2017年高考数学复习-多元变量的处理方法

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求最值方法 -高考数学复习

一问一答--------最值问题方法

总论

1高中数学求最值有哪些方法

答：有9种方法：1）配方法 2）判别式法；3）不等式法；4）换元法；5）函数单调性法；

6）三角函数性质法；7）导数法；8）数形结合发；9）向量法

2 如何将恒成立问题转化为最值问题

答：1) ()a f x ≥恒成立，则max ()a f x ≥ 2）()a f x ≤恒成立，则min ()a f x ≤

一元整式函数最值

1、二次函数开口方向、对称轴、所给区间均确定,如何求最值

答：1）确定对称轴与x 轴交点的横坐标是否在所给区间。2）如果在所给区间，一个最值在顶点处取得，另一个最值在与顶点横坐标较远的端点处取得。3）若不在所给区间，利用函数的单调性确定其最值。

2、二次函数所给区间确定，对称轴位置变化，如何求最值

答：1）移动对称轴，将对称轴平移到定区间的左侧、右侧及区间内讨论，2）在区间内，只考虑对称轴与区间端点的距离即可。

3、二次函数所给区间变化，对称轴位置确定，如何求最值

答：分类讨论，分为四种情况：1）对称轴在闭区间左侧；2）对称轴在闭区间右侧3）对称轴在闭区间内且在中点的左侧；4）对称轴在闭区间内且在中点的右侧（或过中点）；

4、二次函数所给区间、对称轴位置都不确定，如何求最值

答：将其中一个看作是“定”的，另一个看作是“动”的，然后如上分四种情况进行讨论。

5、什么情况下运用基本不等式求最值

答：当两个变量的和或积为定值时运用，有时需要变形。即两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。

2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》微专题：多元变量的最值问题

2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》

微专题一

多元变量的最值问题

[经验分享]

在数学中经常碰到求含有多个变量的最值问题，此类题目题型众多，解法也很多，学生在面对含有多个变量的问题时，最大的困扰是不知从何处入手．对于高中生，主要掌握的是一元变量的最值问题．因此，解决多元变量的最值问题，减元是常见的办法．

一、代入减元

例1

设x ，y ∈R ＋，且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值．解由2x ＋8y －xy ＝0得y ＝2x x －8，因为x ，y ∈R ＋，所以x >8，所以x ＋y ＝x ＋2x x －8＝x ＋2(x －8)＋16x －8

＝x ＋2＋16x －8＝(x －8)＋16x －8

＋10≥2(x －8)·16x －8＋10＝18，当且仅当x －8＝16x －8

，即x ＝12时，取“＝”号．所以，当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取得最小值18.

点评此题是一道学生经常见到的求多变量最值的试题，虽然此解法不是最优的解法，但可

能是学生比较容易想到的解法．它的优点是由前面的等式可以得到y ＝

2x x －8，代入x ＋y 中，从而使二元变量变为一元变量，从而达到解题的目的．

二、等量减元

例2

设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为(

)A ．0

B ．1 C.94D ．3

答案

B 解析由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x

高考数学中的变量替换技巧与方法

高考数学中的变量替换技巧与方法高考是每个学生人生中最重要的考试之一，数学作为其中比较重要的科目之一，也让许多学生感到头疼。当然，其中较为复杂的内容也让许多人深感困惑，很多学生认为数学涉及大量的公式和计算，而不是具有灵活性的思考方式。然而，在数学中，变量替换技巧可以提高问题的解决效率，使数学的学习变得更加有趣和深入。本文将为大家详细介绍高考数学中的变量替换技巧与方法。

I、变量替换的基本概念

变量替换通常是以形式代数学为代表，其将问题转化为符合一般规律的表达式。它不仅可以在求解过程中简化计算，而且可以让人们更好地理解数学的基本概念。比如，把一个含有平方项的式子用变量替换成一个无平方项的式子，从而使问题变得更容易掌握。因此，变量替换是数学学习中非常重要的内容。

II、变量替换的常见方法

1、有理化分式

在有理化分式中，一些常用的变量替换技巧可以让掌握的知识

得到更灵活的使用。例如，通过将分母用一次项代替 $x^2$，从而减少计算时的出错概率。具体地说，对于一个含有

$\frac{1}{x^2}$ 的式子，我们可以将其变为 $\frac{1}{x(x+1)} -

\frac{1}{(x+1)^2}$ 的形式，这样通过变量替换可以让问题的简化

力度得到提高。

2、配方法

在配方中，变量替换的方法也经常被使用。实际上，通过代入

优化或变量替换的方法来求解问题是非常方便的。例如，当解一

个关于 $y$ 的方程时，我们经常会碰到类似于 $y^2+2y+1$ 的式子，这时我们不妨把 $y+1$ 替换为一个新的变量 $z$，即 $z = y+1$，

2017年高考数学上海卷含答案

【考点】数列递推关系、对数的运算性质。
11.【答案】 π 4
【解析】由题意，要使
1 2 sin1

1 2 sin 22
2 ，可得 sin 1

1 ， sin 22
1 ．求
出1 和 2 ，即可求出 |10π 1 2 | 的最小值.
【考点】三角函数性质，有界限的范围的灵活应用
12.【答案】 P1、P3、P4
【解析】根据任意四边形 ABCD 两组对边中点的连线交于一点，
过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，
则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论.
【考点】数学理解力与转化力的应用问题。
二、选择题
13.【答案】C
【解析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解。
数学试卷第 6页（共 14页）
【解析】an n2 ，n N* ，若对于一切 n N* ，bn 中的第 an 项恒等于 an 中的第 bn 项，
可得 ban abn (bn )2 ．于是 b1 a1 1 ， (b2 )2 b4 ， (b3 )2 b9 ， (b4 )2 b16 .即可得出.
不在 lP 上的“▲”的点分布在 lP 的两侧．用 D1 （ lP ）和 D2 （ lP ）分别表示 lP 一侧
和另一侧的“▲”的点到 lP 的距离之和．若过 P 的直线 lP 中有且只有一条满足 D1（ lP ）

(全国新课标)2017年高考数学大二轮复习第二编专题整合突破专题七概率与统计第二讲统计与统计案例适

解得 y＝0.2，
所以年龄在[35,40)的网民出现的频率为 0.2.故选 C.
3．[2016·开封一模]下列说法错误的是( ) A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系 B．在线性回归分析中，相关系数 r 的值越大，变量间的相关性越强 C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 D．在回归分析中，R2 为 0.98 的模型比 R2 为 0.80 的模型拟合的效果好
浪费”，某市通过随机询问 100 名性别不同的居民是否能做
到“光盘”行动，得到如下的列联表：
做不到“光盘” 能做到“光盘”
男
45
10
女
30
15
附：
P(K2≥k) 0.10 0.05 0.025
k
2.706 3.841
K2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d.
5.024
参照附表，得到的正确结论是( ) A．在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” B．在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” C．有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” D．有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
7x＋a^，得a^＝3.5，所以回归方程为y^＝7x＋3.5.所以当 x＝10 时，^y＝7×10＋3.5＝73.5.

导数问题中的多元变量可以这样处理

发布时间：2021-03-25T10:18:56.020Z 来源：《中小学教育》2020年7月（下）20期作者：卿小平[导读] 近几年高考命题趋势表明:新课标下高考数学的压轴题大都是导数题

卿小平

四川省绵阳南山中学 621000 摘要：近几年高考命题趋势表明:新课标下高考数学的压轴题大都是导数题，它之所以体现压轴的特点其主要的一个原因是有多元变量，为此处理多元变量便是解决整个问题的关键.而处理多元变量的主要方法有消元法、确定主元法、逆转主元法等.关键词：导数；多元变量；方法导数作为高中新教材新增内容之一,它给高中数学增添了活力,特别是导数的广泛应用性,为解决函数,切线,不等式,数列等问题带来了新思路,新方法,为我们展现出一道靓丽的风景线,也使它成为新教材高考命题的热点.为此解决好导数问题便是成功的保证.

一、消元法

二、确定主元法

三、逆转主元法

高考数学之双变量的处理策略

一、知识点睛

所要求最值的式子或者所要证明的不等式中有两个变量，这一类题型我们通常要把变量的个数变少，转化为含单变量的问题

二、方法点拨

方法一：所要证明的不等式中含有两个变量x 1，x 2，我们可以指定其中一个变量x 1为主元，x 2为常数，构造单变量函数

方法二：整体代换，通过换元，化双变量为单变量

方法三：整合结构，把结构相同化，构造新函数

方法四：划归为值域或最值思想

三、跟进训练

1.（2015新课标全国Ⅱ）设函数f （x ）=e mx +x 2-mx.

（Ⅰ）证明：f （x ）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；

（Ⅱ）若对于任意x 1，x 2 ∈[-1,1]，都有)2()1(x f x f -≤e -1，求m 的取值范围.

2.定义：设函数f （x ）在（a,b ）内可导，若f ′(x)为区间（a,b ）内的增函数，则称f （x ）为（a,b ）内的下凸函数.

（Ⅰ）已知f （x ）=e x -ax 3+x 在（0，+∞）内为下凸函数，试求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设f （x ）为（a ，b ）内的下凸函数，求证：对于任意正数λ1，λ2， λ1+λ2 =1，不等式f （λ1x 1+λ2x 2 ）≤λ1f （x 1）+λ2 f （x 2）对任意的x 1，x 2 ∈（a,b ）恒成立.

3.已知函数f （x ）=x -1-alnx （a ∈R ）

（1）若曲线y=f （x ）在x=1处的切线方程为3x -y -3=0，求实数a 的值.

（2）求证：f （x ）≥0恒成立的充要条件是a=1

第5讲变换主元求解多变量问题【导数专题】高考数学二轮复习-原卷版

第5讲变换主元求解多变量问题

知识与方法

导数中的多元参数问题，若按常规思路确定主元，可能导致问题复杂化，此时，若能针对例的结构特征，改变思考的角度，选择某参变量为主元，亦即把参变量与主变量对换，反客为主，往往可使问题化难为易．

典型例题

【例1】设函数()2ln x f x e a x =-．

【例2】 (1)讨论()f x 的导函数()f x '的零点个数；

【例3】 (2)证明：当0a >时，()22ln

f x a a a +．【例4】

【例5】已知a R ∈，设函数()()2212x f x ax ax e =++-．

【例6】 (1)求函数()f x 的单调区间；

【例7】 (2)若17

a <-

，求证：当0x 时，()0f x <．【例8】

【例9】设()33x f x =，对任意实数t ，记()2323

t g x t x t =-．【例10】

(1)求函数()()8y f x g x =-的单调区间；【例11】

(2)求证：①当0x >时，()()t f x g x 对任意正实数t 成立；【例12】

②有且仅有一个正实数0x ，使得()()800t g x g x 对任意正实数t 成立．

【例4】已知a R ∈，设函数()()ln f x x x a =+．

(1)若()f x 不存在极值，求a 的取值范围；

(2)若0a ，求证：()e sin 1x

f x x <+-．

【例5】已知函数()()ln x

f x e x m =-+． (1)设0x =是()f x 的极值点，求m 的值，并讨论()f x 的单调性；

多元回归算法步骤

多元回归是一种用于建立多个自变量和一个因变量之间关系的统计模型的方法。它可以帮助我们理解自变量和因变量之间的关系，并用于预测因变量的值。本文将介绍多元回归算法的步骤。

1. 数据收集

在进行多元回归分析之前，我们首先需要收集相关的数据。这些数据应该包括多个自变量和一个因变量的观测值。确保数据的质量和准确性是非常重要的，因为它们将直接影响到最后的分析结果。

2. 数据清洗

在收集到数据后，我们需要对数据进行清洗和预处理。这包括处理缺失值、异常值和离群值。如果存在缺失值，可以使用插补方法进行填充。异常值和离群值可以通过统计方法或可视化工具进行检测和删除。

3. 变量选择

在多元回归中，我们需要选择适当的自变量来构建模型。变量选择是非常重要的，因为它可以影响到模型的准确性和解释力。常用的变量选择方法包括前向选择、后向消除和逐步回归等。通过这些方法，我们可以选择出对因变量有显著影响的自变量。

4. 拟合模型

在选择好自变量后，我们需要拟合多元回归模型。多元回归模型可以用来描述自变量和因变量之间的关系。在拟合模型时，我们可以使用最小二乘法来求得模型的参数估计值。最小二乘法可以最小化实际观测值与模型预测值之间的差异。

5. 模型评估

在拟合好模型后，我们需要对模型进行评估，以判断模型的准确性和可靠性。常用的评估指标包括决定系数（R-squared）、调整决定系数、均方误差（MSE）等。这些指标可以帮助我们了解模型的拟合程度和预测能力。

6. 模型诊断

在评估模型后，我们需要对模型进行诊断，以判断模型是否满足多元回归的假设。常见的模型诊断方法包括检查残差的正态性、线性性、同方差性和独立性等。如果模型不满足这些假设，我们需要对模型进行修正或选择其他模型。

【高考数学微专题】双变量问题处理方法

自主演练,方法建构

问题1 已知x ,y >0,且x +3y =1,求xy 的最大值.

例题剖析,巩固提升

问题2 如图,在∆ABC 中,AD =DB ,点F 在线段CD 上,且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC

⃗⃗⃗⃗⃗ , 则1

x +

4y+1

的最小值为

问题3 对于a ,b >0且a ≠b ,求证:√ab <

b−a lnb−lna

a+b 2

问题4 已知函数f (x )=ax −lnx(a >0).

(1)求函数f (x )的单调区间;

(2)若函数f (x )有两个零点x 1,x 2,证明:

1lnx 1

1lnx 2

>2.

问题5 若4x 2−xy +y 2=25,求3x 2+y 2的取值范围.

归纳小结,完善认知

双变量问题处理方法的四种模型:函数、基本不等式、方程、几何

反馈练习,拓展提升 (1) 若a ,b >0,且

12a+b

1b+1

=1,求a +2b 的最小值.

(2) ∀x 1∈R,∃x 2∈[3,4],有x 12+x 1x 2+x 22

≥2x 1+mx 2+3恒成

立,求实数m 的取值范围.

(3) 正∆ABC 的边长为3,若AB 边上一点M 满足: CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2yCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则1

y 取

最小值时,|CM

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= .

(4)若x2−xy−2y2=1,求x2+y2的取值范围.

(5)若4a2+ab+2b2=1,求2a+b的最大值.

(6)若函数f(x)=(x−2)e x+a(x−1)2(a>0)有两个零点

多元统计分析方法

多元统计分析是指同时考虑多个自变量与一个因变量之间关系的统计

方法。它可以帮助我们更全面深入地分析、理解和解释数据，揭示出变量

之间的相互关系和影响，并基于这些关系提供对因变量的预测和解释。以

下将介绍多元统计分析的常见方法。

一、回归分析

回归分析是通过建立一个数学模型，研究自变量与因变量之间的关系。它可以帮助我们确定自变量对因变量的影响程度和方向，并进行预测和解释。回归分析包括简单线性回归、多元线性回归、逐步回归、Logistic

回归等方法。

1.简单线性回归分析：研究一个自变量对因变量的影响。

2.多元线性回归分析：研究多个自变量对因变量的共同影响。

3.逐步回归分析：逐步选择和删除自变量，建立较为准确的回归模型。

4. Logistic回归分析：适用于因变量为二分类变量的情况，研究自

变量对因变量的影响。

二、方差分析

方差分析用于比较两个或多个组别之间的平均差异是否显著。它可以

帮助我们了解不同组别之间的差异和相关因素。

1.单因素方差分析：比较一个自变量对因变量的影响。

2.双因素方差分析：比较两个自变量对因变量的影响，同时考虑两个

自变量以及它们之间的交互作用。

3.多因素方差分析：比较多个自变量对因变量的影响，并可以考虑它

们的交互作用。

三、协方差分析

协方差分析是一种特殊的方差分析方法，用于比较两个或多个组别之

间的平均差异，并控制其他因素对该差异的影响。它可以帮助我们研究特

定因素对组别间差异的贡献程度。

四、主成分分析

主成分分析是一种降维方法，用于将原始的高维数据降低到更低维度

的数据。它可以帮助我们发现数据中的主要组成部分，提高数据的解释性

八个视角处理双变量导数压轴题(学生版)

八个视角处理双变量导数压轴题

在高中数学中，导数算是难度天梯里排No.1的存在，在高考出题人的心中，导数算是一个超赞的存在，天生的守门员。但其实，现在同学们接触的只是导数世界的“皮毛”，真正的精髓还是要到大学中才会学习。导数大题是近年来高考的重点和热点问题，也是高考必考的板块之一，不管是简答题还是选择、填空都有涉及，也是拉分项。

我们不可否认导数解答题的难度，但也不能过分地夸大。像导数、函数这样的大板块，同学们必须会解题。遇到一个问题应该认真分析题型与问题条件，反复思考结论，每步做到“言必有据，步步合理”不用题海战术，每个板块都能攻克了！今天给大家整理总结了高考导数大题的常见类型及求解策略方法，大家通做一遍，复习提分效果更佳！

热点题型

1构造偏导数

2整体规划统一变量

3比(差)值换元

4同构性双变量

5切线估计与剪刀差模型

6不等式放缩

7主元法

8多项式拟合

经典例题

1.构造偏函数

注：

1.构造偏差函数的基本应用

①.函数f x 的极值点为x0；

②.函数f x1

，然后证明：x1+x2>2x0或x1+x2<2x0.

=f x2

2.构造偏差证明极值点偏移的基本方法：

①.构造一元差函数F x =f x -f2x0-x

；

-f x0-x

或是F x =f x+x0

②.对差函数F x 求导，判断单调性；

③.结合F(x0)=0或F(0)=0，判断F x 的符号，从而确定f x 与f2x0-x

的大小关系；

④.由f x 1 =f x 2 =f x 0-x 0-x 2 _____f x 0+x 0-x 2 =f 2x 0-x 2 的大小关系，得到f x 1 ____f 2x 0-x 2 ，(横线上为不等号)；

2017年高考真题全国2卷理科数学(附答案解析)

π 3
，点
B
在曲线
C2
上，求
∆ABO
面积的最大值．
23．已知 a > 0 ， b > 0 ， a3 + b3 = 2 ，证明：
( ) (1) (a + b) a5 + b5 ≥ 4 ；
(2) a + b ≤ 2 .
1．D
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算得到结果.
【详解】
= 3+i 1+ i
(3 + i)(1− i) (= 1+ i)(1− i)
3．B 【解析】
【详解】
设塔顶的 a1 盏灯，由题意{an}是公比为 2 的等比数列，
( ) ∴S7= a1 1− 27 =381，
1− 2
解得 a1=3．故选 B．
4．B 【解析】
由题意，该几何体是由高为 6 的圆柱截取一半后的图形加上高为 4 的圆柱，故其体积为V = 1 ⋅π ⋅32 ⋅ 6 + π ⋅32 ⋅ 4 = 63π ，故选 B.
（1）求点 P 的轨迹方程；
uuuv uuuv （2）设点 Q 在直线 x = −3 上，且 OP ⋅ PQ = 1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线
l 过 C 的左焦点 F.
21．已知函数 f ( x) = ax2 − ax − xlnx, 且 f ( x) ≥ 0 .

高考数学二轮复习专题二不等式微专题3多变量问题的处理课件

.
4
答案 (1) 3 (2)6-2 10
2
解析 (1)函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)对任意的x∈R,
都有f '(x)≤f(x)成立,即x2+(b-2)x+c-b≥0恒成立,
则Δ=(b-2)2-4(c-b)≤0,c≥ b2 +1,则c≥1,
4
且c≥2 b2 =|b|,当c=|b|时,由c= b2 +1可得c=|b|=2,
∞).令f(x)=x2-9ln x-3x,x∈(0,+∞),则f '(x)=2x- 9 -3= 2x2 3x 9= (2x 3)(x 3) ,x∈
x
x
x
(0,+∞),当x∈(0,3)时, f '(x)<0, f(x)递减,当x∈(3,+∞)时, f '(x)>0, f(x)递增,则
f(x)min=f(3)=-9ln 3,故c≤-9ln 3.
x1 x2
2x1 2
x1 1
x1 1
≥2
(
x1
1)
1 x1
1
=2,
当且仅当x1=2时取等号,故
x12 x1
x22 x2
的最小值为2.
3.如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,AD=1,点P,Q分别在边BC,CD上,且∠PAQ

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当且仅当 y ( x y z ) xz 时，等号成立。练习:1.(通锡苏学大密卷)
5
2.2014 常州信息卷 2.已知 a, b 均为正实数，若 ab(a b) 1, 则 a 2 ab 4b 的最小值是__4___.
六：分母整体换元例 15，（13 镇江改编）已知 x，y 为正数，则
,
a 2 2 b2 的最小值是_______. a b 1
1 a 2 2 b 2 a 2 2 (2 a ) 2 2 a b 2, b 2 a, 1 3 a a b a a 3 a 解：由 62 2 3
（最后一步权方和轻松搞定，当然也可以通过求导来做。）例 10:（群里老师问过这个题目）已知 x, y, z R, x y z 1, x y z 3, 则 xyz 的最
2
x 2y 2 ) x 2 y 4. 2
例 2.若 a, b, c 0, 且a 2ab 2ac 4bc 12. 则 a b c 的最小值是______.
Байду номын сангаас
解：
(a b c) 2 a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2bc a 2 4bc 2ab 2ac 12 a b c 2 3.
当且仅当 a c a b 时，等号成立。例 14.若 x, y, z 为正数，且 xyz ( x y z ) 1, 则 ( x y )( y z ) 的最小值为_______.
2 解： ( x y )( y z ) xy yz y xz y ( x y z ) xz 2 xyz ( x y z ) 2.
2 2 2
大值是______. 解：由
x y z 1,
x y 1 z x y 1 z （这里是韦达定理的形式） 2 2 2 2 2 2 2 x y z 3, x y 3 z xy z z 1
x, y是t 2 (1 z )t ( z 2 z 1) 0 的两根。 5 5 0 1 z . xyz ( z 2 z 1) z , 1 z . 三次函数，求导画图就可以求出最 3 3 5 值了 . 27
例 11：设 x,y 均为正实数，且解：
3 3 1, 求 xy 的最小值。 2 x 2 y
3 3 3( x 2) 3( x 2) 9 1 y 2, xy x[ 2] x 9 . 2 x 2 y x 1 x 1 x 1 3 3 3 1andx, y 0, 0 1, x 1. 2 x 2 y 2 x 9 9 xy x 9 x 1 10 16( x 4时取=) x 1 x 1
1
2.(2015 苏州 13)．设 x, y 均为正实数，且
1 1 1 则 xy 的最小值为 11+6 2 ▲ ．， 1+x 2 y 3
二：变量分离法。多元变量问题中，常用的方法之一就是将其中的一个变量分离出来，通过对一边表达式的范围的确定得到另一边的范围。例 5. 不等式 | x _________.
x y 最大值为_________。 2x y 2x 3y
3a b x a 2 x y 3a b b a 4 令原式 2 3 b x y b a 4 2b a y 2 5 5 2 b a ( ) 4 4a 2b 4 2
练习:已知不等式 xy ≤ 实数的取值范围是，若对任意且，该不等式恒成立，则
[1, ). ．
三：消元法多元变量最值问题的难点很多时候在于变量的个数,如果研究条件等式,发现很多情况下可以对变量做个减法,三元变二元 ,二元变一元,就可以化归为我们熟悉的问题了. 例 7.已知 x 0, y 0, x 2 y 2 xy 8. 则 x 2 y 的最小值是_____.
四:换元法
3
．
例 12.（群里老师问过这个题目）
4 x 2 xy y 2 25, 求 3 x 2 y 2 的最值.
x y 5cos x 15 2 15 2 2 解法 1. ( y ) x 25 y sin 5cos 2 4 3 x 2 15 sin 3
（等号成立的条件在这里不赘述了。）例 4：设 x,y 均为正实数，且
3 3 1, 求 xy 的最小值。 2 x 2 y
3 3 1 3(2 y ) 3(2 x) (2 x)(2 y ) xy x y 8 解: 2 x 2 y 2 xy 8 xy 16.
例 8.设 x,y,z 为正实数，满足 x 2 y 3 z 0, 则
x 3z 2 2 3 xz 2 ) ( ) x 3z y 2 2 解：由已知条件得 y 代入原式 3 。所以最小值为 3 2 xz xz xz
2
(
2
评析：多元变量往往通过减少变量的个数，转化成求函数值或者其他多元变量问题. 例 9:已知 a, b R 且 a b 2, 则
检验等号成立的条件. 练习:1.(2015 通泰淮扬)已知正实数 x，y 满足 x ▲ ．提示:
2 4 3 y 10 ，则 xy 的取值范围为 x y
10 x 10 x
2 4 1 1 1 1 1 1 3 y x y y y 1010 xy 1 x y x y y y y xy 2 4 x x 2 3y 3y 3y 4 4 4 3 xy 8 3y 1010 xy . x y 2 2 x 4 4 4 3y 3y 3y 8 3
胆子大的，就对称变量吧。
练习： 1.（2014~2015 宿迁剑桥中学）设正实数 x, y, z 满足 x 2 3 xy 4 y 2 z 0 ，则当
z 取得最大值时， x 2 y z 的最大值为______2___ xy
2.（2015 盐城）设 x 0 ， y 0 且 x 2 y 1 ，则 2 x 3 y 2 的最小值为 12 ▲
多元变量的常见处理方法
多变量最值问题是一种常见的题型，也是高考的热点 . 本文给出了解决多变量最值问题的常见求解策略，从例题的解答和分析中可以看出，解答这类问题的关键是能运用数学基础知识、数学思想方法，灵活解决问题. 一:基本不等式法. 例 1.已知 x 0, y 0, x 2 y 2 xy 8. 则 x 2 y 的最小值是_____. 解： x 2 y 2 xy 8. 8 ( x 2 y ) x2 y (
例 6.设 x 0, y 0. 不等式
1 1 m 0 恒成立，则实数 m 的最小值是_______. x y x y
1 1 y x y x m ( x y )( ) 2 , 2 4 m 4 解：很容易得到 x y x y x y m 4.
结果就明显了.
r cos x 3 x y r (r 0) , 3 y r sin
2 2 2
4 sin cos 2 25 ( cos 2 sin 2 )r 3 3 7 1 1 解法 2.设 [ ( 最小值也明显. sin 2 cos 2 )]r 2 6 2 3 6 7 1 5 [ sin(2 30)]r 2 r 2 6 3 6 2 r 30. 3x 2 y 2 t y y (4t 75)( ) 2 t ( ) t 25 0 2 2 4 x xy y 25 x x
1 1 + 1 ，则 a + 5b 的最小值为 2a + b b + 1
7 2
(注意等号成立的条件) 例 16：(2015 前黄中学)若 a 0, b 0 ，且 ▲ ．方法一:可以用前面的消元法; 方法二:可以用整体换元; 方法三:基本不等式法, 方法四:分母整体换元解
:
令
x y 1 2a b x a x 1 y x 9y 9 a 5b 5( y 1) 2 2 2 2 b 1 y b y 1 1 9 1 1 1 9 1 9y x 9 1 9y x 9 7 ( x 9 y )1 ( x 9 y )( ) [1 9 ] [10 2 ] 2 2 2 x y 2 2 x y 2 2 x y 2 2
,
例 3：已知 a, b R 且 a b 2, 则
a 2 2 b2 的最小值是_______. a b 1
a 2 2 b2 2 1 2 1 a (b 1) 2 1 a b 2, a b 1 a b 1 a b 1 a 2 1 1 1 2(b 1) 1 2(b 1) a 解： ( ) (a b 1) 1 [3 ] 1 [3 2 ] a b 1 3 a b 1 a b 1 3 3 3 2 2 62 2 1 . 3 3
五：分解因式（参阅王耀老师的论文）
2 例 13.若 a, b, c 0且a ab ac bc 4, 则 2a b c 的最小值为______. 2 解：由 a, b, c 0且a ab ac bc 4, 得
(a c)(a b) 4. 2a b c (a b) (a c) 2 (a b)(a c) 4.
8 2y 8 2y (2 y 1) x 2y 2y 2y 1 2 y 1 2 y 2 y 1 9 9 9 解： 1 2 y 1 2 y 1 1 2 2 y 1 2 y 1 2 y 1 2 y 1 x 2 y 2 xy 8 x 2 2 9 (2 y 1) 4. 2 y 1 y2 的最小值是______. xz
解法 3. 0, t 4(4t 75)(t 25) 15t 700t 7500 0
2 2
50 t 30. 3
4
法四: 法五:
练习:设 x，y 都是正数，若 4 x y xy 2, 则， 2 x y xy 的最大值是
2 2
17 12
1 || a 2 | sin y 对一切实数 x,y 均成立，则实数 a 的取值范围是 x
1 1 | sin y | a 2 | .| x | sin y 2 1 1 解：变量分离得 x x | a 2 | 1 1 a 3. | x
5 10 15 3 x 2 y 2 20sin 2 sin 2 25cos 2 sin cos 3 3 65 1 cos 2 1 cos 2 5 15 25 sin 2 3 2 2 3 70 5 15 5 ( sin 2 cos 2 ) 3 3 3 70 20 sin(2 ). 3 3