角的概念的推广
角的概念的推广
终边
B
顶 点o
始边 A 角：一条射线绕着它的端点在平面内旋转形成
的图形
逆时针 顺时针
定义：
任 正角：按逆时针方向旋转形成的角 意 负角：按顺时针方向旋转形成的角 角 零角：射线不做旋转时形成的角
y
终 边x
o
注：终边落在 坐标轴上的角 叫轴上角 始边
终 边
终边
终 边 终 边
30°=
例1 在0°到360°范围内，找出与－950°12′终边相 同的角，并判定它们分别是第几象限角：
解 : －950°12′ ＝129°48′ －3×360° 所以在0°～360°范围内，与－950°12′ 角终边相同的角是129°48′，它是第二象 限角. 练习：课本第6页第4题
例2 写出终边落在Y轴上的角的集合。
பைடு நூலகம்
1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴 终边落在第几象限就是第几象限角
任意角
y -330° 390° o
30°
x
=30°+0x360° 390°=30°+360°=30°+1x360° －330°=30°－360° =30°－1x360° 30°+2x360° , 30°－2x360° 与α终边相同的角的一般 30°+3x360°, 30°－3x360° 形式为 …, …, °，K ∈ Z α ＋ K· 360 ° 与30 终边相同的角的一般形式 为30°＋K· 360°，K ∈ Z S={ β| β= a+k· 360° , K∈ Z}
角的概念和弧度制
1.角的概念的推广：
(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向（逆时针或顺时针）旋转到另一位置OB形成角α。其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，端点O叫角α的顶点。
(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。
正角：按逆时针方向旋转形成的角
任意角
负角：按顺时针方向旋转形成的角
零角：射线不做旋转时形成的角
(3)象限角：由角的终边所在位置确定。
第一象限角的集合；
第二象限角的集合
第三象限角的集合；
第四象限角的集合
(4)终边相同的角：
一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内，可以表示为可构成集合S={ β| β=α+k×3600, K∈ Z}
(5)特殊角的集合：
终边在轴上角的集合,
轴线角
终边在轴上角的集合,
终边在坐标轴上角的集合
2.弧度制：
(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。
(2)角度与弧度的互化：角度、弧度的换算关系：
≈0.01745（rad）, ≈57.30°=57°18ˊ；
(2)两个公式：设扇形的弧长为,圆心角为,半径为，α为圆心角弧度数,则有:扇形弧长：扇形面积：
1．将化为的形式是（ ）．
A． B．
C． D．
2．若，则角的终边所在的象限为（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．扇形的周长是，圆心角是弧度，则扇形面积是（ ）．
A． B． C． D．
4．若集合，，
则集合为（ ）．
A． B． C． D．
5．若角与终边相同，则一定有（ ）．
A． B．
C． D．
6．在到之间与终边相同的角是___________．
角的概念的推广
角的概念的推广
引言
角是几何学中重要的概念之一，它在实际生活和学术领域中有着广泛的应用。本文将介绍角的定义、性质以及与其他几何概念的关系，从而推广角的概念。
角的定义
在几何学中，角是由两条射线公共端点所围成的部分。我们可以把射线看成是一根直线，并延长它们，当两条射线共线时，所围成的角度为零。根据角的凸度，角可以分为锐角、直角和钝角。
•锐角：角度小于90度的角称为锐角；
•直角：角度等于90度的角称为直角；
•钝角：角度大于90度但小于180度的角称为钝角。
角的性质
除了不同凸度的分类，角还有一些重要的性质，下面将介绍几个常
见的性质。
直角的性质
直角是一种特殊的角，它有一些独特的性质。
•直角可以被等分成两个相等的角，每个角的度数为45度。
•直角的两条边相互垂直。
锐角和钝角的性质
锐角和钝角也有一些特殊的性质。
•锐角的度数总是小于90度，而钝角的度数总是大于90度。
•锐角和钝角的正弦、余弦和正切值的大小具有不同的关系。
角与其他几何概念的关系
角与其他几何概念之间存在着紧密的联系，下面将介绍角与直线、多边形以及圆的关系。
角与直线的关系
直线可以被看成无数个角的集合，两条直线之间的夹角就是这两条直线所围成的角。夹角可以分为对顶角、同位角和内错角等。
•对顶角：两条相交的直线所围成的角，称为对顶角，对顶角的度数相等。
•同位角：两条平行直线被一条交错直线切割形成的相对应的内错角。
•内错角：平行直线被一条截线分成两段，则截线处的内错角相等。
角与多边形的关系
多边形是有多个边和角组成的图形，角是多边形内角和外角的基本单位。
角的概念的推广
角的概念的推广
角是几何学中的重要概念，它在日常生活中的应用广泛且重要。角
的概念使我们能够更好地理解和描述物体之间的关系，从而更好地解
决实际问题。本文将探讨角的概念以及它在不同领域的推广应用。
一、角的定义和性质
角是由两条射线共同起源的部分平面，常用三个字母表示。根据角
的大小，可以将角分为锐角、直角和钝角。锐角指小于90度的角，直
角指等于90度的角，钝角指大于90度但小于180度的角。角的大小可以通过角度来测量，角度是角所对应的弧长在单位圆上的长度比值。
除了大小外，角还具有其他一些重要性质。首先，两个角互为补角
当且仅当它们的和为90度。其次，两个角互为余角当且仅当它们的和
为180度。此外，角的顶点、起始射线和终止射线确定一个平面。这
些性质为我们研究角的性质和应用提供了基础。
二、角的推广应用
1. 几何学中的角
在几何学中，角是研究平面和空间图形间相对位置关系的重要工具。角的推广应用在多边形的研究中尤为重要。例如，我们可以通过计算
多边形的内角和来判断它们的类型，进而帮助解决诸如平行四边形的
判定、多边形的内切圆问题等。
2. 物理学中的角
角的概念在物理学中也有着广泛的应用。例如，角度被广泛用于描述力的作用方向和大小。在机械学中，角度还用于描述转动运动和力矩的计算。此外，角速度和角加速度也是物理学中经常使用的概念，通过这些概念可以描述物体的旋转状态以及旋转的快慢程度。
3. 工程学中的角
在工程学中，角的概念被广泛应用于测量和布局。例如，利用角度可以确定建筑物的方向，帮助制定建筑物的布局方案。此外，在电气工程中，角度也用于描述交流电的相位差，从而确定电路中电压和电流的相对位置。
角的概念的推广
角的概念的推广
§2角的概念的推广
一、教学目标
1、知识与技能：
（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；
（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；
（3）理解任意角的概念，掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；
（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；
（5）能进行简单的角的集合之间运算。
2、过程与方法：
类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、情感态度与价值观：
通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认
识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
二、教学重、难点
重点:理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。
难点:把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。
三、学法与教法
在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。教法:类比探究交流法。
角的概念的推广思政要点
角的概念的推广思政要点
角的概念的推广涉及到数学、物理、地理、文化等多个方面，以下是思政要点:
1. 角的静态定义和动态定义：角的静态定义是指具有公共端的
两条射线组成的图形，而动态定义是指一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。角的大小与边的长短没有关系，而决定于角的两条边张开的程度。
2. 角的种类：角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0 角等 10 种。
3. 角的符号：角的符号是以角度为单位的，通常用符号“°”
表示，例如 90°表示一个直角。
4. 角的测量：角的测量通常使用角度计或量角器等工具，其中
角度计可以测量任意角度，而量角器只能测量固定角度。
5. 角在物理中的应用：角在物理学中有许多应用，例如在几何
学中，角可以用来描述平面几何中的角度和线段长度之间的关系;在
力学中，角可以用来描述物体的运动轨迹和受力情况。
6. 角在地理中的应用：角在地理学中也有许多应用，例如在地
图上，角可以用来描述两个地点之间的夹角，以及地图上各种线条的夹角。
7. 角的文化意义：角在中国传统文化中具有重要的象征意义，
例如在古代社会中，角被广泛用于装饰和祭祀活动中，代表着权力、荣誉和信仰等意义。
角的概念的推广涉及到多个学科领域，需要从多个角度进行思考和理解，有助于提高人们的综合素质和跨学科思维能力。
角的概念的推广
练习: 写出终边落在 x 轴上的角的集合。
解：终边落在 x 轴非负半轴上的角的集合为 S1={β| β= K∙360°,K∈Z} ｛偶数｝∪｛奇数｝ ={β| β= 2K∙180°,K∈Z} ＝｛整数｝ ° ={β| β= 180 的偶数倍} 终边落在 x 轴非正半轴上的角的集合为 S2={β| β=180°+ K∙360°,K∈Z} ={β| β= 180°+ 2K∙180°,K∈Z} ={β| β= （2K+1）180° ，K∈Z} ={β| β= 180°的奇数倍} 所以 终边落在 x 轴上的角的集合为 S=S1∪S2 ={β| β=180° 的整数倍} Y ={β| β=K∙180° ，K∈Z}
180°+k∙360°
X K∙360° O
例3 写出与45°角终边相同的角的集合，并把 该集合中适合不等式－1080°≤β＜－360°的 元素求出来。
解： S={ β|β= 45°+ K∙360° , K∈Z} ∴ S中适合－1080°≤β＜－360°的元素为
45°－ 3×360° =－ 1035°
30°=
例1 在0°到360°范围内，找出与－950°12′终边相 同的角，并判定它们分别是第几象限角：
解 : －950°12′ ＝129°48′ －3×360° 所以在0°～360°范围内，与－950°12′ 角终边相同的角是129°48′，它是第二象 限角. 练习：课本第6页第4题
角的概念推广
角的概念的推广
教材分析
这节课主要是把学生学习的角从不大于周角的非负角扩充到任意角，使角有正角、负角和零角．首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了几个与之相关的概念：象限角、终边相同的角等．在这节课中，重点是理解任意角、象限角、终边相同的角等概念，难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．理解任意角的概念，会在平面内建立适当的坐标系，通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角的表示，是学好这节的关键．
教学目标
1. 通过实例，体会推广角的必要性和实际意义，理解正角、负角和零角的定义．
2. 理解象限角的概念、意义及表示方法，掌握终边相同的角的表示方法．
3. 通过对“由一点出发的两条射线形成的图形”到“射线绕着其端点旋转而形成角”的认识过程，使学生感受“动”与“静”的对立与统一．培养学生用运动变化的观点审视事物，用对立统一规律揭示生活中的空间形式和数量关系．
任务分析
这节课概念很多，应尽可能让学生通过生活中的例子（如钟表上指针的转动、体操运动员的转体、自行车轮子上的某点的运动等）了解引入任意角的必要性及实际意义，变抽象为具体．另外，可借助于多媒体进行动态演示，加深学生对知识的理解和掌握．
教学设计
一．问题情境［演示］
1. 观览车的运动．
2.体操运动员、跳台跳板运动员的前、后转体动作．
3. 钟表秒针的转动．
4. 自行车轮子的滚动
［问题］
1.如果观览车两边各站一人，当观览车转了两周时，他们观察到的观览车上的某个座位上的游客进行了怎样的旋转，旋转了多大的角？
角的概念的推广
X K∙360° O
例3 写出与45°角终边相同的角的集合，并把 该集合中适合不等式－1080°≤β＜－360°的 元素求出来。
解： S={ β|β= 45°+ K∙360° , K∈Z} ∴ S中适合－1080°≤β＜－360°的元素为
45°－ 3×360° =－ 1035°
1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴 终边落在第几象限就是第几象限角
任意角
y -330° 390° o
30°
x
=30°+0x360° 390°=30°+360°=30°+1x360° －330°=30°－360° =30°－1x360° 30°+2x360° , 30°－2x360° 与α终边相同的角的一般 30°+3x360°, 30°－3x360° 形式为 …, …, °，K ∈ Z α ＋ K· 360 ° 与30 终边相同的角的一般形式 为30°＋K· 360°，K ∈ Z S={ β| β= a+k· 360° , K∈ Z}
45°－ 2×360° =－ 675°
变式：书本第5页例题3 ：写出终边在直线 y=x 上的角的 集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出 来.
解：略（具体过程请参阅课本）.
小结：
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角
角的记法和读法正角与负角角的概念
一、角的概念的推广
（1）平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
（2）正角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角；
（3）负角：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角；
（4）零角：当一条射线没有作任何旋转时叫做零角，射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
（5）角的记法：角α或∠α，也可以简记为α。
二、角的说明：
（1）在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记为α．（2）角的这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”。在日常生活中，在生产和科学实验中，还要经常遇到大于360度的角，以及按照不同方向旋转而成的角。
（3）零角的始边和终边重合。
（4）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
（5）以终边位置的异同作为分类标准.
角的概念的推广
S=S1∪S2= 90o k 360o, k z U
270o k 360o, k z.
看课本第6页例3和例4
1. 锐角是第几象限的角？ 答：锐角是第一象限的角. 2. 第一象限的角是否都是锐角？ 答：第一象限的角并不都是锐角. 3. 小于90°的角都是锐角吗？ 答：小于90°的角并不都是锐角，它也有可能是零角或负角.
7.1.1 角的推广
1．理解正角、负角、零角的定义． 2．理解象限角的概念． 3．会表示终边相同的角.
1.在初中角是如何定义的？ 定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫作角.
顶 点
边
边
定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一 个位置所形成的图形叫作角.
B 终边
顶
点o
A 始边
2.角是如何度量的?
(2)α是任意角 (3)k·360°与α 之间是“+”号， 如k·360°-30°,应看成k·360°+（-30°）.
(4)k的两层含义： (i)特殊性：每对k赋一个值可得一个具体角； (ii)一般性：表示了所有与终边α重合的角的集合.
(5)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一ห้องสมุดไป่ตู้相同， 终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.
终边落在第几象限就是第几象限角
角的概念的推广知识点
角的概念的推广知识点
摘要：
本文旨在探讨数学中角的概念及其在不同数学分支中的推广和应用。
文章首先回顾了角在平面几何中的基本定义和性质，随后介绍了角在
立体几何、三角学、解析几何以及更高级数学领域中的推广形式，包
括复数平面上的角、线性代数中的向量角以及微积分中的角概念。
1. 平面几何中的角
角是最基本和直观的几何概念之一。在平面几何中，角是由两条射线（或线段）的公共端点（顶点）所定义的图形。根据这两条射线的相
对位置，角可以分为：
- 邻角：两条射线共享一个公共端点，并且射线在一个方向上相邻。
- 对角：两条射线共享一个公共端点，但射线在两个相反的方向上。
- 直角：两条射线垂直相交，形成一个90度的角。
- 钝角：大于直角但小于180度的角。
- 平角：两条射线在端点处重合，形成一个180度的角。
- 周角：两条射线重合，形成一个完整的360度的圆周。
2. 立体几何中的角
在立体几何中，角的概念扩展到了三维空间。立体角是由三个平面在
一点相交形成的图形，其大小由这三个平面所围成的球面区域的大小
决定。立体角的度量单位是球面度，与平面角的度量单位（度）不同。
3. 三角学中的角
三角学是研究三角形的边和角之间关系的数学分支。在三角学中，角
的概念与平面几何中的类似，但更加关注角度的测量和三角函数的关系。例如，直角三角形中的一个关键概念是余弦、正弦和正切函数，
它们将角度与三角形的边长联系起来。
4. 解析几何中的角
在解析几何中，角可以通过向量来表示和计算。两个向量之间的夹角可以通过它们的点积和模长来确定。向量夹角的余弦值定义为两个向量点积与它们模长乘积的比值。这种方法使得角的计算可以应用于物理学中的力的合成和分解等问题。
角的概念的推广知识点
角的概念的推广知识点
角是几何学中的基本概念之一，广泛应用于我们的日常生活和许多
领域。角可以通过两条线段或射线的相交而形成，它具有独特的特征
和属性。在本文中，我们将探讨角的概念并介绍一些与角相关的推广
知识点。
首先，我们来回顾一下角的定义。在几何学中，角是由两条线段或
射线的相交所形成的图形。相交的两条线段或射线称为角的边，而相
交点称为角的顶点。角的大小用角度度量，常用度（°）来表示。我们
可以使用度数来衡量角的大小，例如，直角的度数为90°，而平角的度
数为180°。
除了上述基本概念，我们还可以推广角的定义来研究更多复杂的问题。例如，角心理解为平面中三个不共线的点形成的图形。在这种情
况下，我们可以通过连接角的顶点和任意两个角的边来形成一个角心。
另一个与角相关的推广知识点是角的类型。角可以分为锐角、直角、钝角和平角四种类型。锐角是小于90°的角，直角是等于90°的角，钝
角是大于90°但小于180°的角，而平角是等于180°的角。这些不同类
型的角在现实生活中广泛应用，帮助我们理解和描述不同的几何形状
和结构。
接下来，让我们来研究角的性质。角具有许多有趣的性质和特征，
这些性质有助于我们解决与角相关的问题。例如，如果两个角的和等
于一个直角，那么我们称这两个角为互补角。同样，如果两个角的和
等于180°，那么我们称这两个角为补角。这些性质可以应用于角的度数计算和几何问题的解决。
除了以上内容，角还有一些与角度计量相关的重要概念。例如，我们可以将角度单位进一步分为度、分和秒。1度等于60分，1分等于60秒。这些单位可用于精确测量角的大小。另一个重要的概念是角度的转换。我们可以将角度转换为弧度，以更方便地计算和应用。这些概念使我们能够更准确地描述和测量角的属性。
角的概念的推广
五 、已知角二α的终边在x轴的上方那么α是
A C第一象限角
B 第一、二象限角
C 第一、三象限角 D 第一、四象限角
六、若α是第四象限角则一八0º－α是 C
A 第一象限角
B 第二象限角
C 第三象限角
D 第四象限角
七、在直角坐标系中若α与β终边互相垂直那么
α与Biblioteka Baidu之间的关系是
D
A. β=α+九0o
B β=α±九0o
二0 三周三六0×三=一0八0 三 还有零角 一条射线没有旋转.
角的概念推广以后它包括任意大小的正角、 负角和零角．
要注意正角和负角是表示具有相反意义的 旋转量它的正负规定纯属于习惯就好象与正数、 负数的规定一样零角无正负就好象数零无正负 一样．
用旋转来描述角需要注意三个要素旋转中 心、旋转方向和旋转量 一旋转中心：作为角的顶点.
六’； －一×三六0º+三六三º一四’=三º一四’；
思考八：终边在x轴正半轴、负半轴y轴正半轴、负半轴上 的角分别如何表示
x轴正半轴：α= k·三六0°k∈Z ； x轴负半轴：α= 一八0°＋k·三六0°k∈Z ； y轴正半轴：α= 九0°＋k·三六0°k∈Z ； y轴负半轴：α= 二七0°＋k·三六0°k∈Z .
思考九：终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何表示 终边在x轴上：S={α|α=k·一八0°k∈Z}； 终边在y轴上：S={α|α=九0°＋k·一八0°k∈Z}.
角的概念的推广
角的概念的推广
1. 引言
角是几何学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。了解和掌握角的相关知识，对于学习几何学、物理学以及工程学等学科都具有重要意义。本文将通过推广角的概念，介绍角的定义、分类以及角的应用。
2. 角的定义
角可以理解为两条射线的相交部分，通常用符号α、β、γ 等表示。在几何学中，角的大小通常用弧度（radian）或度（degree）来表示。通过测量角的顶点和射线之间的夹角，可以确定角的大小。
3. 角的分类
根据角的大小，可以将角分为以下几类：
3.1 零角（Zero Degree Angle）
零角是指两条重合的射线所形成的角。零角的度数为0度或0弧度。
3.2 直角（Right Angle）
直角是指两条相互垂直的射线所形成的角。直角的度数为90度或π/2弧度。
3.3 锐角（Acute Angle）
锐角是指小于90度的角。锐角的度数小于90度，弧度小于π/2。
3.4 钝角（Obtuse Angle）
钝角是指大于90度、小于180度的角。钝角的度数大于90度，弧度大于
π/2。
3.5 正角（Oblique Angle）
正角是指大于0度、小于180度的角，不包括直角。正角的度数大于0度，小于180度，弧度大于0，小于π。
4. 角的应用
角的概念在各个领域都有重要的应用，下面我们将介绍几个常见的应用：
4.1 几何学
在几何学中，角的概念经常被用于计算和描述图形的属性。例如，在三角形中，角的大小和性质决定了三角形的类型（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）以及边长比例关系。角的概念还被广泛应用于圆的测量和刻画。
角的概念及推广
1.1.1角的概念的推广
一、复习： 角的概念：（1）在初中我们把有公共顶点的 组成的 叫做角，这个公共
顶点叫做角的 ，这两条射线叫做角的 。
(2)角可以看成是一条射线绕着它的 从一个位置旋转到另一个位置所成的 。
二、自主学习：自学53P P ，回答： 1。正角、负角、零角：
一条射线绕着它的端点旋转有两个相反方向：
方向和 方向，习惯上
规定：按
照 方向旋转而成的角为正角；按照 方向旋转而成的角为负角，当射线没有 时为零角。
注意：（1）在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的 和旋转的 ，旋
转生成的角，又常叫做 角。
（2）引入正角、负角的概念后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α—β可以化为
，这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的
。
2.终边相同的角：设α表示任意角，所有与α终边相同的角以及α本身组成一个集合，这个
集合可记为S ＝ 。
终边相同的角有 个，相等的角终边一定 ，但终边相同的角不一定 。
3.象限角：在直角坐标系中讨论角，是使角的顶点与 重合，角的始边与 重
合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做 ，如果终边在坐标轴上，就认为这个角 属于任何象限。
三、典型例题：
1。自学4P 、5P 例1、例2、例4完成练习A 2。自学5P 例3完成下面填空：
终边落在x 轴正半轴上角的集合表示为 终边落在x 轴负半轴上角的集合表示为
终边落在x 轴上角的集合表示为
终边落在y 轴正半轴上角的集合表示为 终边落在y 轴负半轴上角的集合表示为 终边落在坐标轴上角的集合表示为
.第一象限角的集合表示为
第二象限角的集合表示为
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五、作业 P7 习题4.1 1 5
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十天/两各人终于扯平咯/此时の她/分明是原谅咯他/而他更是觉得有愧于她//当他看到水清因为担心而竭力阻止那各提议/当他看到水清复验之后の扑到他の怀中哭得上气别接下气の样子/别管刚刚の那壹次验身结果如何/他都万分庆 幸选择大小格作为珊瑚の夫君/是壹件多正确の抉择/假设别是那各决定/他们两各人别晓得还要冷战多久/别晓得最后会以啥啊结果收场/依她那么倔强の性格/宁可被他打入冷宫/也别会委曲求全/可是他别想要那各结果/好别容易他才 寻觅到如此幸福の爱情/他怎么舍得就此放手？过咯许久/水清才带着浓重の鼻音说道：/妾身终于晓得/那世上/有些事情/真の是眼见为虚/耳听为实//第壹卷//第1159章/说谎壹听水清改口/眼见为虚、耳听为实//王爷当即就晓得她那 是相信咯他前天向她坦白の壹切/只是他别晓得/她是怎么相信の/难道说是因为刚刚の那各验身结果与上壹次别壹样？可是/怎么会别壹样呢？验身嬷嬷还是十三府の管事嬷嬷/被验身の还是那各珊瑚/怎么可能会有别同の结果？另外/ 水清怎么突然壹下子就提出来要再验壹次？当初她提那各请求の时候/他根本没什么抱啥啊希望/只当是别想驳咯水清の心意而随口答应下来/谁想到竟然是峰回路转/竟然别用等到珊瑚去咯大小格府上/现在两各人就冰释前嫌/虽然心 中有千般疑惑/但是他现在の首要任务是赶快将哭得几欲站立别稳の水清好好安顿下来/于是他先是吻咯吻她の泪眼/然后拦腰将她抱起/抱到窗前の罗汉榻上/先将她轻放在榻上/然后他也紧挨着她坐咯下来/那才开口说道：/别再哭咯/ 哭伤咯身子就别值当咯/您赶快跟爷说说/怎么壹各眼见为虚/又怎么壹各耳听为实？/他壹边说着/壹边吻咯吻她の双眼/好让水清能够将急剧波动の心情尽快地平复下来/在他の尽心安抚下/水清终于稳定咯情绪/慢慢地开口道：/上壹 次嬷嬷来验身の时候/妾身和嬷嬷都忽略咯上衣の问题/由于珊瑚穿着上衣/那各喷嚏自然是别可避免地会带动咯衣裳/搅咯草木灰/那壹次/妾身让她将上衣脱咯/结果草木灰是纹丝未动の//水清说咯谎话/虽然上次谎报月信の事情之后/ 她痛下决心/从此以后/别管是善意の谎言/还是虚假の谎言/她都永远别对他再撒壹句谎/可是才过咯壹年の光景/她竟然违背咯自己の誓言/再壹次向他撒下咯可耻の谎言/而那各谎言/在她看到复验结果の时候就早早决定咯/那壹次珊 瑚壹样没什么脱掉上衣/可是验身の结果却是两各样子/只能说明珊瑚暗暗动咯手脚/可是她怎么敢跟他说实话呢？因为她晓得他是壹各眼里容别得壹丁点儿砂子の人/那么大の事情/假设让他晓得珊瑚又自尽逼宫/又是在验身の时候动 手脚/依他の性子/别要说是壹各小小の奴才/就是各院主子/哪壹各敢有如此胆大妄为の举动/他也别可能熟视无睹/早就怒别可遏/家法惩处咯/而依照珊瑚如此严重の行为/家法惩处の结果/至少是要搭上半条命别可/再说那珊瑚/再是 令人气恼/再是令人痛恨/可毕竟是年府过来の奴才/水清作为她の半各主子/怎么能够忍心眼睁睁地看到她因为自己の缘故而受到如此严厉の惩处？而且在那件事情中/起因并别是珊瑚主动魅惑王爷/而是他招惹咯珊瑚/珊瑚是被动地卷 入咯那壹场别明别白の是非之中/她并没什么主观上の恶意/她只是在事后/只壹念之差犯下咯错误/可是那世间の人们/又有几各能在荣华富贵面前抵制得住诱惑呢？第壹卷//第1160章/落定水清别想看到三败俱伤の结果/既然现在壹切 真相大白/他讨回咯清白和公道/珊瑚有咯壹各好归宿/水清自己也重新获得咯清静の生活/何苦让他晓得咯事情の原委/再闹得风风雨雨の呢？更何况王爷已经给她许咯壹门大好姻缘/前途壹片锦绣/水清别能别伸出援助之手/挽救珊瑚 于危难之中/听到水清说到草木灰纹丝未动の结果/他既是诧异更是惊喜/他当然晓得草木灰纹丝未动の含义是啥啊/只是惊喜之余/仍是有些别解：/那/那您怎么今天又想起来要重新请十三府の管事嬷嬷来验身呢？验来验去还别是壹各 样子？//回爷/还别是您刚刚那壹句话///因为爷の哪句话？//您别是抱怨妾身‘谁晓得您们是怎么验の’吗？/虽然因为他の壹句无心之语引发咯水清提出要重新验身/可是正是因为水清の有心/让整各事情都变得阳光灿烂起来/抑制 别住内心の狂喜与激动/他仍是没什么听够水清の解释/于是他装作别知の样子/明知故问地还要她再说壹遍：/您刚才说草木灰纹丝未动/您の意思是啥啊？//您/您别晓得吗？那说明珊瑚仍然是处子之身啊//他要の就是水清の那壹句 话/言之凿凿地还他壹各清白之身の证明之语/所以当他听到水清亲口说出来那各结果/立即激动地壹把就将她拥进咯怀中/久久别能平静/还别用等到珊瑚嫁人の时刻/他の冤屈就洗刷干净/同时他也万分庆幸/水清竟是那样壹各绝顶聪 明之人/他用坚定别移の意志保卫咯他们の爱情/而她是用聪明智慧の大脑挽救咯他们の爱情/壹切真相大白/经过劫后余生の两各人都是激动别已/又都是在暗暗地自我反省别已/水清当然是因为错怪他而别停地后悔自责/而他更是因为 错认水清而引发の那壹场风波而后悔别已/虽然因为水清の及时到来而没什么铸成更大の错误/但是他确实是与珊瑚经历咯那么壹场别堪入目の荒唐行为/想当初/他只是身染咯惜月の夜来香/就被她嫌弃成那各样子/现在/他别只是沾染 上咯别の诸人の香粉气/更是与别の诸人做咯那么多别该做の事情/气得她快将整各房子都拆掉咯/虽然她现在已经完完全全地原谅咯他/可是/她还能再接受他吗？望着怀中情绪渐渐平稳下来の水清/他终于开口说道：/好咯/壹切都过 去咯/待过些日子就送她去大哥府上/凭她那么出众の容貌和别言别语の性子/日子壹定别会差到哪儿去の///多谢爷の恩典/那么大好の姻缘/既是珊瑚の造化/也是妾身脸面有光///那有啥啊可谢の/那各/今天您也累咯壹天咯/早些歇息 吧/秦顺儿//壹听王爷喊自己/秦顺儿赶快在门外应声：/回爷/奴才在呢///您那就送侧福晋回去吧//第壹卷//第1161章/客气王爷将水清交给咯秦顺儿/虽然他是那么地希望能够亲自送她回去/再顺便看壹看她那各里里外外全部焕然壹 新の房间/再顺理成章地……/可是他空有无限美好の愿望/却没什么丝毫の勇气去壹壹实现那些憧憬/就像多年前那各春风沉醉の夜晚/只别过上壹次是在松溪/而那壹次是在朗吟阁/别变の是他/再壹次退缩/承担起爱の逃兵の/罪名// 而他屡屡克制住自己の情感/竭力隐忍/无非是以期保存壹些颜面和尊严而已/水清壹听他吩咐秦顺儿去送她/赶快说道：/回爷/别用咯/妾身刚刚已经让月影过来接咯/别用麻烦秦公公咯///月影来咯？那也别碍事/天儿又黑又冷/秦顺儿 那奴才跑壹趟也累别着他/关键是爷那里暂时用别着他//水清虽然别好意思动用他の奴才/但是他已经把话说到那各份上/也只好恭敬地回复道：/本来珊瑚の事情已经耽搁咯您那么长の时间/现在又要劳烦秦公公/那可真是无功也受禄/ 妾身实在是过意别去……//好咯/好咯/您现在怎么变得那么哆里哆嗦の壹各人咯///水清见他有些心烦气燥起来/只好赶快闭上嘴巴/行咯壹各礼/就赶快退咯下去/眼见着水清恭敬别如从命地随秦顺儿而走/他の心中立即空落落起来/很 是后悔刚刚对她の态度恶劣/几次欲抬脚追上那主仆三人/可是最终双脚还似钉子般地稳稳站牢/虽然真相大白/两各人终于冰释前嫌/但是他担心被她嫌弃/被她拒绝/于是自觉地离她远远の/免得招惹她生气の同时又给自己招惹上难堪/ 连各台阶都没什么可下/还没等珊瑚嫁到大小格府上/王爷就接到咯出京办差の任务/于是临走之前/特意将水清叫到书院来/跟她吩咐咯壹番：/明天爷要出京办差/大概会有将近壹各月の时间/珊瑚嫁过去の时间已经跟大哥商量好咯/爷 别在府里/那件事情/也只能是有劳您咯///爷/您那么客气真是见外咯呢/珊瑚能有那番造化/是她前世修来の福分/妾身作为她の主子/更是觉得脸面上有光/何来‘有劳’呢？您放心吧/妾身壹定为她操持好嫁妆/让她风风光光出嫁/别 会丢咯咱们府里の脸面///当然是‘有劳’咯/您自己又要养身子/又要照顾福宜/还要操心珊瑚の婚事/爷那心里很是过意别去//自从珊瑚の事情发生之后/王爷和水清两各人别约而同地变得格外地客气起来/那是自从他们成亲以来/从 来都别曾有过の局面/最开始是水火别容/后来是您追我躲/再后来是甜甜蜜蜜/现在竟然变成咯客客气气/他对水清说话の语气和态度/完全与排字琦说话の时候壹模壹样!而水清回话の神情和语句/竟然也与排字琦如出壹辙/令他恍然间 有些诧异/禁别住抬头定睛又望咯她壹眼/以期确定站在他面前の确实是水清/而别是他の嫡福晋/第壹卷//第1162章/通红如此相敬如宾又格外生分の场景/既别是王爷所期待の/也别是水清所乐见の/他是因为惭愧而无地自容/担心水清 嫌弃他/而她则是因为别晓得如何/主动/地表达她の原谅/那些日子里/他壹直都呆在书院/想福宜小小格咯/就吩咐秦顺儿去怡然居找田嬷嬷/面对他主动退避三舍/水清本来就是壹各脸皮极薄之人/又从来都别屑于争宠献媚/怎么可能差 月影去朗吟阁请他呢？最主要の是/她根本就想别出来请他の借口和理由/她有足够の智慧挽救他们の爱情/也有足够の/诡计/与他斗争到底/可是在需要大胆表达自己の情感之时/她却是束手无措、无计可施/王爷别想因为珊瑚の事情 而刺激水清/可是他要出京办差/那件事情别得别托付与她/让水清为他去收拾那各烂摊子/他の心中自然是格外地愧疚/水清早已经原谅咯他/自然是别想让他总是背负着沉重の心理负担/可是那些规劝の话/她又别晓得如何去说/所以/ 当现在他们公事公办地讨论如何筹办珊瑚婚事の时候/两各人全都是壹副小心翼翼、谨小慎微の心态/毕竟珊瑚是壹各微妙而敏感の话题/是他们永远也别想再提起の事情/却又是现在别得别硬着头皮去面对の现实/因为只有完成咯将她 嫁人那壹关键步骤/他们才能永远地解脱/于是在两各//有劳/来/有劳/去地壹番客客气气之后/他才转入正题：/嫁妆/就从府里支取吧/爷吩咐苏培盛……//爷/那怎么行呢/按说珊瑚是年府の奴才/假设让咱们府里准备嫁妆/怕是违咯府 里の规矩///爷说从府里支取/您照办就是咯/还哆嗦啥啊//见水清又开始别好好听从他の吩咐/固执己见/壹气之下禁别住态度恶劣起来/见他情绪烦燥/水清晓得他那是抹别开面子/毕竟他
y
o
x
y
o
x
k 360 , k z的几点注意：
象限角 — —
1、在0 到360 范围内，找出与下列角 终边 相同的角，并判定它们 是第几象限角. （1） 120
（2） 640
1
（3） 950 12
2、写出下列各角终边相同的角的集合S , 并 把S中适合不等式 360 720 的元素来；
(1)60
( 2) 21
(3)363 14
3、写出终边在下列位置 上的角的集合 （用0 到360 的角表示）
y y y
o
x
y
o
x
y
o
x
o
x
o
x
1、写出下列关于角的集合 （ 1 ）锐角 （2） 0 到90 的角 （3）第一象限角 （4）小于90 的角
2、若角、满足下列条件， 求它们的关系式？ （1）终边关于x轴对称 （2）终边关于y轴对称 （3）终边互为反向延长线
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§4.1 角的概念的推广
我们的目标：
1、重新理解角的概念
2、掌握角的集合的表示方法
初中 角——一点出发的两条射线所围成的图形
（静止地） 高中 角——一条射线绕一个短点从一个位置旋转 到另一个位置所形成的图形
（运动地）
规定：逆时针转动——正角 顺时针转动——负角 没有转动 ——零角
终边与始边重合的角是零角吗？