定积分存在的充分必要条件
高等数学定积分可积条件
是 0, 0, x, x [a, b], 若 x x , 则
f ( x) f ( x)
ba
.
因此当 [a , b] 上的分割 T 满足 T 时,
i M i mi
sup{ f ( x) f ( x) ，x, x [ xi 1 , xi ] }
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又任取 i [ xi 1 , xi ]\ Q, i 1, 2,
, n, 则
D(i )Δxi 0.
i 1
n
于是
n
D( i )Δxi D(i )Δxi
i 1 i 1 n i 1
n
n
1, 而这与
D( i )Δxi D(i )Δxi
与 i [ xi 1 , xi ] ( i 1,2,
n i 1
, n ) 如何选取, 都有
1,
f ( i )Δxi J
于是
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f ( i )Δxi
i 1
n
J 1 M.
则必有 k , 使得 f ( x ) 在 倘若 f ( x ) 在 [a, b] 上无界，
称 i M i mi ( i 1, 2,
振幅.
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n;
n) 为 f 在 [ xi 1 , xi ] 上的
高等数学(上册)重要知识点
一章 函数与极限
1. 集合与函数 1.1 集合的概念
具有某种特定性质的事物的的全体。
全体非负整数（自然数）构成的集合{0,1,2,3......}记为N 。 全体正整数构成的集合{1,2,3....}记为 。 全体整数构成的集合{....-1,0,1,2....}(记为Z). 全体实数构成的集合R. 1.2基本初等函数和初等函数 反对幂指三是基本初等函数.
将基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算所得到的 且能用一个式子表示的函数称为初等函数. 1.3极坐标与直角坐标系的关系
θρθρsin cos {==y x )
0(tan {2
2
≠=+=
x x y y
x θρ
1.4几种特殊性质的函数 (1)有界函数
F(x)在x 上有界的充分必要条件为:存在常数M>0,使得| f(x) | ≦ M,对
任意x 属于X.这时称风f(x)在x 上有一个界. (2)奇偶函数
F (x)=f(-x),称为偶函数. F (-x)=-f(x),称为奇函数. (3)周期函数
f(x+L)=f(x)恒成立,称f(x)为周期函数.L 为f(x)的最小正周期.
2.极限
2.1数列极限的定义
设有数列{a n },若存在常数a ，对任意给定的ε>0,总存在正整数N ，当
n>N 时，恒有| a n -a |
a
a
n
n =∞
→lim , 或 a a n
→(∞
→a ).
此时称数列}
{a n 收敛于常数a ，或简称数列收敛.反之数列}
{a n 没有极
限，或称它为发散.
2.2数列极限的性质
(1)（极限的唯一性）如果数列
}
{a n 收敛，那么它的极限必唯一.
定积分存在的条件
同理可证S ' S 。 （证毕）
2020年4月8日星期三
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
3
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
定理2 : 对于一切分法，上和的集合 S 有下界
m b a ,下和的集合S有上界M b a .
这里分别用M及m记f x在a,b的上确界及下确界.
证明： 沿用以上记号，显然有mi M , Mi m。
'的部分区间
j
xi1 , xi
最多
只有p 1个。
另一方面，若 xi1, xi 中不含有x'j的点，则在S
2020年4月8日星期三
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
9
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
中及S*中都含有项Mi xi xi1 ，从而在差S S*中 只剩下 xi1 , xi 中含有x'j点的那些项的差.
l supS, L inf S
2020年4月8日星期三
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
6
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
证明：（就上和的情形加以证明.）
由于对某分法T，L是 S 的下确界,
所以对于任意 0，可以对a, b，作另一分法T,
a
x0'
x1' L
x' p1
x'p
b
使得对应于这一分法的上和S '满足
微积分练习题
^项 目^：综合练习 ^章 节^：第五章 定积分及其应用
一、填空题.（ 1．
1
30
1x dx +⎰
与1
40
1x dx +⎰相比，大的是_____________.
2．设()f x 为连续函数,则1lim ()x
a x a
f t dt x a
→-⎰=__()f a ___.. 3．设
()sin ,x
f x dx x x =⎰
则()f x =_____________.
4．325
4
25sin 21
x x
dx x x -++⎰=_____0______. 5. 12
0sin d x dx dx =⎰ ；2sin d x dx dx
=⎰ 20sin x d t dt dx =⎰ ；02sin x d t dt dx =⎰ ； 2
20
sin x d t dt dx =⎰ ； 二、选择题. （15%）
1．函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续是定积分
()b
a
f x dx ⎰
存在的( )条件.
A) 必要 B) 充分 C) 充要 D) 无关. 2．设()f x 是连续函数，则
()()b
b
a
a
f x dx f a b x dx -+-⎰
⎰=（ ）.
A) 0 B) 1 C) a b + D) ()b
a
f x dx ⎰
.
3．若()()x
a
F x xf t dt =
⎰
，则'()F x =（ ）.
A) ()xf x B) ()()x
a
f t dt xf x +⎰
C) ()()x a f x - D) ()[()()]x a f x f a --.
4．广义积分
2
1
x xe dx +∞
-⎰
=（ ）.A) +∞ B) e C) 12e -
高等数学定积分可积条件
2( M m )
( M m)
.
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若 f 在 [a , b] 上 有界,且只有有限多个不连续点， 此时可用第三种方法证明 f 可积. 定理9.6（有限个间断点的有界函数必可积）
若f 在 [a , b] 上有界，且只有有限多个间断点，则
f 在 [a, b] 上可积.
证 不妨设 f 在 [a , b] 上 只有一个间断点,且为 b.
M i sup f ( x ) | x [ xi 1 , xi ], i 1, 2,
n i 1 i 1 n
T : a x0 x1 ... xn b,
n;
称 s(T ) mi Δxi 为 f 关于分割 T 的下和,其中
mi inf f ( x ) | x [ xi 1 , xi ] , i 1, 2,
有界性是可积的必要条件而非充分条件, 连续性是
可积的充分条件而非必要条件.
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定理9.1 (可积必有界） 若函数 f 在 [ a , b ] 上可积，则 f 在 [ a , b ] 上必有界.
证 设
f ( x )dx J . a
b
由定义, 对 1 0 , 0 , 只要 T , 无论 T
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是 0, 0, x, x [a, b], 若 x x , 则
数学分析9.3可积条件
数学分析9.3可积条件(总7页)
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第九章 定积分 3 可积条件
一、可积的必要条件
定理：若函数f 在[a,b]上可积，则f 在[a,b]上必定有界. 证：若f 在[a,b]上无界，则对于[a,b]的任一分割T ， 必存在属于T 的某个小区间△k ，f 在△k 上无界. 在i ≠k 的各个小区间△i 上任取ξi ，并记G=|i k
i i x △)ξ(f ∑≠|.
对任意大的正数M ，存在ξk ∈△k ，使得|f(ξk )|>k
x △G
M +，于是有 |i k
i i x △)ξ(f ∑≠|≥|f(ξk )△x k |-|i k
i i x △)ξ(f ∑≠|>
k
x △G
M +·△x k -G=M. 因此，对于无论多小的║T ║，按上述方法选取的点集{ξi }，总能使 积分和的绝对值大于任何预先给出的正数，与f 在[a,b]上可积矛盾. ∴原命题得证.
注：任何可积函数有界，但有界函数不一定可积。
例1：证明狄利克雷函数D(x)=⎩
⎨
⎧.x 0，
x 1为无理数为有理数，，在[0,1]上有界但不可积.
证：∵|D(x)|≤1, x ∈[0,1]，∴D(x)在[0,1]上有界.
又对于[0,1]的任一分割T ，由有理数和无理数在实数中的稠密可知，
在属于T 的任一小区间△i 上，当取ξi 全为有理数时，
i
n
1
i i
x △)ξ(D ∑==1；
当取ξi 全为无理数时，i n
1
i i x △)ξ(D ∑==0. 即不论║T ║多么小，只要
积分存在定理
积分存在定理
积分存在定理是一种描述解析函数的定理，是数学分析中经典的定理之一。它由德国数学家卡尔马克思安格尔于1854年提出，具体指出：定积分可以应用于求解方程的定义，内容包括椭圆形的定积分和圆形的定积分，是计算复变函数的基础。
安格尔通过发展函数论把定积分引入数学中，丰富和发展了多变函数理论。定理指出，任意复变函数都可以表示为一定的积分变换，从根本上指出了定积分及其在函数论中的体系地位。安格尔的定理也引入现代物理的许多实际应用，比如微积分中重要的几何性质可以通过定积分来表示。
安格尔在定理中利用了有限量积分和多项式分析的思想，把多变函数表示为有限量和无穷量的积分，并建立了一种概念：变换，把复变函数表示为积分变换。它也提供了一种计算复变函数值的方法，把复变函数表示为积分变换，可以方便地计算和分析复变函数的性质。
安格尔定理的意义在于，它把有限的量积分和多项式的思想引入多变函数的分析，从根本上解决了多变函数的求解问题。它提供了一种有效的方法，可以用定积分计算求解复变函数的极限，特别是计算复变函数的微分，比如椭圆定积分和圆圈积分，都可以用来求解复变函数的边界、极限等。
在安格尔定理中，安格尔引入了定积分，为函数论奠定了基础。它也前进了实际应用，比如微分几何中的解析函数，也可以通过定积分来求解。安格尔也把复变函数分析推向了新的高度，为复变函数的
研究提供了可能性。
安格尔定理对函数论有着重要的意义，它的出现使得定积分和多项式的概念引入到复变函数的理论中，为解决复变函数的求解提供了必要的条件，也为数学家们创造了一种新的思考模式。而目前，安格尔定理已经成为函数论中必不可少的概念，被广泛应用于物理、医学等科学领域。
71定积分的概念与可积条件
n
s(T ) f (i )xi S(T ) (1) i1
由此可见，只要通过上、下和当 T 0 时的极限就揭示f 在[a,b]上是否
可积了。所以可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的。
（有关上、下和性质的详细讨论参见课本P231—236）
定理 9.3 (可积准则）函数f 在[a,b]上可积的充分条件是：任给 0，
三、利用定积分的定义计算积分 b xdx ，( a b ) . a
四、利用定积分的几何意义，说明下列等式：
1
1、
1 x2dx ;
0
4
2、
2
cos
xdx
2
2 cos xdx
0
;
2
五、水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知 闸门上水的压强 P 是水深 h 的 函数，且有
p 9.8h(千米 米2 )，若闸门高H 3米 ，宽 L 2米 ，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水
而与复杂的n
f
(
)x
无关，这相对于用讨论lim
n
f
(
)x 是否存在
i 1
i
i
T 0 i1
i
i
极限来判定有界函数的可积性来说，简单得多了。
常用定理9.3'证明有界函数的可积性较方便。
三、 可积函数类 根据可积的准则，我们可以证明下面三种类型的函数必是可积的。
定积分存在的条件
)
对任何分法T , 有 s(T ) (T)
__
S (T ) ,
而
b
lim
T 0
s(T ) =
a
b
== a
lim
T 0
__
S (T ) .
b
令 a
和
b
a
的共值为 I
,由双逼原理
I lim T 0
(T ) = .
2020/6/11
25
Riemann可积的第一充要条件
xi-1 xi
xi-1 xi
a
22 .
__
此即
lim
T 0
S
(T
)
=
b
a
f (x)dx .
2020/6/11
22
3.定积分存在的充分必要条件
定理５（定积分存在的第一充分必要条件）
函数 f(x)在［a,b］上可积的充分必要条
件是：
b
b
a
a
b
b
f (x) R [ a , b ]
=
.
a
a
b
证 ) 设 f ( x)dx = I , 则有 a
2020/6/11
2
思路与方案:
思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和.
用相应于分法T 的“最大”和“最小”的两个“积分和”
定积分存在的条件
( Mi f (i )) xi
<
.
2
因此, T 时有
|
__
S (T ) I |
| | + | | < + __
S (T )
28.05.2020
f (i ) xi
f (i )xi I
.
= .
22
24
__
此即
lim
T 0
S (T ) = I
.由达布定理
,
b
a
=
I.
I b
同理可证 a =
T,使得
n
i xi
i 1
28.05.2020
.
30
Riemann可积的第二充要条件
其中：
Mi sup{f (x): xi1 x xi} mi inf{f (x): xi1 x xi}
i Mi mi
xi-1 xi
f(x)在[a,b]上Riemann可积
n
0,分T， 划使 i 得 xi i1
28.05.2020
lim
T 0
f
(xi )xi .
=
I
.
23
即对 0 , 0 , 使当 T 时有
|
f (xi )xi
I
|<
2
对i
xi
成立.
第四节R积分与L积分的
定理 也可叙述成如下形式
定理4 (可积准则Ⅰ 定理4.1(可积准则Ⅰ) 函数 f(x)在[a,b]上 R 可积的充分 在 ] 必要条件是:对任意 ε > 0 , 总存在相 必要条件是: 对任意ε 应的一个分割 T,使得 使得
S(T) s(T ) < ε
2010-6-28 福州大学数学与计算机学院聂建英
2010-6-28
福州大学数学与计算机学院聂建英
引理2: 上为有界函数, 引理 :设f(x)在[a,b]上为有界函数, 在 上为有界函数 上的振幅函数, 记ω(x)为[a,b]上的振幅函数,则 为 上的振幅函数
∫
[ a ,b ]
ω ( x ) dx = ∫
b
a
f ( x ) dx ∫
b
a
f ( x ) dx
( R ) ∫ f ( x)dx = lim
a b ||T || → 0
∑ f (ξ )x
i =1 i
n
i
xi-1 xi
yi yi-1
Lesbesgue积分 Lesbesgue积分 对值域作分划
(L)
∫
[ a ,b ]
f ( x ) dx = lim
δ→0
∑ ξ mE
i i =1
n
i
2010-6-28
i =1
n
对上式左,右端关于一切分划各取 上,下确界,即得
可积准则
s (T )
f ( )x S (T )
n k 1 k k
定义
设E是非空数集，若 R 且
1)x E , 有 x; 2) 0, x E , 有x .
0 0
( x )
则称是数集E的 下确界，记为
0
inf E.
显然，对于[a,b]的同一分法T的小和与大和，总有不等式
s(T ) S (T )
因为，分法 T确定后，相应区间上的 上下确界也确定 , 且
m M
k
m x
k 1 k
n
k
s (T )
k
n
S (T ) M x
k 1 k
k
达布简介
达布（1842～1917）
Darboux，Jean-Gaston
k k k k k 1 k k k k k k k
n n
m x f ( )x M x
n k 1 k k k 1 k k k 1 k k
s(T ) m x f ( )x M x S (T ) 即s(T ) f ( )x S (T )
0
0
时，积分和 (T , ) 存在确定的有限极限
n
lim (T , ) lim f ( )x I
0
5.2.1 定积分的概念与可积条件
i≠k
证：(反证法) 设T =∆ { i,i = 1, 2, , n} 为区间[a, b]上的分割. 若 f ( x )在 [a , b] 上无界
n i =1
| ∑ f (ξ i )∆x= | f (ξ k )∆xk + ∑ f (ξ i )∆xi | i |
b
y = f ( x)
y + o
a
y = f ( x)
+
b
23
在 x 轴下方的负面积的代数和.
−
x
例2 求在区间[0,1]上，以抛物线 y = x 2 角形的面积（如图）.
2 y = x 在[0,1]上连续， 故所求面积为 解 因
n
为曲边的曲边三
S =
2 2 lim x dx ξ = ∑ i ∆ xi . ∫ 1 0 T →0 i =1
16
定积分的定义
定义5.2.1 设 f 是定义在[a, b]上的一个函数. 在闭区间[a, b] 内取n-1个点, 依次为 a = x0 < x1 < x2 < < xn−1 < xn = b 它们把[a, b]分成n个小区间△i=[xi-1, xi], i=1, 2, …，n. 这些分点或这些闭子区间构成 [a,b]的一个分割，记为
(1)分割：把 [a, b] 任意分为n个小段: [ xi −1 , xi ]( i = 1, 2, , n). (2)近似：在 [ xi −1 , xi ] 上任取一点 ξi , 物体从 xi −1 移到 xi 时 F ( x) 作的功 ∆Wi ≈ F (ξ i )( xi − = xi −1 ) F (ξ i )∆xi (3)求和：物体从 a 移到 b 时 F ( x)作的功近似为: W ≈ ∑ F (ξ i ) ∆xi
定积分的概念
(i ) f ( x ) g( x ) 在[a, b]上可积，并且
(i i ) f ( x ) g( x )在a, b上也可积，但一般地
[ f ( x) g( x)]dx
a
a
f ( x )dx g( x )dx
a
b
b
a
f ( x ) g( x )dx f ( x )dx g( x )dx
0 f x dx
1
0 y=f(x) y
S
1
x
f x dx
1 0
2.经 部 分 翻 转 后 ,原阴影面积
y=f(x)
S S1 S 2 S1上 S 2
S2
-1
1 f x dx 0 f x dx
0 2
S1
0
2
x
0 f x dx 1 f x dx
c b
b
c
c
现考虑a f的另一几何意义 , 如图：
y
b
S2
a
S1
c
0
b
x
a f x dx a f x dx c f x dx
b c b
f x dx
c a
b
c
f x dx
几何意义2
S1 S2 S2 S1
可积准则1
s(T ) s(T ' ' ) 与 S (T ' ' ) S (T ' )
[ S (T ' ' ) S (T )与s(T ' ) s(T " )]
已知对同一个分法 T ' '，总有s(T ' ' ) S (T ' ' ).从而
即s(T ) S (T ' ).
s(T ) s(T ' ' ) S (T ' ' ) S (T ' )
小和、大和，积分和，区别
s (T )
m x
k 1 k
n
k
S (T )
M
k 1
n
k
xk (T , ) f ( )x
i 1 i
n
i
与积分和相比，达布和只与分割 T 有关，而与点
i 的取法无关.
这是因为当分法 T 给定后， 函数 f(x)在每个小区间的下确界和上确界是唯一 的，从而小和与大和也就随分法 T 确定. 这是小和，大和与积分和的主要区别.
同法可证S (T ' ) S (T ).
性质4
对[a, b]任意两个分法 T与T '，有
s(T ) S (T ' ) 与 s(T ' ) S (T )
华理高数答案第5章
华理高数答案第5章
第5章（之1）第23次作业
教学内容：§5.1定积分的概念5.2定积分的性质
1．选择题
*（1）用定积分表示的和的极限为（）
b?an(a)．lim?n??ni?1nn??i?1nb?an?i?f?(b?a)?
(b)．lim?n??nni?1i?1?f?(b?a)??n?
（c）林先生？f（？i）？席（席？1，席？）（d）林先生？f（？i）？席（？？max1,2，？n席？1，席？）0i？1答复：D
*（2）设：iba
F（x）DX，根据定积分的几何意义（）
(a)．i是由曲线y?f(x)及直线x?a，x?b与x轴所围图形的面积，所以
i?0．(b)．若i?0，则上述图形面积为零，从而图形的＂高＂f(x)?0．(c)．i是曲线y?f(x)及直线x?a，x?b与x轴之间各部分面积的代数和．(d)．i是曲线y?f(x)及直线x?a，x?b与x轴所围图形的面积。答:c
*（3）函数f（x）在闭区间a，B上是连续的，f（x）在a，B（）上是可积的
(a)．必要条件(b)．充分条件答:b
*（4）通过（c）。充分必要条件（d）。既不是充分条件，也不是必要条件
a，b?上连续曲线y?f(x)，直线x?a，x?b(a?b)和x轴围成图形
s区？（）
bbb?f(b)?f(a)?(b?a) (a)．f(x)dx (b)．f(x)dx (c)．f(x)dx
(d)．.?a?a?a2答:c
**（5）设置在a和B部分
上f(x)?0，f?(x)?0，f??(x)?0，令s1??af(x)dx，b1?f(b)?f(a)?(b?a)，则有（）2 (a)s1?s2?s3；(b)s2?s1?s3；(c)s3?s1?s2；(d)s2?s3?s1.s2?f(b)(b?a)，s3?答:b
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一、定积分存在的充分必要条件
设f x 在a,b有界，在a,b插入分点
a x0 x1 xn1 xn b
把a,b分成n个小区间xi1, xi i 1, 2, ,n
记
Mi sup f x x xi1, xi mi inf f x x xi1, xi
由于L是 S 的下确界, 所以对于任意 0，可以对a, b
作一分法,
a x0' x1'
x' p1
x'p
b
使得对应于这一分法的上和S'满足S' L，S' L , 及
2
0 S'－L
2
固定了p及 xi' 以后, 可取
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Yunnan University
§2. 定积分存在的条件
用M及m记f x 在a,b的上确界及下确界.
证 沿用以上记号，显然有mi M , Mi m。于是有
n
n
S Mixi mxi m b a
i 1
i 1
同理可证S M b a .
Yunnan University
§2. 定积分存在的条件
定理3 任一个下和S总不超过任一个上和S，即使是 对应于不同分法的上和及下和.
Mi Mi2 xi x'j
M
m
x
' j
xi 1
xi
x
' j
M m xi xi1 M m p 1
M
m
p
1
2
p
1
M
m
2
另一方面，由定理1有
*
'
S L S L
2
Yunnan University
§2. 定积分存在的条件
于是将上面的两个不等式相加，得
0 SL
定理证毕。
及
xn1 , xn
内，因此，含有x
'的部分区间
j
xi1 , xi
最多
只有p 1个。
另一方面，若 xi1, xi 中不含有x'j的点，则在S
Yunnan University
§2. 定积分存在的条件
中及S*中都含有项Mi xi xi1 ，从而在差S S*中 只剩下 xi1 , xi 中含有x'j点的那些项的差. 设 xi1, xi 中含有点x'j , 而Mi1，Mi2分别为f x 在 xi1 , x'j
xi xi xi1
Yunnan University
§2. 定积分存在的条件
作和式
n
S Mixi i 1
n
S mixi i 1
分别称为对于这一分法的达布上和及达布下和，统称
达布和。
定理1 如果在原有的分点中加入新的分点，则上和不增， 下和不减。也就是说，若加入新分点后对应的上和及下和 分别记为S'及S ',则S ' S， S ' S.
使对任意的分法a x0 x1 xn b及 xi1 , xi
上任意的点，只要 max i1,2, ,n
xi
，就有
n f
i 1
i
xi I 2
设Mi为f x在xi1, xi 上的上确界。按上确界定义，
可得i xi1, xi ，使
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§2. 定积分存在的条件
定理5 定积分存在的第一充分必要条件 函数f x在
a, b可积的充分必要条件是L l, 即
n
lim f
0 i1
i
xi I .
证明：先证必要性。设f x在a,b可积,则按定义，可设
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n
lim f
0 i1
i
xi I .
此处xi xi xi1,亦即对任意的 0，存在 0，
min x1' x0' , x2' x1' ,
,
x'p
x
' p1
,
2 p 1 M m
其中M及m分别为f x在a,b的上、下确界.
于是，为了得到所需的结论，只要证明，对任意的分法
a x0 x1 xn1 xn b
只要 时，就成立
SL SL
即可.
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§2. 定积分存在的条件
证 设原有分点为a x0 x1 xn1 xn b,
不失一般性，不妨假定只在 xi1, xi 中插入一个新分点x ' : xi1 x ' xi .
记
Mi1 sup f x x xi1, x ' , Mi2 sup f x x x ', xi
显然Mi1 Mi , Mi2 Mi ， 所以
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Mi1 Mi , Mi2 M2 , 因此 S' S.
同理可证S ' S 。
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§2. 定积分存在的条件
定理2 对于一切分法，上和的集合 S 有下界
m b a ,下和的集合S有上界M b a .这里分别
0
Mi
f
i
2b
a
于是
n
n
S f i xi Mi f i xi
及 x'j , xi 的上确界，那么对于含有x'j的这种部分区间
xi1, xi 作和，得
*
0 SS
Mi xi xi1
Mi1
x
' j
xi 1
Mi2
xi
x
' j
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§2. 定积分存在的条件
Mi Mi1 x'j xi1
§2. 定积分存在的条件
事实上，合并以上两个分法的分点，作为新分法的
分点，这样得到一个新的分法，设其对应的上和为S* ,
那么,由于任一长度xi
xi1都小于任一长度x'j
x'j
，
1
所以在每一部分区间 xi1, xi 内至多只有 x'j 中的一个点.
又因x0' , x'p分别与x0 , xn重合，因而它们不在 x0 , x1
而S3 S3 , 所以S1 S2.
记
l supS , L inf S
则l L .
定理4 对任何有界函数f x ,必有 达布定理
lim S L, lim S l
0
0
其中规定为对任意的分法,
max i
xi
.
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§2. 定积分存在的条件
证明 我们就上和的情形加以证明.
证 对于a, b设有两个独立的分法，对应的达布和分别记为
S1，S1及S 2，S 2 , 下证S1 S 2 .
把两种分法的分点合并在一起，也是一种分法， 对应的达布和分别记为S3 , 及S 3，于是由定理1 可知
S1 S3, S3 S2 .
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