(整理)多元函数微分习题

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多元函数微分学练习题及答案

9、二元函数 z 3( x y) x 3 y 3的极值点是( ). 10、函数u sin x sin y sin z满足
x y z ( x 0, y 0, z 0)的条件极值是
2 ( ).
二、讨论函数 z
x x3
y y3
的连续性，并指出间断点类型.
三、在球面 x2 y2 z2 5R2 (x 0, y 0, z 0)上，求函数
xyz3 3 3R5,故 x2 y2 z6 27R10
令 x2 a, y2 b, z2 c, 又知 x2 y2 z2 5R2
则
abc3
27
a
b
c
5
a
0, b
0, c
0
5
四、1、
z x (ln y) x ln y1 ,
zy
ln x y
x ln y
2、ux
f1
yf
.
2
( yz xyzx ) f3 ,
u y xf2 ( xz xyz y ) f 3
.
3、f x ( x, y)
(
x
2 xy 3 2 y2
)2
,
x
2
0, x 2 y 2 0
y2
0 ,
f y (x,
y)
x2(x2 (x2
y2 y2 )2
)
,

(完整版)多元函数微分法及其应用习题

第八章多元函数微分法及其应用

一．填空题

。函数z =的定义域是

2、0

sin lim x y xy

→→= 3、2222

1cos()

lim x y x y x y →→-+=+

、设z =那么

z x ∂=∂ ,z

∂=∂ 5、已知22ln(1)z x y =++，则(1,2)

dz =

6、设(,)3ln(1)f x y x xy =++，则(1,2)x f = ，(1,2)xy f =

7、设f(x,y)在点（a ，b)处的偏导数存在，则0

(,)(,)

lim

x f a x b f a x b x

→+--=

8、若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2 ，则在D 上， x

y z

y x z ∂∂∂=

∂∂∂22。 9。函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 10、函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的条件。

11、)()(1

y x y xy f x

z +ϕ+=

，f 、ϕ具有二阶偏导数，则=∂∂∂y

x z 2 。 12．设3

2) , ,(z

xy z y x f =，其中) ,(y x z z =是由方程032

=-++xyz z y x 所确定的隐函数，

则=)1 ,1 ,1(x f

。 13．若函数),(y x f z =可微,且1),(2=x x f ，x x x f x =),(2，则当x =),(2x x f y 。

（完整版）多元函数微分法及其应用习题及答案

第八章多元函数微分法及其应用

(A)

1．填空题．填空题

(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，x

y z ∂∂∂2

，则在D 上，上， x y z

y x z ∂∂∂=∂∂∂22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的处可微的条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的处连续的条件。条件。 2．求下列函数的定义域．求下列函数的定义域

(1)y x z -=；(2)2

arccos y

x z

u +=

3．求下列各极限．求下列各极限

(1)x xy

y x sin lim 00→→； (2)11lim 0

0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及2

x z ∂∂∂

。 5．求下列函数的偏导数．求下列函数的偏导数

(1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)3

2z xy e u =。

6．设u t uv z cos 2

+=，t

e u =，t v ln =，求全导数

dt dz

。 7．设()z y e u x

-=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt

du 。 8．曲线⎪

⎩⎪⎨⎧=+=4

2y y

x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？轴的倾角是多少？ 9．求方程

多元函数微分练习题

1、设函数f (x ) 具有二阶连续导数，且f (x ) >0, f '(0)=0，则函数． z =f

(x )ln f (y ) 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是【】

（A ）f (0)>1f ''(0)>0 ；

（B ）f (0)>1f ''(0)

（C ）f (0)0 ；（D ）f (0)

⎛y z ⎛

, ⎛=0确定，其中F 为可微函数，且F 2'≠0，则⎛x x ⎛

∂z ∂z

+y =【】. ∂x ∂y

(A )x ； (B )z ； (C )-x ； (D )-z ．

3、函数f (x , y ) =arctan

x y

在点(0,1) 处的剃度等于【】

(A )i ；

(B )-i ； (C )j ；

(D )-j ．

4、

设f (x , y ) =，则函数f (x , y ) 在原点偏导数存在的情况是【】

(A )f x '(0,0), f y '(0,0)都存在； ) f y '(0,0)存在； (B )f x '(0, 0不存在，

) f y '(0,0)不存在； (C )f x '(0, 0存在，(D )f x '(0,0), f y '(0,0)都不存在．

5、二元函数f (x , y ) 在点(0,0)处可微的一个充分条件是【】.

⎛f (x , y )-f (0,0)⎛(A )(x , y lim ⎛=0；)→(0,0)⎛

(B ) lim x →0

f (x ,0)-f (0,0)f (0, y )-f (0,0)

=0，且lim =0；

多元函数微分学复习题及标准答案

多元函数微分学复习题及答案

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答

一、选择题

1. 极限lim x y x y x y

→→+00

242= （提示：令22

y k x =）（ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于

12 (D) 存在且不等于0或1

2、设函数f x y x y y x

xy xy (,)sin sin

=+≠=⎧

⎨⎪⎩⎪1100

，则极限lim (,)x y f x y →→0

= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）

(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2

3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪

⎩

⎪22

2222000

，则(,)f x y （ A ）

（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，

2222

lim

0(0,0)1x x y kx kx f x k x k →→→===++ ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，

(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）

(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续

4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ） (A)必要而非充分条件

多元函数微分习题.docx

一、选择题

1. z = In yjx~ - y 的定义域是

A. ｛（X, v ） |x 2 > V ）;

B. ｛（X, v ） | X 2 > y ｝：

C. ｛（X, v ） |x 2 < y ｝：

D. ｛（X, V ）|x 2 < V ）.

2.函数z = /(x, y)在点(x 0, v 0)处对y 的偏导数是

A lim /(心 + 山，几+勺)—/(X 。，％)r 丘皿 g + 心,％ + △『)—/(x°,几) C Um /(Xo + Ax, X )) —/(兀,几).

D lim /(Xo ，%+4v) —/(Xo’o)

AXTO A X

R TO A X

3. 如果/(x, y)具有二阶连续偏导数，则空华卫= (D )

oxoy

A . o ；

B . ^21； c. ^21； D . ^2).

a%2 dy2

dydx

4. 函数z = /(x,y)在点(无)，％))处连续是函数在该点处可微分的

(B )

A.充分但不必要条件；

B.必要但不充分条件；

C.必要且充分条件；

D.既不充分也不必要条件. 5. 设z= I 1 =,则下列结论中正确的是

(C )

1 、一 2 (2)

A.在xoy 平面上连续；

B.在xoy 平面上，只有((

C.在圆周x 2 + v 2 = 1上间断；

D.在x' + y~ < 1内连续二、计算题

1.已知 /(x, y) = x y + 2xy ,试求 /(2,-1)和/(" + 2v, z/v). 解:因为 /(x, v) = X'v + 2xy

多元函数微分习题.doc

一、选择题

1. z = In ^x~ - y 的定义域是 ( A )

A. {(x 9y)lx 2 {(x,y)|x 2 > j} ； C. {(x, y)\x 2

2. 函数z = /(x, y)在点(A ：。，y°)处对y 的偏导数是 (D )

/Uo +

% + 3)— /3o,光).B 1血'以。+ 耸，Vo + 颂)-,3。，>o )

△.VT O A. lim 心 TO

A X

C lim + E %)一 '(尤0,光)

Av->0

Ar 3.如果/(x, y)具有二阶连续偏导数, 心 D. 1血/(*。见+颂)一'"。，光)

Ay->0

则 3"(x ，y) = dxdy

A. 0

R 32

/(x,y)

- IF -

y/g)

4. A. C.

5. dydx

函数z = f(x, y)在点(x 0, y 0)处连续是函数在该点处nj 微分的充分但不必要条件； B.必要但不充分条件；必要且充分条件； D.既不充分也不必要条件. 设z= .

则下列结论中正确的是

Jl-f 之在xoy 平面上连续；在圆周%*" + y 2 = 1上间断；

B.在xoy 平面上,只有(0,1)、(1,0)为间断点;

D.在工2 + y2 < 1内连续. A. C.

二、计算题

1. 已知 /(x, y) = x y + 2xy ,试求 /(2,-l) f(u + 2v,uv).

解:因为 f(x, y) = x y + 2xy

所以 /(2-l) = 2-1 +2x2x(—1) = — -4 = --

f(u + 2v, wv) = (" + 2v)HV

多元函数微分学习题

多元函数微分学习题答案

基本要求：⼆元函数的定义域及图⽰，⼆元函数的极限，⼆元函数的间断点，连续函数的基本性质，偏导数求法，⾼阶偏导数，全微分及全增量，多元函数求导法则，空间曲线的切线与法平⾯⽅程，空间曲⾯的切平⾯和法线⽅程，梯度计算，多元函数的极值的判定，简单的条件极值。

填空题

1、函数z=ln(x-y-1)的定义域为 .

、函数22

ln(4)

z x y

=--的定义域是 .

3、极限

0sin

lim x a y

xy y

→→=，2

lim(243)

x xy x y

→

+-+=

，

→

= .

4、函数f(x,y)=ln(x2+y2)的间断点为 .

5、

x y

在处间断.

6、设z=xy，则关于x的偏导数为，关于y的偏导数为。

7、函数z=x2y-xy2在点(1,2)处的全微分.

函数z=y sin xy的全微分dz=

8、函数f(x,y,z)=xyz在点(1,1,2)处的梯度grad f(x,y)= .

9、函数z=x2y-xy的驻点为，它不是极值点.

函数u=x2+y2+z2的极⼩值为 .

10、曲⾯z=x3+y3-3xy在点(0,-1,-1)处的切平⾯⽅程为 .

选择题

1、下列说法正确的是（）

（A）有界区域都是闭区域（B）开区域⼀定是⽆界区域

（C）闭区域⼀定有界（D）邻域是闭区域

2、下列说法正确的是（）

（A）连续函数⼀定有最值（B）有界区域上的连续函数⼀定有最值（C）闭区域上连续函数⼀定有最值（D）连续函数⼀定有极⼤值和极⼩值

3、对于⼆元函数f(x,y),下列说法正确的是（）

（A）函数在某点处关于x,y的偏导数均存在，则函数在该点连续

(完整版)多元函数微分法及其应用习题及答案

第八章多元函数微分法及其应用

(A)

1．填空题

(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，x

y z

∂∂∂2 ，则在D 上，

y z

y x z ∂∂∂=∂∂∂22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的条件。 2．求下列函数的定义域

(1)y x z -=；(2)2

arccos y

x z u +=

3．求下列各极限

(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0

0-+→→xy xy

y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→

4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及2

3y x z

∂∂∂。 5．求下列函数的偏导数 (1)x

arctg

z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数

dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt

。

8．曲线⎪⎩

⎪⎨⎧=+=

4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？

9．求方程122

2222=++c

z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。

多元函数微分学复习题

一、偏导数与全微分

在多元函数微分学中，偏导数和全微分是非常重要的概念。偏导数表示函数在某一变量上的变化率，而全微分则表示函数在所有变量上的变化率。

1. 对于函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，求关于 x 的偏导数∂f/∂x 和关于 y 的偏导数∂f/∂y。

2. 对于函数 z = e^(x+y)，求关于 x 的全微分 dz。

3. 对于函数 f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2，求关于 x, y, z 的全微分 df。

二、链式法则与隐函数定理

链式法则和隐函数定理是多元函数微分学中的重要工具，它们用于求解复杂的多元函数导数和隐函数的导数。

1. 对于函数 z = f(x, y) = x^2 + y^2，其中x = rcosθ，y = rsinθ，求 dz/dr 和dz/dθ。

2. 对于方程 x^2 + y^2 + z^2 = 1，求 dz/dx 和 dz/dy。

三、方向导数与梯度

方向导数和梯度是用来描述函数在某一方向上的变化率的工具，它们在多元函数微分学中也是非常重要的概念。

1. 对于函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，求点 (1, 2) 处沿着向量 v = (3, 4) 的方向导数。

2. 对于函数 f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2，求点 (1, 1, 1) 处的梯度。

四、极值与最值

极值和最值是多元函数微分学中的核心概念，它们用于求解函数的最大值和最

小值。

1. 对于函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，求函数的极值点和极值值。

多元函数微分学复习题

一、偏导数与全微分

在多元函数微分学中，偏导数与全微分是非常重要的概念。偏导数用来描述一个函数在某一点上沿着某个坐标轴方向的变化率，而全微分则是描述函数在某一点上的变化率。下面我们通过一些具体的例子来复习一下这两个概念。

例1：计算函数 f(x,y) = x^2 + 3xy + y^2 在点 (1,2) 处的偏导数。

解：对于 f(x,y) = x^2 + 3xy + y^2 ，我们分别对 x 和 y 求偏导数。对于 x 的偏导数，我们将 y 视为常数，即有：

∂f/∂x = 2x + 3y

对于 y 的偏导数，我们将 x 视为常数，即有：

∂f/∂y = 3x + 2y

所以，在点 (1,2) 处的偏导数分别为：

∂f/∂x = 2(1) + 3(2) = 8

∂f/∂y = 3(1) + 2(2) = 7

例2：计算函数 f(x,y) = e^x + ln(y) 在点 (1,2) 处的全微分。

解：对于 f(x,y) = e^x + ln(y) ，我们需要先计算其偏导数。对于 x 的偏导数，我们有：

∂f/∂x = e^x

对于 y 的偏导数，我们有：

∂f/∂y = 1/y

所以，在点 (1,2) 处的全微分为：

df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy

= e^x dx + (1/y) dy

= e^1 dx + (1/2) dy

= e dx + (1/2) dy

二、梯度与方向导数

梯度和方向导数是多元函数微分学中与偏导数和全微分密切相关的概念。梯度描述了一个函数在某一点上的变化率最大的方向，而方向导数则描述了函数在某一点上沿着某个给定方向的变化率。

多元函数微分习题

2
19、设 sin
y + e x − xy 2 = 0 , 求
dy . dx
答案 :
dy y2 − ex = dx cos y − 2 xy
20、设 x + 2 y + z − 2 xyz = 0 ，求 ∂z , ∂z . ∂ x ∂y
答案 : ∂z yz − xyz ∂z xz − 2 xyz = = , ∂x xyz − xy xyz − xy ∂y
6、求下列函数的偏导数:(1) z = sin( xy ) + cos 2 ( xy ) ; (2) （3） z =
y
ln( xy ) ;
（4） u = arctan( x − y ) z ;
(5) u = x z
∂z ∂z 答案：（1） . = y (cos xy − sin 2 xy ), = x (cos xy − sin 2 xy ); ∂x ∂y (2). ∂z 1 ∂z e y ∂z xe y ( y − 2) = , = 2, = . (3). 3 ∂x 2 x ln( xy ) ∂y ∂x y y
多元函数微分法及其应用
1、求下列函数的定义域： (1) z = (3)
x−
y; z x2 + y2
;
（2） z = ln( y 2 − 2 x + 1) ; (4) z = ln( y − x ) +

(完整版)多元函数微分学复习题及答案

第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答

一、选择题

1. 极限lim x y x y

x y

→→+00

242= （提示：令22y k x =）（ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于

12 (D) 存在且不等于0或1

2 2、设函数f x y x y y x

xy xy (,)sin sin

=+≠=⎧

⎨⎪⎩⎪1100

，则极限lim (,)x y f x y →→0

= （ C ）

（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）

(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2

3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪

⎩

⎪22

2222000

，则(,)f x y （ A ）

（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =

，

0(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，

(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）

(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续

4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ） (A)必要而非充分条件

(B)充分而非必要条件

(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件

5、设u y x =arctan ，则∂∂u x = （ B ）

(A)

x y 22

(B) -

+y x y 22 (C) y

x y 22

多元函数的微分学典型例题

例 1 设 2 2 y xy x z + - = ．求它在点 ) 1 , 1 ( 处沿方向v = ) sin , cos ( a a 的方向导数，并指出：

（1）沿哪个方向的方向导数最大？（2）沿哪个方向的方向导数最小？（3）沿哪个方向的方向导数为零？

解 1 ) 1 , 1 ( = x z ， 1 ) 1 , 1 ( = y z ． ) 1 , 1 (v z

¶ ¶ a a sin cos + = ．因此

（1）函数 a a a j sin cos ) ( + = 在 4

a = 取最大值，即沿方向 ) 1 , 1 ( 的方向导

数最大．

（2）函数 a a a j sin cos ) ( + = 在 4 p

a - = 取最小值，即沿方向 ) 1 , 1 ( - - 的方

向导数最小．

（3） 4

a - = 是函数 a a a j sin cos ) ( + = 的零点，即沿方向 ) 1 , 1 (- 的方向

导数为零．

例 2 如果函数 ) , ( y x f 在点 ) 2 , 1 ( 处可微，且从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 2 , 2 ( 方向的方向导数为2，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 1 , 1 ( 方向的方向导数为 2 - ．求（1）该函数在点 ) 2 , 1 ( 处的梯度；

（2）该函数在点 ) 2 , 1 ( 处从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 6 , 4 ( 方向的方向导数．解（1）设 x f 和 y f 分别表示函数 ) , ( y x f 在点 ) 2 , 1 ( 处关于x 和 y 的偏导数，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 2 , 2 ( 的方向为 1 l ，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 1 , 1 ( 的方向为 2 l ，则 1 l 和 2 l 的方向余弦分别为 ) 0 , 1 ( 和 ) 1 , 0 ( - ，于是就有

多元函数微分学练习题及答案

4、lim( x 2 y )2 x2 y2 ( ). x0 y0
5、函数 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续,且两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )存在是 f ( x, y)在该点可微
的( ).
6、设
f
( x,
y)
( x 2
8、
9 2
a
3
；
9、(1,2)；10、 1 ； 8
二、(1)当 x y 0时,在点( x, y)函数连续；
(2)当 x y 0时,而( x, y)不是原点时,
则( x, y)为可去间断点,(0,0)为无穷间断点.
三 .设 Lx,y,z,ln xlny3ln z(x2y2z25R2)
求得此函数一定的义稳 R，域定，3R R，内点也唯是所求函数的，所最求大最值 fR,大 R点 , 3值 Rl为 n33R5.
lnxlny3lnzln3 3R5
xyz3 3 3R5,故 x2y2z6 27R10
令 x2 a, y2 b,z2 c, 又知x2 y2 z2 5R2
则 ab3c27abc5 a0,b0,c0
5
四、1、
zx(lyn )xln y1,
zy

ln x y
Hale Waihona Puke Baidu

多元函数微分学练习题

多元函数微分法及其应用

一、选择题（每小题3分，共30分）

、函数z =的定义域是（）．

A 2{(,)|0}x y y x ≤≤

B 2

{(,)|0}x y y x <≤ C 2{(,)|0,0}x y x y x ≥≤≤ D 2{(,)|0,0}x y x y x ><≤

2、二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 存在，则(,)f x y 在该点（）．

A 连续

B 不连续

C 可微

D 不一定可微

3、已知曲面224z x y =−−上点P 的切平面平行于平面2210x y z ++−=，则点P 的坐标是（）．

A (1,1,2)−

B (1,1,2)

C (1,1,2)−

D (1,1,2)−−

4、已知2

()()x ay dx ydy x y +++为某函数的全微分，则a 为（）． A －1 B 0 C 1 D 2 5、已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某邻域内连续，且222(,)(0,0)

(,)lim 1()x y f x y xy x y →−=+，则（）．

A 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点 C 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点

C 点(0,0)是(,)f x y 的极小值点

D 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点

6、函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处0000(,),(,)x y f x y f x y ′′存在，则

(,)z f x y =在该点（）