材料阅读题及答案

材料阅读题及答案集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]

重庆中考材料阅读题分类讲练（含答案）类型1 代数型新定义问题

例1【2017·重庆A】对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n)．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以，F(123)＝6.

(1)计算：F(243)，F(617)；

(2)若s，t都是“相异数”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y(1≤x≤9，1≤y≤

9，x，y都是正整数)，规定：k＝F()s

F()t

.当F(s)＋F(t)＝18时，求k的最大值．

针对训练

1．对于一个两位正整数xy(0≤y≤x≤9，且x、y为正整数)，我们把十位上的数与个位上的数的平方和叫做t的“平方和数”，把十位上的数与个位上的数的平方差叫做t的“平方差数”．例如：对数62来说，62＋22＝40，62－22＝32，所以40和32就分别是62的“平方和数”与“平方差数”．

(1)75的“平方和数”是________，5可以是________的“平方差数”；若一个数的“平方和数”为10，它的“平方差数”为8，则这个数是________．

(2)求证：当x≤9，y≤8时，t的2倍减去t的“平方差数”再减去99所得结果也是另一个数的“平方差数”．

(3)将数t的十位上的数与个位上的数交换得到数t′，若t与t的“平方和数”

之和等于t′与t′的“平方差数”之和，求t.

2．将一个三位正整数n 各数位上的数字重新排列后(含n 本身)．得到新三位数abc(a ＜c)，在所有重新排列中，当||a ＋c －2b 最小时，我们称abc 是n 的“调和优选数”，并规定F(n)＝b 2

－ac.例如215可以重新排列为125、152、215，因为||1＋5－2×2＝2，||1＋2－2×5＝7，||2＋5－2×1＝5，且2＜5＜7，所以125是215的“调和优选数”，F(215)＝22－1×5＝－1.

(1)F(236)＝________；

(2)如果在正整数n 三个数位上的数字中，有一个数是另外两个数的平均数，求证：F(n)是一个完全平方数；

(3)设三位自然数t ＝100x ＋60＋y(1≤x≤9，1≤y ≤9，x ，y 为自然数)，交换其个位上的数字与百位上的数字得到数t′.若t －t′＝693，那么我们称t 为“和顺数”．求所有“和顺数”中F(t)的最大值．

3．进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法．对于任何一种进制——X 进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X 进一位．十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，X 进制就是逢X 进一．为与十进制进行区分，我们常把用X 进制表示的数a 写成(a)X .

类比于十进制，我们可以知道：X 进制表示的数(1111)X 中，右起第一位上的1表示1×X 0，第二位上的1表示1×X 1，第三位上的1表示1×X 2，第四位上的1表示1×X 3.故(1111)X ＝1×X 3＋1×X 2＋1×X 1＋1×X 0，即：(1111)X 转化为十进制表示的数为X 3＋X 2＋X 1＋X 0.如：(1111)2＝1×23＋1×22＋1×21＋1×20＝15，(1111)5＝1×53＋1×52＋1×51＋1×50＝156.根据材料，完成以下问题：

(1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：

(101011)

2＝________；(302)

4

＝________；(257)

7

＝________

(2)若一个五进制三位数(a4b)

5与八进制三位数(ba4)

8

之和能被13整除

(1≤a≤5，1≤b≤5，且a、b均为整数)，求a的值；

(3)若一个六进制数与一个八进制数之和为666，则称这两个数互为“如意数”，

试判断(mm1)

6与(nn5)

8

是否互为“如意数”若是，求出这两个数；若不是，说明

理由．

4.我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q(p，q是正整数，且p≤q)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我

们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F(n)＝p

q

.例如12可以分解成1×12，2×

6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)

＝3

4

.

(1)如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．

求证：对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝1.

(2)如果一个两位正整数t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；

(3)在(2)所得的“吉祥数”中，求F(t)的最大值．

类型2 函数型新定义问题

例2 已知一个大于1的正整数t可以分解成t＝ac＋b2的形式(其中a≤c，a，b，c均为正整数)，在t的所有表示结果中，当bc－ba取得最小值时，称“ac＋

b2”是t的“等比中项分解”，此时规定：P(t)＝

b＋c

2（a＋b）

，例如：7＝1×6＋

12＝2×3＋12＝1×3＋22，1×6－1×1＞2×3－2×1＞1×3－1×2，所以2×3＋12

是7的“等比中项分解”，P(7)＝2

3 .

(1)若一个正整数q＝m2＋n2，其中m、n为正整数，则称q为“伪完全平方数”，

证明：对任意一个“伪完全平方数”q都有Ρ(q)＝1 2 .

(2)若一个两位数s＝10x＋y(1≤y≤x≤5，且x，y均为自然数)，交换原数十位上的数字和个位上的数字得到的新数的两倍再加上原数的14倍，结果被8除余4，称这样的数s为“幸福数”，求所有“幸福数”的P(s)的最大值．

针对训练

1. 如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：

①方程x2－x－2＝0是倍根方程；

②若(x－2)(mx＋n)＝0是倍根方程，则4m2＋5mn＋n2＝0；

③若点(p，q)在反比例函数y＝2

x

的图象上，则关于x的方程px2＋3x＋q＝0是倍

根方程．

其中正确的是________．(写出所有正确说法的序号)

2. 先阅读下列材料，再解答下列问题：

材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.

解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2. 再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1)2.