2017年高考数学复习-多元变量的处理方法
高考试题的探究(一)：多变量处理方法与策略
浅谈多变量问题的处理策略摘要：破解高考数学中多变量问题是一个难点.灵活换元----化二元归一元；主元思想---化主元为常元；审视结构---化主元为常元是破解此类问题的常用策略.高考数学时常出现多变量的综合问题。
由于含有多个变量，使题目显得繁杂混乱对思维灵活性要求较高，许多学生面对此类问题往往一筹莫展，难以找到解决问题的突破口。
如何从繁乱中理出头绪并顺利解决问题呢？下面，笔者结合模拟试题为例，探讨多变量问题的破解策略。
1.问题的提出例1：已知函数()ln .f x x ax =-（1）试判断函数()f x 的单调性；（2）若函数()y f x =的图像在1x =处的切线平行于x 轴,且()()()112212,,,A x y B x y x x <是函数()y f x =的图像上任意两个不同的点，设直线AB 的斜率为k ，证明: 21111 1.k x x -<<- (2014年画龙点睛高考模拟试卷-安徽4月卷<一>第19题)2.灵活换元----化二元归一元破解此类问题，需运用转化与化归的思想，通过构造两个变量的比值的函数，使之减少变量的个数，化归为我们所熟悉的一元函数，最后利用导数证明不等式。
由题意可知()1,f x a x'=- ()110, 1.f a a '=-==()ln .f x x ax =- ()()2211212121ln ln ln ln 1,x x x x x x k x x x x ----==--- 要证11 1.k x <-只需证21211ln ln 1,x x x x x -<- 即211222111ln1ln 1,x x x x x x x x x <⇔<-- 设211,x t x =>令()()ln 11u t t t t =-+>，则： ()()110,u t u t t'=-<单调递减， 所以()()10,u t u <=即()ln 10ln 1.u t t t t t =-+<⇔<-故2211ln 1.x x x x <-同理可证211.k x -< 3.主元思想---化多元为单元破解此类问题，也可以借助于分析法，灵活地运用主元法，将其中某一个变量作为主变量，其余变量视作为字母常数来对待加以破解。
多元变量的方程组求解
多元变量的方程组求解在许多实际问题中，常常需要求解由多个变量组成的方程组。
这些方程组一般无法用简单的代数方法求解，需要借助计算机等工具进行求解。
本文将介绍一些常见的多元变量方程组的求解方法。
一、高斯-约旦消元法高斯-约旦消元法是求解线性方程组的一种常见方法，其基本思想是通过多次消元，使方程组限制的范围不断缩小，最终求得方程组的解。
具体步骤如下：1.将方程组写成增广矩阵的形式；2.选定一个系数矩阵的元素作为主元，通常选择第一行第一列元素，即A[1][1]；3.对于其他行的该列元素，减去主元所在行对应元素的倍数，使其变为0；4.重复2-3步骤，直到将矩阵化为上三角矩阵；5.从最后一行开始，依次计算出未知变量的值。
高斯-约旦消元法的复杂度为O(n^3)，当方程组的规模较大时，求解速度会非常慢。
二、雅可比迭代法雅可比迭代法是通过迭代求解变量的值，直到收敛于方程组的解的方法，其基本思想是将方程组的每个变量下一次迭代时的值，视为其它变量的当前值，通过逐步迭代，求解出未知变量的值。
具体步骤如下：1.将方程组表示为矩阵形式：Ax=b；2.选择一个初值向量x0，设x^(k)为第k次迭代的结果；3.根据迭代公式x_i^(k+1)=[b_i-(sum(A_ij*x_j^(k)))/(A_ii)]/A_ii，计算x^(k+1)，其中i表示第i个未知变量，j表示其它未知变量；4.重复3步骤，直到收敛于方程组的解。
雅可比迭代法适用于系数矩阵为对角占优矩阵的情况，当矩阵的条件数较大时，迭代次数可能会非常多，计算速度较慢。
三、列主元高斯消元法列主元高斯消元法是对高斯-约旦消元法的改进，其主要思想是在每次消元时，选择系数矩阵中绝对值最大的元素作为主元，以此来避免出现数值精度过低等问题。
具体步骤如下：1.将方程组写成增广矩阵的形式；2.选定一个未知数作为主元，使得该列元素的绝对值最大；3.将该列中主元所在行交换到最上面；4.对于其他行的该列元素，减去主元所在行对应元素的倍数，使其变为0；5.重复2-3-4步骤，直到将矩阵化为上三角矩阵；6.从最后一行开始，依次计算出未知变量的值。
高三数学复习--多元变量问题的处理
方法迁移
已知实数x,y满足x2-4xy-5y2=5，则x2+2y2的最小值为
由于所给条件与结论均为二元二次形式，所以本题比较适合于三角换元进行求解
方法迁移
已知实数x,y满足x2-4xy-5y2=5，则x2+2y2的最小值为
总结提升
由前面三个题来看，所给条件均为二元二次方程，如果能进行消元，则可以转化 为函数求最值，如果不方便消元，那么可以进行三角换元，其使用的公式为
或
来进行
而在比较方便使用基本不等式进行构造的时候还可以考虑用不等式整体进行求 解。而从所求结论来看，一次的可以换元后结合条件利用方程有解求得最值， 而二次式也可以通过三角换元进行求解。多元变量问题在高考中属于难度较 大的题型之一，把握好式子的特点对方法进行合理灵活的应用是解决问题的 关键。
高三数学下册
多元变量问题
聚焦高考：
2011年浙江16 设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是
方法一：基本不等式法
聚焦高考：
2011年浙江16 设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是
方法二：换元法一，由于所求结论是线性关系，所以可以进行换元求解
聚焦高考：
2
实战典例
若实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是___
换元法：由于条件与结论均为二元二次的关系，因此可以使 用三角换元法进行求解。
实战典例
若实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是___ (方法三）换元法一：
实战典例
若实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是___ (方法四）换元法二：
多元变量最值问题的解题策略
为一
评析
巧设待定 系数 ， 并且根 据变量之 间的关 系 ， 明确
解题 的方 向．
策略五 ： 利用变换主元法求最值
例５ 已知 实 数 ， Ｙ ， ＝ ∈Ｒ， 满 足 ＋Ｙ＋ ＝９ ， ｘ ｙ＋托 ＋
Ｄ — ａ
的最 小值
解
设ａ ＋ 卵 ≥２ ｎ ｃ ， ｂ ＋ ｙ ｃ ＞２ ｔ
＋ｂ ＋ｙ ｃ ≥２
， 其中 ＞ ０ ，
＋２ ｃ ．
的最小值 为一
・ ． ．
解由 题 意 ， 有 得 ｃ ≥ 笔 ， 又 ’ ． ・ ＜ ６ ， ６ …。 ，
解 题 技 巧 与 方 法
● ●
醺鞠 麓
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多觅变量最馇 ． Ｊ ｉ ； 习 ｝ 题 解题策略
◎王春 华 （ 江苏省泰 州市姜堰 区罗塘 高级 中学 ， 江苏 泰州 ２ ２ ５ ５ ０ ０ ）
多兀变量求 最值 问题 一直是 高考 中 的热点 问题 ， 因 其
变量多 、 技巧性强 、 难度 大 、 方法 多 、 综合 能 力要 求较 高 ， 难 以打开解题思路 ． 下面通过具体 实例 ， 希望从 中领悟解题 的 思想方法 ， 进 而提高综合解题的能力． 策略一 ： 利用基本不等式求最值
综上可见 ， 多元 变量 最值 问题 往往 立足 于 函数 和不等
式性质 ， 涉及知识 面广 ， 解法具有很 强 的灵 活性 ， 首先 ， 要认 真分析试题 的条 件 ， 恰 当选 用解 题 方 法 ， 平 时要 做 到解 一 题， 会一类 ， 才能融会贯通．
，
考 ≤ 号 一 慨
变量消除法
变量消除法变量消除法，也称为变量消去法，是一种用于解决多元高次方程组的方法。
它通过逐步消除未知量，将方程组转化为只含有少数未知量的方程组，从而简化问题的求解过程。
变量消除法的基本思想是通过代入和消元两个步骤，逐渐减少未知变量的数量，使得问题变得更容易求解。
下面将从代入和消元两个方面介绍变量消除法的详细步骤。
1. 代入：将方程组中的某个未知量用其他未知量表示，并代入其他方程。
这样可以减少方程组中的未知变量的数量。
例如，对于一个二次方程组：x^2 + y^2 = 25x + y = 7我们可以将第二个方程中的x或y用第一个方程中的未知量表示，假设我们选择将第二个方程中的x用y表示，那么我们可以得到：x = 7 - y将x代入第一个方程中，得到：(7-y)^2 + y^2 = 25经过展开和化简，可以得到：2y^2 - 14y + 24 = 0此时，我们得到了一个只含有y的一元二次方程，我们可以利用求解一元二次方程的方法求解y的值。
2. 消元：消元是指通过合并两个方程，把一个未知量消去，从而减少方程组中的未知变量的数量。
对于二次方程组：x^2 + y^2 = 25x + y = 7我们可以通过消元来减少方程组中的未知变量的数量。
由第二个方程可得x = 7 - y，将其代入第一个方程得到：(7-y)^2 + y^2 = 25经过展开和化简，可以得到：2y^2 - 14y + 24 = 0此时，我们得到了一个只含有y的一元二次方程。
我们可以通过解这个方程得到y的值，再将y的值代入第二个方程求解x的值。
通过逐步的代入和消元，我们可以将一个复杂的多元高次方程组转化为只含有少数未知量的方程组，从而简化求解过程。
对于高次方程组，变量消除法是一种非常有效的求解方法，尤其是在计算机科学、工程学等领域中，它被广泛应用于数据建模、特征选择、机器学习等问题的求解中。
在实际应用中，变量消除法可以结合其他数值计算方法，如牛顿法、高斯消元法等，进一步提高求解的效率和精确性。
高考多元变量知识点总结
高考多元变量知识点总结高考是每个学生都面临的一次重要考试，多元变量作为数学中的一大难点，也是考生们普遍感到头疼的部分。
在这篇文章中，我们将对高考中常见的多元变量知识点进行总结。
一、一元二次函数一元二次函数是高考中常见的多元变量。
其一般形式为：y = ax² + bx + c。
在解一元二次函数的问题时，我们需要注意以下几个知识点：1.1 定点法：当函数的顶点已知时，我们可以通过定点法快速求解。
通过平移函数的顶点，我们可以得到新的一元二次函数，并将其化简成标准形式，从而便于求解。
定点法的核心思想是将原函数变换为标准形式，这样我们可以通过观察标准形式函数的一些特性来解题。
1.2 判别式：当我们遇到判别式为正数、零或负数时，可以据此判断一元二次函数的图像与 x 轴的交点个数。
通过判别式，我们可以简化计算过程，快速得出结论。
1.3 单调性：当我们需要讨论一元二次函数的单调性时，可以通过求导数得到函数的导函数，并利用导函数的符号变化进行判断。
通常情况下，我们会将一元二次函数的导函数进行因式分解，从而得到其拐点，进而判断函数的单调性。
二、排列与组合排列与组合是高考中的重要知识点，它们在解决实际问题时发挥着重要作用。
以下是排列与组合的几个常见问题类型：2.1 从 n 个元素选取 m 个的排列数：在排列问题中，我们需要考虑选取元素的顺序。
当我们需要从n 个元素中选取m 个元素时，排列数为 n! / (n-m)!。
2.2 从 n 个元素选取 m 个的组合数：与排列不同，组合问题中不考虑元素的顺序。
当我们需要从 n 个元素中选取 m 个元素时，组合数为 n! / (m!(n-m)!。
2.3 二项式定理：二项式定理是排列与组合知识的重要应用。
通过二项式定理，我们可以快速展开(a + b)ⁿ 的结果，从而在求解多项式展开式的问题中节省时间。
三、概率概率是多元变量中的另一个经典问题。
在概率问题中，我们需要熟练掌握以下几个知识点：3.1 事件与样本空间：事件是指样本空间上的某个子集，样本空间是指随机试验中所有可能结果的集合。
高中数学函数解题思路多元化的方法举例分析
高中数学函数解题思路多元化的方法举例分析数学函数解题是高中数学的一个重要内容，常常是考试中的必考内容之一。
解题思路多元化，指的是解决问题时可以有不同的方法和思路，而不仅仅局限于固定的套路和公式。
下面就以具体的例子来说明多元化的解题思路。
例题：已知函数f(x) = ax^2-bx+1，其中a，b为常数，且f(1) = 0。
1. 利用已知条件求解方程。
根据已知条件f(1) = 0，代入函数表达式可得a(1)^2 - b(1) + 1 = 0，即a-b+1 = 0。
解这个方程得到a = b-1。
2. 利用函数图像特点求解方程。
函数f(x)是一个二次函数，开口向上的抛物线。
已知f(1) = 0，说明抛物线与x轴有一个交点在x=1处。
由于抛物线的对称性，可以得知抛物线在x=-1也有一个交点。
那么f(x)=0的两个解就是-1和1，即x=-1和x=1。
根据函数f(x)的表达式，可以得到f(0) = 1，f(2) = 3，f(-1) = a+b+1。
根据函数的定义可以知道，当f(0) = 1与f(2) = 3时，抛物线与x轴分别有一个交点在x=0和x=2处。
那么根据函数的对称性，也可以得到抛物线与x轴有一个交点在x=-2处。
将x=-2代入函数表达式得到f(-2) = 4a+2b+1 = 0，解这个方程可以得到a = -(2b+1)/4。
将a的表达式代入f(-1) = 0的方程得到-(2b+1)/4 + b + 1 = 0，解这个方程可以得到b = 3/5。
再将b的值代入a的表达式即可得到a = 2/5。
根据已知条件可以得出a = b-1，根据函数图像特点可以得出x=-1和x=1是方程的解，根据函数性质可以得出a = 2/5，b = 3/5是方程的解。
这就是解决高中数学函数解题时多元化的思路和方法的例子。
通过多种方法综合运用，能够更加全面地解决问题，并提高解题的灵活性和准确性。
高考数学多元变量知识点
高考数学多元变量知识点导语：在高考数学中，多元变量是一种比较重要的概念和常见的题型。
掌握多元变量的知识点对于高考中数学的成功非常关键。
本文将从定义、特点、应用等方面来探讨多元变量的知识点。
一、定义多元变量指的是在数学问题中涉及到多个变量的情况。
通常情况下，我们使用字母如x、y、z等来表示这些变量。
例如，在平面几何中，我们经常使用二元方程来描述直线或曲线，这就涉及到两个变量。
二、特点1. 独立性：多元变量之间是相互独立的。
例如，在平面直角坐标系中，x轴和y轴是相互独立的，它们的取值不受对方的影响。
2. 变量关系：多元变量之间存在一定的变量关系。
例如，在线性方程y = kx + b中，x和y的变化是有关系的，其变化趋势可以用斜率k来衡量。
3. 解集：多元变量的取值满足一定的条件，形成解集。
例如，在不等式系统中，x > 0, y > 0表示x和y的取值都要大于0，那么这个不等式系统的解集就是多元变量(x, y)所在的第一象限。
三、应用1. 图形表示：可以通过平面直角坐标系的方式来表示多元变量之间的变化关系。
以二元方程为例，其图形可能是直线、抛物线、椭圆等，通过观察这些图形可以更好地理解多元变量之间的关系。
2. 函数关系：多元变量也可以用函数关系来表示。
例如，z = f(x, y)就表示一个三元函数，其输出值z与输入值x和y有关。
这种表示方式可以帮助我们更好地理解多元变量的变化规律，并进行数学推导和分析。
3. 约束条件：多元变量通常会受到一些限制条件的约束。
例如，在最优化问题中，我们需要在一定的约束条件下求解最大值或最小值。
这些约束条件往往构成了多元变量的取值范围，限制了问题的解集。
四、典型题型1. 解方程组：在高考数学中，常常会出现解方程组的题型。
解方程组就是要找到满足多个方程同时成立的变量取值。
解方程组既可以使用消元法，也可以使用代入法、加减法等等方法。
2. 极值点求解：对于函数关系中的多元变量，我们常常需要求解其极值点。
高考中多变量函数最值问题的处理
y2 取到最中，可将题中一个字母看作未知数，将其它的字母看作常数，这样就变成一元函数的问题。高 考压轴题中很多的最值问题都可以采用此想法来解决。 例题 5（07 年辽宁理科 22 题）已知函数 f ( x) e 2 x 2t (e x x) x 2 2t 2 1 ， g ( x ) （I） （II）略； （III）证明： f ( x) ≥
故当 x=0
1 x 3 (e x ) 2 1 ≥ ， 2 2
于是对任意 x、t，有 F (t ) ≥
3 3 ，即 f ( x ) ≥ 2 2
王新 敞 特级教师 源头学子小屋
: /w tp h c 8 x . 0 3 2 .c o m w x t新 k c 疆奎 2 屯 1 @ 6 m o .c
1 / f ( x) ． 2
3 ． 2
(Ⅲ)分析：可以视 t 为主元，视 x 为常数，这样可以得到一个关于 t 的二次函数，容易求出其最小值为
1 x 1 3 (e x ) 2 1, 再证明 ( e x x ) 2 1 ≥ 即可。 2 2 2
证明：设 F (t ) 2t 2 2(e x x)t e 2 x x 2 1, 即
F (t ) 2(t
ex x 2 1 x ) (e x ) 2 1, 易得 2 2
王新 敞 特级教师 源头学子小屋
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1 F (t ) ≥ ( e x x ) 2 1 2
高考中多变量函数最值问题的处理策略
徐文兵 （清华大学附属中学 100084）
最值问题是中学数学中永恒的话题，一直深受命题者的青睐，而多元函数则是高等数学中的重要概念之一， 随着新课程的改革，高中数学与大学数学的衔接，求多元函数（即多变量函数）的最值逐渐成为高考中的热点和 难点问题。由于教材上没有明确系统地研究这类问题，所以考题中当然不会提及多元函数，大多以一个变量，含 多个参数的形式出现，但其实质就是多元函数的问题。解决这类问题需要具有较强的技巧，本文举例说明解决此 类问题的一些常用方法。 法一、利用线性规划 教材上线性规划的本质就是研究受不等式组条件约束的二元函数的最值问题。 求带有不等式组条件约束的二 元函数的最值问题时，大多利用此方法。
求解多元变量最值问题的三种思路
解题宝典多元变量最值问题具有较强的综合性，涵盖的知识点较多，因而可从多个不同的角度来寻找解题的思路.常用的解题思路有换元、利用基本不等式、构造几何图形、运用导数法等.本文重点探讨三种求解多元变量最值问题的思路.一、换元由于多元变量问题中有多个元，不方便处理，所以在解题时，可根据已知关系式或函数式的特征，选择合适的式子用新元替换，这样便将多元变量问题转化为关于新元的函数或者不等式问题，利用函数的图象和性质、不等式的性质求得最值.例1.已知函数f (x )=||x 2+2x -1，若a <b <-1，且f (a )=f (b )，求ab +a +b 的最值.解：画出f (x )=||x 2+2x -1的图象，因为f (a )=f (b )，由图可知，a <-2-1<b <-1，且(a +1)2+(b +1)2=4.令{a +1=2cos θ,b +1=2sin θ,其中θ∈[0,2π），则ab +a +b =()a +1(b +1)-1=2sin 2θ-1.又<sin θ<0，即θ∈(π，5π4)，则2sin 2θ-1∈(-1,1)，所以ab +a +b 的最大值为1，最小值为-1.解答本题，主要运用了三角换元法，将a 、b 用sin θ、cos θ替换，从而将双变量最值问题转化三角函数最值问题，再运用正弦函数的有界性求得最值.二、运用基本不等式基本不等式是解答双变量最值问题的重要工具.在解答多变量最值问题时，可灵活运用基本不等式：a +b ≥2ab 及其变形式：ab ≤a +b 2≤、a 1+a 2+⋯+a n ≥n a 1a 2⋯a n n ，将目标式进行变形，利用一些配凑技巧，如添减项、凑系数、配方等，构造多个式子的和或者积，并使其中之一为常数或者定值，即可运用基本不等式来求得最值.例2.已知a 为1+2b 与1-2b 的等比中项，求2ab ||a +2||b 的最大值.解：由题意可知：a 2+4b 2=1，令x =a ，y =2b ，且x ,y 均大于0，可得x 2+y 2=所以2ab ||a +2||b =xy x +y ≤≤x +y 4≤，当且仅当x =y =.对比a 2+4b 2=1和2ab ||a +2||b 可以发现，a 2的系数为1，b 2的系数为4，||b 的系数为2，因此对双变量作换元处理，两次运用基本不等式求得最值.在多次运用基本不等式求最值时，要注意检验几次运用基本不等式时等号成立的条件是否一致，确保取等号时不等式成立.三、采用构造法构造法是指根据已知的条件和目标式的结构特征以及它们之间的联系，构造出满足题意的新模型，并通过研究新模型解答问题.运用构造法解答双变量最值问题，需根据题意或代数式的几何意义，构造出方程、函数、不等式、几何图形等，从新的角度来寻求解题的方案.例3.已知a ，b ∈R ，a ≠0，曲线y =a +2x 与y =ax +4b +1在区间[3,4]上至少有一个公共点，求a 2+4b 2的最小值.分析：该问题可以转化为方程a +2x =ax +4b +1在[3,4]上有解，而方程(x 2-1)a +2x ∙(2b )+x -2=0可以视为点(a ,2b )的轨迹，a 2+4b 2表示原点到直线的距离的平方，求得该距离的最小值即可.解：曲线y =a +2x 与y =ax +4b +1有公共点，则方程a +2x =ax +4b +1在[3,4]上有解，将方程化简可得(x 2-1)a +2x ∙(2b )+x -2=0，该方程可以视为点(a ,2b )的轨迹，则a 2+4b 2表示原点到直线的距离平方d 2，由d =||x -2（x 2-1）2+4x 2得a 2+4b 2=d 2=(x -2x 2+1)2，x ∈[3,4].令t =x -2，t ∈[1,2]，所以1d 2=(t +5t +4)2.设f ()t =t +5t +4，t ∈[1,2].由f ′()t =1-5t 2<0，得f ()t 在[1,2]上单调递减，所以f max ()t =f ()1=10，则当t =1时，a 2+4b 2的最小值为1100.总之，第一、二种思路较为简单，且用得较多；第三种思路较为灵活.在求解多元变量最值问题时，需先分析目标式的结构特征，将其与已知条件关联起来，合理换元、配凑、构造，再灵活运用换元法、基本不等式、构造法即可.（作者单位：江苏省盐城市大丰区新丰中学）邱信林42。
高中数学函数解题思路多元化的方法举例分析
高中数学函数解题思路多元化的方法举例分析1. 引言1.1 引言简介函数是数学领域中的一个重要概念，它在高中数学中扮演着至关重要的角色。
函数是一种关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
在数学中，我们经常需要通过函数来描述和解决各种实际问题。
函数的解题思路和方法显得至关重要。
本文旨在探讨高中数学函数解题思路的多元化方法，并通过具体的例子进行分析和说明。
不同的问题可能需要不同的解题思路，而多元化的方法可以帮助我们更好地理解和解决各种函数相关问题。
在本文中，我们将从代数方法、几何方法、概率方法、函数图像方法和统计方法这五个角度出发，介绍在高中数学函数解题中不同方法的应用和优势。
通过对比和分析，我们可以更清晰地了解每种方法的特点和适用范围，从而提高我们在解题过程中的思维灵活性和解决问题的能力。
通过本文的研究，希望能够为高中数学学习者提供一些新的思路和启发，帮助他们更好地理解和应用函数的知识，提高数学解题能力，为未来的学习和研究打下坚实的基础。
1.2 研究目的研究目的是探讨高中数学函数解题思路多元化的方法，并通过举例分析展示不同解题方法的实际运用。
通过深入研究各种思路的优缺点，我们旨在帮助学生更全面地理解数学函数的概念，提高他们的问题解决能力和创新思维。
通过对比不同方法的应用情况，我们也有望为教师提供更多灵活多样的教学方式，从而更好地满足学生的学习需求。
通过这一研究，我们希望能够为高中数学函数的教学和学习提供新的视角和方法，促进教育教学的创新和发展，进一步推动数学教育的改革和提高。
通过本研究，我们有望为教育教学领域的发展提供有益启示，为培养学生的创新能力和思维品质做出积极贡献。
1.3 研究意义高中数学函数解题是高中数学中一个重要的内容，通过深入研究其解题思路的多元化方法，可以帮助学生更全面地理解和掌握函数的相关知识。
这不仅有助于提高学生的数学解题能力，还能培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
研究意义主要体现在以下几个方面：1. 提高学生的解题效率和答题准确率。
多元未知数的解题思路
多元未知数的解题思路
在数学中，多元未知数是指有两个或更多个未知数的方程。
解决多元未知数问题需要使用一些基本的解题思路，如下所述：
1. 消元法：此方法适用于已知某些变量的值的情况，通过代入
已知值并解出未知变量的值来消除变量，最终得出所有未知数的值。
2. 相消法：此方法适用于存在一些变量的系数相等的情况。
通
过相减或相加的方式将这些方程相消，以达到消元的目的。
3. 矩阵法：此方法适用于有多个方程和多个未知数的情况。
将
所有方程写成矩阵形式，并使用矩阵运算求解。
4. 代入法：此方法适用于一个方程中包含一个已知变量和一个
未知变量的情况。
将已知变量的值代入方程，解出未知变量的值。
5. 增广矩阵法：此方法适用于多个方程和多个未知数的情况。
将所有方程写成增广矩阵的形式，并使用初等行变换求解。
以上是解决多元未知数问题的一些基本方法。
在实际解题过程中，需要结合具体问题的特点，灵活运用这些方法，以求得正确的解答。
- 1 -。
试论关于高中数学函数解题思路多元化的方法举例
试论关于高中数学函数解题思路多元化的方法举例
高中数学函数是数学中的重要内容之一，也是学生较为困难的部分之一。
在解决高中
数学函数问题的过程中，了解多元化的解题思路是非常重要的。
本文将试论关于高中数学
函数解题思路多元化的方法，并通过一些例子来阐述。
一、问题分析法
在解答高中数学函数问题时，首先要对问题进行仔细的分析。
可以根据问题的要求，
找出问题的关键点，明确问题的解题目标，确定问题的解题思路。
对于如下函数问题：已
知函数f(x)=3x+2，求f(5)的值。
在解答此题时，我们首先要分析题目所给的函数f(x)，并明确求f(5)的值是我们的解题目标。
通过问题分析，我们可以确定使用函数的给定表达式，即f(x)=3x+2，来求解f(5)的值。
二、代数法
在解答高中数学函数问题时，常用的方法是代数法。
代数法是指通过代数运算的方法
来解决问题。
对于如下函数问题：已知函数f(x)=x^2+3x-2，求f(-1)的值。
在解答此题时，我们可以直接将x=-1代入函数f(x)的表达式中，得到f(-1)=(-1)^2+3(-1)-2=1-3-2=-4。
通过代数运算，我们可以得到f(-1)的值为-4。
三、图像法
四、综合法
解答高中数学函数问题时，可以采用多元化的解题思路。
通过问题分析法找出关键点
和解题目标，通过代数法进行代数运算，通过图像法直观理解函数的性质和特点，通过综
合法综合多种方法来解决问题。
希望通过本文的讨论和例子的阐述，可以帮助学生更加灵
活地运用多元化的解题思路来解答高中数学函数问题。
多元方程的解题技巧
多元方程的解题技巧
1. 确定未知数：在解题前先仔细阅读题目，找到问题中涉及的
未知数及其数量，确定需要求解的方程式的个数。
2. 选择合适的方法：有不同的方法可以求解多元方程，如代入法、消元法、矩阵法等，根据具体情况选择合适的方法。
3. 引入新变量：通过引入新变量将原来的方程式转化为较简单
的形式，有助于求解。
例如，将多元方程转化为一次方程或二次方程。
4. 利用系数和常数的性质：通过观察方程的系数和常数之间的
关系，可以得到有用的信息，进而求解方程。
5. 将方程化为标准形式：通常情况下，将方程化为标准形式有
助于求解。
例如，将方程中的项化为同类项，或将某个未知数系数化
为1。
6. 注意特殊情况：在解题过程中要注意特殊情况，如分母为0、无解或有无穷多解等情况，避免漏解或误解。
7. 检验答案：在求解结束后，应该检验答案是否正确，特别是
对一些有约束条件的问题，要检查答案是否符合条件。
试论关于高中数学函数解题思路多元化的方法举例
试论关于高中数学函数解题思路多元化的方法举例
1. 利用函数的性质：
- 对称性：比如偶函数和奇函数的性质，可以根据函数的对称性来简化计算或者求解
问题。
- 周期性：如果函数具有周期性，可以将函数的定义域进行适当的缩小，简化计算。
- 单调性：可以利用函数的单调性来确定函数的取值范围，从而解决函数的最值问
题。
2. 利用函数的图像：
- 对函数的图像进行观察，寻找图像的特点和规律，从而推测出函数的性质和解题方法。
- 利用图像进行直观的分析和判断，确定函数的零点、极值点和拐点等关键点的位置，从而求解问题。
3. 利用函数的导数：
- 利用导数求解函数的极值点，即找到函数的导函数，令导数等于零，解方程求解极
值点的位置。
- 利用导数求解函数的单调性，确定函数在不同区间的增减情况，从而解决函数的取
值范围的问题。
4. 利用函数的性质和定义进行推导：
- 利用函数的性质和定义，通过推导和证明的方式解决问题。
利用函数的连续性、有
界性、零点存在性等性质来解决问题。
5. 利用函数的不同表示形式：
- 将函数从一种表达形式转化为另一种表达形式，从而简化计算或者发现问题的内在
规律。
将分式函数转化为整式函数，利用直观的方式解决问题。
高中数学函数解题思路多元化的方法可以从利用函数的性质、函数的图像、函数的导数、函数的定义和函数的不同表示形式等多个方面进行灵活运用。
通过多元化的解题思路，可以更好地理解和应用函数的概念，提高解题的准确性和效率。
114. 如何解含有多变量的方程？
114. 如何解含有多变量的方程？114、如何解含有多变量的方程？在数学的世界里，方程是解决各种问题的有力工具。
当方程中涉及多个变量时，可能会让一些同学感到困惑和棘手。
但别担心，接下来咱们就一起探讨一下如何解开含有多变量的方程。
首先，咱们来明确一下什么是多变量方程。
简单说，就是方程中包含两个或两个以上的未知数。
比如：2x ＋ 3y ＝ 10 ，这就是一个含有两个变量 x 和 y 的方程。
那么，面对这样的方程，我们该从哪里入手呢？一种常见的方法是消元法。
消元法的核心思想就是通过一系列的运算，消除其中的一个或几个变量，从而将多变量方程转化为我们熟悉的一元方程，进而求解。
比如说，对于方程 2x ＋ 3y ＝ 10 和 3x 2y ＝ 5 ，我们可以通过乘以适当的系数，使得其中一个变量的系数在两个方程中相等或相反，然后将两个方程相加或相减来消去这个变量。
以这两个方程为例，我们可以先将第一个方程乘以 2 ，得到 4x ＋6y ＝ 20 ；将第二个方程乘以 3 ，得到 9x 6y ＝ 15 。
然后将这两个新方程相加，就可以消去 y ，得到 13x ＝ 35 ，从而解得 x 的值。
再比如，对于方程组 x ＋ 2y ＝ 8 ， 2x y ＝ 3 。
我们可以将第二个方程乘以 2 ，得到 4x 2y ＝ 6 。
然后将这个方程与第一个方程相加，消去 y ，得到 5x ＝ 14 ，解得 x ＝ 14/5 。
除了消元法，代入法也是解决多变量方程的常用手段。
我们先从一个方程中解出一个变量关于其他变量的表达式，然后将其代入另一个方程中。
比如对于方程 3x ＋ 2y ＝ 11 ， x y ＝ 2 。
我们可以从第二个方程中解出 x ＝ y ＋ 2 ，然后将其代入第一个方程中，得到 3(y ＋ 2) ＋ 2y＝ 11 ，展开并化简得到 3y ＋ 6 ＋ 2y ＝ 11 ，5y ＝ 5 ，解得 y ＝ 1 ，再将 y 的值代入 x ＝ y ＋ 2 ，可得 x ＝ 3 。
多元方程的解法技巧高水平练习题带你突破
多元方程的解法技巧高水平练习题带你突破多元方程是数学中一个重要的概念，也是解决许多实际问题的关键。
掌握多元方程的解法技巧对于数学学习的深入和应用能力的培养至关重要。
本文将向大家介绍一些多元方程的解法技巧，并提供一些高水平的练习题，帮助大家突破难关。
一、消元法消元法是解决多元方程组的一种常用方法。
通过不断消去其中的某个变量，从而将多元方程组化简成较为简单的形式，进而求解。
例1：解方程组{2x + 3y = 73x - 4y = -1}解法：为了消去y变量，我们可以对第一个方程乘以4，对第二个方程乘以3，得到：{8x + 12y = 289x - 12y = -3}相加两个方程，可得：17x = 25，解得x = 25/17将x的值代入任一方程，可得：2*(25/17) + 3y = 7，解得y = 19/17所以方程组的解为x = 25/17，y = 19/17。
二、代入法代入法是另一种解决多元方程组的常用方法。
通过将其中一个方程的变量表示为另一个方程的函数形式，然后将该函数形式代入另一个方程，从而得到一个只含有一个未知数的方程，进而求解。
例2：解方程组{x + y = 52x + 3y = 13}解法：将第一个方程表示为x的函数形式，得到x = 5 - y，并代入第二个方程中，得到：2(5 - y) + 3y = 13化简得到：10 - 2y + 3y = 13整理得到：y = 3将y的值代入第一个方程，得到：x + 3 = 5解得：x = 2所以，方程组的解为x = 2，y = 3。
三、高水平练习题1. 解方程组{2x + y = 103x - 2y = 7}2. 解方程组{x - y = 5x^2 + y^2 = 25}3. 解方程组{2x + 3y = 174x - y = 14}4. 解方程组{3x - 2y = 5x + 5y = 13}5. 解方程组{3x + 2y = 142x + 4y = 16}这些高水平的练习题旨在考察多元方程解法的深度和广度，提高解题能力的同时增加挑战性。
多变量问题解决方案
常见类型
经济优化问题
如生产计划、资源配置、市场营销等。
金融投资组合优化
如股票、债券、期货等投资组合的优化和管 理。
控制系统设计
如航空航天、机器人、自动化系统等。
环境资源管理
如水资源、森林资源、土地资源的合理利用 和管理。
02
解决多变量问题的基本原则
确定目标变量
明确问题目标
01
在解决多变量问题时，首先需要明确问题的目标，即需要优化
05
解决多变量问题的挑战与未来发展
挑战
数据复杂性
多变量问题涉及大量数据，如何有效 处理、分析和解释这些数据是一个挑 战。
模型选择与优化
选择合适的模型处理多变量问题至关 重要，如何确定最佳模型和优化模型 参数是关键。
计算效率
多变量问题通常涉及大规模计算，如 何提高计算效率以获得实时或近实时 结果是重要挑战。
多变量问题通常涉及多个目标、多个 约束条件和多个决策变量，需要综合 考虑各种因素之间的权衡和取舍。
特点
复杂性
多变量问题需要考虑多个因素之间的相互作用和影响，因此具有 较高的复杂性。
动态性
多变量问题中的变量通常会随着时间和环境的变化而变化，因此需 要动态地调整和优化解决方案。
优化性
多变量问题的目标是寻找最优解或满意解，需要对多个目标进行权 衡和取舍，以实现整体最优或满足特定条件。
解决城市规划问题的方法包括数学建模、GIS技术和仿真模拟等，这些方法可以帮助城市规划者实现 城市资源的合理配置和规划，提高城市的可持续发展能力。
环境保护
环境保护也是多变量问题的一个重要应用领域，它涉及到多个环境因素的监测和管理，如空气质量、水质、土壤保护等。
解决环境保护问题的方法包括环境监测、环境评估和环境治理等，这些方法可以帮助政府和企业实现环境保护的优化和管理 ，提高环境的质量和可持续性。
如何处理高一数学中的多变量问题
如何处理高一数学中的多变量问题在高一数学的学习中，我们常常会遇到多变量问题，这些问题相较于单变量问题，往往更具复杂性和挑战性。
但只要掌握了正确的方法和思路，就能迎刃而解。
接下来，让我们一起探讨如何处理这类问题。
首先，要理解多变量问题的本质。
多变量问题就是在一个数学情境中，存在两个或两个以上相互关联的变量。
比如在一个函数中，可能同时包含 x、y 等多个自变量。
为了清晰地把握这些变量之间的关系，我们需要建立起良好的数学思维模式。
对于多变量问题，一种常见的处理方法是消元法。
消元法的核心思想是通过一定的数学运算，减少变量的数量，从而将多变量问题转化为较简单的单变量问题。
例如，在一个方程组中，如果有两个方程分别为：x ＋ y ＝ 3 和 2x y ＝ 1。
我们可以通过将第一个方程变形为 y＝ 3 x，然后将其代入第二个方程，得到 2x （3 x) ＝ 1，这样就把 y消去了，只剩下 x 这一个变量，从而可以求解出 x 的值，再将 x 的值代入 y ＝ 3 x 中，求出 y 的值。
另外，换元法也是处理多变量问题的有效手段。
当多个变量之间的关系比较复杂时，可以通过引入新的变量来简化问题。
比如，对于表达式 x^2 ＋ 2x ＋ 3，我们可以令 t ＝ x ＋ 1，那么 x ＝ t 1，原表达式就可以转化为（t 1)＾2 ＋ 2(t 1) ＋ 3，经过展开和化简，变成了 t^2＋ 2，这样就把原来关于 x 的复杂表达式转化为了关于 t 的较为简单的表达式。
在处理多变量问题时，函数的思想也非常重要。
我们可以将多个变量之间的关系看作一个函数关系，通过研究函数的性质来解决问题。
比如，对于形如 z ＝ f(x, y)的函数，我们可以通过对 x 和 y 分别求偏导数，来研究函数的变化趋势和极值情况。
不等式也是高一数学中常见的多变量问题类型。
对于这类问题，我们通常要结合不等式的性质和变形方法来求解。
例如，对于形如 ax ＋by ＞ c 的不等式，我们可以通过移项、合并同类项等操作，将其转化为更便于分析的形式。
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例 3：已知 a, b R 且 a b 2, 则
a 2 2 b2 的最小值是_______. a b 1
a 2 2 b2 2 1 2 1 a (b 1) 2 1 a b 2, a b 1 a b 1 a b 1 a 2 1 1 1 2(b 1) 1 2(b 1) a 解： ( ) (a b 1) 1 [3 ] 1 [3 2 ] a b 1 3 a b 1 a b 1 3 3 3 2 2 62 2 1 . 3 3
检验等号成立的条件. 练习:1.(2015 通泰淮扬)已知正实数 x，y 满足 x ▲ ． 提示:
2 4 3 y 10 ，则 xy 的取值范围为 x y
10 x 10 x
2 4 1 1 1 1 1 1 3 y x y y y 1010 xy 1 x y x y y y y xy 2 4 x x 2 3y 3y 3y 4 4 4 3 xy 8 3y 1010 xy . x y 2 2 x 4 4 4 3y 3y 3y 8 3
,
a 2 2 b2 的最小值是_______. a b 1
1 a 2 2 b 2 a 2 2 (2 a ) 2 2 a b 2, b 2 a, 1 3 a a b a a 3 a 解：由 62 2 3
（最后一步权方和轻松搞定，当然也可以通过求导来做。） 例 10:（群里老师问过这个题目）已知 x, y, z R, x y z 1, x y z 3, 则 xyz 的最
例 6.设 x 0, y 0. 不等式
1 1 m 0 恒成立，则实数 m 的最小值是_______. x y x y
1 1 y x y x m ( x y )( ) 2 , 2 4 m 4 解：很容易得到 x y x y x y m 4.
2 2 2
大值是______. 解： 由
x y z 1,
x y 1 z x y 1 z （这里是韦达定理的形式） 2 2 2 2 2 2 2 x y z 3, x y 3 z xy z z 1
x, y是t 2 (1 z )t ( z 2 z 1) 0 的两根。 5 5 0 1 z . xyz ( z 2 z 1) z , 1 z . 三次函数，求导画图就可以求出最 3 3 5 值了 . 27
x y 最大值为_________。 2x y 2x 3y
3a b x a 2 x y 3a b b a 4 令 原式 2 3 b x y b a 4 2b a y 2 5 5 2 b a ( ) 4 4a 2b 4 2
多元变量的常见处理方法
多变量最值问题是一种常见的题型，也是高考的热点 . 本文给出了解决多变量最值问 题的常见求解策略， 从例题的解答和分析中可以看出， 解答这类问题的关键是能运用数学基 础知识、数学思想方法，灵活解决问题. 一:基本不等式法. 例 1.已知 x 0, y 0, x 2 y 2 xy 8. 则 x 2 y 的最小值是_____. 解： x 2 y 2 xy 8. 8 ( x 2 y ) x2 y (
1
2.(2015 苏州 13)． 设 x, y 均为正实数， 且
1 1 1 则 xy 的最小值为 11+6 2 ▲ ． ， 1+x 2 y 3
二：变量分离法。 多元变量问题中， 常用的方法之一就是将其中的一个变量分离出来， 通过对一边表达式 的范围的确定得到另一边的范围。 例 5. 不 等 式 | x _________.
1 1 + 1 ，则 a + 5b 的最小值为 2a + b b + 1
7 2
(注意等号成立的条件) 例 16：(2015 前黄中学)若 a 0, b 0 ，且 ▲ ． 方法一:可以用前面的消元法; 方法二:可以用整体换元; 方法三:基本不等式法, 方法四:分母整体换元 解
:
令
x y 1 2a b x a x 1 y x 9y 9 a 5b 5( y 1) 2 2 2 2 b 1 y b y 1 1 9 1 1 1 9 1 9y x 9 1 9y x 9 7 ( x 9 y )1 ( x 9 y )( ) [1 9 ] [10 2 ] 2 2 2 x y 2 2 x y 2 2 x y 2 2
8 2y 8 2y (2 y 1) x 2y 2y 2y 1 2 y 1 2 y 2 y 1 9 9 9 解： 1 2 y 1 2 y 1 1 2 2 y 1 2 y 1 2 y 1 2 y 1 x 2 y 2 xy 8 x 2 2 9 (2 y 1) 4. 2 y 1 y2 的最小值是______. xz
练习:已知不等式 xy ≤ 实数 的取值范围是 ，若对任意 且 ，该不等式恒成立，则
[1, ). ．
三：消元法 多元变量最值问题的难点很多时候在于变量的个数,如果研究条件等式,发现很多情况下 可以对变量做个减法,三元变二元 ,二元变一元,就可以化归为我们熟悉的问题了. 例 7.已知 x 0, y 0, x 2 y 2 xy 8. 则 x 2 y 的最小值是_____.
解法 3. 0, t 4(4t 75)(t 25) 15t 700t 7500 0
2 2
50 t 30. 3
4
法四: 法五:
练习:设 x，y 都是正数，若 4 x y xy 2, 则， 2 x y xy 的最大值是
2 2
17 12
（等号成立的条件在这里不赘述了。） 例 4：设 x,y 均为正实数，且
3 3 1, 求 xy 的最小值。 2 x 2 y
3 3 1 3(2 y ) 3(2 x) (2 x)(2 y ) xy x y 8 解: 2 x 2 y 2 xy 8 xy 16.
例 11：设 x,y 均为正实数，且 解：
3 3 1, 求 xy 的最小值。 2 x 2 y
3 3 3( x 2) 3( x 2) 9 1 y 2, xy x[ 2] x 9 . 2 x 2 y x 1 x 1 x 1 3 3 3 1andx, y 0, 0 1, x 1. 2 x 2 y 2 x 9 9 xy x 9 x 1 10 16( x 4时取=) x 1 x 1
1 || a 2 | sin y 对 一 切 实 数 x,y 均 成 立 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 x
1 1 | sin y | a 2 | .| x | sin y 2 1 1 解：变量分离得 x x | a 2 | 1 1 a 3. | x
5 10 15 3 x 2 y 2 20sin 2 sin 2 25cos 2 sin cos 3 3 65 1 cos 2 1 cos 2 5 15 25 sin 2 3 2 2 3 70 5 15 5 ( sin 2 cos 2 ) 3 3 3 70 20 sin(2 ). 3 3
当且仅当 y ( x y z ) xz 时，等号成立。 练习:1.(通锡苏学大密卷)
5
2.2014 常州信息卷 2.已知 a, b 均为正实数，若 ab(a b) 1, 则 a 2 ab 4b 的最小 值是__4___.
六：分母整体换元 例 15，（13 镇江改编）已知 x，y 为正数，则
胆子大的，就对称变量吧。
练习 ： 1.（2014~2015 宿迁剑桥中学）设正实数 x, y, z 满足 x 2 3 xy 4 y 2 z 0 ，则当
z 取得最大值时， x 2 y z 的最大值为______2___ xy
2.（2015 盐城）设 x 0 ， y 0 且 x 2 y 1 ，则 2 x 3 y 2 的最小值为 12 ▲
四:换元法
3
．
例 12.（群里老师问过这个题目）
4 x 2 xy y 2 25, 求 3 x 2 y 2 的最值.
x y 5cos x 15 2 15 2 2 解法 1. ( y ) x 25 y sin 5cos 2 4 3 x 2 15 sin 3
五：分解因式（参阅王耀老师的论文）
2 例 13.若 a, b, c 0且aபைடு நூலகம் ab ac bc 4, 则 2a b c 的最小值为______. 2 解：由 a, b, c 0且a ab ac bc 4, 得
(a c)(a b) 4. 2a b c (a b) (a c) 2 (a b)(a c) 4.
例 8.设 x,y,z 为正实数，满足 x 2 y 3 z 0, 则
x 3z 2 2 3 xz 2 ) ( ) x 3z y 2 2 解：由已知条件得 y 代入原式 3 。所以最小值为 3 2 xz xz xz
2
(
2
评析：多元变量往往通过减少变量的个数，转化成求函数值或者其他多元变量问题. 例 9:已知 a, b R 且 a b 2, 则
2
x 2y 2 ) x 2 y 4. 2
例 2.若 a, b, c 0, 且a 2ab 2ac 4bc 12. 则 a b c 的最小值是______.