同方向的简谐振动的合成
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谐振动分析(三)两个同方向同频率简谐运动的合成
o
o
A1
A2
A
T
t
A A1 A2
x (A A )cos(t )
1
2
2 1 2k π
3
物理学
第五版
谐运动分析(三)
（2）相位差 (2k 1) π(k 0，1, )
2
1
x
x
A1
2 o
o
Tt
A
A2
A A1 A2
x (A2 A1)cos(t )
2
1
(2k
1)π
4
物理学
第五版
小结
（1）相位差
2
1
2k
π
A A1 A2
谐运动分析(三)
(k 0，1， ) 加强
（2）相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0，1， )
A A A
1
2
减弱
（3）一般情况
A1 A2 A A1 A2
5
物理学
第五版
谐运动分析(三)
二 两个相互垂直的同频率的简谐
运动的合成 x A1 cos(t 1)
x 阻尼振动位移时间曲线
A
Ae t
Aet cost
O
T A
t
( 0)
21
物理学
第五版
三种阻尼的比较
谐运动分析(三)
(a)欠阻尼
2 0
2
(b)过阻尼
2 0
2
(c)临界阻尼
2 0
2
x
b
oc
t
a
22
物理学
第五版
谐运动分析(三)
例 有一单摆在空气（室温为 20C）中来 回摆动. 摆线长l 1.0 m，摆锤是半径r 5.0103 m 的铅球.求（1）摆动周期；（2）振幅减小 10％所需的时间；（3）能量减小10％所需 的时间；（4）从以上所得结果说明空气的 粘性对单摆周期、振幅和能量的影响.
简谐运动的合成
x = ( 2 A1 cos 2 π
ν 2 −ν 1
2
t ) cos 2 π
ν 2 +ν1
2
t
振幅部分 振动频率 ν = (ν 1 + ν 2 ) 2 振幅 A = 2 A1 cos 2 π
合振动频率
ν 2 −ν 1
2
振 动
Amax = 2A1
t
Amin = 0
15
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
y
ϕ （1） 2 −ϕ1 = 0或 2 π ） A2 y= x A1
A2
A1
o
x
ϕ （2） 2 − ϕ1 = π ） A2 y=− x A1
第九章 振 动
y
A2
A1
o
x
7
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x 2 y 2 2 xy 讨 + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 论 A12 A2 A1 A2
A
ϕ1
ϕ
A 1
O
x2
x1
xx
两个同方向同频率简谐运动合成后仍 两个同方向同频率简谐运动合成后仍 合成 频率的简谐 简谐运动 为同频率的简谐运动
第九章 振 动
2
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
（1）相位差 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2k π (k = 0，1，2,⋯ ） ± ± )
x
ϕ
A2
x
o
y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
椭圆方程） 质点运动轨迹 （椭圆方程）
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2
ν 2 −ν 1
2
t ) cos 2 π
ν 2 +ν1
2
t
振幅部分 振动频率 ν = (ν 1 + ν 2 ) 2 振幅 A = 2 A1 cos 2 π
合振动频率
ν 2 −ν 1
2
振 动
Amax = 2A1
t
Amin = 0
15
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
y
ϕ （1） 2 −ϕ1 = 0或 2 π ） A2 y= x A1
A2
A1
o
x
ϕ （2） 2 − ϕ1 = π ） A2 y=− x A1
第九章 振 动
y
A2
A1
o
x
7
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x 2 y 2 2 xy 讨 + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 论 A12 A2 A1 A2
A
ϕ1
ϕ
A 1
O
x2
x1
xx
两个同方向同频率简谐运动合成后仍 两个同方向同频率简谐运动合成后仍 合成 频率的简谐 简谐运动 为同频率的简谐运动
第九章 振 动
2
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
（1）相位差 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2k π (k = 0，1，2,⋯ ） ± ± )
x
ϕ
A2
x
o
y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
椭圆方程） 质点运动轨迹 （椭圆方程）
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2
振动之同方向的简谐振动的合成
取12个分振动，相差依 次为30度，分振动就构 成一个完整的正多边形， 合振幅为零。
{范例5.9} 同一直线上的简谐振动的合成
(3)求两个同一直线、频率相近的简谐振动的合振动。 [解析](3)设一个质点同时参与两个同一直线不同频率的简谐振 动，角频率分别为ω1和ω2，为了突出频率不同所产生的效果， 设分振动的振幅和初相位都相同，因此两个分振动方程为 x1 = Acos(ω1t + φ)，x2 = Acos(ω2t + φ) 可见：两个同方向不 同频率的简谐振动合 利用和差化积公式可得合振动为 成之后不是简谐振动， 2 1 2 1 x x1 x 2 2 A co s( t ) co s( t ) 也没有明显的周期性。 2 2 当两个分振动的频率比较大而差异比较小时：|ω2 - ω1| << ω2 + ω1，方程就表示了振幅按2Acos[(ω2 - ω1)t/2]变化 的角频率为(ω2 + ω1)/2的“近似”的简谐振动。 这种振动的振幅变化是周期性的， 相对于简谐振动来说是缓慢的。
矢量首尾相接形成多边形的 一部分，最后首尾相接的矢 量就是合振动，合振幅为A = 5.4ΔA ，初相为60度。
取10 个分 振动， 相差 依次 为30 度。
当各振 动逐级 叠加时， 合振幅 先增加 再变小。
合振幅为A = 1.9 ΔA，初相为135度。
如果分振动的相差为零，那 么，正多边形变成一条线。
两个振动的最大值重合的周期随着发生变化，调制线的周期增大。
拍频为fp = Δω/2π = 1/30Hz，拍频的周期为T p = 1/fp = 30s。
{范例5.9} 同一直线上的简谐振动的合成
(1)求任意两个同一直线同频率的简谐振动的合振动；(2)有N个 同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都是ΔA，相差都是 Δφ，第一个振动的初相为零。求N个简谐振动的振幅和初相。 (3)求两个相一直线、频率相近的简谐振动的合振动。 M ω [解析](1)如图所示，设有两个独立的同频率的简谐振动， ω 位移为x1 = A1cos(ωt + φ1)，x2 = A2cos(ωt + φ2) A2 A ω 由于两个振动在同一直线上，因此合振动为 φ2 φφ1 A1 P x = x1 + x2 = A1cos(ωt + φ1) + A2cos(ωt + φ2) x Ox x = (A cosφ + A cosφ )cosωt
同方向的简谐振动的合成
合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化， 合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振 动出现时强时弱的拍现象 拍现象。 动出现时强时弱的拍现象。 拍频:单位时间内强弱变化的次数。 拍频:单位时间内强弱变化的次数。 ω2 − ω1 γ= = γ 2 − γ1 2π
同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍
同方向同频率的两个简谐振动的合成
C
r A
O
r a1
r r a3 α a2
α
r a4 α
rα a5
M
X
因各个振动的振幅相同且相差依次恒为 α ，上图 为圆心的圆周上， 中各个矢量的起点和终点都在以 C为圆心的圆周上， 为圆心的圆周上 根据简单的几何关系， 根据简单的几何关系，可得
∠OCM = Nα
同方向同频率的两个简谐振动的合成
x1
t
x2
t
x
t
同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍
反相迭加，合振幅最小。 反相迭加，合振幅最小 当A1=A2 时，A=0。 。 (3)通常情况下，合振幅介于 通常情况下， 通常情况下 和 之间。 之间。
同方向同频率的两个简谐振动的合成
个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等， 例15-4 N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等， 15初相分别为0, , 2a, 依次差一个恒量a， 初相分别为0, a, 2 , ..., 依次差一个恒量 ，振动表达式可 写成
求它们的合振动的振幅和初相。 求它们的合振动的振幅和初相。
采用旋转矢量法可使问题得到简化， 解:采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开 烦琐的三角函数运算。 烦琐的三角函数运算。 根据矢量合成法则， 个简谐振动对应的旋转矢 根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢 量的合成如下图所示： 量的合成如下图所示：
同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍
同方向同频率的两个简谐振动的合成
C
r A
O
r a1
r r a3 α a2
α
r a4 α
rα a5
M
X
因各个振动的振幅相同且相差依次恒为 α ，上图 为圆心的圆周上， 中各个矢量的起点和终点都在以 C为圆心的圆周上， 为圆心的圆周上 根据简单的几何关系， 根据简单的几何关系，可得
∠OCM = Nα
同方向同频率的两个简谐振动的合成
x1
t
x2
t
x
t
同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍
反相迭加，合振幅最小。 反相迭加，合振幅最小 当A1=A2 时，A=0。 。 (3)通常情况下，合振幅介于 通常情况下， 通常情况下 和 之间。 之间。
同方向同频率的两个简谐振动的合成
个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等， 例15-4 N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等， 15初相分别为0, , 2a, 依次差一个恒量a， 初相分别为0, a, 2 , ..., 依次差一个恒量 ，振动表达式可 写成
求它们的合振动的振幅和初相。 求它们的合振动的振幅和初相。
采用旋转矢量法可使问题得到简化， 解:采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开 烦琐的三角函数运算。 烦琐的三角函数运算。 根据矢量合成法则， 个简谐振动对应的旋转矢 根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢 量的合成如下图所示： 量的合成如下图所示：
简谐振动的合成
x1 (t ) = a cosωt x2 (t ) = a cos(ωt + δ ) x3 (t ) = a cos(ωt + 2δ )
C
Nδ
R
A
aN
⋮ x N ( t ) = a cos[ ω t + ( N − 1)δ ]
O
δ
a3
a1 P
在∆COM中：A = 2 R sin( N δ / 2 ) 中 上两式相除得： 上两式相除得： 在∆OCP中： a = 2R sin(δ / 2) 中
2
A2 y= x 为直线方程 A1
利用旋转矢量合成
∆ϕ = 0
2 1
y
8 7 6
4 4
y
1 2
3
3 7 6
4Байду номын сангаас
8
x
5
5 3
2 1
播 放 动 画
16
5 6 7
x
8
2. |ϕ 2
− ϕ1 | π =
2 2
反相位
y
x y 2xy =0 + + A1 A2 A1 A2
3
利用旋转矢量法求合振动也可得到相同的结果。 •利用旋转矢量法求合振动也可得到相同的结果。 取质点振动的平衡位置O为 取质点振动的平衡位置 为 坐标原点，振动方向沿OX轴。A 坐标原点，振动方向沿 轴 2 点作两个长度分别为A 从O点作两个长度分别为 1、 点作两个长度分别为 ϕ2 ϕ A2的矢量 A1 , A2 ，它们在 它们在t=0时 时 与X轴的夹角分别为ϕ1、ϕ2。 轴的夹角分别为ϕ 轴的夹角分别为
x1 = 4 cos 3t ,
= A cos(3t + ϕ )
二、同方向不同频率两个简谐振动的合成剖析
2 A cos 2 1
2
t
cos 1 2 t 2
位
移x
合振动 分振动1
振幅周期性变化
分振动2
2 21
oLeabharlann TT23T
2T
2
t
为一复杂振动
着重研究1
,
相近情况
2
——拍现象（Beat)
即 1- 2 << 1 or 2
x 2Acos 2 1 t cos 1 2 t
声音强弱的变化快 6秒中变化了6次，有6 拍
声音强弱的变化慢6秒中变化了3次，有3 拍
x 2Acos 2 1 t cos 1 2 t
2 2
x x x1 x2 x1 x2 o
| 振幅2变化缓慢1 |
2
一个强弱变化所需的时间
A A12 A22 2A1 A2 A1 A2
(2)两个振动反相
x
20 10 (2k 1) , k o,1,2,...
由A A12 A22 2A1 A2 cos(20 10 )
o
A A12 A22 2A1 A2 A1 A2
2010
x20
0
x10
AM
A1
x0
t o .P x
同方向同频率两个简谐振动的合成仍为简谐振动。
讨论两个特例
x
(1)两个振动同相
20 10 2k , k 0,1,2,...
由 A A12 A22 2A1 A2 cos(20 10 ) o
2 2
振幅随时间的变化非常缓慢
x
第二节 两个简谐振动的合成
A12 A22 2A1A2 cos(02 01)
A A12 A22 2A1A2 cos
[注：cos( ) cos cos sin sin ]
A值的讨论，有三种情况：
(1) 2k
cos 1
A A1 A2
A值最大
(2) (2k 1) cos 1
A A1 A2 (3) 为其它值
波器显示屏上出现合成结果的图形，见右图。求x ?
解：
x y
m n
Y方向切点数 X方向切点数
x 3 x y 2 1000
x 1500 Hz
本节小结
同方向
1
2
简谐振动 A A12 A22 2A1A2 cos
同方向 1 2 拍 2 1
垂直方向
x m y n
李萨如图
x y
两个简谐振动的步调比较
同相：若两个简谐振动的频率相同、初相位相同，则两个简谐 振动的位移同时达到最大和最小。
x
1
2
t3
t1
t2
t4
t
0 ,同相
反相：若两个简谐振动的频率相同、初相位相差π，则一个振
动到达最大位移处时，另一个振动到达反向最大位移处。
1
x
t1
t2
t3
t4
t
2
,反相
超前与落后：若两个简谐振动的频率相同，初相位之差为
Y2 B2
1
X 0 t1 0 Y B
t2
2
X A Y 0
X 0 t3 Y B
t4
3 2
X A Y 0
t4 t3
t2
t1 Y超前π/2
右旋振动
t1 t2
t3
t4 Y落后π/2
振动合成(1)
简谐振动合成 §6-5 简谐振动合成 一、两个同方向、同频率谐振动的合成 两个同方向、
x1 = A cos(ωt +ϕ1) 1 x2 = A cos(ωt +ϕ2 ) 2
vv AA 2 2
v Av A
ω
X
x = x1 + x2 r A： 大小不变
ϕ2 ϕ
O
v A v 1 A 1
ϕ1
以角速度ω绕 点旋转 以角速度 绕O点旋转
O
A 1
X
(2) ϕ2 −ϕ1 = (2k +1)π k = 0，1 ± 2L（反相） ±， 反相） r ω A2 A = A − A2 1
合振幅最小 振动减弱！ 振动减弱！
O
r 若A1=A2 ，则A=0，质点静止。 A ，质点静止。 1
X
例1、两个同方向、同频率的简谐振动合成后， 、两个同方向、同频率的简谐振动合成后， 合振动的振幅为20cm,相位与第一振动的相位 合振动的振幅为 相位与第一振动的相位 之差为π ， 之差为π/6，若第一振动的振幅为 10 3cm ， 试求第二振动的振幅及第一第二振动的相位差。 试求第二振动的振幅及第一第二振动的相位差。 解：
离开原点位移： 离开原点位移：
2 1 2 2
A 1
S = A + A cos(ωt + ϕ )
A1
X
ϕ = ϕ1 = ϕ2 合振动是谐振动
(2) ϕ2 −ϕ1 = π
A2 y =− x A 1
2 2
A2 Y A1 X
类似,合振动是谐振动 与(1)类似 合振动是谐振动 类似
(3) ϕ2 −ϕ1 =
π
A2 = A + A − 2A Acosϕ 1
x1 = A cos(ωt +ϕ1) 1 x2 = A cos(ωt +ϕ2 ) 2
vv AA 2 2
v Av A
ω
X
x = x1 + x2 r A： 大小不变
ϕ2 ϕ
O
v A v 1 A 1
ϕ1
以角速度ω绕 点旋转 以角速度 绕O点旋转
O
A 1
X
(2) ϕ2 −ϕ1 = (2k +1)π k = 0，1 ± 2L（反相） ±， 反相） r ω A2 A = A − A2 1
合振幅最小 振动减弱！ 振动减弱！
O
r 若A1=A2 ，则A=0，质点静止。 A ，质点静止。 1
X
例1、两个同方向、同频率的简谐振动合成后， 、两个同方向、同频率的简谐振动合成后， 合振动的振幅为20cm,相位与第一振动的相位 合振动的振幅为 相位与第一振动的相位 之差为π ， 之差为π/6，若第一振动的振幅为 10 3cm ， 试求第二振动的振幅及第一第二振动的相位差。 试求第二振动的振幅及第一第二振动的相位差。 解：
离开原点位移： 离开原点位移：
2 1 2 2
A 1
S = A + A cos(ωt + ϕ )
A1
X
ϕ = ϕ1 = ϕ2 合振动是谐振动
(2) ϕ2 −ϕ1 = π
A2 y =− x A 1
2 2
A2 Y A1 X
类似,合振动是谐振动 与(1)类似 合振动是谐振动 类似
(3) ϕ2 −ϕ1 =
π
A2 = A + A − 2A Acosϕ 1
同方向、不同频率的简谐振动的合成
合振幅 Acos cost Asin sin t
的仍 简然 谐是 振同 动频 。率
Acos(t )
3
式中：
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
arctg A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2
可见：
2 1 2k
k 0,1,2,
A A1 A2
2Acos (2 1）t cos[ (2 1)t ]
2
2
当1与2 都很大，且相差甚微时，可将
| 2Acos(2 1)t / 2 | 视为振幅变化部分，
合成振动是以 (2 1) / 2 为角频率的谐振动。
其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定， 即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动.
这种合振动忽强忽弱的现象称为拍。 10
arctg A1 sin 1 A2 sin 2
讨论一：
A1 cos1 A2 cos2
2 1 2k k 0,1,2,
A A1 A2 合振幅最大。
当 A1 A2 称为干涉相长。
A A2
A 2A1
A1
6
讨论二：
2 1 (2k 1)
k 0,1,2,
A2
A | A1 A2 |
A
1动、的2相位1 差0在视缓为慢同地频变率化的，合所成以，质不点过运两动个的振轨
道将不断地从下图所示图形依次的循环变化。
当 0 2 1 时是顺时针转；
sin(
20
10 )
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos
sin2
上式是个椭圆方程，具体形状由
(20 10) 相位差决定。
质点的运动方向与 有关。当 0 时，
的仍 简然 谐是 振同 动频 。率
Acos(t )
3
式中：
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
arctg A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2
可见：
2 1 2k
k 0,1,2,
A A1 A2
2Acos (2 1）t cos[ (2 1)t ]
2
2
当1与2 都很大，且相差甚微时，可将
| 2Acos(2 1)t / 2 | 视为振幅变化部分，
合成振动是以 (2 1) / 2 为角频率的谐振动。
其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定， 即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动.
这种合振动忽强忽弱的现象称为拍。 10
arctg A1 sin 1 A2 sin 2
讨论一：
A1 cos1 A2 cos2
2 1 2k k 0,1,2,
A A1 A2 合振幅最大。
当 A1 A2 称为干涉相长。
A A2
A 2A1
A1
6
讨论二：
2 1 (2k 1)
k 0,1,2,
A2
A | A1 A2 |
A
1动、的2相位1 差0在视缓为慢同地频变率化的，合所成以，质不点过运两动个的振轨
道将不断地从下图所示图形依次的循环变化。
当 0 2 1 时是顺时针转；
sin(
20
10 )
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos
sin2
上式是个椭圆方程，具体形状由
(20 10) 相位差决定。
质点的运动方向与 有关。当 0 时，
简谐振动的合成
(A1 sin1 A2 sin2 )sint
合振幅
令： A1 cos1 A2 cos2 Acos 代入上式：
A1 sin1 A2 sin2 Asin
2
x ( A1 cos1 A2 cos2)cost (A1 sin1 A2 sin2 )sint
Acos cost Asin sint Acos(t ) x Acos(t )
x1(t) a cost
M aN
x2 (t) a cos(t ) x3(t) a cos(t 2 )
C
R N
A
a3
xN (t) a cos[t (N 1) ]O a1 P
在COM中：A 2R sin(N / 2)
上两式相除得：
在OCP中： a 2Rsin( / 2)
7
A a sin(N / 2) sin / 2
若 A1 A2, A 2A1
2.当 2 1 （2k 1） (k 0,1,2, ) 时,
A
A12
A
2 2
2 A1
A2
cos(
2
1
)
| A1 A2 | 合振动振幅最小。
若 A1 A2, A 0
A2
3.一般情况 | A1 A2 | A | A1 A2 |
5
A A2 A1
A2 A A1 A A1
第二节
简谐振动的合成
1
一、同方向同频率简谐振动的合成
在同一直线上同频率的两个简谐振
动分别为：
x1 A1 cos(t 1),
x2 A2 cos( t 2 )
• 代数方法： 振动合成
x x1 x2 A1 cos(t 1) A2 cos(t 2 )
(A1 cos1 A2 cos2) cost
5.5 简谐振动的合成
三.相互垂直的简谐振动的合成——简介 1.轨迹 2.轨迹图解 3.不同频率、相位差关系时的轨迹——李萨如图形
萨在 如电 图子 测技 定术 未中 知常 频用 率李
例 （P151：例5-6）两同向、同频谐振动合成，合振动A=0.2m，
与1振动相位差π/6，1振动A1= 3 101m
求：用振幅矢量法求2振动的A2及
A
A12 A22 2A1A2 cos(20 10 )
相位差： (t 20 ) (t 10 ) 20 10
(1) 当 2k (k 0,1,2,)时 A A1 A2 Amax振动加强
(2) 当 (2k 1) (k 0,1,2,)时 A A1 A2 Amin振动减弱
(3) 当 其他值时
x1 A1 cos(t 10 ) x2 A2 cos(t 20 )
A2
(1)用解析法可证
x x1 x2 Acos(t 0 )
(2)用两旋谐转振矢表量示法旋证A1 谐振x1 O
20 10 0
A1
x2
x1
x
x
旋A2 谐振x2
合矢量 A ——可表示同频谐振动 x Acos(t 0 )
3
PQ A2 sin 3 A3 sin 3
3 2
(
A2
A3
)
OP A1 A2 cos 3 A3 cos 3
A1
1 2
( A2
A3 )
可得
§5.5 简谐振动的合成——习题
P163: 5-11；5-12；5-14
完
√ 需证 x x1 x2
A A12 A22 2A1A2 cos(20 10 )
其中：
0
arctan
A1 sin 10 A1 cos10
萨在 如电 图子 测技 定术 未中 知常 频用 率李
例 （P151：例5-6）两同向、同频谐振动合成，合振动A=0.2m，
与1振动相位差π/6，1振动A1= 3 101m
求：用振幅矢量法求2振动的A2及
A
A12 A22 2A1A2 cos(20 10 )
相位差： (t 20 ) (t 10 ) 20 10
(1) 当 2k (k 0,1,2,)时 A A1 A2 Amax振动加强
(2) 当 (2k 1) (k 0,1,2,)时 A A1 A2 Amin振动减弱
(3) 当 其他值时
x1 A1 cos(t 10 ) x2 A2 cos(t 20 )
A2
(1)用解析法可证
x x1 x2 Acos(t 0 )
(2)用两旋谐转振矢表量示法旋证A1 谐振x1 O
20 10 0
A1
x2
x1
x
x
旋A2 谐振x2
合矢量 A ——可表示同频谐振动 x Acos(t 0 )
3
PQ A2 sin 3 A3 sin 3
3 2
(
A2
A3
)
OP A1 A2 cos 3 A3 cos 3
A1
1 2
( A2
A3 )
可得
§5.5 简谐振动的合成——习题
P163: 5-11；5-12；5-14
完
√ 需证 x x1 x2
A A12 A22 2A1A2 cos(20 10 )
其中：
0
arctan
A1 sin 10 A1 cos10
《大学物理》同方向的简谐振动的合成
同方向的简谐振动的合成
§10-5 同方向的简谐振动的合成
1.同方向同频率的两个简谐振动的合成
设一质点同时参与沿同一方向的两个独立的 同频率的简谐振动，两个简谐振动的频率为 ω，
振动方向为 X 轴方向，以 x1和 x2 分别代表同一
个质点的两个运动位移：
x1 A1 cos(t 10) x2 A2 cos(t 20)
解：已知 A = 20 cm
A1 = 17.3 cm A2 =[A2 +A12 -2AA1cos( - １)]1/2
= 10 cm
o
A
A2
１ A1 x
∵A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos ( 1 - 2 ) ∴ cos (1 - 2 ) = [A2 - A12 - A22] / 2A1A2
同相迭加，合振幅最大。
(2)当D 2010(2k+1) (k=0及 正负整数), cos(20-10)=0, 有
O
A1
A A1 A2 A A1 A2
A2
O
X
反相迭加，合振幅最小。 当A1=A2 时，A=0。
(3)通常情况下，合振幅介于 和
之间。
A1 A2 A1 A2
补例1两个同方向同频率的简谐振动，其合 振动的振幅为 20 cm，与第一个简谐振动的 相位差为 - １= π/6，若第一个简谐动的振 幅为 17.3 cm，试求： 1、第二个简谐振动的振幅 A2 2、第一、二两个简谐振动的相位差 1 - 2
旋转矢量图示法
矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律。
A1
10
X
O
x2
x x1
A
同方向同频率的两个简谐振动的合成
§10-5 同方向的简谐振动的合成
1.同方向同频率的两个简谐振动的合成
设一质点同时参与沿同一方向的两个独立的 同频率的简谐振动，两个简谐振动的频率为 ω，
振动方向为 X 轴方向，以 x1和 x2 分别代表同一
个质点的两个运动位移：
x1 A1 cos(t 10) x2 A2 cos(t 20)
解：已知 A = 20 cm
A1 = 17.3 cm A2 =[A2 +A12 -2AA1cos( - １)]1/2
= 10 cm
o
A
A2
１ A1 x
∵A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos ( 1 - 2 ) ∴ cos (1 - 2 ) = [A2 - A12 - A22] / 2A1A2
同相迭加，合振幅最大。
(2)当D 2010(2k+1) (k=0及 正负整数), cos(20-10)=0, 有
O
A1
A A1 A2 A A1 A2
A2
O
X
反相迭加，合振幅最小。 当A1=A2 时，A=0。
(3)通常情况下，合振幅介于 和
之间。
A1 A2 A1 A2
补例1两个同方向同频率的简谐振动，其合 振动的振幅为 20 cm，与第一个简谐振动的 相位差为 - １= π/6，若第一个简谐动的振 幅为 17.3 cm，试求： 1、第二个简谐振动的振幅 A2 2、第一、二两个简谐振动的相位差 1 - 2
旋转矢量图示法
矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律。
A1
10
X
O
x2
x x1
A
同方向同频率的两个简谐振动的合成
5-3 、 5-4 简谐振动的合成
ϕ
A2
x
O C A1
N −1 ∆ϕ ϕ = 合振动表达式 2 x ( t ) = A cos( ω t + ϕ ) sin(N∆ϕ / 2) N −1 = A0 cos(ω t + ∆ϕ ) sin(∆ϕ / 2) 2
讨论1： 讨论 ： 当 δ
= ±2kπ k = 0,1,2,L sin(N∆ϕ / 2) A = lim A0 = NA0 sin(∆ϕ / 2)
四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成
某质点同时参与两个同频率的互相垂直方向的简谐运动
x = A1 cos(ω t + ϕ 1 ) y = A2 cos(ω t + ϕ 2 )
合振动的轨迹方程为
x y 2 xy 2 cos(ϕ 2 − ϕ 1 ) = sin (ϕ 2 − ϕ 1 ) + 2− 2 A1 A2 A1 A2
'
各分振动矢量依次相接， 各分振动矢量依次相接，构 成闭合的正多边形， 成闭合的正多边形，合振动 的振幅为零。 的振幅为零。
三、同方向不同频率的简谐振动的合成
某质点同时参与两个不同频率且在同一条直线上的简谐振动
x1 = A1 cos(ω 1 t + ϕ 1 )
x 2 = A2 cos(ω 2 t + ϕ 2 )
A2 y=− x A1
y
x2 y2 2 xy + 2+ =0 2 A1 A2 A1 A2
x
合振动的轨迹是一条通过原点的直线
讨论3 讨论
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ 1 = π / 2 x2 y2 合振动的轨迹是的椭圆 合振动的轨迹是的椭圆 + 2 =1 2 A1 A2 方程， 方程，且顺时针旋转
简谐运动的合成与分解
m
(
2 0
2
)2
4
2
2
共振
A
（1）位移共振（图1）
在一定条件下，振幅出现极大值，振动 剧烈的现象。
共振
2 0
2
2
（2）速度共振（图2）
0
一定条件下，速度幅A极大的现象。
vm
共振 0
即速度共振时，速度与策动力同相，一周期内策动力
总作正功，此时向系统输入的能量最大。
0
总结：
两个同方向频率相同的简谐振动的合成仍为简谐振动。 合振幅与两振动的相位差有关，可用旋转矢量图求得。
如果两振动的频率相差较大但有简单的整数比五谐振分析和频谱在自然界和工程技术中我们所遇到的振动大多不是简谐振动而是复杂的振动处理这类问题往往把复杂振动看成由一系列不同频率的间谐振动组合而成也就是把复杂振动分解为一系列不同频率的间谐振动这样分解在数学上的依据是傅立叶
本讲主要内容： 一、同方向同频率两个简谐振动的合成 二、同方向不同频率两个简谐振动的合成 三、两个互相垂直同频率简谐振动的合成 四、两个互相垂直不同频率简谐振动的合成 五、谐振分析和频谱
A1 sin10 A2 sin20 A1 cos10 A2 cos20
2010
x20
0
x10
AM
A1
x0
t o .P x
同方向同频率两个简谐振动的合成仍为简谐振动。
讨论两个特例 x
(1)两个振动同相
20 10 2k , k 0,1,2,...
合成振动
由 A A12 A22 2A1 A2 cos(20 10 ) o
解：
A A1 A2
A2
A1 A2 A
O
2
同方向的简谐振动的合成
旋转矢量图示法
A A 2A 1
2A
02
A 1
O
1
01
2
x
x
x
X
A 矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律。
同方向同频率的两个简谐振动的合成
讨论： (1) 当 D 20102kp (k=0 及 正 负整数)，cos(20-10)=1, 有
2A
A A 2A 1
O
1A
X
同相迭加，合振幅最大。 (2) 当 D 2010(2k+1)p (k=0 及 正负整数), cos(20-10)=0, 有
2
1A
A 1A A
O
2A
X
反相迭加，合振幅最小。 当A1=A2 时，A=0。
(3)通常情况下，合振幅介于 2A 1A 和 2A 1A 之间。
两个简谐振动合成得：
x = x 1+ x 2
x 2 A cos(
2 1
2
t ) cos(
2 1
2
t 0 )
同方向不同频率的两个简谐振动的合成
拍
因1
~ 2 , 2 1 1 或 2 , 有
2 1
1 2
2 在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随时 间作缓慢变化, 第二项是角频率近于 1或 的简谐函 2 2 数。合振动可视为是角频率为 (1 2 )、振幅为 2 A cos ( 2 1 )t 2 的简谐振动。
同方向同频率的两个简谐振动的合成
例15-4 N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等， 初相分别为0, a, 2a, ..., 依次差一个恒量a，振动表达式可 写成 t soc a x
简谐振动的合成
动振幅周期变化的现象叫拍。
解：③拍现象
A (t) 不论 调 达到正的最大或负的最大，对加强振幅来说，都是等效的，
因此拍的圆频率为：
因此：
拍 20 10
调（拍）
20 10
2 20 10
2 拍
2
拍频为： 调（拍） 2 1
合成图像如下图：
x1 t
x2
t
x
t
程序演示：
MATLAB 程序：
t=[0:0.001:10]; %给出时间轴上 10s,分 10000 个点
%输入两组信号的振幅、频率以及初相
A1=input('振幅 1=');W1=input('频率 1=');a1=input('初相 1=');
A2=input('振幅 2=');W2=input('频率 2=');a2=input('初相 2=');
y1=A1*cos(W1*t+a1);
y2=A2*cos(W2*t+a2); %生成两个正弦波
此时 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) A1 A2 Amin 振动减弱
两个同方向、同频率简谐运动反相合成时，其合振动振幅最小，振幅为两个
分振动振幅之差的绝对值，初相位与振幅大的分振动的初相位相同，合成图像如
下图。
x
x2
o
x
t
x1
分析：同方向不同频率简谐振动的合成 x1 Acos10t , x2 Acos20t
A2 A1
A
x
此时 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) A1 A2 Amax 振动加强
三角函数法对同方向同频率简谐振动合成的求解
三角函数法对同方向同频率简谐振动合成的求解
同方向同频率简谐振动是指两个物体以相同的角频率且方向一致地做简谐振动。
这种振动常常出现在机械振动、波动和电磁振动等领域中。
因此，对同方向同频率简谐振动的合成求解是很重要的。
三角函数法是求解简谐振动合成问题的常用方法，它利用三角函数的性质，将振动方程表示为三角函数的形式，从而方便进行进一步的计算。
下面我们将介绍三角函数法对同方向同频率简谐振动合成的求解步骤。
（1）假设两个物体分别做简谐振动，振幅为A1和A2，初始相位分别为φ1和φ2，角频率均为ω。
（2）写出两个物体的振动方程：
x1 = A1sin(ωt + φ1)
（4）根据三角函数的和差公式，将上式化简为：
x = [A1cos(φ1) + A2cos(φ2)]sin(ωt) + [A1sin(φ1) + A2sin(φ2)]cos(ωt)（6）求出两个简谐振动的振幅和相位，即可求出合成振动的振幅和相位。
振幅：
相位：
（7）利用上式求出合成振动的振幅和相位后，可以得到合成振动的振动方程：
其中，A为合成振动的振幅，φ为合成振动的相位，ω为角频率，t为时间。
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x
t
O
Hale Waihona Puke A A A 2 A1 A2 A1 A2
2 1 2 2
第十一章 机械振动和电磁振荡
§11-3 同方向的简谐振动的合成 二、同方向不同频率的两个谐振动的合成拍 两个谐振动
x1 A cos(1t 0 )
x2 A cos( 2t 0 )
x x1 x2 A cos(1t 0 ) A cos( 2t 0 )
拍
2 2 1 2 1 1
第十一章 机械振动和电磁振荡
§11-3 同方向的简谐振动的合成
第十一章 机械振动和电磁振荡
第十一章 机械振动和电磁振荡
§11-3 同方向的简谐振动的合成
x 2 A cos(
2 1
2
t ) cos(
2 1
2
t 0 )
合运动可看成是角频率为(1 2 ) 2 1 2
振幅为 2 A cos( 2 1 )t 2 的简谐振动。 拍频：合振动振幅变化的频率。
§11-3 同方向的简谐振动的合成 两个特例 两振动同相
x
O
20 10 2k (k 0， 1， 2 ， )
A A A 2 A1 A2 A1 A2
2 1 2 2
t
x
t
O
两振动反向
20 10 (2k 1) (k 0， 1， 2， )
第十一章 机械振动和电磁振荡
§11-3 同方向的简谐振动的合成
合振动仍是简谐振动
式中
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos( 20 10 )
A1 sin 10 A2 sin 20 tan 0 A1 cos 10 A2 cos 20
第十一章 机械振动和电磁振荡
§11-3 同方向的简谐振动的合成
一 、同方向同频率的两个简谐振动的合成
x1 A1 cos(t 10 )
x2 A2 cos(t 20 )
合位移 x
x x1 x2
A1 cos( t 10 ) A2 cos( t 20 ) A cos( t 0 )