北京市高二数学上学期期末考试试题文
高二上学期期末考试数学(文)试题及答案 (4)
学年第一学期阶段性考试 高二数学（文科）试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知命题2015log ,:2=∈∀x R x p ，则p ⌝为( )A ．2015log ,2=∉∀x R xB ．2015log ,2≠∈∀x R xC ．2015log ,020=∈∃x R xD ．2015log ,020≠∈∃x R x2．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是( )A ．5,10,15,20,25B ．2,4,8,16,32C ．5,6,7,8,9D ．6,16,26,36,46 3．如果一个家庭有两个小孩，则两个孩子是一男一女的概率为( ) A ．14 B ．13 C ．12 D ．234．双曲线1222=-y x 的渐近线方程为（ ） A. 02=±y x B. 02=±y x C ．02=±y x D ．02=±y x5．甲、乙两名学生五次数学测验成绩(百分制)如图所示． ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分与乙同学的平均分相等； ③甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差． 以上说法正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③6．用秦九韶算法求多项式7234)(234++++=x x x x x f 的值，则)2(f 的值为( ) A ．98 B ．105 C ．112 D ．119 7．运行如右图的程序后，输出的结果为（ ） A ．6053 B ．54 C ．65 D ．76 8．已知椭圆221164x y +=过点)1,2(-P 作弦且弦被P 平分，则此弦 所在的直线方程为（ ）7 90 1 38 90 1 289甲乙ENDS PRINT WEND i i i i S S i WHILE S i 1))1(/(1601+=+*+=<==A ．032=--y xB ．012=--y xC ．042=--y xD ．042=+-y x9．已知)(x g 为函数)0(1232)(23≠--=a ax ax ax x f 的导函数，则它们的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知倾斜角为︒45的直线l 过抛物线x y 42=的焦点，且与抛物线交于B A ,两点，则OAB ∆（其中O 为坐标原点）的面积为（ ） A ．2B ．22C ．23D ．811．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①()()xf x ag x =⋅(0,a >1)a ≠且；②()0g x ≠；③)(')()()('x g x f x g x f ⋅<⋅． 若(1)(1)5(1)(1)2f fg g -+=-，则实数a 的值为 ( )A ．21 B ．2 C ．45 D ．2或21 12．如图，直线m x =与抛物线y x 42=交于点A ，与圆4)1(22=+-x y 的实线部分（即在抛物线开口内 的圆弧）交于点B ，F 为抛物线的焦点，则ABF ∆的 周长的取值范围是( ) A ．()4,2 B ．()6,4 C ．[]4,2 D ． []6,4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．将十进制数)10(2016化为八进制数为 . 14．已知变量x 与y 的取值如下表：x 23 5 6y 7a -8 a +9 12从散点图可以看出y 对x 呈现线性相关关系，则y 与x 的线性回归直线方程a bx y+=ˆ必经过的定点为 ．15．已知P 为圆4)2(:22=++y x M 上的动点，)0,2(N ，线段PN 的垂直平分线与直线PM 的交点为Q ，点Q 的轨迹方程为 ．16．已知函数xxe x f =)(，现有下列五种说法：①函数)(x f 为奇函数；②函数)(x f 的减区间为()-1∞，,增区间为()1+∞，；频率组距50 55 60 65 70 75 80体重（kg)O0.070.060.050.040.030.020.01③函数)(x f 的图象在0x =处的切线的斜率为1； ④函数)(x f 的最小值为1e-. 其中说法正确的序号是_______________（请写出所有正确说法的序号）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）设命题p ：12>-x ；命题q ：0)1()12(2≥+++-a a x a x .若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）某校对高二年段的男生进行体检，现将高二男生的体重()kg 数据进行整理后分成6组，并绘制部分频率分布直方图（如图所示）．已知第三组[)65,60的人数为200.根据一般标准，高二男生体重超过65kg 属于偏胖，低于55kg 属于偏瘦．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求体重在[)6560，内的频率，并补全频率分布直方图；（2）用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取6人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查，则各组应分别抽取多少人？（3）根据频率分布直方图，估计高二男生的体重的中位数与平均数．19. （本小题满分12分）（1）执行如图所示的程序框图，如果输入的[]3,1-∈t ，若输出的s 的取值范围记为集合A ，求集合A ；（2）命题p ：A a ∈，其中集合A 为第（1）题中的s 的取值范围；命题q ：函数a x ax x x f +++=2331)(有极值； 若q p ∧为真命题，求实数a 的取值范围.20．（本小题满分12分）已知双曲线C ：)00(12222>>=-，b a by a x .（1）有一枚质地均匀的正四面体玩具，玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，4．若先后两次投掷玩具，将朝下的面上的数字依次记为b a ,，求双曲线C 的离心率小于5的概率；（2）在区间[]61，内取两个数依次记为b a ,，求双曲线C 的离心率小于5的概率.21．（本小题满分12分）已知椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 的中心在坐标原点O ，对称轴在坐标轴上，椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若斜率为k 的直线l 经过点)0,4(M ，与椭圆C 相交于A ，B 两点，且21>⋅OB OA ，求k 的取值范围．22. （本小题满分12分）已知函数)(2ln )(2R a x xa x a x f ∈++-=． （1）当1=a 时,求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（2）当0>a 时，若函数()f x 在[1,]e 上的最小值记为)(a g ，请写出)(a g 的函数表达式.高二数学（文科）试卷参考答案一、ＤＤＣＤ ＢＢＣＤ ＡＢＡＢ二、13．)8(3740 14．()9,4 15．)0(1322<=-x y x 16．③④ 三、17．解：由p ：12>-x 解得1<x 或3>x .……………………………… 3分由q ：0)1()12(2≥+++-a a x a x 得[]0)1()(≥+--a x a x ，解得a x ≤或1+≥a x .……………………………… 6分∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件. …………………… 8分 ∴⎩⎨⎧≤+≥311a a ，则21≤≤a .∴实数a 的取值范围是[]21，.……………………………… 10分 18．解：（1）体重在[)65,60内的频率2.05)01.002.003.007.003.0(1=⨯++++-=04.052.0==组距频率 补全的频率分布直方图如图所示. ……………4分 （2）设男生总人数为n ，由2.0200=n，可得1000=n 体重超过kg 65的总人数为30010005)01.002.003.0(=⨯⨯++在[)70,65的人数为1501000503.0=⨯⨯，应抽取的人数为33001506=⨯， 在[)70,65的人数为1001000502.0=⨯⨯，应抽取的人数为23001006=⨯， 在[)80,75的人数为501000501.0=⨯⨯，应抽取的人数为1300506=⨯. 所以在[)70,65 ，[)75,70，[]80,75三段人数分别为3，2，1.…………………… 8分 （3）中位数为60kg 平均数为(52.50.0357.50.0762.50.0467.50.0372.50.0277.50.01)561.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=(kg)…12分19．解：（1）由程序框图可知，当11<≤-t 时，t s 2=，则[)2,2-∈s . 当31≤≤t 时，()322+--=t s组距kg)O0.0.0.0.0.0.0.∵该函数的对称轴为2=t ，∴该函数在[]21，上单调递增，在[]3,2上单调递减. ∴2,3min max ==s s ∴[]3,2∈s综上知，[]3,2-∈s ，集合[]3,2-=A ……………………………… 4分 （１）函数a x ax x x f +++=2331)(有极值,且12)(2'++=ax x x f ， 0)('=x f 有两个不相等的实数根，即04)2(2>-=∆a 解得1-<a 或1>a即命题p ：1-<a 或1>a .……………………………… 8分q p ∧为真命题，则⎩⎨⎧≤≤->-<3211a a 或a ，解得3112≤<-<≤-a 或a ；∴实数a 的取值范围是[)(]2,113--⋃，.……………………………… 12分20．解：双曲线的离心率22221ab ac a c e +===． 因为5e <a b ab 20422<<∴<∴．……………………………… 2分 (1) 因玩具枚质地是均匀的，各面朝下的可能性相等，所以基本事件),(b a 共有16个：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．设“双曲线C 的离心率小于5”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件为（1，1），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共有12个． 故双曲线C 的离心率小于5的概率为431612)(==A P ．…………………………… 7分(2) ∵[][]6,1,6,1∈∈b a∴⎪⎩⎪⎨⎧<<≤≤≤≤a b b a 206161 所以以a 为横轴，以b 为纵轴建立直角坐标系，如图所示，21422155=⨯⨯-⨯=阴影S ，由几何概型可知，双曲线C 的离心率小于5的概率为2521=P ．……………………………… 12分21．解：（1）∵椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形，32,22222=-=∴==∴c a b a c∴椭圆C 的标准方程为13422=+y x .……………………………… 4分 (2) 设直线l 的方程为)4(-=x k y ,设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）联立⎩⎨⎧=+-=1243)4(22y x x k y ，消去y 可得（0126432)43(2222=-+-+k x k x k∵直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，∴0>∆由0)1264)(43(4)32(2222>-+-=∆k k k 解得412<k 设),(11y x A ,),(22y x B则34322221+=+k k x x ,3412642221+-=k k x x ……………………………… 7分211643324431264)1(16)(4)1()4()4(2222222221221221212121>++-+-+=++-+=--+=+=⋅k k k k k k k k x x k x x k x k x k x x y y x x OB OA解得196272>k ∴41196272<<k所以k 的取值范围是211433143321<<-<<-k 或k .……………………………… 12分22．解：（1）∵)(2ln )(2R a x x a x a x f ∈++-=，∴12)(22'+--=xa x a x f 当1=a 时，121)(,2ln )(2'+--=++-=xx x f x x x x f 2)1(,3)1('-===f k f曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为)1(23--=-x y 即052=-+y x .……………………………… 3分（2）222222'))(2(212)(x a x a x x a ax x x a x a x f +-=--=+--=0,0>>x a ,由0)('>x f 得a x 2>，由0)('<x f 得a x 20<<)(x f ∴在(]a 2,0上为减函数，在()+∞,2a 上为增函数．……………………………… 5分①当210120≤<≤<a 即a 时，)(x f 在[]e ,1上为增函数． 12)1()(2+==∴a f a g 在(]a 2,0上为减函数，在()+∞,2a 上为增函数．…………… 7分②当22121ea e 即a <<<<时，)(x f 在[]a 2,1上为减函数，在(]e a ,2上为增函数． a a a a f a g 3)2ln()2()(+-==∴……………………………… 9分③当22ea e 即a ≥≥时，)(x f 在[]e ,1上为减函数． e ea a e f a g ++-==∴22)()(……………………………… 11分综上所述，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥++-<<+-≤<+=)2(2)221(3)2ln()210(12)(22e a e e a a e a a a a a a a g ……………………………… 12分。
北京市2022-2021年高二上学期期末考试数学文试题
高二年级第一学期期末考试试题数学（文科）（必修2&选修1－1）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 选出正确的答案，并将其字母代号填涂在答题卡规定的位置上．1. 若直线过点（1，2），（4，2+）则此直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设直线的倾斜角为，则，又，故选A.【方法点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角，属于简单题. 求直线的倾斜角往往先求出直线的斜率，求直线斜率的常见方法有一以下三种，（1）已知直线上两点的坐标求斜率：利用；（2）已知直线方程求斜率：化成点斜式即可；（2）利用导数的几何意义求曲线切点处的切线斜率.2. 满足的一个函数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】显然只有 C. 满足3. 命题“若，则x=y=0”的否命题是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则、都不为零D. 若，则、不都为0【答案】D【解析】否命题为：“若，则不都为零”，选D．4. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 4B. 6C. 8D. 16【答案】C【解析】由三视图知：几何体是三棱柱，且三棱柱的高为，底面是直角边长为的等腰直角三角形，几何体的体积，故选C.5. 下列命题中的假命题．．．是( )A. ∀x∈R，2x－1>0B. ∀x∈N*，(x－1)2>0C. ∃x∈R，lg x<1D. ∃x∈R，tan x＝2【答案】B【解析】分析命题所含量词，明确命题是全称命题还是特称命题，然后判断真假．A项，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－1＞0；B项，∵x∈N*，∴当x＝1时，(x－1)2＝0与(x－1)2＞0矛盾；C项，当x＝时，lg＝－1＜1；D项，当x∈R时，tanx∈R，∴∃x∈R，tanx＝2.故选B.6. 在空间，下列命题正确的是（）A. 如果直线a与平面β内的一条直线平行，则a∥βB. 如果平面内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则⊥β．C. 如果直线a与平面β内的两条直线都垂直，则a⊥βD. 如果平面内的两条直线都平行于平面β，则∥β【答案】B【解析】如果直线与平面内的一条直线平行，则或，故A错；因为垂直于内的任意一条直线，根据线面垂直的定义可以得到，而，所以，故B对；直线与平面内的两条相交直线垂直，那么才有，故C错；如果平面内两条相交直线都平行于平面，那么才有，故D错．综上，选B．7. 已知为命题，则“为假”是“p为假”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若“”为假，则“假且假”，故“”为假，又若“真假”，则“”为假，但是“”为真，所以“”为假是“”为假的充分不必要条件，选A．8. 平面与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD︰DB=AE︰EC，如图，则BC与的位置关系是（）A. 异面B. 相交C. 平行或相交D. 平行【答案】D【解析】在中，因为，所以，又平面，平面，故平面，选D．9. 已知点的坐标为(5，2)，F为抛物线的焦点，若点在抛物线上移动，当取得最小值时，则点的坐标是( )A. (1，)B.C.D.【答案】D【解析】过作准线的垂线，垂足为，则，当且仅当三点共线时等号成立，此时，故，所以，选D．10. 垂直于直线，且与曲线相切的直线方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，设切点为，则，解得，从而切点为，切线方程为，整理得．选A．11. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】曲线方程可化为，其图像为半圆（如图所示），其中．又直线过定点，若直线与半圆有两个不同交点，则，当直线与相切时，有，解得，故实数．选C．点睛：曲线对应的图形不容易求得，适当变形后发现其图形为半圆，故可以考虑直线与半圆的两个临界位置：（1）直线与半圆相切；（2）直线过点，通过两个斜率的临界值计算动直线斜率的取值范围．12. 已知函数，，若对任意，存在使，则实数a的取值范围（）A. [1，5]B. [2，5]C. [﹣2，2]D. [5，9]【答案】B............当时，，故在为减函数；当时，，故在为增函数；故，，而，故，解得，选B．点睛：一般地，对于函数，（1）若任意的，任意的，使得，则有；（2）若任意的，存在，使得，则有；（3）若存在，存在，使得，解题时注意转化．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）把答案填写在答题卡相应位置上．13. 曲线在点A（2，10）处的切线斜率k=___________．【答案】7【解析】，故，填．点睛：曲线在某点处切线的斜率就是函数在该点横坐标处的导数．14. 一个棱长为的正方体，其八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积为_____．【答案】【解析】设球的半径为，，∴，球表面积．点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.15. 若的一个顶点是，的角平分线方程分别为，则边所在的直线方程为______________.【答案】【解析】的角平分线方程分别为，与对于对称，与对于对称，关于对称点在直线上，关于的对称点也在直线上，代入两点式方程可得故所求直线的方程为：故答案为点睛：根据题目条件，求出点关于对称和对称的对称点坐标，都在要求的直线上，再利用两点式方程求解即可16. 已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值是____．【答案】【解析】设椭圆的长半轴长为,双曲线的半实轴长为,根据椭圆及双曲线的定义:,解得,设则在中,由余弦定理可得:,化简得,即,故填.点睛:本题考查椭圆和双曲线的几何性质以及余弦定理的应用.解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.三．解答题(本大题共6小题，共70分) 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卷的指定区域内.17. 已知直线经过点，且斜率为．（1）求直线的方程．（2）求与直线平行，且过点的直线方程．（3）求与直线垂直，且过点的直线方程．【答案】(1) (2) (3)【解析】试题分析：（1）写出直线的点斜式方程，整理成一般方程即可．（2）可设直线的一般方程为，代入点求出即可．（3）所求直线的斜率为，写出直线的点斜式方程，整理成一般方程即可．解析：（1）由题设有，整理得．（2）设所求直线方程为，代入点，解得，所以直线方程为．（3）所求直线方程为，化简得，所以直线方程为．18. 已知圆，直线．（1）当直线与圆相切，求的值；（2）当直线与圆相交于两点，且时，求直线的方程．【答案】(1) (2)或.解析：圆化成标准方程为，则此圆的圆心为，半径为. （1）当直线与圆相切，则有，解得（2）过圆心作于，则根据题意和圆的性质，，，解得或，故所求直线方程为或.19. 已知函数在处有极值.（1）求，的值；（2）判断函数的单调性并求出单调区间.【答案】(1) a＝，b＝－1 (2)函数的单调减区间是（0,1），单调增区间是（1，＋∞）【解析】试题分析：（1）因为在处有极值，故，从而.（2）求得，则当时，，因此增区间为；当时，有，因此减区间为.解析：（1）∵，又在处有极值，∴ 即解得. （2）由（1）可知，其定义域是，，由，得；由，得. 所以函数的单调减区间是，单调增区间是．20. 如图，已知三棱锥中，，，为中点，为中点，且为正三角形．（1）求证：平面；（2）若，，求三棱锥的体积．【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）根据为等边三角形和为中点得到，而为的中位线，故而，所以，结合得到平面，故，而，所以平面．（2）棱锥的体积可以转化为棱锥的体积，由（1）可以得到到平面的距离为且，而为等腰三角形且，从而到边的距离为，故可以的面积，从而利用棱锥的体积公式计算即可．解析：（1）证明：因为为正三角形，且为中点，所以，又为的中点，为中点，所以．故，又，，故平面，平面，所以．又因为，，所以平面．（2）解：由题设有，，，在直角三角形中，为斜边的中点，故，在直角三角形中，，又三角形为等腰三角形，腰长，底边，所以边上的高为，所以．21. 已知椭圆C：上的点到左焦点的最短距离为，长轴长为. （1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点作斜率存在且不等于零的直线与椭圆相交于两点，问：在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) (2)，定点为【解析】试题分析：（1）由题设有，设椭圆的半焦距为，则，故，求出即得椭圆的标准方程．（2）设直线方程为，，则，联立直线方程和椭圆方程，消去利用韦达定理得，当时即时，数量积为定值．解析：（1）由得，所以椭圆的标准方程为：．（2）设直线方程为，，由得，所以．又，．要使上式为定值，即与无关，则应有所以，此时，定点为．点睛：求圆锥曲线的标准方程时，可找出基本量满足的方程组并从这个方程组中解出基本量即可．解析几何中的定点定值问题，常需要把目标转化为关于（或）的代数式，再利用韦达定理把该代数式化为某变量的代数式，从而解决定点定值问题.22. 直三棱柱中，是的中点，且交于，．（1）证明：；（2）证明：．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】试题分析：（1）根据棱柱的性质可以得到，再根据线面平行的判定定理得到平面．（2）由直棱柱可以得到，故为等腰直角三角形，故，即，由中点得，结合得平面．解析：（1）因为三棱柱中，又平面，且平面，所以平面．（2）因为三棱柱中，而，故为等腰直角三角形，故，所以，故是等腰三角形．又因为是等腰底边的中点，所以①，又依条件知②且③，由①，②，③得平面．点睛：立体几何中的线面平行，可以利用线线平行去证明，关键是要能在给定平面中找到与已知直线平行的直线，也可以利用面面平行去证明，关键是如何构造过已知直线的平面．而线面垂直的证明可以归结为线线垂直，后者可以由一些对称的图形得到（如等边三角形或等腰三角形等）．精品Word 可修改欢迎下载。
北京市昌平区2023-2024学年高二上学期期末质量抽测试题 数学含解析
昌平区2023——2024学年第一学期高二年级期末质量抽测数学试卷（答案在最后）本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知直线过点()1,1P -，且倾斜角是45︒，则直线不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若()234501234551a a x a x a x a x x a x =++++++，则012345a a a a a a +++++=（）A.8B.16C.32D.643.某气象台天气预报的准确率为80%，则3次预报中恰有1次预报准确的概率是（）A.9.6%B.10.4%C.80%D.99.2%4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1CB 与直线11AC 所成角的大小为（）A.π6B.π4C.π3D.π25.已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（）A.22.5%B.30%C.40%D.75%6.已知双曲线()22210x y a a-=>的实轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（）A.12y x =±B.2y x =±C.3y x =±D.2y x=±7.为了迎接在杭州举行的第十九届亚运会，学校开展了“争做运动达人，喜迎杭州亚运”活动.现从某班的4名男生和3名女生中选出3人参加活动，则这3人中既有男生又有女生的选法种数为（）A.20B.30C.35D.608.已知直线1:10l ax y -+=，2:20l x by --=，则“1ab=-”是“12l l ⊥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台.如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，，则方亭的侧面积为（）A. B. C. D.10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，1AA =，P ，Q 分别是棱BC 和11C D 上的两个动点，且2PQ =，则PQ 的中点E 到1CC 的距离为（）A.2B.2C.3D.12第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为___________.12.设F 为抛物线24y x =的焦点，则点F 的坐标为__________；若抛物线上一点M 满足5MF =，那么点M 的横坐标为___________.13.北京的三条文化带——大运河文化带、长城文化带、西山永定河文化带，是北京文化脉络乃至中华文明的精华所在.为了让同学们了解这三条文化带的内涵，现从4名老师中选3名老师，每人讲述一条文化带，每条文化带由一名老师讲述，则不同的分配方案种数是__________.14.已知圆22:6890D x y x y ++-+=，则圆D 的半径为________；与圆D 和圆221x y +=都相切的直线的方程为___________.（只需写出一条直线的方程）15.数学中有许多形状优美的曲线，曲线22:3E x y x y ++=就是其中之一.给出下列四个结论：①曲线E 关于坐标原点对称；②曲线E 上任意一点到原点的距离的最小值为2；③曲线E 恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；④曲线E 所围成的区域的面积大于8.其中所有正确结论的序号是____________.三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知圆C 的圆心为()2,3，且过坐标原点.（1）求圆C 的方程；（2）若过点()0,2的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且6MN =，求直线l 的方程.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，1AB AC ==，12AA =，AB AC ⊥.（1）求直线AC 与平面1A BC 所成角的正弦值；（2）求点1B 到平面1A BC 的距离.18.某网站为研究新闻点击量的变化情况，收集得到了该网站连续30天的新闻点击量变化数据，如下表所示.在描述新闻点击量变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量高；用“↓”表示“下降”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量低；用“－”表示“不变”，即当天新闻点击量与前一天新闻点击量相同.时段新闻点击量第1天到第15天↑-↑↓↑-↓↑-↓↑↓-↓↓第16天到第30天-↑-↑-↑↓↑↓↑-↓↑↓↑用频率估计概率.（1）试估计该网站新闻点击量“下降”的概率；（2）从样本中的前15天和后15天中各随机抽取1天，记X 表示其中该网站新闻点击量“上涨”的天数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）从样本给出的30天中任取1天，用“1ζ=”表示该天新闻点击量“上涨”，“0ζ=”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，然后继续统计接下来的10天的新闻点击量，其中有6天“上涨”、3天“下降”、1天“不变”，相应地，从这40天中任取1天，用“1η=”表示该天新闻点击量“上涨”，“0η=”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，直接写出方差D ζ，D η大小关系.19.已知椭圆C ：22221x y a b +=(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为2.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AD CD ⊥，22PD CD AB ===，M 是PC 的中点.（1）求证：//BM 平面PAD ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角M BD C --的余弦值.条件①：CB PB ⊥；条件②：DM BM =.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.21.已知椭圆22:1189x y C +=的上顶点为B ，圆()22:0O x y n n +=>.对于圆O ，给出两个性质：①在圆O 上存在点P ，使得直线BP 与椭圆C 相交于另一点A ，满足2PA BP =；②对于圆O 上任意点Q ，圆O 在点Q 处的切线与椭圆C 交于M ，N 两点，都有OM ON ⊥.（1）当1n =时，判断圆O 是否满足性质①和性质②；（直接写出结论）（2）已知当659n =时，圆O 满足性质①，求点A 和点P 的坐标；（3）是否存在()0n n >，使得圆O 同时满足性质①和性质②，若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由.昌平区2023——2024学年第一学期高二年级期末质量抽测数学试卷本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知直线过点()1,1P -，且倾斜角是45︒，则直线不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求出直线方程，画出图象，结合图象得到答案.【详解】直线过点()1,1P -，且倾斜角是45︒，所以直线斜率tan 451k =︒=，所以直线方程为11y x -=+，即20x y -+=，画出直线图象为结合图象可知，直线不过第四象限，故选：D.2.若()234501234551a a x a x a x a x x a x =++++++，则012345a a a a a a +++++=（）A.8B.16C.32D.64【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用赋值法计算作答.【详解】因为()234501234551a a x a x a x a x x a x =++++++，所以当1x =时，5012345232a a a a a a +++++==，故选：C.3.某气象台天气预报的准确率为80%，则3次预报中恰有1次预报准确的概率是（）A.9.6%B.10.4%C.80%D.99.2%【答案】A 【解析】【分析】根据独立重复实验的概率公式可求出结果.【详解】由天气预报的准确率为80%，则3次预报中恰有1次预报准确的概率为：()2113C 0.810.830.80.040.096P =⨯-=⨯⨯=，即9.6%.故选：A .4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1CB 与直线11AC 所成角的大小为（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】C 【解析】【分析】连接AC 、1AB ，可得11//AC AC 且1ACB 为等边三角形，即可得直线1CB 与直线11A C 所成角的大小.【详解】连接AC ，1AB ，在正方体1111ABCD A B C D -中，易得11//AC AC，故直线1CB 与直线11A C 所成角的大小与直线1CB 与直线AC 所成角大小相等，又11AB CB AC ==，故1ACB 为等边三角形，故1π3ACB ∠=，即直线1CB 与直线11A C 所成角的大小为π3.故选：C.5.已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（）A.22.5%B.30%C.40%D.75%【答案】C 【解析】【分析】由条件概率的公式计算即可得.【详解】设事件A 为“抽到喜欢文学阅读的学生”，设事件B 为“抽到喜欢科普阅读的学生”，则()0.75P A =，()0.3P AB =，则()()()0.320.755P AB P B A P A ===，即在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为40%.故选：C .6.已知双曲线()22210x y a a-=>的实轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（）A.12y x =±B.32y x =±C.233y x =±D.2y x=±【答案】A 【解析】【分析】根据实轴长得到2a =，再根据渐近线公式得到答案.【详解】因为双曲线()22210x y a a -=>的实轴长为4，即24a =，解得2a =，所以双曲线的标准方程为2214x y -=，即1b =，所以双曲线的渐近线方程为12b y x x a =±=±，故选：A.7.为了迎接在杭州举行的第十九届亚运会，学校开展了“争做运动达人，喜迎杭州亚运”活动.现从某班的4名男生和3名女生中选出3人参加活动，则这3人中既有男生又有女生的选法种数为（）A.20B.30C.35D.60【答案】B 【解析】【分析】根据题意，分为两类：一男两女或两男一女，结合组合数公式，即可求解.【详解】由题意，可分为两类：一男两女或两男一女，当一男两女时，有1243C C 12=种不同的选法；当两男一女时，有2143C C 18=种不同的选法，由分类计数原理得，共有121830+=种不同的选法.故选：B.8.已知直线1:10l ax y -+=，2:20l x by --=，则“1ab=-”是“12l l ⊥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由12l l ⊥，求得即1ab=-或0a b ==，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】因为直线1:10l ax y -+=，2:20l x by --=，所以当12l l ⊥时，()1(1)0a b ⋅+--=，即0a b +=，即1ab=-或0a b ==，所以“1a b =-”能推出“12l l ⊥”，“12l l ⊥”不能推出“1ab =-”，所以“1ab=-”是“12l l ⊥”充分不必要条件，故选：A.9.《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台.如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，，则方亭的侧面积为（）A.15B.15C.1215D.415【答案】B 【解析】14，求得正棱台的高，进而求得其斜高，结合侧面积公式，即可求解.【详解】设上底面为ABCD ，下底面为A B C D ''''，取BC 的中点E ，B C ''的中点F ，连接EF ，设上底面的中心为O ，下底面的中心为O '，连接,,OO OE O F ''，过点E 作EH O F '⊥于点H ，如图所示，因为,EF B C HF B C ''''⊥⊥，所以EFH ∠即为侧面与下底面夹角的平面角，即tan 14EFH ∠=又因为422HF O P O H O F OE '''=-=-=-=，所以tan 14EHEFH HF∠==14EH =，所以2256415EF EH HF =+=+，所以方亭的侧面积为14(48)21548152⨯⨯+⨯=故选：B.10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，13AA =，P ，Q 分别是棱BC 和11C D 上的两个动点，且2PQ =，则PQ 的中点E 到1CC 的距离为（）A.2B.2C.3D.12【答案】D 【解析】【分析】取1CC 的中点F ，连接EF ，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，结合2PQ =，利用两点间距离公式，求出EF 的长即可．【详解】取1CC 的中点F ，连接EF ，以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(),2,0P x，(0,Q y，0,2,2F ⎛ ⎝⎭，因为E 是PQ的中点，所以2,,222x y E ⎛+⎝⎭，所以2,,022x y FE -⎛⎫= ⎪⎝⎭，而(11CC DD ==，所以10FE CC ⋅=，即1EF CC ⊥，所以点E 到1CC 的距离就是EF ，因为2PQ =，所以2222(2)4PQ x y =+-+=，即22(2)1x y +-=，所以222222(2)122244x y x y EF ++-⎛⎫⎛⎫=+-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即12EF =，所以PQ 的中点E 到1CC 的距离为12.故选：D .【点睛】关键点睛：本题解决的关键是发现1EF CC ⊥，再利用整体法即可得解.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为___________.【答案】10【解析】【分析】求出二项展开式的通项，进而得到x 的系数.【详解】51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()()()525155C 1C 1k k k k k k kk T x x x ---+=-=-，令521-=k ，即2k =，所以()2235C 110T x x =-=，所以x 的系数为10，故答案为：10.12.设F 为抛物线24y x =的焦点，则点F 的坐标为__________；若抛物线上一点M 满足5MF =，那么点M 的横坐标为___________.【答案】①.(1,0)②.4【解析】【分析】根据抛物线方程易得2p =，即得焦点坐标；利用抛物线的定义将焦半径MF 转化02px +，即可求得点M 的横坐标0x .【详解】由24y x =可得抛物线的焦准距为2p =，故焦点F 的坐标为(1,0)；不妨设00(,)M x y ，由5MF =可得：052px +=，即得：04x =，即点M 的横坐标为4.故答案为：(1,0)；4.13.北京的三条文化带——大运河文化带、长城文化带、西山永定河文化带，是北京文化脉络乃至中华文明的精华所在.为了让同学们了解这三条文化带的内涵，现从4名老师中选3名老师，每人讲述一条文化带，每条文化带由一名老师讲述，则不同的分配方案种数是__________.【答案】24【解析】【分析】根据排列的含义结合排列数的计算，即可得答案.【详解】从4名老师中选3名老师，每人讲述一条文化带，每条文化带由一名老师讲述，相当于从4个不同元素中选3个元素的排列问题，则不同的分配方案种数为34A 43224=⨯⨯=，故答案为：2414.已知圆22:6890D x y x y ++-+=，则圆D 的半径为________；与圆D 和圆221x y +=都相切的直线的方程为___________.（只需写出一条直线的方程）【答案】①.4②.1x =（答案不唯一，724250x y ++=或3450x y -+=亦可）【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可得圆心；设出两圆的公切线方程，注意讨论斜率是否存在，由切线的性质列式计算即可得公切线方程.【详解】由226890x y x y ++-+=，即()()223416x y ++-=，故圆D 的半径为4，圆心坐标为()3,4-，设直线l 与圆D 和圆221x y +=都相切，若直线斜率不存在，设直线为x m =，需有341m m ⎧--=⎪⎨=⎪⎩，解得1m =，故1x =符合要求；若直线斜率存在，设直线为y kx t =+，即0kx y t -+=，需有41==，两式相除得344k t t --+=，故344k t t --+=或344k t t --+=-，化简得343k t --=或345k t +=，1=可得221t k =+，故有223413k k --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭或223415k k +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，化简得247k =-或()2430k -=，即724k =-或34k =，则3425324k t --==-或34554k t +==，故该直线为72502424x y ---=或35044x y -+=，即724250x y ++=或3450x y -+=，综上所述，与圆D 和圆221x y +=都相切的直线的方程有：1x =、724250x y ++=、3450x y -+=.故答案为：4；1x =（答案不唯一，724250x y ++=或3450x y -+=亦可）15.数学中有许多形状优美的曲线，曲线22:3E x y x y ++=就是其中之一.给出下列四个结论：①曲线E 关于坐标原点对称；②曲线E 上任意一点到原点的距离的最小值为2；③曲线E 恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；④曲线E 所围成的区域的面积大于8.其中所有正确结论的序号是____________.【答案】①③④【解析】【分析】对①：将点(),x y --代入，依旧满足该方程即可得；对②：找出反例即可得；对③：由曲线可得3x ≤，将所有整点求出即可得；对④：借助曲线的对称性，证明该曲线在第一象限部分与坐标轴围成的面积大于直线20x y +-=与坐标轴围成的面积即可得.【详解】对①：将点(),x y --代入，可得22223x y x y x y x y -+-+=++=，故①正确；对②：令1x =，则1y =，故()1,1在曲线E2<，故②错误；对③：由0y ≥、220x y ≥，故3x ≤，令0x =，有003y ++=，解得3=±y ，令1x =±，则213y y ++=，解得1y =±，令2x =±，则2243y y ++=，此时y 不为整数，令3x =±，则2393y y ++=，解得0y =，故曲线E 恰好经过整点()0,3±、()1,1±、()1,1-±、()3,0±，共8个整点，故③正确；对④：将点(),x y -代入，可得22223x y x y x y x y -++=++=，故曲线E 关于y 轴对称，令点(),x y 在曲线E 上，且该点在第一象限，则0x >，0y >，则有223x y x y ++=，故223x y x y +=-，令0x y t +=>，则t x y =+≥，即42216tx y ≤，当且仅当1x y ==时，等号成立，故有4223316t x y x y t +=-=≥-，整理得416480t t +-≥，因式分解可得()()32224240t t t t -+++≥，由0t ≥，故3224240t t t +++>，故有20t -≥，即2t ≥，即2x y +≥，当且仅当1x y ==时，等号成立，故除点()1,1在直线20x y +-=上外，点(),x y 恒在直线20x y +-=上方，直线20x y +-=与坐标轴交点为()2,0、()0,2，则直线20x y +-=与坐标轴围成的面积12222S =⨯⨯=，则曲线E 在第一象限部分与坐标轴围成的面积大于S ，由曲线E 关于坐标原点对称且关于y 轴对称，故48E S S >=，即故曲线E 所围成的区域的面积大于8，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点睛：本题结论④关键在于将曲线E 所围成的区域的面积大于8转化为求证曲线在第一象限部分与坐标轴围成的面积大于2，结合点()11，在曲线上，转化为证明除点()11，外其余点恒在直线20x y +-=上方，即证当0x >，0y >时，2x y +≥恒成立.三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知圆C 的圆心为()2,3，且过坐标原点.（1）求圆C 的方程；（2）若过点()0,2的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且6MN =，求直线l 的方程.【答案】（1）22(2)(3)13x y -+-=（2）0x =或3480x y +-=【解析】【分析】（1）依题意，设出直线方程222(2)(3)(0)x y r r -+-=>，代入原点，即可得圆的方程；（2）根据斜率有无分别设出直线方程，根据6MN =，求出直线方程即可.【小问1详解】设圆C 的方程为222(2)(3)(0)x y r r -+-=>,依题意，r =，所以圆C 的方程为22(2)(3)13x y -+-=.【小问2详解】设圆心(2,3)C 到直线l 的距离为d ，由6MN =，2221()2MN d r +=，解得2d =.若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为0x =，满足条件；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =+，即20kx y -+=.可得2d ==，解得34k =-，此时，直线l 的方程为3480x y +-=.所以直线l 的方程为0x =或3480x y +-=.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，1AB AC ==，12AA =，AB AC ⊥.（1）求直线AC 与平面1A BC 所成角的正弦值；（2）求点1B 到平面1A BC 的距离.【答案】（1）23（2）23【解析】【分析】（1）由1AA ⊥平面ABC 得11,AA AC AA AB ⊥⊥，又AB AC ⊥，建立空间直角坐标系，由线面角公式即可求出结果.（2）由点到平面的距离公式即可求出结果.【小问1详解】因为1AA ⊥平面ABC ，,AC AB ⊆平面ABC ，所以11,AA AC AA AB ⊥⊥，又因为AB AC ⊥，以1,,AC AB AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，()0,0,0A ,()1,0,0C ,()10,0,2A ,()0,1,0B ,()1,0,0AC = ,()10,1,2A B =-,()1,1,0BC =- 设平面1A BC 的法向量为(),,n x y z =100A B n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得200y z x y -=⎧⎨-=⎩，取2,2,1x y z ===，()2,2,1n =r设直线AC 与平面1A BC 所成角为θ，所以2sin cos ,3AC n AC n AC n θ⋅===⋅uuu r r uuu r r uuu r r .【小问2详解】因为()10,1,2B ,()10,0,2BB =设点1B 到平面1A BC 的距离为d ，所以123BB n d n⋅== .18.某网站为研究新闻点击量的变化情况，收集得到了该网站连续30天的新闻点击量变化数据，如下表所示.在描述新闻点击量变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量高；用“↓”表示“下降”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量低；用“－”表示“不变”，即当天新闻点击量与前一天新闻点击量相同.时段新闻点击量第1天到第15天↑-↑↓↑-↓↑-↓↑↓-↓↓第16天到第30天-↑-↑-↑↓↑↓↑-↓↑↓↑用频率估计概率.（1）试估计该网站新闻点击量“下降”的概率；（2）从样本中的前15天和后15天中各随机抽取1天，记X 表示其中该网站新闻点击量“上涨”的天数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）从样本给出的30天中任取1天，用“1ζ=”表示该天新闻点击量“上涨”，“0ζ=”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，然后继续统计接下来的10天的新闻点击量，其中有6天“上涨”、3天“下降”、1天“不变”，相应地，从这40天中任取1天，用“1η=”表示该天新闻点击量“上涨”，“0η=”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，直接写出方差D ζ，D η大小关系.【答案】（1）13（2）分布列见解析，()45E X =（3）D D ζη<，理由见解析【解析】【分析】（1）30天中，有10天点击量下降，从而估计出相应的概率；（2）求出X 的可能取值及对应的概率，得到分布列，求出数学期望；（3）求出()215P ζ==，()305P ζ==，得到D ζ，同理得到D η，比较出大小.【小问1详解】30天中，有10天点击量下降，故估计该网站新闻点击量“下降”的概率为101303=；【小问2详解】前15天中，有5天的点击量上涨，后15天中，有7天上涨，故X 的可能取值为0,1,2，则()108160151545P X ==⨯=，()581072211515151545P X ==⨯+⨯=，()5772151545P X ==⨯=，故X 的分布列如下：X012P16452245745()1622740124545455E X =⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】D D ζη<，理由如下：由（2）知，样本给出的30天中点击量上涨的天数为12，故()1221305P ζ===，()1830305P ζ===，则()32105525E ζ=⨯+⨯=，()222223610555525D ζ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这40天中点击量上涨的天数为12618+=，故()18914020P η===，()221104020P η===，故()911910202020E η=⨯+⨯=，()2299911991020202020400D η⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于119920400<，故D D ζη<.19.已知椭圆C ：22221x y a b +=(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为2.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为3时，求k 的值．【答案】（1）22142x y +=（2）1或－1.【解析】【详解】（1）由题意得解得．所以椭圆C 的方程为．（2）由得．设点M ，N 的坐标分别为，，则，，，．所以|MN|===．由因为点A （2,0）到直线的距离d =，所以△AMN 的面积为．由，解得，经检验，所以．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD⊥平面ABCD ，//AB CD ，AD CD ⊥，22PD CD AB ===，M 是PC 的中点.（1）求证：//BM 平面PAD ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角M BD C --的余弦值.条件①：CB PB ⊥；条件②：DM BM =.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）连接点M 与PD 中点N ，连接AN ，由题意可证四边形MNAB 是平行四边形，故//BM NA ，由线面平行的判定定理即可得证；（2）若选条件①，则可由CB PB ⊥结合题意推出BC ⊥平面PBD ，从而得到BC BD ⊥，借助几何性质及勾股定理从而计算出AD ，再得到PD 、CD 、AD 两两垂直，即可建立空间直角坐标解决二面角问题；若选条件②，由DM BM =结合直角三角形的几何性质可推出CB PB ⊥，即可重复选条件①时步骤解决问题.【小问1详解】连接点M 与PD 中点N ，连接AN ，由M 是PC 的中点，故MN 为PCD 中位线，故//MN CD 且12MN CD =，又2CD AB =且//AB CD ，故//MN AB 且MN AB =，故四边形MNAB 是平行四边形，故//BM NA ，又BM ⊄平面PAD ，NA ⊂平面PAD ，故//BM 平面PAD ；【小问2详解】若选条件①：CB PB ⊥，由PD ⊥平面ABCD ，且BC ⊂平面ABCD ，故PD BC ⊥，又CB PB ⊥，PB PD P = ，PB 、PD ⊂平面PBD ，故BC ⊥平面PBD ，又BD ⊂平面PBD ，故BC BD ⊥，连接点B 与CD 中点Q ，由22CD AB ==，则1DQ CQ AB ===，又//AB CD ，AD CD ⊥，故四边形ABQD 为矩形，故BQ CD ⊥，故BD BC =，则222224BD BC BC CD +===，即BC BD ==，则1AD ==，由PD ⊥平面ABCD ，CD 、AD ⊂平面ABCD ，故PD AD ⊥、PD CD ⊥，又AD CD ⊥，故PD 、CD 、AD 两两垂直，以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,0D 、()1,1,0B 、()0,2,0C 、()002P ,,，则()0,1,1M ，有()1,0,1MB =- 、()1,1,0DB = ，由PD ⊥平面ABCD ，故平面BDC 的法向量可为()0,0,1m = ，设平面MBD 的法向量为(),,n x y z = ，则有00n MB n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00x z x y -=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-、1z =，故平面MBD 的法向量可为()1,1,1n =- ，则cos ,3m n m n m n⋅=== ，即二面角M BD C --的余弦值为3.若选条件②：DM BM =，由PD ⊥平面ABCD ，且CD ⊂平面ABCD ，故PD CD ⊥，又M 是PC 的中点，故DM PM MC ==，由DM BM =，故BM PM MC ==，故CB PB ⊥，由PD ⊥平面ABCD ，且BC ⊂平面ABCD ，故PD BC ⊥，又CB PB ⊥，PB PD P = ，PB 、PD ⊂平面PBD ，故BC ⊥平面PBD ，又BD ⊂平面PBD ，故BC BD ⊥，连接点B 与CD 中点Q ，由22CD AB ==，则1DQ CQ AB ===，又//AB CD ，AD CD ⊥，故四边形ABQD 为矩形，故BQ CD ⊥，故BD BC =，则222224BD BC BC CD +===，即BC BD ==，则1AD ==，由PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，故PD AD ⊥，又AD CD ⊥，PD CD ⊥，故PD 、CD 、AD 两两垂直，以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,0D 、()1,1,0B 、()0,2,0C 、()002P ,,，则()0,1,1M ，有()1,0,1MB =- 、()1,1,0DB = ，由PD ⊥平面ABCD ，故平面BDC 的法向量可为()0,0,1m = ，设平面MBD 的法向量为(),,n x y z = ，则有00n MB n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00x z x y -=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-、1z =，故平面MBD 的法向量可为()1,1,1n =- ，则cos ,3m n m n m n⋅=== ，即二面角M BD C --的余弦值为33.21.已知椭圆22:1189x y C +=的上顶点为B ，圆()22:0O x y n n +=>.对于圆O ，给出两个性质：①在圆O 上存在点P ，使得直线BP 与椭圆C 相交于另一点A ，满足2PA BP = ；②对于圆O 上任意点Q ，圆O 在点Q 处的切线与椭圆C 交于M ，N 两点，都有OM ON ⊥.（1）当1n =时，判断圆O 是否满足性质①和性质②；（直接写出结论）（2）已知当659n =时，圆O 满足性质①，求点A 和点P 的坐标；（3）是否存在()0n n >，使得圆O 同时满足性质①和性质②，若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）当1n =时，圆O 满足性质①,不满足性质②（2）47(4,1),(,)33A P 或47(4,1),(,)33A P --（3）存在，6n =【解析】【分析】（1）依题意，直接判断判断圆O 是否满足性质①和性质②写出结论；（2）依题意，设出,P A ，根据2PA BP = 列方程，结合点P 在圆O 上，A 在椭圆C 上，求出,A P 坐标；（3）依题意，分Q在(和Q不在(两种情况，结合性质①和性质②列方程，求出n 的值.【小问1详解】当1n =时，圆O 满足性质①,不满足性质②．理由：依题意知，()0,3B ，当1n =时，取圆O 上点P 坐标为()0,1，此时()0,3A -，则()0,4PA =- ，()0,2BP =- ，此时2PA BP = ，满足性质①，当取()1,0Q ，此时作圆O 的切线，切线方程为1x =，此时,M N坐标分别为1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，此时1511+0222OM ON ⎛⎫⋅=⨯-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭，此时OM 与ON 不垂直，不满足性质②，综上，当1n =时，圆O 满足性质①,不满足性质②．【小问2详解】由椭圆C 的上顶点为B ，得(0,3)B .由659n =时，圆O 满足性质①，设点00(,)P x y ，(,)(33)A c d d -≤≤.00(,)PA c x d y =-- ，00(,3)BP x y =- .由2PA BP = 得00002,2(3),c x x d y y -=⎧⎨-=-⎩即00,36.3c x d y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩由点P 在圆O 上，A 在椭圆C 上，得22002265,9218,x y c d ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩化简得212110d d -+=，解得1d =或11d =（舍）.所以001,4,4,373d c x y =⎧⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪=⎪⎩或001,4,4,37.3d c x y =⎧⎪=-⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩所以47(4,1),(,)33A P 或47(4,1),(,)33A P --.【小问3详解】存在6n =，使得圆O 同时满足性质①和性质②.下面进行证明：当点Q 在(,0)n 时，圆O 的切线方程为x n =1122(,),(,)M x y N x y .当x n =221189x y +=解得29(1)18n y =-.因为OM ON ⊥，所以12129(1)018n OM ON x x y y n ⋅=+=--= ，解得6n =.此时(6,6),(6,6)M N -，符合题意当x n =-时，同理，解得6n =.所以，若圆O 满足性质②，则必有6n =成立.当点Q 不在(,0)n ±时，圆O 的切线MN 的斜率必存在，设其方程为y kx m =+．直线MN 与圆226x y +=相切，所以26+1md k ==，化简得226+6m k =.由22,1189y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(21)42180k x kmx m +++-=．由2222164(21)(218)0k m k m ∆=-+->，得22189m k <+．122421km x x k +=-+，212221821m x x k -=+．22121212121212()()(1)()OM ON x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++ ，所以22222222218431818(1)()212121m km m k OM ON k km m k k k ---⋅=++-+=+++uuu r uuu r .因为226+6m k =，所以0OM ON ⋅=，即OM ON ⊥.所以当6n =，圆O 满足性质②.当6n =时，取A为椭圆的右顶点，直线AB260y +-=，圆心O 到直线AB的距离为=，所以直线AB 与圆O相切，且切点2)P ，满足2PA BP = .所以，当6n =时，圆O 满足性质①.综上，当6n =时，圆O 同时满足性质①和性质②.【点睛】思路点睛：求解椭圆中的向量问题时，一般根据题中条件，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，判别式，以及向量数量积（有时也考查向量共线问题）等，结合题中条件，建立等量关系，即可求解.。
北京市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．在等比数列中，，，则等于（ ） {}n a 11a =84a =234567a a a a a a A ．32 B ．64 C ．128 D ．256【答案】B【分析】根据等比数列下标和性质计算可得. 【详解】解：在等比数列中，，， {}n a 11a =84a =则，273645184a a a a a a a a ====所以.7323456464a a a a a a ==故选：B2．双曲线上的点到左焦点的距离为9，则点到右焦点的距离为（ ）22:1916x y C -=P P A ．3 B ．15 C ．15或3 D ．10【答案】C【分析】由双曲线的定义求解即可.【详解】设双曲线的左焦点为，右焦点为，1F 2F因为双曲线方程为，所以，，，22:1916x y C -=3a =4b =5c ==由双曲线的定义得，则， 122PF PF a -=126PF PF -=126PF PF -=±又因为，所以或，19PF =215PF =3由双曲线的性质可知，到焦点距离的最小值为， P 5323c a -=-=<故选：C3．设函数在点处的切线方程为，则（ ）()f x (1,(1))f 43y x =-()()11lim x f x f x∆→+∆-=∆A ． B ．C ．D ．4213-【答案】A【分析】根据导数的几何意义可知，再根据导数值的定义即可选出答案. (1)f '【详解】由导数值的定义，，根据导数的几何意义，，即()()11lim(1)x f x f f x∆→+∆-'=∆(1)4f '=.()()11lim4x f x f x∆→+∆-=∆故选：A4．数列满足，，则（ ） {}n a 111n na a +=-13a =2023a =A ．3B ．C ．D ．12-5223【答案】A【分析】根据递推公式求得数列中的前几项，从而得到数列的周期，由此即可求得的值. 2023a 【详解】因为，， 111n na a +=-13a =所以，1132111111111111111111111n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++++++------=======---------所以数列是以3为周期的周期数列， {}n a 故. 20231367413a a a +⨯===故选：A.5．已知抛物线，直线l 过定点P （0，1），与C 仅有一个公共点的直线l 有（ ）条 2:4C y x =-A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】过抛物线外一定点的直线恰好与该抛物线只有一个交点，则分两种情况分别讨论，(0,1)P 一是直线与抛物线的对称轴平行，二是直线与抛物线相切，根据这两种情况进而求解.【详解】过点的直线与抛物线仅有一个公共点，则该直线可能与抛物线的对称(0,1)P l 2:4C y x =-l 轴平行，也可能与抛物线相切，下面分两种情况讨论：当直线与抛物线的对称轴平行时，则直线的方程为：，满足条件；l l 1y =当直线与抛物线相切时，由于点在轴上方，且在抛物线外，则存在两条直线与抛物线相l (0,1)P x 切，易知：是其中一条，0x =不妨设另一条直线的方程为，联立直线与抛物线方程可得：，则l 1y kx =+l 22(24)10k x k x +++=有，解得：，22(24)40k k ∆=+-=1k =-所以过点的直线的方程为：或或， (0,1)P l 1y =0x =1y x =-+故选：.C 6．已知，，则数列的通项公式是（ ）12a =()1+=-n n n a n a a {}n a n a =A ．n B ． C ．2nD ．1n +1nn n +⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据题意可得，再利用累乘法计算可得； 11n n a n a n++=【详解】解：由，得， ()1+=-n n n a n a a ()11n n n a na ++=即， 11n n a n a n++=则，，，…，，11n n a n a n -=-1212n n a n a n ---=-2323n n a n a n ---=-2121a a =由累乘法可得，因为，所以，1na n a =12a =2n a n =故选：C ．7．我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官府陆续派遣1880人前往修筑堤坝，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，则目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（ ） A ．6天 495人 B ．7天 602人 C ．8天 716人 D ．9天 795人【答案】B【分析】根据题意，设每天派出的人数组成数列，可得数列是首项，公差数7的等差数{}n a 165a =列，解方程可得所求值．【详解】解：设第天派出的人数为，则是以65为首项、7为公差的等差数列，且n n a {}n a ，，123216a a a =++21300n n n a a a --++=∴，， 13002161723n a a ++==107n a =∴天 1177n a a n -=+=则目前派出的人数为人，()17776022a a S +==故选：B ．8．已知圆和两点，若圆上存在点，使得()()22:5121C x y -+-=(0,),(0,)(0)A m B m m ->C P ，则的最小值为（ ）90APB ∠= m A ．14 B ．13 C ．12 D ．11【答案】C【分析】将问题转化为以为直径的圆与圆有公共点的问题来列不等式，解不等式求得的AB O C m 取值范围，由此求得的最小值.m【详解】解：以为直径的圆的方程为，圆心为原点，半径为.圆AB O 222x y m +=1r m =的圆心为，半径为.()()22:5121C x y -+-=()5,12C 21r =要使圆上存在点，使得，则圆与圆有公共点， C P 90APB ∠=︒O C所以，即，1212r r OC r r -≤≤+1m +所以， 11313113113113113m m m m m ⎧-≤-≤-≤⎧⎪⇒⎨⎨+≥+≤-+≥⎪⎩⎩或⇒12141212m m m -≤≤⎧⎨≤-≥⎩或又，所以，所以的最小值为. 0m >1214m ≤≤m 12故选：C二、多选题9．已知等差数列则（ ） 10,7,4,, A ．该数列的通项公式为 313n a n =-+B ．是该数列的第13项 25-C ．该数列的前5项和最大D ．设该数列为，则 {}n a 1238||||||||48a a a a ++++= 【答案】AD【分析】根据首项和公差求出和，利用和计算可得答案.n a n S n a n S 【详解】依题意，所以，故A 正确； 110,3a d ==-1(1)103(1)313n a a n d n n =+-=--=-+由，得，故B 不正确； 31325n a n =-+=-38133n =≠由，得，由，得，所以该数列的前4项和最大，故C 不3130n a n =-+≥4n ≤3130n a n =-+<5n ≥正确；，(1)10(3)2n n n S n -=+⨯-23232n n-+= 123812345678||||||||()a a a a a a a a a a a a ++++=+++-+++ 482S S =-，故D 正确. 223423438238222-⨯+⨯-⨯+⨯=⨯-48=故选：AD10．已知圆，则下列说法正确的是（ ）22230M x y x +--=：A ．点（2，0）在圆M 内B ．圆M 关于对称10x y +-=CD ．直线与圆M 的相交所得弦长为10x +=【答案】ABD【分析】根据点的坐标与圆的方程的关系判断A ，判断点与直线的位置关系，判断M 10x y +-=B ；配方后得到圆的半径，判断C ；利用弦长公式求弦长判断D. 【详解】整理得：，22230x y x +--=()2214x y -+=因为，时，∴点在圆M 内，A 正确； 2x =0y =222330x y x +--=-<()2,0因为圆心在直线上，所以圆M 关于对称，B 正确； ()1,0M 10x y +-=10x y +-=因为圆M 半径为2，故C 错误；∵圆心到直线的距离为，()1,0M 10x +=1d ==所以直线与圆M 的相交所得弦长为，D 正确. 10x +==故选：ABD.11．已知数列满足，其中，Sn 为数列{}的前n 项{}n a ()12321n a a n a n +++-= ()21nn a b n =+n b和，则下列四个结论中，正确的是（ ） A ．B ．数列{}的通项公式为： 11a =n a 121n a n =+C ．数列{}为递减数列 D ．若对于任意的都有，则 n a *N n ∈n S λ<12λ≥【答案】ACD【分析】令可求；利用已知求的方法求数列通项公式；根据递减数列的定义判断1n =1a n S n a {}n a 数列的单调性，利用裂项相消法求数列的前n 项和，由条件求的范围. {}n b λ【详解】因为，()12321n a a n a n +++-= 所以当时，， 2n ≥()1213231n a a n a n -+++-=- 两式相减得，所以， ()211n n a -=121n a n =-又因为当时，满足上式，1n =11a =所以数列的通项公式为：，故A 正确，B 错误， {}n a 121n a n =-因为，，所以， 121n a n =-N n *∈()()1112021212121n n a a n n n n +-=-=-<+-+-所以，所以数列为递减数列，故C 正确；1n n a a +<{}n a ，()()()111121212122121n n a b n n n n n ⎛⎫===- ⎪+-+-+⎝⎭所以 12n n S b b b =+++ ， 11111111111232352212124221n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为对于任意的都有，所以，其中，*N n ∈n S λ<max 21n n λ⎛⎫< ⎪+⎝⎭*N n ∈又，所以，故D 正确. 1121221n n n =<++12λ≥故选：ACD.12．已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在直线l 上，过点1F 2F 222:1(0)4x yC b b-=>(4,0)M -2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，下列说法正确的是（ ）A ．若直线l 与双曲线左右两支各一个交点，则直线l 的斜率范围为）(,)22b b-B ．点2F C ．若直线AB垂直于x 轴，且△ABM 为锐角三角形，则双曲线的离心率取值范围为 D ．记的内切圆的半径为r 1，的内切圆的半径为，若，则12AF F △1I 12BF F △2I 2r 124r r =b =【答案】ACD【分析】设出直线的方程，与双曲线方程联立，根据题意，两交点的横坐标异号，利用韦达定理l 即可求解，判断选项；求出右焦点到渐近线的距离为，进而判断选项；要使为锐角三A bB ABM :角形，则，所以，进行等量代换求出离心率的取值即可判断选项；根据三245AMF ∠<︒24b c a +>C 角形内切圆的特点先求出两圆的内心在上，然后利用三角形相似求出的值，进而求出，即x a =c b 可判断选项.D 【详解】对于，由题意知：直线的斜率存在，设直线的方程为：， A l l (4)y k x =+设直线与双曲线左右两支的交点分别为，，l 11(,)P x y 22(,)Q x y 联立方程组，整理可得：，22214(4)x y b y k x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩222222(4)326440b k x k x k b ----=则，也即，解得：，故选项正确； 22122264404k b x x b k --⋅=<-2240b k ->22b b k -<<A 对于，设右焦点为，双曲线的渐近线方程为：，由点到直线的距离公式可得：B 2(,0)F c 0bx ay ±=点到双曲线渐近线的距离错误；2F d b ==≠B 对于，若直线AB 垂直于x 轴，则直线的方程为：，设点，，要使C AB x c =2(,)bA c a2(,b B c a-为锐角三角形，由双曲线的对称性可知：，ABM :245AMF ∠<︒则，即，所以，22F M AF >24b c a+>24b ac a <+又因为，则，也即，整理可得：，则2a =2242b ac a ac a <+=+2222c a ac a -<+2230c ac a --<， 230e e --<e <1e >所以，故选项正确； e ∈C 对于，过分别作的垂线，垂足为，D 1I 1212,,AF AF F F ,,DE F则，因为，1122,,AD AE F D F F F F F E ===122AF AF a -=则，又因，1212()()2AD DF AE EF F F F F a +-+=-=12122F F F F F F c =+=则，所以，即在直线上，同理也在直线上，所以11FF OF OF a c =+=+OF a =1I x a =2I x a =轴，12I I x ⊥因为，1212122221,I F A I F F I F B I F F ∠=∠∠=∠则，所以， 1221212121222I F I F I F F I F F F I A B I ∠∠∠∠∠++==22190I F I ∠=︒由可知：，则，也即，1222I FF F FI :::1222I F F F F FI F=2212IF I F FF ⋅=212()r r c a ⋅=-因为，，所以，，故选项正确，2a =124r r =4c =b ==D故选：.ACD三、填空题13．已知直线l 1，若，则实数a =______. ()210130x ay l a x y +-=+++=：，：12l l ⊥【答案】##12-0.5-【分析】根据若，则，运算求解. 12l l ⊥12120A A B B +=【详解】若，则，解得.12l l ⊥()1110a a ⨯++⨯=12a =-故答案为：.12-14．已知函数，则=______. 2()ln 31f x x x x =+-1f '（）【答案】7【分析】求出的导数，再将代入，即可得答案. ()f x ()f x '1x =【详解】解：因为， 2()ln 31f x x x x =+-所以，1()ln 6ln 61f x x x x x x x'=+⋅+=++所以. (1)ln16117f '=+⋅+=故答案为：715．设椭圆的左、右焦点分别为、，点M 、N 在C 上（M 位于第一象2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F 限），且点M 、N 关于原点O 对称，若，则C 的离心率为______.12290,2||||MF N MF NF ︒∠==【分析】根据几何分析确定四边形为矩形，根据勾股定理构造齐次式即可求出离心率. 12MF NF 【详解】依题意，作图如下，因为点关于原点对称，所以为的中点，,M N O O MN且为的中点，，所以四边形为矩形，O 12F F 190N MF ︒∠=12MF NF 由，设 222MF NF =21,2,MF x MF x ==由椭圆的定义知，解得： 212,MF MF a +=2124,,33a a MF MF ==所以()22224233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得：，因为， 259e =01e <<所以 e =四、双空题16．已知数列满足，，则______；高斯是德国著名的数学家，近代数学{}n a 11a =12n n a a n ++=3a =奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设，用表示不超过的最大整数，称为x ∈R []x x ()[]f x x =高斯函数.设，且数列的前项和为，则______. []1g n n b a ={}n b n n T 2022T =【答案】34956【分析】根据递推公式一一计算即可求出，再归纳出的通项，最后结合高斯函数的定义并项3a {}n a 求和计算可得.【详解】解：因为，， 11a =12n n a a n ++=当时，则， 1n =122a a +=21a =当时，则， 2n =324a a +=33a =当时，则， 3n =346a a +=43a =当时，则，4n =548a a +=55a =，由此可归纳得，当为奇数时，当为偶数时，n n a n =n 1n a n =-显然当时成立，假设当（为奇数）时成立，即，则，即1n =11a =n k =k k a k =12k k a a k ++=也成立，1k a k +=假设当（为偶数）时成立，即，则，即也成立，故归纳成n k =k 1k a k =-12k k a a k ++=11k a k +=+立；因为，[]1g n n b a =当时，则， 110n ≤≤19n a ≤≤[]1g 0n n b a ==当时，则， 11100n ≤≤1199n a ≤≤[]1g 1n n b a ==当时，则， 1011000n ≤≤101999n a ≤≤[]1g 2n n b a ==当时，则，10012022n ≤≤10012021n a ≤≤[]1g 3n n b a ==()232320220101(1010)2(1010)3202210T ∴=⨯+⨯-+⨯-+⨯- 190290031022=⨯+⨯+⨯．4956=故答案为：，．34956五、解答题17．在数列{}中，n a ()*11534N n n a a a n +==-∈，(1)求证：是等比数列： {}2n a -(2)求数列{}的前n 项和. n a n S 【答案】(1)证明过程见详解(2)3(31)22n n S n -=+【分析】(1)根据递推公式和等比数列的定义即可使问题得证； (2)利用等比数列的求和公式，分组求和即可求解.【详解】（1）由题意知：，所以， 134n n a a +=-12362(2)n n n a a a +-=-=-即，又， 1222n n a a +-=-1230a -=≠所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.{}2n a -（2）由（1）可知：，所以，23n n a -=23nn a =+所以1221n n n S a a a a a -=+++++1231(2+2+2++2+2)(33333)n n -=++++++ 3(13)213n n -=+-. 3(31)22n n -=+18．如图，正方体ABCD —的棱长为2，P 、Q 分别为BD 、的中点.1111D C B A 1CD(1)证明：PQ 平面；:11BCC B (2)求直线与平面所成角的大小. 1CD 11ABC D 【答案】(1)证明见详解 (2) π6【分析】（1）建系，利用空间向量证明线面平行；（2）先求平面的法向量，再利用空间向量求线面夹角. 11ABC D 【详解】（1）如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则，()()()()()()12,0,0,2,2,0,0,2,0,,1,1,0,0,1,10,0,2A B C D P Q 可得，平面的法向量，()1,0,1PQ =-u u u r11BCC B ()0,1,0n = ∵，且平面，1001100PQ n ⋅=-⨯+⨯+⨯=u u u r rPQ ⊄11BCC B ∴PQ 平面.:11BCC B （2）由（1）可得：， ()()()110,2,0,2,0,2,0,2,2AB AD CD ==-=-设平面的法向量为，则， 11ABC D (),,m x y z = 120220m AB y m AD x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令，则，故，1x =0,1y z ==()1,0,1m =∵，1111cos ,2m CD m CD m CD ⋅===u r u u u ru r u u u ru r u u u r 故直线与平面所成角的正弦值为，则其大小为. 1CD 11ABC D 12π619．已知抛物线上一点到抛物线焦点的距离为，()2202C y px p =<<：1P p ⎛ ⎝32(1)求抛物线的方程：C (2)若直线（为参数）与抛物线C 交于两点，且，求直线的方程 :l y x m =+m ,A B OA OB ⊥l 【答案】(1) 22y x =(2) 2y x =-【分析】（1）利用抛物线的定义，列方程求出即可；p （2）联立直线和抛物线方程，设出，，然后用韦达定1122(,),(,)A x y B x y 12120OA OB x x y y ⊥⇔+=理求解.【详解】（1）根据抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离，即，结合题干条P 3122pp =+件，解得，故抛物线方程为：02p <<1p =22y x =（2）设，依题意：1122(,),(,)A x y B x y ()()112212120,,00OA OB OA OB x y x y x x y y ⊥⇔⋅=⇔⋅=⇔+=，联立直线和抛物线：，得到，，解得，由韦达定22y x y x m⎧=⎨=+⎩2220y y m -+=480m ∆=->12m <理：，在抛物线上，故，于是，于是122y y m =1122(,),(,)A x y B x y 21122222y x y x ⎧=⎨=⎩22212124y y x x m ==，解得或，但时，其中一点和重合，不符题意，时，220m m +=0m =2m =-0m =,A B O 2m =-符合判别式条件.综上可知，，此时直线方程为：2m =-2y x =-20．已知数列的前n 项和为，且，______.请在①：②{}n a n S 11n n n S S a +=++*()N n ∈3914a a +=，，成等比数列：③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问2a 5a 11a 844S =题.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (1)求数列的通项公式； {}n a (2)若，设数列{}的前n 项和，求证： 2nn n a b =n b n T 13n T ≤<*()N n ∈【答案】(1) 1n a n =+(2)证明见解析【分析】（1）先根据推出数列为等差数列，公差.若选①，根据等差中项11n n n S S a +=++{}n a 1d =求出，再求出，根据和可得通项公式；若选②，根据等比中项列式求出，可得；若6a 1a 1a d 1a n a 选③，根据等差数列求和公式列式求出，可得. 1a n a （2）利用错位相减法求出，根据为正数，得，根据为递增数列，可得. n T 32n n +3nT <n T 11n T T =≥【详解】（1）由，得，得， 11n n n S S a +=++11n n n S S a +-=+11n n a a +-=所以数列为等差数列，公差.{}n a 1d =若选①，因为，所以，， 3914a a +=6214a =67a =所以，， 6157a a d =+=12a =所以，1(1)211n a a n d n n =+-=+-=+若选②，因为，，成等比数列，所以，2a 5a 11a 25211a a a =所以，所以，2111(4)()(10)a d a d a d +=++2111(4)(1)(10)a a a +=++所以，所以. 12a =1(1)211n a a n d n n =+-=+-=+若选③，因为，所以， 81878442S a ⨯=+=12a =所以， 1(1)211n a a n d n n =+-=+-=+（2）由（1）知，，则， 1n a n =+12n nn b +=则， 12323412222n nn T +=++++ ， 23411234122222n n n T ++=++++ 所以，23411111111222222n n n n n T T ++-=+++++- 所以， 1111(1)1142112212n n n n T -+-+=+--所以，因为为正数，所以， 332n n n T +=-32nn +3n T <因为， 11433322n n n nn n T T ++++-=--+112642022n n n n n +++--+==>所以，所以数列为递增数列， 1n n T T +>{}n T 所以， 14312n T T ≥=-=综上所述：.13n T ≤<*()N n ∈21．在平面五边形中（如图1），是梯形，，，ABCDE ABCD //AD BC 22AD BC ==AB =，是等边三角形.现将沿折起，连接，得四棱锥90ABC ∠=ADE V ADE V ADEB EC E ABCD-（如图2）且EC =(1)求证：平面平面； EAD ⊥ABCD (2)在棱上有点，满足，求二面角的余弦值. EB F 13EF EB=E AD F --【答案】(1)证明见解析【详解】（1）在图1中，取的中点，连，依题意得，，如图：AD O ,OC OE OC OA ⊥OE OA ⊥则 OC AB ==2OE ==折叠后，在图2中，，如图：OE AD ⊥在中，，所以， COE :OC =OE =EC 222EC OC OE =+OE OC ⊥由，，，平面，平面， OE AD ⊥OE OC ⊥OC AD O = OC ⊂ABCD AD ⊂ABCD 得平面，又平面， OE ⊥ABCD OE ⊂EAD 所以平面平面。
2019-2020年北京市西城区高二数学上学期期末考试试题(文)(有答案)
北京市西城区高二数学上学期期末考试试题文试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 命题“x ∃∈R ，使得2250x x ++=”的否定是______________________.10. 如果直线032=-+y ax 与20x y -=垂直，那么a 等于_______.11. 已知双曲线2213y x -=，则双曲线的离心率为______；渐近线方程为_____________ .12. 一个直三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为_________.13. 如图，在四边形ABCD 中，1AD DC CB ===， AB =，对角线AC =. 将ACD △沿AC所在直线翻折，当AD BC ⊥时，线段BD 的长度 为______.ABCD14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是_________________________（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为___________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点. (Ⅰ)求证：//PC 平面BDE ； (Ⅱ)证明：BD CE ⊥.16．（本小题满分13分）已知圆C 经过)1,1(),3,1(-B A 两点，且圆心在直线x y =上. (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 经过点)2,2(-，且与圆C 相交所得弦长为32，求直线l 的方程.17．（本小题满分13分）如图，在平面ABCD 中，⊥AB 平面ADE ，CD ⊥平面ADE ，ADE △是等边三角形，22AD DC AB ===，,F G 分别为,AD DE 的中点. (Ⅰ)求证EF⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求四棱锥E ABCD -的体积；(Ⅲ)判断直线AG 与平面BCE 的位置关系，并加以证明.ABCDPE EDAB CGF18．（本小题满分13分）过椭圆2212x y +=右焦点F 的直线l 与椭圆交于两点,C D ，与直线2=x 交于点E . (Ⅰ)若直线l 的斜率为2，求||CD ；(Ⅱ)设O 为坐标原点，若:1:3ODE OCE S S ∆∆=，求直线l 的方程．19．（本小题满分14分）如图,在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，1AA ,M N 分别为BC 和1AA 的中点，P 为侧棱1BB 上的动点.(Ⅰ)求证平面APM ⊥平面11BB C C ；(Ⅱ)若P 为线段1BB 的中点，求证//CN 平面AMP ； (Ⅲ)试判断直线1BC 与PA 能否垂直. 若能垂直，求出PB 的值；若不能垂直，请说明理由.20．（本小题满分14分）已知抛物线22y x =，两点(1,0)M ，(3,0)N . （Ⅰ）求点M 到抛物线准线的距离；（Ⅱ）过点M 的直线l 交抛物线于两点,A B ，若抛物线上存在一点R ，使得,,,A B N R 四点构成平行四边形，求直线l 的斜率.NA MPCBA 1 C 1B 1北京市西城区第一学期期末试卷 高二数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2.D ；3. C ；4. C ；5. D ；6. A ；7. B ；8. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 对任意x ∈R ,都有0522≠++x x ； 10. 1； 11. 2；y =； 12. 4；；14. 碗底的直径m ，碗口的直径n ，碗的高度h ；2224n my x h-=.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解 (Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，连结OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点. 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， ………3分 因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以//PC 平面BDE . ……………6分 (Ⅱ)因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥. ……8分因为PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥. ……………10分又因为AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ， ……………12分 又CE ⊂平面PAC ，所以BD CE ⊥. ……………13分16.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)设圆C 的圆心坐标为),(a a ， 依题意，有2222)1()1()3()1(-++=-+-a a a a ， ……………2分即22451a a a -+=+,解得1=a ， ……………4分 所以222(11)(31)4r =-+-=， ……………5分 所以圆C 的方程为4)1()1(22=-+-y x . ……………6分 (Ⅱ)依题意，圆C 的圆心到直线l 的距离为1. ……………8分ABCDPE O所以直线2x =符合题意. ……………9分 当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为)2(2-=+x k y ， 即022=---k y kx ， 则11|3|2=++k k ， ……………11分解得43k =-， ……………12分 所以直线l 的方程为)2(342--=+x y ，即0234=-+y x ， ……………13分 综上，直线l 的方程为2x = 或0234=-+y x .17.（本小题满分13分）(Ⅰ)证明：因为F 为等边ADE △的边AD 的中点， 所以 EF AD ⊥. ……………2分 因为⊥AB 平面ADE ，⊂AB 平面ABCD 所以平面ADE ⊥平面ABCD . ……………4分 所以EF ⊥平面ABCD . ……………5分 (Ⅱ)解：因为⊥AB 平面ADE ，CD ⊥平面ADE ， 所以//AB CD ，90ADC ∠=，四边形ABCD 是直角梯形， ……………7分 又22AD DC AB ===， 所以1(21)232ABCD S =⋅+⋅=梯形，……………8分又EF =所以13E ABCD ABCD V S EF -=⋅=. ……………9分 (Ⅲ)结论 直线//AG 平面BCE . 证明 取CE 的中点H ，连结,GH BH ， 因为G 是DE 的中点，所以//GH DC ，且 GH =12DC . ……………11分 所以//GH AB ，且1GH AB ==，所以四边形ABHG 为平行四边形，//AG BH ， ……………12分 又⊄AG 平面BCE ，⊂BH 平面BCE .所以//AG 平面BCE . ……………13分DABCGFHE18.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由已知，1=c ，)0,1(F ，直线l 的方程为22-=x y . ……………1分设11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立⎩⎨⎧-==+222222x y y x ，消y 得291660x x -+=， ……………3分91621=+x x ，9621=x x ， ……………4分 所以||CD = ……………5分9==. ……………6分 (Ⅱ)依题意，设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)1(-=x k y ，联立⎩⎨⎧-==+kkx y y x 2222，消y 得0)22(4)212222=-+-+k x k x k （， ……………7分 2221214k k x x +=+……①， 22212122k k x x +-=……②……………8分 因为:1:3ODE OCE S S =△△，所以 :1:3DE CE =， 3CE DE =，所以 1223(2)x x -=-，整理得 2134x x -=……③ ……………10分由①③得 212121k x k -=+，2223121k x k +=+， ……………11分代入②，解得1±=k ， ……………12分 所以直线l 的方程为1y x =-或1y x =-+. ……………13分19.（本小题满分14分）(Ⅰ)证明：由已知，M 为BC 中点，且AB AC =，所以AM BC ⊥. ……………1分 又因为11//BB AA ，且1AA ⊥底面ABC ， 所以1BB ⊥底面ABC .所以1BB AM ⊥， ……………3分 所以AM ⊥平面11BB C C .所以平面AMP ⊥平面11BB C C .……………5分 (Ⅱ)证明：连结BN ，交AP 于Q ，连结MQ ,NP .因为,N P 分别为11,AA BB 中点，所以//AN BP ，且AN BP =.NAMPCB A 1C 1B 1 Q所以四边形ANPB 为平行四边形， ……………7分Q 为BN 中点，所以MQ 为CBN △的中位线，所以//CN MQ . ……………8分 又CN ⊄平面AMP ，MQ ⊂平面AMP ，所以//CN 平面AMP . ……………9分 (Ⅲ) 解：假设直线1BC 与直线PA 能够垂直，又因为1BC AM ⊥，所以⊥1BC 平面APM ，所以1BC PM ⊥. ……………10分 设PB x =，x ∈.当1BC PM ⊥时，11BPM B C B ∠=∠， 所以Rt PBM △∽11Rt B C B △，所以111C B PB MB BB =. ……………12分因为111MB C B BB ====，解得x =. ……………13分 因此直线1BC 与直线PA 不可能垂直. ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，抛物线22y x =的准线方程为12x =-. ……………2分 所以，点M 到抛物线准线的距离为131()22--=. ……………4分 （Ⅱ）设直线:(1)l y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2(1),2y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(22)0k x k x k -++=， ……………5分所以212222k x x k ++=，121x x =. ……………6分①,N R 在直线AB 异侧，,,,A B N R 四点构成平行四边形，则,AB NR 互相平分. 所以，12R N x x x x +=+，12R N y y y y +=+，所以，22223R k x k +=+，222R k x k -=. 12122(2)R y y y k x x k=+=+-=. ……………8分将(,)R R x y 代入抛物线方程，得22RR y x =，即222422k k k -=⨯，解得0k =，不符合题意. ……………10分 ②若,N R 在直线AB 同侧，,,,A B N R 四点构成平行四边形，则,AR BN 互相平分. 所以，12R N x x x x +=+，12R N y y y y +=+，所以，213R x x x =-+，21R y y y =-. ……………12分 代入抛物线方程，得22121()2(3)y y x x -=-+，又2112y x =，2222y x =，所以2222121()2(3)22y y y y -=-+，注意到212y y =-=-， 解得211y =，11y =±. ……………13分当11y =时，112x =，2k =-；当11y =-时，112x =，2k =. 所以2k =±. ……………14分。
北京高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知，，则 （ ） (2,1,3)a =- (1,2,1)b =- a b ⋅=A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】D【分析】向量数量积的坐标运算，就可以得到结果.112212a b x y x y z z ⋅=++【详解】因为，，(2,1,3)a =- (1,2,1)b =- (2)(1)12317a b ∴⋅=-⨯-+⨯+⨯=故选：D2．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ） 2213x y m +=(10)-，m A ． B ． C ． D ．2456【答案】B【分析】根据题意得到得到答案. 314m =+=【详解】椭圆焦点在轴上，且，故. x 1c =314m =+=故选：B.3．等差数列的前项和为，若则等于 {}n a n n S 242,10,S S ==6S A ．12 B ．18 C ．24 D ．42【答案】C【分析】数列每2项构成的等差数列的公差为6，计算得到答案.【详解】第一个2项和为2，第二个2项和为8，则每2项构成的等差数列的公差为6， 第三个2项和为14，则， 6281424S =++=故选：C.【点睛】本题考查了等差数列和的性质，意在考查学生的计算能力和应用能力.4．在正方体中O 为面的中心，为面的中心.若E 为中点，1111ABCD A B C D -11AA B B 1O 1111D C B A CD 则异面直线与所成角的余弦值为（ ） AE 1OOA B C D 【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值. AE 1OO 【详解】设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，2，()()()()12,0,0,0,1,0,2,1,1,1,1,2A E O O， ()()12,1,0,1,0,1AE OO =-=-设异面直线与所成角为，AE 1OO θ则. cos θ=故选：B5．数列中，，对所有的，，都有，则等于（ ）{}n a 11a =2n ≥*n ∈N 2123····n a a a a n ⋯=35a a +A ． B ．2592516C ．D ．61163115【答案】C【分析】分别令，代入递推关系式，即可求出，进而求出结果.2,3,4,5n =35,a a 【详解】当时，；当时，；2n =2122a a =3n =21233a a a =当时，；当时，；4n =212344a a a a =5n =2123455a a a a a =则，； 212331229=243a a a a a a ==21231245524325=4165a a a a a a a a a a ==所以. 356116a a +=故选：C.6．若直线与直线平行，则实数的值为()()222341m m x m m y m +-+-=-2350x y --=m （ ）A ．B ．1C ．1或D ．98-98-1-【答案】A【分析】根据两直线平行得到，解得，再代入检验.()()223232m m m m -=+--m【详解】解：因为直线与直线平行，()()222341m m x m m y m +-+-=-2350x y --=所以，解得或，()()223232m m m m -=+--1m =98m =-当时直线为，显然不成立，故舍去；1m =()()222341m m x m m y m +-+-=-03=当时直线为，符合题意； 98m =-()()222341m m x m m y m +-+-=-1021531164642x y -+=-故选：A7．设实数，满足 ） x y 4x y +=A B ．4C ．D ．8【答案】C【分析】上的点与点的距离，从而利用4x y +=()1,1-点到直线的距离公式即可求得最小距离.，==上的点与点的距离， 4x y +=()1,1-所以最小值为.d 故选：C.8．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数从小到大排列组成数列，所有被5除余3的正整数从小到大排列组成数列，把与的公共项从小{}n a {}n b {}n a {}n b 到大排列得到数列，则下列说法正确的是（ ） {}n c A ． B ．C ．D ．122a b c +=824b a c -=238b c =629a b c =【答案】C【分析】由等差数列的通项公式依次写出，再依次判断四个选项即可.,,n n n a b c 【详解】根据题意可知，数列是首项为2，公差为3的等差数列，所以{}n a ()23131n a n n =+-=-，数列是首项为3，公差为5的等差数列，所以，数列与的公共{}n b ()35152n b n n =+-=-{}n a {}n b 项从小到大排列得到数列，{}n c故数列是首项为8，公差为15的等差数列，． {}n c ()8151157n c n n =+-=-对于A ，，，，故错误； 12225210a b +=+⨯-=2152723c =⨯-=122a b c +≠对于B ，，，，故错误； 8258232133b a -=⨯--⨯+=4154753c =⨯-=824b a c -≠对于C ，，，，故正确；235232113b =⨯-=81587113c =⨯-=238b c =对于D ，，，，故错误． ()()62361522136a b =⨯-⨯⨯-=91597128c =⨯-=629a b c ≠故选：C ．二、多选题9．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．若 ，则 或a b = a b = a b =- B ．若向量 是向量 的相反向量，则a ba b = C ．在正方体 中，1111ABCD A B C D -11AC AC =D ．若空间向量 ， ， 满足 ， ，则mn p m n = n p = m p = 【答案】BCD【分析】根据向量模长，相等向量，相反向量概念逐项判断真假.【详解】对于选项A ：若，即向量与的模相等，但方向不确定，故A 错误； a b = a b 对于选项B ：相反向量是指大小相等方向相反的两个向量，故B 正确；对于选项C ：在正方体中，与大小相等，方向相同，故，所以1111ABCD A B C D -AC 11A C11AC AC = C 正确；对于选项D ：若 ，，则方向相同大小相等，故，若中有零向量结论m n = n p = m p ，m p = ,m n p ，也正确，所以D 正确. 故选：BCD.10．已知曲线.（ ） 22:1C mx ny +=A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为 y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示0m n >>0m n =>0mn <双曲线，时表示两条直线.0,0m n =>【详解】对于A ，若，则可化为， 0m n >>221mx ny +=22111x y m n +=因为，所以， 0m n >>11m n<即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A 正确；C y 对于B ，若，则可化为， 0m n =>221mx ny +=221x y n+=此时曲线的圆，故B 不正确； C 对于C ，若，则可化为， 0mn <221mx ny +=22111x y m n +=此时曲线表示双曲线， C 由可得，故C 正确； 220mx ny +=y =对于D ，若，则可化为， 0,0m n =>221mx ny +=21y n=表示平行于轴的两条直线，故D 正确； y =C x 故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11．设首项为1的数列的前项和为，若，则下列结论正确的是{}n a n n s 121n n s s n +=+-*N n ∈（）（ ）A ．数列为等比数列{}n s n +B ．数列的通项公式为{}n a 121n n a -=-C ．数列为等比数列{}1n a +D ．数列的前n 项和为 {}2n s 2224n n n +---【答案】AD【分析】由条件找到可判断A 正确，由A 可求得的通项公式，利用分组1(1)2(),n n s n s n +++=+{}n s求和可得D 正确，由的通项公式可求得的通项公式，进而可确定CD 错误. {}n s {}n a 【详解】 121,n n s s n +=+- 1(1)2(),n n s n s n +∴++=+又1120,s +=≠数列是首项公比都为的等比数列，故选项A 正确.∴{}n s n +2又2nn s n +=1222,n n s n +∴=-所以数列的前和为，故选项D 正确.{}2n s n 2222(12)(1)224122n n n n n n +-+-⨯=----又因为，2nn s n +=2n n s n =-当，2n ≥1121,n n n n a s s --=-=-当，，1n =11a =故选项B 错误.11,121,2n n n a n -=⎧∴=⎨-≥⎩ 12,112,2n n n a n -=⎧+=⎨≥⎩32121111a a a a ++∴≠++所以数列不是等比数列.故选项C 错误.{}1n a +综上，故选：A D12的椭圆为“黄金椭圆”，如图，已知椭圆C ：，22221(0)x y a b a b +=>>，分别为左、右顶点，，分别为上、 下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上1A 2A 1B 2B 1F 2F P 一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）CA ．B ．2112212A F A F F F ⋅=11290F B A ∠=︒C ．轴，且D ．四边形的内切圆过焦点1PF x ⊥21//PO A B 1221A B A B 12,F F【答案】BD【分析】确定正确答案.【详解】由椭圆，2222:1(0)x y C a b a b+=>>可得，，12(,0),(,0)A a A a -12(0,),(0,)B b B b -12(,0),(,0),F c F c -对于A ，，即，化简得，即， 2112212A F F A F F ⋅=22()(2)a c c -=2a c c -=13c e a ==不符合题意，故A 错误；对于B ，，则，即，11290F B A ︒∠=222211112||||||A F B F B A =+2222()()a c a ab +=++化简得，即有，220c ac a +-=210e e +-=解得（，符合题意，故B 正确；e =e =对于C ，轴，且，1PF x ⊥21//PO A B 由，解得， ()22221Pc y a b-+=2Pb y a =±不妨设，由，可得，2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭21PO A B k k=2b b a a c=--解得，又，所以，不符合题意，故C 错误； b c =222a b c =+c e a===对于D ，四边形的内切圆过焦点，，即四边形的内切圆的半径为c ， 1221A B A B 1F 2F 1221A B A B 则，即，ab =222b a c =-42310e e-+=解得即，符合题意，故D 正确； 2e =2e =e =故选：BD【点睛】本题的难点是在各种情况下求椭圆的离心率，主要的思路是求得的关系式，然后转化,a c 为.也即是找到的一个等量关系式（齐次式），通过转为后解方程来求得离心率. ca,a c e三、填空题13．设等差数列的前n 项和为，若，，则________. {}n a n S 23a =-510S =-5a =【答案】【分析】根据，求出，，再计算即可. 23a =-510S =-14a =-1d =5a 【详解】由题知：，解得：，. 113545102a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩14a =-1d =. 5440a =-+=故答案为：0【点睛】本题主要考查等差数列的性质和等差数列的前项和，同时考查了学生的计算能力，属于n 简单题.14．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为1F 2F C 22194x y +=M C 12MF MF ⋅________． 【答案】9【分析】根据椭圆的定义可得，结合基本不等式即可求得的最大值. 126MF MF +=12MF MF ⋅【详解】∵在椭圆上 M C ∴12236MF MF +=⨯=∴根据基本不等式可得，即，当且仅当126MF MF +=≥129MF MF ⋅≤时取等号.123MF MF ==故答案为：9.15．已知双曲线(a ＞0，b 0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．22221x y a b-=>【答案】 y =【分析】根据离心率求得，即可求得渐近线方程. ba【详解】因为双曲线的离心率为2，则，解得22221xy a b -=2=b a =故双曲线的渐近线方程为. y =故答案为：.y =四、双空题16．点P 是直线上的动点，直线与圆分别相切于A ，B2100x y ++=,PA PB 22230C x y x +--=；两点，则当点 P 的坐标为___________时， 切线段 的长度最短；四边形面积的最小值PA PACB 为___________.【答案】1912,55⎛⎫- ⎝-⎪⎭【分析】，当最短时的长度最短，求出直线的方程与PC PA PA 联立可得解得坐标；P 由四边形，当最短时最小，可得的最小值.2A PACB PAC S S ==PC PACB S PACB S 【详解】由得圆心，半径圆， ()2214x y -+=()10，C 2R =所以当最短时的长度最短，PC PA 由圆心做直线的垂线，垂足为，此时最短， C 2100x y ++=P PC 所以直线的斜率为，方程为， PA 12()112y x =-由解得，即.()2012101y y x x ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩+195125x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪⎪⎩=-1912,55P -⎛⎫- ⎪⎝⎭四边形22A PACB PAC S S AC PA PA ==⨯==所以当最短时最小，由圆心到直线的距离为PC PACB S C 2100x y ++=，所以的最小值为. PACBS ==故答案为：. 1912,55⎛⎫- ⎝-⎪⎭五、解答题17．等比数列中，已知． {}n a 142,16a a ==（1）求数列的通项公式；{}n a （2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和． 35,a a {}n b {}n b n n S 【答案】(1) .2n n a =(2) .2622n S n n =-【详解】试题分析：（1）本题考察的是求等比数列的通项公式，由已知所给的条件建立等量关系可以分别求出首项和公比，代入等比数列的通项公式，即可得到所求答案．（2）由（1）可得等差数列的第3项和第5项，然后根据等差数列的性质可以求出等差数列{}n b 的通项，然后根据等差数列的求和公式，即可得到其前项和．{}n b n 试题解析：（Ⅰ）设的公比为由已知得，解得，所以{}n a q 3162q =2q =（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，则，38a =532a =38b =532b =设的公差为，则有解得 {}n b d 1128{432b d b d +=+=116{12b d =-=从而 1612(1)1228n b n n =-+-=-所以数列的前项和{}n b n 2(161228)6222n n n S n n -+-==-【解析】等差、等比数列的性质18．如图，若是双曲线的两个焦点. 12,F F221916x y -=（1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； （2）若P 是双曲线左支上的点，且，试求的面积.12|||3|2F PF P =⋅12F PF △【答案】（1）10或22；（2）.1216F PF S =△【分析】（1）利用双曲线的定义，根据动点到一个焦点的距离求动点到另一个焦点的距离即可； （2）先根据定义得到，两边平方求得，即证21||||6PF PF -=2212||||PF PF +，，再计算直角三角形面积即可.2221212||||||100PF PF F F +==1290F PF ∠=︒【详解】解：（1）是双曲线的两个焦点，则， 12,F F 221916x y -=3,4,5a b c ===点M 到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为，M m 则由双曲线定义可知，，解得或，|16|26m a -==10m =22m =即点到另一个焦点的距离为或；M 1022（2）P 是双曲线左支上的点，则，21||||26PF PF a -==则，而，221221||2||||||36PF PF PF PF -⋅+=12|||3|2F PF P =⋅所以，2212||||36232100PF PF +=+⨯=即，2221212||||||100PF PF F F +==所以为直角三角形，，12F PF △1290F PF ∠=︒所以. 121211||||321622F PF S PF PF =⋅=⨯=A 19．如图，在四棱锥S ABCD 中，ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，BC ⊥CD ，平面SCD ⊥平面-ABCD ，△SCD 是以CD 为斜边的等腰直角三角形，BC ＝2AD ＝2CD ＝4，E 为BS 上一点，且BE ＝2ES ．(1)证明直线SD ∥平面ACE ；(2)求点E 到平面ACS 的距离．【答案】(1)答案见解析【分析】（1）连接交于点F ，由可得，再结合可得BD AC AD BC ∥2BF BC FD AD==2BE BF ES FD ==，再由线面平行的判定定理可证得结论； EF SD ∥（2）由题意可证得平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用BC ⊥SCD C xyz -ACS 点到平面的距离公式求解．【详解】（1）连接交于点F ，连接， BD AC EF 因为，所以与相似，所以， AD BC ∥AFD △CFB A 2BF BC FD AD ==又，所以， 2BE BF ES FD==EF SD ∥因为平面平面，EF ⊂,ACE SD ⊄ACE 所以直线平面SD A ACE （2）因为平面平面，平面平面平面，，所SCD ⊥ABCD SCD ,ABCD CD BC =⊂ABCD BC CD ⊥以平面，BC ⊥SCD 以C 为坐标原点，所在的方向分别为y 轴､z 轴的正方向，与均垂直的方向作为x 轴,CD CB,CD CB 的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，C xyz -因为， 224,2BC AD CD BE ES ====则， 224(0,0,0),(1,1,0),(0,2,2),,,333C S A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以， 224(0,2,2),(1,1,0),,,333CA CS CE ⎛⎫=== ⎪⎝⎭设平面的一个法向量为，则，即， ACS (,,)m x y z = 00m CA m CS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00y z x y +=⎧⎨+=⎩令，得，于是，1z =1,1x y ==-(1,1,1)m =- 则点E 到平面ACS 的距离为CE m m⋅== 20．已知数列的各项均为正数，其前项和满足． {}n a n n S 212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)求的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前项和．()()1111n n n b a a +=++{}n b n n T 【答案】(1)；21n a n =-(2). 44n n T n =+【分析】（1）根据与之间的关系进行求解即可；n S n a （2）运用裂项相消法进行求解即可, 【详解】（1）在中，令，得， 212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭1n =11211112a a S a +⎛⇒⎫= ⎪⎝⎭==当时，由， ,2n n *∈≥N 22111122n n n n a a S S --++⎛⎫⎛⎫== ⎪⇒ ⎪⎝⎭⎝⎭于是有， ()()221111201122n n n n n n n n n a a a a S a a a S ----++⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭-⎝-⇒+-=⎭因为数列的各项均为正数，{}n a 所以由，()()111120202n n n n n n n n a a a a a a a a ----+--=⇒--=⇒-=所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n a 所以有，显然适合，1(1)221n a n n =+-⋅=-11a =因此；21n a n =-（2）由（1）可知：， 21n a n =-所以， ()()()()1111111122241n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭. 11111114223144n n T n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪++⎝⎭ 21．已知圆过点，且圆心在直线上.C (6,0),(1,5)A B :2780l x y -+=(1)求圆的标准方程；C (2)过点且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，若，其中为坐()0,5D k l C ,M N 30OM ON ⋅= O 标原点，求直线的方程.l 【答案】(1)22(3)(2)13x y -+-=(2)5y =【分析】（1）设出圆的标准方程，将两点坐标代入圆的方程，圆心坐标代入直线方程，解出三,A B 个参数，即可求出圆的方程；,,a b r （2）根据条件设出直线的方程，消去得到关于的一元二次方程，将韦达定理的表达式代入l y x ，解出的值，分别判断是否满足，从而得出直线方程.30OM ON ⋅= k 0∆>【详解】（1）设所求圆的方程为，222()()x a y b r -+-=则由题可得：，解得： 222222(6)(0)(1)(5)2780a b r a b r a b ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪-+=⎩{a =3b =2r 2=13故所求圆C 的方程为.22(3)(2)13x y -+-=（2）由题设，可知直线的方程为.l 5y kx =+代入方程，整理得，22(3)(2)13x y -+-=22(1)6(1)50k x k x +--+=设，1122(,),(,)M x y N x y 则，， 1226(1)1k x x k -+=+12251x x k =+12121212(5)(5)OM ON x x y y x x kx kx ⋅=+=+++ 21212230(1)(1)5()25301k k k x x k x x k -=++++=++由题设可得，解得或， 230(1)30=301k k k -++=1k =0k 经检验 不满足=1k 22[6(1)]4(1)50k k ∆=---⋅+⋅> 满足=0k 22[6(1)]4(1)50k k ∆=---⋅+⋅>所以的方程为.l 5y =22．已知正方形的边长为4，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，以EF 为棱将正方形ABCD 折成如图所示的60°的二面角，点M 在线段AB 上．(1)若M 为AB 的中点，且直线MF 与由A ，D ，E 三点所确定平面的交点为O ，试确定点O 的位置，并证明直线平面EMC ；//OD (2)是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为；若存在，求此时二面角60 M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由．【答案】(1)点O 在EA 的延长线上，且，证明见解析；2AO =(2)存在，. 14【分析】（1）延长FM 与EA 的延长线交于点O ，判断点O 在平面ADE 内，连接DF 交CE 于N ，结合线面平行的判定推理作答；（2）以AE 的中点H 为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量确定点M 的位置，再计算两个平面夹角余弦作答.【详解】（1）依题意，四边形是矩形，点M 为AB 的中点，如图1，延长FM 与EA 的延长ABFE 线交于点O ，又平面ADE ，即有平面ADE ，因，且， EA ⊂O ∈//AM EF 1122AM AB EF ==因此点A 为线段EO 中点，即AO =2，M 为线段FO 的中点，连接DF 交CE 于N ，连接MN ，矩形CDEF 中，N 是线段DF 中点，于是得，而平面，平面，//MN OD MN ⊂EMC OD ⊄EMC 所以平面.//OD EMC （2）依题意，，，，平面，平面，则EF AE ⊥EF DE ⊥AE DE E = AE ⊂ADE DE ⊂ADE 平面，且为二面角的平面角，即. EF ⊥ADE AED ∠A EF D --60AED ∠=o连接，而，AD 2AE DE ==即有为正三角形，取的中点H ，连接DH ，则，ADE V AE DH AE ⊥由平面，平面，得平面平面，EF ⊥ADE EF ⊂ABFE ADE ⊥ABFE 又平面，平面平面，于是得平面，DH ⊂ADE ADE ABFE AE =DH ⊥ABFE 取BF 中点G ，连接HG ，由矩形得，即有两两垂直，ABFE HG AE ⊥,,HA HG HD 以点H 为原点，射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图2，,,HA HG HD ,,x yz则点，，.()1,0,0E-(D (0,C 假设存在点M 满足条件，因点M 在线段AB 上，设，， ()1,,0M t ()04t ≤≤，，. (ED =(1,EC = ()2,,0EM t = 设平面的一个法向量，则， EMC ()111,,x n y z =111114020n EC x y n EM x ty ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令， 1y=(),8n t =- 因直线DE 与平面EMC 所成的角为60°，则，解得或， ||sin 60|cos ,|||||n DE n DE n DE ⋅=〈〉===1t =3t =即存在点满足直线DE 与平面EMC 所成的角为60°，点为线段AB 的靠近点A 或B 的四等分M M 点.设平面的一个法向量，则， ECF ()222,,m x y z=22222040m ED x m EC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩令，得， 21z =-)1m =-则.)()1,8m n t -⋅=⋅-u r r 3848t t t =--+=-+令平面MEC 与平面ECF 的夹角为，θ则||cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=〈〉= ==显然或时，. 1t =3t =1cos 4θ=由图可知，二面角为锐角， M EC F --所以二面角的余弦值为. M EC F --14。
北京市2021-2021学年高二上学期期末考试数学(文)试题及答案
第一(dìyī)学期期末试卷高二数学(shùxué)（文）本试卷(shìjuàn)共4页，150分。
考试(kǎoshì)时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一(dìyī)部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）复数在复平面内对应的点位于﹙A﹚第一象限（B）第二象限﹙C﹚第三象限（D﹚第四象限命题意图：考查复数的几何意义。
基础题（2）抛物线的准线方程是（A）（B）（C）（D）命题意图：考查抛物线的定义。
基础题（3）椭圆的长轴长为（A）（B）（C）（D）命题意图：考查椭圆的几何性质。
基础题①（4）小明用流程图把早上上班前需要做的事情做了如图方案，则所用时间最少是②（A）分钟（B）分钟（C）分钟（D）分钟命题(mìng tí)意图：考查(kǎochá)流程图的作用。
要使所用时间最少，起床穿衣—煮粥—吃早饭(zǎofàn)。
③（5）圆与圆的位置(wèi zhi)关系是（A）相离（B）相交(xiāngjiāo)（C）外切（D）内切命题意图：考查圆的一般方程与标准方程，圆与圆的位置关系。
用画图或者两圆心间的距离判断可知答案。
（6）在正方体中，分别是的中点，则直线与直线的位置关系是（A）相交（B）平行（C）异面（D）无法确定A B 命题意图：考查学生作图能力，空间想象能力。
画出立体图，根据条件出判断直线1与直线EF共面。
（7）“”是“复数是纯虚数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件命题意图：考查复数的基本概念，充要条件。
当且0≠b 时，复数i a b +(,)∈R a b 是纯虚数。
（8）设表示直线，表示两个不同的平面，下列命题中正确的是 （A ）若，，则（B ）若，//αl ，则（C ）若，//βl ，则//αβ（D ）若α⊥l ，β⊥l ，则//αβ命题意图：考查线面位置关系的判定。
北京市西城区高二数学上学期期末考试试题 文
北京市西城区2017-2018学年高二上学期期末考试文科数学第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线0x y -的倾斜角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．135︒ 2.命题“对任意3x >，都有ln 1x >”的否定是（ ） A ．存在3x >，使得ln 1x > B ．对任意3x >，都有ln 1x ≤C ．存在3x >，使得ln 1x ≤D ．对任意3x ≤，都有ln 1x >3.双曲线221x y -=的焦点到其渐近线的距离为（ ）A ．1B ．2 D 4.设,αβ是两个不同的平面，,,a b c 是三条不同的直线，（ ）A ．若,a b b c ⊥⊥，则//a cB ．若//,//a b αα，则//a bC ．若,a b a α⊥⊥，则//b αD ．若,a a αβ⊥⊥，则//αβ5.“方程221x y m n +=表示的曲线为椭圆”是“0m n >>”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，若//,//,l l m αβαβ⋂=，则（ ） A ．l 与m 平行 B ．l 与m 相交 C ．l 与m 异面 D ．l 与m 垂直7.设拋物线2:4C y x =的焦点为F ，直线3:2l x =-，若过焦点F 的直线与抛物线C 相交于,A B 两点，则以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系为（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三个答案均有可能8.设α为空间中的一条直线，记直线α与正方体1111ABCD A B C D -的六个面所在的平面相交的平面个数为m ，则m 的所有可能取值构成的集合为（ ） A ．{}2,4 B ．{}2,6 C ．{}4,6 D ．{}2,4,6第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上） 9. 命题“若220a b -=，则a b =”的逆否命题为 ．10.经过点()2,1M 且与直线380x y -+=垂直的直线方程为 ． 11.一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥的体积为 ．12.在ABC ∆中， 3,4,AB BC AB BC ==⊥.以BC 所在的直线为轴将ABC ∆旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为 ．13.若双曲线C 的一个焦点在直线:43200l x y -+=上， 一条渐近线与l 平行，且双曲线C 的焦点在x 轴上，则双曲线C 的标准方程为 ；离心率为 ．14.在平面直角坐标系中，曲线C 是由到两个定点()1,0A 和点()1,0B -的距离之积等于2的所有点组成的.对于曲线C ，有下列四个结论： ①曲线C 是轴对称图形； ②曲线C 是中心对称图形；③曲线C 上所有的点都在单位圆221x y +=内； ④曲线C 上所有的点的纵坐标11,22y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.其中，所有正确结论的序号是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 的中点.（1）求证：CD ⊥平面11ABB A ； （2）求证：1//BC 平面1ACD . 16.已知圆22:680C x y x y m +--+=，其中m R ∈. （1）如果圆C 与圆221x y +=相外切，求m 的值；（2）如果直线30x y +-=与圆C 相交所得的弦长为27，求m 的值. 17.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，//1AB CD AB AD AD CD ⊥==,,，12AA AB ==，E 为1AA 的中点.（1）求四棱锥1C AEB B -的体积； （2）求证：1BC C E ⊥；（3）判断线段1B C 上是否存在一点M (与点C 不重合），使得,,,C D E M 四点共面? (结论不要求证明）18. 设F 为拋物线2:2C y x =的焦点，,A B 是拋物线C 上的两个动点. （1）若直线AB 经过焦点F ，且斜率为2，求AB ； （2）若直线:40l x y -+=，求点A 到直线l 的距离的最小值.19. 如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD .（1）求证：平面ACF ⊥平面BDEF ；（2）若过直线BD 的一个平面与线段AE 和AF 分别相交于点G 和H (点G 与点,A E 均不重合），求证：//EF GH ；（3）判断线段CE 上是否存在一点M ，使得平面//BDM 平面AEF ?若存在，求EMEC的值；若不存在，请说明理由.20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一个焦点为)5,0，离心率为5.点P 为圆22:13M x y +=上任意一点，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切，l 与圆M 相交于另一点A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，证明：直线PB 与椭圆C 相切.答案一、选择题1-5: BCADB 6-8: ACD 二、填空题9. 若a b ≠，则220a b -≠ 10.350x y +-= 11. 112.15π 13.221916x y -=，53 14.①②三、解答题15.（1）证明：因为正三棱柱111ABC A B C -，D 为AB 的中点， 所以CD AB ⊥,1AA ⊥底面ABC . 又因为CD ⊂底面ABC ， 所以1AA CD ⊥.又因为1AA AB A ⋂=,AB ⊂平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A ， 所以CD ⊥平面11ABB A .（2）证明：连接1AC ，设11AC AC O ⋂=,连接OD ， 由正三棱柱111ABC A B C -得,1AO OC =， 又因为在1ABC ∆中，AD DB =, 所以1//OD BC ,又因为1BC ⊄平面1ACD ，OD ⊂平面1ACD , 所以1//BC 平面1ACD .16.（1）解：将圆C 的方程配方，得()()223425x y m -+-=-，所以圆C 的圆心为()3,4，半径)25r m =<. 因为圆C 与圆221x y +=相外切，1解得9m =.（2）解：圆C 的圆心到直线30x y +-=的距离d =因为直线30x y +-=与圆C 相交所得的弦长为所以由垂径定理，可得(22225r m =-=+，解得10m =.17. （1）解：因为1AA ⊥平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD , 所以1AA AD ⊥.又因为1,AB AD AA AB A ⊥⋂=， 所以AD ⊥平面11ABB A . 因为//AB CD ，所以四棱锥1C AEB B -的体积1113C AEB B AEB B V S AD -=⋅⋅四边形()111221132⎡⎤=⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦.（2）证明：在底面ABCD 中，因为//AB CD ，,12AB AD AD CD AB ⊥===，,所以AC BC 所以222AB AC BC =+,即BC AC ⊥.因为在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ， 所以1CC BC ⊥， 又因为1CC AC C ⋂=, 所以BC ⊥平面1CAEC , 又因为1C E ⊂平面1CAEC , 所以1BC C E ⊥.（3）答：对于线段1B C 上任意一点M (与点C 不重合)，,,,C D E M 四点都不共面. 18.解：由题意，得1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线AB 的方程为122y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由21222,y x y x ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去y ，得24610x x -+=. 设点()()1122,,,A x y B x y ，则0∆>,且121231,24x x x x +==，所以12252AB x -=. （2）解：设()00,A x y ， 则点A 到直线l距离d 由A 是抛物线C 上的动点，得2002y x =， 所以)22000417d y y y =-+=-+， 所以当01y=时，min d =即点A 到直线l . 19.（1）证明：因为四边形ABCD 是正方形， 所以AC BD ⊥.又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ,平面BDEF ⋂平面ABCD BD =, 且AC ⊂平面ABCD , 所以AC ⊥平面BDEF . 又因为AC ⊂平面ACF , 所以平面ACF ⊥平面BDEF .（2）证明：由题意，//EF BD ,EF ⊄平面BDGH ，BD ⊂平面BDGH , 所以//EF 平面BDGH ,又因为平面EF ⊂平面AEF ,平面AEF ⋂平面BDGH GH =, 所以//EF GH .（3）答：线段CE 上存在一点M ，使得平面//BDM 平面AEF ，此时12EM EC =. 以下给出证明过程.证明：设CE 的中点为M ,连接,DM BM ,因为//BD EF ,BD ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF , 所以//BD 平面AEF . 设AC BD O ⋂=，连接OM ， 在ACE ∆中，因为,OA OC EM MC ==, 所以//OM AE ，又因为OM ⊄平面AEF ,AE ⊂平面AEF , 所以//OM 平面AEF .又因为OM BD O ⋂=，,OM BD ⊂平面BDM , 所以平面//BDM 平面AEF .20.（1）解：由题意，知55,c c a =， 所以223,2a b a c ==-=，所以椭圆C 的标准方程为22194x y +=.（2）证明：由题意，点B 在圆M 上，且线段AB 为圆M 的直径， 所以PA PB ⊥.当直线PA x ⊥轴时，易得直线PA 的方程为3x =±， 由题意，得直线PB 的方程为2y =±， 显然直线PB 与椭圆C 相切.同理当直线//PA x 轴时，直线PB 也与椭圆C 相切.当直线PA 与x 轴既不平行也不垂直时，设点()00,P x y ,直线PA 的斜率为k ，则0k ≠，直线PB 的斜率1k -，所以直线()00:PA y y k x x -=-，直线()001:PB y y x x k-=--， 由()0022,1,94y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()()()222000094189360k x y kx kx y kx ++-+--=.因为直线PA 与椭圆C 相切，所以()()()2220000184949360y kx k k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=--+--=⎣⎦⎣⎦， 整理，得()222100001449240x k x y k y ⎡⎤∆=---+-=⎣⎦.（1）同理，由直线PB 与椭圆C 的方程联立，得()2220000211144924x x y y k k ⎡⎤∆=--++-⎢⎥⎣⎦. （2）因为点P 为圆22:13M x y +=上任意一点， 所以220013x y +=，即220013y x =-.代入（1）式，得()()22200009290x k x y k x --+-=， 代入（2）式，得()()222200002144924x x y k y k k ⎡⎤∆=--++-⎣⎦ ()()22200002144929x x y k x k k⎡⎤=--++-⎣⎦ ()()2200002144929x x y k x k⎡⎤=---+-⎣⎦ 0=所以此时直线PB 与椭圆C 相切. 综上，直线PB 与椭圆C 相切。
北京市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．空间向量（ ）OA OB AC -+=A ．B ．C ．D ．AB CB OC BC 【答案】D【分析】利用向量的加减法则即可求解.【详解】 OA OB AC BA AC BC -+=+=故选：D2．圆的半径是（ ） 22230x y y +--=A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】将圆的一般式化为标准式即得.【详解】由，可得， 22230x y y +--=()2214x y +-=所以圆的半径是， 22230x y y +--=2故选：B.3．抛物线的焦点到准线的距离是（ ） 28x y =A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【详解】抛物线x 2=8y 的焦点为(0,2),准线方程为y =-2,焦点到准线的距离为4. 故选：C.4．已知数列的前项和，则（ ）{}n a n 2n S n =2a =A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】根据关系解决即可.,n n a S 【详解】由题知，数列的前项和，{}n a n 2n S n =所以， 122413a S S =-=-=故选：C5．若等差数列满足，，则其前n 项和的最小值为（ ）{}n a 31a =-41a =A ．B ．C ．D ．9-8-7-6-【答案】A【分析】由已知求出和的值，得到，即可求出最小值.1a d ()22639n S n n n =-=--【详解】由题意可得，，又，所以. 432d a a =-=312a a d =+15a =-所以，的前n 项和， {}n a ()1522n n n S n -=-+⨯()226399n n n =-=--≥-当时，有最小值. 3n =n S 9-故选：A.6．设是各项不为0的无穷数列,“”是“为等比数列”的（ ）{}n a *212N ,n n n n a a a ++∀∈={}n a A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据等比数列的定义可以判断“”是“为等比数列”的充分必要条件,*212N ,n n n n a a a ++∀∈={}n a 即可选出结果.【详解】解:由题知是各项不为0,{}n a 若,*212N ,n n n n a a a ++∀∈=则, 121n n n n a a a a +++=故为等比数列; {}n a 若为等比数列, {}n a 则有, 121n n n n a a a a +++=即;212n n n a a a ++=综上“”是“为等比数列”的充分必要条件.*212N ,n n n n a a a ++∀∈={}n a 故选:C7．设是椭圆的两个焦点，点P 在椭圆C 上，，则（ ）12,F F 22:194x y C +=14PF =2PF =A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】利用椭圆的定义即可得解.122PF PF a +=【详解】因为椭圆，22:194x y C +=所以，则，29a =3a =因为，， 1226PF PF a +==14PF =所以. 22PF =故选：B.8．如图，在三棱柱中，平面．，，分111ABC A B C -1CC ⊥1,2ABC AB BC AC AA ====D E F 别为的中点，则直线与平面的位置关系是（ ）1111,,AA AC BB EF BCDA ．平行B ．垂直C ．直线在平面内D ．相交且不垂直【答案】D【分析】根据图形位置证明线线垂直，建立空间直角坐标系，通过计算平面的法向量，直线BCD 的方向向量，判断平面的法向量是否与直线的法向量垂直，又判断直线与直线EF BCD EF EF CD是否垂直，可得直线与平面的位置关系.【详解】解：如图取中点，连接，AC M EM BM因为为中点，所以AB BC M =AC MB AC ⊥又在三棱柱中，平面，为中点，所以 111ABC A B C -1CC ⊥ABC E 11A C 1//EM CC 则平面，又平面，所以，， EM ⊥ABC ,AC MB ⊂ABC EM AC ⊥EM MB ⊥又，则，所以， 12AC AA ==112AM AC ==2MB ==以点为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系如图所示，M ,,MA MB ME ,,x yz则,2,，,0,，,0,，,0,，,2,，(0B 0)(1C -0)(1D 1)(0E 2)(0F 1)设平面的法向量为，BCD (,,)n x y z =则，即，令，则，，故，00n BC n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2020x y x y z +=⎧⎨-+=⎩1y =-2x =4z =-(2,1,4)n =-- 又，(0,2,1)EF =-(2,0,1)DC =-- 因为，又 20(1)2(4)(1)20n EF ⋅=⨯+-⨯+-⨯-=≠()001(1)10EF DC ⋅=++-⨯-=≠ 所以直线与平面相交，且不垂直于平面． EF BCD BCD 故选：D.9．记为等比数列的前n 项和．已知，则数列（ ） n S {}n a 1414,2a a =-={}n S A ．无最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，无最小项 D ．有最大项，有最小项【答案】D【分析】求出公比，求出，然后分析的性质即可．q n S {}n S 【详解】设公比为，则，， q 34118a q a ==-12q =-， 11412(1)811113212n n nn a q S q ⎡⎤⎛⎫-⨯--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦===---⎢⎥ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭当为偶数时，，对应函数为减函数，即，n 81132n n S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭24683S S S >>>>- 当为奇数时，，对应函数为增函数，即，n 81132n n S ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭13583S S S <<<<- 所以有最大项为，最小项为．{}n S 2S 1S故选：D ．【点睛】本题考查等比数列的前项和形成的数列的最值问题，解题关键是求得后按奇偶数分n n S 类，得出奇数项递增，偶数项递减，但所有偶数项比大，所有奇数项比小，即可确定最值．83-83-10．已知M 是圆上的动点，则到直线距离的最大值为（ ） 22(1)1x y -+=M 1()y kx k =+∈RA ．2 BC ．3D ．11【答案】B【分析】根据圆上的点到一条直线距离的最大值等于圆心到此直线距离与半径和，根据恒过的定点，过圆心作直线的垂线，垂足为，得1()y kx k =+∈R ()0,1C ()1,0A 1()y kx k =+∈R B知点的轨迹为以为直径的圆，则求解.B AC max max 11d AB =+=+【详解】设圆的圆心为，点到直线的距离为，过点作()2211x y -+=()1,0A M 1()y kx k =+∈R d A 直线的垂线，垂足为，1()y kx k =+∈R B 则点到直线的距离为，所以，A 1()y kx k =+∈R AB max max 1d AB =+又因为直线恒过定点，则垂足的轨迹为以为直径的圆， 1()y kx k =+∈R ()0,1C B AC则，所以 max AB =max max 11d AB =+=故选：B二、填空题11．3与7的等差中项为___________． 【答案】5【分析】由等差中项的定义，若成等差数列，则即可求得. A G B ，，2A BG +=【详解】设3与7的等差中项为，则由等差中项的定义得. x 3752x +==故答案为：512．直线关于y 轴对称的直线的方程为___________． 1y x =+【答案】1y x =-+【分析】设所求直线上任一点为 ，可得关于轴的对称点，然后代入即得. (),x y y (),x y -1y x =+【详解】设所求直线上任一点为 ，则关于轴的对称点为，(),x y y (),x y -将代入直线得，，(),x y -1y x =+1y x =-+即直线关于y 轴对称的直线的方程为. 1y x =+1y x =-+故答案为：.1y x =-+13．已知双曲线的一条渐近线方程为，则___________．2221(0)x y a a -=>20x y +==a 【答案】2【分析】先由双曲线的渐近线设出双曲线的方程，再利用待定系数法即可求得的值. a 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，20x y +=所以双曲线的方程可设为，即，()2204x y λλ-=≠2214x y λλ-=因为，2221(0)x y a a-=>所以，解得（负值舍去），241a λλ⎧=⎨=⎩2a =所以. 2a =故答案为：.214．能说明“若等比数列满足，则等比数列是递增数列”是假命题的一个等比数列{}n a 12a a <{}n a 的通项公式可以是___________．{}n a 【答案】（答案不唯一）1*(2),N n n a n -=--∈【分析】根据等比数列单调性可知，首项和公比共同决定了数列的单调性，即可写出符合1a q {}n a 题意的数列.【详解】由题意可知，若“等比数列是递增数列”， {}n a 需满足当时，公比；或时，公比； 10a <01q <<10a >1q >又因为命题为假命题，所以公比即可满足题意， 0q <不妨取，首项时，公比，则满足11a =-2q =-22,a =12a a <此时数列是摆动数列，通项公式为{}n a 111*1(1)(2)(2),N n n n n a a q n ---==--=--∈故答案为：1*(2),N n n a n -=--∈15．平面内，动点M 与点的距离和M 到直线的距离的乘积等于2，动点M 的轨迹为(1,0)F =1x -曲线C ．给出下列四个结论： ①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于x 轴对称； ③曲线C 与x 轴有2个交点；④点M 与点． (1,0)F 1其中所有正确结论的序号为___________． 【答案】②③④【分析】将所求点用直接表示出来，然后根据条件列出方程即可求出轨迹方程，令(,)x y 0x =0y =可判断A ，根据代入可判断B ，令可解的值，进而可判断C,利用消元法，然后利用函数y -0y =x 的单调性求最值可判断D ． 【详解】设动点的坐标为，(,)M x y 曲线是平面内与定点和定直线的距离的积等于2的点的轨迹，C (1,0)F =1x -，∴|1|2x +=当时，曲线不过坐标原点，故①错误；0x =0y =|01|2+≠∴C中的用代入该等式不变，曲线关于轴对称，故②正确；|1|2x +=y y -∴C x令与轴有2个交点，故③正确； 0y =|1|2|1||1|2=x x x x +=⇒-+=⇒±C x，|1|2x +=，解得 20y ∴=≥x ≤≤若点在曲线上，则，故④正确． ∴M C 211MF x ==≥-+故答案为：②③④．三、解答题16．已知点和点是圆C 直径的两个端点． (0,1)A ()2,3B (1)求线段的中点坐标和圆C 的方程； AB (2)过点A 作圆C 的切线l ，求切线l 的方程． 【答案】(1)中点， AB (1,2)22:(1)(2)2C x y -+-=(2) :10l x y +-=【分析】（1）根据中点坐标公式即可求得的中点，即圆心坐标，利用两点间距离公式可求得直,A B径，即可写出圆C 的方程；AB （2）根据直线和圆的位置关系可得切线l 的斜率，再利用点斜式方程即可求得切线l 的方程． 【详解】（1）由点和点是圆C 直径的两个端点， (0,1)A ()2,3B 可得的中点即为圆心C ，根据中点坐标公式可得，AB (1,2)C即线段的中点坐标为，根据两点间距离公式得直径， AB (1,2)C AB ==所以圆C 的半径为 r =则圆的方程为22:(1)(2)2C x y -+-=（2）根据题意可知直线与切线l 垂直，直线的斜率为， AB AB 31120AB k -==-设切线l 的斜率为，满足，得；k 1AB k k =-A 1k =-又切线l 过点A ，利用直线的点斜式方程得； :11(0)l y x -=-⨯-即切线l 的方程为.:10l x y +-=17．已知等差数列满足． {}n a 1231,5a a a =+=(1)求的通项公式；{}n a (2)设是等比数列，，求数列的前n 项和． {}n b 1322,2b b b =={}n n a b +n T 【答案】(1)；n a n =(2).21222n n n n T ++=+-【分析】（1）结合题意利用等差数列的通项公式求出公差，即可求出通项公式；d （2）根据是等比数列及，即可求出等比数列的通项公式，再利用分组求和{}n b 1322,2b b b =={}n b 即可求出.n T 【详解】（1）是等差数列且{}n a 1231,5a a a =+= 1125a d a d ∴+++=1d ∴=()1111n a a n d n n ∴=+-=+-=n a n ∴=（2）是等比数列，{}n b 1322,2b b b ==2q ∴=2n n b ∴= 2n n n a b n ∴+=+采用分组求和即得.()()212121222122n n n n n n n T +-++=+=+--18．已知抛物线的焦点为F ． 2:4C y x =(1)求F 的坐标和抛物线C 的准线方程；(2)过点F 的直线l 与抛物线C 交于两个不同点A ，B ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的长． ||AB 条件①：直线l 的斜率为1； 条件②：线段的中点为．AB (3,2)M 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 【答案】(1)焦点，准线方程为 ()1,0F =1x -(2)8【分析】（1）直接根据开口的方向以及的值即可得结果；p （2）选择条件①：直接联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理可得，由弦长公式即可126x x +=得结果；选择条件②：可得，由弦长公式即可得结果. 126x x +=【详解】（1）抛物线开口向右，其中， 2:4C y x =2p =所以焦点，准线方程为. ()1,0F =1x -（2）选择条件①：直线l 的斜率为1 所以直线的方程为， l 1y x =-设，，()11,A x y ()22,B x y 联立得，显然，214y x y x =-⎧⎨=⎩2610x x -+=0∆>所以，126x x +=即.12628AB x x p =++=+=选择条件②：线段的中点为AB (3,2)M设，，则， ()11,A x y ()22,B x y 126x x +=即.12628AB x x p =++=+=19．如图，在长方体中，，E 是棱的中点．1111ABCD A B C D -11,2AB AD AA ===1DD(1)求证：∥平面；1C D 1AB E (2)求平面与平面夹角的余弦值； 1AB E 1111D C B A (3)求点到平面的距离． 1C 1AB E 【答案】(1)答案见解析.【分析】对于（1），证明即可. 11C D B A A 对于（2），（3），利用向量法可得答案.【详解】（1）证明：由题，四边形为矩形，四边形是正方形，11B C CB ABCD 则，故四边形是平行四边形，得，又1111，B C BC AD B C BC AD ==A A 11ADC B 11C D B A A 平面，平面，则∥平面. 1C D ⊄1AB E 1B A ⊂1AB E 1C D 1AB E （2）如图，建立以A 为原点的空间直角坐标系.则，()()()()()()11000100010102012011,,，,,,,,，,,，,,，,,A B D B D E 得，设平面法向量为， ()()1102011,,，,,AB AE ==1AB E (),,n x y z =则，取. 120n AB x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ()211,,n =-又平面法向量，且由图可知，1111D C B A ()0,0,1m = 平面与平面夹角为锐角，则 1AB E 1111D C B Aθcos θ（3）由图可得，，则，又由（2）解析可知()11,1,2C ()1112,,AC = 平面法向量为， 1AB E ()211,,n =-则点到平面的距离. 1C 1ABE d20．已知椭圆过点，且． 2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>(2,1)P 2a b =(1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)设O 为原点，直线OP 与直线l 平行，直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线PM ，PN 分别与x 轴交于点E ，F ．当E ，F 都在y 轴右侧时，求证：为定值． OE OF +【答案】(1)2282x y +=(2)证明过程见详解【分析】（1）将点代入椭圆中，再结合，即可求出和，进而求得椭圆(2,1)P 2222:1x y C a b+=2a b =a b C 的方程，再根据，代入中，即可得到椭圆C 的离心率； 222c a b =-c e a =（2）根据题意设直线l 的方程为，设，，从而得到直线12y x m =+()1122,M y m y -()2222,N y m y -PM 的方程，进而得到和，联立直线l 与椭圆C 的方程，再根据韦达定理12,01m E y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭22,01m F y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭得，，即可求得的值为4，即结论得证．12y y +12y y ⋅OE OF +【详解】（1）解：依题意有，得C 的方程为， 22222112a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩22182x y +=又C 的离心率为 c ==c e a ===（2）证明：依题意可得直线OP 的方程为， 12y x =则可设直线l 的方程为，不妨设，， 12y x m =+()1122,M y m y -()2222,N y m y -则直线PM 的方程为，得，同理得， ()11121222y y x y m -=-+--12,01m E y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭22,01m F y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭联立，消x 整理得， 2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩222220y my m -+-=则，， 12y y m +=21222m y y -⋅=又E ，F 都在y 轴右侧，即，， 1201m y >-2201m y >-所以（定值）， ()()()1221212122222224211112m y y m m m m OE OF m y y y y y y m +--+=+===---⋅-++-+故结论为定值成立．OE OF +【点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：①设出直线方程，设交点为，；()11,A x y ()22,B x y ②联立直线与曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； ③写出韦达定理；④将所求问题转化为，（或，，）的形式； 12x x +12x x ⋅12y y +12y y ⋅⑤代入韦达定理求解．21．已知为无穷递增数列，且对于给定的正整数k ，总存在i ，j ，使得，其中{}n a ,i j a k a k ≤≥i j ≤．令为满足的所有i 中的最大值，为满足的所有j 中的最小值．k b i a k ≤k c j a k ≥(1)若无穷递增数列的前四项是1，2，3，5，求和的值；{}n a 4b 4c (2)若是无穷等比数列，，公比q 是大于1的整数，，求q 的值；{}n a 11a =34534,b b b c c <==(3)若是无穷等差数列，，公差为，其中m 为常数，且，求证：{}n a 11a =1m*1,m m >∈N和都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式．12,,,,k b b b 12,,,,k c c c 【答案】(1)，，43b =44c =(2)或2q =4q =(3)证明见解析，， 1n b nm m =-+1n c nm m =-+【分析】（1）根据题意求解即可； （2）由等比数列的通项公式写出的通项，由题意列式后解指数型方程可得结果； {}n a （3）由等差数列的通项公式写出的通项，用定义法证明等差数列即可.{}n a 【详解】（1）∵，，，， 11a =22a =33a =45a =又∵，，4i a ≤4j a ≥∴且，且， 3i ≤N i *∈4j ≥N j *∈∴，43b =44c =（2）由题意知， ，∴，且，11a =111n n n a a q q --==1q >Z q ∈∵，3i a ≤∴，13i q -≤∴1log 3q i ≤+∴，且， 3[1log 3]q b =+1q >Z q ∈同理：，且，，且， 4[1log 4]q b =+1q >Z q ∈5[1log 5]q b =+1q >Z q ∈又∵，345b b b <=∴， [1log 3][1log 4][1log 5]q q q +<+=+即：，且， [log 3][log 4][log 5]q q q <=1q >Z q ∈∵，3j a ≥∴，13j q -≥∴，1log 3q j ≥+∴当时，，当时，，log 3N q *∈31log 3q c =+log 3N q *∉3[2log 3]q c =+同理：当时，，当时，，log 4N q *∈41log 4q c =+log 4N q *∉4[2log 4]q c =+又∵，，且， 34c c =[log 3][log 4][log 5]q q q <=1q >Z q ∈∴，，， log 3N q *∉log 4N q *∈[2log 3]1log 4q q +=+解得：或2q =4q =（3）证明：由题意知，，m 为常数，且且， 111(1)1(1)n m n a a n d n m m +-=+-=+-⨯=1m >N m *∈∴为单调递增数列，{}n a 又∵，，1i a ≤1j a ≥11a =∴，，1i =1j =∴，，11b =11c =∵，，i a k ≤j a k ≥∴，， 1m i k m +-≤1m j k m+-≥∴，，且且， 1i mk m ≤-+1j mk m ≥-+1m >N m *∈N k *∈∴，1N mk m *-+∈∴，， 1k b mk m =-+1k c mk m =-+∴，， 1(1)11k b m k m mk +=+-+=+1(1)11k c m k m mk +=+-+=+∴，， 1(1)(1)k k b b mk mk m m +-=+--+=1(1)(1)k k c c mk mk m m +-=+--+=又∵m 为常数，且， 1m >N m *∈∴为等差数列， 为等差数列， {}k b {}k c 又∵，， 1k b mk m =-+1k c mk m =-+∴ ，1n b mn m =-+1n c mn m =-+。
北京市高二上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．直线经过两点，那么其斜率为（ ）l ()()1,3,2,5A B -k A ．B ．C ．D ． 2231232-【答案】B【解析】由两点的斜率公式可得答案.【详解】直线经过两点，则 l ()()1,3,2,5A B -()532213k -==--故选：B2．已知圆的方程，那么圆心和半径分别为（ ）()()22324x y ++-=A ．B ． ()32,2-,()3,2,2-C ．D ． ()32,4-,()3,2,4-【答案】A【解析】根据圆的标准方程，直接求解.【详解】由圆的标准方程可知，圆心是，半径.()3,2-2r =故选：A3．抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）24y x =A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】由抛物线焦点到准线的距离为求解即可.22y px =p 【详解】因为抛物线焦点到准线的距离为,故抛物线的焦点到其准线的距离是2. 22y px =p 24y x =故选：C 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程中的几何意义,属于基础题型.p 4．双曲线的离心率，那么的值是（ ） ()222107x y a a -=>43e =a A ．B ．C ．D ． 9432【答案】C【解析】由，结合可得解. 43c e a==22227c a b a =+=+【详解】双曲线中，， ()222107x y a a -=>22227c a b a =+=+又，所以，解得. 43c e a==221679a a =+3a =故选：C.5．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建1111ABCD A B C D -D D 立空间直角坐标系，如果的坐标为，那么的坐标是（ ）1DB ()5,4,31AC u u u rA ．B ． ()5,4,3-()5,4,3--C ．D ．()4,5,3-()5,4,3--【答案】A 【解析】推导出,从而得到，即可求出 1=5=4,=3DA DC DD ，1(50,0)(0,4,3)A C ,，1AC u u u r 【详解】由题意得：∵的坐标为，1DB ()5,4,3∴,1=5=4,=3DA DC DD ，∴1(50,0)(0,4,3)A C ,，∴．()13=5,4,AC -u u u r 故选：A【点睛】求直线的方向向量的关键：(1)建立合适的坐标系；(2)直线的方向向量等于终点坐标减起点坐标．6．已知数列满足，，则的值为（ ） {}n a 11a =11n n na a a +=+6a A ． B ． C ．3 D ．6 1614【答案】A 【解析】由题中条件，根据递推公式，逐步计算，即可得出结果.【详解】因为，，所以，， 11a =11n n n a a a +=+121112a a a ==+23211211312a a a ===++，，. 34311311413a a a ===++45411411514a a a ===++56511511615a a a ===++故选：A.7．已知A ，B ，C ，D ，E 是空间中的五个点，其中点A ，B ，C 不共线，则“存在实数x ，y ，使得是“平面ABC ”的（ ）DE x AB y AC =+ //DE A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】利用存在实数x ，y ，使得平面ABC 或平面ABC ，结合充DE xAB y AC =+⇔u u u r u u u r u u u r//DE DE ⊂分必要条件的定义即可求解. 【详解】若平面ABC ，则共面，故存在实数x ，y ，使得，所以//DE ,,DE AB AC u u u r u u u r u u u r DE x AB y AC =+ 必要性成立；若存在实数x ，y ，使得，则共面，则平面ABC 或平面DE x AB y AC =+ ,,DE AB AC u u u r u u u r u u u r //DE DE ⊂ABC ，所以充分性不成立；所以 “存在实数x ，y ，使得是“平面ABC ”的必要不充分条件，DE x AB y AC =+//DE 故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x ，y ，使得平面ABC 或平面ABC 是解题的关键，属于基础题. DE xAB y AC =+⇔u u u r u u u r u u u r //DE DE ⊂8．已知圆的方程为，圆的方程为，其中．那么1O 22()()4x a y b -+-=2O 22(1)1x y b +-+=,a b ∈R 这两个圆的位置关系不可能为（ ）A ．外离B ．外切C ．内含D ．内切【答案】C【解析】求出圆心距的取值范围，然后利用圆心距与半径的和差关系判断.12O O 【详解】由两圆的标准方程可得，，，；()1,O a b 12r =()20,1O b -21r =则，所以两圆不可能内含.1121O O r r ≥=-故选：C.9．世界上最早在理论上计算出“十二平均律”的是我国明代杰出的律学家朱载堉，他当时称这种律制为“新法密率”十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音是第一个单音频率的2倍.已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（ ）10440Hz f =4f A ．880B ．622C ．311D ．220 Hz Hz Hz Hz 【答案】C【分析】依题意，每一个单音的频率构成一个等比数列，由，算出公比，结合1312f f =q ，即可求出.10440Hz f =4f 【详解】设第一个单音的频率为，则最后一个单音的频率为，1f 13f 由题意知，且每一个单音的频率构成一个等比数列，设公比为，1312f f =q则，解得： 121312f q f ==q =又， 10440Hz f =1046220 1.414311.08f f q ∴====≈⨯=则与第四个单音的频率最接近的是311,4f Hz 故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列通项公式的运算，解题的关键是分析题意将其转化为等比数列的知识，考查学生的计算能力，属于基础题.10．若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是2()x f x x e a =-a A ． B ． C ． D ．24(,)e +∞24(0,e 2(0,4)e (0,)+∞【答案】B【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数恰有三个零点，即可求实数的取2()x f x x e a =-a 值范围.【详解】函数的导数为，2x y x e =2'2(2)x x x y xe x e xe x =+=+令，则或，'0y =0x =2-上单调递减，上单调递增，20x -<<(,2),(0,)-∞-+∞所以0或是函数y 的极值点，2-函数的极值为：， 224(0)0,(2)4f f e e -=-==函数恰有三个零点，则实数的取值范围是：. 2()x f x x e a =-24(0,e故选B. 【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.二、填空题11．已知数列的前n 项和，则___________.{}n a 221n S n n =-+3a =【答案】.3【分析】利用，代入即可求得的值.332a S S =-3a 【详解】由题意，数列的前n 项和，{}n a 221n S n n =-+可得.22332(3231)(2221)3a S S =-=-⨯+--⨯+=故答案为：.312．过抛物线焦点作直线，交抛物线于两点.若线段中点的横坐标为，则26y x =l ,A B AB M 2等于__________.||AB 【答案】7【解析】根据抛物线的方程即可求出，再根据中点坐标公式即可求出，最后根据抛物线3p =12x x +的焦点弦公式即可求出.||AB 【详解】解：，26y x = 则，3p =设，()()1122,,,A x y B x y 线段中点的横坐标为，AB M 2，12224x x ∴+=⨯=.12437AB x x p ∴=++=+=故答案为：.713．如果数列满足(为常数)，那么数列叫做等比差数列，叫做公比差.给{}n a 211n n n n a a k a a +++-=k {}n a k 出下列四个结论：①若数列满足，则该数列是等比差数列；{}n a 12n n a n a +=②数列是等比差数列；{2}n n ⋅③所有的等比数列都是等比差数列；④存在等差数列是等比差数列. 其中所有正确结论的序号是___________.【答案】①③④【解析】根据比等差数列的定义(为常数)，逐一判断①②③④中的四个数列是否211n n n n a a k a a +++-=k 是等比差数列，即可得到答案.【详解】①数列满足，则，满足等比差数列的定义，故①{}n a 12n n a n a +=2112(1)22n n n n a a n n a a +++-=+-=正确；②数列，{2}n n ⋅，不满足等比差数列的定+2122111(2)2(1)2(2)2(1)22(1)22(1)(1)n n n n n n n n a a a a n n n n n n n n n n n +++++-=+⋅+⋅⋅+⋅-+⋅-==-+⋅⋅⋅+⋅+义，故②错误；③等比数列，满足等比差数列，故③正确；2110n n n n a a a a +++-=④设等差数列的公差为，则， d 22112()n n n n n n n n n n a a a a a d a d d a d a a a d +++-++-=-=++故当时，满足，故存在等差数列是等比差数列，即④正确；0d =2110n n n n a a a a +++-=故答案为：①③④三、双空题14．若函数，则______；曲线在点处的切线的方程是______．()21e x f x +=()f x '=()y f x =()0,e P 【答案】 ##212e x +2e e y x =+2e 0x y e -+=【分析】直接由求导公式和法则即可求，计算为切线的斜率，再由点斜式可得解.()f x '()0f '【详解】由，得；()21e x f x +=()212e x f x +'=则切线的斜率为，()02e f '=所以切线方程为：，即()e 2e 0y x -=-2e e y x =+故答案为：；.212e x +2e e y x =+15．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程可以为___________(写出一个正确答2y x =案即可)；此时，你所写的方程对应的双曲线的离心率为___________.【答案】 2214y x -=【分析】由双曲线的渐近线方程，可写出双曲线的方程，进而求得离心率.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，2y x =所以双曲线的方程为，故可取， 22(0)4y x k k -=≠2214y x -=此时，224,1a b ==2225c a b =+=∴所以离心率c e a ===故答案为： 2214y x -=16．已知直线与直线，，若，则______；若直线与1:220l x y -+=2:20l x ay --=a ∈R 12//l l =a 2l 圆心为的圆相交于，两点，且为直角三角形，则______．C ()()2214x a y -+-=A B ABC =a 【答案】 ； 121±【分析】利用两直线平行的条件建立方程，解方程求得的值；a.【详解】，，，12//l l 1:220l x y -+=2:20l x ay --=，解得； 21212a -∴=≠--12a =圆，圆心，半径， ()()2214x a y -+-=(),1a 2r =因为倍， ABC21a =±故答案为：；121±四、解答题17．已知等差数列满足. {}n a 234417a a a ==+,（1）求数列的通项公式；{}n a （2）若数列满足，再从①；②；③这三个条件中任选一个作{}n b 12b =12n n b b +=12n n b b +=1n n b b +=-为已知，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.{}n n a b +n n T 【答案】（1）；（2）答案见解析.32n a n =-【解析】（1）利用等差数列的通项公式直接求解； （2）分别求得数列的通项公式，利用分组求和的方法求解.{}n b 【详解】解：（1）设等差数列的公差为. {}n a d 由，可得， 234417a a a =⎧⎨+=⎩1142517a d a d +=⎧⎨+=⎩解得.113a d ==，所以1(1)32n a a n d n =+-=-（2）选①：由，可得，， 12b =12n n b b +=0n b ≠12n nb b +=所以是等比数列，公比.{}n b 2q =所以.112n n n b b q -==所以1212()()n n n T a a a b b b =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ (132)2(12)212n n n +--=+- 213222n n n +-=+-选②：由，可得，， 12b =12n n b b +=0n b ≠112n n b b +=所以是等比数列，公比. {}n b 12q =所以.1121112(()22n n n n b b q ---==⋅=所以 1212()()n n n T a a a b b b =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+12(1())(132)21212n n n -+-=+-. 2231()422n n n --=-+选③：由，可得，， 12b =1n n b b +=-0n b ≠11n nb b +=-所以是等比数列，公比，{}n b 1q =-所以.1112(1)n n n b b q --==⋅-所以1212()()n n n T a a a b b b =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ (132)2(1(1))21(1)n n n +---=+--. 232(1)2n n n -+=--18．四棱锥的底面是矩形，侧棱底面，是的中点， P ABCD -PA ⊥ABCD E PD .212PA ,AB ,AD ===（1）求证：平面；//PB ACE （2）求直线与平面所成角的正弦值； CP ACE （3）求点到平面的距离.P ACE 【答案】（1）证明见解析；（23【解析】（1）连结交于，连结，利用中位线定理以及线面平行的判定定理BD AC O OE （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可；（3）利用向量法求点到平面的距离即可.【详解】（1）证明：连结交于，连结 BD AC O OE 因为四边形是矩形，所以为中点ABCD O BD 又因为是的中点，所以E PD //PB OE 因为平面，平面PB ⊄ACE OE ⊂ACE 所以平面//PB ACE（2）四棱锥的底面是矩形，侧棱底面，因此以为原点，以为轴，以P ABCD -PA ⊥ABCD A AB x 为轴，建立空间直角坐标系.ADy所以(0,0,2),(1,2,0),(0,2,0),(0,1,1),(1,0,0)P C D E B 设平面的一个法向量为ACE (,,)n a b c = ，即： 00n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ()220{{12,1,101a ab b n bc c =-+=⇒=⇒=--+==- 设直线与平面所成角为 CP ACE θ由，平面的一个法向量为(1,2,2)PC =- ACE (2,1,1)n =-- 所以sin cos ,PC n PC n PC nθ⋅====⋅ 即直线与平面CP ACE （3）设点到平面的距离，则P ACE d d =所以点到平面 P BDE 【点睛】关键点睛：在求线面角以及点到平面的距离时，关键是建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角以及点到平面的距离.19．已知函数在点处的切线方程为．()321f x x ax =+-()()1,1f --320x y ++=(1)求函数的解析式；()f x (2)求函数在区间上的最大值与最小值；()f x []1,2-(3)方程有三个不同的实根，求实数的取值范围．()f x m =m 【答案】(1)()3231f x x x =+-(2)最大值19，最小值是1-(3)()1,3-【分析】（1）求出函数的导数，计算f '（﹣1），得到关于a 的方程，求出a 的值，从而求出函数的解析式即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．（3）先作出函数的图像，再观察它和直线的关系得到实数的取值范围.()y f x =y m =m 【详解】（1）()232f x x ax '=+函数在点处的切线的斜率()321f x x ax =+-()()1,1f --()132k f a '=-=-由题意可知，得323a -=-3a =∴函数的解析式为()f x ()3231f x x x =+-（2）由（1）知，()236f x x x '=+[]1,2x ∈-令，解得()0f x '=0x =令，解得()0f x ¢>02x <<令，解得()0f x '<10x -<<列表：x 1-()1,0-0 ()0,2 2()f x '0 -0 +0()f x 1 1- 19从上表可知，，在区间上，()()12f f -<[]1,2-当时，取得最大值19，2x =()f x 当时，取得最小值是.0x =()f x 1-（3）方程有三个不同的实数根，即的图像与直线有三个交点.()f x m =()y f x =y m =由（2）分析可得，函数在单调递增，在单调递减，在单调()f x (),2x ∞∈--()2,0x ∈-()0,x ∈+∞递增，而，，所以.()23f -=()01f =-()1,3m ∈-20．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距是2222:1(0)x y C a b a b+=>>(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：与椭圆C 交于两个不同点D ，E ，以线段为直径的圆经过原点，求实40x my --=DE 数的值；m (3)设A ，B 为椭圆C 的左､右顶点，为椭圆C 上除A ，B 外任意一点，线段的垂直平分线分H BH 别交直线和直线于点P 和点Q ，分别过点P 和Q 作轴的垂线，垂足分别为M 和N ，求BH AH x 证：线段MN 的长为定值.【答案】(1) 2214x y +=(2)m =(3)证明见详解【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到椭圆方程； ,,a b c ,a b （2）联立方程组，求得，结合，列出方程求得的值，即121222812,44m y y y y m m +=-=++OD OE ⊥m 可求解； （3）设，由此得到，利用分别表示出直线和的方程，联立两()00,H x y 002,22x y P +⎛⎫ ⎪⎝⎭00,x y PQ AH直线方程，求出点横坐标，进而可求出线段的长，得出结论成立.Q MN 【详解】（1）解：由题意，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距是2222:1x y C a b+=可得，解得222224c a b a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩2,1,a b c ===因此椭圆的方程为. C 2214x y +=（2）解：设，，()11,D x y ()22,E x y 联立方程组 ，整理得， 224014x my x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩()2248120m y my +++=由，解得，()22644840∆=-+>m m 212m >则， 121222812,44m y y y y m m +=-=++因为以线段为直径的圆经过原点，所以，则，DE OD OE ⊥12120OD OE x x y y ⋅=+= 可得，即， ()()1212440my my y y +++=()()2121214160m y y m y y ++++=代入得，整理得满足， ()22221213216044m m m m +-+=++219m =212m >所以m =（3）解：因为，为椭圆的左､右顶点，可得，，A B C ()2,0A -()2,0B 设，则，所以，则， ()()000,2H x y x ≠±220014x y +=220044x y -=-0000242x y y x --=+因为线段的垂直平分线分别交直线和直线于点和点，BH BH AH P Q 则为中点，所以， P BH 002,22x y P +⎛⎫ ⎪⎝⎭又因为直线的斜率为，所以其垂直平分线的斜率为， BH 002BH y k x =-PQ 002PQ x k y -=-则的方程为， PQ 0000000000002244242222222y x x y y x y y x x x y y x x x -++⎛⎫-=--=-⋅=- ⎪+++⎝⎭即； 0004322y y y x x =-+又由直线的斜率为，所以直线的方程为， AH 002AH y k x =+AH ()0022y y x x =++由，可得，则， ()00000432222y y y x x y y x x ⎧=-⎪+⎪⎨⎪=+⎪+⎩()00000432222y y y x x x x -=+++00432222x x x x +-=++解得，即， 0523x x =+0523Q x x =+又因为、分别为、在轴的垂足， M N PM QN x 则，， 002122M P x x x x +===+0523N Q x x x ==+所以为定值. 23M N MN x x =-=21．设等差数列的各项均为整数，且满足对任意正整数，总存在正整数，使得{}n a n m ，则称这样的数列具有性质．12n m a a a a +++= {}n a P (1)若数列的通项公式为，数列是否具有性质？并说明理由；{}n a 2n a n ={}n a P (2)若，求出具有性质的数列公差的所有可能值；13a =P {}n a (3)对于给定的，具有性质的数列是有限个，还是可以无穷多个？(直接写出结论)1a P {}n a 【答案】(1)数列具有性质，理由见解析；{}n a P (2)，；13(3)有限个.【分析】（1）由题意，由性质的定义，即可知是否具有()122123n a a a n +++=⨯++++ P {}n a 性质.P （2）由题设，存在，结合已知得且，则()*12N k a a a k +=∈2k ≠32d k =-，由性质的定义只需保证为整数即可确定公差的()()()1211122n n n a a a a n k d ⎡⎤-+++=+--+⎢⎥⎣⎦P d 所有可能值；（3）根据（2）的思路，可得且，由为整数，在为定值只需2k ≠1Z 2a d k =∈-12n a a a +++ 1a d 为整数，即可判断数列的个数是否有限.{}n a 【详解】（1）由，对任意正整数，， 2n a n =n ()122123n a a a n +++=⨯++++ 说明仍为数列中的项，12n a a a +++ {}n a∴数列具有性质.{}n a P （2）设的公差为．由条件知：，则，即{}n a d ()*12N k a a a k +=∈()1121a d a k d +=+-，()12k d a -=∴必有且，则， 2k ≠1322a d k k ==--()111111=3322n n n a a n d a a k k --=+-=++⨯--而此时对任意正整数，， n ()()()121111222n n n n a a a na d a n k d -⎡⎤+++=+=+--+⎢⎥⎣⎦ 又必一奇一偶，即为非负整数 ,1n n -()()122n n k ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦因此，只要为正整数且， 32d k =-210k -+≥那么为中的一项． ()()()11122n n a n k d -⎡⎤+--+⎢⎥⎣⎦{}n a 易知：可取，对应得到个满足条件的等差数列. 2k -13，3（3）同（2）知：，则，*12(N )k a a a k +=∈1(2)a k d =-∴必有且，则， 2k ≠1Z 2a d k =∈-()()121122n n a a a a n k d ⎡⎤+++=+--+⎢⎥⎣⎦ 故任意给定，公差均为有限个，1a d ∴具有性质的数列是有限个.P {}n a 【点睛】关键点点睛：根据性质的定义，在第2、3问中判断满足等差数列通P 12n a a a +++ {}n a 项公式，结合各项均为整数，判断公差的个数是否有限即可.。
高二上学期期末考试数学(文)试题及答案 (6)
高二年级期末统考数学（文科）试卷命题学校： 命题人：参考资料：一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．下列变量是线性相关的是( )A ．人的身高与视力B ．角的大小与弧长C ．收入水平与消费水平D ．人的年龄与身高 2．给出以下问题：①求面积为1的正三角形的周长； ②求所输入的三个数的算术平均数； ③求所输入的两个数的最小数； ④求函数=)(x f3x x 3x x 22<≥,,，当自变量取0x 时的函数值.其中不需要用条件语句来描述算法的问题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( )A ．①—综合法，②—分析法B ．①—分析法，②—综合法C ．①—综合法，②—反证法D ．①—分析法，②—反证法4．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做100次和150次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为1t 和2t ，已知两人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均值都是s ，对变量y 的观测数据的平均值都是t ，那么下列说法正确的是（ ）A ．t 1和t 2有交点(s,t)B ．t 1与t 2相交，但交点不一定是),(t s)d b )(c a )(d c )(b a ()bc ad (n K ++++-=22C ．t 1与t 2必定平行D ．t 1与t 2必定重合5．从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是红球”6.设i 为虚数单位,a,b ∈R,下列命题中：①(a+1)i 是纯虚数；②若a>b,则a+i>b+i;③若(a 2-1)+(a 2+3a+2)i 是纯虚数，则实数a=±1；④2i 2>3i 2.其中，真命题的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．如右图，小黑圆表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为( )A ．26B ． 24C ．20D ．199.在等腰三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内作一条射线CD 与线段AB 交于点D ，则AD<AC 的概率是( ).A.22 B.41 C.222 D.43 10.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的k 的值是6，则满足条件的整数S 0的个数是( ) A.31 B.32 C.63 D.6411．定义A*B 、B*C 、C*D 、D*B 分别对应下列图形，那么下面的图形中，可以表示A*D ，A*C 的分别是( )开始 输出k 结束k=0，S=S 0k=k+1S>0?是否S=S-2k 4 63 7 561212 86 BAA ．(1)、(2)B ．(2)、(3)C ．(2)、(4)D ．(1)、(4)12．设a ，b ，c 大于0，a ＋b ＋c ＝3，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 的值( )A ．都大于2B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于2二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.)13．下面是关于复数z ＝i12+-的四个命题：P 1：|z|＝2；P 2：z 2＝2i ；P 3：z 的共轭复数为1＋i ；P 4：z 的虚部为-1.其中的真命题个数为 .14．若一组观测值(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )之间满足y i ＝a ＋bx i ＋e i (i ＝1,2，…，n)，若e i 恒为0，则R 2等于________．15．把十进制108转换为k 进制数为213，则k=_______. 16．正偶数列有一个有趣的现象：2+4=6；8+10+12=14+16；18+20+22+24=26+28+30，…按照这样的规律，则2016在第 等式中.三、解答题( 本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17． (Ⅰ)计算（本小题满分6分）：))(()(i 1i 45i 54i 222--++）（；(Ⅱ)（本小题满分6分）在复平面上，平行四边形ABCD 的三个顶点A,B,C 对应的复数分别为i,1,4+2i.求第四个顶点D 的坐标及此平行四边形对角线的长. 18．（本小题满分12分）.按右图所示的程序框图操作：(Ⅰ)写出输出的数所组成的数集． (Ⅱ)如何变更A 框内的赋值语句，使得根据这个程序框图所输出的数恰好是数列{}n 2的前7项？(Ⅲ)如何变更B 框内的赋值语句，使得根据这个程序框图所输出的数恰好是数列{}2n 3-的前7项？19．（本小题满分12分）.设f(x)331x +=，先分别计算f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)的值，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.20．（本小题满分12分）田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A 、B 、C ，田忌的三匹马分别为a 、b 、c 。
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2016---2017学年北京临川学校高二期末数学试卷（北京卷）一、选择题：（12小题，共60分）1. 已知椭圆x225＋y216＝1上一点P 到椭圆一个焦点的距离为7，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．3B ．4C ．5D ．62．直线x －√3y ＝3的倾斜角的大小为( )A ．30°B ．60° C．120° D．150°3．已知抛物线4y ＝x 2，则它的焦点坐标是( )A ．(0，2)B ．(1，0)C ．(2，0)D ． (0，1)4. 焦点在y 轴上，虚半轴的长为4，半焦距为6的双曲线的标准方程为( )A.y220－x216＝1B.y216－x220＝1C.y216－x236＝1D.y236－x216＝1 5. 运动物体的位移s ＝3t 2－2t ＋1，则此物体在t ＝10时的瞬时速度为( )A ．281B ．58C ．85D ．106. 若f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，f ′(－1)＝3，则a 的值等于( )A ．5B ．4C ．3D ．67．为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省(市)的2 500名城镇居民，这个问题中“2 500名城镇居民的寿命的全体”是( )A ．总体B ．个体C ．样本D ．样本容量8. 给出下列命题，其中真命题为( )A ．对任意x ∈R ，x 是无理数B ．对任意x ，y ∈R ，若xy ≠0，则x ，y 至少有一个不为0C ．存在实数既能被3整除又能被19整除D ．x >1是1x<1的充要条件9．.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )A .1+错误！未找到引用源。
B .2+错误！未找到引用源。
C .1+2错误！未找到引用源。
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10．已知圆（x+1）2+y 2=2，则其圆心和半径分别为（ ）A ．（1，0），2B ．（﹣1，0），2C ．D ．11．抛物线x 2=4y 的焦点到准线的距离为（ ）A．B．1 C．2 D．412．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0 B．2x+y=1 C．x+2y=0 D．x+2y=1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知函数f(x)＝x3＋2，则f′(2)＝________.14．已知命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：．15．如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.16．椭圆x2+9y2=9的长轴长为．三.解答题（六大题，共70分）17（10分）．已知曲线C：y＝x3+5x2+3x(1)求曲线C导函数.(2)求曲线C在x=1处的切线方程.18．(12分)(1) 设命题p：(4x－3)2≤1，若p是真命题，求x的取值范围。
(2)已知p：4x＋m<0，q：x2－x－2>0，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．19．(12分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C区中分别有18,27,18个工厂．(1)求从A，B，C区中分别抽取的工厂个数；(2)若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．20．(12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC 1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.21（12分）.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝9.(1)判断两圆的位置关系;(2)求直线m的方程，使直线m过圆C1圆心，且被圆C截得的弦长是6.22. (12分)已知椭圆C1：x24＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．2016---2017学年北京临川学校高二期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：1. 已知椭圆25x2＋16y2＝1上一点P 到椭圆一个焦点的距离为7，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 点P 到椭圆两个焦点距离之和为2a ＝10，∴10－7＝3.【答案】 A3．已知抛物线4y ＝x 2，则它的焦点坐标是( )A ．(0，2)B ．(1，0)C ．(2，0)D ． (0，1)[答案] D2．直线x －√3y ＝3的倾斜角的大小为( )A ．30°B ．60° C．120° D．150°【答案】 A4. 焦点在y 轴上，虚半轴的长为4，半焦距为6的双曲线的标准方程为( )A.20y2－16x2＝1B.16y2－20x2＝1C.16y2－36x2＝1D.36y2－16x2＝1 【解析】 由双曲线的焦点在y 轴上，可设双曲线的标准方程为a2y2－b2x2＝1(a >0，b >0)．已知b ＝4，c ＝6，则a 2＝c 2－b 2＝62－42＝20，故所求双曲线的标准方程为20y2－16x2＝1.故选A.【答案】 A5 运动物体的位移s ＝3t 2－2t ＋1，则此物体在t ＝10时的瞬时速度为( )A ．281B ．58C ．85D ．10 【解析】 ∵s ′＝6t －2，当t ＝10时，s ′＝6×10－2＝58.【答案】 B6. 若f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，f ′(－1)＝3，则a 的值等于( )A ．5B ．4C ．3D ．6【解析】 ∵f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，∴f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝3，∴a ＝3.【答案】 C7．为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省(市)的2 500名城镇居民，这个问题中“2 500名城镇居民的寿命的全体”是( )A ．总体B ．个体C ．样本D ．样本容量【答案】 C8. 给出下列命题，其中真命题为( )A ．对任意x ∈R ，是无理数B ．对任意x ，y ∈R ，若xy ≠0，则x ，y 至少有一个不为0C ．存在实数既能被3整除又能被19整除D ．x >1是x 1<1的充要条件【解析】 选项A 为假命题，例如是有理数；选项B 是假命题，若xy ≠0，则x ，y 全都不为0；选项C 是真命题；选项D 中，x >1是x 1<1的充分不必要条件．【答案】 C9.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )A .1+B .2+C .1+2D .2解析:该四面体的直观图如图所示,平面ABD⊥平面BCD,△ABD与△BCD为全等的等腰直角三角形,AB=AD=BC=CD=.取BD的中点O,连接AO,CO,则AO⊥CO,AO=CO=1,由勾股定理得AC=,因此△ABC与△ACD为全等的正三角形,由三角形面积公式得,S△ABC=S△ACD=,S△ABD=S△BCD=1,所以四面体的表面积为2+.答案:B10．已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2 B．（﹣1，0），2C．D．【考点】圆的标准方程．【分析】利用圆的标准方程的性质求解．【解答】解：圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），半径为．故选：D．11．抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线方程求解即可．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．故选：C．12．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0 B．2x+y=1 C．x+2y=0 D．x+2y=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，由双曲线的渐近线方程y=±x，即可得到所求结论．【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得a=，b=1，由双曲线的渐近线方程y=±x，可得所求渐近线方程为y=±2x．故选：A．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知函数f(x)＝x3＋2，则f′(2)＝________.[答案] 1214．已知命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：∃x∈R，x2＜0 ．【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：∃x∈R，x2＜0．故答案为：∃x∈R，x2＜0．15．如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.【答案】216．椭圆x 2+9y 2=9的长轴长为 6 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将椭圆化为标准方程，求得a=3，即可得到长轴长2a ．【解答】解：椭圆x 2+9y 2=9即为+y 2=1， 即有a=3，b=1，则长轴长为2a=6．故答案为：6．三、解答题：17（12分）．已知曲线C ：y ＝x 3+5x 2+3x(1)求曲线C 导函数.(2)求曲线C 在x=1处的切线方程.[解析] (1) y ′＝3x 2+10x+3，（2）切线斜率k ＝y ′ￜx=1=16，当x=1时，y=9∴切线方程y -9＝16(x -1)，即3x －y ＋2＝0.18．(12分)(1) 设命题p ：(4x －3)2≤1，若p 是真命题，求x 的取值范围。
(2)已知p ：4x ＋m <0，q ：x 2－x －2>0，且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．[解析] (1)若命题p 为真，则(2)由x 2－x －2>0，得x >2或x <－1，令A ＝{x |x >2或x <－1}；由4x ＋m <0，得x <－4m ，令B ＝{x |x <－4m }．因为p 是q 的充分条件，所以B ⊆A ，于是－4m ≤－1，得m ≥4，所以实数m 的取值范围是[4，＋∞)．19．(本小题满分12分)如图3，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1；(2)直线A 1F ∥平面ADE .【证明】 (1)因为ABCA 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .又AD 平面ABC ，所以CC 1⊥AD .又因为AD ⊥DE ，CC 1、DE 平面BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1.又AD 平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.(2)因为A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点，所以A 1F ⊥B 1C 1.因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F 平面A 1B 1C 1，所以CC 1⊥A 1F .又因为CC 1、B 1C 1平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1，所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1.由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，所以A 1F ∥AD .又AD 平面ADE ，A 1F 平面ADE ，所以A 1F ∥平面ADE .20．(本小题满分13分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A ，B ，C 区中分别有18,27,18个工厂．(1)求从A ，B ，C 区中分别抽取的工厂个数；(2)若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率．【解】 (1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为637＝91，所以从A ，B ，C 三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.(2)设A 1，A 2为在A 区中抽得的2个工厂，B 1，B 2，B 3为在B 区中抽得的3个工厂，C 1，C 2为在C 区中抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能的结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，B 3)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 3，C 1)，(B 3，C 2)，(C 1，C 2)，共有21种．随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A 区的结果(记为事件X )有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)共有11种，所以这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率为P (X )＝2111.21（12分）.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝9.(1)判断两圆的位置关系;(2)求直线m 的方程，使直线m 过圆C 1圆心，且被圆C 截得的弦长是6.解：(1)圆C 1的圆心C 1(－3,1)，半径r 1＝2；圆C 2的圆心C 2(4,5)，半径r 2＝2.∴C 1C 2＝＝>r 1＋r 2，∴两圆相离；（2）由题意得，所求的直线过两圆的圆心，即为连心线所在直线， 易得连心线所在直线方程为：4x －7y ＋19＝0.22. (12分)已知椭圆C 1：4x2＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，＝2，求直线AB 的方程．【解】 (1)由已知可设椭圆C 2的方程为a2y2＋4x2＝1(a >2)，其离心率为23，则a a2－4＝23，解得a ＝4，故椭圆C 2的方程为16y2＋4x2＝1.(2)设点A ，B 的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由＝2及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入4x2＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x A 2＝1＋4k24.将y ＝kx 代入16y2＋4x2＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x B 2＝4＋k216.由＝2，得x B 2＝4x A 2，即4＋k216＝1＋4k216，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .。