6·log k 2＋2×3log k 3 ＝log k (26×36)＝6log k 6＝3×2log k 6＝3c，即1a ＋2b ＝3c. 2．2.2 对数函数及其性质1．对数函数的概念形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的函数叫做对数函数． 对于对数函数定义的理解，要注意：(1)对数函数是由指数函数变化而来的，由指数式与对数式关系知，对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)；(2)对数函数的解析式y＝log a x中，log a x前面的系数为1，自变量在真数的位置，底数a 必须满足a>0，且a≠1；(3)以10为底的对数函数为y＝lg x，以e为底的对数函数为y＝ln x.实际上，观察对数函数的图象不难发现，对数函数中的值y ＝log m n 有以下规律：(1)当(m －1)(n －1)>0，即m 、n 围相同(相对于“1”而言)，则log m n >0；(2)当(m －1)(n －1)<0，即m 、n 围相反(相对于“1”而言)，则log m n <0.有了这个规律，我们再判断对数值的正负就很简单了，如log 213<0，log 52>0等，一眼就看出来了！题型一 求函数定义域求下列函数的定义域：(1)y ＝log 3x －12x ＋3x －1；(2)y ＝11－log a (x ＋a ) (a >0，a ≠1)．分析 定义域即使函数解析式有意义的x 的围． 解 (1)要使函数有意义，必须{2x ＋3>0，x －1>0，3x －1>0，3x －1≠1同时成立，解得⎩⎨⎧x >－32，x >1，x >13，x ≠23. ∴x >1. ∴定义域为(1，＋∞)．(2)要使原函数有意义，需1－log a (x ＋a )>0， 即log a (x ＋a )<1＝log a a .当a >1时，0<x ＋a <a ，∴－a <x <0. 当0<a <1时，x ＋a >a ，∴x >0.∴当a >1时，原函数定义域为{x |－a <x <0}； 当0<a <1时，原函数定义域为{x |x >0}．点评 求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑：真数大于零，底数大于零且不等于1，若分母中含有x ，还要考虑不能使分母为零．题型二 对数单调性的应用(1)log 43，log 34，log 4334的大小顺序为( )A ．log 34<log 43<log 4334B ．log 34>log 43>log 4334C ．log 34>log 4334>log 43D ．log 4334>log 34>log 43(2)若a 2>b >a >1，试比较log a a b ，log b ba ，logb a ，log a b 的大小．(1)解析 ∵log 34>1,0<log 43<1，log 4334＝log 43⎝⎛⎭⎫43－1＝－1， ∴log 34>log 43>log 4334.答案 B(2)解 ∵b >a >1，∴0<ab<1.∴log a a b <0，log b ba ∈(0,1)，logb a ∈(0,1)．又a >b a >1，且b >1，∴log b ba<log b a ，故有log a a b <log b ba<log b a <log a b .点评 比较对数的大小，一般遵循以下几条原则：①如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性(底数a >1为增；0<a <1为减)比较． ②如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较．③如果两对数的底数不同而真数相同，如y ＝log a 1x 与y ＝log a 2x 的比较(a 1>0，a 1≠1，a 2>0，a 2≠1)．当a 1>a 2>1时，曲线y 1比y 2的图象(在第一象限)上升得慢．即当x >1时，y 1<y 2；当0<x <1时，y 1>y 2.而在第一象限，图象越靠近x 轴对数函数的底数越大．当0<a 2<a 1<1时，曲线y 1比y 2的图象(在第四象限)下降得快．即当x >1时，y 1<y 2；当0<x <1时，y 1>y 2即在第四象限，图象越靠近x 轴的对数函数的底数越小． 已知log a 12<1，那么a 的取值围是________．分析 利用函数单调性或利用数形结合求解．解析 由log a 12<1＝log a a ，得当a >1时，显然符合上述不等式，∴a >1；当0<a <1时，a <12，∴0<a <12. 故a >1或0<a <12.答案 a >1或0<a <12点评 解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答．理解会用以下几个结论很有必要：(1)当a >1时，log a x >0⇔x >1，log a x <0⇔0<x <1；(2)当0<a <1时，log a x >0⇔0<x <1，log a x <0⇔x >1.题型三 函数图象的应用若不等式2x －log a x <0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，数a 的取值围． 解要使不等式2x<logax 在x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0时恒成立，即函数y=logax 的图象在⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0恒在函数y=2x 图象的上方，而y=2x 图象过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21.由图可知，loga 21>2，显然这里0<a<1，∴函数y=logax 递减． 又loga21>2=log 2a a ，∴a2>21，即a>2221⎪⎭⎫ ⎝⎛.∴所求的a 的取值围为2221⎪⎭⎫⎝⎛<a<1.点评 原问题等价于当x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0时，y1=2x 的图象在y2=logax 的图象的下方，由于a 的大小不确定，当a>1时，显然y2<y1，因此a 必为小于1的正数，当y2的图象通过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21时，y2满足条件，此时a 0=2221⎪⎭⎫⎝⎛.那么a 是大于a 0还是小于a 0才满足呢？可以画图象观察，请试着画一画．这样可以对数形结合的方法有更好地掌握．设函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)，若f(x)的值域是R，数a的取值围．错解∵f(x)的值域是R，∴ax2＋2x＋1>0对x∈R恒成立，即{a>0Δ<0⇔{a>04－4a<0⇔a>1.错因分析出错的原因是分不清定义域为R与值域为R的区别．正解函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)的值域是R⇔真数t＝ax2＋2x＋1能取到所有的正数．当a＝0时，只要x>－12，即可使真数t取到所有的正数，符合要求；当a≠0时，必须有{a>0Δ≥0⇔{a>04－4a≥0⇔0<a≤1.∴f(x)的值域为R时，实数a的取值围为[0,1]．本节容在高考中考查的形式、地位与指数函数相似，着重考查对数的概念与对数函数的单调性，考查指数、对数函数的图象、性质及其应用．1．(高考)已知函数f(x)＝11－x的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于()A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅解析 由题意知M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}． 故M ∩N ＝{x |－1<x <1}． 答案 C2．(高考)下列不等式成立的是( ) A ．log 32<log 23<log 25 B ．log 32<log 25<log 23 C ．log 23<log 32<log 25 D ．log 23<log 25<log 32解析 ∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 25>log 23>log 22＝1.又y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数，∴log 32<log 33＝1.∴log 32<log 23<log 25. 答案 A3．(全国高考)若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a解析 ∵1e <x <1，∴－1<ln x <0.令t ＝ln x ，则－1<t <0. ∴a －b ＝t －2t ＝－t >0.∴a >b . c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)， 又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1，∴c －a >0，∴c >a . ∴c >a >b . 答案 C1．已知函数f (x )＝1＋2x 的定义域为集合M ，g (x )＝ln(1－x )的定义域为集合N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <1 D ．∅答案 C2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f (a )＝12，则f (－a )等于( )A.12 B ．－12 C ．－2 D ．2 答案 B解析 f (－a )＝lg 1＋a1－a ＝－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 1－a －1＝－lg 1－a 1＋a＝－f (a )＝－12.3．已知a ＝log 23，b ＝log 32，c ＝log 42，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b 答案 A解析 因为a ＝log 23>1，b ＝log 3 2<1，所以a >b ；又因为2>3，则log 32>log 33＝12，而log 42＝log 22＝12，所以b >12，c ＝12，即b >c .从而a >b >c .4．函数f (x )＝lg|x |为( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数C ．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数D ．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数 答案 D解析 已知函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )，所以它是偶函数．又当x >0时，|x |＝x ，即函数y ＝lg|x |在区间(0，＋∞)上是增函数．又f (x )为偶函数，所以f (x )＝lg|x |在区间(－∞，0)上是减函数．5．函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a >0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象只可能为( )答案 A解析 方法一 若0<a <1，则曲线y ＝a x 下降且过(0,1)，而曲线y ＝－log a x 上升且过(1,0)；若a >1，则曲线y ＝a x 上升且过(0,1)，而曲线y ＝－log a x 下降且过(1,0)．只有选项A 满足条件．方法二 注意到y ＝－log a x 的图象关于x 轴对称的图象的表达式为y ＝log a x ，又y ＝log a x 与y ＝a x 互为反函数(图象关于直线y ＝x 对称)，则可直接选定选项A.6．设函数f (x )＝log 2a (x ＋1)，若对于区间(－1,0)的每一个x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值围为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫12，1 D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 D 解析 已知－1<x <0，则0<x ＋1<1，又当－1<x <0时，都有f (x )>0，即0<x ＋1<1时都有f (x )>0，所以0<2a <1，即0<a <12.7．若指数函数f (x )＝a x (x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式log a (x －1)<0答案 {x |1<x <2}解析 由题可知a ＝1.2，∴log 1.2(x －1)<0， ∴log 1.2(x －1)<log 1.21，解得x <2， 又∵x －1>0，即x >1，∴1<x <2. 故原不等式的解集为{x |1<x <2}．8．函数y ＝log a x (1≤x ≤2)的值域为[－1,0]，那么a 的值为________．答案 12解析 若a >1，则函数y ＝log a x 在区间[1,2]上为增函数，其值域不可能为[－1,0]； 故0<a <1，此时当x ＝2时，y 取最小值－1，即log a 2＝－1，得a －1＝2，所以a ＝12.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1log a x ，x ≥1是实数集R 上的减函数，那么实数a 的取值围为__________．答案 ⎣⎡⎭⎫17，13解析 函数f (x )为实数集R 上的减函数，一方面，0<a <1且3a －1<0，所以0<a <13，另一方面，由于f (x )在R 上为减函数， 因此应有(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，即a ≥17.因此满足题意的实数a 的取值围为17≤a <13.10．已知f (x )＝1＋log 2x (1≤x ≤4)，求函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)的最大值和最小值． 解 ∵f (x )的定义域为[1,4]， ∴g (x )的定义域为[1,2]．∵g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)＝(1＋log 2x )2＋(1＋log 2x 2) ＝(log 2x ＋2)2－2， 又1≤x ≤2，∴0≤log 2x ≤1. ∴当x ＝1时，g (x )min ＝2；当x ＝2时，g (x )max =7.学习目标1．掌握对数函数的概念、图象和性质．2．能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．自学导引1．对数函数的定义：一般地，我们把函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和指数函数y ＝a x _(a >0且a ≠1)互为反函数．一、对数函数的图象例1 下图是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，43，35，110，则图象C 1，C 2，C 3，C 4相应的a 值依次是( )A.101,53,34,3B ．53,101,34,3C ．101,53,3,34 D ．53,101,3,34 答案 A解析 方法一 因为对数的底数越大，函数的图象越远离y 轴的正方向，所以C1，C2，C3，C4的a 值依次由大到小，即C1，C2，C3，C4的a 值依次为101,53,34,3. 方法二 过(0,1)作平行于x 轴的直线，与C1，C2，C3，C4的交点的横坐标为(a1,1)，(a2,1)，(a3,1)，(a4,1)，其中a1，a2，a3，a4分别为各对数的底，显然a1>a2>a3>a4，所以C1，C2，C3，C4的底值依次由大到小．点评 函数y=logax (a>0，且a ≠1)的底数a 的变化对图象位置的影响如下：①上下比较：在直线x=1的右侧，底数大于1时，底数越大，图象越靠近x 轴；底数大于0且小于1时，底数越小，图象越靠近x 轴．②左右比较：(比较图象与y=1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大． 变式迁移1 借助图象比较m ，n 的大小关系：(1)若logm5>logn5，则m n ；(2)若logm0.5>logn0.5，则m n.答案 (1)< (2)>二、求函数的定义域例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 0.5(4x －3)；(3)y ＝log (x ＋1)(2－x )．分析 定义域即使函数解析式有意义的x 的围．解 (1)∵该函数是奇次根式，要使函数有意义，只要对数的真数是正数即可， ∴定义域是{x |x >0}．(2)要使函数y ＝log 0.5(4x －3)有意义，必须log 0.5(4x －3)≥0＝log 0.51，∴0<4x －3≤1.解得34<x ≤1. ∴定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |34<x ≤1. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0x ＋1≠12－x >0，得⎩⎨⎧ x >－1x ≠0，x <2即0<x <2或－1<x <0，所求定义域为(－1,0)∪(0,2)．点评 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式．变式迁移2 求y ＝log a (4x －3)(a >0，a ≠1)的定义域．解 log a (4x －3)≥0.(*)当a >1时，(*)可化为log a (4x －3)≥log a 1，∴4x －3≥1，x ≥1.当0<a <1时，(*)可化为log a (4x －3)≥log a 1，∴0<4x －3≤1，34<x ≤1. 综上所述，当a >1时，函数定义域为[1，＋∞)，当0<a <1时，函数定义域为⎝⎛⎦⎤34，1.三、对数函数单调性的应用例3 比较大小：(1)log 0.81.5与log 0.82；(2)log 35与log 64.分析 从比较底数、真数是否相同入手．解 (1)考查对数函数y ＝log 0.8x 在(0，＋∞)是减函数，∵1.5<2，∴log 0.81.5>log 0.82.(2)log 35和log 64的底数和真数都不相同，找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性，即可求解．∵log 35>log 33＝1＝log 66>log 64，∴log 35>log 64.点评 比较两个对数值的大小，常用方法有：①底数相同真数不同时，用函数的单调性来比较；②底数不同而真数相同时，常借助图象比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；③底数与真数都不同，需寻求中间值比较．变式迁移3 比较下列各组中两个值的大小：(1)log 0.52.7，log 0.52.8； (2)log 34，log 65；(3)log a π，log a e (a >0且a ≠1)．解 (1)∵0<0.5<1，∴对数函数y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上是减函数．又∵2.7<2.8，∴log 0.52.7>log 0.52.8.(2)∵y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 34>log 33＝1.∵y ＝log 6x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 65<log 66＝1.∴log 34>log 65.(3)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数．∵π>e ，∴log a π>log a e.当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数．∵π>e ，∴log a π<log a e.综上可知，当a >1时，log a π>log a e ；当0<a <1时，log a π<log a e.例4 若－1<log a 34<1，求a 的取值围． 分析 此不等式为对数不等式且底数为参数．解答本题可根据对数函数的单调性转化为一般不等式求解，同时应注意分类讨论．解 －1<log a 34<1⇔log a 1a <log a 34<log a a . 当a >1时，1a <34<a ，∴a >43. 当0<a <1时，1a >34>a ，∴0<a <34. ∴a 的取值围是⎝⎛⎭⎫0，34∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞. 点评 (1)解对数不等式问题通常转化为不等式组求解，其依据是对数函数的单调性．(2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则．(3)若含有字母，应考虑分类讨论．变式迁移4 已知log a (2a ＋1)<log a 3a <0，求a 的取值围．解 log a (2a ＋1)<log a 3a <0(*)当a >1时，(*)可化为⎩⎨⎧ 0<2a ＋1<10<3a <12a ＋1<3a， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ －12<a <00<a <13a >1，∴此时a 无解．当0<a <1时，(*)可化为⎩⎨⎧ 2a ＋1>13a >12a ＋1>3a ，解得⎩⎨⎧ a >0a >13a <1，∴13<a <1. 综上所述，a 的取值围为⎝⎛⎭⎫13，1.1．求对数函数定义域要注意底数中是否含有自变量，此时底数大于0且不等于1.2．应用对数函数的图象和性质时要注意a >1还是0<a <1。
数学计算对数函数
数学计算对数函数一、引言数学计算是数学学科的基础内容之一，而对数函数则是数学计算中常见的一种函数形式。
对数函数在数学及实际应用中有着重要的作用，能够帮助我们简化复杂的计算问题。
本文将介绍对数函数及其计算方法，以及对数函数在实际问题中的应用。
二、对数函数的概念对数函数是指以一个正数作为底数的指数函数。
通常用log来表示对数函数，其中底数为常数，指数为自变量。
1. 对数函数的定义对数函数logₐ(x)的定义如下：当且仅当a^y = x时，称y为以a为底数的x的对数，记作logₐ(x) = y。
2. 对数函数的性质对数函数具有以下性质：- logₐ(1) = 0，即对数函数以其底数作为底的1的对数为0；- logₐ(a) = 1，即对数函数以其底数作为底的底数本身的对数为1；- logₐ(a^m) = m，即对数函数以其底数作为底的底数的m次方的对数为m。
三、对数函数的计算方法对数函数在数学计算中常用的计算方法如下：1. 对数函数的换底公式当需要将对数函数的底数换为其他常用底数时，可以使用换底公式：logₐ(x) = logᵦ(x) / logᵦ(a)。
其中a为对数函数原本的底数，ᵦ为目标底数。
2. 对数函数的乘法和除法性质对数函数满足以下性质：- logₐ(x · y) = logₐ(x) + logₐ(y)，即对数函数的底数为底的两个数的乘积的对数等于这两个数的对数之和；- logₐ(x / y) = logₐ(x) - logₐ(y)，即对数函数的底数为底的两个数的商的对数等于这两个数的对数之差。
3. 对数函数的幂函数性质对数函数满足以下性质：- logₐ(x^m) = m · logₐ(x)，即对数函数的底数为底的一个数的指数为m的幂的对数等于该数的对数乘以m。
四、对数函数的应用对数函数在各个领域都有广泛的应用。
以下是对数函数在实际问题中的应用案例：1. 金融领域对数函数可用于计算复利的增长，帮助分析投资的回报率。
对数函数的性质与计算方法
对数函数的性质与计算方法随着科技的进步和计算机的普及，数学在各个领域的应用也变得越来越广泛。
对数函数作为数学中的一种重要函数，在实际问题的建模和解决过程中起到了关键的作用。
本文将讨论对数函数的性质以及计算方法，旨在帮助读者更好地理解和应用对数函数。
一、对数函数的定义与基本性质对数函数是指满足以下条件的函数：对于任意的正数a和大于1的实数x，存在唯一的实数y，使得a的y次方等于x，即y = logₐ(x)。
其中，a被称为对数函数的底数。
对数函数的基本性质如下：1. 对数函数的定义域为正实数集（x > 0），值域为实数集。
2. 当底数a>1时，对数函数是递增的；当0<a<1时，对数函数是递减的。
3. 对数函数存在反函数，即幂函数。
即logₐ(x)的反函数为a的x次方函数。
4. 特殊情况下，底数为e（自然对数）时的对数函数称为自然对数函数，记作ln(x)。
二、对数函数的计算方法对数函数的计算方法主要包括对数的换底公式、对数的运算法则以及特殊常用对数的计算。
1. 换底公式对于任意底数a、b和正实数x，换底公式表达为：logₐ(x) = log_b(x) / log_b(a)利用换底公式，可以将对数函数的底数转化为常见的底数，从而简化计算过程。
2. 对数的运算法则（1）对数的乘法法则：logₐ(x·y) = logₐ(x) + logₐ(y)（2）对数的除法法则：logₐ(x/y) = logₐ(x) - logₐ(y)（3）对数的幂法法则：logₐ(x^m) = m·logₐ(x)（4）对数的换底法则（已在前文提及）通过运用对数的运算法则，可以对对数函数进行合并、拆分和化简，使得计算更加灵活和高效。
3. 特殊常用对数的计算（1）10为底的常用对数：log₁₀(x)常用记作log(x)，表示10的几次方等于x。
在计算过程中，可以直接利用计算器或者查表得到对应的数值。
对数函数的基本性质与公式
对数函数的基本性质与公式对数函数是数学中一种重要的函数形式，其基本性质和公式在解决各种问题中具有广泛应用。
本文将介绍对数函数的基本性质和常见的公式，帮助读者更好地理解和应用对数函数。
一、对数函数的定义和性质对数函数的定义如下：对于任意给定的正实数a（a>0且a≠1）和正实数x（x>0），以a为底的对数函数y=loga(x)表示满足a^y=x的实数y。
其中，a称为底数，x称为真数，y为对数。
对数函数具有以下基本性质：1. 对于任意正实数a和b，以a为底的对数函数和以b为底的对数函数是等价的，即loga(x)=ln(x)/ln(a)（其中ln(x)表示以自然数e为底的对数函数）。
2. 对于任意正实数a，a^loga(x)=x。
3. 对于任意正实数a和b，loga(b)×logb(a)=1。
4. 对于任意正实数a、b和c，loga(b×c)=loga(b)+loga(c)。
二、常见对数函数公式1. 换底公式：loga(b)=logc(b)/logc(a)，其中a、b、c为任意正实数。
2. 对数乘方公式：a^loga(x)=x，其中a为正实数，x为正实数且x≠0。
3. 对数运算公式：loga(b×c)=loga(b)+loga(c)，其中a为正实数，b、c为正实数且b≠0，c≠0。
4. 对数倒数公式：loga(1/b)=-loga(b)，其中a为正实数，b为正实数且b≠0。
5. 对数除法公式：loga(b/c)=loga(b)-loga(c)，其中a为正实数，b、c 为正实数且b≠0，c≠0。
6. 对数幂公式：loga(b^n)=n×loga(b)，其中a为正实数，b为正实数且b≠0，n为任意实数。
三、对数函数在实际问题中的应用对数函数的公式和性质在各个领域中有着广泛的应用。
以下是一些实际应用的例子：1. 在金融领域，对数函数的性质被用于计算复利问题，如投资收益率和贷款利率的计算。
对数与对数运算
汇报人：日期:对数与对数运算常用对数任意底数的对数值域定义域加减法换底公式乘除法对数和指数互为逆运算。
例如，如果x^n=b，那么log(x)(b)=n；如果log(x)(b)=n，那么x^n=b。
对数的定义可以看作是“以任意底a把某个数x升幂到x^1=x”。
例如，log(2)(8)=3，因为2^3=8。
同样地，指数函数可以看作是“以任意底a把某个数x降幂到1”。
例如，2^3=8，因为2^3=8。
对数与指数的关系03幂法则01乘法法则02除法法则对数运算法则对数运算的简化无穷大的对数负数的对数整数的指数幂-log(x)。
对于整数n，log(a^n) = n *log(a)。
在科学计算中的应用在金融领域中的应用在信息科学中的应用对数运算的实际应用ln(xy)=lnx+lny ln(x^n)=nlnx01定义：常用对数是以10为底数的对数，记作lg x。
02性质：常用对数函数在定义域内是单调递增函数，其性质包括03当x>0时，log(x^n)=nlogx04log(xy)=logx+logy 05log(x/y)=logx-logy06log(x^n)=nlogx对数的换底公式对数函数的定义与性质定义对数函数是指数函数与自然对数的复合函数，即$log_{a}x$，其中$a$为底数，$x$为真数。
性质对数函数具有非负性、单调性、奇偶性等性质。
当$a>1$时，对数函数为增函数；当$0<a<1$时，对数函数为减函数。
利用计算机软件如GeoGebra、Desmos等可以方便地绘制对数函数的图像。
绘制方法图像求解方程01数据分析02信号处理03换底公式对于不同底的对数，可以通过换底公式“log(a, b) = log(c, a) / log(c, b)”进行转换。
求解方法利用对数的性质，例如log(a, b) = 1/log(b, a)，可以对方程进行变形，从而求得未知数的值。
定义域分析先需要分析其定义域，即a和b的取值范围是否满足对数函数的定义。
对数的运算法则及公式是什么
对数的运算法则及公式是什么2篇对数的运算法则及公式是什么？对数是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域的计算和分析中。
对数的运算法则和公式是数学中对数运算的基本规律，熟练掌握这些法则和公式对于理解和应用对数是非常重要的。
下面我们将详细介绍各个方面的对数运算法则及公式。
1. 对数的定义和性质在数学中，对数通常用log表示，其中log为底数为10的对数函数。
对于给定的正实数x，log(x)表示使10的几次幂等于x，即10^log(x) = x。
例如，log(100) = 2，因为10^2 = 100。
对数的一些重要性质包括：- log(1) = 0：因为任何数的0次幂都等于1，所以log(1) = 0。
- log(x^a) = a * log(x)：幂函数的对数等于幂次乘以底数的对数。
- log(a * b) = log(a) + log(b)：乘法的对数等于各个因子的对数之和。
- log(a / b) = log(a) - log(b)：除法的对数等于被除数的对数减去除数的对数。
- log(x^y) = y * log(x)：指数函数的对数等于指数乘以底数的对数。
2. 对数的换底公式换底公式是对数运算中常用的公式，它将对数的底数从一个确定的值换到另一个不确定的值。
换底公式的表达式为：log_b(x) = log_a(x) / log_a(b)其中，log_b(x)表示以底数为b的对数，log_a(x)表示以底数为a的对数，log_a(b)表示以底数为a的b的对数。
换底公式的应用主要用于求解无法直接计算的对数。
例如，当我们需要计算以2为底的对数时，可以利用换底公式将其转化为以10为底或以e为底的对数。
3. 对数的乘除幂法则对数的乘法法则表示，在对数运算中，两个数相乘后的对数等于各自的对数相加。
具体表达式为：log(x * y) = log(x) + log(y)对数的除法法则表示，在对数运算中，两个数相除后的对数等于被除数的对数减去除数的对数。
高考对数函数知识点
高考对数函数知识点一、引言高考是对学生多年来知识积累和学习成果的一次综合考验，其中数学是高考必考科目之一。
在数学中，对数函数是一个重要的知识点。
本文将从对数函数的定义、性质以及常见的应用等方面，深入探讨高考中的对数函数知识点。
二、基本概念1. 对数函数的定义对数函数是指一个以底数为a的指数函数。
由以下公式可表示：y = loga(x)，其中a称为底数，x称为真数，y称为对数。
2. 对数函数的性质（1）基本性质：loga1 = 0；logaa = 1（2）换底公式：loga(x) = logb(x) / logb(a)（3）对数的运算法则：loga(xy) = logax + logay三、常见公式与应用1. 指数与对数的关系指数和对数是互为逆运算的关系。
例如，对数函数和指数函数的关系表达为：a^loga(x) = x，loga(a^x) = x。
这个关系在高考中常用于简化计算。
2. 对数函数的图像与性质（1）底数大于1时，对数函数呈现递增趋势；底数小于1时，对数函数呈现递减趋势。
（2）对数函数必须有定义，即真数必须大于0。
（3）对数函数的图像始终通过点（1,0），并且当x趋近于正无穷时，对数函数的值也趋近于正无穷。
（4）对数函数的图像在x轴左侧与y轴始终相切于第四象限，并且在x=0处有一个垂直渐近线。
3. 对数方程与不等式（1）对数方程是指含有对数的方程。
解对数方程的关键是转化为指数方程或利用对数的性质简化方程。
（2）对数不等式是指含有对数的不等式。
解对数不等式的关键是利用对数函数的单调性进行推导。
四、典型题目解析高考中常出现关于对数函数的典型题目，如以下题目可进行解析：题目1：若2^x + 2^(x+1) = 12，则x = ?解析：将2^(x+1)表示为2*2^x，然后将方程化简为2^x(1+2) = 12，即3*2^x = 12。
进一步得到2^x = 4，从而 x = 2。
题目2：已知对数函数y = log2x，则当y=3时，x=？解析：将y = 3代入对数函数中，得到3 = log2x。
对数运算法则及推论
对数运算法则及推论1.对数函数定义：对于正实数a>0，且a≠1，以b为底的对数函数Lg(x)定义为：Lg(a)=c，当且仅当b^c=a。
这里，b称为对数的底，x称为真数，c称为对数。
2.对数函数的基本性质：a)Lg(1)=0：以任何正数为底的对数函数，对数1等于0。
b)Lg(a)=1，当且仅当a=b：对数等于1，当且仅当真数等于底。
c)Lg(a*b)=Lg(a)+Lg(b)：对数函数的乘法法则，两个数的乘法的对数等于对应的对数相加。
d)Lg(a/b)=Lg(a)-Lg(b)：对数函数的除法法则，两个数的除法的对数等于对应的对数相减。
e)Lg(a^n)=n*Lg(a)：对数函数的幂法则，一个数的n次幂的对数等于对应的对数乘以n。
3.推论1：对数的负值和倒数a)Lg(1/a)=-Lg(a)：一个数的倒数的对数等于对应的对数相反数。
b)Lg(a^(-n))=-n*Lg(a)：一个数的负指数的对数等于对应的对数相反数乘以n。
4.推论2：对数函数的换底公式对数函数的换底公式允许我们在计算时将底数换成其他值，比如以10为底换成以e为底。
Lg(x)=Ln(x)/Ln(b)：以b为底的对数等于以e为底的对数除以以b为底的对数。
5.推论3：对数函数的对数积性Lg(a*b)=Lg(a)+Lg(b)：对数函数的乘法法则反过来，两个数的乘法等于对应的对数相加。
Lg(a^n)=n*Lg(a)：对数函数的幂法则反过来，一个数的n次幂等于对应的对数乘以n。
6.推论4：对数函数的对数分解Lg(ab) = Lg(a) + Lg(b)：对数函数的乘法法则反过来，两个数的乘法等于对应的对数相加。
Lg(a/b)=Lg(a)-Lg(b)：对数函数的除法法则反过来，两个数的除法等于对应的对数相减。
7.推论5：对数函数的对数幂Lg(a^n)=n*Lg(a)：对数函数的幂法则反过来，一个数的n次幂等于对应的对数乘以n。
8.推论6：对数函数的对数中的对数Lg(Lg(x))=Ln(Ln(x))/Ln(b)：对数函数中的对数等于以e为底的对数除以以b为底的对数。
对数函数的性质及运算
对数函数的性质及运算对数函数是数学中经常使用的一种函数，它在许多领域都有重要的应用。
本文将探讨对数函数的性质及其运算规则。
一、对数函数的定义及性质对数函数的定义：给定一个正数a（a>0且a≠1），那么以a为底的对数函数记作logₐ(x)，定义为满足a的x次方等于b的数x，即aˣ=b，其中b>0。
1. 对数函数的定义域和值域：对数函数的定义域是(0, +∞)，值域是(-∞, +∞)。
当底数a>1时，对数函数是递增的；当0<a<1时，对数函数是递减的。
2. 对数函数的性质：（1）logₐ(a)=1，即对数函数的基本性质。
（2）logₐ(aˣ)=x，即对数函数的反函数性质。
（3）logₐ(a×b)=logₐ(a)+logₐ(b)，即对数函数的乘法公式。
（4）logₐ(a/b)=logₐ(a)-logₐ(b)，即对数函数的除法公式。
（5）logₐ(a^k)=k·logₐ(a)，即对数函数的幂函数公式。
（6）logₐ1=0，即对数函数的特殊性质。
二、对数函数的运算规则1. 对数运算的基本性质：（1）logₐ(m×n)=logₐ(m)+logₐ(n)，即对数乘法法则。
（2）logₐ(m/n)=logₐ(m)-logₐ(n)，即对数除法法则。
（3）logₐ(m^k)=k·logₐ(m)，即对数幂函数法则。
（4）logₐ(a)=1/logₐ(a)，即对数底变换公式。
2. 特殊情况下的对数运算：（1）logₐ(a)=1，其中a是正实数且a>0，即指数和对数的底为同一个数时，结果为1。
（2）logₐ(a)≠0，其中a是正实数且a>0，即指数和对数的底不相等时，结果不为0。
三、对数函数的应用对数函数在科学研究和实际生活中有着广泛的应用，例如：1. 财务与利息计算：对数函数可以用于计算复利、年化利率等问题。
2. 生物学与医学研究：对数函数可以用于研究生物体的生长和代谢等问题。
高一对数函数的知识点
高一对数函数的知识点对数函数是数学中一个重要的函数，它在实际问题的建模和解决中扮演着重要角色。
在高中数学中，对数函数的学习是必不可少的一部分。
下面，我们来详细了解一下高一对数函数的知识点。
一、对数函数的定义和基本性质对数函数是指以某一正数为底的幂函数，其中底数称为对数函数的底数，指数则是对数函数的自变量。
对数函数常用的记法是“log”，例如以底数为a的对数函数可以表示为logₐ(x)。
对数函数的定义域是正实数集，值域是实数集。
对数函数的基本性质包括对数函数的定义和对数函数的特性。
二、对数函数的图像和性质对数函数的图像特点是单调递增且无界，对数函数的图像始终在第一象限和第四象限中。
对数函数的图像可以通过设置底数和自变量的取值范围来进行绘制和观察，从而深入理解对数函数的性质。
对数函数的性质包括单调性、零点和极值等。
三、对数函数的运算法则对数函数的运算法则是在实际计算和解题中经常用到的。
对数函数的运算法则包括对数乘法法则、对数除法法则、对数幂法则和对数换底法则等。
这些运算法则在对数函数的化简、求解和变形过程中起着重要作用。
熟练掌握对数函数的运算法则，可以提高解题效率和准确性。
四、对数函数的应用对数函数在实际问题中的应用非常广泛。
其中，对数函数在生物学、经济学、物理学等领域中的应用较为常见。
例如，对数函数可以用于描述生物种群的增长模型、经济增长的指数模型，以及物体在空气中的速度和时间关系等。
通过学习对数函数的应用，可以了解到数学在解决实际问题中的实用性和重要性。
五、对数函数与指数函数的关系对数函数和指数函数是数学中一对互为逆运算的函数。
对数函数可以用来表示指数运算的逆过程。
通过对数函数与指数函数的关系的学习，可以深入理解指数函数和对数函数的本质和特点。
对数函数与指数函数的关系包括对数函数的定义、对数函数和指数函数的图像关系，以及对数函数和指数函数的运算关系等。
六、对数函数的解析式和解题方法对数函数的解析式是以对数函数的底数和自变量为基础进行表示的。
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对数的计算以及对数函数的基本性质1.对数与对数运算 （1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N=，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式：log 10a =，log 1a a =，log ba ab =． （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10log N； 自然对数：ln N ，即log e N（其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 2.对数函数及其性质 定义：函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象：定义域：(0,)+∞ 值域：R 过定点：图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．1 xy O1xyO奇偶性：非奇非偶 单调性：在(0,)+∞上是增函数1a >；在(0,)+∞上是减函数01a <<； 函数值的变化情况：log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响：在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高． 判断技巧：指数函数令1=x 得到第一象限内底大图上；对数函数令1=y 得到第一象限底大图下。
3.反函数的概念（1）设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（2）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数． 例题与解析：例题1：将下列指数式与对数式进行互化.（1）64)41(=x（2）51521=-（3）327log 31-= （4）664log -=x解析：（1）∵64)41(=x ，∴x =41log 64 （2）∵51521=-，∴2151log 5-=（3）∵327log 31-=，∴27)31(3=- （4）∵log x 64 = –6，∴x －6 = 64.例题2：比较下列各组数的大小：（1）log 0.7 1.3和log 0.71.8； （2）log 35和log 64. （3）(lg n )1.7和(lg n )2 (n ＞1)；解析：（1）对数函数y = log 0.7x 在(0, +∞)内是减函数. 因为1.3＜1.8，所以log 0.71.3＞log 0.71.8.（2）log 35和log 64的底数和真数都不相同，需找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解. 因为log 35＞log 33 = 1 = log 66＞log 64，所以log 35＞log 64.（3）把lg n 看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lg n 讨论. 若1＞ln n ＞0，即1＜n ＜10时，y = (lg n )x 在R 上是减函数，所以(lg n )1.7＞(lg n )2； 若lg n ＞1，即n ＞10时，y = (lg n )2在R 上是增函数，所以(lg n )1.7＜(lg n )2. 若ln n = 1，即n = 10时，(ln n )1.7 = (ln n )2.例题3：（1）证明函数f （x ）=log 2（x 2+1）在（0，+∞）上是增函数； （2）问：函数f （x ）=log 2（x 2+1）在（－∞，0）上是减函数还是增函数？解析：（1）证明：设x 1、x 2∈（0，+∞），且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）=log 2（x 12+1）－log 2（x 22+1）， ∵0＜x 1＜x 2，∴x 12+1＜x 22+1.又∵y =log 2x 在（0，+∞）上是增函数，∴log 2（x 12+1）＜log 2（x 22+1）， 即f （x 1）＜f （x 2）.∴函数f （x ）=log 2（x 2+1）在（0，+∞）上是增函数. （2）是减函数，证明可以仿照上述证明过程. 例题4：已知函数y =log a （1－a x ）（a ＞0，a ≠1）.（1）求函数的定义域与值域； （2）求函数的单调区间； （3）证明函数图象关于y =x 对称. 解析：（1）1－a x ＞0，即a x ＜1，∴a ＞1时，定义域为（－∞，0）；0＜a ＜1时，定义域为（0，+∞）.令t =1－a x ，则0＜t ＜1，而y =log a （1－a x ）=log a t .∴a ＞1时，值域为（－∞，0）；0＜a ＜1时，值域为（0，+∞）. （2）∵a ＞1时，t =1－a x 在（－∞，0）上单调递减，y =log a t 关于t 单调递增，∴y =log a （1－a x ）在（－∞，0）上单调递减.∵0＜a ＜1时，t =1－a x 在（0，+∞）上单调递增，而y =log a t 关于t 单调递减， ∴y =log a （1－a x ）在（0，+∞）上单调递减.（3）∵y =log a （1－a x ），∴a y =1－a x .∴a x =1－a y ，x =log a （1－a y ）.∴反函数为y =log a （1－a x ），即原函数的反函数就是自身.∴函数图象关于y =x 对称. 例题5：函数12log (32)y x =- ）A ．[1,)+∞B ．2(,)3+∞ C ．2[,1]3 D ．2(,1]3解析：11222log (32)0log 1,0321,13x x x -≥=<-≤<≤例题6：已知函数211()log 1xf x x x+=--,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性单调性。
解析：0x ≠且101xx +>-，11x -<<且0x ≠，即定义域为(1,0)(0,1)-； 221111()log log ()11x xf x f x x x x x -+-=-=-+=--+-为奇函数；212()log (1)11f x x x=-+-在(1,0)(0,1)-和上为减函数。
例题7：（1）若函数()12log 22++=x ax y 的定义域为R ，则a 的范围为__________。
（2）若函数()12log 22++=x ax y 的值域为R ，则a 的范围为__________。
解析：（1）2210ax x ++>恒成立，则0440a a >⎧⎨∆=-<⎩，得1a >（2）221ax x ++须取遍所有的正实数，当0a =时，21x +符合条件；当0a ≠时，则0440a a >⎧⎨∆=-≥⎩，得01a <≤，即01a ≤≤例题8：求值：22log 3321272log 2lg(3535)8-⨯+++-=__________。
解析：293(3)lg(3535)18lg1019-⨯-+++-=+= 例题9：函数y ＝log 12(2x 2－3x ＋1)的递减区间为( )A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤－∞，34 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞D.⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析：由2x 2－3x ＋1＞0，得x ＞1或x ＜12，易知u ＝2x 2－3x ＋1⎝⎛⎭⎫x ＞1或x ＜12在(1，＋∞)上是增函数，而y ＝log 12(2x 2－3x ＋1)的底数12＜1，且12＞0，所以该函数的递减区间为(1，＋∞)．答案：A例题10：函数()322log x x f =的图象的大致形状是( )解析：先化简函数解析式，再根据解析式研究函数性质进行判断．由于f (x )＝log 2x＝23log 2|x |，所以函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，且当x >0时，f (x )＝23log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，又函数是偶函数，所以函数图象关于y 轴对称，因此选D. 答案：D 随堂练习：1、设函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝g (x )，若g ⎝⎛⎭⎫1a －1＝14，则a 等于( )A ．－2B ．－12 C.12D ．22、已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a ＞0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( ) A.12 B.14C ．2D ．4 3、已知lg a ＋lg b ＝0(a ＞0，b ＞0且a ≠1，b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图像可能是( )4、设f (x )＝11＋2lg x ＋11＋4lg x ＋11＋8lg x ，则f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝__________.5、设a >0，a ≠1，函数y ＝a 2lg(23)x x -+有最大值，求函数f (x )＝log a (3－2x －x 2)的单调区间．6、函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值．7、若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a ≠1)． （1）求f (log 2x )的最小值及相应的x 值；（2）x 取何值时，f (log 2x )＞f (1)，且log 2f (x )＜f (1)．课后作业： 1、函数y ＝1－lgx ＋2的定义域为( )A ．(0,8]B ．(2,8]C ．(－2,8]D ．[8，＋∞) 2、若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2xB.12x C ．log 12xD ．2x －23、已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b4、已知函数f (x )＝log 12|x －1|，则下列结论正确的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)<f (3)B ．f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (3)C ．f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)D ．f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12 5、定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 28－x ，x ≤0，f x －1－f x －2，x >0，则f (3)的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－36、函数y ＝log 2|x |x的大致图象是( )7、计算下列各式．（1）lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； （2）lg 32－lg 9＋1·lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 0.3·lg 1.2.8、若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)(a >0且a ≠1)，满足对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 1)－f (x 2)>0，求实数a 的取值范围．。