商人过河问题

商人过河问题数学建模

作业1、2：商人过河一、问题重述问题一：4个商人带着4个随从过河，过河的工具只有一艘小船，只能同时载两个人过河，包括划船的人。

随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货。

乘船渡河的方案由商人决定。

商人们怎样才能安全过河?问题二：假如小船可以容3人，请问最多可以有几名商人各带一名随从安全过河。

二、问题分析问题可以看做一个多步决策过程。

每一步由此岸到彼岸或彼岸到此岸船上的人员在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河。

用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员情况，可以找出状态随决策变化的规律。

问题就转换为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。

三．问题假设1. 过河途中不会出现不可抗力的自然因素。

2. 当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。

3．船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。

4. 随从会听从商人的调度。

四、模型构成x(k)~第k次渡河前此岸的商人数x(k),y(k)=0,1,2,3,4;y(k)~第k次渡河前此岸的随从数k=1,2,…..s(k)=[ x(k), y(k)]~过程的状态S~允许状态集合S={(x,y) x=0,y=0,1,2,3,4; x=4,y=0,1,2,3,4;x=y=1,2,3}u(k)~第k次渡船上的商人数u(k), v(k)=0,1,2;v(k)~ 第k次渡船上的随从数k=1,2…..d(k)=( u(k), v(k))~过程的决策 D~允许决策集合D={u,v |u+v=1,2,u,v=0,1,2}状态因决策而改变s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)~状态转移律求d(k) ∈D(k=1,2,….n),使s(k)∈S 并按转移律s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)由（4,4）到达（0,0）数学模型：k+1k S =S +k k D （-1）（1）'4k k x x += （2）'4k k y y += （3）k.k x y ≥ （4）''k k x y ≥ （5）模型分析：由（2）（3）（5）可得44kk x y -≥- 化简得k k x y ≤综合（4）可得k k x y = 和 {}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （6）还要考虑 {}'(',')|'0,'0,1,2,3,4kk k k k S x y x y === （7）把（2）（3）带入（7）可得{}(4,4)|40,40,1,2,3,4k k k k k S x y x y =---=-=化简得{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8）综合（6）（7）（8）式可得满足条件的情况满足下式{}(,)|0,4,0,1,2,3,4;k k k k k k k S x y x y x y ==== （9）所以我们知道满足条件的点如上图所示：点移动由{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8）到达{}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （6）时，可以认为完成渡河。

5---安全渡河问题

S k = ( xk , yk )
k
决策, 决策,取奇偶数与前面表示意义相同，则状态转移满足下列关系：
S k +1 = S k + (−1) k d k
•
• 我们的问题就成为：求决策
kSk ∈ S来自dk ∈ D( ＝1，2，…)使 • 状态按(2．2．1)式由初始状态状态按(2． 1)式由初始状态经步转移到的最小的n值。
• 为便于计算机求解，记允许状态集合和决
策向量集合分别为
D = {(u , v) u + v = 1,2, ; u , v = 0,1,2} S = {( x, y ) x = 0, y = 0,1,2,3; x = 3, y = 0,1,2,3; x = y = 1,2}
• 并以， • ＝1，2，…表示状态变化过程，表示过河
安全渡河问题
问题：三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全渡河呢？
• 这是一道阿拉伯早期的智力题，有多种解法，下面介绍 • •
• • •
两种。 1．应用状态转移法求解商人过河问题同样是带有约束条件的过河问题，可视为一个多步决策过程，每一步，即船由南岸到北岸或由北岸到南岸，都要对船上人员(商人、随从各几人) 到南岸，都要对船上人员(商人、随从各几人)作出决策，在允许的前提下，有限次内使三对商人全部过河。记第次过河前南岸的商人数为，随从数为，＝，，＝0 记第次过河前南岸的商人数为，随从数为，＝，，＝0， 1，2，3，则状态向量可表为(，)，所有可能状态共16个，，则状态向量可表为( ，所有可能状态共16个，其可取状态或允许状态有10个：其可取状态或允许状态有10个： (0，0)．(0，1)，(0，2)，(0，3)，(3，0) (0，0)．(0，1)，(0，2)，(0，3)，(3， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(1，1)，(2，2) (3，1)，(3，2)，(3，3)，(1，1)，(2，

动态规划第7讲 - 商人过河问题

8.7 动态规划：商人过河问题问题提出三名商人各带一个随从乘船渡河（A岸到B岸）。

现此岸有一小船只能容纳两人，由他们自己划行。

若在河的任一岸随从人数比商人多，他们就可能杀人越货。

不过如何乘船渡河的大权由商人们掌握。

商人们怎样才能安全过河呢?模型建立此问题可视为一个多步决策模型建立决策变量:(a,b)a------船上的商人数b ------船上的随从数a,b的取值范围：{0，1，2}且满足a+b<=2，且均为整数。

允许决策集合：D={(a,b)|a+b=1,2}={(0,1), (0,2), (1,1), (1,0), (2,0)}模型求解这样问题要求由(3，3，1)变到(0，0，0)的一条道路。

根据题意，状态转移时要满足一定的规则：1. Z从1变为0与从0变为1交替进行(船在哪个岸)；2. 当Z从1变为0时，即船从A岸到B岸，A岸人数减少1或2个；即(x,y,1)→(u,v,0)时, u≤x, v≤y, u+v=x+y-1 oru+v=x+y-23. 当Z从0变为1时，即船从B岸到A岸，A岸人数增加1或2个；即(x,y,0)→(u,v,1)时, u≥x, v≥y,u+v=x+y+1 oru+v=x+y+24. 不重复已出现过的状态，如(3,3,1)→(3,1,0)→(3,3,1)；按照以上规则，求解过程如下从(3，2，0)只能到达(3，3，1)/*不必考虑*/从(3,3,1)出发(3,2,0)(3,1,0)如右图(2,2,0)(3,3,1)(3,2,0)(3,1,0)(2,2,0)从(3,1,0)出发(3,3,1) /*不必考虑*/(3,2,1)/*可取*/从(2,2,0)出发(3,3,1) /*不必考虑*/(3,2,1)/*可取*/模型求解如下图所示：逐步求解，可得:模型求解由此可得到渡河策略:(3,3,1) (3,2,1)→(3,0,0)→(3,1,1)→(1,1,0)→(2,2,1)→(0,2,0)→(0,3,1)→(0,1,0) (0,0,0)(2,2,0)(3,1,0)(1,1,1)(0,2,1)模型求解思考(1) 夫妻过河问题有三对夫妻要过河，船最多可载两人。

4名商人带4名随从安全过河

4名商人带4名随从安全过河一．问题提出：4名商人带4名随从乘一条小船过河，小船每次自能承载至多两人。

随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.乘船渡河的方案由商人决定，商人们如何才能安全渡河呢？二．模型假设：商人和随从都会划船。

三．问题分析：商随过河问题可以视为一个多步决策过程，通过多次优化，最后获取一个全局最优的决策方案。

对于每一步，即船由此岸驶向彼岸或由彼岸驶向此岸，都要对船上的人员作出决策，在保证两岸的商人数不少于随从数的前提下，在有限步内使全部人员过河。

用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律，问题转化为在状态的允许变化范围内(即安全渡河条件)，确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。

四．模型构成：xk~第k次渡河前此岸的商人数，yk~第k次渡河前此岸的随从数xk, yk=0,1,2,3,4; k=1,2,……Sk=(xk, yk)~过程的状态,S~允许状态集合，S={(x,y)| x=0, y=0,1,2,3,4; x=4 ,y=0,1,2,3,4; x=y=1,2,3} uk~第k次渡船上的商人数vk~第k次渡船上的随从数dk=(uk, vk)~决策，D={(u , v)| 1=<u+v=<2,uk, vk=0,1,2} ~允许决策集合 k=1,2,……因为k为奇数时船从此岸驶向彼岸，k为偶数时船从彼岸驶向此岸，所以状态Sk随决策dk的变化规律是Sk1=Sk+(-1)k dk~状态转移律求dk∈D(k=1,2, …n), 使Sk∈S, 并按转移律由S1=(4,4)到达状态Sn1=(0,0)。

五．模型求解：1.图解法：对于人数不多的情况，可以利用图解法来求解。

在xoy平面坐标系上画出如图所示的方格，方格点表示状态s=(x,y)，允许状态集合S是圆点标出的13个格子点，允许决策dk是沿方格线移动1格或2格，k为奇数时向左、下方移动，k为偶数时向右、上方移动。

商人过河问题一、三名商人各带一名随从的情况1．问题（略）2．模型假设①当一边岸满足随从数大于商人数，但商人数为0时仍为一种安全状态；②小船至多可容纳2人，且渡河时由随从（或者商人）来划船。

3．分析与建模商人过河需要一步一步实现，比如第一步：两个仆人过河，第二步：一个仆人驾船回来，第三步：又是两个仆人过河，第四步：……其中每一步都使当前状态发生变化，而且是从一种安全状态变为另一种安全状态。

如果我们把每一种安全状态看成一个点，又如果存在某种过河方式使状态a变到状态b，则在点a和点b之间连一条边，这样我们把商人过河问题和图联系起来，有可能用图论方法来解决商人过河问题。

建模步骤：⑴首先要确定过河过程中的所有安全状态，我们用二元数组(,)x y 表示一个安全状态（不管此岸还是彼岸），其中x表示留在此岸的主人数，y表示留在此岸的随从数。

两岸各有十种安全状态：(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(2,2),(1,1),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)⑵在两岸的安全状态之间，如存在一种渡河方法能使一种状态变为另一种安全状态，则在这两种状态之间连一条边。

这样，得到如下一个二部图（图1），其中下方顶点表示此岸状态，上方顶点表示彼岸状态。

我们的目的是要找出一条从此岸(3,3)到彼岸(0,0)的最短路。

⑶观察发现此岸的状态(0,0)，(3,0)和彼岸的状态(0,3)，(3,3)都是孤立点，在求最短路的过程中不涉及这些点，把它们删去。

两岸的点用1,2, (16)新标号。

（3,3）（3,2）（3,1）（3,0）（1,1）（2,2）（0,3）（0,2）（0,3）（0,0）○②④⑥⑧⑩○○12○14○16①③⑤○⑦⑨○11○13○15○（3,3）（3,2）（3,1）（3,0）（1,1）（2,2）（0,3）（0,2）（0,3）（0,0）(图1)4．模型求解求最短路程的matlab程序如下：function route=sroute(G,opt)%求图的最短路的Dijkstra算法程序，规定起点为1，顶点连续编号%G是给定图的邻接矩阵或弧表矩阵，程序能够自动识别%当opt=0（或缺省）时求无向图的最短路，当opt=1时求有向图的最短路%d——标记最短距离%route是一个矩阵，第一行标记顶点，第二行标记1到该点的最短路，第三行标记最短路上该点的先驱顶点while 1 %此循环自动识别或由弧表矩阵生成邻接矩阵if G(1,1)==0A=G;breakelsee=Gn=max([e(:,1);e(:,2)]); %顶点数m=size(e,1); %边数M=sum(e(:,3)); %代表无穷大A=M*ones(n,n);for k=1:mA(e(k,1),e(k,2))=e(k,3);if opt==0A(e(k,2),e(k,1))=e(k,3); %形成无向图的邻接矩阵endendA=A-M*eye(n) %形成图的邻接矩阵endbreakendpb(1:length(A))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(A));d(1:length(A))=M;d(1)=0; %标记距离temp=1;while sum(pb)<length(A)tb=find(pb==0);d(tb)=min(d(tb),d(temp)+A(temp,tb)); %更新距离temp=find(d(tb)==min(d(tb))); %确定新最小距离点temp=tb(temp(1));pb(temp)=1;index1=[index1,temp];index=index1(find(d(index1)==d(temp)-A(temp,index1)));if length(index)>=2index=index(1);endindex2(temp)=index; %记录前驱顶点endroute=[1:n;d;index2];在matlab的命令窗口输入图（1）的弧表矩阵e:e=[1 2;1 4;1 10;3 4;3 6;3 10;5 6;5 8;7 14;7 16;9 8;9 12;11 12;11 14;13 14;13 16;15 16];e=[e,ones(17,1)]; %边权都设为1调用程序：route=sroute(e,0)运行结果：e =1 2 11 4 11 10 13 4 13 6 13 10 15 6 15 8 17 14 17 16 19 8 19 12 111 12 111 14 113 14 113 16 115 16 1route =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 160 1 2 1 4 3 10 5 6 1 8 7 10 9 12 111 1 4 1 6 3 14 5 8 1 12 9 14 11 16 7这表示存在一条从1到16的长度为11的路：1 4 3 6 5 8 912 11 14 7 16，此路对应商人成功渡河的一个方案：（3,3）变为（3,1）变为（3,2）变为（3,0）变为（3,1）变为（1,1）变为（2,2）变为（0,2）变为（0,3）变为（0,1）变为（1,1）变为（0,0）即：两个仆人过河，一个仆人回来；有两个仆人过河，一个仆人回来；两个主人过河，一主一仆回来；有两个主人过河，一个仆人回来；两个仆人过河，一个仆人回来；最后两个仆人过河。

日常生活中的数学建模

改进模型：
l1: 鱼的有效长度 A1：横截面积
V l1 A 1
l1 l
2 A s 1
W kls
2
W V
数学建模
模型检验
在钓鱼比赛期间收集了有关数据:
第i条鱼长度li
腰围si
所钓鱼的长度、腰围与重量 cm, g
1 36.83
2 31.75
3

5 32.07
6
7
8 32.07
决策 ~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求 ~ 在商人安全的前提下(两岸的随从数都不比商人多), 经有限步使全体人员过河。
数学建模
模型建立及求解
xk~第k次渡河前此岸的商人数 xk, yk=0,1,2,3; 设 yk~第k次渡河前此岸的随从数 k=1,2, sk=(xk , yk)~过程的状态，S ~允许状态集合 S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
态转方程，由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0)。
数学建模
模型求解
穷举法 ~ 编程上机图解法
状态s=(x,y) ~ 16个格点
3 2
y
s1
d1
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3;
x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2} 允许状态 ~ 10个点
1
d11 0sn+1 1 2 3 x
sk+1=sk+(-1)k dk
~状态转移方程
uk~第k次渡船上的商人数 uk, vk=0,1,2; vk~第k次渡船上的随从数 k=1,2, D={(u , v) u+v=1, 2} ~允许决策集合

商人过河问题数学建模

商人过河问题数学建模作业1、2：商人过河一、问题重述问题一：4个商人带着4个随从过河，过河的工具只有一艘小船，只能同时载两个人过河，包括划船的人。

随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货。

乘船渡河的方案由商人决定。

商人们怎样才能安全过河?问题二：假如小船可以容3人，请问最多可以有几名商人各带一名随从安全过河。

二、问题分析问题可以看做一个多步决策过程。

每一步由此岸到彼岸或彼岸到此岸船上的人员在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河。

用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员情况，可以找出状态随决策变化的规律。

问题就转换为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。

三．问题假设1. 过河途中不会出现不可抗力的自然因素。

2. 当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。

3．船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。

4. 随从会听从商人的调度。

四、模型构成x(k)~第k次渡河前此岸的商人数x(k),y(k)=0,1,2,3,4;y(k)~第k次渡河前此岸的随从数k=1,2,…..s(k)=[ x(k), y(k)]~过程的状态S~允许状态集合S={(x,y) x=0,y=0,1,2,3,4; x=4,y=0,1,2,3,4;x=y=1,2,3}u(k)~第k次渡船上的商人数u(k), v(k)=0,1,2;v(k)~ 第k次渡船上的随从数k=1,2…..d(k)=( u(k), v(k))~过程的决策 D~允许决策集合D={u,v |u+v=1,2,u,v=0,1,2}状态因决策而改变s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)~状态转移律求d(k) ∈D(k=1,2,….n),使s(k)∈S 并按转移律s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)由（4,4）到达（0,0）数学模型： k+1k S =S +k k D （-1）（1） '4k k x x += （2）'4k k y y += （3）k.k x y ≥ （4）''k k x y ≥ （5）模型分析：由（2）（3）（5）可得44kk x y -≥- 化简得k k x y ≤随从y商人x综合（4）可得k k x y = 和 {}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （6）还要考虑{}'(',')|'0,'0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （7）把（2）（3）带入（7）可得{}(4,4)|40,40,1,2,3,4k k k k k S x y x y =---=-=化简得{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8）综合（6）（7）（8）式可得满足条件的情况满足下式{}(,)|0,4,0,1,2,3,4;k k k k k k k S x y x y x y ==== （9）所以我们知道满足条件的点如上图所示：点移动由{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8）到达{}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （6）时，可以认为完成渡河。

数学建模作业(商人过河问题)

数学建模作业（四）——商人过河问题一．问题描述有四名商人各带一名仆人过河，但船最多能载二人，商人已获得仆人的阴谋：在河的任一岸，只要仆人数超过商人数，仆人会将商人杀死并窃取财物且安排如何乘船的权力掌握在商人手中。

试为商人制定一个安全过河的方案。

二．解决方案用递归的源程序如下：开始时商人，强盗所在的河的这边设为0状态，另一边设为1状态（也就是船开始时的一边设为0，当船驶到对岸是设为1状态，在这两个状态时，都必须符合条件）#include <stdlib.h>struct node /*建立一个类似栈的数据结构并且可以浏览每一个数据点*/ {int x;int y;int state;struct node *next;};typedef struct node state;typedef state *link;link PPointer1=NULL;link PPointer2=NULL;int a1,b1;int a2,b2;/*栈中每个数据都分为0，1状态*/void Push(int a,int b,int n){link newnode;newnode=(link)malloc(sizeof(state));newnode-> x=a;newnode-> y=b;newnode-> state=n;newnode-> next=NULL;if(PPointer1==NULL){PPointer1=newnode;PPointer2=newnode;}else{PPointer2-> next=newnode;PPointer2=newnode;}}void Pop()/*弹栈*/{link pointer;if(PPointer1==PPointer2){free(PPointer1);PPointer1=NULL;PPointer2=NULL;}pointer=PPointer1;while(pointer-> next!=PPointer2)pointer=pointer-> next;free(PPointer2);PPointer2=pointer;PPointer2-> next=NULL;}int history(int a,int b,int n) /*比较输入的数据和栈中是否有重复的*/ {link pointer;if(PPointer1==NULL)return 1;else{pointer=PPointer1;while(pointer!=NULL){if(pointer-> x==a&&pointer-> y==b&&pointer-> state==n)return 0;pointer=pointer-> next;}return 1;}}int judge(int a,int b,int c,int d,int n)/*判断这个状态是否可行，其中使用了history函数*/{if(history(a,b,n)==0) return 0;if(a> =0&&b> =0&&a <=3&&b <=3&&c> =0&&d> =0&&c <=3&&d <=3&&a+c==3&&b+d==3){switch(n){case 1:{if(a==3){Push(a,b,n);return 1;}else if(a==0){Push(a,b,n);return 1;}else if(a==b){Push(a,b,n);return 1;}else return 0;}case 0:{if(a==3){Push(a,b,n);return 1;}else if(a==0){Push(a,b,n);return 1;}else if(a> =b){Push(a,b,n);return 1;}else return 0;}}}else return 0;}int Duhe(int a,int b,int n)/*递归法解决商人渡河问题，如果这一个状态符合*/ {/*则判断下一个状态，直至问题解决*/ if(a==0&&b==0) return 1;if(n==0)/*判断0状态时，商匪状态是否符合要求*/{if(judge(a-1,b-1,4-a,4-b,1)){if(Duhe(a-1,b-1,1)==1)return 1;}if(judge(a,b-2,3-a,5-b,1)){if(Duhe(a,b-2,1)==1)return 1;}if(judge(a-2,b,5-a,3-b,1)){if(Duhe(a-2,b,1)==1)return 1;if(judge(a-1,b,4-a,3-b,1)){if(Duhe(a-1,b,1)==1)return 1;}if(judge(a,b-1,3-a,4-b,1)){if(Duhe(a,b-1,1)==1)return 1;}else{Pop(0);return 0;}}if(n==1)/*判断0状态时，商匪状态是否符合要求*/{if(judge(a+1,b+1,2-a,2-b,0)){if(Duhe(a+1,b+1,0)==1)return 1;}if(judge(a,b+2,3-a,1-b,0)){if(Duhe(a,b+2,0)==1)return 1;}if(judge(a+2,b,1-a,3-b,0)){if(Duhe(a+2,b,0)==1)return 1;}if(judge(a+1,b,2-a,3-b,0)){if(Duhe(a+1,b,0)==1)return 1;}if(judge(a,b+1,3-a,2-b,0))if(Duhe(a,b+1,0)==1)return 1;}else{Pop(1);return 0;}}return 0;}main(){link pointer;Push(3,3,0);Duhe(3,3,0);pointer=PPointer1;while(pointer!=NULL){printf( "%d,%d---%d\n ",pointer-> x,pointer-> y,pointer-> state);pointer=pointer-> next;}getch();}。

商人渡河问题实验心得

商人渡河问题实验心得
1、商人过河不用船，你说他傻吗？其实他是非常聪明的。

你想啊，这么多小木头要花几天才能做成一艘小木船，但假如把它们捆起来，就只需要半天时间，那样可以省下很大力气呀！
2、老板回来后问：“船哪儿去了？”大家抢着回答说被风吹走了……大家想：“既然没有船怎么渡河呢？于是大家合作开始造船，最终大功告成，但每个人都感觉好像少点什么似的，到底是什么呢？仔细观察，我发现所缺少的正是船上必备的——帆，有了帆，老板和工人们乘船出海也就变得方便了许多，再也不怕会遇见海啸啦！通过今天学习使我认识到：世界上无论干什么事情都要善于动脑筋，思考，才能取得进步；当遇到困难时，首先应该动脑筋想办法解决困难，千万不要鲁莽行事，否则将给自己带来危险。

3、在商店买东西，拿出100元钱交给售货员。

售货员拿过100元后，又将手伸向100元并放入盒子里，嘴巴还嘟囔着什么（此时同学看着她）。

接着售货员又从口袋中掏出另外两张百元钞票（她刚要把钱放回盒子内，同学注意了，由于速度太快，就在此刻同学迅速拿出胶带，粘住了她拿着的两张钞票。

而售货员因为站在凳子上，所以不幸摔倒，坐在地上）。

- 1 -。

商人渡河问题的有解性分析

商人渡河问题的有解性分析商人渡河问题是一个广为流传的游戏思考问题，也被称为“渡河问题”。

它是指在一个船上有一个商人（男）、一头牛、一头羊和一块麦子，河对岸有狼、鹿和白菜。

商人想要把这四个物品都带回河对岸，但是船上最多只能允许一个物品，且狼不能和羊一起，也不能和鹿一起，否则它们就会吃掉彼此。

道商人渡河问题可以追溯到以前的数学书籍中，它的解决方案给出的步骤也不同，但最终的结果总是一致的：商人可以成功地把这四个物品都带到河对岸。

从结果来看，商人渡河问题是可以解的，但是能够解决这个问题的步骤却不止一条路径。

这个问题可以从不同的角度来分析，包括搜索、优化等方法。

搜索方法是通过搜索，尝试不同的可能性，一步一步自顶而下地思考，最终找到合理的解决方案。

优化方法是在四个物品间做出选择，从几个有限的选择中，进行一系列排序，最终找到最优的解决方案。

此外，商人渡河问题也可以用数学方法来分析，它可以用约束条件来表示，这个问题的约束条件主要是船上只能携带一个物品，狼与羊不能在一起，狼与鹿也不能在一起，等等。

有了这些约束条件，就可以用线性规划或者深度优先搜索的方法来求解这个问题，找到最优解。

尽管商人渡河问题的最终结果是一致的，可以解出渡河的步骤，但是这个问题也启示我们要注意生活中对不同工作、学习和机会的选择。

在做出正确的选择之前，要考虑清楚自己的目标，然后仔细分析条件，尽可能把握住一些突然的机遇，选择出自己的最佳行动计划，最终在自己的座位上实现自己的目标。

从以上分析可以看出，尽管商人渡河问题分析起来似乎简单，但它实际上也可以帮助人们总结解决实际问题的步骤和方法，收集有价值的经验教训。

它可以给我们提供一个有效的解决问题的框架，让我们一步一步探索，把握机遇，最终实现自己的目标。

商人过河问题数学建模c语言

商人过河问题数学建模c语言商人过河问题是一个经典的数学建模问题，通过建立数学模型，我们可以更深入地理解问题的本质，并找到最优的解决方案。

本文将通过C语言来实现这个问题的数学建模。

一、问题描述假设有n个商人要过河，每艘船只能承载一定数量的货物，而过河需要消耗一定的时间。

为了在最短的时间内完成过河任务，我们需要考虑商人的数量、船只的承载量以及过河的时间等因素，建立相应的数学模型。

二、数学建模1. 变量定义我们需要定义一些变量来描述过河过程中的各种因素，如商人的数量、船只的数量、船只的承载量、过河的时间等。

2. 算法设计算法的核心思想是利用贪心策略，尽可能多地利用船只，以减少过河的时间。

具体步骤如下：(1) 分配船只：根据船只的承载量，将商人分配到不同的船只上；(2) 计算过河时间：根据当前船只的位置和目标河岸的位置，计算每艘船只的过河时间；(3) 更新船只位置：根据过河时间，更新每艘船只的位置；(4) 重复以上步骤，直到所有商人过河。

3. C语言实现以下是一个简单的C语言程序，实现了上述算法：```c#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int main() {int n, m, t, i, j, k;scanf("%d%d", &n, &m); // 输入商人数量和船只数量int cargo[n], time[n]; // 定义变量数组，用于存储商人和船只的信息scanf("%d%d", &cargo[0], &time[0]); // 输入第一个商人和他的过河时间for (i = 1; i < n; i++) { // 输入剩余商人和他们的过河时间scanf("%d%d", &cargo[i], &time[i]);}int boat[m]; // 定义船只数组，用于存储船只的承载量和位置信息for (j = 0; j < m; j++) { // 输入船只的承载量和位置信息scanf("%d", &boat[j]);}for (k = 0; k < n; k++) { // 模拟过河过程for (j = 0; j < m; j++) { // 遍历所有船只if (boat[j] >= cargo[k]) { // 如果船只承载量足够承载当前商人time[k] += time[k] / boat[j]; // 根据过河时间和船只速度计算剩余时间boat[j] += cargo[k]; // 将商人转移到指定位置的船只上break; // 如果找到了足够承载商人的船只，跳出当前循环继续下一轮操作}}}printf("%d\n", time[n - 1]); // 输出最后一个商人的过河时间return 0;}```三、总结通过上述C语言程序，我们可以实现商人过河问题的数学建模。

商人过河问题

商人过河问题摘要本文就商人们如何能够安全过河问题, 采用多步决策建立了数学模型，求解得到商人们安全过河的方案。

将经典的商人过河问题进行了更广的讨论，在此基础上着重分析了安全渡河的状态空间，建立了满足问题需求的规则，从而得出了要求解问题的方案。

模型主要通过穷举的方法对各种过河的方案进行一一列举，然后根据小船的容量和商人们要安全渡河为前提对各种方案进行层层筛选。

最终，得到商人安全渡河的方案。

最后本文就此问题进行推广，当有m名商人m名随从且小船的容量为k时，将会得到几种解决方案给出了说明。

关键词：穷举法多步决策图解法商人过河状态空间一、问题重述三名商人各带一名随从过河，随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.但乘船渡河的方案由商人决定.现在需要解决的问题如下：1.1 3名商人在不被随从谋杀和小船最多能容2人的情况下，商人们将如何安全过河?1.2如果有m名商人n名随从，小船的容量为k时，商人们又将如何安全过河？二、模型的假设2.1 假设过河的过程中不会发生意外事故。

2.2 假设当随从人数多过商人时，不会改变杀人越货计划。

2.3假设所有人最终都必须到达河对岸。

三、符号说明M表示商人的数量::N表示随从的数量Z表示河的此岸和彼岸:K表示小船的容量:m表示此岸的商人数量::n表示此岸随从的数量:u表示彼岸的商人数量:v表示彼岸的随从数量四、模型分析本题针对商人们能否安全过河问题，需要选择一种合理的过河方案。

对该问题可视为一个多步决策模型，通过对每一次过河的方案的筛选优化，最终得到商人们全部安全过到河对岸的最优决策方案。

对于每一次的过河过程都看成一个随机决策状态量，商人们能够安全到达彼岸或此岸我们可以看成目标决策允许的状态量，通过对允许的状态量的层层筛选，从而得到过河的目标。

五、模型建立与求解5.1模型的建立本题为多步决策模型，每一次过河都是状态量的转移过程。

可以用三维向量表示（,,m n Z ）m 的取值范围:{0,1,2,3}n 的取值范围:{0,1,2,3}1,0,Z ⎧=⎨⎩表示划船到河的彼岸表示划船到河的此岸那么允许状态量（即两岸同时必须满足（m n ≥））可以表示为（1）当m =0或3, n ={0,1,2,3}，（2）当m =1或2，m =n或用三维向量表示允许状态量如下表格1：表（1）过河安全状态量5.2模型的求解模型的要求从（3,3,1）开始经过对每次过河的安全状态量的选择最终安全到达（0,0,0）。

商人过河问题

商人过河问题一、三名商人各带一名随从的情况1．问题（略）2．模型假设①当一边岸满足随从数大于商人数，但商人数为0时仍为一种安全状态；②小船至多可容纳2人，且渡河时由随从（或者商人）来划船。

3．分析与建模商人过河需要一步一步实现，比如第一步：两个仆人过河，第二步：一个仆人驾船回来，第三步：又是两个仆人过河，第四步：……其中每一步都使当前状态发生变化，而且是从一种安全状态变为另一种安全状态。

如果我们把每一种安全状态看成一个点，又如果存在某种过河方式使状态a变到状态b，则在点a和点b之间连一条边，这样我们把商人过河问题和图联系起来，有可能用图论方法来解决商人过河问题。

建模步骤：⑴首先要确定过河过程中的所有安全状态，我们用二元数组(,)x y 表示一个安全状态（不管此岸还是彼岸），其中x表示留在此岸的主人数，y表示留在此岸的随从数。

两岸各有十种安全状态：(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(2,2),(1,1),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)⑵在两岸的安全状态之间，如存在一种渡河方法能使一种状态变为另一种安全状态，则在这两种状态之间连一条边。

这样，得到如下一个二部图（图1），其中下方顶点表示此岸状态，上方顶点表示彼岸状态。

我们的目的是要找出一条从此岸(3,3)到彼岸(0,0)的最短路。

⑶观察发现此岸的状态(0,0)，(3,0)和彼岸的状态(0,3)，(3,3)都是孤立点，在求最短路的过程中不涉及这些点，把它们删去。

两岸的点用1,2, (16)新标号。

（3,3）（3,2）（3,1）（3,0）（1,1）（2,2）（0,3）（0,2）（0,3）（0,0）○②④⑥⑧⑩○○12○14○16①③⑤○⑦⑨○11○13○15○（3,3）（3,2）（3,1）（3,0）（1,1）（2,2）（0,3）（0,2）（0,3）（0,0）(图1)4．模型求解求最短路程的matlab程序如下：function route=sroute(G,opt)%求图的最短路的Dijkstra算法程序，规定起点为1，顶点连续编号%G是给定图的邻接矩阵或弧表矩阵，程序能够自动识别%当opt=0（或缺省）时求无向图的最短路，当opt=1时求有向图的最短路%d——标记最短距离%route是一个矩阵，第一行标记顶点，第二行标记1到该点的最短路，第三行标记最短路上该点的先驱顶点while 1 %此循环自动识别或由弧表矩阵生成邻接矩阵if G(1,1)==0A=G;breakelsee=Gn=max([e(:,1);e(:,2)]); %顶点数m=size(e,1); %边数M=sum(e(:,3)); %代表无穷大A=M*ones(n,n);for k=1:mA(e(k,1),e(k,2))=e(k,3);if opt==0A(e(k,2),e(k,1))=e(k,3); %形成无向图的邻接矩阵endendA=A-M*eye(n) %形成图的邻接矩阵endbreakendpb(1:length(A))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(A));d(1:length(A))=M;d(1)=0; %标记距离temp=1;while sum(pb)<length(A)tb=find(pb==0);d(tb)=min(d(tb),d(temp)+A(temp,tb)); %更新距离temp=find(d(tb)==min(d(tb))); %确定新最小距离点 temp=tb(temp(1));pb(temp)=1;index1=[index1,temp];index=index1(find(d(index1)==d(temp)-A(temp,index1)));if length(index)>=2index=index(1);endindex2(temp)=index; %记录前驱顶点endroute=[1:n;d;index2];在matlab的命令窗口输入图（1）的弧表矩阵e:e=[1 2;1 4;1 10;3 4;3 6;3 10;5 6;5 8;7 14;7 16;9 8;9 12;11 12;11 14;13 14;13 16;15 16];e=[e,ones(17,1)]; %边权都设为1调用程序：route=sroute(e,0)运行结果：e =1 2 11 4 11 10 13 4 13 6 13 10 15 6 15 8 17 14 17 16 19 8 19 12 111 12 111 14 113 14 113 16 115 16 1route =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 160 1 2 1 4 3 10 5 6 1 8 7 10 9 12 111 1 4 1 6 3 14 5 8 1 12 9 14 11 16 7这表示存在一条从1到16的长度为11的路：1 4 3 6 5 8 912 11 14 7 16，此路对应商人成功渡河的一个方案：（3,3）变为（3,1）变为（3,2）变为（3,0）变为（3,1）变为（1,1）变为（2,2）变为（0,2）变为（0,3）变为（0,1）变为（1,1）变为（0,0）即：两个仆人过河，一个仆人回来；有两个仆人过河，一个仆人回来；两个主人过河，一主一仆回来；有两个主人过河，一个仆人回来；两个仆人过河，一个仆人回来；最后两个仆人过河。

商人过河问题.

A (aij )nn 为 G 的邻接距阵，其中
1 aij 0
viv j E(G) viv j E(G)
i, j 1, 2, , n
定理 1：设 A(G) 为图 G 的邻接距阵，则 G 中从顶点 vi 到顶点 v j ，长度为 k 的道路的条
数为 Ak 中的 i 行 j 列元素.
证：对 k 用数学归纳法 k 1 时，显然结论成立; 假设 k 时，定理成立，考虑 k 1的情形.
其中 A 表示从南岸到北岸渡河的图的邻接距阵， B AT 表示从北岸到南岸渡河的图的
邻接距阵。
由定理 1、我们应考虑最小的 k ，s t ( AB)k A 中 1 行 10 列的元素不为 0，此时 2k 1
即为最少的渡河次数，而矩阵 ( AB)k A 中 1 行 10 列的元素为最佳的路径数目。
商人过河问题
三名商人各带一个随从乘船渡河，现有一只小船只能容纳两个人，由他们自己划行，若在河的任一岸的随从人数多于商人，他们就可能抢劫财物。但如何乘船渡河由商人决定，试给出一个商人安全渡河的方案。
首先介绍图论中的一个定理
G 是一个图，V（G）为 G 的顶点集，E(G)为 G 的边集。设 G 中有 n 个顶点 v1, v2 , , vn ;
条，所以长为 k 1的从 vi 经 k 步到 vl 再一步到 v j 的道路共有 ai(lk) alj 条，故从 vi 经 k 1
n
步到 v j 的路径共有 ai(jk1)
a(k) il
alj
条.
l 1
下面分析及求解假设渡河是从南岸到北岸，（m，n）表示南岸有 m 个商人，n 个随从，全部的允许状态共有 10 个
v1 (3,3) v2 (3,2) v3 (3,1) v4 (3,(0,3) v8 (0,2) v9 (0,1) v10 (0,0)

商人们怎样安全过河的数学模型

商人们怎样安全过河的数学模型示例文章篇一：话说啊，商人们遇到了一个棘手的问题：他们得带着随从们一起过河，但随从们可不是省油的灯，一有机会就想着害商人抢货。

这河又不宽不窄，一只小船每次只能载两个人，怎么过河才能确保安全呢？咱们来聊聊这个问题吧。

首先，商人们得明白，随从们人多势众，要是他们比商人多了，那可就危险了。

所以，商人们得想个法子，让随从们没法儿耍花招。

其实啊，这个问题可以变成一个数学模型。

想象一下，我们把每次过河的人都看成是一个状态，就像打游戏一样，每过一次河就是进入了一个新的关卡。

在这个关卡里，商人们得保证自己的人数不能少于随从们。

那具体怎么做呢？咱们得先设定一些规则。

比如说，每次过河的人数只能是两个，这是小船的容量决定的。

然后，商人们得选择让哪些人过河，这就得靠他们的智慧和策略了。

想象一下这个场景：商人们先让两个随从过河，然后一个商人再带一个随从回来。

这样，河对岸的随从人数虽然多了，但商人这边还有足够的人手可以应对。

接下来，两个商人再过河，这样河对岸的商人数就比随从数多了，安全就得到了保障。

然后，再让一个商人带一个随从回来，这样河这边也有足够的商人保护随从不敢造次。

最后，两个随从再过河，问题就解决了。

这个数学模型虽然简单，但却非常实用。

它告诉我们，在面对困难和挑战时，只要我们善于运用智慧和策略，就一定能够找到解决问题的方法。

所以，商人们要想安全过河，就得靠他们的智慧和勇气了。

示例文章篇二：话说啊，有这么一个古老的谜题，叫做“商人过河”。

话说有三名聪明的商人，他们各自带着一个狡猾的随从，准备乘船过河。

这船啊，一次只能载两个人，问题就在于，这些随从们心里都有个小九九，他们密谋着，只要到了河的对岸，随从人数多于商人人数，就立马动手抢货。

这商人们也不是吃素的，他们知道随从们的阴谋，但他们毕竟都是聪明人，于是就想出了一个绝妙的策略。

咱们来想想啊，这过河其实就是一个多步决策的过程。

每次渡河，船上的人员选择都至关重要。

商人过河问题数学建模

作业1、2：商人过河一、问题重述问题一：4个商人带着4个随从过河，过河的工具只有一艘小船，只能同时载两个人过河，包括划船的人。

随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货。

乘船渡河的方案由商人决定。

商人们怎样才能安全过河?问题二：假如小船可以容3人，请问最多可以有几名商人各带一名随从安全过河。

二、问题分析问题可以看做一个多步决策过程。

每一步由此岸到彼岸或彼岸到此岸船上的人员在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河。

用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员情况，可以找出状态随决策变化的规律。

问题就转换为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。

三．问题假设1. 过河途中不会出现不可抗力的自然因素。

2. 当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。

3．船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。

4. 随从会听从商人的调度。

四、模型构成x(k)~第k次渡河前此岸的商人数 x(k),y(k)=0,1,2,3,4;y(k)~第k次渡河前此岸的随从数 k=1,2,…..s(k)=[ x(k), y(k)]~过程的状态 S~允许状态集合S={(x,y)|x=0,y=0,1,2,3,4; x=4,y=0,1,2,3,4;x=y=1,2,3}u(k)~第k次渡船上的商人数 u(k), v(k)=0,1,2;v(k)~ 第k 次渡船上的随从数 k=1,2…..d(k)=( u(k), v(k))~过程的决策 D~允许决策集合D={u,v|u+v=1,2,u,v=0,1,2}状态因决策而改变s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)~状态转移律求d(k) ÎD(k=1,2,….n),使s(k) ÎS 并按转移律s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)由（4,4）到达（0,0）数学模型：k+1k S =S +kk D （-1）（1）'4k k x x += （2）'4k k y y += （3）k.k x y ≥ （4）''k k x y ≥ （5）模型分析：由（2）（3）（5）可得44k k x y -≥-化简得k k x y ≤综合（4）可得kk x y = 和 {}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （6）还要考虑{}'(',')|'0,'0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （7）把（2）（3）带入（7）可得{}(4,4)|40,40,1,2,3,4k k k k k S x y x y =---=-=化简得{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8）综合（6）（7）（8）式可得满足条件的情况满足下式{}(,)|0,4,0,1,2,3,4;kk k k k k k S x y x y x y ==== （9）所以我们知道满足条件的点如上图所示：点移动由 {}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8）到达{}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （6）时，可以认为完成渡河。

商人渡河数学模型

商人渡河数学模型
1、商人渡河数学模型
商人渡河是一类有趣的动态规划问题，其本质是一类路径规划问题，用数学模型可以描述为：
假设有n种物品，体积大小分别为W1，W2，……，Wn，以及一艘能承重V的船，每次船只能装载一些物品，要求在尽可能少的船次内，将物品搬运到对岸。

令Xij表示第i次船运载物品的状态，其中0≤Xij≤1，Xij=1表示船上装有第j个物品，Xij=0表示船上没有第j个物品，那么商人渡河问题就可以用下面的数学模型表示：
目标函数：
(1) Min Z=X11+X12+ (Xi)
约束条件：
(2) W1X11+W2X12+……+WnXin≤V
(3) X11+X12+……+Xin=1
(4) 0≤Xij≤1
其中，约束条件(2)表示第i次船运的负载不超过容量V，约束条件(3)表示每次船运必须装一些物品，约束条件(4)表示每次船运的物品的数量限制在0与1之间。

商人过河问题

商人过河一、问题重述和分析随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货。

现有4名商人各带一个随从一起渡河一只船只能容纳两个人，但如何乘船渡河的大权掌握在商人的手里，商人怎样安排才能在有限步内安全渡河？二、模型假设1、在商人人数多于随从时乘船渡河的大权掌握在商人的手里；2、商人和随从都会划船；三．符号说明x表示商人人数；y表示随从人数；z表示划船到河的此岸与彼岸。

四、模型的建立与求解本题为多步决策模型，每一次过河都是状态量的转移过程。

此岸四个商人用x=0、1、2、3、4表示，此岸四个随从用y=0、1、2、3、4表示，z=0时表示划船到河的此岸时，z=1时表示划船到河的彼岸时，用有序数对（x，y，z）表示每次转移的状态量。

解决此问题就是状态量（4,4,0）转移至（0,0,1），以下就是状态量转移的全部情况（其中“！”表示不能再转移下去或与前面步骤重复）：（4,4，0）→（3,3,1）↓↓（4,2,1）→（4,3,0）→（4,1,1）→（4,2,0）→（4,0,1）→（4,1,0）→！↓（2,2,1）↓！由以上关系可知，一只船只能容纳两个人的情况下，四名商人各带一个随从无法过河。

此外，如果船的容量增加到3人，那么商人就能以几种方式安全过河，以下是其中一种方案：（4,4,0）→（4,2,1）→（4,3,0）→（4,1,1,）→（4,2,0）→（2,2,1）↓（0,1,1）←（0,3,0）←（0,2,1）←（0,4,0）←（0,3,1）←（3,3,0）↓（0,2,0）→（0,0,1）五、模型推广通过以上模型的建立，若商人和随从人数增加或小船容量加大，考虑n名商人各带一随从的情况。

安全渡河问题

上图给出了一种移动方案，上图给出了一种移动方案，经过决策 d1, d2 , d3 ⋯d11, 最终这个方案很容易写成渡河的方案。有 S12 = (0,0)。这个方案很容易写成渡河的方案。
分析：在问题中每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼分析：在问题中每一步，
岸驶向此岸，都要对船上的人员（商人、随从各几人）岸驶向此岸，都要对船上的人员（商人、随从各几人）作出决策，保证安全的前提下（作出决策，保证安全的前提下（两岸的商人数都不比随从数少），在有限的步内使人员全部过河。用状态（），在有限的步内使人员全部过河从数少），在有限的步内使人员全部过河。用状态（变来表示某一岸的人员状况，决策（变量）量）来表示某一岸的人员状况，决策（变量）表示船上人员的状况，可以找出状态随决策变化的规律。问题转人员的状况，可以找出状态随决策变化的规律。化为在状态的允许范围内（即安全渡河条件），），确定每化为在状态的允许范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到渡河的目标。一步的决策，达到渡河的目标。
这样的话，制订安全渡河的方案归结为如下的多步决策问题：这样的话，制订安全渡河的方案归结为如下的多步决策问题：
d k ∈ D ( k = 1, 2, ⋯ n ), 使状态 S k ∈ S 按照转移规律，由初始状态 S1 = (3, 3)经过有限步 n到达状态 S n +1 = 0，（ 0）。
y
D = {( u , v ) | u + v = 1, 2}
（2））
因为k为奇数时船从次岸驶向彼岸，为偶数时由彼岸驶回此因为为奇数时船从次岸驶向彼岸，k为偶数时由彼岸驶回此为奇数时船从次岸驶向彼岸岸，所以状态 Sk 随决策 d k 变化的规律是 k （3）） k +1 k k