第五章二次型
第五章 高等代数二次型
a1n x1 a2 n x2 , x x ann n
其中 aij=aji，i，j=1，2，…，n，则二次型可用矩阵的乘积表示为
f ( x1 , x2 ,, xn ) xAx
其中 A 称为该二次型的矩阵，A 的秩称为该二次型的秩。
二次型
n
§1 二次型及其矩阵表示
若在 n 元二次型中令 aij=aji，由于 xi xj=xj xi，则二次型可表示为
f ( x1 , x2 ,, xn ) aij xi x j
i 1 j 1
n
若记
a11 a21 A a n1
a12 a22 an 2
二次型
§2 标准型
§2 标准型
用配方法化二次型为标准型
定理：数域 P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化为 标准型。
用合同法化二次型为标准型
定理：数域 P 上任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵。
行列式
例题 1、 化下列二次型为标准型
§1 n阶行列式的定义
（1）
（2）
2 2 f ( x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x2 8x2 x3 5x3
其中对角线上 1 和 -1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。 问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。
二次型
§4 正定二次型
§4 正定二次型
正定二次型的定义和判定
定义：实二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) 是正定的，如果对任意一组不全为零的 的实数 c1 , c2 ,, cn 都有 f (c1 , c2 ,, cn ) 0 。
线性代数：第五章二次型
线性代数：第五章⼆次型第五章⼆次型§1 ⼆次型及其矩阵表⽰⼀、⼆次型及其矩阵表⽰设是⼀个数域,⼀个系数在数域中的的⼆次齐次多项式称为数域上的⼀个元⼆次型，简称⼆次型.定义1 设是两组⽂字，系数在数域P中的⼀组关系式(2)称为由到的⼀个线性替换，或简称线性替换.如果系数⾏列式,那么线性替换(2)就称为⾮退化的.线性替换把⼆次型变成⼆次型.令由于所以⼆次型(1)可写成把(3)的系数排成⼀个矩阵(4)它称为⼆次型(3)的矩阵.因为所以把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，⼆次型的矩阵都是对称的.令或应该看到⼆次型(1)的矩阵A的元素,当时正是它的项的系数的⼀半,⽽是项的系数，因此⼆次型和它的矩阵是相互唯⼀决定的.由此可得,若⼆次型且,则.令,于是线性替换（4）可以写成或者经过⼀个⾮退化的线性替换，⼆次型还是变成⼆次型，替换后的⼆次型与原来的⼆次型之间有什么关系，即找出替换后的⼆次型的矩阵与原⼆次型的矩阵之间的关系.设(7)是⼀个⼆次型，作⾮退化线性替换(8)得到⼀个的⼆次型，⼆、矩阵的合同关系现在来看矩阵与的关系.把（8）代⼊（7），有易看出，矩阵也是对称的，由此即得.这是前后两个⼆次型的矩阵的关系。
定义2 数域P上两个阶矩阵，称为合同的，如果有数域P上可逆的矩阵,使得.合同是矩阵之间的⼀个关系，具有以下性质:1) ⾃反性:任意矩阵都与⾃⾝合同.2) 对称性:如果与合同,那么与合同.3) 传递性:如果与合同,与合同,那么与合同.因此，经过⾮退化的线性替换，新⼆次型的矩阵与原来⼆次型的矩阵是合同的。
这样把⼆次型的变换通过矩阵表⽰出来，为以下的讨论提供了有⼒的⼯具。
最后指出，在变换⼆次型时，总是要求所作的线性替换是⾮退化的。
从⼏何上看，这⼀点是⾃然的因为坐标变换⼀定是⾮退化的。
⼀般地，当线性替换是⾮退化时，由上⾯的关系即得.这也是⼀个线性替换，它把所得的⼆次型还原.这样就使我们从所得⼆次型的性质可以推知原来⼆次型的⼀些性质.§2 标准形⼀、⼆次型的标准型⼆次型中最简单的⼀种是只包含平⽅项的⼆次型. （1）定理1 数域上任意⼀个⼆次型都可以经过⾮化线性替换变成平⽅和（1）的形式.易知，⼆次型（1）的矩阵是对⾓矩阵，反过来，矩阵为对⾓形的⼆次型就只包含平⽅项.按上⼀节的讨论，经过⾮退化的线性替换，⼆次型的矩阵变到⼀个合同的矩阵，因此⽤矩阵的语⾔，定理1可以叙述为：定理2 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.定理2也就是说，对于任意⼀个对称矩阵都可以找到⼀个可逆矩阵使成对⾓矩阵.⼆次型经过⾮退化线性替换所变成的平⽅和称为的标准形.例化⼆次型为标准形.⼆、配⽅法1.这时的变量替换为令,则上述变量替换相应于合同变换为计算，可令.于是和可写成分块矩阵,这⾥为的转置，为级单位矩阵.这样矩阵是⼀个对称矩阵，由归纳法假定，有可逆矩阵使为对⾓形，令,于是,这是⼀个对⾓矩阵，我们所要的可逆矩阵就是.2. 但只有⼀个.这时，只要把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换，就归结成上⾯的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取⾏显然.矩阵就是把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换.因此，左上⾓第⼀个元素就是，这样就归结到第⼀种情形.3. 但有⼀与上⼀情形类似，作合同变换可以把搬到第⼀⾏第⼆列的位置，这样就变成了配⽅法中的第⼆种情形.与那⾥的变量替换相对应，取,于是的左上⾓就是,也就归结到第⼀种情形.4.由对称性，也全为零.于是,是级对称矩阵.由归纳法假定，有可逆矩阵使成对⾓形.取，就成对⾓形.例化⼆次型成标准形.§3 唯⼀性经过⾮退化线性替换，⼆次型的矩阵变成⼀个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过⾮退化线性替换后，⼆次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对⾓矩阵，⽽对⾓矩阵的秩就等于它对⾓线上不为零的平⽅项的个数.因之，在⼀个⼆次型的标准形中，系数不为零的平⽅项的个数是唯⼀确定的，与所作的⾮退化线性替换⽆关，⼆次型矩阵的秩有时就称为⼆次型的秩.⾄于标准形中的系数，就不是唯⼀确定的.在⼀般数域内，⼆次型的标准形不是唯⼀的，⽽与所作的⾮退化线性替换有关.下⾯只就复数域与实数域的情形来进⼀步讨论唯⼀性的问题.设是⼀个复系数的⼆次型，由本章定理1，经过⼀适当的⾮退化线性替换后，变成标准形，不妨假定化的标准形是. (1)易知就是的矩阵的秩.因为复数总可以开平⽅，再作⼀⾮退化线性替换(2)(1)就变成(3)(3)就称为复⼆次型的规范形.显然，规范形完全被原⼆次型矩阵的秩所决定，因此有定理3 任意⼀个复系数的⼆次型经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.定理3 换个说法就是，任⼀复数的对称矩阵合同于⼀个形式为的对⾓矩阵.从⽽有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等.设是⼀实系数的⼆次型.由本章定理1，经过某⼀个⾮退化线性替换，再适当排列⽂字的次序，可使变成标准形(4)其中是的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平⽅，所以再作⼀⾮退化线性替换(5)(4) 就变成(6)(6)就称为实⼆次型的规范形.显然规范形完全被这两个数所决定.定理4 任意⼀个实数域上的⼆次型，经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.这个定理通常称为惯性定理.定义3 在实⼆次型的规范形中，正平⽅项的个数称为的正惯性指数；负平⽅项的个数称为的负惯性指数；它们的差称为的符号差.应该指出，虽然实⼆次型的标准形不是唯⼀的，但是由上⾯化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平⽅项的个数与规范形中正平⽅项的个数是⼀致的，因此，惯性定理也可以叙述为：实⼆次型的标准形中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀的，它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.定理5 （1）任⼀复对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：.其中对⾓线上1 的个数等于的秩.（2）任⼀实对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：,其中对⾓线上1的个数及-1的个数（等于的秩）都是唯⼀确定的，分别称为的正、负惯性指数，它们的差称为的符号差..§4 正定⼆次型⼀、正定⼆次型定义4 实⼆次型称为正定的，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有.实⼆次型是正定的当且仅当.设实⼆次型(1)是正定的，经过⾮退化实线性替换(2)变成⼆次型(3)则的⼆次型也是正定的，或者说，对于任意⼀组不全为零的实数都有.因为⼆次型（3）也可以经⾮退化实线性替换变到⼆次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时（1）也正定.这就是说，⾮退化实线性替换保持正定性不变.⼆、正定⼆次型的判别定理6 实数域上⼆次型是正定的它的正惯性指数等于.定理6说明，正定⼆次型的规范形为(5)定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果⼆次型正定.因为⼆次型（5）的矩阵是单位矩阵E，所以⼀个实对称矩阵是正定的它与单位矩阵合同.推论正定矩阵的⾏列式⼤于零.定义6 ⼦式称为矩阵的顺序主⼦式.定理7 实⼆次型是正定的矩阵的顺序主⼦式全⼤于零.例判定⼆次型是否正定.定义7 设是⼀实⼆次型，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有,那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果它既不是半正定⼜不是半负定，那么就称为不定的.由定理7不难看出负定⼆次型的判别条件.这是因为当是负定时，就是正定的.定理8 对于实⼆次型，其中是实对称的，下列条件等价：（1）是半正定的；（2）它的正惯性指数与秩相等；（3）有可逆实矩阵，使其中；（4）有实矩阵使.（5）的所有主⼦式皆⼤于或等于零；注意，在（5）中，仅有顺序主⼦式⼤于或等于零是不能保证半正定性的.⽐如就是⼀个反例.证明 Th8,设的主⼦式全⼤于或等于零，是的级顺序主⼦式，是对应的矩阵其中是中⼀切级主⼦式之和，由题设，故当时，，是正定矩阵.若不是半正定矩阵，则存在⼀个⾮零向量，使令与时是正定矩阵⽭盾，故是半正定矩阵.Th8记的⾏指标和列指标为的级主⼦式为，对应矩阵是，对任意，有,其中⼜是半正定矩阵,从⽽.若，则P234,12T，存在使与⽭盾，所以.◇设为级实矩阵，且，则都是正定矩阵.◇设为实矩阵，则都是半正定矩阵.证明是实对称矩阵，令，则是维实向量是半正定矩阵，同理可证是半正定矩阵.◇设是级正定矩阵，则时，都是正定矩阵.证明由于正定，存在可逆矩阵，使,,从⽽为正定矩阵.正定⼜正定， ,正定,正定.对称当时，,从⽽正定.当时,所以与合同，因⽽正定.第五章⼆次型(⼩结)⼀、⼆次型与矩阵1. 基本概念⼆次型;⼆次型的矩阵和秩;⾮退化线性替换;矩阵的合同.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换把⼆次型变为⼆次型.(2) ⼆次型可经⾮退化的线性替换化为⼆次型.(3) 矩阵的合同关系满⾜反⾝性、对称性和传递性.⼆、标准形1. 基本概念⼆次型的标准形;配⽅法.2. 基本定理(1) 数域上任意⼀个⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为标准形式.(2) 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.三、唯⼀性1. 基本概念复⼆次型的规范形;实⼆次型的规范形,正惯性指数、负惯性指数、符号差.2. 基本定理(1) 任⼀复⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为唯⼀的规范形式的秩.因⽽有:两个复对称矩阵合同它们的秩相等.(2) 惯性定律:任⼀实⼆次型都可经过⾮退化线性替换化为唯⼀的规范形式的秩,为的惯性指数.因⽽两个元实⼆次型可经过⾮退化线性替换互化它们分别有相同的秩和惯性指数.(4) 实⼆次型的标准形式中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀确定的,它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.四、正定⼆次型1. 基本概念正定⼆次型，正定矩阵;顺序主⼦式，负定⼆次型，半正定⼆次型，半负定⼆次型，不定⼆次型.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换保持实⼆次型的正定性不变.(2) 实⼆次型正定①与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵,使得;②的顺序主⼦式都⼤于零.③的正惯性指数等于.。
高等代数 第5章二次型 5.4 恒正二次型
4、顺序主子式、主子式 、
设矩阵 A (aij ) Rnn
a11 K 1) A(1,2,L ,k) M O
ak1 L
a1k M
Rkk
akk
称为A为第k阶顺序主子矩阵;
a11 K a1k 2) Pk det A(1, 2,L , k) M O M
ak1 L akk
其中，c j
cis , 0,
当 j is , s 1, 2,L ,k 当 j is , s 1, 2,L , k
由于 A 正定，有 f ( x1, x2 ,K , xn ) X AX 正定，即有 X0 AX0 0, 从而， g(ci1 ,ci2 ,L ,cik ) f (0,L ,0,ci1 ,0,L ,ci2 ,0,L ,cik ,0,L ,0)
1
0,
P3 A 0.
f 正定.
n
2) f ( x1, x2,K , xn ) xi2
xi x j
i 1
1i jn
（习题7）
1
1
1 L
2
1
2 1
解： f ( x1, x2 ,K , xn )的矩阵
A
2 L 1
1
L 1
L L L
2 L
由2), f 正定 di 0,i 1, 2,L , n 即，f 的正惯性指数p＝n＝秩 f .
5）正定二次型 f ( x1, x2 ,K , xn ) 的标准形为 d1 y12 d2 y22 L dn yn2 , i 0, i 1, 2,L , n 规范形为
z12 z22 L zn2 .
第五章二次型
正交变换下的标准形
第五章 二次型
例1. 用正交变换把将二次型
§5.2 化二次型为标准形
f(x1, x2, x3) = x12+x22+x322x1x3 化为标准形.
1 0 1 解: f 的矩阵A = 0 1 0 ,
1 0 1
|E–A| = (–1)(–2).
所以A的特征值为1= 0, 2= 1, 3= 2. 代入(E–A)x = 0求得对应的特征向量
第五章 二次型
§5.3 正定二次型
例如 f = 2x1x2 + 2x1x3 – 6x2x3 在三种不同的可 逆线性变换下可分别化为下列标准形:
f
=
3y12
1 2
(3+
17
)y22+
1 2
(
17
3)y32
f = 2z12 – 2z22 +6z32
f
2
y12
1 2
y22 6 y32 .
可见秩(f) = 3, f的正惯性指数p = 2, f的负惯性
第五章 二次型
§5.1 二次型及其矩阵表示
二次型的系统研究是从 18 世纪开始的
起源于对二次曲线/面的分类问题的讨论
1801年, 德国数学家高斯:
引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语
法国数学家柯西:
当方程是标准型时, 二次曲面用二次项的符号来进行分类 不太清楚,在化简成标准型时,为何总是得到同样数目的正项和负项
(3) A正定, P可逆 PTAP正定.
第五章 二次型
§5.3 正定二次型
3. 判定 定理5.4. 设A为n阶实对称矩阵, 则TFAE:
(1) A是正定矩阵;
线性代数第5章课件：二次型
且有 f 9 y12 18 y22 18 y32 .
例3 求一个正交变换x Py,把二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x2 x4 2 x3 x4
化为标准形.
解
0 1 1 1
二次型的矩阵为
A
1 1
0 1 1 0
1 1
,
1 1 1 0
样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
性变换，就得到标准形; 2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0
(i j),则先作可逆线性变换
xi xj
yi yi
yj yj
k 1,2,,n且k i, j
xk yk 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方
法配方.
例1 化二次型
0 0 1
例2 化二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 成 标 准 形, 并 求 所 用 的 变 换 矩 阵.
n
aij xi x j .
i , j1
2．用矩阵表示
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
x1(a11 x1 a12 x2 a1n xn )
第5章 二次型
5.1 二次型的概念 5.2 化二次型为标准形 5.3 正定二次型
5.1 二次型的概念
一、二次型的定义
定义1 含有n个变量x1 , x2 ,, xn的二次齐次函数
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 称为二次型.
矩阵论——Hermite二次型
第五章 Hermite 二次型§1 Hermite 阵，正规阵设函数()〉〈===∑X AX AX X x x a x x x f T j i ij n ,,,,21其中n n ij a A ⨯=)(为实对称阵，X 是实向量。
设n n C A ⨯∈，n C X ∈，则在n C （酉空间）j i ji ij H x x a AX X X AX x f ∑==〉〈=,,)( （1.1）)(x f 是实函数f f H=⇔AX X X A X H H H =⇔0)(=-⇔X A A X H H ，n C X ∈∀。
取k e X =，00=⇒=kk H m MX X ，0=⇒+=ij j i m ie e Xf fH=A A H =⇔即ji ij a a =定义1.1 设n n C A ⨯∈若A A H =则称A 为Hermite 阵。
简称为H 阵，记m H A ∈，若A 为Hermite 阵，则称共轭对称的二次齐式（1.1）为Hermite 二次型。
显然实对称阵⇔Hermite 阵（实）。
定理1.1 Hermite 阵必酉相似于一实对角阵。
证明 设A 为m H 则T 及上三角阵U ∃使T AU =H U ， 而A A H =T AU U A H ===⇒H H H U U T 所以T 是一个实对角阵。
定理1.2 Hermite 阵的特征值全为实数。
（T AU =H U ，实对角阵）定理 1.3 Hermite 阵相异特征值对应的特征向量必正交。
（0,,==〉〈=λi H j j i Ax x x x UT AU ）定义1.2 若n 阶复方阵A 满足H H AA A A =，则称A 为正规阵，如Hermite 阵是正规阵。
定理1.4 方阵A 酉相似于对角阵A ⇔是正规阵。
证明 “⇒”： 设Λ=AU H U ，（Λ为对角阵，U 为酉阵）H H H H H H H H H U U U U U U A A ΛΛ=ΛΛ=⇒ΛΛ=ΛΛ⇒ H H H AA U U =ΛΛ=“⇐”T AU =H U ，H H AA A A =⇒H H TT T T =⇒。
高等代数.第五章.二次型.课堂笔记
������1 ������2 ，取X = ( ⋮ ,， ������������ (5)
则(4)可表示为矩阵形式： ������(������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ) = X′AX 称(5)中的矩阵Α为二次型f(������1 , ������2 , ⋯ , ������������ )的矩阵. 由定义：A = A′，这样的矩阵称为对称矩阵. 例 1.求下列二次型的矩阵： 2 2 2 2 (1) ������(������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ) = ������1 + 2������2 + 3������3 + 4������4 + ������1 ������3 + ������2 ������4 ������1 1 0 ������2 ′ (2) ������(������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ) = X BX，X = (������ )，其中B = (0 2 0 0 3 ������4 0 0
2 ������(������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ) = ������11 ������1 + 2������12 ������1 ������2 + ⋯ + 2������1������ ������1 ������������ 2 +������22 ������2 + 2������23 ������2 ������3 + ⋯ + 2������2������ ������2 ������������ 2 + ⋯ + ������������������ ������������ 称(3)为一个 n 元二次型. 令������������������ = ������������������ (������ ≤ ������ ≠ ������ ≤ ������)，(3)可表示为以下对称形式 ： ．．．． 2 ������(������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ) = ������11 ������1 + ������12 ������1 ������2 + ������13 ������1 ������3 + ⋯ + ������1������ ������1 ������������ 2 +������21 ������2 ������1 + ������22 ������2 + ������23 ������2 ������3 + ⋯ + ������2������ ������2 ������������ 2 +������31 ������3 ������1 + ������32 ������3 ������2 + ������33 ������3 + ⋯ + ������3������ ������3 ������������ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 +������������1 ������������ ������1 + ������������2 ������������ ������2 + ������������3 ������������ ������3 + ⋯ + ������������������ ������������
第5章(二次型)线性代数及其应用.ppt
x1 c11 y1 c12 y2
x
2
c21 y1
c22 y2
c1n yn , c2n yn , 即 x cy
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
称为由x1, x2, , xn到y1, y2, , yn的线性变换 .
若C可逆，称之为可逆线性变换； 若C是正交矩阵，称之为正交线性变换.
x2 ,
x3
)
x1 ,
x2
,
x3
1
0
1 2 3
0 3 2
x1 x2 x3
1
2
1 0 0 x1
(2)
f
(
x1
,
x2
,
x3
)
x1
,
x2
,
x3
0
1
0
x2
0 0 4 x3
问题： 如何将一个二次型经过可逆（满秩）的线
f x12 3 x32 2x1 x2 4x1 x3 2x2 x3 ( x12 2x1 x2 4x1 x3 ) 3x32 2x2 x3 ( x1 x2 2x3 )2 x22 2x2 x3 7 x32
第五章二次型
第五章 二次型 基本内容及考点综述一、基本概念 1、二次型设P 是一个数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式2222222112112211121222),,,(nnn n n n n n x a x x a x a x x a x x a x a x x x f ++++++++= 称为数域P 上的一个n 元二次型. 2.二次型的矩阵如果数域P 上的n 元二次型),,,(21n x x x f 可表为矩阵形式.AX X x x x f n '=),,,(21其中A x x x X a A A A n n n ij ).,,,(,)(,21 ='=='⨯称为二次型),,,(21n x x x f 的矩阵，A 的秩也称为二次型f 的秩.3.非退化线性替换设n n y y y x x x ,,,;,,,2121 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式11111221221122221122n n n nn n n nn nx c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 称为由n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，如果系数行列式0ij c ≠那么以上线性替换称为非退化的.4.矩阵合同数域P 上n n ⨯矩阵B A ,称为合同的，如果有数域P 上可逆的n n ⨯矩阵C ，使.AC C B '=5.标准形数域P 上的二次型),,(1n x x f 可以经过非退化线性替换化成2222211nn x d x d x d +++ （1） 那么（1）就称为二次型),,(1n x x f 的一个标准形.6.正惯性指数，负惯性指数，符号差实二次型),,,(21n x x x f 的标准形中正的平方项的个数称为f 的正惯性指数，负的平方项的个数称为f 的负惯性指数.正惯性指数与负惯性指数的差称为符号差.7.正定二次型实二次型),,(1n x x f 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数12,,,n c c c 都有.0),,(1>n c c f8.负定，半正定，半负定，不定设),,(1n x x f 是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ，如果都有,0),,(1<n c c f 那么称f 负定，如果都有1(,,)0n f c c ≥，那么称f 半正定；如果都有0),,(1≤n x x f .那么称f 半负定；如果f 既不是半正定又不是半负定，那么称f 为不定.二、基本结论1.数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化成标准形.换句话说，数域P 上的任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.2.任意一个复二次型AX X x x f n '=),,(1 都可以经过一适当的非退化线性替换化成规范形22221r y y y +++ .且规范形是唯一的，换句话说，任一复对称矩阵A 合同于).(,000A R r E r =⎪⎭⎫ ⎝⎛其中 3.任意一个实二次型AX X x x f n '=),,(1 都可以经过一适当的非退化线性替换化成规范形221221r p p y y y y ---+++ .且规范形是唯一的，换句话说，任一实数域上的对称矩阵A ，合同于⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0P r P E E其中p A R r ).(=是正惯性指数.4.实二次型AX X x x f n '=),,(1 正定⇔正惯性指数为⇔n 存在n 阶可逆矩阵P ，使T T A E AP P '=⇔='（T 可逆）A ⇔的顺序主子式全大于零A ⇔的特征值全大于零.正定A ⇔5.A A A A ⇔-⇔-负定正定,半负定半正定6.实二次型AXX x x f n '=),,(1 半正定使阶可逆矩阵存在负惯性指数为零,P n ⇔⇔)(,000A R r E AP P r =⎪⎭⎫⎝⎛='其中A ⇔的主子式都大于或等于零T T A '=⇔.半正定零的特征值都大于或等于A A ⇔⇔三、基本方法1.将二次型的问题与对称矩阵的问题互相转化是经常采用的一种方法.2.将二次型化成标准形，一般采用配方法或用初等变换的方法，而后者往往比较简单.3.,A B 是实对称矩阵，且A 正定，则存在可逆矩阵P ，使BP P E AP P '=',为对角矩阵，这一结论是非常有用的试题精选1.（华中师大，1996）求二次型32312123222132161024),,(x x x x x x x x x x x x f +-+++=的正惯性指数与符号差..101011000300011001051100830001100010511248083000110001000124808305111000100011353415113832331363136⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛E A 令⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321383233211001011y y y x x x f y y y x x x f .31363),,(232221321-+=的正惯性指数为2，符号差为1. 2.（华中师大，1997）当t 为何值时，二次型323121232221321244552),,(x tx x x x x x x x x x x f --+++=是正定的，并说明理由.解 .5252222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=t t A2>0.065222>=).1)(5(2+--=t t A二次型A f ⇔正定的顺序主子式全大于零.510)1)(5(<<-⇔<+-⇔t t t 3.（华东师大，2005）求实二次型2121223111(,,,)22()nn i n n n i f x x x x x x x x x x x x -==∑-++++的正惯性指数、负惯性指数、符号差以及秩.解 .0)()()()(),,,(212123222121≥-+-++-+-=-x x x x x x x x x x x f n n n n 于是f 是半正定，负惯性指数为零.此二次型的矩阵为.0),,(,2121====n n x x x f x x x A 时当那么f 不是正定的，于是.1)(-≤n A R⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=2100112000002100012110012A A 的前1-n 行，前1-n 列构成的1-n 阶子式等于n ，那么1)(-≥n A R ，所以f n A R ,1)(-=的正惯性指数为.1,1--n n 符号差为4.（厦门大学，1999）.,*也是正定矩阵证明为正定矩阵A A证明 A 为正定矩阵，那么..0P P A A '=>其中P 可逆，由那么,*E A AA =.1*-=A A A于是..)()(*111*正定所以A P P A P P A A '⋅='=---5.（南京大学，1997）k 是实数，α为实数域上的n 维行向量，.01>'+ααk 证明，αα'+k E 为实正定矩阵.证明 αααααα'+'+=''+k E k E k E 那么,)(是实对称矩阵..1)(≤'ααk R 当()0,00,.R k k ααα'===则或结论成立当.1)(='ααk R 则零是n 阶实对称矩阵αα'k 的1-n 重特征值.令2121(,,,),().().nn i j n n i i a a a k ka a Tr k k a k ααααααα⨯='''===∑=则那么αα'k 是αα'k的唯一非零特征值.于是，αα'+k E 的n 个特征值为.1,1,,1αα'+k 而10,k E k αααα''+>+所以为实正定矩阵.6.（南京大学，1998）B 为n 阶可逆实反对称矩阵，证明： （1）0>B （2）().,()0E B b b ϕλλϕ=->证明对任意实数（3）A 为n 阶实正定矩阵，则.0>+B A 证明（1）首先证明n 为偶数，n B B B B B B nn.1)1(,0,)1(,=-≠-=-=-='于是那么为偶数，不妨令.2t n =由B 是可逆实反对称矩阵，则B 的特征值只能是纯虚数，而)(λϕ是实系数多项式，所以虚根是成对的，令为.,,1.0,,,,,21t j b R b i b i b i b j j t =≠∈±±±其中那么存在可逆矩阵P .使11212*0t t b ib i b i P BP b ib i b i -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭.0,022221>>=B b b b B t 于是（2）.0)1()0(>-=-=B B nϕ显然，对任意实数,0)(,≠c c ϕ假定存在实数c ，使n c 的是而λλϕϕ)(.0)(<次多项式，)(λϕ是连续函数，那么存在,0)(,=∈a R a ϕ使矛盾.所以对任意的实数.0)(,>b b ϕ（3）A 正定，那么存在可逆矩阵.P 使E AP P ='BP P BP P E P B A P ''+=+',)(仍是可逆实反对称矩阵，由（1），存在可逆矩阵Q ，使111*()0t t c i c i Q P BP Q c i c i -⎛⎫⎪-⎪⎪'=⎪⎪⎪-⎝⎭其中.,,1,0.t j c R c j j =≠∈那么 Q BP P Q Q AP P Q PQ B A P Q )()()(111'+'=+'---1111*011t t c ic i c i c i +⎛⎫⎪-⎪⎪=⎪+⎪⎪-⎝⎭于是，.0)1()1)(1(222212>+++=+t c c c B A P所以.0>+B A7.（上海交大，2003）,A B 是n 阶正定矩阵，证明AB 的特征值为实数. 证明 n B A 是,阶正定矩阵，那么存在n 阶可逆矩阵,,Q P 使.P P A '= .Q Q B '=于是， P Q Q P P P P AB P ''''=''--11)()()( P Q Q P '⋅'= .C C '=其中,C QP C '=是可逆矩阵.AB '与C C 有相同的特征值，而C C '的特征值全为实数，所以AB 的特征值为实数.8.（华中科大，2001）A 为n 阶非零半正定矩阵，证明1>+E A证明 n A 为阶半正定矩阵，则A 的特征值都大于等于零，于是存在可逆矩阵T ，使⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n AT T λλλ 211 其中0,0,0,1,,,,i i A i n λλ≥≠=而则中至少有一个大于于是T E A T E A )(1+=+-.1)1()1)(1(1112121>+++=+++=n n λλλλλλ9.(华中科大,2002) n A 为阶半正定矩阵,证明.22n E A ≥+证明 n A 为阶半正定矩阵,A 的特征值都大于等于零,于是存在n 阶可逆矩阵T .使⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n AT T λλλ 211 其中.,,2,1,0n i i =≥λ 于是,T E A T E A )2(21+=+-22221+++=n λλλ.2)2()2)(2(21n n ≥+++=λλλ10.（武汉大学，2001）B A ,为正定矩阵，请证明AB 正定的充分必要条件为.BA AB = 证明 必要性AB 是正定矩阵，则AB 是实对称矩阵，..)(BA AB BA A B AB ==''='于是充分性.AB AB AB A B BA 于是,)(='=''=是实对称矩阵，由A 正定，那么存在可逆矩阵使.P .E AP P ='那么11(),P AB P P AP P BP P BP B --''=⋅=-1，由正定则P BP 的特征值全大于零，即 ()P AB P '的特征值全大于零，那么()P AB P '正定，所以AB 正定11.(武汉大学,2001)n m B m A ⨯为阶正定矩阵为,阶实矩阵,请证明,AB B T为正定的充要条件是B 的秩为.n证明 必要性,,,T A B AB m n B n 分别为阶阶正定矩阵,假定的秩小于则齐次线性方程组0BY =有非零解.不妨令为,0,0,000=≠BY Y Y 而考虑n 元二次型.0)()()(),,,(000021===BY A BY Y AB B Y y y y g T T T n 与AB B T 为n 阶正定矩阵矛盾.所以B 的秩等于n .充分性.对任意n 维非零列向量.0Y000)()(Y AB B Y Y g T T =)()(00BY A BY T = 由000(),0,0..R B n Y X BY A =∀≠=≠则由正定那么0()0,g Y g >于是正定,所以正定AB B T .12.(武汉大学,2002)C XA AX B n C A =+是矩阵方程阶实正定矩阵为,,:,证明的唯一解(1)B 是对称矩阵.(2)B 是正定矩阵. 证明(1)..,.,C B A A B C C A A C B A A B C BA AB ='+'='=''=''+''=+那么由于是而矩阵方程..B B C XA AX ='=+那么的解唯一于是B 是对称矩阵. (2) 由A 为n 阶正定矩阵,那么存在可逆矩阵,P 使.E AP P ='于是,.)()(CP P P BA P P AB P '='+'CP P AP P P B P BP P AP P '='⋅''+⋅'--11)(CP P P B P BP P '=''+--11)( (1)令,)(,11H P B P H BP P '=''=--则于是(1)可表为CP P H H '='+令ξ是H 的属于特征值0λ的特征向量，即0,0.H ξλξξ=≠于是.H H P CP ξξξξξξ'''''+=而于是是正定矩阵又.0,,≠''='ξξξξξP C H H .02>'ξξH所以0020,0,0,0,.B B λξξξξλ''>>>而因此的特征值都大于所以是正定矩阵13.(浙江大学,2003)设n n ij a A ⨯=)(是可逆的对称实矩阵,证明:二次型nmn nn n n a a x a a x x x x x x f111111210),,,(--= 的矩阵是A 的伴随矩阵*A .证明 令).,,,(21n x x x X ='考虑以下的分块矩阵.000011⎪⎭⎫ ⎝⎛'→⎪⎭⎫ ⎝⎛-'→⎪⎭⎫ ⎝⎛-'--A X A X A X X A X A X X 于是，111*1200(,,,)().0n X X A X f x x x A X A X X A A X X A X XAA---'''''=====-由A 是对称矩阵，那么.)()(*11*A A A A A A =='='--所以二次型),,,(21n x x x f 的矩阵是*A .14.（清华大学，2000）设n 级实方阵A 如下，试求b 的取值范围，使A 为正定方阵.⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b b b b A 1131131133338解 考虑A 的k 阶顺序主子式k D .,,2,1n k =bbb b bb b b D k11301130113033380111311131131133338+=+= 10000100000100000101113171000101001001010001311131-----++=--------=b b b b b k b b b b b1)1)(7(--++=k b k b .（1） k 为奇数，7,1,0,k k b k D >--≠>则A 正定. （2） k 为偶数，1,0,k b D >>则A 正定.15.(厦门大学,1998)证明: 实二次型AX X X f '=)(在向量X 的模1=X 时的最大值即为实对称矩阵A 的最大特征值.证明 A 是实对称矩阵,那么存在正交矩阵Q .使.211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=='-n AQ Q AQ Q λλλ 其中12.n λλλ≤≤≤对二次型)(X f 作正交线性替换,1, 1.X QY X X X '===且令即那么.)(2222211n n n YY y y y QY Q Y AQY Q Y X X AX X AX X X f λλλλ≤'+++=''''=''='=令).1,0,,0('0 =Y 那么存在,00QY X =使n nn n y y X f λλ==220)(.于是结论成立.16.(厦门大学,2000)设A 是n 阶实对称正定阵,求证:存在唯一的实对称正交阵B ,使得2B A =.证明 存在性A 是实对称正定阵,那么存在正交矩阵Q ,使.21⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='n AQ Q λλλ 其中.,,1,0n i i =>λ于是2212121B Q Q Q Q Q Q A n n n ='⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλλλλ. 其中.21Q Q B n '⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ显然B 是实对称正定阵.唯一性.假定还有实对称正定阵1B ,使221B B A ==.2B 是实对称正定阵,令.0,2≠=ξλξξB那么,,0))((,0)(2=-+=-ξλλξλB E B E B E 而B E +λ是正定阵，于是.0,0)(≠=-ξξλB E这就是说，如果2B 是ξ的属于特征值λ的特征向量，那么ξ是B 的属于特征值λ的特征向量，于是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='n BQ Q λλλ21 同理..211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='n Q B Q λλλ所以,1B B =于是唯一性成立.17.（华中科大，2005）设A 为n m ⨯实矩阵，E 为n 阶单位阵，,A A E B T+=λ证明：当0>λ时，B 为正定矩阵.证明 考虑n 元二次型.)(),,,(21X A A E X x x x f TTn +=λ 对实数域上的任意非零n 维列向量0X .000)()(X A A E X X f T T+=λ)()(0000AX AX X X T T+=λ 由.0)()(,0,00000≥>>AX AX X X T Tλλ则那么,0)(0>X f 所以B 正定18.（华中科大，2005）证明：任一n 阶实可逆阵A 可以分解成一个正交阵Q 与一个正定阵S 之积，即.QS A =证明 A 是实可逆矩阵，那么A A '是正定矩阵，由本章第16题，存在正定阵S ，使A A S '=2,令1-=AS Q （1）那么111111.()()()A QS QQ AS S A A S A A A A A AA A A E ------''''''''======2（）.Q 是正交矩阵，S 是正定矩阵19.（北京师范大学，2006）证明： （1）若A 是可逆矩阵，则A A '是正定矩阵.（2）若A 是实对称矩阵，证明存在一个非零实数s ，使得矩阵sA I n +是正定矩阵. 证明（1）令X 是实数域上的n 维非零列向量，由A 可逆.则.0)()()(),,,(.021>'''=''=≠X A X A X A A X x x x f AX n 于是A A '是正定矩阵.(2) 令A 的n 个特征值为12n λλλ≤≤≤.如果10,λ≥令1,s =则sA I n +是正定矩阵. 如果0,n λ≤令1,s =-则sA I n +是正定矩阵.如果10,0n λλ<>,令111ns λλ->>-, 则sA I n +是正定矩阵20.(中山大学,2003)设nn R C B A ⨯∈,,.若矩阵⎪⎭⎫ ⎝⎛C B B A T是正定的,证明T B BA C 1--也正定.证明110,..0T T n Tn n n E E A B A B A A P P BA E E B C --⎛⎫⎛⎫-⎛⎫'===⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为正定，则令则 .001⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-T TTB BAC A P C B B A P 由⎪⎭⎫ ⎝⎛C B B A T正定, 那么⎪⎭⎫ ⎝⎛--T B BA C A 100也正定. 令),,,(),,,,(2212211n n n Tn T x x x X x x x X ++==那么下面的n 2元二次型是正定的.⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-211212100),(),,,,(X X B BA C A X X x x x f T T T n n 21211)(X B BA C X AX X T TT --+=令.0.021≠=X X 则.0)(212>--X B BA C X T T 所以TB BAC 1--正定.21.(中南大学,2002)设A 是n 级正定矩阵,令),,,(212122222111121121nn nn n n nn n y y y y a a a y a a a y a a a y y y f= 求证:),,,(21n y y y f 是负定二次型.证明 令).,,,(21n y y y Y ='那么⎪⎭⎫ ⎝⎛'-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪⎭⎫ ⎝⎛'----Y A Y A Y A E Y Y A A Y E n n 1110010010 11110(,,)().00n A Y A f y y A Y A Y Y A A Y Y Y A Y---''===-=-''- 由A 是正定矩阵，则1-A A 是正定矩阵.所以),,,(21n y y y f 是负定二次型. 22.(东南大学,2003)设有n元实二次型.)()()()(),,,(212112322221121x a x x a x x a x x a x x x x f n n n n n n ++++++++=-- 其中),,1(n i a i =为实数,试问:当n a a a ,,,21 满足何种条件时,二次型),,,(21n x x x f 为正定二次型.解 ),,,(21n x x x f 显然是半正定的,),,(1n x x f 是正定的0),,,(21=⇔n x x x f可以推出.021====n x x x ⇔ 下面的齐次线性方程组只有零解1122231110000n n n n n x a x x a x x a x a x x --+=⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪+=⎪+=⎪⎩⇔系数行列式121121100001001(1)0000101n n n na a a a a a a +-=+-≠所以,当),,,(0)1(121211n n n x x x f a a a 时≠-++是正定二次型.23 (东南大学,1999)(1) 证明正定实对称矩阵的主对角元素全为正数.(2) 若AB B A A T-及都是正定实对称矩阵,B 是λ的任一实特征值,证明1<λ. 证明(1)令 (1,)(1,).D P i AP i =由A 正定,则D 正定.那么D 的左上角元素.,,2,1,0n i a ii =>(2)令,,0.B R ξλξλξ=∈≠那么TT T B λξξ=.于是,由AB B A T-正定ξξ)(AB B A T T -ξξξξAB B A T T T -= ξξλξξA A T T 2-= 0)1(2>-=ξξλA T由A 正定,那么.1,01,01,022<>->->λλλξξ所以则于是A T24.(东南大学,2000)设A 为n 阶正定阵,B 为n 阶实反对称阵,求证:2B A -为正定阵. 证明 A 为n 阶正定阵,那么存在n 阶可逆阵P ,使n B E AP P 为.='阶实反对称矩阵,令B 的特征值为.0,,0,,,1 i b i b t 那么2B 的特征值为222221.0,,0,,,,B b b b t ---是实对称矩阵,则P B P 2'也是实对称矩阵,,那么，存在正交矩阵Q .使⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=''002212 t c c PQ B P Q 其中,0.1,,.i i c R c i t ∈≠=那么⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-''1111)(2212 t c c PQ B A P Q 所以2B A -为正定阵.25.(厦门大学,2002)设A 是实数域上的n 阶对称矩阵,求证：存在实数c ,使得对实数域上任何n 维列向量X ,都有X AX cX X ''≤这里X X 是'的转置矩阵. 证明 考虑下面的n 元二次型,利用正交线性替换QY X =将二次型化成平方和..),,,(222221121n n n y y y AX X x x x f λλλ+++='=令12max(,,,).n c λλλ=那么2222221111()()n n n n cX X cY Y c y y y y c y y cY Y cX Xλλ''''-=-=-++≤++≤++==所以 X AX cX X ''≤.26．（中科院，2004）证明：若S 为n 阶对称正定阵，则 （i ）存在唯一的对称 正定矩阵1S ，使得21S S =； （ii ）若A 是n 阶实对称矩阵.则AS 的特征值是实数证明(i)见16题.(ii)令 0,)(≠=ξλξξAS (1)那么 ,'='λξξAS 即ξλξ'='SA (2)用S 左乘(1)式两边,ξλξS S SA =)( (3)用ξS 右乘(2)式两边,由(3)式,有ξξλξξλS S '='由S 是正定矩阵,则2S B =.其中B 是对称正定矩阵,于是).()()()(ξξλξξλB B B B '=',0≠ξB 那么.0)()(>'ξξB B 所以λλ=27.(中科院2004)设A 为n n ⨯阵实对称矩阵,b 为1⨯n 维实向量.证明:0>-Tbb A 的充分必要条件是.101<>-b A b A T 及其中Tb 表示b 的转置.证明 充分性因为.101<>-b A b A T及⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-10010110T T n T n bb A b E b b A b E (1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛----b A b A b A E b b A A b E T n T T n 11110010110 (2)那么(2)的右端是正定的,于是Tbb A -正定 必要性.由上面的(1)式,而Tbb A -正定,那么⎪⎭⎫ ⎝⎛1T b b A是正定矩阵.于是A 是正定矩阵,那么(2)式成立.所以11<-b A b T.28.(武汉大学,2003)求实二次型)2()(),,,(212121≥∑-∑===n x x n x x x f i ni ini n 的秩和正、负惯性指数.解 j i j i n i ni n x x x n x x x f 121212)1(),,,(≥>≥=∑-∑-= 令A 是这个二次型的矩阵.则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------------=111111111111n n n A容易计算.)(1λλλ--=-n n A E因此秩和正惯性指数都为1-n .负惯性指数为0. 29.(四川大学,1997)nm RA ⨯∈.线性方程组β=AX 有解.证明: β=AX 有唯一解A A '⇔为正定阵(A '表A 的转置阵).证明 必要性β=AX 有唯一解,则元二次型考虑n n A R .)(=()f X X A AX ''=10000,,0.n X X R AX ⨯∀≠∈≠那么.0)()()(000>'=AX AX X f于是)(X f 是正定二次型,A A '为正定阵.充分性A A '为正定阵,则.)()(n A R A A R =='于是,线性方程组β=AX 有唯一解30.(武汉大学,1991)设A 为n 阶实对称矩阵,n λλ,1分别为A 的最小和最大特征值,证明:对于实二次型,),,,(21AX X x x x f n '= 恒有.1X X AX X X X n '≤'≤'λλ证明n A 为阶实对称矩阵，那么存在正交线性替换2. 1...X UY U X Y U X X Y U UY Y Y '''''''=====于是，.)(22222111Y Y y y y Y AU U Y AX X Y Y n n n '≤+++=''='≤'λλλλλ.1X X AX X X X n '≤'≤'λλ31.(武汉大学,1992)B A ,是正定矩阵,证明:B A B A +>+证明 A 正定,则存在可逆矩阵BP P E AP P P '=',,使正定,那么存在正交矩阵E APU P U U =''使.21⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=''n BPU P U λλλ 其中且可逆则令,,.0,,,21Q Q PU n =>λλλnBQ Q AQ Q Q B A Q λλλ+++='+'=+'11121).1()1)(1(21n λλλ+++=)1()1)(1(1212n QB A λλλ+++=+.1)(21n BQ Q AQ Q Q B A Q λλλ +='+'=+'),1(1212n QB A λλλ +=+所以.B A B A +>+32.(华中科大,1998)n n A ⨯为正定实对称矩阵.S 为实反对称矩阵,试证:.0)det(>+S A 证明 先证明.0≠+S A 假定0A S +=，则齐次线性方程组0)(=+X S A 有非零解,0X ,0)(0=+X S A 那么0000000().X A S X X AX X SX '''=+=+由S 是实反对称矩阵,那么,0.00000='='AX X SX X 那么与A 是正定矩阵矛盾,所以.0≠+S A作]1,0[上的连续函数00(),.f x A xS x R x S =+∀∈仍是实反对称矩阵.于是所以矛盾使那么存在如果..0)(),1,0(.0)1(.0)0(.0)(0=∈<+=>=≠c f c S A f A f x f .0)1(>+=S A f33.(华东师大,1992)B A ,都是正定的,证明: (1)方程0=-B A λ的根都大于零;(2)方程0=-B A λ的所有根等于1.B A =⇔ 证明(1)A 正定,则存在可逆矩阵,,,C C AC E B C BC ''=使正定那么正定,则存在正交矩阵Q ,使.)(21⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=''n Q BC C Q λλλ 其中那么令且..,0,,,21P CQ E ACQ C Q n ==''>λλλ12(,,,)n P A B P E diag λλλλλ'-=-).())((21n λλλλλλ---= 于是.00,,,21的根是方程=->B A n λλλλ(2)方程=-B A λ的所有根等于1121====⇔n λλλ .,B A E AP P E BP P =⇔='='⇔34.(西北工大)设n A 为阶对称正定矩阵,n B 为阶实对称矩阵,证明: (1)存在n 阶正定矩阵2,G A G =使; (2)AB 的特征值为实数.证明 (1)见16题.(2)A 正定,由(1)存在正定矩阵GBG G B G G B G AB G A G ===-)(,,2122相似于那么使,而GBG 是实对称矩阵,所以AB 的特征值为实数.35.(华东师大,2005)设n n n n a a a f ++++=--λλλλ111)( 是实对称矩阵A 的特征多项式,证明:A 是负定矩阵的充要条件是n a a a ,,,21 均大于0.证明 充分性.A 是实对称矩阵, A 的特征值都是实数,)(λf 的系数都大于0,则)(λf 的根不可能是0和正数,所以A 是负定矩阵.必要性.A 负定,则)(λf 的根都是负数,令为n λλλ,,,21 .那么.011>∑-==i ni a λ.0131212>+++=-n n a λλλλλλ0)(124213213>+++-=--n n n a λλλλλλλλλ…………0)()1(32112111>+++-=----n n n n n n n a λλλλλλλλλ .0)()1(21>-=n n n a λλλ36.(华东师大，2002）设n n B ⨯为正定矩阵,C 是秩为m n m ⨯的实矩阵,m n >.令⎪⎭⎫ ⎝⎛'=0C C B A 证明:n A 有个正的特征值,m 个负的特征值.证明1100000T nnm m E B C B E B C C B E C C B C E --⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪'''--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (),R C m =对任意m 维非零实列向量.0,00≠CX X 而B 正定，那么1-B 正定，于是110()()0.X C B CX CX B CX --'''-=-<因此C B C 1-'-负定，所以结论成立.。
第五章 二次型
= ∑∑ aij xi x j
i =1 j = 1
n
n
③
第五章 二次型
高等代数
东北大学秦皇岛分校
a11 a21 令 A= L a n1
a12 a22 L an 2
... ... L ...
a1n a2 n ( A ∈ p n×n ) L ann
则矩阵A称为二次型 f ( x1 , x2 ,L , xn ) 的矩阵. 定义4 因为aij=aji，i,j ＝1,2,…,n，所以 A′ = A ， 这样的矩阵称为对称矩阵。
第五章 二次型
高等代数
东北大学秦皇岛分校
例1 化二次型
2 2 2 f = x1 + 2 x 2 + 5 x 3 + 2 x1 x 2 + 2 x1 x 3 + 6 x 2 x 3
为标准形 , 并求所用的变换矩阵 .
解
含有x1的项配方 含有平方项 2 2 2 f = x1 + 2 x2 + 5 x3 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3
写成 2aij . 2) 式① 也可写成
f ( x1 , x2 ,L , xn ) = ∑ aii xi2 + 2
i =1
n
1≤ i < j ≤ n
∑
aij xi x j
第五章 二次型
高等代数
东北大学秦皇岛分校
定义2 定义 x1 , x2 ,L , xn ; y1 , y2 ,L , yn 是两组文字,系数在P 中的一组关系式
第五章 二次型
高等代数
东北大学秦皇岛分校
例3
证明：矩阵A与B合同，其中 λi1 λ1 λ i2 λ2 A= , , B = O O λn λ in
扬大高等代数北大三版-第五章二次型
目录
CONTENTS
• 引言 • 二次型的定义与性质 • 二次型的分类与判别式 • 二次型与矩阵的等价关系 • 二次型与线性变换的关系 • 特殊二次型与正定二次型
01
引言
背景介绍
二次型是代数学的一个重要分支，它在几何、物理和工程等领域有广泛的应用。
二次型的研究起源于二次方程的求解问题，后来逐渐发展成为一个独立的数学领域。
正定二次型的定义与性质
正定二次型的定义
正定二次型是指对于任意非零向量x，都有f(x)>0的二次型，其中f(x)是x的二次齐次函 数。
正定二次型的性质
正定二次型具有一些重要的性质，如正定性、对称性、可微性等，这些性质在解决数学 问题时具有重要的作用。
正定二次型的应用
在数学物理中的应用
正定二次型在数学物理中有广泛的应用 ，如在量子力学、统计力学等领域中， 正定二次型可以用来描述粒子的能量和 动量等物理量。
线性变换与二次型的关系
二次型：一个多项式函数，可以表示为向量空间中向量的内积的线性组合， 其中每个内积项都是两个向量的二次方。
二次型可以通过线性变换转换为标准形式，即一个只包含平方项的多项式。
线性变换可以将二次型转换为标准形式，从而简化二次型的计算和分析。
线性变换的应用
01
02
03
在几何学中，线性变换可以用来 研究几何图形的形状和大小的变 化。
实对称矩阵是满足$A^T = A$的矩阵，其中 $A^T$是矩阵A的转置。
二次型可以通过线性变换转换为矩 阵形式，即$f(x_1, x_2, ..., x_n) = X^T A X$，其中$X$是列向量， $A$是实对称矩阵。
03
高等代数第5章二次型
于是
f a11 x a12 x1 x 2 a1n x1 x n
2 1
a 21 x 2 x1 a 22 x a 2 n x 2 x n
2 2
... an1 xn x1 an 2 xn x2 ann x
5.1.
二次型及其矩阵表示
5.1.1 二次型的定义及表示
系数在数域P中,含有n个未知量的二次齐次多项式
f x1 , x2 , , xn
2 a11 x1 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 x n 2 a22 x2 2a23 x2 x3 2a2 n x2 xn
拉格朗日配方法若二次型含有的平方项则先把含有的乘积项集中然后配方再对其余的变量同样进行直到都配成平方项为止经过非退化线若二次型中不含有平方项但是则先作可逆线性替换化二次型为含有平方项的二次型然后再按1中方法配方
第5章
二次型
5.1 5.2 5.3 5.4
二次型及其矩阵表示 二次型的标准形 惯性定理和规范形 实二次型的正定性
拉格朗日配方法的步骤
1. 若二次型含有 x i 的平方项，则先把含有 x i 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性 替换，就得到标准形； 2. 若二次型中不含有平方项，但是 a ij 0 ( i j ),则先作可逆线性替换 x i yi y j k 1,2,, n且k i , j x j yi y j x y k k 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方。
0 1 2 A 2 2 3 . 0 3 3
湖州师范学院高等代数第五章 二次型
bij xi x j
j2
i2 j2
nn
n
nn
这里，
bij xi x j a111( a1 j x j )2
aij xi x j
i2 j2
j2
i2 j2
是一个. x2 , x3 ,L , xn 的n－1元二次型.
y1 x1
n
a111a1 j x j
又 B (CAC ) CAC CAC B
即，B为对称矩阵.
Y BY g( y1, y2 ,..., yn )是一个 y1, y2 ,L , yn 二次型.
三、矩阵的合同
1、定义：设 A, B Pnn，若存在可逆矩阵
C Pnn , 使 B CAC ，则称A与B合同. 注: 1）合同具有
j 1
j 1
j 1
n
n
nn
( xi aij x j )
aij xixj
i1 j1
i1 j1
于是有 f ( x 1 , x 2 ,..., xn ) X AX .
注
1）二次型的矩阵总是对称矩阵,即 A A. 2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即 若 X AX X BX 且 A A, B B，则 A B. （这表明在选定文字 x1, x2 ,..., xn下，二次型 f ( x1, x2,..., xn ) X AX 完全由对称矩阵A决定.)
c12 y2 L LLLL cn2 y2 L
L
c1n yn L cnn yn
③
称为由 x1, x2 ,L , xn到y1, y2 ,L , yn 的一个线性替换;
若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换.
二次型
A = C
T
利用反证法. 利用反证法
I p 0 0
0 − Iq 0
0 0C 0
其中C可逆 其中 可逆. 可逆
那么对于任意的X,令 都有: 若p=0,那么对于任意的 令Y=CX,都有 那么对于任意的 都有 q − I q 0 2 T T X AX = Y Y = ∑ ( − y i ) ≤ 0 0 i =1 0 这显然与题目条件X 相矛盾,于是有 这显然与题目条件 1TAX1>0相矛盾 于是有 相矛盾 于是有p≠0. 同理,若 将会导致与X 相矛盾,那么也有 同理 若q=0,将会导致与 2TAX2<0相矛盾 那么也有 将会导致与 相矛盾 q≠0. 于是我们可以取Y 于是我们可以取 0T=(1,0,…,0,1(p+1),…,0),并令 并令 X0=C-1Y0≠0. 显然有, 显然有 X0TAX0=0. □
高等代数第5章二次型
f (x1, x2 , x3 ) = −4x1x2 + 2x1x3 + 2x2 x3
的标准形为
且非退化线性替换为
f
=
− y12
+
4
y
2 2
+ 3y32 ，
⎧ ⎪
x1
⎪
=
1 2
y1
+
y2
+
1 2
y3
⎪ ⎨
x
2
⎪
=
1 2
y1
−
y2
+
1 2
y3
，
⎪x3 = y3 ⎪⎩
（1） 在实数域上，若作非退化线性替换
w2
−
3 4
w3
+
w4
，
⎪ ⎪⎩x4
=
−1 2
w1
+
w4
⎜⎛ 1 − 5 − 3 1⎟⎞
⎜2 4 4 ⎟
T
=
⎜ ⎜
0 0
1 1 0⎟ ， 1 −1 0⎟
⎜ ⎜⎝ −
1 2
0
⎟ 0 1⎟⎠
且有
⎜⎛ − 2 0 0 0⎟⎞
T ′AT
=
⎜ ⎜
⎜⎜⎝
0 0 0
2 0 0
0 −2 0
0⎟
0 8
⎟ ⎟⎟⎠
。
( ) （5）已知 f x1, x2 , x3 , x4 = x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 ，
于是可令
=
(x1
+
2x2
+
2x3
第五章 二次型 总结 - itstzceducn
第五章 二次型 一些需要理解的概念和方法一. 二次型的表示2121121111(,,...,)2()n n ii i ij i ji i j n n ii i ij ji i j i i j n n n ij i ji j T f x x x a x a x x a x a a x x a x x X AX=≤<≤=≤<≤===+=++==∑∑∑∑∑∑从上述的表达式中, 可以看出, 二次型中, j i x x 的系数是ij ji ij a a a 2=+.例如: 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321321987654321),,(),,(x x x x x x x x x f , 则该二次型关于32x x 的系数是6+7=13.所以可以直接写出该二次型如下:2332223121213219145106),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=. 二. 任意二次型经过非退化线性替换可以化成标准形, 有两种方法达到该目的. 这是因为一个二次型经过非退化的线性替换后仍是一个二次型。
事实上，令X=CY ，则f (X )=X T AX =(CY )T A (CY )=Y T (C T AC )Y = Y T BY , B=C T AC , A 与B 合同.1. 配方法2. 矩阵的合同变换T A C AC E C ⎛⎫⎛⎫−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭合同, 对A 作合同变换，E 只与A 作同样的列变换。
此时, C T AC 是一个对角形矩阵，非退化线性替换的矩阵为C ， 即经过X=CY ，原二次型化为标准形。
于是一个秩为r 对称矩阵可以写出r 个秩为1 的对称矩阵之和:因为.0,001111≠++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=i rr r r T d E d E d d d AC C 其中 , 所以 1111111)()(----++=C E C d C E C d A rr T r T .上式右端的每一项中, 因为1-C 和(1-C )T 均可逆, 而R(E ii )=1, 可逆矩阵乘以一个矩阵不会改变这个矩阵的秩, 所以1)()(11==--ii ii T E R C E C R .三. 规范形1. 复数域上: 任一个对称矩阵A 合同于000rE ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 任一个二次型可经过非退化线性替换X=CY 化为2r f X f CY y y R A r ++ 21（）=（）=，（）=.2. 实数域上: 任一个对称矩阵A 合同于0p q E E ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭, 任一个二次型可经过非退化线性替换X=CY 化为2221p p r f X f CY y y y y R A r +++--- 21（）=（）=，（）=. 其中, p------正惯性指数,r-p----负惯性指数2p-r---符号差3. 二次型的取值: 对于一个实二次型, 若存在X 1, X 2使得,0,02211><AX X AX X T T 则该二次型既不是半正定也不是半负定, 即它的正负惯性指数都非零, 所以存在非退化线性替换CY X =使得,)()(221221r p p y y y y CY f X f --++==+且0<p<r.取),...,,,...,(110n p p c c c c Y +=, 其中.1,,...,2,0,111+≠====+p j n j c c c j p 令0)()(,21210000=-===+p c c CY f X f CY X 则.四. 正定二次型的几个等价条件 实二次型AX X x x x f n '=),,,(21 正定⇔① A 与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵P ,使得P P A '=;② A 的顺序主子式都大于零.③ ),,,(21n x x x f 的正惯性指数等于n .④ 对于任意的0),...,,(,),...,,(02121>=∈=≠αααA c c c f R c c c T n n n T . 推论: 设A 是可逆的实对称矩阵, 则是正定矩阵.证法1. 因为A T A =A T EA , 所以矩阵A T A 与E 合同, 所以A T A 正定.证法2. 令B=A T A , f (X )=X T BX =X A T A X =(AX )T AX , 对任意的X 0=(c 1,c 2,…,c n )≠0, 因为A 可逆, 所以A X 0≠0, 于是X 0 A T A X 0>0. 所以A T A 正定.五. 负定矩阵A 负定的充要条件是-A 正定, 于是有A 负定的充要条件是A 的奇数阶的顺序主子式小于零, 偶数阶的顺序主子式大于零.第五章 二次型 小结一. 二次型与矩阵1. 基本概念二次型;二次型的矩阵和秩;非退化线性替换;矩阵的合同.2. 基本结论(1) 非退化线性替换把二次型变为二次型.(2) 二次型AX X x x x f n '=),,,(21 可经非退化的线性替换CY X =化为二次型BY Y y y y f n '='),,,(21 ⇔AC C B '=.(3) 矩阵的合同关系满足反身性、对称性和传递性.二. 标准形1. 基本概念二次型的标准形;配方法.2. 基本定理(1) 数域P 上任意一个二次型),,,(21n x x x f 都可经过非退化的线性替换CY X =化为标准形式2222211nn y d y d y d +++ . (2) 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.3. 矩阵的合同变换T A C AC E C ⎛⎫⎛⎫−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭合同, 对A 作合同变换，E 只与A 作同样的列变换。
第5章(二次型)线性代数及其应用
= x1(a11x1 +a12x2) + x2(a12x1 +a22x2) a11x1 +a12x2 = (x1, x2) a12x1 +a22x2
2 2 f = y12 + 2 y2 + 5 y3 . 通过正交变换化为标准形 (1)求参数 ，并指出二次曲面 f ( x1 , x2 , x3 ) = 10 所属的 求参数a 求参数
曲面类型; 曲面类型 (2)当 x T x = 1 时，求 f 的最大值, 其中 x = ( x1 , x2 , x3 )T . 当 的最大值
二次型的矩阵表示
a11 = (x1, x2) a12 x1 a11 其 x = ,A= 中 x2 a12
a12 x1 = xT Ax, a22 x2
a12 为 阶 称 阵 , A 二 对 矩 . a22
一般地， 一般地，对n元二次型 元二次型
第5章 二次型
建立了实二次型和实对称矩阵之间的 对应关系； 对应关系；从矩阵变换和函数化简两个角 度给出了二次型标准化的三种方法，进一 度给出了二次型标准化的三种方法， 步得到了二次型的规范形； 步得到了二次型的规范形；并对正定二次 型和正定矩阵的判别进行了讨论． 型和正定矩阵的判别进行了讨论．
第5章 二次型
λ1 λ2 T 求正交矩阵Q， ②求正交矩阵 ，使得 Q AQ = Λ = O λn
为对角阵； 为对角阵； ③正交变换x =Qy化二次型为标准形 f =yT Λy . 正交变换 化二次型为标准形
第五章二次型--精品PPT课件
定义: A , B∈Kn×n , A与B称为合同的,如果存 在n阶可逆阵C, 使B = C’AC.
注 1: K上n阶方阵的合同关系是等价关系. 注 2: 若A与B合同, A’= A, 则B’=B.
p=n.
f (x1 … xn)是半正定型
f (x1 … xn)的正惯性指数
p=r ≤ n.
f (x1 … xn)是负定型
f (x1 … xn)的负惯性指数q=n.
f (x1 … xn)是半负定型
f (x1 … xn)的负惯性指数
q=r ≤ n.
正定二次型与正定矩阵_3
定理: A’ =A∈Rn×n, 则下列条件等价: (1).A是正定阵. (2).对任意0≠X∈Rn×1, 有X’AX > 0. (3).存在可逆阵P∈Rn×n, 使得P’AP = In. (4).存在可逆阵P∈Rn×n, 使得A = P’P. (5).A的正惯性指数p = n. (6).A的所有主子式 > 0. (7).A的所有顺序主子式 > 0. (8).A的所有特征值 > 0.
注 2 : R上n阶对称阵，按合同关系分类共有
(n+1)(n+2)/2类
正定二次型与正定矩阵_1
设f (x1 … xn)是R上n元二次型,如果对
(a1,a2,…,an)≠0，恒有：
(1).f (a1 … an) > 0, 则称 f (x1 … xn)是正定二次型. (2).f (a1 … an)≥0,则称 f (x1 … xn)是半正定二次型. (3) .f (a1 … an) < 0,则称 f (x1 … xn)是负定二次型. (4) . f (a1 … an)≤0, 则称 f (x1 … xn)是半负定二次型.
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第五章 二次型 基本内容及考点综述一、基本概念 1、二次型设P 是一个数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式2222222112112211121222),,,(nnn n n n n n x a x x a x a x x a x x a x a x x x f 称为数域P 上的一个n 元二次型. 2.二次型的矩阵如果数域P 上的n 元二次型),,,(21n x x x f 可表为矩阵形式.AX X x x x f n ),,,(21其中A x x x X a A A A n n n ij ).,,,(,)(,21 称为二次型),,,(21n x x x f 的矩阵，A 的秩也称为二次型f 的秩.3.非退化线性替换设n n y y y x x x ,,,;,,,2121 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式11111221221122221122n n n nn n n nn nx c y c y c y x c y c y c y x c y c y c yL L L L L L 称为由n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，如果系数行列式0ij c那么以上线性替换称为非退化的.4.矩阵合同数域P 上n n 矩阵B A ,称为合同的，如果有数域P 上可逆的n n 矩阵C ，使.AC C B5.标准形数域P 上的二次型),,(1n x x f 可以经过非退化线性替换化成2222211n n x d x d x d （1）那么（1）就称为二次型),,(1n x x f 的一个标准形.6.正惯性指数，负惯性指数，符号差实二次型),,,(21n x x x f 的标准形中正的平方项的个数称为f 的正惯性指数，负的平方项的个数称为f 的负惯性指数.正惯性指数与负惯性指数的差称为符号差.7.正定二次型实二次型),,(1n x x f 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数12,,,n c c c L 都有.0),,(1 n c c f8.负定，半正定，半负定，不定设),,(1n x x f 是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ，如果都有,0),,(1 n c c f 那么称f 负定，如果都有1(,,)0n f c c L ，那么称f 半正定；如果都有0),,(1 n x x f .那么称f 半负定；如果f 既不是半正定又不是半负定，那么称f 为不定.二、基本结论1.数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化成标准形.换句话说，数域P 上的任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.2.任意一个复二次型AX X x x f n),,(1 都可以经过一适当的非退化线性替换化成规范形22221r y y y .且规范形是唯一的，换句话说，任一复对称矩阵A 合同于).(,000A R r E r其中 3.任意一个实二次型AX X x x f n),,(1 都可以经过一适当的非退化线性替换化成规范形221221r p p y y y y .且规范形是唯一的，换句话说，任一实数域上的对称矩阵A ，合同于0P r P E E 其中p A R r ).( 是正惯性指数.4.实二次型AX X x x f n ),,(1 正定 正惯性指数为 n 存在n 阶可逆矩阵P ，使T T A E AP P （T 可逆）A 的顺序主子式全大于零A 的特征值全大于零.正定A5.A A A A 负定正定,半负定半正定6.实二次型AXX x x f n ),,(1 半正定使阶可逆矩阵存在负惯性指数为零,P n)(,000A R r E AP P r其中A 的主子式都大于或等于零T T A.半正定零的特征值都大于或等于A A三、基本方法1.将二次型的问题与对称矩阵的问题互相转化是经常采用的一种方法.2.将二次型化成标准形，一般采用配方法或用初等变换的方法，而后者往往比较简单.3.,A B 是实对称矩阵，且A 正定，则存在可逆矩阵P ，使BP P E AP P ,为对角矩阵，这一结论是非常有用的试题精选1.（华中师大，1996）求二次型32312123222132161024),,(x x x x x x x x x x x x f 的正惯性指数与符号差..10101100030001100105110083000110010511248083000110001000124808305111000100011353415113832331363136E A 令321383233211001011y y y x x x f y y y x x x f .31363),,(232221321的正惯性指数为2，符号差为1. 2.（华中师大，1997）当t 为何值时，二次型323121232221321244552),,(x tx x x x x x x x x x x f 是正定的，并说明理由.解 .5252222t t A2>0.065222).1)(5(2 t t A二次型A f 正定的顺序主子式全大于零.510)1)(5( t t t 3.（华东师大，2005）求实二次型2121223111(,,,)22()nn i n n n i f x x x x x x x x x x x x L L 的正惯性指数、负惯性指数、符号差以及秩.解 .0)()()()(),,,(212123222121 x x x x x x x x x x x f n n n n于是f 是半正定，负惯性指数为零.此二次型的矩阵为.0),,(,2121 n n x x x f x x x A 时当那么f 不是正定的，于是.1)( n A R2100112000002100012110012A A 的前1 n 行，前1 n 列构成的1 n 阶子式等于n ，那么1)( n A R ，所以f n A R ,1)( 的正惯性指数为.1,1 n n 符号差为4.（厦门大学，1999）.,*也是正定矩阵证明为正定矩阵A A证明 A 为正定矩阵，那么..0P P A A 其中P 可逆，由那么,*E A AA.1* A A A于是..)()(*111*正定所以A P P A P P A A5.（南京大学，1997）k 是实数， 为实数域上的n 维行向量，.01 k 证明， k E 为实正定矩阵.证明 k E k E k E 那么,)(是实对称矩阵..1)( k R 当()0,00,.R k k 则或结论成立当.1)( k R 则零是n 阶实对称矩阵 k 的1 n 重特征值.令2121(,,,),().().nn i j n n i i a a a k ka a Tr k k a k L 则那么 k 是k的唯一非零特征值.于是， k E 的n 个特征值为.1,1,,1 k 而10,k E k 所以为实正定矩阵.6.（南京大学，1998）B 为n 阶可逆实反对称矩阵，证明： （1）0 B （2）().,()0E B b b证明对任意实数（3）A 为n 阶实正定矩阵，则.0 B A 证明（1）首先证明n 为偶数，n B B B B B B nn.1)1(,0,)1(, 于是那么为偶数，不妨令.2t n 由B 是可逆实反对称矩阵，则B 的特征值只能是纯虚数，而)( 是实系数多项式，所以虚根是成对的，令为.,,1.0,,,,,21t j b R b i b i b i b j j t 其中那么存在可逆矩阵P .使11212*0t t b ib i b i P BP b ib i b iL .0,022221 B b b b B t 于是（2）.0)1()0( B B n显然，对任意实数,0)(, c c 假定存在实数c ，使n c 的是而 )(.0)( 次多项式，)( 是连续函数，那么存在,0)(, a R a 使矛盾.所以对任意的实数.0)(, b b（3）A 正定，那么存在可逆矩阵.P 使E AP PBP P BP P E P B A P ,)(仍是可逆实反对称矩阵，由（1），存在可逆矩阵Q ，使111*()0t t c i c i Q P BP Q c i c iL其中.,,1,0.t j c R c j j那么 Q BP P Q Q AP P Q PQ B A P Q )()()(1111111*011t t c ic i c i c iL 于是，.0)1()1)(1(222212t c c c B A P 所以.0 B A7.（上海交大，2003）,A B 是n 阶正定矩阵，证明AB 的特征值为实数. 证明 n B A 是,阶正定矩阵，那么存在n 阶可逆矩阵,,Q P 使.P P A .Q Q B于是， P Q Q P P P P AB P 11)()()( P Q Q P .C C其中,C QP C 是可逆矩阵.AB 与C C 有相同的特征值，而C C 的特征值全为实数，所以AB 的特征值为实数.8.（华中科大，2001）A 为n 阶非零半正定矩阵，证明1 E A证明 n A 为阶半正定矩阵，则A 的特征值都大于等于零，于是存在可逆矩阵T ，使n AT T 211 其中0,0,0,1,,,,i i A i n L 而则中至少有一个大于于是T E A T E A )(1 .1)1()1)(1(1112121n n9.(华中科大,2002) n A 为阶半正定矩阵,证明.22n E A证明 n A 为阶半正定矩阵,A 的特征值都大于等于零,于是存在n 阶可逆矩阵T .使n AT T 211 其中.,,2,1,0n i i 于是,T E A T E A )2(2122221n.2)2()2)(2(21nn10.（武汉大学，2001）B A ,为正定矩阵，请证明AB 正定的充分必要条件为.BA AB 证明 必要性AB 是正定矩阵，则AB 是实对称矩阵，..)(BA AB BA A B AB 于是充分性.AB AB AB A B BA 于是,)( 是实对称矩阵，由A 正定，那么存在可逆矩阵使.P.E AP P那么11(),P AB P P AP P BP P BP B -1，由正定则P BP 的特征值全大于零，即()P AB P 的特征值全大于零，那么()P AB P 正定，所以AB 正定11.(武汉大学,2001)n m B m A 为阶正定矩阵为,阶实矩阵,请证明,AB B T为正定的充要条件是B 的秩为.n 证明 必要性,,,T A B AB m n B n 分别为阶阶正定矩阵,假定的秩小于则齐次线性方程组0BY 有非零解.不妨令为,0,0,000 BY Y Y 而考虑n 元二次型.0)()()(),,,(000021 BY A BY Y AB B Y y y y g T T T n 与AB B T 为n 阶正定矩阵矛盾.所以B 的秩等于n .充分性.对任意n 维非零列向量.0Y000)()(Y AB B Y Y g T T)()(00BY A BY T由000(),0,0..R B n Y X BY A 则由正定那么0()0,g Y g 于是正定,所以正定AB B T .12.(武汉大学,2002)C XA AX B n C A 是矩阵方程阶实正定矩阵为,,:,证明的唯一解(1)B 是对称矩阵. (2)B 是正定矩阵. 证明(1)..,.,C B A A B C C A A C B A A B C BA AB 那么由于是而矩阵方程..B B C XA AX 那么的解唯一于是B 是对称矩阵. (2) 由A 为n 阶正定矩阵,那么存在可逆矩阵,P 使.E AP P于是,.)()(CP P P BA P P AB PCP P AP P P B P BP P AP P 11)(CP P P B P BP P 11)( (1)令,)(,11H P B P H BP P 则于是(1)可表为CP P H H令 是H 的属于特征值0 的特征向量，即0,0.H 于是.H H P CP而于是是正定矩阵又.0,, P C H H.02 H所以0020,0,0,0,.B B 而因此的特征值都大于所以是正定矩阵13.(浙江大学,2003)设n n ij a A )(是可逆的对称实矩阵,证明:二次型nmn nn n n a a x a a x x x x x x f111111210),,,( 的矩阵是A 的伴随矩阵*A .证明 令).,,,(21n x x x X 考虑以下的分块矩阵.000011A X A X A X X A X A X X 于是，111*1200(,,,)().0n X X A Xf x x x A X A X X A A X X A X XA AL 由A 是对称矩阵，那么.)()(*11*A A A A A A 所以二次型),,,(21n x x x f 的矩阵是*A .14.（清华大学，2000）设n 级实方阵A 如下，试求b 的取值范围，使A 为正定方阵.b b b b A1131131133338解 考虑A 的k 阶顺序主子式k D .,,2,1n kbbb b bb b b D k11301130113033380111311131131133338100000100000100000101113171000101001001010001311131 b b b b b k b b b b b1)1)(7( k b k b .（1） k 为奇数，7,1,0,k k b k D 则A 正定. （2） k 为偶数，1,0,k b D 则A 正定.15.(厦门大学,1998)证明: 实二次型AX X X f )(在向量X 的模1 X 时的最大值即为实对称矩阵A 的最大特征值.证明 A 是实对称矩阵,那么存在正交矩阵Q .使.211n AQ Q AQ Q 其中12.n L 对二次型)(X f 作正交线性替换,1, 1.X QY X X X 且令即那么.)(2222211n n n Y Y y y y QY Q Y AQY Q Y X X AX X AX X X f令).1,0,,0('0 Y 那么存在,00QY X 使n nn n y y X f220)(.于是结论成立.16.(厦门大学,2000)设A 是n 阶实对称正定阵,求证:存在唯一的实对称正交阵B ,使得2B A .证明 存在性A 是实对称正定阵,那么存在正交矩阵Q ,使.21n AQ Q 其中.,,1,0n i i 于是2212121B Q Q Q Q Q Q A n n n. 其中.21Q Q B n显然B 是实对称正定阵.唯一性.假定还有实对称正定阵1B ,使221B B A .2B 是实对称正定阵,令.0,2 B那么,,0))((,0)(2B E B E B E 而B E 是正定阵，于是.0,0)( B E这就是说，如果2B 是 的属于特征值 的特征向量，那么 是B 的属于特征值 的特征向量，于是n BQ Q21 同理..211n Q B Q所以,1B B 于是唯一性成立.17.（华中科大，2005）设A 为n m 实矩阵，E 为n 阶单位阵，,A A E B T证明：当0 时，B 为正定矩阵.证明 考虑n 元二次型.)(),,,(21X A A E X x x x f TT n 对实数域上的任意非零n 维列向量0X .000)()(X A A E X X f T T)()(0000AX AX X X TT 由.0)()(,0,00000 AX AX X X TT 则那么,0)(0 X f 所以B 正定18.（华中科大，2005）证明：任一n 阶实可逆阵A 可以分解成一个正交阵Q 与一个正定阵S 之积，即.QS A证明 A 是实可逆矩阵，那么A A 是正定矩阵，由本章第16题，存在正定阵S ，使A A S 2,令1 AS Q （1）那么111111.()()()A QS QQ AS S A A S A A A A A AA A A E 2（）.Q 是正交矩阵，S 是正定矩阵19.（北京师范大学，2006）证明： （1）若A 是可逆矩阵，则A A 是正定矩阵.（2）若A 是实对称矩阵，证明存在一个非零实数s ，使得矩阵sA I n 是正定矩阵. 证明（1）令X 是实数域上的n 维非零列向量，由A 可逆.则.0)()()(),,,(.021 X A X A X A A X x x x f AX n 于是A A 是正定矩阵.(2) 令A 的n 个特征值为12n L .如果10, 令1,s 则sA I n 是正定矩阵. 如果0,n 令1,s 则sA I n 是正定矩阵.如果10,0n ,令111ns, 则sA I n 是正定矩阵20.(中山大学,2003)设nn R C B A ,,.若矩阵C B B A T是正定的,证明T B BA C 1 也正定.证明110,..0T T n Tn n n E E A B A B A A P P BA E E B C因为正定，则令则 .001T TTB BAC A P C B B A P 由C B B A T正定, 那么 T B BA C A 100也正定. 令),,,(),,,,(2212211n n n Tn T x x x X x x x X 那么下面的n 2元二次型是正定的.211212100),(),,,,(X X B BA C A X X x x x f T T T n n21211)(X B BA C X AX X TTT令.0.021 X X 则.0)(212 X B BA C X TT所以TB BAC 1 正定.21.(中南大学,2002)设A 是n 级正定矩阵,令),,,(212122222111121121nn nn n n nn n y y y y a a a y a a a y a a a y y y f求证:),,,(21n y y y f 是负定二次型.证明 令).,,,(21n y y y Y 那么Y A Y A Y A E Y Y A A Y E n n 1110010010 11110(,,)().00n A Y A f y y A Y A Y Y A A Y Y Y A YL 由A 是正定矩阵，则1A A 是正定矩阵.所以),,,(21n y y y f 是负定二次型.22.(东南大学,2003)设有n元实二次型.)()()()(),,,(212112322221121x a x x a x x a x x a x x x x f n n n n n n 其中),,1(n i a i 为实数,试问:当n a a a ,,,21 满足何种条件时,二次型),,,(21n x x x f 为正定二次型.解 ),,,(21n x x x f 显然是半正定的,),,(1n x x f 是正定的0),,,(21 n x x x f可以推出.021 n x x x 下面的齐次线性方程组只有零解1122231110000n n n n n x a x x a x x a x a x xLL L 系数行列式121121100001001(1)000010001n n n n a a a a a a a L L L L L L L L 所以,当),,,(0)1(121211n n n x x x f a a a 时 是正定二次型.23 (东南大学,1999)(1) 证明正定实对称矩阵的主对角元素全为正数.(2) 若AB B A A T及都是正定实对称矩阵,B 是 的任一实特征值,证明1 .证明(1)令 (1,)(1,).D P i AP i 由A 正定,则D 正定.那么D 的左上角元素.,,2,1,0n i a ii(2)令,,0.B R 那么TTTB.于是,由AB B A T正定)(AB B A T TAB B A T T T A A T T 2 0)1(2 A T由A 正定,那么.1,01,01,022所以则于是A T24.(东南大学,2000)设A 为n 阶正定阵,B 为n 阶实反对称阵,求证:2B A 为正定阵. 证明 A 为n 阶正定阵,那么存在n 阶可逆阵P ,使n B E AP P 为. 阶实反对称矩阵,令B 的特征值为.0,,0,,,1 i b i b t 那么2B 的特征值为222221.0,,0,,,,B b b b t 是实对称矩阵,则P B P 2 也是实对称矩阵,,那么，存在正交矩阵Q .使002212 t c c PQ B P Q 其中,0.1,,.i i c R c i t L 那么1111)(2212 t c c PQ B A P Q 所以2B A 为正定阵.25.(厦门大学,2002)设A 是实数域上的n 阶对称矩阵,求证：存在实数c ,使得对实数域上任何n 维列向量X ,都有X AX cX X这里X X 是的转置矩阵. 证明 考虑下面的n 元二次型,利用正交线性替换QY X 将二次型化成平方和..),,,(222221121n n n y y y AX X x x x f令12max(,,,).n c L 那么2222221111()()n n n n cX X cY Y c y y y y c y y cY Y cX XL L L所以 X AX cX X .26．（中科院，2004）证明：若S 为n 阶对称正定阵，则 （i ）存在唯一的对称 正定矩阵1S ，使得21S S ； （ii ）若A 是n 阶实对称矩阵.则AS 的特征值是实数证明(i)见16题.(ii)令 0,)( AS (1) 那么 , AS 即SA (2)用S 左乘(1)式两边,S S SA )( (3)用 S 右乘(2)式两边,由(3)式,有S S由S 是正定矩阵,则2S B .其中B 是对称正定矩阵,于是).()()()( B B B B,0 B 那么.0)()( B B 所以27.(中科院2004)设A 为n n 阵实对称矩阵,b 为1 n 维实向量.证明:0 Tbb A 的充分必要条件是.101 b A b A T 及其中Tb 表示b 的转置.证明 充分性因为.101b A b A T及10010110T T n T n bb A b E b b A b E (1)b A b A b A E b b A A b E T n T T n 11110010110 (2)那么(2)的右端是正定的,于是Tbb A 正定 必要性.由上面的(1)式,而Tbb A 正定,那么1T b b A是正定矩阵.于是A 是正定矩阵,那么(2)式成立.所以11b A b T.28.(武汉大学,2003)求实二次型)2()(),,,(212121 n x x n x x x f i ni in i n 的秩和正、负惯性指数.解 j i j i n i ni n x x x n x x x f 121212)1(),,,(令A 是这个二次型的矩阵.则111111111111n n n A容易计算.)(1 n n A E因此秩和正惯性指数都为1 n .负惯性指数为0.29.(四川大学,1997)n m R A .线性方程组 AX 有解.证明: AX 有唯一解A A 为正定阵(A 表A 的转置阵).证明 必要性AX 有唯一解,则元二次型考虑n n A R .)(()f X X A AX10000,,0.n X X R AX 那么.0)()()(000 AX AX X f于是)(X f 是正定二次型,A A 为正定阵.充分性A A 为正定阵,则.)()(n A R A A R 于是,线性方程组 AX 有唯一解30.(武汉大学,1991)设A 为n 阶实对称矩阵,n ,1分别为A 的最小和最大特征值,证明:对于实二次型,),,,(21AX X x x x f n恒有 .1X X AX X X X n证明n A 为阶实对称矩阵，那么存在正交线性替换2. 1...X UY U X Y U X X Y U UY Y Y 于是，.)(22222111Y Y y y y Y AU U Y AX X Y Y n n n.1X X AX X X X n31.(武汉大学,1992)B A ,是正定矩阵,证明:B A B A证明 A 正定,则存在可逆矩阵BP P E AP P P ,,使正定,那么存在正交矩阵E APU P U U 使.21n BPU P U 其中且可逆则令,,.0,,,21Q Q PU nnBQ Q AQ Q Q B A Q11121).1()1)(1(21n)1()1)(1(1212n QB A.1)(21n BQ Q AQ Q Q B A Q),1(1212n QB A所以.B A B A32.(华中科大,1998)n n A 为正定实对称矩阵.S 为实反对称矩阵,试证:.0)det( S A 证明 先证明.0 S A 假定0A S ，则齐次线性方程组0)( X S A 有非零解,0X ,0)(0 X S A 那么0000000().X A S X X AX X SX 由S 是实反对称矩阵,那么,0.00000AX X SX X 那么与A 是正定矩阵矛盾,所以.0 S A作]1,0[上的连续函数00(),.f x A xS x R x S 仍是实反对称矩阵.于是所以矛盾使那么存在如果..0)(),1,0(.0)1(.0)0(.0)(0 c f c S A f A f x f .0)1( S A f33.(华东师大,1992)B A ,都是正定的,证明: (1)方程0 B A 的根都大于零;(2)方程0 B A 的所有根等于1.B A 证明(1)A 正定,则存在可逆矩阵,,,C C AC E B C BC 使正定那么正定,则存在正交矩阵Q ,使.)(21n Q BC C Q 其中那么令且..,0,,,21P CQ E ACQ C Q n12(,,,)n P A B P E diag L).())((21n 于是.00,,,21的根是方程 B A n(2)方程B A 的所有根等于1121 n .,B A E AP P E BP P34.(西北工大)设n A 为阶对称正定矩阵,n B 为阶实对称矩阵,证明: (1)存在n 阶正定矩阵2,G A G 使; (2)AB 的特征值为实数.证明 (1)见16题. (2)A正定,由(1)存在正定矩阵GBG G B G G B G AB G A G )(,,2122相似于那么使,而GBG 是实对称矩阵,所以AB 的特征值为实数.35.(华东师大,2005)设n n n n a a a f 111)( 是实对称矩阵A 的特征多项式,证明:A 是负定矩阵的充要条件是n a a a ,,,21 均大于0.证明 充分性.A 是实对称矩阵, A 的特征值都是实数,)( f 的系数都大于0,则)( f 的根不可能是0和正数,所以A 是负定矩阵.必要性.A 负定,则)( f 的根都是负数,令为n ,,,21 .那么.011 i ni a.0131212 n n a0)(124213213 n n n a…………0)()1(32112111 n n n n n n n a .0)()1(21 n n n a36.(华东师大，2002）设n n B 为正定矩阵,C 是秩为m n m 的实矩阵,m n .令0C C B A 证明:n A 有个正的特征值,m 个负的特征值.证明1100000T nnm m E B C B E B C C B E C C B C E(),R C m 对任意m 维非零实列向量.0,00 CX X 而B 正定，那么1 B 正定，于是 110()()0.X C B CX CX B CX因此C B C 1负定，所以结论成立.。