因式分解定理

§5 因式分解定理
一、不可约多项式
C
on i x i x x x R on x x x Q on x x x )2)(2)(2)(2()
2)(2)(2()
2)(2(42224+-+-=++-=+-=-. 1．定义8 数域P 上次数1≥的多项式)(x p 称为域P 上的不可约多项式
(irreducible polynomical)，如果它不能表成数域P 上的两个次数比)(x p 的次数低的多项式的 乘积.
2．注：1）、根据定义，一次多项式总是不可约多项式；
2）、一个多项式是否可约是依赖于系数域的；
3）、零多项式与零次多项式不说可约或不可约；
4）、不可约多项式)(x p 的因式只有非零常数（0c ≠）
与它自身的非零常数倍)0)((≠c x cp 这两种，此外就没有了。

反过来，具有这个性质的次数1≥的多项式一定是不可约的
证：若1)(=∂x f ，结论显然成立。

1)(>∂x f ，假设)(x f 可约，
则)()(),()(
),()()(x f x h x f x g x h x g x f ∂<∂∂<∂= 而)(x f 只有因式 c （0≠）与它自身的非零常数倍)0)((≠c x cf
必有()g x c =，此时=)(x h )0)((≠c x cf ，而)()(x f x h ∂<∂，矛盾；
或)(x g =)0)((≠c x cf ，与)()(x f x g ∂<∂，所以)(x f 不可约，
5）、.由此可知，不可约多项式)(x p 与任一多项式)(x f 之间只可能有两种关系， 或者)(|)(x f x p 或者1))(),((=x f x p .
证：设)())(),((x d x f x p =，则)(|)(x p x d ，而)(x p 为不可约多项式，
所以)(x d =)0)((≠c x cp 即)(|)(x f x p ；或)(x d 为零次多项式，即)(x d =1。

该结论反之也成立。

3．定理5 如果)(x p 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式)(),(x g x f ，
由)()(|)(x g x f x p 一定推出)(|)(x f x p 或者)(|)(x g x p .
推广：如果不可约多项式)(x p 整除一些多项式
)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积)()()(21x f x f x f s ，那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个.
练习 P45. 12, 13, 14.
二、因式分解定理
1．因式分解及唯一性定理
数域P 上次数1≥的多项式)(x f 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的 乘积，.所谓唯一性是说，如果有两个分解式
)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==,
那么必有t s =，并且适当排列因式的次序后有
s i x q c x p i i i ,,2,1,)()( ==.
其中),,2,1(s i c i =是一些非零常数.
证：（一）、分解式的存在性
对n x f =∂)(用归纳法
当1=n ，一次多项式一定不可约，结论成立。

假设结论对次数小于n 的多项式成立，
若)(x f 不可约，结论成立。

若)(x f 可约，令n x f x h n x f x g x h x g x f <∂<∂<<∂<∂<=)()(0,)()( 0 ),()()(，
由归纳假设，)(x g ，)(x h 可分解成一些不可约多项式的乘积：
)()()()(21x p x p x p x g s =，)()()()(21x q x q x q x h t =
所以，)()()(x h x g x f ==)()()(21x p x p x p s )()()(21x q x q x q t ，
由归纳原理，结论成立。

（二）、唯一性
设)(x f 可分解成一些不可约多项式的乘积：
)()()()(21x p x p x p x f s =及)()()()(21x q x q x q x f t =
则)()()()(21x p x p x p x f s =)()()(21x q x q x q t = （*）
对个数s 用归纳法：
若s =1，则)()(1x p x f =不可约，必有1=t 且)()()(11x q x p x f ==
假设个数为1-s 时结论成立，下证个数为s 时成立，
由（*）式得 |)(1x p )()()(21x q x q x q t
因)(1x p 不可约，所以)(1x p 整除)(,),(),(21x q x q x q t 中一个，
不妨设|)(1x p )(1x q ，而)(1x q 也不可约，所以
11)(C x p =)(1x q （1）
带入（*）得：)()(2x p x p s )()(21
1x q x q C t -=
由归纳假设，有t s t s =-=- , 11
适当排序后，有：
1
1' 22)(-=C C x p )(2x q 即22)(C x p =)(2x q （2）
i i C x p =)()(x q i s i ,,4,3 = （3）
由（1），（2），（3）结论得证。

2．注：
1）、应该指出，因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出一个 具体的分解多项式的方法.实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法 是不存在的.
2）、在多项式)(x f 的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，
使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并.于是)(x f 的分解式 成为
)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r =,
其中c 是)(x f 的首项系数，)(,),(),(21x p x p x p s 是不同的首项系数为1的不可约多项式， 而s r r r ,,,21 是正整数.这种分解式称为标准分解式.
3）、如果已经有了两个多项式的标准分解，就可以直接写出两个多项式的最大公因式. 多项式)(x f 与)(x g 的最大公因式)(x d 就是那些同时在)(x f 与)(x g 的标准分解式 中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在)(x f 与)(x g 中所带的方 幂中较小的一个.
由以上讨论可以看出，带余除法是一元多项式因式分解理论的基础.
4）、若)(x f 与)(x g 的标准分解式中没有共同的不可约多项式，则)(x f 与)(x g 互素.
5）、上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法，因为在一般情况下，没有实际分解多项式为不可约多项式的乘积的方法，即使要判断数域P 上一个多项式是否可约一般都是很困难的.
例 1、在有理数域上分解多项式22)(23--+=x x x x f 为不可约多项式的乘积.
例 2、设（)(),(x g x f ）=1，则 （)()(),()(x g x f x g x f + ）=1，
例 3、若)(|)(22x g x f ，则 )(|)(x g x f
证：0 )()()()(21210≥=i k s k k k x p x p x p a x f s
0 )()()()(21210≥=i l s l l l x q x q x q b x g s
所以 0 )()()()(222
2120221≥=i k s k k k x p x p x p a x f s 0 )()()()(2222120221≥=i l s l l l x q x q x q b x g s
因)(|)(22x g x f ，所以 i i l k 220≤≤ ， 即s i l k i i ,,2,1 0 =≤≤
则 )(|)(x g x f。