排队论模型求解就医排队问题
排队问题-数学建模
第九届“新秀杯”校园数学建模竞赛摘要医院有一位医生值班，经长期观察，每小时平均有4个病人，医生每小时可诊断5人，病人的到来服从Poisson流，诊断时间服从负指数分布。
根据题目所给信息，可以很明显看出本题是单服务台的排队模型，因此需要用到排队理论来求解这些问题。
本题需要用到排队理论中最简单的M/M/1/∞/∞模型，通过对病人到来及诊断时间的统计研究，得出这些数量指标的统计规律。
针对问题一，通过分析任意时刻t内到达的病人数为n的概率，使用数学期望的方法，，可以得出平均病人数及等待的平均病人数。
由题目给出条件病人的到来服从参数为λ的泊松分布，诊断时间服从参数为μ负指数分布，可以得出病人的平均看病所需时间及病人平均排队等待时间。
以及分析该医院的服务强度，可以粗略的分析该科室的工作状况。
针对问题二，在问题一的条件基础下，要求99%的病人有座位。
可以先假设出座位个数，由于每个时刻病人到来的个数是随机且独立，不可能同时到达两批病人，考虑到来病人的个数与座位之间的关系，考虑病人数不同时，有座位的概率不同。
所以用独立事件概率的加法可以得出概率需要大于等于0.99，从而反推出所需座位数。
针对问题三，分析问题可得，需要求出单位平均损失可以通过题目每小时病人到来数可以得出平均每天医院到来数。
根据问题一结论，可以得出平均看病所花时间，从而求出每天的平均损失。
针对问题四，只需要利用问题一，问题二，问题三的结论并改变医生每小时诊断时间，嵌套进来就能求解。
关键字：排队理论M/M/1/∞/∞模型数学期望Poisson流负指数分布一、问题提出某单位医院的一个科室有一位医生值班，经长期观察，每小时平均有4个病人，医生每小时可诊断5人，病人的到来服从Poisson流，诊断时间服从负指数分布。
(1)试分析该科室的工作状况：(2)如要求99%以上的病人有座，该科室至少设多少座位？(3)如果该单位每天24小时上班，病人因看病1小时而耽误工作单位要损失30元，这样单位平均损失多少元？(4)如果该科室提高看病速度，每小时平均可诊断6人，单位每天可减少损失多少？可减少多少座位？二、模型的准备根据题目所给信息，可以很明显看出本题是单服务台的排队模型，日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象。
数学建模方法及其应用医院排队论模型
排队系统模拟
所谓排队系统模拟,就是利用计算机对一个客 观复杂的排队系统的结构和行为进行动态模拟,以 获得反映其系统本质特征的数量指标结果,进而预 测、分析或评价该系统的行为效果,为决策者提供 决策依据.
如果医院增添服务人员和设备,就要增加投资或发生空闲浪费; 如果减少服务设备,排队等待时间太长,对患者和社会都会带来不良 影响.
的； ③ 普通性：在同时间点上就诊或手术最多到达1个患者, 不
存在同时到达2个以上患者的情况； ④ 有限性：在有限的时间区间内只能到达有限个患者, 不可
能有无限个患者到达.
患者的总体可以是无限的也可以是有限的； 患者到来方式可以是单个的，也可以是成批的；
相继到达的间隔时间可以是确定的，也可是随机 的； 患者的到达可以是相互独立的，也可以是关联； 到来的过程可以是平稳的，也可是非平稳的；
医院排队系统的组成
排队系统的基本结构由四个部分构成：来到过 程（输入）、服务时间、服务窗口和排队规则. 1、来到过程（输入）是指不同类型的患者按照各 种 规律来到医院. 2、服务时间是指患者接收服务的时间规律. 3、服务窗口则表明可开放多少服务窗口来接纳患 者. 4、排队规则确定到达的患者按照某种一定的次序 接 受服务.
设在任意时刻t系统中有n个患者的概率Pn(t). 当系统达到稳 定状态后,Pn(t)趋于平衡Pn且与t无关. 此时,称系统处于统计平衡 状态,并称Pn为统计平衡状态下的稳态概率.
Pn=(1- ) n, n = 0, 1, 2, … . 其中 =/ 表示有效的平均到达率与平均服务率 之比(0＜ ＜
1).
医院排队论模型
医院就医排队是一种经常遇见的非常熟悉的现象.它每天以这 样或那样的形式出现在我们面前. 例如,患者到医院就医,患者到药 房配药、患者到输液室输液等,往往需要排队等待接受某种服务.
医院排队论模型
03
02
平均逗留时间
患者从到达医院到离开医院所花费 的平均时间。
患者满意度
患者对医院排队系统和服务质量的 满意度。
04
医院排队系统的优化目标
提高服务效率
通过优化医院排队系统，提高医生的服务效 率，缩短患者的等待时间和逗留时间。
提高患者满意度
通过改进医院排队系统，提高患者满意度，减少患 者因等待时间过长而产生的不满情绪。
需要接受服务的对象，可以是人员或事物 。
服务台
排队规则
提供服务的设施或人员，可以同时为多个 顾客提供服务。
顾客到达后，按照一定的规则选择队列， 常见的排队规则有先到先服务、后到先服 务、随机服务和优先服务等。
排队系统的主要指标
平均队长
系统中平均的顾客数量，包括正在接受服务 和等待服务的顾客。
平均等待时间
排队论模型在医院中的具体应用和优化策略；
研究内容：首先梳理排队论模型的相关理论，然后结合 医院实际情况建立排队论模型，最后通过实证研究验证 模型的可行性和有效性。具体包括以下几个方面 医院排队现象的特性和影响因素；
实证研究的设计和数据分析方法。
02
排队论基础
排队论基本概念
排队
顾客
指等待某种服务的过程，包括顾客到达、 排队等待和接受服务三个阶段。
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从指数分布，c个服务台的系统。
M/G/1模型
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从一般分布，一个服务台的系统。
G/G/1模型
顾客到达和服务时间都服从一般分布，一个服务台的系统。
03
医院排队系统分析
医院排队系统的特点
《排队论》习题解答
故方案I比方案II好。
习题4
某系统利用2台计算机进行容错处理。 如果1台计算机正常工作时间服从负指数 分布，平均10天，而计算机损坏时由1名 工程师维修，维修1台计算机的时间是负 指数分布的，平均5天。求：2台计算机都 正常运行的概率和由于计算机损坏无法运 行的概率，系统中平均运行的计算机数。
＝ 3 ，该系统按M/M/1/型处理。
4
a)
P{医生空闲}＝P{系统空闲}＝p0＝1－＝ ＝0.25。
1 4
b) 平均等待对长 N q 2
(3/4)2 9
2.25
1 13/4 4
即平均有2.25个病人等待看医生
c) 平均等待时间 Wq 3/4 30.75
(1 ) 4(13/4) 4
jc
pj
c (1c)c!p0
(53)2 1 25
0.7576
(156)2! 11 33
平均积压的题目数
Nq
c (1c)2
pc
(56)(53)2 1 125 (156)22!11333.7879
习题3
考虑一个M/M/1/K排队系统，λ＝10人/小 时，μ＝30人/小时，K＝2。管理者想改进服务 机构，提出了两个方案。方案I：增加等待空 间，K＝3；方案II：提高服务率，μ＝40人/小 时。假设在单位时间内单位服务成本5元和每 服务一个顾客收益8元不变得情况下，哪个方 案获得更大的收益？当λ＝30人/小时，又有什 么结果？
解
由题设知，＝1/10(台/天)，＝1/5(台/天)， ＝1/2，该系统按M/M/c/m/m型处理，c＝1，m ＝2。
P{2台计算机都正常运行}＝p0
排队论在医院急诊流程优化中的应用
排队论在医院急诊流程优化中的应用引言：随着人口的不断增长和医疗需求的增加，医院急诊部门的负荷也越来越大。
许多医院都面临着急诊病人排队时间过长的问题，这不仅给病人带来了不便，也加重了医院的压力。
为了解决这一问题，越来越多的医院开始应用排队论来优化急诊流程。
本文将探讨排队论在医院急诊流程优化中的应用，以及取得的成效。
第一章：排队论的基本原理1.1 排队论的定义排队论是一门研究排队现象的数学理论，它研究的对象是等待服务的顾客和提供服务的系统。
排队论主要涉及到以下几个要素：到达率、服务率、队列长度、平均等待时间等。
1.2 排队论的应用排队论最早用于解决电信系统中的通信问题，如电话交换机的设计和运行优化。
如今，排队论已被广泛应用于各个领域，如银行、超市、机场等。
在医疗领域，排队论的应用可以帮助医院优化急诊流程，提高病人的就诊效率。
第二章：传统急诊流程的问题2.1 排队时间过长传统的急诊流程通常存在排队时间过长的问题。
病人需要在等候区等待很长时间才能得到看诊，这不仅给病人带来了不必要的痛苦，也加重了医院的负担。
2.2 资源利用不均衡在传统急诊流程中，医生和设备的利用率往往不均衡。
有时候，一些医生可能没事可做，而另一些医生则忙于处理大量的病人。
这种资源利用不均衡导致了就诊效率的低下。
第三章：排队论在急诊流程中的应用3.1 数据收集为了应用排队论来优化急诊流程，首先需要收集相关数据。
这些数据包括患者的到达速率、医生的服务速率、每名医生的工作时间、患者的等待时间等。
3.2 队列模型的建立基于收集到的数据，可以通过排队论建立一个合适的队列模型。
队列模型可以帮助医院评估不同的服务策略，预测患者的等待时间以及就诊效率。
3.3 优化策略的制定根据队列模型的分析结果，医院可以制定一些优化策略来改善急诊流程。
这包括增加服务台窗口数量、提高医生的工作效率、优化病人的预检分诊等。
第四章：案例分析以某医院的急诊流程优化为例，该医院使用排队论来优化急诊流程，取得了明显的效果。
医院门诊系统的排队过程模型
医院门诊系统的排队过程模型通过对医院门诊系统的排队过程的研究，建立排队论模型，并进行讨论，希望可以为医院的科学化管理提供一点有益的建议。
[Abstract] By investigating intoprocessmodel in hospital outpatient system，we foundaqueuingmodel and gave adiscussiononit，expecting offeringrational adviceto scientificmanagement of hospital.[Key words] Queuing theory;Outpatient排队论，或称随机服务系统理论, 是数学运筹学的分支学科。
它是研究服务系统中排队现象随机规律的学科。
每当某项服务的现有需求量超过提供该项服务的现有能力时，排队就会发生，而排队论就是对排队进行数学研究的理论。
据调查，在医院系统内，目前的随机排队挂号、就诊的模式下，患者接受医生诊疗的时间平均只有十几分钟，而在排队挂号、候诊、缴费取药等非诊疗环节上花费的时间则长达1.5～2.5 h。
这种现象被称为“三长一短”，即排队挂号、候诊、缴费取药时间长，就医时间短。
由于病人到达时间的随机性或诊治病人所需时间的随机性，排队几乎是不可避免的。
因此，如何合理安排医护人员及医疗设备，使病人排队等待的时间尽可能减少，正是本文所要解决的问题。
1 研究对象选取医院门诊部的就诊患者为研究对象，建立排队系统。
以患者到达门诊部进行登记为标志，表示该患者进入了门诊系统的排队系统当中；当患者进入诊室接受医生治疗时，表示该患者接受了服务，当服务完成后，患者即离开排队系统。
可以将上述排队过程概化为排队系统的一般结构：2 模型的组成实际中的排队系统各有不同，但概括起来都是由3个基本部分组成的，包括：输入过程、排队规则及服务机制，分别说明如下：2.1 输入过程输入过程说明顾客是按怎样的规律到达系统的，需要从三个方面来刻画一个输入过程。
排队论医院应用
医院排队论模型医院排队论模型医院就医排队是一种经常遇见的非常熟悉的现象.它每天以这样或那样的形式出现在我们面前. 例如,患者到医院就医,患者到药房配药、患者到输液室输液等,往往需要排队等待接受某种服务.这里,护士台、收费窗口、输液护士台及其服务人员都是服务机构或服务设备.而患者与商店的患者一样, 统称为患者.以上排队都是有形的,还有些排队是无形的.由于患者到达的随机性,所以排队现象是不可避免的.排队系统模拟所谓排队系统模拟,就是利用计算机对一个客观复杂的排队系统的结构和行为进行动态模拟,以获得反映其系统本质特征的数量指标结果,进而预测、分析或评价该系统的行为效果,为决策者提供决策依据.如果医院增添服务人员和设备,就要增加投资或发生空闲浪费;如果减少服务设备,排队等待时间太长,对患者和社会都会带来不良影响.因此,医院管理人员要考虑如何在这两者之间取得平衡,以便提高服务质量,降低服务费用.医院排队论,就是为了解决上述问题而发展起来的一门科学.它是运筹学的重要分支之一.在排队论中,患者和提供各种形式服务的服务机构组成一个排队系统,称为随机服务系统.这些系统可以是具体的,也可以是抽象的.排队系统模型已广泛应用于各种管理系统.如手术管理、输液管理、医疗服务、医技业务、分诊服务,等等.医院排队系统的组成排队系统的基本结构由四个部分构成：来到过程（输入）、服务时间、服务窗口和排队规则.1、来到过程（输入）是指不同类型的患者按照各种规律来到医院.2、服务时间是指患者接收服务的时间规律.3、服务窗口则表明可开放多少服务窗口来接纳患者.4、排队规则确定到达的患者按照某种一定的次序接受服务.⑴来到过程常见的来到过程有定长输入、泊松(Poisson)输入、埃尔朗(A. K. Erlang)输入等,其中泊松输入在排队系统中的应用最为广泛.所谓泊松输入即满足以下4个条件的输入：①平稳性：在某一时间区间内到达的患者数的概率只与这段时间的长度和患者数有关；②无后效性：不相交的时间区间内到达的患者数是相互独立的；③普通性：在同时间点上就诊或手术最多到达1个患者, 不存在同时到达2个以上患者的情况；④有限性：在有限的时间区间内只能到达有限个患者, 不可能有无限个患者到达.患者的总体可以是无限的也可以是有限的；患者到来方式可以是单个的，也可以是成批的；相继到达的间隔时间可以是确定的，也可是随机的；患者的到达可以是相互独立的，也可以是关联；到来的过程可以是平稳的，也可是非平稳的；⑵服务时间患者接受服务的时间规律往往也是通过概率分布描述的. 常见的服务时间分布有定长分布、负指数分布和埃尔朗分布.一般来说, 简单的排队系统的服务时间往往服从负指数分布, 即每位患者接受服务的时间是独立同分布的, 其分布函数为t (tμB ( t ) = 1- e - ≥0).其中μ＞0为一常数, 代表单位时间的平均服务率. 而μ1/ 则是平均服务时间.⑶服务窗口服务窗口的主要属性是服务台的个数. 其类型有：单服务台、多服务台.多服务台又分并联、串联和混合型三种. 最基本的类型为多服务台并联.⑷排队规则分为三类：损失制、等待制、混合制.损失制：患者到达时,如果所有服务台都没有空闲,该患者不愿等待，就随即从系统消失.等待制：患者到达时,如果所有服务台都没有空闲,他们就排队等待. 等待服务的次序又有各种不同的规则：①先到先服务,如就诊、排队取药等；②后到先服务,如医院处理急症病人；③随机服务, 服务台空闲时,随机挑选等待的患者进行服务；④优先权服务,如照顾号.混合制：既有等待又有损失的情况,如患者等待时考虑排队的队长、等待时间的长短等因素而决定去留.队列的数目可是单列，也可是多列的；容量可能是有限的，也可能是无限的排队系统的分类排队系统模型主要可以由输入过程(患者到达时间间隔分布)、服务时间分布、服务台个数特征来描述.根据这些特征,可用符号进行分类, 用以表示不同的模型. 例如,利用一定的符号规则将上述特征按顺序用符号列出,并用竖线隔开,即输入过程| 服务分布| 服务台个数例如, M|M|S表示输入过程为泊松输入、服务时间服从负指数分布、S个服务台的排队系统模型; M|G|1则表示泊松输入、一般服务分布、单个服务台的排队系统.排队系统的主要数量指标评价和优化排队系统,需要通过一定的数量指标来反映.建立排队系统模型的主要数量指标有三个：等待时间、忙期与队长.⑴等待时间指患者从到达系统时起到开始接受服务时止这一段时间. 显然患者希望等待时间越短越好.用Wq 表示患者在系统中的平均等待时间.若考虑到服务时间,则用Ws 表示患者在系统中的平均逗留时间(包括等待时间和服务时间).⑵忙期指服务台连续繁忙的时间长度.该指标反映服务台的工作强度和利用程度.用B表示忙期的平均长度.与忙期相应的是闲期,闲期是指服务台一直空闲的时间长度.用I 表示闲期的平均长度.⑶队长指系统中的患者数(包括排队等候的和正在接受服务的所有患者).用Ls表示平均队长.若不考虑接受服务的患者, 则将系统中排队等候的患者数称为队列长.用Lq表示平均队列长.此外, 用ρ表示服务强度,其值为有效的平均到达率λ与平均服务率μ之比,即 .μ/λ =ρM | M | 1 模型M|M|1模型是输入过程为泊松输入,服务时间为负指数分布并具有单服务台的等待制排队系统模型,这是最简单的排队系统模型.假定系统的患者源和容量都是无限的,患者单队排列,排队规则是先到先服务.设在任意时刻t系统中有n个患者的概率Pn(t). 当系统达到稳定状态后,Pn(t)趋于平衡Pn且与t无关. 此时,称系统处于统计平衡状态,并称Pn为统计平衡状态下的稳态概率.n, n = 0, 1, 2, … .ρ )ρPn=(1-其中μ/λ =ρ表示有效的平均到达率λ与平均服务率μ之比(0＜ρ＜1).M | M | 1 模型的几个主要指标⑴在系统中的平均患者数(平均队长)Ls⑵在队列中等待的平均患者数(平均队列长)Lq⑶患者在系统中平均逗留时间Ws⑷患者在队列中平均等待时间Wq⑸闲期的平均长度I⑹忙期的平均长度B例某MRI室配有一位专业医师,负责核磁共振拍摄工作.已知每天平均有6名患者前来, 每人平均时间为1小时,前来的患者按泊松分布到达,服务时间服从负指数分布,每天按8小时计. 试求：①医师工作空闲的概率；②MRI室有两台患者同时到达的概率；③MRI室至少有1人来的概率；④MRI室逗留的患者的平均人数；⑤患者在MRI室的平均逗留时间；⑥MRI室等待患者的平均人数；⑦待拍摄的患者平均等待时间；⑧MRI室忙期的平均长度.解平均到达率= 6/8 = 0.75λ人/小时,平均服务率= 1μ人/小时,服务强度=0.75/1 = 0.75.ρ①MRI室没有拍摄患者的概率为= 1 - 0.75 = 0.25.ρP0 = 1 -即工作人员有25%的时间空闲.②MRI室有2名等候患者的概率为2 = 0.14.ρ ) ρP2 = (1 -③MRI室至少有1等候患者的概率为P = P (n≥1) = 1 - P0 ) = 0.75 .ρ= 1 - (1 -即有75%的时间, MRI室至少有1名等候患者.④MRI室逗留的患者的平均人数为M | M | C模型M|M| C(C≥2)是多服务台的等待制排队系统,它的各种特征的规定和假设与M|M|1模型基本相同.并假定C 个服务台并联排列,各服务台独立工作,其平均服务率相同,即 .μ C = μ1 = … = μ 1 = μ因此,该系统的平均服务率为 .μCM | M | C模型主要指标为：⑴平均队列长Lq⑵平均队长Ls.ρLs = Lq + C⑶患者在系统中平均逗留时间Ws⑷患者在队列中平均等待时间Wq。
排队论在医院资源分配中的应用
排队论在医院资源分配中的应用一、引言排队论是数学领域的一个分支，它研究的是排队系统中的人流、车流或信息流等的规律。
在医院资源分配中，排队论的应用十分重要。
医院的资源有限，患者众多，如何科学高效地利用资源，提高服务质量，降低患者的等待时间，成为一个亟待解决的问题。
本文将探讨排队论在医院资源分配中的应用及其对医院运营的影响。
二、排队论基础排队论中的关键指标包括平均等待时间、系统稳定性、系统效率等。
平均等待时间是指患者从进入医院排队到就诊的平均等待时间，是衡量患者等待时间长短的指标。
系统稳定性是指将患者的到达频率和服务速率控制在匹配的状态，即患者的到达速度不超过医院的服务速度，避免出现排队系统崩溃的情况。
系统效率是指医院资源的利用率，包括医生的工作效率、设备利用率等。
三、排队论在医院资源分配中的应用1. 医院资源分配优化：排队论可以通过对医院内各个环节的排队系统进行建模，分析各环节的瓶颈以及可能出现的问题。
基于排队论的模型，可以结合实际情况制定相应的策略，合理优化资源配置。
例如，可以通过医生轮岗、设备的合理调配等方式，减少等待时间，提高效率。
2. 预约挂号系统：排队论的应用可以使医院预约挂号系统更加高效。
根据患者的预约就诊时间，医院可以提前安排医生的日程和资源配置。
通过合理的时间间隔和资源分配，避免排队系统崩溃和拥堵，减少患者的等待时间。
3. 医生排班问题：排队论可以帮助医院解决医生排班问题。
通过分析患者就诊的时间分布规律，结合医生的工作强度和时间限制等因素，制定合理的医生排班方案，确保医生资源的充分利用，同时也照顾到医生的工作负担和休息需求。
4. 候诊区域设计：排队论的应用还可以指导医院的候诊区域设计。
根据患者的到达频率、平均就诊时间和候诊区域可容纳的人数限制，合理设计候诊区域的大小和布局，避免拥挤和混乱，提高患者的满意度。
四、排队论在医院资源分配中的影响排队论的应用对医院运营产生了积极的影响。
1. 缩短患者等待时间：通过排队论的应用，医院可以有效地减少患者的等待时间。
医院门诊系统的排队过程模型
医院门诊系统的排队过程模型一、引言医院是一个人们在生命关键时刻病情诊治的关键地点，门诊部分是人们的首选治疗方式。
但由于门诊人数庞大，导致不同时间、不同科室间的取号、等待和诊疗过程中人员分配不合理、效率低下、资源浪费等问题，也给医疗机构带来了许多的管理困难。
二、研究目标通过一些操作分解和建立排队模型的局限来发掘今后的改进空间，进一步提出一些合理的措施，从而对现有医院门诊系统进行优化措施，以减少门诊排队的时间、提升门诊服务的质量。
三、基本内容1、医院门诊排队场景首先，我们来考虑在门诊大厅内，存在着各种科室等待排队的情况，而每个科室的服务窗口数量以及就诊时间受医生的决策。
对于医院来讲，如何合理的安排科室服务窗口数量、分配医生资源成为一项关键的任务。
2、排队结构为了解决现有医院排队问题，我们考虑引入排队模型，使用排队论的理论框架来对医院门诊的排队行为进行建模和分析。
排队模型可以根据排队结构的合理性保障医生医疗时间的消耗，以及提高科室的效率。
3、客户行为第三，对身处排队过程中的客户行为也进行了研究。
由于媒体宣传的加强，许多病人去医院排队并等待治疗，最终导致医院的排队时间和数量增加。
因此，作为客户我们需要合理的利用医院资源，有组织的安排时间，并遵守医院法规和操作规程，从而赢得良好的服务效果。
四、排队过程模型在对医院门诊排队过程的基本分析之后，本报告将研究设计门诊排队模型，以解决现有医院门诊排队过程中的诸多缺陷。
关于排队过程模型的设计，我们首先考虑对医院门诊整个过程进行流程分析和建模，具体过程如下：1、客户到达医院门诊处取号。
2、选择指定科室及服务窗口，进入排队室等待。
3、窗口医生对客户进行诊断、检查和开药等。
4、客户付费离开医院。
五、算法优化在上述过程的模型中，我们将线性加权模型作为我们的队列策略优化方法。
这种算法结构是一个将预测和决策耦合在一起的程序，可以显著地改善医院的门诊排队过程。
另外，我们还可以使用数据挖掘技术，收集并分析客户排队过程中的数据，从而发现一些规律和机制，提高模型的效率和准确性。
医院排队论的开题报告
医院排队论的开题报告医院排队论的开题报告引言：医院排队问题一直备受关注，尤其是在人口密集的城市中。
长时间的等待和繁琐的手续不仅给患者带来不便，也给医院管理带来了巨大的挑战。
本文将探讨医院排队问题的现状、原因以及可能的解决方案，旨在提出一种更高效的医院排队管理模式。
一、医院排队问题的现状目前，许多医院的门诊部门依然存在排队时间过长的问题。
患者需要提前预约，然而即便预约了时间，仍然需要在医院等待数小时才能见到医生。
这种情况不仅浪费了患者宝贵的时间，也给医院带来了不必要的负担。
此外，排队时可能出现的交流不畅、信息不准确等问题也进一步加剧了医院排队的困扰。
二、医院排队问题的原因1. 医生资源不足：许多医院面临医生资源紧张的问题，导致患者看病的速度无法满足需求。
这使得排队时间变得更长。
2. 信息传递不畅：医院内部的信息传递可能存在问题，导致患者的预约信息无法及时传达给医生，从而延长了患者的等待时间。
3. 患者就医习惯：一些患者习惯于早上一大早就去医院排队，导致早晨时段的排队人数过多，进一步加剧了排队时间过长的问题。
三、医院排队问题的解决方案1. 引入智能排队系统：通过引入智能排队系统，患者可以提前通过手机或电脑预约就诊时间，并根据预约时间进行分时段就诊。
这样可以有效减少患者的等待时间，提高就诊效率。
2. 加强医生资源管理：医院应该合理调配医生资源，增加医生的数量，以满足患者的需求。
此外，医院还可以通过培训和提高医生的工作效率，进一步提高就诊速度。
3. 优化信息传递流程：医院内部应建立起高效的信息传递机制，确保患者的预约信息能够及时传达给医生，避免因信息不畅导致的排队时间延长。
4. 引导患者合理就医：医院可以通过宣传和教育，引导患者合理就医。
例如，鼓励患者选择非高峰时段就诊，减少早晨时段排队人数过多的情况。
结论：医院排队问题是一个复杂的系统工程，需要综合运用多种解决方案。
通过引入智能排队系统、加强医生资源管理、优化信息传递流程以及引导患者合理就医，可以有效改善医院排队问题，提高医院的服务质量和效率。
医院就医排队问题的解决
医院就医排队问题的解决人的一生，疾病总会或早或迟地来到，入院就医是不可避免的一种社会现象。
然而，目前，我国医疗资源在质与量上的不对称性，人口分布的不均衡以及大医院情节的普遍存在性等诸多原因，使得部分医院往往承受着巨大的服务压力，而患者也深受扎堆就医，看病等候时间过长等问题的困扰。
而在构成门诊流程首尾连接的众多单环节点譬如挂号、就诊、检查、治疗、划价、交费、取药等中，排队挂号显得尤为重要与突出，挂号是患者接受服务的第一站，挂号窗口的服务直接影响患者的心情。
挂号窗口的数目直接影响到患者的等待时间。
如何合理有效地运行医院排队挂号系统，这是值得深思的问题。
患者的需求虽然迥异，且随机性很大，但却不是毫无规律可寻，因而通过实地搜集的相关数据的分析整合，构建模型，我们可以深入洞悉医院排队挂号系统呈现出的规律性，为医院排队系统效率提升提供有力数据模型支撑，为医院排队长问题的解决提出针对性意见建议。
医院排队挂号系统是整个医院医疗系统的重要组成部分之一，基于排队论的排队挂号系统研究，能够很好地丰富完善医疗系统的相关分析理论与方法；而作为医院就诊的首发系统，排队挂号系统的研究与相关模型的构建，将无疑利于医院就挂号窗口及工作人员的安排进行最优化和最优运营，提出科学有效的整改意见，以增加预见性，减少盲目性；有助于就节省患者和家属等待时间，提高看病效率和病人满意度.同时也有效地降低窗口服务人员的工作强度。
排队论是通过研究各种服务系统在排队等待现象中的概率特性，从而解决服务系统最优设计与最优控制的一门学科。
它被广泛地应用于各类型诸如交通、计算机存储和生产管理等多类型系统，以解决各种有形无形的排队问题。
关于排队论的理论研究，国内外均有不同程度的研究，而国外研究历史久远且相对比较成熟。
1910年，丹麦电话工程师爱尔朗在解决自动电话设计问题时形成的话务理论标志着经典排队论的诞生。
W.Feller 在20世纪30年代中期引进了生灭过程，排队论被数学界承认为一门重要的学科。
排队论模型求解就医排队问题
逗留的患者的平均人数： Ls= 3人 患者的平均逗留时间： Ws=4小时 等待患者的平均人数： Lq=2.25人 患者的平均排队等待时间： Wq=3小时
由此可知，K个M/M/1模型中患者的平均排 队等待时间为3小时。
假设：各种特征的规定和假设与模型1相同，假定K 个服务台并联排列，各服务台独立工作，其平均服 务率相同，即μ1=μ2=…=μk=μ因此，该系统的平均 服务率为kμ。 1 P 1 1 k 在M/M/K模型中： ( ) ( )(
[1]吴希.医院门诊系统的排队过程模型[J].中国 医药导报,2007,4(25):131—132. [2]彭迎春,董斯彬,常文虎.运用排队论模型测量 医 院 门 诊 流 程 效 率 [J]. 中 华 医 院 管 理 杂 志,2005,21(12):806—809. [3]李军,徐玖.运筹学一非线性系统优化[M].北京: 科学出版社2003:42 —50. [4]钱颂迪.运筹学[M].清华大学出版社,2005. [5]唐应辉,唐小我.排队论——基础与分析技术[M] 科学出版社,2006.
模型1OR模型2？
假设：该诊疗室每天平均有6名患者前来，每人平 均服务时间为l小时，前来的患者按泊松分布到达， 服务时间服从指数分布，每天按8小时计。则平均 到达率=6／8=0.75人／小时，平均服务率=1人／小 时，服务强度=0.75／1=0.75 在M／M／1模型中：
即如果一个诊室内有数名医生应把病案放在门口排队由一名护士按次序送到空闲的医生处而不是把病案放在各个医生处排队
资源学院2010级本科生 朱南华诺娃 201011191012
排队理论实验报告
a.排队等待病人数=4.81，病人排队等待时间=2.29；
b.服务设备利用率=84.1%，服务设备空闲率=15.1%
二、M/M/3模型
此模型将研究顾客到达售票窗口后只排成一队的仿真检验过程。售票窗口有3个，顾客到达服从泊松分布，服务（售票）时间服从负指数分布。顾客到达后在售票窗口前排成一队，依次向空闲的窗口购票。图2.1是一列排队多服务台M/M/c实体模型。
实验数据：顾客到达速率：泊松分布poisson(1.111,1)h；
队列最大容量：1000个顾客；
售票窗口服务时间：指数分布exponential(0,2.5) h；
顾客买票：顾客到达售票窗口排成一队，依次向空闲的3个窗口排队
实验开始
运行一段时间后，模型逐渐到达稳定。
当n<3时，顾客不需要排队的概率是67.4%；
所以当n≥3时，顾客需要排队的概率是67.4%
仿真得到的相关值近似于理论值：
a.顾客（n≥3）到达后必须等待的概率=67.4%
b.平均队列长度=1.68，平均等待时间=1.87
三、3个M/M/1模型
假设模型2.1除排队方式外其他条件不变，顾客到达后在每个窗口前排成一队，且进入队列后坚持不换，形成3个队列。图2.2是多列排队多服务台M/M/c实体模型。
顾客到达医院进入候诊室等待就诊最后离去模型开始运行经过长时间的运行模型最终会达到一个比较稳定的状态最终仿真值与理论计算值一致
实验报告（二）
实验目的
学习Flexsim在排队系统中的应用；
在试验练习中学习Flexsim的仿真结果分析；
培养学生简单排队系统的建模能力
实验要求
通过使用Flexsim对排队系统进行仿真，学生需要掌握以下学习内容：
基于排队论模型的门诊CT 检查排队优化设计
管理科◎张清芝1何雅静2岳萍3王琨4郑二维1基于排队论模型的门诊CT 检查排队优化设计（作者单位：1.哈尔滨医科大学附属第一医院；2.哈尔滨医科大学附属第二医院；3.黑龙江省卫生厅；4.哈尔滨医科大学附属第四医院）随着经济社会的不断发展，人们对健康的需求也在不断的提升。
公立医院，尤其是大型三级公立医院，其资源效率与患者的需求之间不平衡的矛盾依旧存在。
漫长的排队等待现象严重地影响了患者的就医体验，耗费着巨大的时间成本。
医院中的检查科室又是患者聚集最多，等候时间最长的部门。
为了进一步落实《关于印发进一步改善医疗服务行动计划（2018—2020年）的通知》（国卫办医函（2018）894号）文件的要求，切实提高群众的就医体验，本研究应用排队论去解决某省三级公立医院的门诊CT 检查等候时间过长的问题，通过优化其检查流程，以提高CT 设备的使用效率。
排队论是研究如何以最经济的方式控制排队的一种方法，能够有效地找到服务成本和等待量之间的平衡。
由于当前公立医院的规模不可能随着患者需求的增加而无限制的扩大，因此研究有限的医疗资源如何能提供尽可能多的服务就变得非常具有实际意义。
一、问题的提出1.CT 检查的排队现象。
患者从医生开具CT 检查处方到获得检查结果要经历大致五个步骤：开检查、排队缴费、排队预约，排队检查，报告获取。
由于整个检查过程是面向整个门诊的所有诊室患者，因此患者在每一个步骤都要经历过一次排队才能获得相应的服务。
由于一般患者对大型三级医院CT 检查的需求量往往大于CT 的实际服务提供能力，因而造成检查的等候时间过于漫长。
当前样本医院配置了门诊CT 机器3台，以每个工作日8小时计算，平均每台的日均工作量为140人，而实际上日均需求在200人次以上。
一方面医务人员不得不延长工作时间以满足患者需求，另一方面，患者的等候时间也必然增加。
2.CT 检查流程的改造设想。
解决CT 检查排队问题可以从两个方面入手：一是增加购置CT 设备。
医疗行业排队论与服务过程管理方案
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目 录
• 医疗行业排队论概述 • 医疗行业排队系统分析 • 医疗行业服务过程管理方案 • 案例分析与实施策略
医疗行业排队论概
01
述
排队论的定义与应用
定义
排队论，也称为等待线理论，是一种数学理论，用于研究等 待线（队列）的形成、变化和消失规律，以及如何优化管理 和控制等待线的策略。
实施策略与建议
实施策略二：运用排队论进行流程优化
• 理论支持，实现流程再造。
• 医疗机构可运用排队论的理论和方法，对现有诊疗流程进行深入分析，找出瓶颈环节，进而进行流程 优化和再造。通过调整医生资源配置、改进服务流程等方式，提高医疗服务的整体效能。
实施策略与建议
01
实施策略三：加强医护人员培训和管 理
引入高效设备
引进先进的医疗设备和技术，提高医疗服务的效率和质量，减少患者等待检查结果的时间。
提升医疗服务效率
流优化
对医疗服务流程进行持续优化，消除浪费的时间和资源，提高医疗服务整体效率。
培训医务人员
定期举办医务人员培训，提高医务人员的专业素质和技能水平，确保高效、准确地为患者提供服务。
患者分流与预约管理
案例分析与实施策
04
略
成功案例介绍
案例一：某大型医院引入智能排队系统
• 效率提升，患者满意度提高。
• 该医院引入智能排队系统后，患者排队等待时间显著减少，服务效率明显提升。同时，通 过系统提供的数据分析功能，医院管理层能够更加合理地调配医疗资源，进一步优化服务 流程。
成功案例介绍
案例二：某专科医院应用排队论优化诊疗流程
应用
排队论广泛应用于各种服务行业，如医疗、餐饮、交通、通 信等，以提高服务效率，减少等待时间，提升顾客满意度。
医院就诊问题的排队论解法
排队论的应用及其计算机解法问题的提出：在校医院就诊时，我发现外科诊室共有六张诊台，而且经常六张诊台中总有一两张会被闲置下来。
据此现象，我便想到了应如何利用运筹学知识来根据就诊人数配置诊台的问题。
问题模型：此类问题属于排队论的范畴。
首先根据诊台为多数个确定其为多服务台问题。
其次，考虑到若采取多队方式会因各接待人服务效率不同而造成队伍之间人数的不平衡，不能使系统达到最优配置，故将模型定为单队多服务台型。
具体框图如下：单队多服务台型设共有c 个诊台，每个医生的平均服务率均为u 。
在正常情况下，病人的平均到达率为λ，则t ∆时间内有一个病人到达的概率为t P ∆=λ1，在t ∆时间内有一个病人离去的概率为t q ∆=λ1。
问题解决：分三种情况考虑：（1） 当无病人时，三种互不相容事件的概率分别为：（a ） 在时间t 内没有病人排队，t ∆时刻也没有病人到达的概率为)1(0t P ∆-λ。
（b ） 在时间t 内有一个病人，t ∆内没有顾客到达，但有一位病人接受诊断后离去的概率为t u t P ∆∆-)1(1λ。
（c ） 在时间t 内没有病人排队，但在t ∆时刻内有一位病人到达，也有一位病人接受诊断后离去的概率为t tu P ∆∆λ0。
则 20100)()1()1(t u P t u t P t P P ∆+∆∆-+∆-=λλλ略去二阶小量，整理得 u P P /01λ=。
（2） 当已有n 个病人，且c n <≤1时，可分为以下四种情况：（a ） 时间t 内有n-1个病人在排队，t ∆时刻内有一位病人到达，但没有任何病人被诊断的概率为)1(1t nu t P n ∆-∆-λ。
（b ） 时间t 内有n+1个病人在排队，t ∆时刻内没有病人到达，但有一位病人接受诊断后离去的概率为])1)[(1(1t u n t P n ∆+∆-+λ。
（c ） 时间t 内有n 个病人在排队，t ∆时刻内没有病人到达，也没有任何病人被诊断的概率为)1)(1(t nu t P n ∆-∆-λ。
医院就诊服务系统排队模型分析
过程的转移矩阵， 并利用矩阵分析方法进行求解 ， 得到 了该系统的稳 态概率解及其它相关指标。 关键词 ： 串联排 队； 稳态解 ； 转移 密度矩 阵
ｄｉ１ ．９ ９ ．ｓ ．１ ０ －３ ７ ２ １． ４ ０ ２ ｏ：０ ３ ６ ／Ｊｉ ｎ ０ ４４ ３ ． ０ ０ ０ ． ０ ｓ
医院是一个 由许 多科 室部 门组成 的复杂 的系统 ， 人就 病 医必须经历挂号 、 就诊 、 划价 和取药 每一 个机构 ， 由于 每个部
Ｓ ｔｉ ｎ ｕ ｅ ｈ ｔｎ ｔ ｒ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｏ ｔ ｅｇ ｏ ａ ｐ ｉ ｕ ｉ ｒ ａ ｒ ｂ ｂｌ ｙ，ａ ｄ ｉ ｏ ｅｃ ｍｅ ｈ Ｏｉ ｓｅ ｓ ｒ ｄ ｔ ａ ｅｗｏ ｋ ｃ ｎ ｅｇ ｎ ｅｔ ｈ ｌｂ ｌ ｔ ｍ ａｇ ｅ ｔｐ ｏ ａ ｉ ｔ ｏ ｍ ｎ ｉ ｎ ｔ ｖ ｒ ｏ ｓｔ诊 的医生是有限的 ， 当病 人达到一定数 量时 ， 就会 出
现排 队就 医现象 ， 就诊 病人 的数量 和每个 病人 就诊 的时间都 是随机 的， 当诊 室不多 ， 患者过 多时 ， 而 就会 出现病 人等 待时
科 渗 卜 就 人 厂．－０ Ｉ 到 ｌ ］ ｉ ２Ｐ ： 一 室就 ＇ ２诊 ｛科
Ｚ ａ ａｙｎ ｈ ｏ Ｘｉｏ ａ
（ ｏ ｎ ａｉｎ ｄ ｃ ｌＣ ｌ ｇ ｆ Ｎｏｔ ｉｈ ａ ｄ ｃ ｌＣ ｌｅ ｅ ｔｆ ｏ ｏｆ Ｍａｈ ｍ ｔ ｓａ ｄ Ｆ ｕ ｄ ｔ ｉ ｏｌ ｅｏ ｒｈ Ｓ ｃ ｕ ｎＭｅ ｉａ ｏｌｇ ，Ｓ ａ ｆ Ｒｏｍ ｔｅ ａ ｉ ｎ ｏ Ｍｅ ａ ｅ ｃ
・ 医学数 学模型探讨 ・
医 院 就 诊 服 务 系 统 排 队模 型分 析
王 松 建
（ 州 医学 院数 理教研 室 徐
数学建模方法与其应用医院排队论模型
解 平均到达率 = 6/8 = 0.75人/小时,平均服 务率 = 1人/小时,服务强度 = 0.75/1 = 0.75.
① MRI室没有拍摄患者的概率为
P0 = 1 - = 1 - 0.75 = 0.25.
即工作人员有25%的时间空闲.
② MRI室有2名等候患者的概率为
此外, 用 表示服务强度,其值为有效的平均到达率与平均 服务率 之比, 即 =/ .
M | M | 1 模型
M|M|1模型是输入过程为泊松输入,服务时间为负指数分 布并具有单服务台的等待制排队系统模型,这是最简单的排队系 统模型.
假定系统的患者源和容量都是无限的,患者单队排列,排队 规则是先到先服务.
因此,医院管理人员要考虑如何在这两者之间取得平衡,以便 提高服务质量,降低服务费用.
医院排队论,就是为了解决上述问题而发展起来的一门科学.它 是运筹学的重要分支之一.
在排队论中,患者和提供各种形式服务的服务机构组成一个排 队系统,称为随机服务系统.
这些系统可以是具体的,也可以是抽象的. 排队系统模型已广泛应用于各种管理系统.如手术管理、输液 管理、医疗服务、医技业务、分诊服务,等等.
排队系统的主要数量指标
评价和优化排队系统,需要通过一定的数量指标来反映. 建立排队系统模型的主要数量指标有三个：等待时间、忙期 与队长. ⑴ 等待时间 指患者从到达系统时起到开始接受服务时止这 一段时间. 显然患者希望等待时间越短越好.
用Wq 表示患者在系统中的平均等待时间.若考虑到服务时间, 则用Ws 表示患者在系统中的平均逗留时间(包括等待时间和服务 时间).
的； ③ 普通性：在同时间点上就诊或手术最多到达1个患者, 不
存在同时到达2个以上患者的情况； ④ 有限性：在有限的时间区间内只能到达有限个患者, 不可
医院排队论模型(1)
医院排队论模型(1)医院排队论模型指的是人在医院排队就诊的过程中，如何利用排队论模型来优化排队过程，提高就诊效率，降低排队时间。
下面从排队论模型的三要素（到达率、服务率、队列容量）出发，探讨在医院排队过程中如何优化流程。
第一、到达率到达率指的是单位时间内到达就诊的人数。
在医院排队过程中，到达率的分析可以帮助医院预测每天需要接待的患者数量，从而根据就诊人数、科室人员数量等资源来合理安排诊疗流程，避免出现拥堵的情况。
在医院安排就诊计划时，可以根据就诊需求、人员数量、诊室开放时长等来制定排班计划，如早上安排主诊医生接待复杂病人，下午安排副诊医生接待一般患者等。
第二、服务率服务率指的是单位时间内完成服务的人数。
在医院排队过程中，每个病人的就诊时间不同，有的患者需要进行详细检查、化验，需要较长时间，有的患者可能只需要短暂检查，大约十几分钟左右。
因此，为了提高个体效率，医院可以根据病人种类、健康状况等特不同性制定不同的服务时间，避免患者等待时间过久。
医院服务行业，提高服务水平可以吸引更多患者就诊，轻松排队也能提高了患者就诊时的舒适度和安全感。
第三、队列容量队列容量指的是医院可以容纳等待就诊人数和等待空间。
医院到达的患者数量与就诊人数不匹配，往往会造成人流混乱，交通拥堵等问题。
因此，医院应该合理利用队列容量，充分利用场地现有资源，设置等待区域、设立排队标识等措施，通过这些技术手段，既可以避免人流混乱，也可以避免就诊过程中因不注意安全方面出现不必要的伤害。
以上是基本的医院排队论模型，通过对到达率，服务率和队列容量的分析可以合理安排医院就诊计划，优化流程，提高服务水平、减少等待时间，使得医院就诊流程得到良性循环。
排队论模型
排队论模型排队论也称随机服务系统理论。
它涉及的是建立一些数学模型，藉以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为。
现实世界中排队的现象比比皆是，如到商店购货、轮船进港、病人就诊、机器等待修理等等。
排队的内容虽然不同，但有如下共同特征：有请求服务的人或物，如候诊的病人、请求着陆的飞机等，我们将此称为“顾客”。
有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称此为“服务员”。
由顾客和服务员就组成服务系统。
顾客随机地一个一个（或者一批一批）来到服务系统，每位顾客需要服务的时间不一定是确定的，服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队，而某些时候服务员又空闲无事。
排队论主要是对服务系统建立数学模型，研究诸如单位时间内服务系统能够服务的顾客的平均数、顾客平均的排队时间、排队顾客的平均数等数量规律。
一、排队论的一些基本概念为了叙述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成部分：输入过程即顾客来到服务台的概率分布。
排队问题首先要根据原始资料，由顾客到达的规律、作出经验分布，然后按照统计学的方法（如卡方检验法）确定服从哪种理论分布，并估计它的参数值。
我们主要讨论顾客来到服务台的概率分布服从泊松分布，且顾客的达到是相互独立的、平稳的输入过程。
所谓“平稳”是指分布的期望值和方差参数都不受时间的影响。
排队规则即顾客排队和等待的规则，排队规则一般有即时制和等待制两种。
所谓即时制就是服务台被占用时顾客便随即离去；等待制就是服务台被占用时，顾客便排队等候服务。
等待制服务的次序规则有先到先服务、随机服务、有优先权的先服务等，我们主要讨论先到先服务的系统。
服务机构服务机构可以是没有服务员的，也可以是一个或多个服务员的；可以对单独顾客进行服务，也可以对成批顾客进行服务。
和输入过程一样，多数的服务时间表示服务员为都是随机的，且我们总是假定服务时间的分布是平稳的。
若以ξn}，n=1，2，…第n个顾客提供服务所需的时间，则服务时间所构成的序列{ξn所服从的概率分布表达了排队系统的服务机制，一般假定，相继的服务时间ξ1，ξ2，……是独立同分布的，并且任意两个顾客到来的时间间隔序列{T n}也是独立的。
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[1]吴希.医院门诊系统的排队过程模型[J].中国 医药导报,2007,4(25):131—132. [2]彭迎春,董斯彬,常文虎.运用排队论模型测量 医 院 门 诊 流 程 效 率 [J]. 中 华 医 院 管 理 杂 志,2005,21(12):806—809. [3]李军,徐玖.运筹学一非线性系统优化[M].北京: 科学出版社2003:42 —50. [4]钱颂迪.运筹学[M].清华大学出版社,2005. [5]唐应辉,唐小我.排队论——基础与分析技术[M] 科学出版社,2006.
资源学院2010级本科生 朱南华诺娃 201011191012
假设：一个诊疗室里有数名医生，患者到 达服从泊松分布，服务时间服从指数分布， 先到先服务。 模型1：K个M/M/1模型，就是指患者把病案 放在各个医生处排队，患者到达间隔时间 和服务时间(诊治时间)是相互独立的。 模型2：M/M/K模型，是指患者把病案放在 门口排队，由一名护士按次序送到空闲的 医生处。
模型1OR模型2？
假设：该诊疗室每天平均有6名患者前来，每人平 均服务时间为l小时，前来的患者按泊松分布到达， 服务时间服从指数分布，每天按8小时计。则平均 到达率=6／8=0.75人／小时，平均服务率=1人／小 时，服务强度=0.75／1=0.75 在M／M／1模型中：
由此可知，M/M/K模型中患者的平均排队等 待时间为0.19小时。
通过上述指标的计算，理论证明，一个 M/M/K模型比K个M/M/1模型更合理。M/M/K 模型既方便患者，又可以提高医疗资源的 使用效率。即，如果一个诊室内有数名医 生，应把病案放在门口排队，由一名护士 按次序送到空闲的医生处，而不是把病案 放在各个医生处排队。
逗留的患者的平均人数： Ls= 3人 患者的平均逗留时间： Ws=4小时 等待患者的平均人数： Lq=2.25人 患者的平均排队等待时间： Wq=3小时
由此可知，K个M/M/1模型中患者的平均排 队等待时间为3小时。
假设：各种特征的规定和假设与模型1相同，假定K 个服务台并联排列，各服务台独立工作，其平均服 务率相同，即μ1=μ2=…=μk=μ因此，该系统的平均 服务率为kμ。 1 P 1 1 k 在M/M/K模型中： ( ) ( )(
0
k 1
n
k
( / )k Lq P0 2 (k 1)!(k )
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( / )k P0 (k 1)!(k )2 1 k k ( )( )P0 k! k
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Hale Waihona Puke n 0 n! ( / )n Pn P0 ,n n! ( / )n Pn P0 ,n n k k! k ( / )k Ls (k 1)!(k
k!
k
)
k k
)2
P0
k
( / )k 1 Ws P0 (k 1)!(k )2
逗留的患者的平均人数： Ls= 0.89人 患者的平均逗留时间： Ws=1.19小时 等待患者的平均人数： Lq=0.14人 患者的平均排队等待时间： Wq=0.19小时