平面向量的数量积及其应用

06—平面向量的数量积及其应用

突破点(一) 平面向量的数量积

1．向量的夹角；2．平面向量的数量积；3．平面向量数量积的运算律 平面向量数量积的运算 1.利用坐标计算数量积的步骤 第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用； 第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可．

2．根据定义计算数量积的两种思路

(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．

(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解．

[典例] (1)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )

A ．－72

B ．－12 C.32 D.52

(2)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且 BE ＝23 BC ， DF ＝16

DC ，则 AE · AF 的值为________． [解析] (1)a ＋2b ＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由题意得

3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以b ＝⎝⎛⎭⎫－12，1，所以a ·b ＝－1×⎝⎛⎭⎫－12＋2×1＝52. (2)取 BA ， BC 为一组基底，则 AE ＝ BE － BA ＝23 BC － BA ， AF ＝ AB ＋ BC ＋ CF ＝－ BA ＋ BC ＋512 BA ＝－712 BA ＋ BC ，∴ AE · AF ＝⎝⎛⎭⎫23 BC － BA ·⎝⎛⎭⎫－712 BA ＋ BC ＝712| BA |2－2518 BA · BC ＋23| BC |2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918. [答案] (1)D (2)2918

[易错提醒]

(1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(2)两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”．

突破点(二) 平面向量数量积的应用

平面向量的垂直问题

1.第一，计算出这两个向量的坐标；

第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．

2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值

根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．

[例1] (1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足 AB ＝2a ， AC ＝2a ＋b ，则下列结

论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1

D ．(4a ＋b )⊥ BC (2)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )

A ．－92

B ．0

C ．3 D.152 [解析] (1)在△ABC 中，由 BC ＝ AC － AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又 AB ＝2a 且| AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )· BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥ BC ，

D 正确，故选D.

(2)∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0.∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，∴2a －3b ＝(2k －3，－6)． ∴(2k －3，－6)·(2,1)＝0，即(2k －3)×2－6＝0.∴k ＝3.[答案] (1)D (2)C

[易错提醒]

x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件，后者是

它们垂直的充要条件．

平面向量模的相关问题 利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： (1)a 2＝a ·a ＝|a |2； (2)|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.

[例2] (1)(2017·衡水模拟)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3

，那么|4a －b |＝( ) A ．2 B ．6 C ．2 3 D ．12

(2)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12

.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________. [解析] (1)|4a －b |2＝16a 2＋b 2－8a ·b ＝16×1＋4－8×1×2×cos π3

＝12.∴|4a －b |＝2 3. (2)∵e 1·e 2＝12，∴|e 1||e 2|cos e 1，e 2 ＝12

，∴ e 1，e 2 ＝60°.又∵b ·e 1＝b ·e 2＝1＞0，∴ b ，e 1 ＝ b ，e 2 ＝30°.由b ·e 1＝1，得|b ||e 1|cos 30°＝1，∴|b |＝13

2

＝233.[答案] (1)C (2)233 [方法技巧]

求向量模的常用方法

(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2.

(2)若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．

平面向量的夹角问题

第一步 由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积

第二步 分别求出这两个向量的模

第三步 根据公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22

求解出这两个向量夹角的余弦值 第四步

根据两个向量夹角的范围是[0，π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角

[例3] (1)若非零向量a ，b 满足|a |＝22|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4

D ．π (2)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13

，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.

[解析] (1)由(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a ·b －2b 2＝0.

又∵|a |＝223

|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a ||b |cos θ－2|b |2＝0， ∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0.∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4

. (2)∵a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9＋4－2×3×2×13＝9，b 2＝(3e 1－e 2)2＝9＋1－2×3×1×13

＝8， a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9＋2－9×1×1×13＝8，∴cos β＝a ·b |a ||b |＝83×22＝223

. [易错提醒]

(1)向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且向量a ，b 不共线．

(2)向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且向量a ，b 不共线．