第十四章 空间插值

整体插值方法将小尺度的、局部的变化看作随机和非结 构性噪声，从而丢失了这一部分信息。局部插值方法恰 好能弥补整体插值方法的缺陷。 整体插值方法通常不直接用于空间插值，而是用来检测 总趋势和不同于总趋势的最大偏离部分，即剩余部分， 在去除了宏观趋势后，可用剩余残差来进行局部插值。


精确插值：产生通过所有观测点的曲面。

是一种多项式回归分析模型，用多项式表示线或 面，按最小二乘法原理对数据点进行拟合。 A、当数据为一维时， 1）线性回归: 2）二次或高次多项式：
B、数据是二维的 二元二次或高次多项式

多项式分析
◦ 多项式趋势面随着N值的不同，其形态也不同。
一次多项式
二次多项式
三次多项式
◦ 一般地讲，N值越大，拟合精度越高。拟合精度C以下式 表示，通常C为60％～70％时，该多项式就能够揭示空 间趋势。




局部内插法只使用邻近的数据点（样本控制点）来估计未知点的值，步 骤如下： ◦ 定义一个邻域或搜索范围； ◦ 搜索落在此邻域范围的数据点； ◦ 选择能表达这有限个点空间变化的数学函数； ◦ 为未知的数据点赋值。 将复杂的地形地貌分解成一系列的局部单元，在这些局部单 元内部地形曲面具有单一的结构，由于范围的缩小和曲面形态的简 化，用简单曲面即可描述地形曲面。 局部内插方法： ◦ 泰森多边形（Voronoi边形、边界内插） ◦ 样条函数插值法 ◦ 反距离权重内插 ◦ Kriging插值（空间自由协方差最佳内插） ◦ 密度估算 单个数据点的改变只影响其周围有限的数据点。


趋势面分析的核心就是从实际观测值出发推算趋势面， 一般采用回归分析方法，使得残差平方和最小从而估 计趋势面参数。 假设二维空间中有n个观测点（xl,yl）（l=1,2,…,n）， 观测值为zl（l=1,2,…,n）则空间分布z的趋势面可表 示为N次多项式
根据最小二乘法，可得
利用克莱姆法则可以求出各个参数ai




设某地理要素的实际观测数据为zi（xi,yi） （i=1,2,…,n），趋势值拟合值为
，则有
式中， 为剩余值（残差值）

用来计算趋势面的数学方程式有多项式函数和傅立叶级数， 其中最常用的是多项式函数。因为任何一个函数都可以在 一个适当的范围内用多项式来逼近，而且调整多项式的次 数，可使所求的回归方程适合实际问题的需要。
◦ 多种 kriging 方法

① ②
内插方法（模型）的选择； 空间数据的探索性分析，包括对数据的均值、方 差、协方差、独立性和变异函数的估计等；
③
④ ⑤
进行内插；
内插结果评价； 重新选择内插方法，直到合理；
⑥
内插生成最后结果。
①
②
精确性：
参数的敏感性：许多的插值方法都涉及到一个或多个参数， 如距离反比法中距离的阶数等。有些方法对参数的选择相当 敏感，而有些方法对变量值敏感。后者对不同的数据集会有 截然不同的插值结果。希望找到对参数的波动相对稳定，其 值不过多地依赖变量值的插值方法。 耗时：一般情况下，计算时间不是很重要，除非特别费时。 存储要求：同耗时一样，存储要求不是决定性的。特别是在 计算机的主频日益提高，内存和硬盘越来越大的情况下，二 者都不需特别看重。

0 7
1
2
3
4
5
6
7
8
9 7 6 5 4 3
6
5
4
3
2
7 6
1 2 3 4 5 6 7
2 1 0 9
1
0 0
58
从存在的观测数据中找到一个函数关 系式,使该关系式最好的逼近这些已 知的空间数据，并能根据函数关系式 推求出区域范围内其它任意点的值。
将空间上离散点的测量 4 数据转换为连续的曲面 数据，即填补样本点之 间的数据空白，以便与 3 其它空间现象的分布进 2 行建模研究。

趋势面拟合适度的R2检验
式中，
为剩余平方和，它表示随机因素对z的离差 为回归平方和，它表示p个自变量对因变 量z的离差的总影响
R2越大，趋势面的拟合度就越高。

趋势面拟合适度的显著性F检验
• 检验的办法是在显著性水平下，查F分布表得Fa。若计算的F 值大于临界值Fa ，则认为趋势面方程显著；否则，不显著。 • p为多项式项数（不包括常数项），

一、控制点 控制点是已知数值的点。已知点、样本点、观测点。 控制点的数量和分布极大地影响空间插值的精度。
1. 2. 3.
二、空间插值的类型 整体插值和局部插值； 精确插值和近似插值。 确定性插值和地统计插值；

整体插值：用研究区所有采样点数据进行全区特征 拟合。在整个区域用一个数学函数表达地形曲面， 采用全部控制点计算未知点数据。 整个区域的数据都会影响单个插值点，单个数据点 变量值的增加、减少或者删除，都对整个区域有影 响。 典型例子是：全局趋势面分析 、回归模型、 Fourier Series（周期序列）



整个区域上函数的唯一性、能得到全局光滑连续的 空间曲面、充分反映宏观地形特征等。 在空间内插中，一般是与局部内插方法配合使用， 例如在使用局部内插方法之前，利用整体内插去掉 不符合总体趋势的宏观地物特征。整体内插函数常 常用来揭示整个区域内的地形宏观起伏态势。
◦ 在精确插值中，插值点落在观测点上，内插值等于估计值。

近似插值：插值产生的曲面不通过所有观测点。
◦ 当数据存在不确定性时，应该使用近似插值，由于估计值替 代了已知变量值，近似插值可以平滑采样误差。

确定性方法 ◦ 基于未知点周围点的值和特定的数学公式，来 直接产生平滑的曲面；

基于自相关性 (测量点的统计关系)，根据 测量数据的统计特征产生曲面； 由于建立在统计学的基础上，因此不仅可 以产生预测曲面，而且可以产生误差和不 确定性曲面，用来评估预测结果的好坏
2）模型检验 （1）趋势面拟合适度的R2检验。结果表明，二次趋势面 回归模型和三次趋势面回归模型的显著性都较高，而且三 次趋势面较二次趋势面具有更高的拟合程度。 （2）趋势面适度的显著性F检验。在置信水平a＝0.05下， 查F分布表得F2a＝F0.05(5,6)＝4.53, F3a＝F0.05(9,2)＝ 19.4。显然， F2> F2a ，而F3< F3a，故二次趋势面的回 归方程显著而三次趋势面不显著。因此，F检验的结果表 明，用二次趋势面进行拟合比较合理。
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
降水量Z/mm 27.6 38.4 24 24.7 32 55.5 40.4 37.5 31 31.7 53 44.9
横坐标x/104m 0 1.1 1.8 2.95 3.4 1.8 0.7 0.2 0.85 1.65 2.65 3.65
纵坐标y/104m 1 0.6 0 0 0.2 1.7 1.3 2 3.35 3.15 3.1 2.55

如何生成表面？ 如何才能获得尽可能精确的表面？ 如何评价和比较分析的结果？
空间插值：用已知点的数值来 估算其他点的数值的过程。 内插:在已观测点的区域内估算 未观测点的数据的过程； 外推:在已观测点的区域外估算 未观测点的数据的过程。——预 测 空间插值的结果是形 通过已知的空间数据，找到一 成栅格，因此空间插值也 个函数关系式，使关系式最好得 可以理解为将点状矢量数 据转化为栅格数据的过程。 逼近这些已知的空间数据，并能 够根据该函数关系式，推求出区 也是将点数据转换为面数 域范围内其他任意点或多边形分 据的一种方法。 区范围的值。
③ ④
⑤
可视化、可操作性（插值软件选择）：三维的透视图等。
（1） 交叉验证 交叉验证法（cross－validation），首先假定每一测点的 要素值未知，而采用周围样点的值来估算，然后计算所有样 点实际观测值与内插值的误差，以此来评判估值方法的优劣。 各种插值方法得到的插值结果与样本点数据比较。
优点 ◦ 产生平滑的曲面； ◦ 结果点很少通过原始数据点， 只是对整个研究曲产生最佳 拟合面； 缺点 ◦ 高次多项式在数据区外围产 生异常高值或低值


建立因变量与自变量的联系 自变量的选择：非空间属性、空间属性 求解方法与趋势面类似 例子：流域雪水量模型，山区降水量估算模型
整体内插函数保凸性较差，采样点的增减或移动都 需要对多项式的系数作全面调整，从而采样点之间 会出现难以控制的振荡现象，致使函数极不稳定， 从而导致保凸性较差。 多项式物理意义不明显 解算速度慢且对计算机容量要求高 不能提供内插区域的局部地形特征。 由于以上缺点，在空间内插中整体内插并不常用
2014-4-22

地理学中可能遇到的问题： 了解天津市空气质量宏观分布
天津市空气质量监测点

了解我国某个地区的气候状况 气象站分布－温度降水 某观测站因意外存在缺测、漏测 解决问题的难点： 到研究区每个点进行观测是非常困难的——时间、人力 或财力都不允许。




GIS不仅对实际可视的地面对象进行计算，还可以 对实际上无法显示，但是可以用数值表示并可视化， 称为统计面。 构建统计面实际上和地形分析方法类似，只是要求 输入的数据为点数据样本。 由于点数据无法形成一个面，因此需要对点与点之 间的空白区域进行估计，以构成一个完整的面，这 个构成，成为空间插值。
1
已知数据
0 0 1 2
函数关系式
3 4 5 6
未知数据
7 8 9
距离衰减效应
Tobler(1970)”地理学第一定律”描述了这样的性质：
空间位置上越靠近的点，越可能具有相似的观察值；而 距离越远的点，其特征值相似的可能性越小。
所有的事物或现象在空间上都是有联系的，但相距 近的事物或现象之间的联系一般较相距远的事物或 现象间的联系要紧密。


缺值估计
◦ 如何在没有测点的地区得到我们需要的数据？ ◦ 测点自然或人为的原因，缺少某天或某个时间段的数据。

内插等值线
◦ 形象直观的显示空间数据分布 ◦ 平面制图

数据格网化
◦ 以不规则点图元组织的Z变量的数据，并不适合于图形显示， 也不适于进行分析。多数空间分析要求将Z值转换成一个规 则间距空间格网，或者转换成不规则三角形网。 ◦ 规则格网数据更好的显示空间数据连续分布
上表为某流域1月份降水量与各观测点的坐标位置数据
1）建立趋势面模型 运用上述介绍的趋势面分析原理，首先采用二次多项式进行趋 势面拟合，用最小二乘法求得拟合方程为 z=5.998+17.438x+29.787y-3.558x2+0.375xy-8.070y2 (R2=0.839,F=6.236) 再采用三次趋势面进行拟合，用最小二乘法求得拟合方程为 z=-48.810Fra Baidu bibliotek37.557x+130.130y+8.389x2-33.166xy-62.740y24.133x3+6.138x2y+2.566xy2+9.785y3 (R2=0.965,F=6.054)
2)
3)
（1）规则采样
（2）随机采样
（3）断面采样
（4）成层随机采样
（5）聚集采样
（6）等值线采样

趋势面模型 回归模型

通常把实际的地理曲面分解为趋势面和剩余面两部分，前 者反应地理要素的宏观分布规律，属于确定性因素作用的 结果；而后者则对应于微观区域，被认为是随机因素影响 的结果。 趋势面分析的一个基本要求就是，所选择的趋势面模型应 该是剩余值最小，而趋势值最大，这样拟合度精确度才能 达到足够的准确性。 趋势面分析是通过回归分析原理，运用最小二乘法拟合一 个二维非线性函数，模拟地理要素在空间上的分布规律， 展示地理要素在地域空间上的变化趋势。 在数学上，拟合数学曲面要注意两个问题：一是数学曲面 类型（数学表达式）的确定，二是拟合精度的确定。
（2）“实际”验证
将部分已知变量值的样本点作为“训练数据集”，用于插 值计算；另一部分样点 “验证数据集”，该部分站点不参 加插值计算。然后利用“训练数据集” 样点进行内插，插 值结果与“训练数据集”验证样点的观测值对比，比较插值 的效果。
1)
采样点的空间位置对空间插值的结果影响很大。 理想情况是研究区内均匀布点：但当区域景观存在有规律 的空间分布模式时，用完全规则的采样网络可能会得到片 面的结果； 完全随机的采样：采样点的分布位置是不相关的，完全随 机采样可能会导致采样点的分布不均，一些点的数据密集， 另一些点的数据缺少。 规则采样和随机采样的结合方法是成层随机采样，即划分 为规则格网，每个格网中的样本数固定，但单个点随机地 分布于规则格网内。