第三章多维随机变量及其分布测试题三

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(完整版)多维随机变量及其分布习题及答案

第三章

多维随机变量及其分布

一、填空题

1、随机点落在矩形域的概率为),(Y X ],[2121y y y x x x ≤<≤< .),(),(),(),(21111222y x F y x F y x F y x F -+-

2、的分布函数为，则 0 .),(Y X ),(y x F =-∞),(y F

3、的分布函数为，则),(Y X ),(y x F =+),0(y x F ),(y x F

4、的分布函数为，则),(Y X ),(y x F =+∞),(x F )(x F X

5、设随机变量的概率密度为

),(Y X ，则

.⎩

⎨

⎧<<<<--=其其

2,20)

6(),(y x y x k y x f =k 8

16、随机变量的分布如下，写出其边缘分布.

),(Y X 7、设是的联合分布密度，是的边缘分布密度，则

1 .

),(y x f Y X ,)(x f X X =⎰

∞+∞

-)(x f X

8、二维正态随机变量，和相互独立的充要条件是参数 0

),(Y X X Y =ρX

012

P ⋅10

818

2⋅

i P 8

1838

9、如果随机变量的联合概率分布为

),(Y X Y

123

1619118

1αβ

则应满足的条件是；若与相互独立，则， .

βα,18

+βαX Y =α184=β18210、设相互独立，，则的联合概率密度

Y X ,)1.0(~),1,0(~N Y N X ),(Y X

，的概率密度

=),(y x f 2

2221

y x e +-

Y X Z +==)(Z f Z 4

概率习题答案3

第三章多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量及其分布

习题1

设(X,Y)的分布律为

X\Y 1 2 3

1 1/6 1/9 1/18

2 1/3a1/9

求a.

分析：

dsfsd1f6d54654646

解答：

由分布律性质∑i⋅jPij=1, 可知

1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,

解得

a=2/9.

习题2(1)

2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：

(1)P{a

解答：

P{a

习题2(2)

2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：

(2)P{0

解答：

P{0

习题2(3)

2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：

(3)P{X>a,Y≤b}.

解答：

P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).

习题3(1)

3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：

试求：

(1)P{12

解答：

P{12

P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}

=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}

=14+0+0=14.

习题3(2)

3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：

试求：

(2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4};

解答：

P{1≤X≤2,3≤Y≤4}

=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}

=0+116+0+14=516.

习题3(3)

3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：

试求：

(3)F(2,3).

解答：

F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)

多维随机变量-(试题)

第三章多维随机变量

一、填空

1、设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为的指数分布，P(X1)e2，则

_________，P{min(X,Y)1}=_________.

二、选择

1、设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为

(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)

111 1

69183

若X,Y独立，则,的值为（）

211 2

（A）,,.

9999

.（A）

115 1

（C）,（D）,.

661818

2、设随机变量X与Y相互独立，其概率分布分别为

X01Y01

P0.40.6P0.40.6

则有（）

（A）P(X Y)0.（B）P(X Y)0.5.

（C）P(X Y)0.52.（D）P(X Y) 1.

三、计算题

1、设二维随机变量(X,Y)在区域D{(x,y)|x0,y0,x y1}上服从均匀分布.

求（1）(X,Y)关于X的边缘概率密度；（2）Z X Y的分布函数与概率密度.

2、设(X,Y)的概率密度为

f(x,y)x 0y

0,其它

求（1）边缘概率密度f(x),f(y)；（2）P(X Y1)；

X Y

（3）Z X Y的概率密度f(z).

3、设(X,Y)在由直线x1,x e2,y0及曲线y

所围成的区域上服从均匀分布，

（1）求边缘密度f(x)和f(y)，并说明X与Y是否独立.

X Y

（2）求P(X Y2).

4、二维随机变量(X,Y)在以(1,0),(0,1),(1,0)为顶点的三角形区域上服从均匀

分布，求Z X Y的概率密度。

5、口袋中有4个球，每个球上有一个数字，依次是1,2,2,3，从袋中任取1球，不放回，再

概率论与数理统计(浙大) 习题答案第3章

第三章多维随机变量及其分布

1. 在一箱子中装有12只开关, 其中2只是次品, 在其中取两次, 每次任取一只, 考虑两种试验: (1)放回抽样, (2)不放回抽样. 我们定义随机变量X , Y 如下:

⎩

⎨⎧=若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品

10X ,

⎩

⎨⎧=若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品

10Y .

试分别就(1), (2)两种情况, 写出X 和Y 的联合分布律.

解: (1)(X , Y )所有可能取的值为(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), 按古典概型, 显然有

2512101210)0 ,0(=⋅===Y X P ,

51221210)1 ,0(=⋅===Y X P ,

51210122)0 ,1(=⋅===Y X P ,

1122122)1 ,1(=⋅===Y X P ,

列成表格便得X 和Y 的联合分布律

(2)(X , Y )所有可能取的值为(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), 按古典概型, 显然有

451191210)0 ,0(=⋅===Y X P ,

101121210)1 ,0(=⋅===Y X P ,

101110122)0 ,1(=⋅===Y X P ,

1111122)1 ,1(=⋅===Y X P ,

列成表格便得X 和Y 的联合分布律

2. 盒子里装有3只黑球, 2只红球, 2只白球, 在其中任取4只球, 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到白球的只数, 求X , Y 的联合分布律.

概率论与数理统计第三章习题及答案

概率论与数理统计习题第三章多维随机变量及其分布

习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.

（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=

35147

2222=C C C P {X=1, Y=1 }=356

221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=

3564

2213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353

472

223=C C C P {X=2, Y=1 }=

35124

712

1223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353

223=C C C P {X=3, Y=0 }=

35247

1233=C C C P {X=3, Y=1 }=352

1233=C C C P {X=3, Y=2 }=0

习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为

⎩⎨

⎧<<<<--=其它

42,20),

6(),(y x y x k y x f

（1）确定常数k ；（2）求{}3,1<

⎰⎰⎰⎰⋂=o

D G G

dy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中

⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o

解：（1）∵⎰⎰⎰

⎰

+∞∞-+∞

∞

---=

)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴8

第三章多维随机变量及其分布典型考题附答案

第三章多维随机变量及其分布

1. （2016）设随机变量X 与Y 相互独立且均服从正态分布2(1,)N σ, 则概率

{min(,)1}P X Y >=

. 2. （2016）设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为

1,01,02(,),0,

x y x

f x y <<<<⎧=⎨⎩其他

(1) 求边缘概率密度函数()X f x ; (2) 求条件概率密度函数|(|)Y X f y x ; (3) 求概率{1}P X Y +<. 解答: （1）2,01

()(,)d .0,

X x x f x f x y y +∞-∞

<<⎧==⎨⎩⎰

其他 …..............................4分

（2）在01x <<时: |(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =1

,02.20,

y x

x ⎧<<⎪=⎨⎪

⎩其他 ........................4分

（3）{1}P X Y +<2

130

d d .3y y y x -==⎰⎰ ...............................................................2分

3. （2016）已知二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤上服从

均匀分布, 令随机变量1, 0, X Y

U X Y ≤⎧=⎨>⎩,

(1) 求(,)X Y 的联合概率密度函数; (2) 求U 的分布律;

第三章-多维随机变量及其分布测试题答案

第三章多维随机变量及其分布答案一、填空题（每空3分）

1．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为

222

13,0,0(1)(1)(1)(,)0,A x y x y x y F x y ⎧

+-≥≥⎪++++=⎨⎪⎩其他,则A=_____1____． 2．若二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区域[x 1

《

(,)(,)(,)(,)22211112F x y F x y F x y F x y -+-．

3．(X,Y)的联合分布率由下表给出，则α，β应满足的条件是1

3αβ+=;

当=α 29 ，=β 1

9 时X 与Y 相互独立．

4．设二维随机变量的密度函数2,01,02

(,)3

0,xy

x x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩

其他,则(1)P X Y +≥=__

____. 5．设随机变量X,Y 同分布，X 的密度函数为2

3,02

(,)80,x x f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，设A=

（X>b ）与B =（Y>b ）相互独立，且3

()4

P A B ⋃=

,则6．在区间(0,1)内随机取两个数，则事件“两数之积大于1

”的概率为_

_ 31

ln 444

- .

7．设X 和Y 为两个随机变量，且34

(0,0),(0)(0)77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=,

则(max{,}0)P X Y ≥=_

. 8．随机变量(,)

(0,0,1,1,0)X Y N ,则D(3X-2Y)= _ 13 .

9．设()25,()36,0.4XY D X D Y ρ===,则()D X Y += 85 ，

第三章多维随机变量及其分布答案

《概率论与数理统计》第三单元补充题

一、填空题

1.设随机变量21,X X 相互独立，分布律分别为

2131611011p

X -，

2311

02p X ，则=

=}{21X X P ，=

=}0{21X X P ，},max{21X X M =的分布律为

，},min{21X X N =的分布律为

2．设X 与Y 为两个随机变量，且73}0,0{=≥≥Y X P ，7

4}0{}0{=≥=≥Y P X P ，则=

≥}0),{max(Y X P ，=

<}0),{min(Y X P

3．设21,X X 的联合分布律为

且满足1}0{21==X X P ，则=

=}{21X X P ，=

==}1/0{21X X P

4．已知,X Y 的分布律为

3101

b X

Y 且{0}X =与{1}X Y +=独立，则a =________，b =__________

5．随机变量Y X ,服从同分布，X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它

0208

3)(2x x

x f ，设

}{a X A >= 与}{a Y B >=相互独立，且4

)(=

⋃B A P ，则a =___________ 6．随机变量Y X ,相互独立且服从N （0，1）分布，Z =X +Y 的概率密度为__________，

Z =X -Y 的概率密度为__________

7．用二维连续型随机变量),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示下述概率（1）=

<≤≤},{c Y b X a P

（2）=<<},{b Y b X P

考研数学三(多维随机变量及其分布)模拟试卷3(题后含答案及解析)

考研数学三（多维随机变量及其分布）模拟试卷3(题后含答案及解

析)

题型有：1. 选择题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．关于随机事件{X≤a，Y≤b}与{X>a，Y>b}，下列结论正确的是( )

A．为对立事件．

B．为互不相容事件．

C．为相互独立事件．

D．P{X≤a，Y≤b}>P{X＞a，Y＞b}．

正确答案：B

解析：如图3—1所示，选项(A)、(D)都是不一定成立的．如果{X≤a，Y≤b}与{X＞a，Y＞b}相互独立，则应P{(X≤a，Y≤b)(X＞a，Y＞b)}=0，不一定与P{X≤a，Y≤b}P{X＞a，Y＞b}相等，故(C)不正确．综上，应选(B)．知识模块：多维随机变量及其分布

2．设随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，则(Y，X)的分布函数G(x，y)为( )

A．F(x，y)．

B．F(y，x)．

C．F(－x，－y)．

D．F(－y，－x)．

正确答案：B

解析：G(x，y)=P{Y≤x，X≤y}：P{X≤y，Y≤x}=F(y，x)．故应选(B)．知识模块：多维随机变量及其分布

3．设二维随机变量(X，Y)的分布函数为则常数A和B的值依次为( ) A．

B．

C．

D．

正确答案：C

解析：F(x，y)能够作为分布函数，则需满足0≤F(x，y)≤1，F(+∞，+

∞)=1，F(－∞，－∞)=F(x，－∞)=F(－∞，y)=0，关于x，y单调不减且右连续，故满足此条件的只有(C)．知识模块：多维随机变量及其分布

4．设随机变量X和Y相互独立，且有相同的分布函数F(x)，Z=X+Y，FZ(z)为Z的分布函数，则下列成立的是( )

第三章-多维随机变量及其分布测试题答案

第三章多维随机变量及其分布答案

一、填空题(每空3分)

1. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为

A + ---------------- r 一 ---- ---- r .X>0,y>0

Fgy)=

(1 + X +)丁 (1 + xy (1 + yy ,则 A 二 __ [__.

其他

2. 若二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区域民

(

八勺，>‘2)一F®, Vj) + F(Aj ，打)一 F(X[,y 2).

3. (X.Y)的联合分布率由下表给出，则a, 0应满足的条件是a + P = , 2 I

(X,Y)

(1,1) (1, 2) (1, 3) (2, 1) ⑵2) (2, 3)

1/6

1/9

1/18

1/3

4. 设二维随机变量的密度函数/•(x,y) = V'°H022,则

0, 其他

5. 设随机变量X,Y 同分布，X 的密度函数为/(")= 产设人

二

a 其他

(X>b)与B 二(Y>b)相互独立，且P(A^B) = - ■则b 二習・

4 ~—— -------------------

6. 在区间(0,1)随机取两个数，则事件“两数之积大于丄”的概率为

P(X + Y>\) =

65 —72

7. 设x 和Y 为两个随机变量，且p （x>o,y>o ）=pP （x>o ）= p （y>o ）= -, 则 P(max{X,y}>0)= _|.

随机变量(X,y )~N(O,O,UO),则 D(3X-2Y)二

第三章_多维随机变量及其分布习题

第三章多维随机变量及其分布习题1

§3.1 二维随机变量的概率分布

一、填空题

1. 设（Y X ,）的分布函数为 ⎩⎨

⎧≥≥+--=----其它，

，，），（ 00

03331y x y x F y x y x ，则（Y X ,）的联合概率密度),(y x f = ；

2设随机变量(Y X ,)的分布函数为 )3

(2(y arctg C x

arctg B A y x F ++=）），（, 则A = ,

B = ,

C = ，(0≠A )；

3. 用),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示概率),(c Y b X a P ≤≤<= ),(),(c a F c b F -；

4.设),(Y X 在区域G 上服从均匀分布，G 为y x =及2y x =所围成的区域，),(Y X 的概率密度为

5. 设 (Y X ,) 联合密度为⎪⎩

⎪⎨

⎧>>=--其它，），（ ,00 ,0y x Ae

y x f y

x ，则系数A = ； 6. 设二维随机变量(Y X ,)的联合概率密度为()4,01,01

,0,

xy x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其它，

则{}P X Y == ；

7.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为()22,1,

,0,

.cx y x y f x y ⎧≤≤=⎨⎩其它，则c= 。

二、选择题

1．考虑抛掷一枚硬币和一颗骰子，用X 表示抛掷硬币出现正面的次数，Y 表示抛掷骰子出现的点数，则(,)X Y 所有可能取的值为 ( )

（A ）12对；（B ） 6对；（C ） 8对；（D ） 4对. 2．设二维随机向量（X ，Y ）的概率密度为

3第三章多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布

一、填空题

1、因为二元函数⎩⎨⎧=1

),(y x F

≥+<+y x y x 不满足，所以),(y x F 不是某一个

二维随机变量的联合分布函数。

2、设二维随机变量的联合分布律为

则===)2|1(X Y P 。

3、设X 和Y 是独立的随机变量，其分布密度函数为

⎩⎨⎧=0

)(x f X

其他

10<≤x ，

⎩⎨

⎧=-0

)(y

Y e y f

0≤>y y

则),(Y X 的联合分布密度函数为。 4、设二维随机变量的联合分布律为

若X 和Y 独立，则a= ,b= 。

5、设)1,2(~),3,0(~),2,1(~321N X N X N X ，且三个随机变量相互独立，则

=≤-+≤)6320(321X X X P

。

6、若随机变量),4(~),,2(~p b Y p b X ，且9

)1(=

≥X P ，则=≥)1(Y P 。

7、设),(Y X 的联合密度函数为

⎩⎨

⎧=+-0

),()

(y x ce y x f

其他

,0≥≥y x 则=c 。

8、设),(Y X 区域D 上服从均匀分布，其中D 是由x 轴，y 轴及直线12+=x y 所围成的区域，则=<-<)2

,81(Y X

P 。

9、设X 和Y 是两个随机变量，且73

)0,0(=

≥≥Y X P ，7

4)0()0(=≥=≥Y P X P ，则{}=≥0),max(Y X P 。

10、设相互独立的X 和Y 具有同一分布律，且2

)1()0(=

===X P X

P ，则随机变量 {}Y X Z ,max =的分布律为

。

11、设相互独立的X 和Y 具有同一分布律，且2

(完整版)概率论第三章第四章习题及答案

则
f
(
x,
y)
0,
其他.
F ( y, y) lim F (x, y) lim 1 (x 1)ex 1 x2ey
x y
x y
2
1 1 y2 y 1ey.
2
iii) 当x y 0时,
F (x, y) F ( y, y) 1 1 y2 y 1ey.
2
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第三章多维随机变量及其分布
解:由题意知X k ( k 1,2, ,)n的. 密度函数为
1, x [0,1], f (x) 0, 否则.
则
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第四章随机变量的数字特征
X k (k 1,2, , n ) 的分布函数为
0, x 0, F (x) x, 0 x 1,
1,
x 1.
因X1, X 2 , , X n相互独立,故U的分布函数为
PU 0,V 1 P X 0, X 3Y 1 , 2
PU 1,V 0 P 0 X Y , X 3Y 0,
PU 1,V 1 P 0 X Y, X 3Y 1 , 4 返回主目录
第三章多维随机变量及其分布
PU 2,V 0 P X Y , X 3Y P X 3Y
1 2 23x
(n 1) • nx n2
,
x
1,2
来自百度文库
则EX ( X 1) p kk 11 p k1 k 1

概率论与数理统计(理工类第四版)第三章多维随机变量及其分布习题答案

第一章多维随机变量及其分布

二维随机变量及其分布

设（X打的分布律対

1^6 19 1/18

1'3 M 19

求口-

解答=

由分布律性质工A - L可知

I 6+ 1/9^1 "lfi +1/3 +"+ 1/9-1, 解得£戸込

I习題2（丄）

2.ig {X, F）的分布ill數为Fa. J'）,试用尺工门表示:

尸治Gf £仇F g匸}-尺机t）-尺“疋）,

,习題2（2）I

2.® （尤n的分布函勒为川斗理），试用/-UJ）表示:

（2）p;o

尸出町yg冇j =鬥+卫』）三尸（+ 00'0）・

习題24）］

2■设g y）的分布働対珂扎小试用表示;

（3）門疋>0, y<^i *

尸尸

［解答=1

P{max|A； n ^0| -P{Y, 少•个夭于J'O}

=pgo} + W20} -P{X20. y纫

4 4 3 5

7 7 7 7

习題5丨

（Kn只取下列数值中的值:

(0.0), (-1, I), 、(2.0)

且相应釈率依次为扌，，缶存请列出（x,r）的畴分布表，并写出关于啲边缘分布・

解答^

（I ）因为所给的一组槪率实数显然均大于驭且有1 + 1 +补+刍=1,故所给的一组实数必

6 3 12 12

是某二维随机变蚩（x,r ）的麻合概率分布.因（* D 只取上述四组可能值，故事件：

-I, r^Ob

{X- 0, r-1 H |x= 2・ n {*■ 2. y -1},

均为不可能事件，其概率必为®.因而得到下表！

0 1/3

（2）F{f ・0}«P{X=-i, Y 0} +P{X-o, y=o} +P{%・2, r-0} n I 5 7

概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题参考答案

（1）试求常数 k；
4
（2）求 P{X > 0.5}和 P{Y < 0.5}．
y
∫ ∫ 解：（1）由正则性： +∞ +∞ p(x, y)dxdy = 1 ，得 −∞ −∞
1
1
∫ ∫ ∫ ∫ 1
x
dx kdy =
0
x2
故 k = 6；
1
dx ⋅ k y
0
x x2
=
1 0
k
(x
−
x
2
)dx
=
k⎜⎜⎝⎛
y
（2）(X, Y ) 的联合分布函数 F (x, y)；
（3）P{0 < X ≤ 1, 0 < Y ≤ 2}．
∫ ∫ 解：（1）由正则性： +∞ +∞ p(x, y)dxdy = 1 ，得 −∞ −∞
0
x
∫ ∫ ∫ ∫ +∞ dx
+∞ k e −(3x+4 y) dy =
0
0
+∞
+∞ 0
dx
⋅
k ⎢⎣⎡−
1 4
e−(3x+4 y)
⎤ ⎥⎦
0
=
+∞ k e −3x dx = − k e −3x
04
12
+∞
=

第三章多维随机变量及其分布课外习题

（3）求 ( X ,Y ) 的联合分布函数
（4）讨论 X ,Y 的独立性（5）求 P{0 < X ≤ 1, 0 < Y ≤ 2}
3*．质点从原点出发沿 x 轴向右移动，步长是随机变量，服从[0,1] 上的均匀分布，且各布
的步长是相互独立的,
求：（1）质点恰走两步走出[0,1] 区间的概率,
（2）质点恰走三步走出[0,1] 区间的概率.
9
V0 1
P
31 44
4. C = 2 +1,
⎧
fY
( y)
=
⎪( ⎨
π
π
2 + 1)[2 sin sin( y + )]
8
8
π 0≤y≤
4
⎪⎩0
其它
U0
1
p
3 4
1 4
二。选择题 1．( D ) 7. (B)
2. (A) 8. (A)
3. (A)
4. (A)
5. (C) 6. (B)
三．计算题
1．
试用一维与二维随机变量两种方法证明 P( X − Y > 1) = P( X − Y ≤ 1) = 1 2
第三章答案
一。填空题
1．
fX
(2)
=
1 4
2．
1
1
1
1

第三章 多维随机变量及其分布测试题三

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