集合论与图论课程
离散数学教程(集合论与图论)-FudanUniversity
离散数学教程（集合论与图论）离散数学：计算机科学与技术的数学基础课内容：集合论，图论，组合数学，代数结构，数理逻辑集合论:（第1-4章）组合数学初步:（第5-7章）图论:（第8-11章）教师介绍⏹教师：吴永辉博士副教授⏹简历：⏹1984-1988 上海科技大学计算机系本科⏹1988-1991 复旦大学计算机系硕士⏹1991-2003 华东师范大学计算机系工作⏹1998-2001 复旦大学计算机系博士⏹2003-复旦大学计算机系工作⏹答疑E-mail: yhwu@《集合论与图论》课件制作软件⏹Microsoft PowerPoint⏹MathType Equation《集合论与图论》课程大纲⏹课程性质与目的⏹教学内容与要求⏹使用教材、参考书籍⏹命题说明和题型课程性质、目的与基本要求⏹课程性质本课程讲授计算机科学与技术的数学基础课《离散数学》的部分主要内容：集合论、图论与组合数学初步，是计算机专业的主干课程之一。
本课程前行课程为线性代数，数学分析(上)。
⏹课程目的使学生掌握集合论、图论与组合数学初步的基本内容，并对证明的思想和方法深入理解和体会，初步培养学生的思维过程的数学化。
⏹基本要求：⏹掌握集合论、组合学和图论的基本概念，清楚了解引入基本概念的实际背景、各概念间相互关系；掌握基本定理以及有关理论题的证明技巧；掌握解决计数问题的基本方法和技巧；掌握图论中各算法设计的思想、正确性证明以及算法的应用。
为进一步学习计算机其他课程打下坚实的基础。
教学方式本课程以课堂讲授为主。
考核方式⏹平时作业；⏹集合论、组合数学和图论3次课堂练习；⏹期中，期末的两次笔试考试。
教学内容与要求----集合论⏹第一章集合的基本概念掌握：集合的基本概念，集合的运算。
了解：集合论的悖论。
掌握证明两个集合相等的基本法和公式法。
⏹第二章关系掌握：关系的性质、运算和关系的闭包，以及等价关系和偏序关系。
了解：关系在关系数据库中的应用。
掌握证明的类型。
集合论与图论课件 第四章 无限集
3 集合递归（归纳）定义的实例
例1：设整数集I是全集,非负偶整数集 E+={x|x≧0,且x=2y, yZ}, 它可以递归定 义如下: (1)(基础)0E+。 (2)(归纳)如果nE+, 则n+2E+。 (3)(闭合)除有限次应用(1)和(2)产生的整 数外,再没有其它的整数在E+ 中。
引言实例的递归定义 (1)(基础)3S。 (2)(归纳)如果x,yS, 则x+yS。 (3)(闭合)除有限次应用(1)和(2)产生的整 数外, 再没有其它的整数在S中。
例如,若Σ={0,1}, 则 Σ*={,0,1,00,01,10,11,000,001…},是有 限二进制序列的集合, 其中包含空序列。
5
用归纳定义的方法来描述算术表达式集合
例4.4 算术表达式集合是包含整数, 一元运算符+,-, 以 及二元运算符+,-,* ,/的符号序列所组成的集合, 其中包 含如“((3+5)/4)”,“(((-5)+6)*3)”等算术表达式。 算术表达式集合的递归定义如下: (1)(基础)如果D={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}和xD+ ,则x是算 术表达式。其中D+是D上所有非空数字串的集合。 (2)(归纳)如果x和y都是算术表达式, 则 (+x)是算术表达式; (-x)是算术表达式; (x+y)是算术表达式; (x-y)是算术表达式; (x*y)是算术表达式; (x/y)是算术表达式。 (3)(闭合)一个符号序列是一个算术表达式当且仅当它 能通过有限次应用(1)和(2)而得到。
例4.7 证明所有大于或等于2的整数能表 示为若干质数之积。
/*第二数学归纳法证明*/
集合论和图论 ----离散数学(I)
现代数学的特点
1.
2.
3.
4.
5.
数学对象的大大扩展，它的应用范围也大大扩展 数学对象的大大扩展，它的应用范围也大大扩展。比如，几何不仅研究物质 世界的空间和形式，而且研究同空间形式和关系相似的其他形式和关系。产 生了各种新“空间”：罗巴切夫斯基空间、射影空间、四维的黎曼空间、各 种拓扑空间等，都成为几何研究的对象。现代代数考察的对象是具有更普遍 的“量”，如向量、矩阵、张量、旋量、超复数、群等，并且研究这些量的 运算。分析的对象也大大扩展。不但“数”是变的，在泛函分析中，函数本 身也被看作是变的。 新的概括性概念的建立，达到更高的抽象程度 更高的抽象程度。数学的分支不断成长而且多 更高的抽象程度 种多样，一些看来相距很远的领域 相距很远的领域由于概括性概念和理论的建立，揭示了它 相距很远的领域 们之间存在统一和一般的共性。 集合论观点占统治地位。集合论的思想方法已经渗透到几乎所有的领域。集 集合论观点 合论的观点不仅使数学的基础变得严密可靠，而且它的运算和理论成为许多 数学学科的基础。 新的计算工具——电子计算机的出现并随着而产生的许多新理论新分支对数 学带来巨大的冲击性的变革，这是现代数学的一个显著特征。 学科交叉、领域交叉：代数、几何、数学分析变得更为抽象，各数学基础学 学科交叉、领域交叉 科之间、数学和物理等其他学科之间互相交叉和渗透，形成了许多新的边缘 学科和综合性学科。
代数结构
组合数学
数理逻辑
推理、形式化方法
集合论
离散结构的表示、 描述工具
图论
离散结构的关 系模型
离散数学系数据库模型 图论：数据结构、数据库模型、网络模型等 代数结构：
软件规范、形式语义、编译系统 编码理论、密码学、数据仓库
集合论与图论
《集合论与图论》课程示范性教学设计1 本课程教学方法（一）教学方法在这里，仅总结一下我的教学方法，不细展开，因此不涉及专业术语和与专业有关的例子。
以下仅是一些指导思想：（1 ）启发式、由浅入深、从直观到抽象。
要用些生动的例子帮助学生理解抽象概念的含义，但要做到生动而有趣又不失概念的准确性和推理的严格性，使学生易于接受，又了解直观背景。
（2 ）突出基本思想及方法，强调规律性，提高学生的抽象能力。
要从哲学的高度强调概念是第一位的，引导学生思考问题时必须清楚理解所涉及的概念，使问题有一个明确的提法，引导学生掌握从问题到建立数学模型这一抽象过程的方法。
（3 ）利用集合论某些概念和理论与方法总结已学过的知识（如微积分、线性代数）找出本质的规律或主线，使学生认识事物内部的深刻规律。
其次，随时指出在后继课如何应用这些知识、在科技论文中将怎样出现这些知识的应用。
这不仅提高了学习的积极性，也使学生增强了学习的目的性。
（4 ）只要有可能就要以建立数学模型组织教学，讲习题也不例外。
这样，能使学生加深印象—任何时候都要抓住事物的本质与事物之间的联系。
（5 ）鼓励学生多问为什么，为什么会是这样子而不是那个样子。
不是教会学生怎样去使用工具、去模仿或复制，而是要教会学生独立思考，发现问题，提出问题和解决问题的思考，否则思维会退化。
（5 ）适当地提出一些未解决的问题。
尚无答案的问题是摆在我们及学生面前的有无限价值的东西，因为支持大学的最高准则是探究未知领域。
事实上，在每年教此课时，提一些问题确实有学生在思考。
（6 ）注意每个学科（内部）的美。
如果某部分很丑或太复杂，人们倾向于认为是不清楚的和暂时的，它没有真正反映客观规律，因为我们相信，越接近终极真理，我们的解释中的不自然的东西就越少。
科学是以越来越完美、有力的理论向终极真理发展的。
（二）关于素质教育、培养创新精神的人才的思考素质教育应该是各类教育的核心，而培养创新人才则是高等教育的任务（见高等教育法，第五条）。
北大集合论与图论1PPT课件
1. 命题、命题符号化 2. 合式公式、真值表、永真式 3. 逻辑等值式、推理定律 4. 形式化证明
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
1
命题符号化
简单命题： p,q,r,p1,q1,r1,… 联结词：
合取联结词： 析取联结词： 否定联结词： 蕴涵联结词： 等价联结词：
附加律 化简律
A(AB) (AB)A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
23
常见推理定律（续）
假言推理 (AB ) AB
拒取式 (AB ) B A
析取三段论 (AB )B A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
24
常见推理定律（续）
假言三段论 (AB)(BC)(AC)
同一律(identity laws)
A0A A1A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
11
常用逻辑等值式(关于0,1)
排中律(excluded middle)
AA1
矛盾律(contradiction)
AA0
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
12
常用逻辑等值式(关于)
蕴涵等值式(conditional as disjunction)
19
等值演算（举例）
例：(pq)rpqr 解：
(pq)r (pq)r (pq)r pqr
（蕴涵等值式） （德●摩根律） （结合律）
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
20
推理定律(deduction laws)
推出： AB
读作：A推出B 含义：当A为真时，B也为真
《集合论与图论》学习指南
“什么是教育？教育就是当你把所学的东西都忘掉后，最终剩下的东西！”“最终剩下的东西就是一个人的创新意识和学习能力。
”把教学的着眼点集中在掌握科学基础知识和训练创新能力上，着重培养科学的思维方法，把知识传授与科学探索融为一体，激发学生的好奇心和创造性。
教学质量是“教育水平高低和效果优劣的程度”（教育大词典）前言0.1集合论与图论是数学的一部分“对于大自然这本奥秘无穷的书，我读不懂”。
──莎士比亚：《安东尼和克里奥帕特拉》（1564—1616）“如果不理解它的语言，没有人能读懂宇宙这本伟大的书，它的语言就是数学”。
──伽里略（1564—1642）“在任何特定的理论中，只有其中包含数学的部分才是真正的科学”。
──康德（1724—1804）数学不专属自然科学，也不专属社会科学，更不专属于文学艺术。
它是一种宇宙语言，为一切文明生物共有、共享。
0.2 主要内容“我想知道上帝是如何创造这个世界的。
对这个或那个现象、这个或那个元素的谱我并不感兴趣。
我想知道的是他的思想，其他的都是细节问题”。
──爱因斯坦（1879—1955）本课主要讲述集合论（Set Theory）：集合及其运算、映射及其合成、关系及其运算、无穷集合及其基数。
图论（Graph Theory）：图的一些基本概念、一些特殊的图、树及其性质、割点和桥、连通度、平面图、图的着色、有向图。
基本思想和意义我们从“集合”这个基本概念开始建立集合理论。
就某种观点来看，“集合”与“性质”是同义词，是基本概念之一。
这样，集合用来描述事物的性质——我们的研究对象，映射用来描述事物之间的联系——运算、关系，从而为集合建立了结构。
于是，为建立系统的数学模型提供了数学描述语言——工具，代数系统就是在集合上引入运算。
集合论又提供了研究数学模型的性质，发现新联系的推理方法，从而找出事物的运动规律。
而图论是上述思想的一个具体应用，事实上，图论为任何一个包含了一种二元关系的系统提供了一个数学模型；部分地，也因为使用了图解式表示方法，图就具有一种直观的和符合美学的外形。
集合论与图论
我们要特别提到多重集合的概念。前面谈到的集合都是由不同对象组成的，而在实际中，某 一元素的重复出现往往表达了某种特别的意义。例如，在一个班里学生的名字，可能有两个 或多个学生有相同的名字，并且我们又有可能会谈及到学生名字的总体。又例如，某项工程 中所需要的工程技术人员的种类可用集合
我们将学习朴素集合论的基本内容，但借鉴公理化集合论的思想，以避免出现悖论。
定义 1.1 设 A ， B 为二集合，若 B 中的元素都属于 A ，则称 B 是 A 的子集，也称 A 包 含 B 或 B 含于 A ，记作 B ⊆ A 。
1
定义 1.2 设 A ， B 为二集合，若 A 包含 B 且 B 包含 A ，则称 A 与 B 相等，记作 A = B 。 定义 1.3 设 A ， B 为二集合，若 A 为 B 的子集，且 A ≠ B ，则称 A 为 B 的真子集，记 作 A⊂ B。 定义 1.4 不具有任何元素的集合称为空集，记作 ∅ 。
注 1：容易看出 A ⊕ B = ( A − B) ∪ (B − A) = ( A ∪ B) − ( A ∩ B) 2: A ⊕ ∅ = A , A ⊕ A = ∅ 。
我们下面来定义两个多重集 P 和 Q 的交，并，差运算。
P 和 Q 的并，记为 P ∪ Q ，它也是一个多重集，使得 P ∪ Q 里任一个元素的重数，等于该 元素在 P 和 Q 中重数的最大者； P 和 Q 的交用 P ∩ Q 来表示，使得 P ∩ Q 的任一元素的重 数，等于该元素在 P 和 Q 中重数的最小者； P 和 Q 的差用 P − Q 来表示，使得如果一个元素 在 P 中的重数大于它在 Q 中的重数，那么该元素在 P − Q 中的重数等于它在 P 中的重数减去 它在 Q 中的重数，否则它在 P − Q 中的重数为 0 。类似地，对称差 P ⊕ Q 中元素的重数等于 元素在 P 中和 Q 中两个重数的绝对差值。
离散数学教程(集合论与图论)-FudanUniversity
离散数学教程（集合论与图论）离散数学：计算机科学与技术的数学基础课内容：集合论，图论，组合数学，代数结构，数理逻辑集合论:（第1-4章）组合数学初步:（第5-7章）图论:（第8-11章）教师介绍⏹教师：吴永辉博士副教授⏹简历：⏹1984-1988 上海科技大学计算机系本科⏹1988-1991 复旦大学计算机系硕士⏹1991-2003 华东师范大学计算机系工作⏹1998-2001 复旦大学计算机系博士⏹2003-复旦大学计算机系工作⏹答疑E-mail: yhwu@《集合论与图论》课件制作软件⏹Microsoft PowerPoint⏹MathType Equation《集合论与图论》课程大纲⏹课程性质与目的⏹教学内容与要求⏹使用教材、参考书籍⏹命题说明和题型课程性质、目的与基本要求⏹课程性质本课程讲授计算机科学与技术的数学基础课《离散数学》的部分主要内容：集合论、图论与组合数学初步，是计算机专业的主干课程之一。
本课程前行课程为线性代数，数学分析(上)。
⏹课程目的使学生掌握集合论、图论与组合数学初步的基本内容，并对证明的思想和方法深入理解和体会，初步培养学生的思维过程的数学化。
⏹基本要求：⏹掌握集合论、组合学和图论的基本概念，清楚了解引入基本概念的实际背景、各概念间相互关系；掌握基本定理以及有关理论题的证明技巧；掌握解决计数问题的基本方法和技巧；掌握图论中各算法设计的思想、正确性证明以及算法的应用。
为进一步学习计算机其他课程打下坚实的基础。
教学方式本课程以课堂讲授为主。
考核方式⏹平时作业；⏹集合论、组合数学和图论3次课堂练习；⏹期中，期末的两次笔试考试。
教学内容与要求----集合论⏹第一章集合的基本概念掌握：集合的基本概念，集合的运算。
了解：集合论的悖论。
掌握证明两个集合相等的基本法和公式法。
⏹第二章关系掌握：关系的性质、运算和关系的闭包，以及等价关系和偏序关系。
了解：关系在关系数据库中的应用。
掌握证明的类型。
北大集合论与图论
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
7
进度安排
课程将在4月底或5月初结束 第13周(5月18日)前考试
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
8
成绩评定
书面作业占10%，3道题/每次课 平时测验占30%，1小时/每次，2次 期末考试占60%
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
第1章 第2章 第3章 第4章 第5章
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
6
内容介绍
《集合论与图论》
第二部分 图论
第7章 第8章 第9章 第10章 第11章 第12章 第13章 第14章
图 欧拉图与哈密顿图 树 图的矩阵表示 平面图 图的着色 支配、覆盖、独立、匹配 带权图
办公室:
理科1#楼1708 电话: 62752366
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
12
《集合论与图论》 《离散数学》系列课程之一
刘田 北京大学计算机系 2003年2月
2013-1-6 《集合论与图论》第1讲 1
教材
《集合论与图论》，离散数学二分册，
耿素云，北大出版社，1998年2月
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
2
参考书
《离散数学习题集》，耿素云，北大出 版社
数理逻辑与集合论分册，1993年2月 图论分册，1990年3月
lt@
讲义下载：
ftp://162.105.30.157/incoming/Liu_Tian/
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
《集合论与图论》课程教学大纲
《集合论与图论》课程教学大纲一、课程基本信息课程编号：CS31111课程名称：集合论与图论英文名称：SET THEORY AND GRAPH THEORY课程学时：64；讲课学时： 48；实验学时：上机学时：习题学时：16;课程学分：4.0开课单位：计算机科学与技术学院授课对象：计算机大类专业（包括计算机科学与技术、物联网工程、生物信息学、信息安全）、软件工程大类专业开课学期： 1春先修课程：工科数学分析、线性代数二、课程目标《集合论与图论》是计算机大类/软件工程大类专业的一门专业基础课程。
本课程为后继的专业基础课及专业课提供必要的数学工具，为描述离散模型提供数学语言。
该课程的设置主要是为了培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，提高学生分析问题和解决问题的能力，提高学生的数学修养及计算机科学素质。
要想用计算机解决问题就要为它建立数学模型，即描述研究对象及对象与对象之间的联系，并通过事物之间的联系找出事物的运动规律。
集合论与图论为此提供了强有力的描述工具与推理理论。
本课程的目标是通过理论学习，为计算机科学与技术专业的后继课及将来的科学研究提供必要的相关数学知识，提供建立离散系统的数学模型的数学描述工具；使学生正确地理解概念，正确地使用概念进行推理，养成一个好的思维习惯，理解理论与实践的关系；引导学生观察生活、社会和大自然，分析事物间的联系，建立系统的模型，提出和解决其中的复杂工程问题。
课程具体目标如下：课程目标1：掌握集合论与图论的基本概念、基本原理、基本方法等基本知识，培养形式化、模型化的抽象思维能力，使学生能够利用集合论与图论的概念、理论与方法识别、表达计算相关的复杂工程问题，逐步学会为计算类复杂工程问题建立数学模型；课程目标2：掌握直接证明法、反证法、数学归纳法、构造法等常用的证明方法，培养机械化、自动化的逻辑推理能力，使学生能够利用集合论与图论的概念、理论与方法并通过文献研究分析复杂工程问题，并能获得有效的结论，理解并逐步设计求解这些问题的算法基本思想；课程目标3：掌握资料查阅方法，学会对课堂所学理论知识进行扩展，培养自学能力。
集合论与图论(全套课件)
p q r
0 0 0 0 1 1 1 1
2018/5/28
pqr
1 1 1 1 1 1 0 1
14
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
永真式(tautology)
• 永真式:在各种赋值下取值均为真(重言式) • 永假式:在各种赋值下取值均为假(矛盾式) • 可满足式：非永假式
2018/5/28
《集合论与图论》第1讲
11
命题符号化
简单命题： 联结词：
• 合取联结词： • 析取联结词： • 否定联结词： • 蕴涵联结词： • 等价联结词：
p,q,r,p1,q1,r1,…
逻辑真值：
0，1
2018/5/28
《集合论与图论》第1讲
12
真值表(truth-table)
2018/5/28
《集合论与图论》第1讲
16
常用逻辑等值式(关于与)
幂等律(idempotent laws) AAA AAA 交换律(commutative laws)
ABBA
ABBA
2018/5/28
《集合论与图论》第1讲
17
常用逻辑等值式(关于与)
结合律(associative laws) (AB)CA(BC) (AB)CA(BC) 分配律(distributive laws)
2018/5/28
《集合论与图论》第1讲
6
内容介绍
• 《集合论与图论》
• 第二部分 图论
• 第7章 • 第8章 • 第9章 • 第10章 • 第11章 • 第12章 • 第13章 • 第14章 图 欧拉图与哈密顿图 树 图的矩阵表示 平面图 图的着色 支配、覆盖、独立、匹配 带权图
集合论与图论SeTheoryandGraphTheory
REPORTING
https://
• 集合论基础 • 图论基础 • 集合论与图论的联系 • 集合论与图论的应用 • 集合论与图论的未来发展
目录
PART 01
集合论基础
REPORTING
WENKU DESIGN
集合的定义与性质
总结词
集合是由确定的、不同的元素所组成的总体。集合具有确定性、互异性和无序性等基本 性质。
离散概率论
离散概率论是计算机科学中研究离散随机事件的数学分支，集合论 为其提供了数学框架，用于描述概率空间和随机事件。
计算机科学中的图论应用
01
02
03
计算机网络
图论在计算机网络中用于 描述网络拓扑结构、路由 算法、最短路径算法等问 题。
操作系统
操作系统的进程管理和通 信可以通过图论进行建模 和分析，例如进程间的依 赖关系和通信路径。
集合论与图论的结合将在计算机科学中发挥更大的作用，为解决实际问题提供更多创新性的思路 和方法。
集合论与图论的交叉研究在其他学科的应用前景广泛
集合论与图论的交叉研究将在其他学科中发挥更大的作用，为解决实际问题提供更多创新性的思 路和方法。
THANKS
感谢观看
REPORTING
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集合论在计算机科学中的应用将更加广泛
随着计算机科学的飞速发展，集合论在数据结构、算法设计、离散概率论等领域的应用将更加广 泛和深入。
图论的发展趋势
图论与其他数学分支的结合将更加紧密
图论与代数、拓扑、组合数学等分支的结合将更加紧密，推动图论理论的进一步丰富和发展。
图论在计算机科学中的应用将更加广泛
随着大数据和人工智能的兴起，图论在数据挖掘、机器学习、社交网络分析等领域的应用将更加广泛和深入。
集合论与图论
答疑
时间： （待定） 地点： 理科楼群#1，1625室 电话： 62765818 Email：
liu_tian@ liutian@
讲义下载：
ftp://162.105.30.157/incoming/Liu_Tian/
《集合论与图论》 《离散数学》系列课程之一
刘田北京大学计算机系 2001年2月
教材
《集合论与图论》，离散数学二分册， ， 耿素云，北大出版社，1998年2月
参考书
《离散数学习题集》，耿素云，北大出 ， 版社
数理逻辑与集合论分册，1993年2月 图论分册，1990年3月
内容介绍
《离散数学》
《集合论与图论》 《代数结构与组合数学》 《数理逻辑》
内容介绍
《集合论与图论》
第一部分 集合论
第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 集合 二元关系 函数 自然数 基数
内容介绍
《集合论与图论》
第二部分 图论
第7章 第8章 第9章 第10章 第11章 第12章 第13章 第14章 图 欧拉图与哈密顿图 树 图的矩阵表示 平面图 图的着色 支配、覆盖、独立、匹配 带权图
进度安排
第1周 第2--7周 第8--17周 第8、15周 第18周 预备知识（数理逻辑） 集合论（6周） 图论（10周） 测验（2次） （机动）
成绩评定
书面作业占10%，4--5题/每次课 平时测验占30%，1小时/每次，2次 期末考试占60%
作业
时间：每周日交上周作业，下周日发回 顺序：每次交一个班，1、2、3班轮流 讲解：每次作业都有课上讲解 要求：正确、完全、简洁、清楚 Correct，Complete，Concise，Clear 提示：独立完成作业，可以讨论，但要 杜绝抄袭
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课程号
00135290
学分
3
英文名称
Set Theory and Graph Theory
先修课程
高等数学,线性代数，数据结构
中文简介
学习和掌握集合论与图论的基本知识，重点培养学生处理二元关系类离散问题的综合能力。
英文简介
An introductory course to set thory and graph theory.
1） 树的特征，回路系统与割集系统
2）基本树变换，最小生成树，Kruskal算法，Prim算法
2） 根树，哈夫曼树与编码
四、平面图与图的着色（约4学时）
1） 平面图的性质与图的可平面性判定，对偶图
2） 点着色，边着色，平面图的域着色,四色定理
五、匹配，网络（约4学时）
1）图的匹配与可增广道路，二部图的匹配，匈牙利算法
三、二元关系（约6学时）
1）二元关系的运算，性质与闭包
2）等价关系与集合的划分
3）偏序关系，链与反链，良序与超限归纳原理
四、布尔代数（约8学时）
1） 格的偏序特征与代数结构及其等价性
2）子格，格的同态与同构
3）模格，分配格，有补格
4） 布尔代数，Stone表示定理
5） 布尔函数，析取范式与合取范式
第二部分：图论 （共约 27学时）
一、图的概念，运算与表示（3学时）
二、道路与回路（9学时）
1）道路与回路概述，
2）图的连通性，连通度，Menger定理，可靠通讯网的构作
3）最短道路，Dijkstra算法，Warshall-Floyd算法
4）Euler图，DeBruijn序列
5）Hamilton图，k-方体与Gray码
三、树（约7学时）
参考书
教学大纲
学习和掌握集合论与图论的基本知识，重点培养学生处理二元关系类离散问题的综合能力。
第一部分：集合论 （共约18学时）
一、集合（2 集合列的极限
二、基数（2学时）
1） 可数集与不可数集
2） 基数的比较，Cantor-Bernstein定理
3） 基数的性质，连续统假设，Cantor定理
6） E.G.Goodaire,M.M.Parmenter:Discrete Mathematics with Graph theory.
7） K.H.Rosen:Discrete Mathematics and Its Applications,McGraw-Hill & 机械工
业出版社。
教学方式：每周授课3学时
学生成绩评定方法：作业20％，期中考试30％，期末考试50％.
教学评估
杨建生：
开课院系
数学科学学院
通选课领域
是否属于艺术与美育
否
平台课性质
平台课类型
授课语言
中文
教材
Discrete Mathematics and Its Application,7） K.H.Rosen,McGraw-Hill & 机械工,图论,3） 王朝瑞,北京理工大学出版社,图论与代数结构,2） 戴一奇，陈卫，胡冠章等,清华大学出版社,集合论与图论,耿素云,北京大学出版社；
2）网络，可行流，最大流与最小割切，Edmonds-Karp算法
教材与参考书：
1） 耿素云：集合论与图论，北京大学出版社。
2） 戴一奇，陈卫，胡冠章等：图论与代数结构，清华大学出版社。
3） 王朝瑞：图论，北京理工大学出版社。
4） 王树禾：图论及其算法，中国科学技术大学出版社。
5） J.A.Bondy and U.S.R.Murty:Graph Theory with Applications,The Macmillan Press LTD.