最新历年全国数学建模试题及解法归纳
数学建模国赛历年题目
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数学建模国赛历年题目
以下是数学建模国赛历年题目的一部分:
1. 2018年题目:某公司想要投资一个新的项目,该项目有一
定的风险,但可能会带来高额的回报。
你被要求通过建立一个数学模型来评估该项目的可行性和预测可能的回报。
2. 2017年题目:某城市的交通拥堵问题日益严重,政府希望
通过优化信号灯的调节策略来缓解交通压力。
你需要建立一个数学模型来确定最佳的信号灯时间调节方案,以最大程度地减少交通拥堵。
3. 2016年题目:在某个城市,政府计划在两个特定的区域之
间修建一个新的道路,并需要确定最佳的路线以及道路的设计参数。
你需要建立一个数学模型来分析各种因素,如交通流量、土地利用等,以确定最佳的道路路线和设计。
4. 2015年题目:某公司生产的产品在市场上的销售量一直在
下降,他们希望通过改变产品的包装和定价策略来提振销售。
你需要建立一个数学模型来分析不同包装和定价方案对销售量的影响,并提出最佳的包装和定价策略。
以上题目只是数学建模国赛历年题目的一小部分,每年的具体题目会有所变化。
完成这些题目需要的技巧包括数学建模、数据分析和优化方法等。
如果你对数学建模感兴趣,建议多参加相关的竞赛和训练,积累经验和提高自己的能力。
数学建模试卷及参考答案
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数学建模试卷及参考答案一、选择题1. 已知函数 $y = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7$,求导数函数 $y'$ 的值。
A) $6x^2 - 10x + 3$\B) $6x - 10x^2 + 3$\C) $6x - 10x + 3$\D) $6x^2 - 10x^2 + 3$答案:A2. 设矩形的长为 $x$,宽为 $y$,满足 $x^2 + y^2 = 25$。
当矩形的面积最大时,求矩形的长和宽。
A) 长为 4,宽为 3\B) 长为 5,宽为 3\C) 长为 4,宽为 2.5\D) 长为 5,宽为 2.5答案:A3. 一条直线过点 $A(1,2)$ 和点 $B(3,-1)$,与另一条直线 $2x + y - 4 = 0$ 平行。
求该直线的方程。
A) $2x - y + 3 = 0$\B) $2x - y - 3 = 0$\C) $-2x + y - 3 = 0$\D) $2x - y - 5 = 0$答案:B4. 已知函数 $y = e^x$,求 $y$ 的微分值。
A) $e^x$\B) $e^x + C$\C) $e^x - C$\D) $C \cdot e^x$答案:A5. 一辆汽车以每小时 60 公里的速度行驶,途中经过两座相距 60 公里的城市。
假设两座城市间有一辆以每小时90 公里的速度行驶的列车,两车同时出发。
求两辆车首次相遇的时间。
A) 0.5 小时\B) 1 小时\C) 1.5 小时\D) 2 小时答案:A二、填空题6. 已知函数 $f(x) = \sin(x)$,求函数 $g(x) = f^{\prime}(x)$。
答案:$g(x) = \cos(x)$7. 若直线 $3x + ky = 2$ 与直线 $2x - y = 3$ 相垂直,则 $k$ 的值为\_\_\_。
答案:$k = 6$8. 设抛物线 $y = ax^2 - 3x + 2$ 的顶点为 $(2,1)$,则 $a$ 的值为\_\_\_。
数学建模试卷及参考答案
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数学建模 试卷及参考答案一.概念题(共3小题,每小题5分,本大题共15分)1、一般情况下,建立数学模型要经过哪些步骤?(5分)答:数学建模的一般步骤包括:模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。
2、学习数学建模应注意培养哪几个能力?(5分)答:观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。
3、人工神经网络方法有什么特点?(5分)答:(1)可处理非线性;(2)并行结构.;(3)具有学习和记忆能力;(4)对数据的可容性大;(5)神经网络可以用大规模集成电路来实现。
二、模型求证题(共2小题,每小题10分,本大题共20分)1、 某人早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达山顶并留宿.次日早8:00沿同一路径下山,下午5:00回到旅店.证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分) 证明:记出发时刻为t=a,到达目的时刻为t=b,从旅店到山顶的路程为s.设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t),t 是一天内时刻变量,则f(t),g(t)在[a,b]是连续函数。
作辅助函数F(t)=f(t)-g(t),它也是连续的,则由f(a)=0,f(b)>0和g(a)>0,g(b)=0,可知F (a )<0, F(b)>0,由介值定理知存在t0属于(a,b)使F(t0)=0, 即f(t0)=g(t0) 。
2、三名商人各带一个随从乘船过河,一只小船只能容纳二人,由他们自己划行,随从们秘约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货,但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中,商人们怎样才能安全渡河呢?(15分)解:模型构成记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ,随从数为k y ,k=1,2,........,k x ,k y =0,1,2,3。
将二维向量k s =(k x ,k y )定义为状态。
安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合,记做S 。
大学《数学建模》考试题目汇总
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答案:
解:设供应点 Ai 供应需求点 B j 的物资的数量为 xij (i 1,2,3; j 1,2,4) ,
则可建立运输问题的数学模型:
min Z x11 8x12 5x13 11x14 3x21 4x22 2x23 5x24 7x31 10x32 9x33 6x34
x11 x12 x13 x14 7 x11 x21 x31 3
3.2030 级新生入学后,大数据学院共有在校学生 600 人,其中数据分析及大数据 专业 320 人,人工智能专业 200 人,统计分析专业 80 人。要在全院推选 25 名学 生组成学生代表团,试用下面的方法分配各专业的学生代表: (1)按比例分配取整的方法,剩下的名额按惯例分配给小数部分较大者; (2)用 Q 值方法进行分配
9. 某厂生产甲、乙、丙三种产品,消耗两种主要原材料 A 与 B。每单位产品生 产过程中需要消耗两种资源 A 与 B 的数量、可供使用的原材料数量以及单位产 品利润如下表:
甲
乙
丙
原料数量
A
60
30
50 4500 公斤
B
30
40
50 3000 公斤
产品利润 400 元 300 元 500 元
甲、乙、丙三种产品各生产多少使总利润最大? (1)建立线性规划问题数学模型。 (2)写出用 LINGO 软件求解的程序。 答案:(数据乘 10)
4.某商店每天要订购一批牛奶零售,设购进价 c1 ,售出价 c2(c2 c1) ,当天销售不 出去则削价处理,处理价 c3(c3 c1) 并能处理完所有剩余的牛奶。如果该商店每 天销售牛奶的数量 r 是随机变量,其概率密度函数为 f (r) 。如果商店每天订购牛 奶的数量为 n , L 该商店销售牛奶每天所得利润,则 L 是 r 与 n 的函数 L g(r) (1)建立利润函数 L g(r) ; (2)确定每天的购进量 n ,使该商店每天的期望利润最大。
全国大学生数学建模竞赛历年试题
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全国大学生数学建模竞赛历年试题1.1992年A题:施肥效果分析;B题:试验数据分析;2.1993年A题:非线性交调的频率设计;B题:足球队拍名次;3.1994年A题:逢山开路;B题:锁具开箱;4.1995年A题:一个飞行管理问题;B题:天车与冶炼炉的作业调度;5.1996年A题:最优捕鱼策略;B题:节水洗衣机;6.1997年A题:零件的参数设计;B题:截断切割;7.1998年A题:投资的收益和风险B题:灾情巡视路线8.1999年A题:自动化车床管理B题:钻井布局C题:煤矸石堆积D题:钻井布局9.2000年A题:DNA序列分类B题:钢管订购和运输C题:飞越北极D题:空洞探测10.2001年A题:血管的三维重建B题:公交车调度C题:基金使用计划D题:公交车调度11.2002年A题:车灯线光源的优化设计B题:彩票中的数学C题:车灯线光源的计算D题:赛程安排12.2003年A题:SARS的传播B题:露天矿生产的车辆安排C题:SARS的传播D题:抢渡长江13.2004年A题:奥运会临时超市网点设计B题:电力市场的输电阻塞管理C题:饮酒驾车D题:公务员招聘14.2005年A题:长江水质的评价和预测B题:DVD在线租赁C题:雨量预报方法的评价D题:DVD在线租赁15.2006年A题:出版社的资源配置B题:艾滋病疗法的评价及疗效的预测C题:易拉罐形状和尺寸的最优设计D题:煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制16.2007A题:中国人口增长预测;B题:乘公交,看奥运;C题:手机“套餐”优惠几何;D题:体能测试时间安排17.2008A题数码相机定位;B题高等教育学费标准探讨;C题地面搜索;D题NBA赛程的分析与评价.18.2009A题制动器试验台的控制方法分析B题眼科病床的合理安排C题卫星和飞船的跟踪测控D题会议筹备19.2010A题储油罐的变位识别与罐容表标定B题2010年上海世博会影响力的定量评估C题输油管的布置D题对学生宿舍设计方案的评价19.2011A题城市表层土壤重金属污染分析B题交巡警服务平台的设置与调度C题企业退休职工养老金制度的改革D题天然肠衣搭配问题20.2012A题葡萄酒的评价B题太阳能小屋的设计C题脑卒中发病环境因素分析及干预D题机器人避障问题21.2013 A题车道被占用对城市道路通行能力的影响B题碎纸片的拼接复原C题古塔的变形D题公共自行车服务系统。
数学建模题目及答案解析
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09级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然后稍微挪动几次,就可以使四只脚同时着地,放稳了。
试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。
(15分) 解:对于此题,如果不用任何假设很难证明,结果很可能是否定的。
因此对这个问题我们假设 :(1)地面为连续曲面(2)长方形桌的四条腿长度相同(3)相对于地面的弯曲程度而言,方桌的腿是足够长的(4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
那么,总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
现在,我们来证明:如果上述假设条件成立,那么答案是肯定的。
以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示,方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处,A 、B,C 、D的初始位置在与x 轴平行,再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ,C 、D 平行。
当方桌绕中心0旋转时,对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。
容易看出,当四条腿尚未全部着地时,腿到地面的距离是不确定的。
为消除这一不确定性,令 ()f θ为A 、B 离地距离之和,()g θ为C 、D 离地距离之和,它们的值由θ唯一确定。
由假设(1),()f θ,()g θ均为θ的连续函数。
又由假设(3),三条腿总能同时着地, 故()f θ()g θ=0必成立(∀θ)。
不妨设(0)0f =,(0)0g >g (若(0)g 也为0,则初始时刻已四条腿着地,不必再旋转),于是问题归结为:已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数,(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=,求证存在某一0θ,使00()()0f g θθ=。
证明:当θ=π时,AB 与CD 互换位置,故()0f π>,()0g π=。
作()()()h f g θθθ=-,显然,()h θ也是θ的连续函数,(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->,由连续函数的取零值定理,存在0θ,00θπ<<,使得0()0h θ=,即00()()f g θθ=。
数学建模考试试题及答案
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数学建模及应用试题汇总1. 假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器, 你也会出于好奇心想用扔下一 块石头听回声的方法来估计山崖的高度,假定你能准确地测定时间,你又怎样来推算山 崖的高度呢,请你分析一下这一问题。
2. 建立理想单摆运动满足的微分方程,并得出理想单摆运动的周期公式。
3. 一根长度为 l 的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上,一端的温度恒为 T1, 另一端温 度恒为 T2, (T1、T2 为常数, T1> T2)。
金属杆横截面积为 A ,截面的边界长度为 B ,它 完全暴露在空气中,空气温度为 T3, (T3< , T3 为常数), 导热系数为α,试求金属杆 上的温度分布 T(x), (设金属杆的导热 2为λ)4. 甲乙两队进行一场抢答竞赛,竞赛规则规定:开始时每队各记 2 分,抢答题开始后,如 甲取胜则甲 加 1 分而乙减 1 分,反之则乙加 1 分甲减 1 分,(每题必需决出胜负 )。
规 则还规定,当其中一方的得分达 到 4 分时,竞赛结束。
现希望知道:(1)甲队获胜的概率有多大?(2)竞赛从开始到结束,平均转移的次数为多少?(3)甲获得 1 、2、3 分的平均次数是多少?5. 由于指派问题的特殊性, 又存在着由匈牙利数学家提出的更为简便的解法——匈牙利算 法。
当系数矩阵为下式,求解指派问题。
「16 15 19 22]C =L17 19 22 16 」6. 在遥远的地方有一位酋长,他想把三个女儿嫁出去。
假定三个女儿为 A 、B 、C , 三位求 婚者为 X 、Y 、Z 。
每位求婚者对 A 、B 、C 愿出的财礼数视其对她们的喜欢程度而定: A B C x 「 3 5 26]问酋长应如何嫁女,才能获得最多的财礼(从总体上讲,他的女婿最喜欢他的女儿。
7. 某工程按正常速度施工时,若无坏天气影响可确保在 30 天内按期完工。
但根据天气预 报, 15 天后天气肯定变坏。
数学建模习题及答案解析
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第一部分课后习题1.学校共1000名学生,235人住在A宿舍,333人住在B宿舍,432人住在C宿舍。
学生们要组织一个10人的委员会,试用下列办法分配各宿舍的委员数:(1)按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
(2)2.1节中的Q值方法。
(3)d’Hondt方法:将A,B,C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,…相除,其商数如将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线,表中A,B,C行有横线的数分别为2,3,5,这就是3个宿舍分配的席位。
你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人,用以上3种方法再分配名额。
将3种方法两次分配的结果列表比较。
(4)你能提出其他的方法吗。
用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。
比如洁银牙膏50g装的每支1.50元,120g装的3.00元,二者单位重量的价格比是1.2:1。
试用比例方法构造模型解释这个现象。
(1)分析商品价格C与商品重量w的关系。
价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定,这些成本中有的与重量w成正比,有的与表面积成正比,还有与w无关的因素。
(2)给出单位重量价格c与w的关系,画出它的简图,说明w越大c越小,但是随着w的增加c减少的程度变小。
解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生,打算按照放生的鱼的重量给予奖励,俱乐部只准备了一把软尺用于测量,请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼,并且得到8条鱼的如下数据(胸围指鱼身的最大周长):先用机理分析建立模型,再用数据确定参数4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道,要求布条不重叠,问布条与管道轴线的夹角 应多大(如图)。
若知道管道长度,需用多长布条(可考虑两端的影响)。
如果管道是其他形状呢。
5.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘,给出几种简便、有效的排列方法,使加工出尽可能多的圆盘。
数学建模例题及解析
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.例1差分方程——资金(de)时间价值问题1:抵押贷款买房——从一则广告谈起每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己(de)住房,但又没有足够(de)资金一次买下,这就产生了贷款买房(de)问题.先看一下下面(de)广告(这是1991年1月1日某大城市晚报上登(de)一则广告),任何人看了这则广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心(de)是:如果一次付款买这栋房要多少钱呢银行贷款(de)利息是多少呢为什么每个月要付1200元呢是怎样算出来(de)因为人们都知道,若知道了房价(一次付款买房(de)价格),如果自己只能支付一部分款,那就要把其余(de)款项通过借贷方式来解决,只要知道利息,就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说(de)房子作出决策了.现在我们来进行数学建模.由于本问题比较简单无需太多(de)抽象和简化.a.明确变量、参数,显然下面(de)量是要考虑(de):需要借多少钱,用记;月利率(贷款通常按复利计)用R记;每月还多少钱用x记;借期记为N个月.b.建立变量之间(de)明确(de)数学关系.若用记第k个月时尚欠(de) 款数,则一个月后(加上利息后)欠款 , 不过我们又还了x元所以总(de)欠款为k=0,1,2,3,而一开始(de)借款为.所以我们(de)数学模型可表述如下(1)c. (1)(de)求解.由(2)这就是之间(de)显式关系.d.针对广告中(de)情形我们来看(1)和(2)中哪些量是已知(de).N=5年=60个月,已知;每月还款x=1200元,已知 A.即一次性付款购买价减去70000元后剩下(de)要另外去借(de)款,并没有告诉你,此外银行贷款利率R也没告诉你,这造成了我们决策(de)困难.然而,由(2)可知60个月后还清,即,从而得(3)A和x之间(de)关系式,如果我们已经知(3)表示N=60,x=1200给定时0A.例如,若R =0.01,则由(3)可算得道银行(de)贷款利息R,就可以算出053946元.如果该房地产公司说一次性付款(de)房价大于70000十53946=123946元(de)话,你就应自己去银行借款.事实上,利用图形计算器或Mathematica这样(de)数学软件可把(3)(de)图形画出来,从而可以进行估算决策.以下我们进一步考虑下面两个问题.注1问题1标题中“抵押贷款”(de)意思无非是银行伯你借了钱不还,因而要你用某种不动产(包括房子(de)产权)作抵押,即万一你还不出钱了,就没收你(de)不动产.例题1某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款60000元,月利率0.01,贷款期25年=300月,这对夫妇希望知道每月要还多少钱,25年就可还清.假设这对夫妇每月可有节余900元,是否可以去买房呢解:现在(de)问题就是要求使 (de)x,由(2)式知现=60000,R=0.01,k=300,算得x=632元,这说明这对夫妇有能力买房.例题2 恰在此时这对夫妇看到某借贷公司(de)一则广告:“若借款60000元,22年还清,只要;(i)每半个月还316元;(ii)由于文书工作多了(de)关系要你预付三个月(de)款,即316×6=1896元.这对夫妇想:提前三年还清当然是好事,每半个月还316元,那一个月不正好是还632元,只不过多跑一趟去交款罢了;要预付18%元,当然使人不高兴,但提前三年还清省下来(de)钱可是22752元哟,是1896元(de)十几倍哪这家公司是慈善机构呢还是仍然要赚我们(de)钱呢这对夫妇请教你给他们一个满意(de)回答.具体解法略.问题2:养老基金今后,当年青人参加工作后就要从其每月工资中扣除一部分作为个人 (de)养老基金,所在单位(若经济效益好(de)话)每月再投入一定数量(de)钱,再存入某种利息较高而又安全(de)“银行”(也可称为货币市场)到60岁退休时可以动用.也就是说,若退休金不足以维持一定(de)生活水平时,就可以动用自己(de)养老基金,每月取出一定(de)款项来补贴不足部分.假设月利率及=0.01不变,还允许在建立养老基金时自己可以一次性地存入A(不论多少),每月存入y元(个人和单位投入(de)总和);通常从一笔钱0三十一岁开始到六十岁就可以动用.这当然是一种简化(de)假设,但作为估算仍可作为一种考虑(de)出发点.本问题实际上有两个阶段,即退休前和退休后,其数学模型为其中x为每月要从养老基金中提出(de)款项.习题1 某大学年青教师小李从31岁开始建立自己(de)养老基金,他把已有(de)积蓄1万元也一次性地存入,已知月利率为0.01 (以复利计),每月存入300元,试问当小李60岁退休时,他(de)退休基金有多少又若,他退休后每月要从银行提取l000元,试问多少年后他(de)退休基金将用完你能否根据你了解(de)实际情况建立一个较好(de)养老基金(de)数学模型及相应(de)算法和程取软件).习题2 渔业(林业)管理问题设某养鱼池(或某海域)一开始有某种鱼条,鱼(de)平均年净繁殖率为R,每年捕捞x条,记第N年有鱼条,则池内鱼数按年(de)变化规律为注意,在实际渔业经营中并不按条数计算而是以吨记数(de).若对某海域(de)渔业作业中=100000吨,R=0.02,x=1000吨,试问会不会使得若干年后就没有鱼可捕捞了(资源枯竭了)例2比例分析法——席位分配问题:某学校有三个系联合成立学生会,(1)试确定学生会席位分配方案.(2)若甲系有100名,乙系60名,丙系40名.学生会设20个席位,分配方案如何(3)若丙系有3名学生转入甲系,3名学生转入乙系,分配方案有何变化(4)因为有20个席位(de)代表会议在表决提案时有可能出现10: 10(de)平局,会议决定下一届增加1席,若在第(3)问中将学生会席位增加一席呢(5)试确定一数量指标衡量席位分配(de)公平性,并以此检查(1)—(4).公平而又简单(de)席位分配办法是按人数(de)比例分配,若甲系有100名,乙系60名,丙系40名.学生会设20个席位,三个系分别应有10,6,4个席位.如果丙系有6名学生转入其他两系学习,各系人数如表所示系别学生人数所占比例(%)按比例分配(de)席位按惯例分配(de)席位甲10310乙636第二列所示,按比例分配席位时,出现了小数(见表中第四列).在将取得整数(de)19席分配完毕后,剩下(de)1席按照惯例分给余数最大(de)丙系,于是三个系仍分别占有10、6、4个席位.因为有20个席位(de)代表会议在表决提案时有可能出现10:10(de)平局,会议决定下一届增加1席,于是他们按照上述惯例重新分配席位,计算(de)结果令人吃惊:总席位增加1席,丙系反而减少1席,见下表.看来,要解决这个矛盾,必须重新研究所谓惯例分配方法,提出更加“公平”(de)办法.下面就介绍这样一个席位分配模型.设A、B两方人数分别是p1 和p2,分别占有n1 和n2 个席位,则两方每个席位所代表(de)人数分别是p1 /n12和p2/n2.很明显,仅当这两个数值相等时,席位(de)分配才是公平(de).但是,通常它们不会相等,这时席位分配得不公平.不公平(de)程度可以用数值来表示,它衡量(de)是“绝对不公平”.从下表所举(de)例子来看,A、B之间(de)“绝对不公平”与C、D之间是一样(de).但是从常识(de)角度看,A、B之间显然比C、D之间存在着更加严重(de)不公平.所以“绝对不公平”不是一个好(de)衡量标准.p n p/n p1/n1-p2/n2 A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100为了改进绝对标准,我们自然想到用相对标准.因为p/n越大,每个席位代表(de)人数越多,或者说,总人数一定时分配(de)席位越少.所以,如果p1/n13>p2/n2,则A方是吃亏(de),或者说,对A是不公平(de),由此,我们这样定义“相对不公平”:若p1/n1>p2/n2,则称为对A(de)相对不公平值,记做若p1/n1<p2/n2,则称为对B(de)相对不公平值,记做假设A、B两方已分别占有n1和n2个席位,我们利用相对不公平(de)城念来讨论,当总席位再增加1席时,应该给且A方还是B方不失一般性,可设p1/n1>p2/n2,即此时对A方不公平, ,有定义.当再分配1个席位时,关于p/n(de)不等式有以下三种可能:1)p1/(n1十1)>p2/n2,这说明即使A方增加1席,仍然对A不公平,所以这1席当然应给A方;2)p1/(n1十1)<p2/n2,说明当A方增加1席位,将对B不公平,此时应参照式,计算对B(de)相对不公平值3)说明当B方增加1席时,将对A方不公平,此时计算得对A (de)相对不公平值是(注意:在p1/n1p2/n2(de)假设下,不可能出现p1/n1<p2/(n2+1)(de)情况因为公平(de)席位分配方法应该使得相对不公平(de)数值尽量地小,所以如果则这1席应给A方;反之应给B方.根据(3)、(4)两式,(5)式等价于并且不难证明1从上述第1)种情况(de)p1/(n1十1)>p2/p2也可推出. 于是我们(de)结论是:当(6)式成立时,增加(de)1席应分配A方;反之,应分配给B方.若记,则增加(de)1席位应分配给Q值较大(de)一方.将上述方法可以推广到有m方分配席位(de)情况.下面用这个方法,重新讨论本节开始时提出(de),三个系分配21个席位(de)问题.首先每系分配1席,然后计算:甲系n1=1,乙系, n2=1,丙系,n3=1,因为最大,所以第4席应分配给甲系,继续计算:甲系n1=2,将与上面(de)相比,最大,第5席应分给乙系,继续计算.如此继续,直到第21席分配给某个系为止(详见列表).n甲系乙系丙系1(4)(5)578(9)2(6)(8)(15)3(7)(12)(21)4(10)(14)5(11)(18)6(13)7(16)8(17)9(19)10(20)11可以看出,用Q值法,丙系保住了它险些丧失(de)1席.你觉得这个方法公平吗习题:学校共1000名学生,235入住在A宿合,333人住在B宿合,432人住在C宿合.学生们要组织一个10人(de)委员会,试用下列办法分配各宿舍(de)委员数.1)惯例(de)方法,印按比例分配完整数名额后,剩下名额给余数最大者. 2)Q值方法.如果委员会从10人增至15人,分配名额将发生什么变化 ,例3 状态转移问题——常染色体遗传模型随着人类(de)进化,人们为了揭示生命(de)奥秘,越来越注重遗传学(de)研究,特别是遗传特征(de)逐代传播,引起人们(de)注意.无论是人,还是动植物都会将本身(de)特征遗传给下一代,这主要是因为后代继承了双亲(de)基因,形成自己(de)基因对,基因对将确定后代所表现(de)特征.下面,我们来研究两种类型(de)遗传:常染色体遗传和x—链遗传.根据亲体基因遗传给后代(de)方式,建立模型,利用这些模型可以逐代研究一个总体基因型(de)分布.在常染色体遗传中,后代从每个亲体(de)基因对中各继承一个基因,形成自己(de)基因对,基因对也称基因型.如果我们所考虑(de)遗传特征是有两个基因A和控制(de),那么就有三种基因对,记为AA,A,.例如,金草鱼由两个遗传基因决定花(de)颜色,基因型是AA(de)金鱼草开红花,型(de)开粉红色花,而型(de)开白花.又如人类(de)眼睛(de)颜色也是提高通过常染色体遗传控制(de).基因型是(de)人,眼睛是棕色,基因型是(de)人,眼睛是兰色.这里因为都表示了同一外部特征,我们认为基因A 支配基因,也可以认为基因对于A 来说是隐性(de)农场(de)植物园中某种植物(de)基因型为AA,A 和.农场计划采用AA 型(de)植物与每种基因型植物相结合(de)方案培育植物后代.那么经过若干年后,这种植物(de)任一代(de)三种基因型分布如何 第一步:假设:令 ,2,1,0=n .(1) 设n n b a ,和n c 分别表示第n 代植物中,基因型为AA,Aa 和aa(de)植物占植物总数(de)百分率.令)(n x 为第n 代植物(de)基因型分布:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n c b a x )(当n=0时⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000)0(c b a x表示植物基因型(de)初始分布(即培育开始时(de)分布),显然有1000=++c b a(2) 第n 代(de)分布与第n-1代(de)分布之间(de)关系是通过上表确定(de).第二步:建模根据假设(2),先考虑第n 代中(de)AA 型.由于第n-1代(de)AA 型与AA 型结合,后代全部是AA 型;第n-1代(de)Aa 型与AA 型结合,后代是AA 型(de)可能性为1/2,第n-1代(de)aa 型与AA 型结合,后代不可能是AA 型.因此,当 ,2,1,0=n 时11102/1---•++•=n n n n c b a a即2/11--+=n n n b a a 类似可推出2/11--+=n n n b c a 0=n c将式相加,得111---++=++n n n n n n c b a c b a根据假设(1),有1000=++=++c b a c b a n n n对于式、式和式,我们采用矩阵形式简记为,2,1,)1()(==-n Mx x n n其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00012/1002/11M ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n c b a x )(式递推,得)0()2(2)1()(x M x M Mx x n n n n ====--式给出第代基因型(de)分布与初始分布(de)关系.为了计算出n M ,我们将M 对角化,即求出可逆矩阵P 和对角阵D,使1-=PDP M因而有,2,1,1==-n P PD M n n其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n nnn D 321321000000000λλλλλλ这里321,,λλλ是矩阵M(de)三个特征值.对于式中(de)M,易求得它(de)特征值和特征向量:0,2/1,1321===λλλ因此⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00002/10001D ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0112 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1213 所以[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==100210111321P通过计算1-=P P ,因此有)0(1)0()(x P PD x M x n n n -==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=0001002101110000)21(0010100210111c b a n 即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--00011)(000)2/1()2/1(0)2/1(1)2/1(11c b a c b a x n n n n n n n n ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--++=--0)2/1()2/1()2/1()2/1(010010000c b c b c b a n n n n所以有⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=--0)2/1()2/1()2/1()2/1(1010010n n n n n n n c c b b c b a当∞→n 时0)2/1(→n,所以从式得到0,1→→n n b a 和n c =0即在极限(de)情况下,培育(de)植物都是AA 型. 第三步:模型讨论若在上述问题中,不选用基因AA 型(de)植物与每一植物结合,而是将具有相同基因型植物相结合,那么后代具有三代基因型(de)概率如下表:并且)0()(x M xn n =,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=14/1002/1004/11M M(de)特征值为2/1,1,1321===λλλ通过计算,可以解出与21,λλ相对应(de)两个线性无关(de)特征向量1 和2 ,及与3λ相对应(de)特征向量3 :⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1002 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1213 因此[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==111200101321P⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-02/1011102/111P)0(1)0()(x P PD x M x n n n -==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=00002/1011102/11)2/1(0001001111200101c b a n n所以有⎪⎩⎪⎨⎧-+==++=++010000100)2/1()2/1()2/1()2/1()2/1(bb c c b b b b a a n nn n n n当∞→n 时0)2/1(→n,所以从式得到0,)2/1(00→+→n n b b a a 和00)2/1(b c c n +→因此,如果用基因型相同(de)植物培育后代,在极限情况下,后代仅具有基因AA 和aa. 例4 合作对策模型在经济或社会活动中,几个社会实体(个人、公司、党派、国家)相互合作或结成联盟,常能获得比他们单独行动更多(de)经济或社会效益.这样合理地分配这些效益是合作对策要研究(de)问题.请看下面(de)例子.问题一:经商问题甲、乙、丙三人经商,若单干,每人仅能获利1元;甲乙合作可获利7元;甲丙合作可获利5元;乙丙合作可获利4元;三人合作可获利10元,问三人合作时如何分配10元(de)收入.甲(de)收入应按照甲对各种形式(de)合作(de)贡献来确定.对于某一合作(de)贡献定义为:有甲参加时这个合作(de)收入与无甲参加时这个合作(de)收入之差.例如甲对甲乙二人合作(de)贡献是7—1=6 (因为甲乙合作获利7元,而乙单干仅获利1元).甲可以参加(de),合作有四个:甲自己(单干视为合作(de)特例)、甲乙、甲丙、甲乙丙.甲对这些合作(de)贡献分别是甲:1一0=1元;甲乙:7—1=6元;甲内:5—1=4元;甲乙丙:10—4=6元,甲应分得(de)收入是这四个贡献(de)加权平均值,加权因子将由下面(de)一般模型给出.这个问题叫做3人合作对策,是对策论(de)一部分,这里介绍它(de)一种解法.一般(de)n人合作对策模型可以叙述如下:记n人集合为I=,如果对于I中 (de)任一子集,都对应一个实值函数v(s),满足则称为定义在I上(de)特征函数.所谓合作对策是指定义了特征函数(de)I中n个人(de)合作结果,用向量值函数来表示.在实际问题中.常可把I中各种组合(de)合作获得(de)利益定义为特征函数,上式表示合作规模扩大时,获利不会减少.不难看出,如将三人经商问题中合作(de)获利定义为特征函数v,v是满足(1)、(2)(de).为了确定,Shapley在1953年首先制定了一组应该满足(de)公理,然后证明了满足这组公理(de)(de)唯一解是其中是I中包含{i}(de)所有子集,是集合s中(de)人数,是加权因子,由确定.(3)式中可看作成员{i}对合作s(de)贡献;表示对所有包含{i}(de)集合求和.称为由v定义(de)合作(de)Shapley值.我们用(3)、(4)计算三人经商问题中各个人应得到(de)收入.甲、乙、丙分别记作{1},{2},{3},包含{1}(de)集合有{1}、{1,2}、{1,3}、{1,2,3},计算结果列入下表.S{1}{1,2}{1,3}{1,2,3}V(s)17510V(s-{1})0114V(s)- V(s-{1})1 6 4 612 23 W()1/31/61/61/3W()[V(s)-V(s-{1})]1/31 2/3 2.同样可以算出乙、丙应得收入为=3.5元,=元.问题二:三城镇(de)污水处理方案沿河有三城镇1、2和3,地理位置如图4;6所示.污水需处理后才能排入河中.三城镇或者单独建立污水处理厂,或者联合建厂,用管道将污水集中处理(污水应于河流(de)上游城镇向下游城镇输送).以Q 表示污水量(吨/秒),工表示管道长度(公里).按照经验公式,建立处理厂(de)费用为712.0173Q P =,铺设管道(de)费用为LQ P 51.0266.0=.今已知三城镇(de)污水量分别为5,3,5321===Q Q Q .L(de)数值38,202312==L L .试从节约总投资(de)角度为三城镇制定污水处理方案;包括是单独还是联合建厂;如果联合,如何分担投资额等.三城镇或单干或不同形式(de)联合,共有五种方案.下面一一计算所需(de)投资.方案一 三城镇都单干.投资分别为总投资:方案二城1、2合作.这时城1、2将从节约投资(de)角度对联合还是分别建厂作出决策,所以城1、2(de)投资为:=3500C(3)=2300总投资:方案三城2、3合作.C(1)=2300总投资:方案四城1、3合作.C(2)=1600总投资:方案五三城镇合作=5560总投资:比较五个方案可知,应该选择三城合作,联合建厂(de)方案. 下面(de)问题是如何分担总额为5560(de)费用.城3(de)负责人提出,联合建厂(de)费用按三城(de)污水量之比5:3:5分担,铺设管道费应由城1、2担负.城2(de)负责人同意,并提出从城2到城3(de)管道费由城1、2按污水量之比5:3分担;从城1到城2(de)管道费理应由城1自己担负.城1(de)负责人觉得他们(de)提议似乎是合理(de),但因事关重大,他没有马上表示同意;而是先算了一笔账.联合建厂(de)费用是4530)535(73712.0=++,城2到城3(de)管道费是730,城1到城2(de)管道费是300,按上述办法分配时,城3负担(de)费用为1740,城2(de)费用为1320,域1(de)费用为2500.结果出乎意料之外,城3和城2(de)费用都比单独建厂时少,而城1(de)费用却比单独建厂时(de)C(1)还要多.城1(de)负责人当然不能同意这个方法,但是一时他又找不出公平合理(de)解决办法.为了促成联合(de)实现,你能为他们提供一个满意(de)分担费用(de)方案吗首先,应当指出,城3和城2负责人提出(de)办法是不合理(de):从前面(de)计算我们知道,三城联合,才能使总投资节约了640(de)效益应该分配给三城,使三城分配(de)费用都比他们单干时要少,这是为促成联合所必须制定(de)一条原则.至于如何分配,则是下面要进一步研究(de)问题. 把分担费用转化为分配效益,就不会出现城1联合建厂分担(de)费用反比单独建厂费用高(de)情况.将三城镇记为I={1,2,3},联合建厂比单独建厂节约(de)投资定义为特征函数.于是有v(φ)=0,v({1})=v({2})=v({3})=0,v({1,2})=c(1)+c(2)-c(1,2)=2300+1600-3500=400,v({2,3})=c(2)+c(3)-c(2,3)=1600+2300-3650=250,v({1,3})=0,v(I)=c(1)+c(2)+c(3)-c(1,2,3)=640.S {1} {1,2} {1,3} {1,2,3} V(s) 0 400 0 640 V(s-{1}) 0 0 0 250 V(s)- V(s-{1})0 400 0 39012 23 W()1/31/61/61/3W()[V(s)-V(s-{1})] 0 67 0 130即197)(1=v ϕ同理得321)(2=v ϕ,122)(3=v ϕ那么, 城1分担(de)费用为2300-197=2103, 城2分担(de)费用为1600-321=1279, 城3分担(de)费用为2300-122=2178,合计5560. 习题:某甲(农民)有一块土地.如果从事农业生产可年收入100元;如果将土地租给某企业家用于工业生产,可年收入200元;如果租给某旅店老板开发旅游业,可年收入300元;当旅店老板请企业家参与经营时,年收入可达400元.为实现最高收入,试问如何分配各人(de)所得才能达成协议例5动态规划模型有不少动态过程可抽象成状态转移问题,特别是多阶段决策过程(de)最优化如最短路径问题,最优分配,设备更新问题,排序、生产计划和存储等问题.动态规划是一种将复杂问题转化为一种比较简单问题(de)最优化方法,它(de)基本特征是包含多个阶段(de)决策.1951年,美国数学家贝尔曼(R.Bellman)等人,提出了解决多阶段决策问题(de)“最优化原理”,并研究了许多实际问题,从而创建了动态规划·动态规划方法(de)基本思想是:将一个复杂问题分解成若干个阶段,每一个阶段作为一个小问题进行处理,从而决定整个过程(de)决策,阶段往往可以用时间划分这就具有“动态”(de)含义,然而,一些与时间无关(de)静态规划中(de)最优化问题,也可人为地把问题分成若干阶段,作为一个多阶段决策问题来处理,计算过程单一化,便于应用计算机.求解过程分为两大步骤,①先按整体最优化思想递序地求出各个可能状态(de)最优化决策;②再顺序地求出整个题(de)最优策略和最优路线.下面,结合一个求最短路径(de)例子,来说明动态规划(de)一些基本概念.最短路径问题如图所示(de)交通网络,节点连接线路上(de)数字表示两地距离,计算从A 到E(de)最短路径及长度.1.阶段.把所要处理(de)问题,合理地划分成若干个相互联系(de)阶段,通常用k 表示阶段变量.如例中,可将问题分为4个阶段,k=1,2,3,4. 2.状态和状态变量.每一个阶段(de)起点,称为该阶段(de)状态,描述过程状态(de)变量,称为状态变量,它可以用一个数、一组数或一个向量来描述,常用k x 来表示第k 阶段(de)某一状态.如果状态为非数量表示,则可以给各个阶段(de)可能状态编号,i x i k =)(()(i k x 表示第k 个阶段(de)第i 状态).第k 阶段状态(de)集合为},,,,,{)()()2()1(T k i k k k k x x x x X =如例6中,第3阶段集合可记为}3,2,1{},,{},,{321)3(3)2(3)1(33===C C C x x x X3.决策和决策变量.决策就是在某一阶段给定初始状态(de)情况下,从该状态演变到下一阶段某状态(de)选择.即确定系统过程发展(de)方案.用一个变量来描述决策,称这个变量为决策变量.设)(k k x u 表示第k 个阶段初始状态为k x (de)决策变量.)(k k x D 表示初始状态为k x (de)允许决 策集合,有)(k k x u ∈)(k k x D ={k u }如例6中},,{)(3211B B B A D =,若先取2B ,则21)(B A u =. 4.策略和子策略.由每段(de)决策)(k k x u 组成(de)整个过程(de)决策变量序列称为策略,记为n P ,1,即n P ,1=)}(,),(),({2211n n x u x u x u从阶段k 到阶段n 依次进行(de)阶段决策构成(de)决策序列称为k 子策略,记为n k P ,即)(1,x P n k =)}(,),(),({11n n k k k k x u x u x u ++显然,k=1时(de)k 子策略就是策略.如例6,选取路径E D C B A →→→→221就是一个子策略.从允许策略集中选出(de)具有最佳效果(de)策略称为最优策略. 5.状态转移方程.系统在阶段k 处于状态k x ,执行决策)(k k x u (de)结果是系统状态(de)转移,即由阶段K(de)状态k x 转移到阶段K 十1(de)状态1+k x 适用于动态规划方法求解(de)是一类具有无后效性(de)多阶段决策过程.无后效性又称马尔科夫性,指系统从某个阶段往后(de)发展,完全由本阶段所处(de)状态以及其往后(de)决策决定,与系统以前(de)状态及决策无关,对于具有无后效性(de)多阶段过程,系统由阶段k 向阶段k+1(de)状态转移方程为))(,(1k k k k k x u x T x =+意即1+k x 只与k x ,)(k k x u 有关,而与前面状态无关.))(,(k k k k x u x T 称为变换函数或算子.分确定型和随机型,由此形成确定型动态规划和随机型动态规划. 6.指标函数和最优指标函数.在多阶段决策中,可用一个数量指标来衡量每一个阶段决策(de)效果,这个数量指标就是指标函数,为该阶段状态变量及其以后各阶段(de)决策变量(de)函数,设为n k V ,即n k x x u x V V n k k k n k n k ,,2,1),,,,(1,, ==+指标(de)含义在不同(de)问题中各不相同,可以是距离、成本、产品产 量、资源消耗等.例6中,指标(de)含义就是距离,指标函数为A 到E(de)距离,为各阶段路程(de)和.最常见(de)指标函数取各阶段效果之和(de)形式,即∑==nk j j j j n k u x V V ),(,指标函数nk V ,(de)最优值,称为相应(de)最优指标函数,记为)(k k x fnk k k optV x f ,)(=式中opt 是最优化之意,根据问题要求取max 或min . 7.动态规划最优化原理.贝尔曼指出“作为整个过程(de)最优策略具有这样(de)性质:即无论过去(de)状态和决策如何,对前面(de)决策所形成(de)状态而言,余下(de)诸决策必须构成最优策略”基于这个原理,可有如下定理:定理 若策略*,1n P 是最优策略,则对于任意(de)k(1<k<n),它(de)子策略*,n k P 对于以),(*1*11*---=k k k k u x T x 为起点(de)k 到n 子过程来说,必是最优策略. 实质上,动态规划(de)方法是从终点逐段向始点方向寻找最短路径(de)一种方法.8.动态规划(de)数学模型.利用最优化原理,可以得到动态规划(de)数学模型)}(),({)(11+++=k k k k k k k x f u x V opt x f ))(1,,1,(k k k x D u n n k ∈-=0)(11=++n n x f这是一个由后向前(de)递推方程.下面以例6(de)最短路径问题说明这种递序解法.指标函数为两点之间(de)距离,记为),(k k u x d ,例中共分4个阶段. (倒推) 第4阶段2)(),()(5114=+=E f E D d D f 3)(),()(5224=+=E f E D d D f 5)(),()(5334=+=E f E D d D f 0)(5=E f第3阶段6835)(),(624)(),(min )(2421141113=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=D f D C d D f D C d C f},,{11*4,3E D C P =4431)(),(826)(),(min )(2422141223=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=D f D C d D f D C d C f},,{22*4,3E D C P =6651)(),(1239)(),(min )(3433243333=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=D f D C d D f D C d C f},,{33*4,3E D C P =第2阶段7734)(),(1367)(),(min )(2321131112=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=C f C B d C f C B d B f},,,{221*4,2E D C B P =7734)(),(826)(),(min )(2322131222=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=C f C B d C f C B d B f},,,{222*4,2E D C B P =91468)(),(945)(),(min )(3333232332=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=C f C B d C f C B d B f},,,{223*4,2E D C B P =第1阶段10111192)(),(74)(),(1073)(),(min )(323221211=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+=+=+=+=B f B A d B f B A d B f B A d A f},,,,{221*4,1E D C B A P =故最短路径为E D C B A →→→→221,从A 到E(de)最短距离为10. 上述步骤可归纳为下述递推公式)}(),(m in{)(11+++=k k k k k k x f u x d x f 1,2,3,4(=k )0)(55=x f此递推关系叫做动态方程,即最短路径问题(de)动态规划模型,应用动态规划方法解决问题(de)关键是根据所给问题建立具体(de)动态规划模型,建立动态规划模型时(de)主要困难在于:如何将所遇到(de)最优化解释为合适(de)多段决策过程问题.从例6看出,划分I 阶段、定义状态、确定指标函数,是动态规划模型化时(de)主要工作,其合适性决定应用动态规划(de)成败.建模时,除将实际问题根据时间和空间恰当地划分若干阶段外,还须明确下列几点: (1)正确选择状态变量,使它既能描述过程(de)状态,又。
历年全国大学生数学建模竞赛题目

武汉理工大学队员比赛论文mcm2003_A_王蝉娟_唐兵_隗勇mcm2003_A_万丽军_唐涛_陈正旭mcm2003_A王鹏_邓科_刘文慧mcm2003_B_王雨春_钟原_李霜icm2003_C_刘旺_董显_吴辉icm2003_C_夏立_成浩_易科mcm2004_b 厉化金_谷雨_曾祥智mcm2004_b_夏立_赵明杰_高婷全国比赛优秀论文1993年A题非线性交调的频率设计1993年B题球队排名问题1994年A题逢山开路1994年B题锁具装箱1995年A题一个飞行管理模型1995年B题天车与冶炼炉的作业调度1996年A题最优捕鱼策略1996年B题节水洗衣机1997年A题零件的参数设计1997年B题截断切割1998年A题投资的收益和风险1998年B题灾情巡视路线1999年A题自动化车床管理1999年B题钻井布局2000年A题 DNA序列分类2000年B题钢管定购和运输2001年A题血管的三维重建2001年B题公交车调度中国科大老师对美国赛题目的讲解(题目可从往届试题处下载) MCM 1985 A题(王树禾教授)MCM 1985 B题(侯定丕教授)MCM 1986 A题(常庚哲教授,丁友东老师)MCM 1986 B题(李尚志教授)MCM 1988 A题(苏淳教授)MCM 1988 B题(侯定丕教授)MCM 1989 A题(赵林城老师)MCM 1989 B题(侯定丕教授)MCM 1990 A题(王树禾教授)MCM 1990 B题(王树禾教授)MCM 1991 A题(常庚哲教授,丁友东老师)MCM 1992 B题(侯定丕教授)MCM 1993 A题(苏淳教授)MCM 1993 B题(万战勇老师)MCM 1994 B题(程继新老师)美国赛优秀论文MCM 2001 UMAP MCM 2002 UMAPMCM 2003 UMAP MCM 2004 (Quick Pass)。
数学建模题目及答案

09级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然后稍微挪动几次,就可以使四只脚同时着地,放稳了。
试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。
(15分) 解:对于此题,如果不用任何假设很难证明,结果很可能是否定的。
因此对这个问题我们假设 :(1)地面为连续曲面(2)长方形桌的四条腿长度相同(3)相对于地面的弯曲程度而言,方桌的腿是足够长的(4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
那么,总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
现在,我们来证明:如果上述假设条件成立,那么答案是肯定的。
以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示,方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处,A 、B,C 、D的初始位置在与x 轴平行,再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ,C 、D 平行。
当方桌绕中心0旋转时,对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。
容易看出,当四条腿尚未全部着地时,腿到地面的距离是不确定的。
为消除这一不确定性,令 ()f θ为A 、B 离地距离之和,()g θ为C 、D 离地距离之和,它们的值由θ唯一确定。
由假设(1),()f θ,()g θ均为θ的连续函数。
又由假设(3),三条腿总能同时着地, 故()f θ()g θ=0必成立(∀θ)。
不妨设(0)0f =,(0)0g >g (若(0)g 也为0,则初始时刻已四条腿着地,不必再旋转),于是问题归结为:已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数,(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=,求证存在某一0θ,使00()()0f g θθ=。
证明:当θ=π时,AB 与CD 互换位置,故()0f π>,()0g π=。
作()()()h f g θθθ=-,显然,()h θ也是θ的连续函数,(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->,由连续函数的取零值定理,存在0θ,00θπ<<,使得0()0h θ=,即00()()f g θθ=。
2023年历年全国数学建模试题及解法归纳

历年全国数学建模试题及解法归纳赛题93A非线性交调的频率设计93B足球队排名94A逢山开路94B锁具装箱问题95A飞行管理问题95B天车与冶炼炉的作业调度96A最优捕鱼策略96B节水洗衣机97A零件的参数设计97B截断切割的最优排列98A一类投资组合问题98B灾情巡视的最佳路线99A自动化车床管理99B钻井布局OOA DNA序列分类00B钢管订购和运送01A血管三维重建解法拟合、规划图论、层次分析、整数规划图论、插值、动态规划图论、组合数学非线性规划、线性规划动态规划、排队论、图论微分方程、优化非线性规划非线性规划随机模拟、图论多目的优化、非线性规划图论、组合优化随机优化、计算机模拟0-1规划、图论模式辨认、Fisher判别、人工神经网络组合优化、运送问题曲线拟合、曲面重建赛题01B 公交车调度问题02A 车灯线光源的优化02B 彩票问题03A SARS 的传播03B 露天矿生产的车辆安排04A 奥运会临时超市网点设计04B 电力市场的输电阻塞管理05A 长江水质的评价和预测05B DVD 在线租赁06A 出版社书号问题06B Hiv 病毒问题07A 人口问题07B 公交车问题08A 照相机问题08B 大学学费问题2023年A 题制动器实验台的控制方法分析2023年B 题眼科病床的合理安排2023年C 题卫星监控 解法多目的规划非线性规划单目的决策微分方程、差分方程整数规划、运送问题记录分析、数据解决、优化数据拟合、优化预测评价、数据解决随机规划、整数规划整数规划、数据解决、优化线性规划、回归分析微分方程、数据解决、优化 多目的规划、动态规划、图论、0-1规划非线性方程组、优化数据收集和解决、记录分析、回归分析工程控制排队论,优化,仿真,综合评价几何问题,搜集数据2023年D题会议筹备优化赛题发展的特点:1.对选手的计算机能力提出了更高的规定:赛题的解决依赖计算机,题目的数据较多,手工计算不能完毕,如03B,某些问题需要使用计算机软件,01A。
2023年全国数学建模竞赛赛试题
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2023年全国数学建模竞赛赛试题一、选择题(每题3分,共30分)下列运算正确的是( )A. 3a + 2b = 5abB. a6÷a2=a3C. (a+b)2=a2+b2D. a3⋅a2=a5下列函数中,是正比例函数的是( )A. y=2xB. y=2x+1C. y=x1D. y=x2下列调查方式中,最适合采用全面调查(普查)的是( )A. 对重庆市中学生每天学习所用时间的调查B. 对端午节期间市场上粽子质量情况的调查C. 对某校七年级(1)班学生视力情况的调查D. 对“神舟十二号”飞船零部件安全性能的检查下列几何体中,主视图是三角形的是_______。
下列说法正确的是_______。
A. 有理数就是有限小数和无限小数的统称B. 一个数的绝对值等于它本身,则这个数是正数C. 数轴上的点仅能表示整数D. 两个数互为相反数,则它们的和为零下列计算正确的是_______。
下列事件中,是必然事件的是_______。
下列各组线段中,能组成三角形的是_______。
若分式x−1x2−1 的值为零,则 x 的值为_______。
在平面直角坐标系中,点P(−2,3)关于 y 轴对称的点的坐标是_______。
二、填空题(每题3分,共18分)若∣x−3∣=5,则 x= _______。
多项式2x2y−3xy+5是_______ 次_______ 项式。
计算:(−a2)3= _______。
若关于 x 的方程 2x+m=3 的解是正数,则 m 的取值范围是_______。
已知一个圆锥的底面半径为 3cm,母线长为 5cm,则这个圆锥的侧面积为_______ cm2。
在平面直角坐标系中,点 A(2,0),点 B(0,4),以原点 O 为位似中心,相似比为 21,把线段 AB 缩小,则点 A 的对应点A′的坐标为_______。
三、解答题(共72分)(8分)解下列方程:(1)3(x−2)+x=4(x−1);(2)32x−1−610x+1=1。
数学建模试题(带答案)大全
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(14 分)
得分
四、(满分 10 分) 雨滴的速度 v 与空气密度 、粘滞系数 和重力加速度 g 有关,其中粘
滞系数的量纲[ ]= L1MT 1 1,用量纲分析方法给出速度 v 的表达式.
解:设 v , , , g 的关系为 f ( v , , , g ) =0.其量纲表达式为
[ v ]=LM0T-1,
学分 5 4 4
4
数据结构
3
5
应用统计
4
6
计算机模拟 3
7
计算机编程 2
8
预测理论
2
9
数学实验
3
所属类别 数学 数学 数学;运筹学
数学;计算机 数学;运筹学
计算机;运筹学 计算机 运筹学 运筹学;计算机
先修课要求
微积分;线性代 数 计算机编程 微积分;线性代 数 计算机编程
应用统计 微积分;线性代 数
由 U 0, U 0 可得到最优价格:
p1
p2
1
T
1
3T
p1 2b [a b(q0
)] 4
P2 2b [a b(q0 4 )]
前期销售量
T、(2 a
0
bp1
)dt
后期销售量
T
T /2 (a p2 )dt
总销售量
Q0
=
aT
bT 2
(
p1
p2 )
在销售量约束条件下 U 的最大值点为
~p1
a b
Q0 bT
T 8
,
P~2
a b
Q0 bT
T 8
7. (1)雨水淋遍全身, s 2(ab bc ac) 2*(1.5*0.5 0.5*0.2 1.5*0.2) 2.2m2
全国大学生数学建模竞赛历年试题总临览
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矩阵论、图论、层次分、整数 规划 图论、组合数学 非线性规划、动态规划、层次 分析法、PETRI方法、图论方 法、排队论方法 非线性规划 动态规划、图论模型(最短 路)、组合优化 图论、组合优化、线性规划 0-1规划、非线性规划、图论 方法 离散优化、运输问题、最短路 、二次规划 多目标规划、非线性规划 单目标决策、多目标决策、概 率与优化 非线性规划 整数规划、多目标规划
整数优化模型 灰色预测理论 微分方程 模糊
电力市场的输电阻塞管理问题 线性规划 (浙江大学:刘康生) DVD在线租赁问题(清华大学: 谢金星等) GM
双目标优化 多目标规划
0-1规划
微分方程 非线性方程模型来自艾滋病疗法的评价及疗效的预 测(天大:边馥萍) 乘公交,看奥运(吉大:方沛 辰,国防科大:吴孟达) 高等教育学费标准探讨 (开放性题目) 眼科病床的合理安排 D题 钻井布局问题(郑州大学:林 0-1规划、非线性规划、图伦 诒勋) 空洞探测问题(东北电力学 院:关信) 公交车调度问题(清华大学: 多目标规划、非线性规划 谭泽光) 赛程安排问题(清华大学:姜 初等模型 启源) 抢渡长江问题(华中农业大 学:殷建肃) 招聘公务员问题(解放军信息 工程大学:韩中庚) DVD在线租赁问题(清华大学: 谢金星等) 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制 (信息工程大学:韩中庚) 体能测试时间安排(首都师大: 刘雨林) NBA赛程的分析与评价 会议筹备 初等模型 微分方程 模糊评判 层次分析法、0-1 规划、图论 GM 0-1规划 多目标规划
历年全国大学生数学建模竞赛试题
A题 时间 1992 1993 1994 题目及命题人 建模方法 施肥效果分析问题(北京理工 回归模型,统计分析 大学:叶其孝) 非线性交调的频率设计问题 拟合、规划 (北京大学:谢衷洁) B题 建模方法 题目及命题人 实验数据分解问题(复旦大 学:谭永基) 足球排名次问题(清华大学: 蔡大用) 锁具装箱问题(复旦大学:谭 逢山开路问题(西安电子科技 图论、插值、动态规划 永基,华东理工大学:俞文 大学:何大可) 此) 飞行管理问题(复旦大学:谭 天车与冶炼炉的作业调度问题 永基,华东理工大学:俞文 非线性规划、线性规划 (浙江大学:刘祥官,李吉 此) 鸾) 最优捕鱼策略问题(北京师范 微分方程、积分、优化(非线性 节水洗衣机问题(重庆大学: 大学:刘来福) 规划) 付鹂) 截断切割问题(复旦大学:谭 零件参数设计问题(清华大 微积分、非线性规划、随机模拟 永基,华东理工大学:俞文 学:姜启源) 此) 投资的收益和风险问题(浙江 多目标优化、模糊线性规划、非 灾情巡视路线问题(上海海运 大学:陈淑平) 线性规划 学院:丁颂康) 自动化车床管理问题(北京大 钻井布局问题(郑州大学:林 随机优化、计算机模拟 学:孙山泽) 诒勋) 欧氏距离、马氏距离分类法、 DNA序列分类问题(北京工业 钢管订购和运输问题(武汉大 Fischer判别模型、神经网络方 大学:孟大志) 学:费甫生) 法,最小二乘拟合、统计分类 血管的三维重建问题(浙江大 公交车调度问题(清华大学: 曲面重建、曲线拟合、数据挖掘 学:汪国昭) 谭泽光) 车灯线光源的优化设计问题 彩票中的数学问题(解放军信 (复旦大学:谭永基,华东理 非线性规划、最优化 息工程大学:韩中庚) 工大学:俞文此) 露天矿生产的车辆安排问题 SARS的传播问题(组委会) 微分方程 (吉林大学:方沛辰)
全国数学建模大赛题目
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全国数学建模大赛题目
题目一:城市交通优化方案
某城市的交通状况日益拥堵,为了解决交通问题,需要制定一个交通优化方案。
假设该城市的道路网络呈现网状结构,拥有多个交叉口和道路,每个交叉口都有多个入口和出口道路。
现在需要你们设计一个算法,以找到最优的交通优化方案,使得城市的车辆数最小化,同时满足交通流量平衡和道路容量约束。
题目二:无人机配送路径规划
某公司使用无人机进行货物配送,无人机需要从指定的起点出发,依次经过多个目标点进行货物的投放,最后返回起点。
每个目标点有不同的货物量和不同的时间窗限制。
现在需要你们设计一个路径规划算法,以最小化无人机在配送过程中的总飞行距离,同时满足货物量和时间窗的要求。
题目三:自然灾害预测与应急响应
某地区常常受到洪水的威胁,为了及时应对洪水灾害,需要建立一个洪水预测和应急响应系统。
现有该地区多个监测站点,能够实时测量水位、降雨量等数据,并预测洪水的发生时间和范围。
现在需要你们设计一个预测模型,以准确预测洪水的发生时间和范围,并制定相应的应急响应措施,以最大程度地减少洪灾对人民生命和财产的威胁。
题目四:物流中心选址与配送路径规划
某公司计划在某区域新建一个物流中心,以提高货物配送的效率。
现在需要你们选取一个最佳的物流中心位置,并设计一个配送路径规划算法,以最小化货物配送的总距离和成本。
同时,
由于该区域存在不同的道路类型和限制条件,需要考虑不同道路类型的通行能力和限制,以确保货物配送的顺利进行。
数学建模历年国赛c题

数学建模历年国赛C题1. 引言数学建模是数学学科与实际问题相结合的一种学科交叉。
每年都会有各种各样的数学建模竞赛,其中国家级数学建模竞赛是最高水平的竞赛之一。
本文将对国家级数学建模竞赛历年的C题进行分析与总结,希望能够为参与数学建模竞赛的同学提供一些帮助与指导。
2. 国赛C题概述国家级数学建模竞赛的C题是一道较为综合性的题目,通常涉及到多个数学领域的知识和技巧。
C题的解答过程往往需要多个步骤和推理,并且对数学建模的基本原理和方法都有一定的要求。
下面将对历年的C题进行概述,给出简要的问题描述和解题思路。
2.1 C题年份1问题描述:该年的C题是关于城市交通规划的问题。
给定一个城市的道路网络图,要求设计一种最优的交通规划方案,使得城市中的交通流量最大化,同时减少人们的出行时间和减少环境污染。
解题思路:该问题可以转化为一个最小费用流问题,通过对道路网络图进行建模,确定各条道路的容量和费用,然后使用最小费用流算法求解最优的交通规划方案。
2.2 C题年份2问题描述:该年的C题是关于电力系统的问题。
给定一个电力系统的拓扑结构图和负荷需求,要求设计一种最优的供电方案,使得电力系统的供电可靠性最大化,同时满足负荷需求,最大限度地减少系统的能量损耗。
解题思路:该问题可以转化为一个优化问题,通过对电力系统的拓扑结构图进行建模,确定各个电力节点的供电能力和负荷需求,然后使用整数规划或者动态规划等方法求解最优的供电方案。
2.3 C题年份3问题描述:该年的C题是关于物流配送的问题。
给定若干个配送中心和客户需求,要求设计一种最优的物流配送方案,使得客户的需求能够得到满足,同时最大限度地减少车辆行驶的总路程。
解题思路:该问题可以转化为一个带约束条件的最小路径问题,通过对配送中心和客户需求的位置和距离进行建模,可以使用图论中的最短路径算法求解最优的物流配送方案。
3. 解题方法与技巧国赛C题作为一道较为综合性的数学建模题目,解答过程通常需要运用多种数学知识和技巧。
自己弄的历年全国数学建模试题及解法归纳定义

历年全国数学建模试题及解法归纳定义93A非线性交调的频率设计拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn},通过调整该函数中若干待定系数f(λ1, λ2,…,λn),使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。
如果待定函数是线性,就主要在统计中),否则叫作非线性拟合或者非线性回归。
表达式也可以是分段函数,这种情况下叫作样条拟合。
拟合的曲线一般可以用函数表示.根据这个函数的不同有不同的拟合名字。
在MATLAB中可以用polyfit 来拟合多项式。
93A数学规划学科的内容十分丰富,包括许多研究分支,如:线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划、参数规划、组合优化和整数规划、随即规划、模糊规划、非光滑优化、多层规划、全局优化、变分不等式和互补问题等。
数学规划学科的内容十分丰富,包括许多研究分支,如:线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划、参数规划、组合优化和整数规划、随即规划、模糊规划、非光滑优化、多层规划、全局优化、变分不等式和互补问题等。
93B足球队排名图论是研究由线连接的点集的理论。
点集中的点称为结点,连接某些点对的线称为边。
一些由结点及边构成的图称为线图。
在线图中,结点的位置分布和边的长短曲直都可以任意描画,这并不改变实际问题的性质。
我们关心的是它有多少个结点,在哪些结点间有边相连,以及整个线图具有的某些特性。
93B层次分析(AHP)(购物模型、选拔干部模型等)是将决策问题分为3个层次:目标层O,准则层C,方案层P;每层有若干元素,各层元素间的关系用相连的直线表示。
通过相互比较确定各准则对目标的权重,及各方案对每一准则的权重。
将上述两组权重进行综合,确定各方案对目标的权重。
层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤,给出决策问题的定量结果。
93B整数规划:依照决策变量取整要求的不同,整数规划可分为纯整数规划、全整数规划、混合整数规划、0-1整数规划。
94A逢山开路图论94A插值:在离散数据的基础上补插连续函数,使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。
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历年全国数学建模试题及解法归纳赛题解法93A非线性交调的频率设计拟合、规划93B足球队排名图论、层次分析、整数规划94A逢山开路图论、插值、动态规划94B锁具装箱问题图论、组合数学95A飞行管理问题非线性规划、线性规划95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A最优捕鱼策略微分方程、优化96B节水洗衣机非线性规划97A零件的参数设计非线性规划97B截断切割的最优排列随机模拟、图论98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟99B钻井布局0-1规划、图论00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工神经网络00B钢管订购和运输组合优化、运输问题01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建赛题解法01B 公交车调度问题多目标规划02A车灯线光源的优化非线性规划02B彩票问题单目标决策03A SARS的传播微分方程、差分方程03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理05B DVD在线租赁随机规划、整数规划06A出版社书号问题整数规划、数据处理、优化06B Hiv病毒问题线性规划、回归分析07A 人口问题微分方程、数据处理、优化07B 公交车问题多目标规划、动态规划、图论、0-1规划08A 照相机问题非线性方程组、优化08B 大学学费问题数据收集和处理、统计分析、回归分析2009年A题制动器试验台的控制方法分析工程控制2009年B题眼科病床的合理安排排队论,优化,仿真,综合评价2009年C题卫星监控几何问题,搜集数据2009年D题会议筹备优化赛题发展的特点: 1. 对选手的计算机能力提出了更高的要求:赛题的解决依赖计算机,题目的数据较多,手工计算不能完成,如03B,某些问题需要使用计算机软件,01A。
问题的数据读取需要计算机技术,如00A(大数据),01A(图象数据,图象处理的方法获得),04A(数据库数据,数据库方法,统计软件包)。
计算机模拟和以算法形式给出最终结果。
2. 赛题的开放性增大解法的多样性,一道赛题可用多种解法。
开放性还表现在对模型假设和对数据处理上。
3. 试题向大规模数据处理方向发展4. 求解算法和各类现代算法的融合2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题评阅要点本题考察的重点是:从决策问题的海量的、不完全的、甚至错漏(带有噪音、错误、异型)的数据中分析出决策的逻辑结构和提取有用的数据(附录中许多数据是没有用的!)以及依赖数据信息,进而构建数学模型的能力。
本题的资源优化配置模型是规划问题,其中也包括一些预测模型。
因此,理解并且实现优化问题的基础结构是取得基本分值的必要条件。
1、目标函数的构成成分主要包括销售额表达式(注意如果作者利用了附录数据说明中的假设,则赢利与销售额等价),可以以课程为单位,也可以以学科为单位;包括由市场信息产生的对于不同课程的调控因子(竞争力系数);由于数据说明中的提示,也应该包括每个课程的申报需求量的“计划准确性因子”(学生用词会不同)。
当然,前两点更重要些。
2、约束条件构成对于出版社来说,所谓产能主要是人力资源,即策划、编辑和版面设计人员的分布形成主要约束;此外,书号总量(500)也应该作为约束条件;同时,在数据说明中指出的“满足申请书号量的一半”也应该以约束方式表达。
3、规划变量可以以每个课程的书号数量,也可以以学科的书号数作为变量,但是得到的结果会有所不同。
实现以上三点,对于问题的理解是比较全面的,应该得到基本分值。
进一步提高的分值来源于实现上述三点的具体模型的考虑和建模水平。
1)如果注意到数据说明中提示的,同一课程的教材在价格和销售量的同一性,销售额表达式是比较容易表示的:构造每个课程的、用书号数表达的销售额,然后将所有书号的销售额的表达式累加,形成总社的销售额的基本表达式,这是目标函数的主体部分。
2)市场信息产生的对于不同课程的调控因子(也称竞争力系数)的表示,是一个信息不足情况下的决策模型。
主要是满意度和市场占有率的恰当表示和计算(由附件2),以及两个指标的联合形成竞争力系数问题,这里既可以使用拟合模型,也可以使用各种多因素分析模型等等,方法不同。
对这个问题解决的优劣,可以导致明显的评分差别。
其中应该特别注意需求信息是否重复使用的问题,也就是说,如果在构造销售额表达式时已经使用了课程的销售数据,则不同课程的支持强度的不同,主要由市场竞争力参数表达。
3)在优化问题中,应该恰当地表示“计划准确性因子”,数据给出的计划销量和实际销量之比应该是比较合适的表示。
4)加上前述约束条件构成适当的规划问题。
比较好的实现以上四点,应该得到80%的分值。
最后剩余分值是:计算出结果,创造性,论文表述和格式。
[注1]以下给出建模所需信息和附录数据表的关系:在问卷调查表的调查目的中提示了满意度和市场占有率是竞争力的主要组成,也提示了数据依据(附录1);课程级销售额以及销售额与利润的等价性关系(附录3),满意度和市场占有份额由问卷调查数据表检索计算产生(附录2),各个课程的需求的书号数(附录4)和“计划准确性因子”(附录3),人力资源(附录5)。
其中附录1只是让学生了解市场调查的方法。
[注2]学生会提出附录5和4之间在书号数与人力资源上的差别,事实上人力资源和分配到的书号数没有直接的单一因果联系(如临时雇用人员、临时增加书号等)。
附录4 的书号总和的计算错误是实际数据的错误,但是与解题无关(学生采用哪组数据应该都是可以的)。
附件:对问题更详细的分析过程(供参考)本题背景是:某出版社总社汇总各个分社提交的出版需求计划,然后根据市场信息、在总社产能允许的条件下,将给定数量的书号进行分配,以期在此分配方案下,出版的图书产生最好的经济效益。
由于企业的生产是市场导向的,因此市场信息是对分社计划进行调整的主要依据,同时要考虑产能的限制。
这是一个资源配置的决策问题,因此需要分析决策的信息依据以及决策的逻辑过程。
1、决策的总体结构市场信息决策部门分社计划信息决策结果各个分社提出的出版需求计划是决策的基础,而市场信息是调整分社计划达到效益最大化的主要调节依据。
在以上总体结构下,需要将各个分社的计划信息和市场信息的信息产生结构分析清楚。
2、分社计划信息在附录4中给出了各个分社06年申请的书号计划数,即分社所属课程的计划数的列表。
该出版社中,分社是按学科划分的,学科之下又有若干课程,问题的决策对象可以分两级:课程级以及学科级。
也就是说,可以以课程作为基本分配对象,学科数据可以通过汇总得到;也可以先将数据汇总到学科,然后以学科作为配置单位。
两种方法计算结果会有所不同。
3、市场信息相关的市场信息主要包括两个方面:需求信息和竞争力信息,包括它们的变化趋势。
3.1 需求信息。
课程级的销售额是决策的目标函数的基础组分(附录4中提示了销售额与盈利的等价性)。
在根据课程级的需求计划计算销售额时,需要用过去五年该课程的实际销售量去预测当年的销售量。
这样就已经考虑了市场的需求信息,因此在总社的进一步分析中不必要重复使用这类市场信息。
另一方面,由于分社有夸大需求的倾向(附录4提示),将课程级的计划销售量与实际销售量之比作为“计划准确性系数”,在课程级的销售额中作为权重是恰当的考虑。
3.2 竞争力信息。
企业在战略决策中的主要原则是:重点支持竞争力强、竞争力发展趋势强的产品(题目中已经提示)。
虽然企业也要关注现实竞争力不强、但有潜力的产品,但这不是主要的决策原则,这是一个恰当的简化。
竞争力因素很多,但是对于本题,由于只给出了两方面的数据(A. 对教材的课程级的满意度,B. 该出版社的课程级的市场占有率),因此也只有用这两个数据产生对于各个课程的不同的竞争力系数,这是总社的主要调控手段,应体现在规划问题的目标函数中。
4、建模过程如何从给定数据中提取需要的每项市场信息,是本题建模的关键之一。
4.1 市场需求信息。
这里主要是课程级的需求量预测。
从历年的销售数据,即已经出版过的同课程的历年销售数据,可得到目标函数的主要表达式:[(课程级销量*平均书价)/当年的该课程的获得书号数]=该课程的书号的平均销售额4.2 产品满意度。
在问卷调查中的本出版社的满意度(课程级)的均值除以所有出版社的满意值的均值,可以作为该课程的满意度,这里“度”是率的含意。
4.3 市场份额占有率。
在问卷调查的统计中已经给出了关于课程与出版社市场份额分布表,而通过五年的市场份额分布表可以回归出预测的市场份额占有率。
4.4 竞争力系数。
以上两点可以产生单一的竞争力系数(通过模型方法)加入到目标函数中,例如,可以从五年的历史数据拟合得到加权系数,再进行加权求和等,方法各异。
由以上4点以及考虑到3.1中的“计划准确性系数”,可以构成规划的目标函数。
4.5 约束条件:该社的产能即人力资源的约束,书号总量的限制以及至少满足申请数一半的要求(附录4),即可得到规划问题的完整表示。
5、决策的逻辑结构2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题评阅要点问题(1)利用附件1的数据预测继续治疗的效果,或者确定最佳治疗终止时间。
1.分析数据随机取若干个病人,画出他们CD4和HIV浓度随时间变化的图形(折线),可以看出CD4大致有先增后减的趋势,HIV有先减后增的趋势,启示应建立时间的二次函数模型(若先用一次函数模型,应与二次函数模型做统计分析比较)。
附件1中个别病人缺CD4或HIV数据(数据表中为空),计算时应注意。
2.建立模型可能有以下形式的回归模型:1)总体回归模型用全部数据拟合一个模型,如y ij=b0+b1t ij+b2t ij2,t ij为第i病人第j次测量时间,y ij为第i病人第j次测量值(CD4,HIV)或测量值与初始值之比。
一次与二次函数模型比较,二次较优。
用数据估计b0,b1,b2, 对CD4,b2<0, b1>0, t=-b1/2b2达到最大;对HIV,b2>0,b1<0, t=-b1/2b2达到最小。
一般在25~30(周)CD4达到最大、HIV达到最小。
可以合理地确定最佳治疗终止时间。
2) 个人回归模型用每个病人的数据拟合一个模型,如上式(b k改为b ik, k=0,1,2),计算b ik的均值和均方差,用均值同1)可得CD4的最大点和HIV的最小点,一般为20~30(周)。
可对CD4统计b2i<0, b1i>0(存在正最大点)及b2i>0(不存在最大点)的频率,对HIV统计b2i>0, b1i<0(存在正最小点)及b2i<0(不存在最小点)的频率,在一定条件下可以作为终止治疗与继续治疗的概率(一般为0.6~0.8与0.3~0.2);也可用b ik的均值和均方差在一定分布的假定下直接计算这些概率。