高中数学复习——数列通项公式的十种求法及相应题目
数列通项公式的9种求法
数列通项公式的9种求法
1、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目.
例1、等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为
n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，25
5a S =.求
数列}a {n 的通项公式
解：设数列}a {n 公差为)0d (d >
∵931a ,a ,a 成等比数列，∴912
3a a a =，
即)d 8a (a )d 2a (1121+=+，得d a d 12
= ∵0d ≠，∴d a 1=……① ∵2
55S a =
∴211)d 4a (d 2
4
5a 5+=⋅⨯+
……② 由①②得：53a 1=，5
3
d =
∴n 5
3
53)1n (53a n =⨯-+=
点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错
定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
2、累加法
求形如a n -a n-1=f(n)（f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，…n —1得到n —1个式子累加求得通项。
例2、已知数列{a n }中，a 1=1，对任意自然数n
都有11
(1)
n n a a n n -=+
+，求n a .
解：由已知得11
(1)
n n a a n n --=+，
121
(1)n n a a n n ---=-，……，
32134a a -=⨯，211
23
a a -=⨯，
以上式子累加，利用111
(1)1
n n n n =-++得
n a -1a =
1111
...23(2)(1)(1)(1)n n n n n n ++++
求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十一种方法（方法全,例子全，归纳细）
总述:一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：
累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、
换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法、
不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法
二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式.等差数列、等
比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法
1．适用于：1()n n a a f n +=+ -—-——-——-—这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，
则
21321(1)
(2)
()
n n a a f a a f a a f n +-=-=-=
两边分别相加得 111
()n
n k a a f n +=-=
∑
例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则
11232211
2
()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1
(1)2(1)1
(重要)高中数学数列十种求通项和七种求和方法,练习及问题详解
高中数列知识点总结
1. 等差数列的定义与性质
定义：1n n a a d +-=〔d 为常数〕,()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和：()()
1112
2
n n a a n n n S na
d +-=
=+
性质：〔1〕假如m n p q +=+,如此m n p q a a a a +=+；〔2〕{}n a 为等差数列
2n S an bn ⇔=+〔a b ，为常数,是关于n 的常数项为0的二次函数〕
2. 等比数列的定义与性质
定义：
1
n n
a q a +=〔q 为常数,0q ≠〕,11n n a a q -=.
等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=,
或G =
前n 项和：()11(1)
1(1)1n n na q S a q q q
=⎧⎪
=-⎨≠⎪
-⎩〔要注意公比q 〕
性质：{}n a 是等比数列〔1〕假如m n p q +=+,如此m
n p q a a a a =·· 3．求数列通项公式的常用方法
一、公式法
例1 数列{}n a 满足1232n
n n a a +=+⨯,12a =,求数列{}n a 的通项公式.
解：1232n n n a a +=+⨯两边除以1
2n +,得
113222n n n n a a ++=+,如此113222n n n n a a ++-=,故数列{}2
n
n
a 是以1222
a 1
1==为首项,以23
为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得31(1)22n n a n =+-,所以数列{}n a 的通项公式为31
求数列通项公式的十种方法-例题答案详解
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）
总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：
累加法、
累乘法、
待定系数法、
阶差法（逐差法）、
迭代法、
对数变换法、
倒数变换法、
换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、
数学归纳法、
不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、
特征根法
二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法
1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，
则 21321(1)
(2)
()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=L L
两边分别相加得 111()n
n k a a f n +=-=∑
例1 已知数列{}n a 满足1121
1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则
112322112
()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1
(1)2(1)12
(1)(1)1
高中数学复习——数列通项公式的十种求法及相应题目
一、公式法
例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232n n n a a +=+⨯两边除以1
2
n +，得
113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n
n
a 是以1222a 11==为首项，以2
3
为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222
n
n a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为
113
222
n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n
a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。
二、累加法
例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则
11232211
2
()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1
2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1
2
(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=
所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
高中数学数列通项公式的常用求法
数列通项公式的求法
一、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目． 例1．等差数列
{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.
点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。 二、公式法
若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n
n 求解。 例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n
n n ．求数列{}n a 的通项公式。
点评：利用公式⎩⎨
⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2
1
1n S S n S a n n n n
求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并． 三、由递推式求数列通项法
对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。
类型1 递推公式为)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
已知数列
{}n a 中,12211,(1),k k k a a -==+-且a 2123k k k a a +=+,其中1,2,3,k =……，求数列{}n a 的通项公式。（高考题）
高中数学 数列复习——通项公式课件 新人教A版必修5
课后作业
《习案》作业二十.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
5 2 11 7
(2) 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ;
(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, .
数列的通项公式的求法
题型二： 已知递推公式，求特殊数列的通项公式．
例2. 写出下面各数列的一个通项公式．
(1)
a1
1, an1
1
an 2
(n 1)
数列的通项公式的求法
q
q
an1 1 p p(an 1 p ) ，
即转化为
q
{an1
1
} p
是等比数列求解 .
数列的通项公式的求法
题型二： 已知递推公式，求特殊数列的通项公式．
例2. 写出下面各数列的一个通项公式．
(2) a1 1,
an
2an1 2 an1
(n 2)
数列的通项公式的求法
题型二： 已知递推公式，求特殊数列的通项公式．
数列复习 ——通项公式
主讲老师：
基本概念
数列的通项公式：
如果数列{an}的第n项an与n之间的 关系可以用一个公式来表示，这个公式 就叫做这个数列的通项公式．
数列的通项公式的求法
数列通项公式—常见9种求法
数列通项公式—常见9种求法
一、公式法
例1 已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。
二、累加法
例2 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则
所以数列的通项公式为。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求
出，即得数列的通项公式。
例3 已知数列满足，求数列的通项公式
解：由得
所以
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例4已知数列满足，求数列的通项公式。
解：两边除以，得，则，故
因此，则
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列
的通项公式，最后再求数列的通项公式。
三、累乘法
例5 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以，则，故
所以数列的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例6 已知数列满足，求的通项公式。
解：因为①
所以②
用②式－①式得则故
所以③
由，，则，又知，则，代入③得。
所以，的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列
的通项公式。
四、待定系数法
例7已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设④
将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得
⑤
由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
高中数学必须掌握的十种数列通项公式的解题方法和典型例题
高中数学必须掌握的十种数列通项公式的解题方法和典型例题
在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。求通项公式也是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。
通项公式普通的求法：
（1）构造等比数列：凡是出现关于后项和前项的一次递推式都可以构造等比数列求通项公式；
（2）构造等差数列：递推式不能构造等比数列时，构造等差数列；
（3）递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。
已知递推公式求通项常见方法：
①已知a1=a,a n+1=qa n+b,求a n时，利用待定系数法求解，其关键是确定待定系数λ，使a n+1+λ=q(a n+λ)进而得到λ。
②已知a1=a,a n=a n-1+f(n)(n≥2),求a n时，利用累加法求解，即
a n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n-a n-1)的方法。
③已知a1=a,a n=f(n)a n-1(n≥2)，求a n时，利用累乘法求解。
非常实用的十大解题方法及典型例题
方法一数学归纳法
方法二 Sn 法
方法三累加法
方法四累乘法
方法五构造法一
方法六构造法二
方法七构造法三
方法八构造法四
方法九构造五
方法十构造六
数列通项公式的十种求法
数列通项公式的十种求法
一、公式法
例1 已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。
二、累加法
例2 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则
11232211
2
()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1
2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12
(1)(1)1
n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-+
+-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列的通项公式为。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例3 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则
所以
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例4 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：两边除以，得，
则，故
112
232112232111122122()()()()33333333
21
2
121213
()()()()3333333332(1)
11111
()1
333333n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a
a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++
高中数学解题方法之--数列通项公式的求法13种和求和的七种
。 sn = Aqn − A ( Aq ≠ 0, q ≠ 1)
二、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项
②若已知数列的前
n
项和
Sn
与
an
的关系，求数列{an
}的通项
an
可用公式
an
=
S1 Sn
求解. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n = 1
− Sn−1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ n ≥ 2
=q2，由
q∈R，且
q≠1，得
q=－2，∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1
例 2. 等差数列{an}是递减数列，且a2 ⋅ a3 ⋅ a4 =48，a2 + a3 + a4 =12，则数列的通项公式是（ ）
(A) an = 2n −12 (B) an = 2n + 4 (C) an = −2n +12 (D) an = −2n+10
(注意：求完后一定要考虑合并通项)
例 1： 已知数列{an}是公差为 d 的等差数列，数列{bn}是公比为 q 的(q∈R 且 q≠1)的等比数列，若函数 f (x) = (x－1)2，且 a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，(1)求数列{ a n }和{ b n } 的通项公式；
专题1数列的通项公式的求法-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
依题意得
6q 6 2d, 6q2 12 4d
,
解得
d q
3, 2,
故 an 4 (n 1) 3 3n 1,bn 6 2n1 3 2n ．
所以，{an} 的通项公式为 an 3n 1 ，{bn} 的通项公式为bn 3 2n ．
f
an1 an
a2 a1
(n
f (n)
a1
2)
f
(1)
a1(n ≥ 2)
题型二 累加法&累乘法
练 1 在数列{ an }中， a1 =1， an an1 n 1 (n 2) ，求{ an }的通项公式.
【规范解答】 ∵ n 1时，a1 1
n 2时,a2 a1 1 a3 a2 2 a4 a3 3 .......
则 a10 （ ）
A．20
B．21
C．22
D．23
题型二 累加法&累乘法
文 17）已知数列an 满足a1 1 ，nan1 2n 1an ．求an 的通项公式．
解析： 累乘法
由
nan1
2(n
1)an
得：
an1 an
2(n 1)方法小结 n (1)累加法：形如 an1 an
f (n)
故 an
a1
高中数学-求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十一种方法
总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：
累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、
换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法、
不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法
二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、
等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法
1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，
则
21321(1)
(2)
()
n n a a f a a f a a f n +-=-=-=
两边分别相加得 111
()n
n k a a f n +=-=
∑
例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则
11232211
2
()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1
(1)2(1)1
2
(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n
数列通项公式七大常见求法
数列通项公式的七大常见求法
一、观察法：观察数列的特征，项与项数之间的关系。 例1：写出数列 1741035221，，，的通项公式
变式训练：写出数列9,99,999,9999…的通项公式
二、公式法：数列符合等差、等比数列定义。 例2：已知数列{}n a ，若n n n n a a a a a a ，求，，8426211===++-
变式训练：已知数列{}n a ，若n n n a a a a ，求，1121-==
三、叠加法：形如)(1n f a a n n +=+
例3：在数列{n a }中，1a =1，12n n n a a +-= (n N *∈),求n a
变式训练：已知数列{}n a 满足211=
a ，n n a a n n ++=+211，求n a .
四、叠乘法：形如)(1n f a a n n ⋅=+
例4：已知数列{n a }满足1a =1，11
n n n a a n +=
+，求n a
变式训练：已知数列{n a }满足1a =1，n n n a a 21=+，求n a
五、递推相减法：形如()n f a S n n += 应用{1,2,11=≥--n S n S S n n
例5：已知数列{n a }满足n n n a a S ，求-=1
变式训练：已知数列{n a }满足n n a n n S ，求12++=
六、构造新数列法：
1、构造等比数列：形如q pa a n n +=+1 例6：已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
2、构造等差数列：形如n n n q pa a +=+1 例7：在数列{}n a 中， 12a =，()11222n n n a a n +-=+≥，求{}n a 通项公式
求数列通项公式的十种方法-例题答案详解
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：
累加法、
累乘法、
待定系数法、
阶差法（逐差法）、
迭代法、
对数变换法、
倒数变换法、
换元法（目的是去递推关
系式中出现的根号）、
数学归纳法、
不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、
特征根法
二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。 四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法 1．适用于：
1()
n n a a f n +=+ ----------这是
广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)
n ≥，
则
21321(1)(2) ()
n n a a f a a f a a f n +-=-=-
=
两边分别相加得
111()
n
n k a a f n +=-=∑
例1 已知数列{}
n a 满足
11211
n n a a n a +=++=，，求
数列{}
n a 的通项公式。
解：由
121
n n a a n +=++得
121
n n a a n +-=+则
所以数列{}
n a 的通项公式为
2
n a n =。
例2 已知数列{}
n a 满足
112313
n n n a a a +=+⨯+=，，求
数列{}
高中数学解题方法系列：数列中求通项的10种方法
高中数学解题方法系列：数列中求通项的10种方法
一、公式法例1
已知数列{}n a 满足1232n
n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232n
n n a a +=+⨯两边除以1
2
n +，得
113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n
n
a 是以1222
a 1
1==为首项，以23
为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222
n
n a n =-。
二、累加法
)
(1n f a a n n =--例2
已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则
11232211
2
()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12
(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n
n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2
n a n =。
例3已知数列{}n a 满足1132313n
n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。解：13231n
n n a a +=+⨯+两边除以1
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高中数学复习——数列通项公式的十种求法及
相应题目
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
一、公式法
例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得
113222n n n n a a ++=+，则11
3
222
n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1
2
22a 11==为首项，以23
为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n
a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222n
n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为
11
3
222
n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n
a
是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出
3
1(1)22n n
a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、累加法
例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则
11232211
2
()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1
2[(1)(2)21](1)1
(1)2(1)1
2
(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++
+⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=
所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为
121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+
+-+-+，
即得数列{}n a 的通项公式。
例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则
11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3
2(3333)(1)3
3(13)2(1)3
13
331331
n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-
所以3 1.n n a n =+-
评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+⨯+转化为
1231n n n a a +-=⨯+，进而求出
11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公
式。
例4 已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111
21
3333n n n n n a a +++=++
， 则
111
21
3333n n n n n a a +++-=+
，故 11223
211
2232
111122122()()()(
)33333
333
212121213
()()()()3333333332(1)11111()1
333333
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++
因此1
1(13)
2(1)2113133133223n n n n n a n n ---=++=+-
-⨯， 则21133.322
n n n a n =⨯⨯+⨯-
评注：本题解题的关键是把递推关系式13231n n n a a +=+⨯+转化为
11121
3333
n n n n n a a +++-=+，进而求出11223
21111223
21(
)()()(
)333333333n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a -----------+-+-++-+，即得数列3n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的通
项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。 三、累乘法
例5 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：因为112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则
1
2(1)5n n n
a n a +=+，故1
32
112
21
12211(1)(2)21
(1)1
2
[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53
32
5
!
n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=
⋅⋅⋅
⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯
所以数列{}n a 的通项公式为(1)1
2
32
5
!.n n n n a n --=⨯⨯⨯
评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+⨯转化为
12(1)5n n n a n a +=+，进而求出132
112
21
n n n n a a
a a a a a a a ---⋅⋅⋅
⋅⋅，即得数列{}n a 的通项公式。 例6 （2004年全国I 第15题，原题是填空题）已知数列{}n a 满足
11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==+++
+-≥，，求{}n a 的通项公式。 解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥
① 所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=+++
+-+
②
用②式－①式得1.n n n a a na +-=