同方向的简谐振动的合成
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振动之同方向的简谐振动的合成
如果有7个分振动，相差依次为20度，各个分振动的振幅相同，位相差恒定。 将各个 分振动 叠加之 后，振 幅越来 越大， 初位相 也越来 越大。
矢量首尾相接形成多边形的 一部分，最后首尾相接的矢 量就是合振动，合振幅为A = 5.4ΔA ，初相为60度。
取10 个分 振动， 相差 依次 为30 度。
当各振 动逐级 叠加时， 合振幅 先增加 再变小。
合振幅为A = 1.9 ΔA，初相为135度。
如果分振动的相差为零，那 么，正多边形变成一条线。
取12个分振动，相差依 次为30度，分振动就构 成一个完整的正多边形， 合振幅为零。
{范例5.9} 同一直线上的简谐振动的合成
(3)求两个同一直线、频率相近的简谐振动的合振动。 [解析](3)设一个质点同时参与两个同一直线不同频率的简谐振 动，角频率分别为ω1和ω2，为了突出频率不同所产生的效果， 设分振动的振幅和初相位都相同，因此两个分振动方程为 x1 = Acos(ω1t + φ)，x2 = Acos(ω2t + φ) 可见：两个同方向不 同频率的简谐振动合 利用和差化积公式可得合振动为 成之后不是简谐振动， 2 1 2 1 x x1 x2 2 A cos( t ) cos( t )也没有明显的周期性。 2 2 当两个分振动的频率比较大而差异比较小时：|ω2 - ω1| << ω2 + ω1，方程就表示了振幅按2Acos[(ω2 - ω1)t/2]变化 的角频率为(ω2 + ω1)/2的“近似”的简谐振动。 这种振动的振幅变化是周期性的， f p 1 | 2 1 || f 2 f1 | . Tp 2π 2π 相对于简谐振动来说是缓慢的。
简 谐振动的合成
（2）若相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1，2 ， ) ，则 A A12 A22 2A1A2 | A1 A2 | 当两个分振动反相，即其相位差为 π 的奇数倍时，合振动的振幅为两个分振动振幅之差的绝 对值，合成结果为两个振动相互减弱，此时合振幅最小。若两分振动的振幅相等，则此时合振动 振幅为零。
A12
A22
2 A1 A2
cos(2
1 )
，
arctan
A1 sin1 A1 cos1
A2 A2
sin 2 cos2
合振幅 A 的大小不仅与分振动的振幅有关，而且还与它们的相位差 2 1 有关。
简谐振动的合成
， ，
，
，
1.2 两个同方向、同频率简谐振动的合成
（1）若相位差 2 1 2kπ (k 0，1，2， ) ，则 A A12 A22 2A1A2 A1 A2 当两个分振动同相，即其相位差为 π 的偶数倍时，合振动的振幅为两个分振动的振幅之和， 合成结果为两个振动相互加强，此时合振幅最大。
两个同方向、同频率的简谐振动，在任意时刻的相位差都等于它们的初相位差，为一恒量。
简谐振动的合成
， ，
，
，
1.1 相位差
如果 2 1 0 ，则在振动过程中，质点 2 将始终比质点 1 先到达任一特定的振动状态， 如我们称质点 2 的振动超前质点 1 的振动，或质点 1 的振动落后质点 2 的振动。
振动之同方向的简谐振动的合成
因为质点振幅的改变是周期性的，就形成 时强时弱的现象，这种现象称为“拍”。
如果将两 个振动的 角频率之 差改小一 些，例如
Δω = π/ 15，两个 振动的最 大值重合 的周期随 着发生变 化。
两个振动的最大值重合的周期随着发生变化，调制线的周期增大。
拍频为fp = Δω/2π = 1/30Hz，拍频的周期为T p = 1/fp = 30s。
n个简谐振动可表示为 x1 = ΔAcosωt，x2 = ΔAcos(ωt + Δφ)， x3 = ΔAcos(ωt + 2Δφ)，…，xn = ΔAcos[ωt
+
φ ΔA2Δφ ΔA 1 (n - 1)Δφ]
根据矢量合成法则，这
由于各个振动的振幅相同且相差
些简谐振动对应的旋转
恒为Δφ，图中各个矢量的起点和
如果两个振动 的振幅不变， 角度分别是0 和90，x2超前 x1的相位π/2，
合振幅为 0.05m，初 相的度数 达到53。
如果将两 个角度数 改为0和 180，则两 个振动反 相，合振 动减弱， 振幅只有 0.01m。
如果将两个角度数改为0和90，x2滞后x1的相位π/2。
除了同相和反相 的情况外，合振 动的极大值的横 坐标处在两个分 振动的极大值的 横坐标之间。
{范例5.9} 同一直线上的简谐振动的合成
(2)有n个同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都
同方向的简谐振动的合成
求它们的合振动的振幅和初相。 求它们的合振动的振幅和初相。
采用旋转矢量法可使问题得到简化， 解:采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开 烦琐的三角函数运算。 烦琐的三角函数运算。 根据矢量合成法则， 个简谐振动对应的旋转矢 根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢 量的合成如下图所示： 量的合成如下图所示：
2
2.同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍
当两个同方向简谐振动的频率不同时， 当两个同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢 量图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者 量图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同， 的相位差与时间有关， 的相位差与时间有关，合矢量的长度和角速度都将随 时间变化。 时间变化。 很接近， 两个简谐振动的频率ω1和 ω 2很接近，且 ω 2 > ω1
在三角形∆ 在三角形 OCM中,OM 的长度就是和振动位移矢 量的位移, 就是和振动的初相， 量的位移,角度 ∠MOX 就是和振动的初相，据此得
Nα A = 2OCsin 2
考虑到 a = 2OCsin
α
Nα α A = asin sin 2 2 φ = ∠MOX = ∠COX − ∠COM 1 1 N −1 = (π −α) − (π − Nα) = α 2 2 2 同相合成) 当 α = 0 时(同相合成)，有 A = Na, φ = 0 。
反相迭加，合振幅最小。 反相迭加，合振幅最小 当A1=A2 时，A=0。 。 (3)通常情况下，合振幅介于 通常情况下， 通常情况下 和 之间。 之间。
同方向同频率的两简谐振动合成后初相位
同向相位相同的两个简谐振动合成后初相位
的重要性
简谐振动是一个基本的物理现象，它是一个周期性运动，能够被描述为一个正弦或余弦函数。同向相位相同的两个简谐振动合成后，初相位的设置非常重要，它决定了合成振动的特性。在这篇文章中，我们将讨论初相位的重要性以及如何在实际应用中正确设置初相位。
对于同向相位相同的两个简谐振动，合成后的振动可以表示为：y = A sin (ωt + φ)
其中，A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。如果两个振动的初相位不同，那么合成后的振动将不再是简谐振动，而是一个复杂的非周期性振动。
因此，初相位的设置对于合成振动的稳定性和周期性是非常关键的。如果初相位设置不当，合成振动可能会失去稳定性，出现不期望的高频或低频分量。
在实际应用中，初相位的设置通常需要通过实验进行。一种常见的方法是使用相干解调器。相干解调器是一种电子设备，可以将两个简谐振动合成为一个新的简谐振动，并自动调整初相位，使合成振动以最大振幅、最小畸变的方式出现。
总之，同向相位相同的两个简谐振动合成后初相位的设置是非常重要的。在实际应用中，正确设置初相位可以保证合成振动的周期性和稳定性，从而获得更准确、可靠的测量结果。
简谐振动的合成
简 谐 运 动 的 合 成 图
两相互垂直不同频率的简谐运动的合成
x = A1 cos(ω1t + ϕ1 ) y = A2 cos(ω 2t + ϕ 2 )
李 萨 如 图 形
ϕ1 = 0
π π 3π π ϕ 2 = 0, , , , 8 4 8 2
ω1 m = ω2 n
测量振wenku.baidu.com频率 和相位的方法
两个同方向同 两个同方向同频率简谐运 合成后仍为简谐运动 后仍为简谐 动合成后仍为简谐运动 借助于旋转矢量法理解 合成后仍为谐振动,ω不变。 合成后仍为谐振动 ω不变。 0
v A 2
ϕ2
ω
v A
x
x
ϕ1 x2 x1
ϕ
v A 1
讨论
x
o ϕ A
x
o
ϕ 2 − ϕ1 = 2 k π A = A1 + A2
第七节
简谐振动的合成
一、两同方向、同频率简谐振动合成 两同方向、
质点同时参与两个振动， 质点同时参与两个振动， 质点的实际所作的运动,就是 质点的实际所作的运动 就是 两个振动的合振动。 两个振动的合振动。只研究 两个同方向同频率的振动合 成。 分振动
x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) x 2 = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
T
简谐振动的合成
2
x = ( A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 ) cosωt − ( A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 ) sinωt = A cos ϕ ⋅ cos ωt − A sin ϕ ⋅ sin ωt = A cos(ωt + ϕ ) ∴ x = A cos(ωt + ϕ )
两个同方向、 两个同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是一个 简谐振动，且频率不变。 简谐振动，且频率不变。 由
cos α + cos β = 2 cos
合成振动表达式：
α−β
2
⋅ cos
α+β
2
x(t ) = A cos(ω1t + ϕ ) + A cos(ω 2t + ϕ )
10
(ω 2 − ω1 )t (ω 2 + ω1 )t = 2 A cos ⋅ cos[ +ϕ] 2 2
x(t ) = A cos(ω1t + ϕ ) + A cos(ω 2t + ϕ )
x y 2xy cos(ϕ2 − ϕ1 ) = sin2 (ϕ2 − ϕ1 ) + − A1 A2 A1 A2
2 2
ϕ1 = ϕ 2 同相位
2 2
y
x y 2xy =0 + − A1 A2 A1 A2
x = ( A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 ) cosωt − ( A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 ) sinωt = A cos ϕ ⋅ cos ωt − A sin ϕ ⋅ sin ωt = A cos(ωt + ϕ ) ∴ x = A cos(ωt + ϕ )
两个同方向、 两个同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是一个 简谐振动，且频率不变。 简谐振动，且频率不变。 由
cos α + cos β = 2 cos
合成振动表达式：
α−β
2
⋅ cos
α+β
2
x(t ) = A cos(ω1t + ϕ ) + A cos(ω 2t + ϕ )
10
(ω 2 − ω1 )t (ω 2 + ω1 )t = 2 A cos ⋅ cos[ +ϕ] 2 2
x(t ) = A cos(ω1t + ϕ ) + A cos(ω 2t + ϕ )
x y 2xy cos(ϕ2 − ϕ1 ) = sin2 (ϕ2 − ϕ1 ) + − A1 A2 A1 A2
2 2
ϕ1 = ϕ 2 同相位
2 2
y
x y 2xy =0 + − A1 A2 A1 A2
11-简谐振动的合成
)
cos(2122122
21
ϕϕ−++=
A A A A A 2
2112
211cos cos sin sin arctan
ϕϕϕϕϕA A A A ++=
)
cos(
)cos(
22
11
2021ϕωωωω++−=+=t t A x x x T
ϕ
ΔϕΔ2
22
2
2121
2
sin )/(cos )/2()/(=+−A y A A xy A x
)
cos(ϕω+=t A x )cos(2ϕω+=t A y x
A A y 2
=直线轨迹谐振动
ϕ
ΔϕΔ2
2122
2
21
2
sin cos )/2()/()/(=−+A A xy A y A x 1. 二者相位相同：
π
ϕΔk 2=x
1
A 2A y
直线轨迹谐振动
x
1
A 2A y
)cos(ϕω+=t A x )sin(2ϕω+−=t A y 122
2
2
=+A y
A x 振动仍是谐振动
ϕ
ΔϕΔ2
2122
2
21
2
sin cos )/2()/()/(=−+A A xy A y A x 椭圆轨迹谐振动
3. 相位超前：
2/π2/2ππϕΔ+=k x
1
A 2A y
x
1
A 2A y
5
/8/=y x T T 2/3/=y x T T 3
/1/=y x T T 1
/3/=y x T T
t 0x t 5
x t 1x t 3x t
5
310x x x x x +++≈t x
t
x
t
x
k
A k ω噪声
k
A k ω小号
t
x
单簧管
k
A k ω
大学物理演示动画---简谐振动的合成-[福州大学至诚学院]
![大学物理演示动画---简谐振动的合成-[福州大学至诚学院]](https://img.taocdn.com/s3/m/ce3b2b1bf18583d049645912.png)
随t变化缓慢
随t变化较快
5
两个同方向不同频率简谐振动的合成(动画演示)
6
x1
1=7
t
x2
2=6
t
拍频
x
= 1 - 2 （可测频，或得到更低频的振动）
t
7
wenku.baidu.com
二.相互垂直简 谐振动的合成
8
相互垂直的同频率的简谐振动的合成：(动画演示)
链接
9
不同相差的合运动轨迹
10
简谐振动的合成--演示动画
福州大学至诚学院
大学物理教研室
1
一.同方向的简谐 振动的合成
2
1. 同方向、同频率的两个 简谐振动的合成
A2
φ2
x2 ω
A
x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )
合振动的位移： x x1 x 2 合成仍为仍然是同频率 x 的简谐振动
x1 (t ) A cos( 1t ) x2 (t ) A cos( 2t )
合成振动表达式：
x(t ) A cos( 1t ) A cos( 2t )
( 2 1 )t ( 2 1 )t 2 A cos cos[ ] 2 2
1
A1
x1 x
x A cos( t )
随t变化较快
5
两个同方向不同频率简谐振动的合成(动画演示)
6
x1
1=7
t
x2
2=6
t
拍频
x
= 1 - 2 （可测频，或得到更低频的振动）
t
7
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二.相互垂直简 谐振动的合成
8
相互垂直的同频率的简谐振动的合成：(动画演示)
链接
9
不同相差的合运动轨迹
10
简谐振动的合成--演示动画
福州大学至诚学院
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1
一.同方向的简谐 振动的合成
2
1. 同方向、同频率的两个 简谐振动的合成
A2
φ2
x2 ω
A
x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )
合振动的位移： x x1 x 2 合成仍为仍然是同频率 x 的简谐振动
x1 (t ) A cos( 1t ) x2 (t ) A cos( 2t )
合成振动表达式：
x(t ) A cos( 1t ) A cos( 2t )
( 2 1 )t ( 2 1 )t 2 A cos cos[ ] 2 2
1
A1
x1 x
x A cos( t )
同方向、不同频率的简谐振动的合成
2Acos (2 1）t cos[ (2 1)t ]
2
2
当1与2 都很大，且相差甚微时，可将
| 2Acos(2 1)t / 2 | 视为振幅变化部分，
合成振动是以 (2 1) / 2 为角频率的谐振动。
其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定， 即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动.
这种合振动忽强忽弱的现象称为拍。 10
1动、的2相位1 差0在视缓为慢同地频变率化的，合所成以，质不点过运两动个的振轨
道将不断地从下图所示图形依次的循环变化。
当 0 2 1 时是顺时针转；
第六章 振动和波 ---- 振动
1
§4 简谐振动的合成
4.1 同方向、同频率的简谐振动的合成 4.2 同方向、不同频率的简谐振动的合成 4.3 垂直方向、同频率简谐振动的合成 4.4 垂直方向、不同频率简谐振动的合成
作业：6-16， 6-17 , 6-18
2
§4 简谐振动的合成
4.1 同方向、同频率的简谐振动的合成
16
讨论6
20
10
2k 2
1
k 0，1，2，3
20 10 2k 则为任一椭圆方程。
综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐 振动合成后，合振动在一直线上或者在椭圆 上进行(直线是退化了的椭圆)当两个分振动 的振幅相等时，椭圆轨道就成为圆。
三角函数法对同方向同频率简谐振动合成的求解
三角函数法对同方向同频率简谐振动合成的求解
1. 引言
1.1 简谐振动的定义
简谐振动是指物体围绕平衡位置以恒定的频率和幅度振动的运动状态。简谐振动是一种最基本的振动形式，如弹簧振子、单摆等都是简谐振动的典型例子。在简谐振动中，物体受到一个恢复力的作用，该恢复力与物体离开平衡位置的距离成正比，方向相反。简谐振动的周期与它的频率成反比，即频率越高，周期越短。
简谐振动的特点包括：振动的周期是恒定的，且与振幅无关；物体在达到最大位移时速度为零，在平衡位置时加速度最大；物体的振动是围绕平衡位置做线性振动；振动可以用正弦函数或余弦函数表示。
简谐振动在自然界和工程领域都有着广泛的应用，如天体运动、机械振动等。研究简谐振动的基本规律对于理解物体振动的本质及其相互关系具有重要意义。通过对简谐振动的深入研究，可以更好地控制和应用振动现象，提高各种设备和系统的性能和稳定性。
1.2 三角函数法的基本概念
三角函数法是一种数学工具，用于描述和分析周期性现象。在振动学中，三角函数法被广泛应用于解决同方向同频率简谐振动合成的问题。三角函数是一种周期函数，可以描述周期性运动的特征。在振
动学中，振动可以用正弦函数或余弦函数来表示，这是因为正弦函数
和余弦函数具有周期性和振幅的特性。三角函数法的基本概念包括振
动的频率、振动的振幅、振动的相位等。通过对周期性现象进行三角
函数分解，可以将复杂的振动问题分解为简单的振动成分，从而方便
分析和求解。三角函数法在同方向同频率简谐振动合成中起着重要作用，通过对振动信号进行频谱分析和合成，可以得到系统的整体振动
简谐振动的合成
4 sin 0 2 sin / 3
3
A1 cos 1 A2 cos 2 41 cos 01 22 cos / 3 5
0.33
合振动方程：x 2 7 cos( 3t 0.33 )
6
[附]同方向的N个同频率简谐振动的合成（用矢量 合成法）
设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。其
表达式为：
3
•利用旋转矢量法求合振动也可得到相同的结果。 A
取质点振动的平衡位置O为
坐标原点，振动方向沿OX轴。 从O点作两个长度分别为A1、
A2的矢量 A1, A2，它们在t=0时与
A
2
2
X轴的夹角分别为1、2。
o
1
A2 A1
M
x
矢量 A1, A2的合矢量 A的端点在X 轴上的投影M的
运动也是简谐振动，其频率与原来两个振动相同。
(A1 sin1 A2 sin2 )sint
合振幅
令： A1 cos1 A2 cos2 Acos 代入上式：
A1 sin1 A2 sin2 Asin
2
x ( A1 cos1 A2 cos2)cost (A1 sin1 A2 sin2 )sint
Acos cost Asin sint Acos(t ) x Acos(t )
若 A1 A2, A 2A1
2.当 2 1 （2k 1） (k 0,1,2, ) 时,
同方向不同频率两个简谐振动的合成
A
x2 A2 cos(t 20 ) x x1 x2
x Acos(t 0 )
A2
A1
A2
A A12 A22 2 A1 A2 cos(20 10 )
tg0
A1 sin10 A2 sin20 A1 cos10 A2 cos20
2010
x20
0
x10
AM
A1
x0
t o .P x
同方向同频率两个简谐振动的合成仍为简谐振动。
如果两个相互垂直的振动的频率不相同，它们 的合运动比较复杂，而且轨迹是不稳定的。下面只 讨论简单的情形。
两振动的频率只有很小的差异
则可以近似地看做同频率的合成，不过相差在缓 慢地变化，因此合成运动轨迹将要不断地按上图 所示的次序，在图示的矩形范围内自直线变成椭 圆再变成直线等等。
如果两振动的频率相差较 大，但有简单的整数比
消去 t 得到轨道方程 （椭圆方程）
x2 A12
y2 A2 2
2
xy A1 A2
cos(20
10 ) sin2 (20
10 )
20 10 0
20 10
x A1
y
A22 A2
仍为谐振动， 但是振动方向 改变了！
y
x A1
y
A2
2 A1
x 质点的轨迹曲线
20
10
简谐运动的合成与分解
sin
2
分析：
O
当N=2k 时的合振幅为零。
R
N
Q
A合
a
A0 B
b
C
X
请记住这个结论！做笔记！
当=2k 时的合振幅为最大。
二.同方向不同频率两个简谐振动的合成
同方向同频率两个简谐振动的合成
------仍为简谐振动
r
A
r 2
A2
r 1
A1
x
同方向不同频率两个简谐振动的合成
若1= 2 ,则 不变； 若1 2 ,则 变；
消去 得t到轨道方程
（椭圆方程）
x2 A12
y2 A2 2
2
xy A1 A2
cos(20
10 ) sin2 (20
10 )
20 10 0
20 10
x A1 y A2
2 A2
仍为谐振动， 但是振动方向 改变了！
y
x A1
y
A2
x 质点的轨迹曲线
2 A1
20
10
2
x2 y2 A12 A22 1
如果两振动的频率相差较大但有简单的整数比五谐振分析和频谱在自然界和工程技术中我们所遇到的振动大多不是简谐振动而是复杂的振动处理这类问题往往把复杂振动看成由一系列不同频率的间谐振动组合而成也就是把复杂振动分解为一系列不同频率的间谐振动这样分解在数学上的依据是傅立叶
8.5 简谐运动的合成
ν =ν 2 ν1
常用于测量未知振动的频率。 常用于测量未知振动的频率。如果一个未知振 动的频率，让它与另一频率相近的已知振动叠加， 动的频率，让它与另一频率相近的已知振动叠加， 测量合成振动的拍频，就可以求出其振动频率。 测量合成振动的拍频，就可以求出其振动频率。
2. 两个相互垂直、同频率简谐振动合成 两个相互垂直、
x1 = A1 cos(ω t + 1 ) x2 = A2 cos(ω t + 2 )
振动合成
x = x1 + x2
可用三角函数法、 矢量法、 复数法求合振动。 可用三角函数法、 矢量法、 复数法求合振动。
利用旋转矢量法（向量图法）求合振动？ 利用旋转矢量法（向量图法）求合振动？
A=
A + A + 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A2
1
t
2 A = A12 + A2 + 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2）相位差 = 2 1 = ( 2k + 1)π
( k = 0 ， 1, L) ±
x
x
o 2
ω A2
A = A1 A2 = 2
A 1
o
T
t
A
x = ( A2 A1 ) cos(ωt + π)
1）相位差
2 1 = 2 k π
4.5 同方向简谐振动的合成
Amin 0
拍 1 2
拍频（振幅变化的频率)
同方向简谐振动合成
Ø 旋转矢量合成法
(2 1)t
2 A
2 t
1
A
A
2
1
1t
x2
x1 x
振幅 A A 2(1 cos ) 2 A cos[(2 1 )t]
2
振动圆频率
1 2
2
t 1t 2t
2
拍 1 2
拍频（振幅变化的频率) 拍音频
x
x
A1
2 o
o
Tt
A
A2
A A1 A2
x ( A2 A1 ) cos(t )
2
1
(2k
1)π
同方向简谐振动合成
例: 两个同方向简谐振动，周期相同，振幅为 A1=0.05m, A2=0.07m，组成一个振幅为A=0.1044m 的简谐振动，求两个分振动的相位差。
解：由同方向同频率两振动合成的振幅公式：
2
同方向简谐振动合成
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐
振动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱
的现象叫拍. 2 1 1 2
x
[2
A
cos
2
(1
2
)t
]
cos
2
(
1
2
)t
2
拍 1 2
拍频（振幅变化的频率)
同方向简谐振动合成
Ø 旋转矢量合成法
(2 1)t
2 A
2 t
1
A
A
2
1
1t
x2
x1 x
振幅 A A 2(1 cos ) 2 A cos[(2 1 )t]
2
振动圆频率
1 2
2
t 1t 2t
2
拍 1 2
拍频（振幅变化的频率) 拍音频
x
x
A1
2 o
o
Tt
A
A2
A A1 A2
x ( A2 A1 ) cos(t )
2
1
(2k
1)π
同方向简谐振动合成
例: 两个同方向简谐振动，周期相同，振幅为 A1=0.05m, A2=0.07m，组成一个振幅为A=0.1044m 的简谐振动，求两个分振动的相位差。
解：由同方向同频率两振动合成的振幅公式：
2
同方向简谐振动合成
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐
振动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱
的现象叫拍. 2 1 1 2
x
[2
A
cos
2
(1
2
)t
]
cos
2
(
1
2
)t
2
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拍
2 2 1 2 1 1
第十一章 机械振动和电磁振荡
§11-3 同方向的简谐振动的合成
第十一章 机械振动和电磁振荡
x
t
O
A A A 2 A1 A2 A1 A2
2 1 2 2
第十一章 机械振动和电磁振荡
§11-3 同方向的简谐振动的合成 二、同方向不同频率的两个谐振动的合成拍 两个谐振动
x1 A cos(1t 0 )
x2 A cos( 2t 0 )
x x1 x2 A cos(1t 0 ) A cos( 2t 0 )
第十一章 机械振动和电磁振荡
§11-3 同方向的简谐振动的合成
x 2 A cos(
2 1
2
t ) cos(
2 1
2
t 0 )
合运动可看成是角频率为(1 2 ) 2 1 2
振幅为 2 A cos( 2 1 )t 2 的简谐振动。 拍频：合振动振幅变化的频率。
第十一章 机械振动和电磁振荡
§11-3 同方向的简谐振动的合成
合振动仍是简谐振动
式中
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos( 20 10 )
A1 sin 10 A2 sin 20 tan 0 A1 cos 10 A2 cos 20
第十一章 机械振动和电磁振荡
§11-3 同方向的简谐振动的合成 两个特例 两振动同相
x
O
20 10 2k (k 0， 源自文库， 2 ， )
A A A 2 A1 A2 A1 A2
2 1 2 2
t
x
t
O
两振动反向
20 10 (2k 1) (k 0， 1， 2， )
§11-3 同方向的简谐振动的合成
一 、同方向同频率的两个简谐振动的合成
x1 A1 cos(t 10 )
x2 A2 cos(t 20 )
合位移 x
x x1 x2
A1 cos( t 10 ) A2 cos( t 20 ) A cos( t 0 )