2017年高考真题——全国2卷理科标准答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）理科数学1．解析()()()()3i 1i 3i 2i 1i 1i 1i +-+==-++-.故选D. 2．解析1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =， 所以2430x x -+=的解为1x =或3x =，所以{}13B =，.故选C. 3．解析设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112-==-a S ，解得13a =．故选B.4．解析该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半． 2211π310π3663π22=-=⋅⋅-⋅⋅⋅=V V V 总上.故选B.5．解析目标区域如图所示，当直线2y =x+z -取到点()63--，时，所求z 最小值为15-． 故选A.6．解析只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．由此把4份工作分成3份再全排得2343C A 36⋅=.故选D.7．解析四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．故选D. 8．解析0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =．故选B.9．解析 取渐近线by x a =，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，得224c a =，24e =，2e =．故选A.10．解析M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角（异面线所成角为π02⎛⎤ ⎥⎝⎦，），可知112MN AB ==，1122NP BC ==，作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形．1=PQ ，12MQ AC =ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠14122172⎛⎫=+-⨯⨯⋅-= ⎪⎝⎭，=AC则MQ =，则MQP △中，MP =，则PMN △中，222cos 2MN NP PM PNM MH NP +-∠=⋅⋅222+-==. 又异面线所成角为π02⎛⎤ ⎥⎝⎦，．故选C.11．解析()()2121e x f x x a x a -'⎡⎤=+++-⋅⎣⎦，则()()324221e 01f a a a -'-=-++-⋅=⇒=-⎡⎤⎣⎦，则()()211e x f x x x -=--⋅，()()212e x f x x x -'=+-⋅， 令()0f x '=，得2x =-或1x =，当2x <-或1x >时，()0f x '>，当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-.故选A.12．解析解法一（几何法）：如图所示，2PB PC PD +=u u u r u u u r u u u r （D 为BC 中点），则()2PA PB PC PD PA ⋅+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，要使PA PD ⋅u u u r u u u r 最小，则PA u u u r ，PD u u u r方向相反，即P 点在线段AD 上，则min 22PD PA PA PD ⋅=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，即求PD PA ⋅u u u r u u u r最大值， 又323PA PD AD +==⨯=u u u r u u u r u u u r ，则223324PA PD PA PD ⎛⎫+⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ≤， 则min 332242PD PA ⋅=-⨯=-u u u r u u u r ．故选B.解法二（解析法）：建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点， 所以()03A ，，()10B -，，()10C ，．设()P x y ，，()3PA x y =--u u u r，，()1PB x y =---u u u r ，，()1PC x y =--u u u r ，，所以()222222PA PB PC x y y ⋅+=-+u u u r u u u r u u u r 223324x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时0x =，3y =．故选B.13．解析 有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n = 则()11000.020.98 1.96x D np p =-=⨯⨯= 14．解析()2233πsin 3cos 1cos 3cos 0442f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-=-+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，， 令cos x t =且[]01t ∈，，2134y t t =-++231t ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭， 则当3t =时，()f x 取最大值1． 15．解析 设{}n a 首项为1a ，公差为d ．则3123a a d =+=， 414610S a d =+=，求得11a =，1d =，则n a n =，()12n n n S +=，()()112222122311nk kS n n n n ==++++⨯⨯-+∑L 11111112122311n n n n ⎛⎫=-+-++-+-= ⎪-+⎝⎭L 122111n n n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭.16．解析28y x =则4p =，焦点为()20F ，，准线:2l x =-，如图所示，M 为F ，N 中点，故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， 因为2CN =，4AF =，所以3ME =又由定义ME MF =，且MN NF =， 所以6NF NM MF =+=.17.解析 （1）依题得：21cos sin 8sin 84(1cos )22B B B B -==⋅=-． 因为22sin cos 1B B +=，所以2216(1cos )cos 1B B -+=，所以(17cos 15)(cos 1)0B B --=，cos 1B =（舍去），所以15cos 17B =. （2）由⑴可知8sin 17B =．因为2ABC S =△，所以1sin 22ac B ⋅=，所以182217ac ⋅=，所以172ac =，因为15cos 17B =，所以22215217a cb ac +-=，所以22215a c b +-=，所以22()215a c ac b +--=，所以2361715b --=，所以2b =．18．解析 （1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B ， “新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C ，而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.62=；()0.06850.04650.01050.0085P C =⨯+⨯+⨯+⨯0.66=； ()()()0.4092P A P B P C ==. （2）由计算可得2K 的观测值为()222006266383415.70510010096104k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，因为15.705 6.635>，所以()26.6350.001P K ≈≥，所以有99%以上的把握产量的养殖方法有关．（3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++=， 80.0320.06817÷=，85 2.3517⨯≈，50 2.3552.35+=，所以中位数为52.35. 19．解析（1）令PA 中点为F ，联结EF ，BF ，CE ．因为E ，F 为PD ，PA 中点，所以EF 为PAD △的中位线，所以=1//2EF AD ．又因为90BAD ABC ∠=∠=︒，所以BC AD ∥． 又因为12AB BC AD ==，所以=1//2BC AD ，所以=//EF BC ．所以四边形BCEF 为平行四边形，所以CE BF ∥． 又因为BF PAB ⊂面，所以CE ∥平面PAB .（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．设1AB BC ==，则()000O ，，，()010A -，，，()110B -，，，()100C ，，，()010D ，，，(00P ．M 在底面ABCD 上的投影为M '，所以M M BM ''⊥．因为45MBM '∠=o ，所以MBM '△为等腰直角三角形． 因为POC △为直角三角形，OC OP =，所以60PCO ∠=o ． 设MM a '=，CM '=，1OM '=．所以100M ⎛⎫' ⎪ ⎪⎝⎭，，．BM a a '===⇒=11OM '==．所以100M ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭，，10M ⎛ ⎝⎭，11AM ⎛= ⎝⎭u u u u r ，(100)AB =u u ur ，，． 设平面ABM 的法向量11(0)y z =，，m．110y +=，所以(02)=，m ， ()020AD =u u u r ，，，()100AB =u u u r ，，．设平面ABD 的法向量为()200z =，，n ，(001)=，，n．所以cos ,⋅==⋅m n m n m n 所以二面角M AB D --．20．解析（1）设()P x y ，，易知(0)N x ，，(0)NP y =u u u r ，，又0NM ⎛== ⎝u u u u r u u u r ，所以M x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又M在椭圆上．所以2212x +=，即222x y +=． （2）由题知()1,0F -，设()3,Q t -，(),P m n ，则()3,OQ t =-u u u r ，()1,PF m n =---u u u r，33OQ PF m tn ⋅=+-u u u r u u u r ，(),OP m n =u u u r ，()3,PQ m t n =---u u u r， 由1OP PQ ⋅=u u u r u u u r，得2231m m tn n --+-=.又由（1）22m n n +=，故330m tn +-=，所以0OQ PF ⋅=u u u r u u u r ，即OQ PF ⊥u u u r u u u r，又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .21．解析 （1）因为()()ln 0f x x ax a x =--…，0x >，所以ln 0ax a x --…． 令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11ax g x a x x-'=-=， 当0a „时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <； 当0a >时，令()0g x '=，得1x a=． 当10x a <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x a>时，()0g x '>，()g x 单调递增． 若01a <<，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单递调递减，()110g g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭；若1a >，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，()110g g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭；若1a =，则()()min 110g x g g a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()0g x ≥．综上，1a =．（2）()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >． 令()22ln h x x x =--，则()1212x h x x x-'=-=，0x >． 令()0h x '=得12x =， 当102x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当12x >时，()0h x '>，()h x 单调递增． 所以()min 112ln 202h x h ⎛⎫==-+< ⎪⎝⎭．因为()22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，122⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，所以在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上，()h x 即()f x '各有一个零点．设()f x '在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上的零点分别为02x x ，，因为()f x '在102⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减， 所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当012x x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减．因此，0x 是()f x 的极大值点．因为，()f x '在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当2x x >时，()f x 单调递增，因此2x 是()f x 的极小值点． 所以()f x 有唯一的极大值点0x ．由前面的证明可知，201e 2x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则()()24220e e e e f x f ---->=+>．因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<，所以()014f x <． 因此，()201e 4f x -<<．即()220e 2f x --<<. 22．解析 （1）设()()00M P ρθρθ，，，，则0||OM OP ρρ==，．000016cos 4ρρρθθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为()2224x y -+=，()0x ≠. （2）联结AC ，易知AOC △为正三角形．||OA 为定值．所以当高最大时，AOB S △面积最大，如图所示，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于H 点 交圆C 于B 点，此时AOB S △最大，max 1||||2S AO HB =⋅()12AO HC BC =+2=.23．解析（1）由柯西不等式得：()()()2255334a b a b a b ++=+=≥1a b ==时取等号．（2）因为()()()()()33232233333232244a b a b a a b ab b ab a b a b a b ++=+++=+++++=+…，所以()38a b +≤，所以2a b +≤．。