线性代数B复习题
《线性代数》复习题B
厦门大学网络教育2012-2013学年第一学期《线性代数》课程复习题（ B ）一、选择题1．设行列式 111222333a b c a b c d a b c =，则111111222222333333223223223c b c a b c c b c a b c c b c a b c ++++++=+++（ ）。
A ．2d -； B ．d -； C ．d ； D ．2d 。
1．B 。
解：由行列式的性质可知111111111111222222222222333333333333223223223c b c a b c c b a a b c c b c a b c c b a a b c d c b c a b c c b a a b c ++++++==-=-+++。
2．已知A 为n 阶非零方阵，E 为n 阶单位矩阵，若3A O =，则（ ）。
A ．A E +不可逆，E A -不可逆；B ．A E -不可逆，A E +可逆；C ．A E +可逆，E A -可逆；D ．AE +不可逆，E A -可逆。
2．C 。
解：由于23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=，因此E A +，E A -均可逆，故选C 。
3．向量1α，2α，3α线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）。
A ．12αα+，23αα+，31αα+； B ．1α，12αα+，123ααα++； C ．12αα-，23αα-，31αα-； D ．12αα+，232αα+，313αα+。
3．C ．解：显然有1223311()1()1()0αααααα-+-+-=，所以12αα-，23αα-，31αα-线性相关，故选C 。
4．若3阶方阵2E A -及E A +，3A E -都不可逆，则A 的特征多项式中常数项为（ ）。
A ．23； B ．2 ； C ．23-； D ．43。
线性代数期末考试试题
线性代数B 期末试题一、判断题(正确填T ，错误填F 。
每小题2分，共10分)1． A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。
（ ）2． A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则111)(---=A B AB 。
（ ）3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。
( ) 4．若B A ,均为n 阶方阵，则当B A >时，B A ,一定不相似。
( )5．n 维向量组{}4321,,,αααα线性相关，则{}321,,ααα也线性相关。
（ ）二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。
（A ）001010100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (B)100000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (C) 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D) 100012001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。
（A ）122331,,αααααα--- （B ）1231,,αααα+ （C ）1212,,23αααα- （D ）2323,,2αααα+3．设A 为n 阶方阵，且250A A E +-=。
则1(2)A E -+=（ ） (A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1()3A E +4．设A 为n m ⨯矩阵，则有（ ）。
（A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解；（B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量；（C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； （D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。
5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（ ）（A ）A 与B 相似 （B ）A B ≠，但|A-B |=0（C ）A=B （D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|三、填空题（每小题4分，共20分）1．01210n n -。
线性代数深刻复知识题(选择填空题)
线性代数复习题一、选择题练1、如果排列12345a a a a a 的逆序数为a ，则排列54321a a a a a 的逆序数为 BA 、a -B 、10a -C 、10a -D 、2a -或2a +练2、如果排列12...n a a a 的逆序数为k ，则排列11...n n a a a -的逆序数为 CA 、1k -B 、n k -C 、(1)2n n k -- D 、2n k - 练3、若12335445i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则j i ,的值为 AA 、1=i 2=jB 、2=i 1=jC 、2=i 3=jD 、3=i 2=j4、下列各项中，为某五阶行列式中带有正号的项是___A_______A 、1544223153a a a a a B 、2132411554a a a a a C 、3125431452a a a a a D 、1344324155a a a a a 练5、行列式103100204199200395301300600等于___A______A 、2000B 、2000-C 、1000D 、1000-练6、行列式0001002003004000等于 AA 、24B 、24-C 、0D 、12练7、根据行列式定义计算212111()321111xx x f x x x -=中4x 的系数是 BA 、1B 、2、C 、2-D 、1-练8、利用克莱姆法则判断齐次线性方程组解的个数时，当系数行列式0D =时，说明方程解的个数是 CA 、1B 、0C 、无穷多个D 、无法判断练9、如果能够利用克莱姆法则求解线性方程组时，若方程的个数是m 个，未知数的个数是n 个，则 CA 、n m <B 、n m >C 、m n =D 、无法比较和m n10、已知齐次线性方程组1231231230020ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则,a b 满足 DA 、1a b +=B 、1a b -=C 、01a b ==或D 、10a b ==或练11、若齐次线性方程组000x y z x y z x y z λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则λ= BA 、1或1-B 、1或2-C 、1-或2-D 、1-或212、若 304050x ky z y z kx y z ++=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩有非零解，则k =___B_____A 、0k =或 2k =B 、1k = 或3k =C 、2k =或2k =-D 、2k =-13、设A 是三阶方阵，且4A =，则212A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B A 、4 B 、14C 、1D 、2 练14、设X 是n 维列向量，则X λ= DA 、X λB 、X λC 、n X λD 、n X λ练15、设A 为三阶方阵，2λ=-，3A =，则A λ=___B_______A 、 24B 、24-C 、6D 、6-练16、设C B A ,,都是n 阶方阵，且E CA BC AB ===，则222A B C ++= AA 、E 3B 、E 2C 、ED 、O17、设,A B 都是(2n n ≥）阶方阵，则必有__B_____A 、AB A B +=+ B 、AB BA =C 、AB BA =D 、 A B B A -=- 练18、设B A 、都是n 阶方阵，λ为常数，则下列正确的是___D_______A 、()///AB A B = B 、()111AB A B ---= C 、/A A λλ= D 、B A AB = 练19、若n 阶方阵A 、B 都可逆，AXB C =，则X = CA 、11ABC -- B 、11CB A -- C 、11A CB --D 、11B CA --练20、设A 是()2≥n n 阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则A A *=_____D_____A 、2AB 、 n AC 、2 n AD 、21 n A -练21、设A 是()2n n >阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则正确的是 CA 、AA A *=B 、/1A A A*= C 、0A ≠，则0A *≠ D 、若()1R A =，则()1R A *= 练22、设A 是n ()2n ≥阶方阵，B 是A 经过若干次初等变换后得到的矩阵，则DA 、AB = B 、A B ≠C 、若0A >则0B >D 、若0A =，则一定有0B = 练23、以下的运算中，能同时利用初等行变换和初等列变换求解的是 AA 、计算行列式的值B 、求逆矩阵C 、解线性方程组D 、以上都不是练24、设A 是n 阶方阵，B 是m 阶方阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00B A C ，则C 等于__D_____ A 、B A B 、B A - C 、()B A n m 1-+ D 、()B A mn 1- 练25、设矩阵A 是m n ⨯矩阵，矩阵C 是n 阶可逆矩阵，秩()R A r =，矩阵B AC =，且()1R B r =，则 ____C______A 、1r r <B 、1r r >C 、1r r =D 、无法判断练26、下列矩阵中，不是初等矩阵的是 BA 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100B 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010000001 C 、 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100020001 D 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100210001 练27、向量组12,,...,n ααα线性相关的充要条件为___C_____A 、12,,...,n ααα中有一个零向量B 、12,,...,n ααα中任意两个向量成比例C 、12,,...,n ααα中至少有一个向量是其余向量的线性组合D 、12,,...,n ααα中任意一个向量都是其余向量的线性组合练28、n 维向量组12,,...,s ααα()n s ≤≤3线性无关的充要条件为_____C________A 、12,,...,s ααα中任何两个向量都线性无关B 、存在不全为0的数12,,...,s k k k ，使得1122...0s s k k k ααα+++≠C 、12,,...,s ααα中任何一个向量都不能由其余向量的线性表示D 、12,,...,s ααα中存在一个向量不能由其余向量的线性表示29、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、1α，12αα+，123ααα++D 、122αα+，232αα+，312αα+ 练30、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、122αα-，232αα-，312αα-D 、122αα+, 232αα+，312αα+ 练31、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、1α，12αα+，123ααα++D 、12αα+，232αα+，313αα+ 练32、已知12,ββ是方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是方程组0Ax =的基础解系，12,k k 是任意常数，则Ax b =的通解为____B________A 、()12112122k k -++ββαα+αB 、()12112122k k ++-+ββααα C 、()12112122k k -+++ββαββ D 、()12112122k k ++++ββαββ 33、若A 是正交阵，则下列各式中 D 是错误的A 、E A A ='B 、E A A ='C 、1-='A AD 、A A ='练34、下列矩阵中哪个是正交矩阵 DA 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212221B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111C 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛53545453D 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-53545453 35、已知三阶矩阵A 有特征值1,1,2-，则下列矩阵中可逆的是 D Ａ、E A - B 、E A + C 、2E A - D 、2E A +练36、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10021421x A ，且A 的特征值为1,2,3 ，则=x __B_______A 、5B 、4C 、3D 、1-练37、n 阶方阵A 可逆的充要条件是 BA 、A 的特征值全为0B 、A 的特征值全不为0C 、A 至少有一个特征值不为0D 、A 的特征值全为0或1练38、设2λ=是可逆矩阵A 的特征值，则矩阵123A -⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个特征值等于______C______A 、43 B 、12 C 、34 D 、14练39、n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是与对角矩阵相似的 BA 、充分必要条件B 、充分非必要条件C 、必要非充分条件D 、既非充分又非必要条件练40、n 阶方阵A 与对角矩阵相似，则 DA 、方阵A 有n 个不都相等的特征值B 、()r A n =C 、方阵A 一定是对称阵D 、方阵A 有n 个线性无关的特征向量41、、设三阶实对称矩阵A 的特征值为122λλ==，38λ=，对应于122λλ==的特征向量是1110x -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，2101x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则对应于38λ=的特征向量是 C A 、12,x x 中的一个 B 、()/123 C 、()/111 D 、相交但不垂直 练42、设A 为三阶矩阵，1231,1,2λλλ==-=为A 的3个特征值，对应的特征向量依次为123,,ααα，令321(,2,3)P ααα=，则1P AP -= DA 、100010002⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭B 、200020003⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭C 、100020006⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭D 、200010001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 练43、实二次型()2322212132132,,x tx x x x x x x f +++=，当=t B ，其秩为2 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3二、填空题练1、排列2，6，3，5，1，9，8，4，7的逆序数是 13 练2、当i = 8 ，j = 3 时，1274569i j 是偶排列练3、带负号且包含因子23a 和31a 的项为 14233142a a a a -练4、带正号且包含因子23a 和31a 的项为 14233241a a a a5、在五阶行列式中，项1231544325a a a a a 的符号应取 正号练6、在六阶行列式中，项132432455661a a a a a a 的符号应取 负号练7、在函数xx x x x x f 21112)(---=中，3x 的系数为 28、311()13x f x x x x x -=--中，3x 的系数为 3-练9、211203101311112x x ----的展开式中2x 的系数为 7 练10、设111213212223313233a a a A a a a a a a =，且3A =，则1112132122233132332222222222a a a A a a a a a a == 24 练11、设五阶行列式3A =，先交换第1，5两行，再转置，最后用2乘以所有元素，其结果为 96-练12、设行列式010200003D =，ij A 是D 中元素ij a 的代数余子式，则313233A A A ++=2-13、计算()40132573⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭= ()5- 14、222()2A B A AB B +=++的充要条件为 AB BA =练15、22()()A B A B A B -=+-的充分必要条件是 AB BA =16、设3318A ⨯= ，则()22A = 1 17、设442A ⨯=，552B ⨯=-，则A B -= 6418、设A 是3阶矩阵，2A =，1A -为A 的逆矩阵，则12A -的值为______4________ 练19、设A 是3阶矩阵，12A =，则1(3)A A -*-= 1108- 练20、已知为A 四阶方阵，A *为A 的伴随矩阵，且3A =，则1143A A *--=_27__ 练21、设A 是3阶矩阵，且9A *=，则1A -= 13± 练22、设A 是三阶方阵，且13A -=，则2A = 83练23、设,A B 都是n 阶方阵，且2A =，3B =-，则12A B *-= 2123n -- 24、设111111111111k k A k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且秩()3r A =，则k = 3- 练25、A 为n 阶反对称矩阵，则/A A += 0练26、设矩阵A 满足240A A E +-=，其中E 为三阶单位矩阵，则1()A E --= 1(2)2A E + 练27、设矩阵A 满足220A A E --=，其中E 为三阶单位矩阵，则1A -= 1()2A E - 28、设是3阶矩阵，且AB E =，200010003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则B = 10020101003B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭29、设33100111100011111011001222001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪---= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1145520228⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭30、已知向量()()()1231,1,0,0,1,1,3,4,0ααα===，则12αα-=_()1,0,1-_______31、已知向量()()()1231,1,0,0,1,1,3,4,0ααα===，则12332ααα+-=__()0,1,2__32、已知1233()2()5()αααααα-++=+，其中()12,5,1,3,α=()210,1,5,10,α=()34,1,1,1,α=-则α=_()6,12,18,24__________练33、已知)9,7,5,3(=α，()1,5,2,0β=- ，x 满足βα=+x 32 ，则=x ()17,5,12,183- 34、设向量()(2,0,1,3),(1,7,4,2),0,1,0,1=-=-=αβγ，则23+-=αβγ (5,4,2,1)35、设向量()(2,0,1,3),(1,7,4,2),0,1,0,1=-=-=αβγ，若有x ，满足3520x -++=αβγ，则x = 57,1,,822⎛⎫-- ⎪⎝⎭练36、当=k 8- 时)5,,1(k =β能由1(1,3,2)α=-，2(2,1,1)α=-线性表示37、设有向量组()13,2,5α=，()22,4,7α=，()35,6,αλ=，()1,3,5β=。
复旦大学《线性代数》2017-2018学年第一学期期末试卷B
《线性代数》期末考试试卷B一、(30分)填空题(E 表示相应的单位矩阵).1. 设3阶矩阵A = (α1, α2, α3)的行列式|A | = 3, 矩阵B = (α2, α3, α1), 则矩阵A − B 的行列式|A − B | =______.解: (法一) |A − B | = |α1−α2, α2−α3, α3−α1| = |α1, α2−α3, α3−α1| + |−α2, α2−α3, α3−α1|= |α1, α2−α3, α3| + |−α2, −α3, α3−α1| = |α1, α2, α3| + |−α2, −α3, −α1| = |α1, α2, α3| − |α2, α3, α1| = |α1, α2, α3| − |α1, α2, α3| = 0.(法二) A − B = (α1−α2, α2−α3, α3−α1) = (α1, α2, α3)101110011−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠= AP ,其中P =101110011−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠, |P | =101110011−−−= 0, 故|A − B | = |AP | = |A ||P | = 0.2. 若矩阵A 满足A 2 = O , 则E +A 的逆矩阵(E +A )−1 = _______.解: A 2 = O ⇒ (E +A )(E −A ) = E 2 −A 2 = E ⇒ (E +A )−1 = E −A .3. 若向量组α1 = (1, t , 1), α2 = (1, 1, t ), α3 = (t , 1, 1)的秩为2, 则参数t 满足条件___________.解: 令A = (α1, α2, α3), 则秩(A ) = 秩(α1, α2, α3) = 2 ⇒111111tt t = |A | = 0 ⇒ (t +2)(t −1)2 = 0 ⇒ t = −2或1.当t = −2时, 秩(A ) = 2; 当t = 1时, 秩(A ) = 1. 故t = −2.4. 假设3阶矩阵A 的特征值为1, 2, −1, 矩阵B = E −2A *, 其中A *是A 的伴随矩阵, 则B 的行列式|B |= _______.解: 3阶矩阵A 的特征值为1, 2, −1 ⇒存在P 使得P −1AP =100020001⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎝⎠记为Λ, 而且|A | = 1×2×(−1) = −2.故P −1A −1P = (P −1AP )−1 = Λ−1 =10001/20001⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎝⎠. 由A *A = |A |E 可得A * = |A |A −1 = −2A −1, 于是有|B | = |P |−1⋅|B |⋅|P | = |P −1|⋅|B |⋅|P | = |P −1BP | = |P −1(E −2A *)P | = |P −1EP −2P −1A *P | = |E − 2P −1A *P |= |E + 4P −1A −1P | = |E + 4Λ−1| =500030003−= −45.5. 若矩阵A =10022312x −⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠与矩阵B =03y ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠相似, 则(x , y ) =________.解: |A | = 2(1−x ), |B | = 0, tr(A ) = 1+x , tr(B ) = 3+y . 因为矩阵A 与B 相似, 所以|A | = |B |, tr(A ) = tr(B ).由此可得x = 1, y = −1. (x , y ) = (1, −1). 6. 设(1, −1, 0)T , (1, 0, −1)T 是3阶实对称矩阵A 的相应于某个非零二重特征值的特征向量. 若A 不可逆,则A 的另一个特征值为______, 相应的一个特征向量为__________.解: 3阶矩阵A 有非零二重特征值而且A 不可逆 ⇒ A 的另一个特征值为0.设ξ为对应于0的特征向量, 则ξ与(1, −1, 0)T , (1, 0, −1)T 正交, 即ξ为12130x x x x −=⎧⎨−=⎩的非零解向量. 由此可得A 的一个对应于0的特征向量为ξ = (1, 1, 1)T .7. 已知3元非齐次线性方程组Ax = b 的系数矩阵的秩为2, 并且α1, α2, α3是Ax = b 的3个解向量, 其中α1 = (1, 1, 1)T , α2 + α3 = (2, 4, 6)T , 则Ax = b 的通解是_______________.解: 3元非齐次线性方程组Ax = b 的系数矩阵的秩为2 ⇒ Ax = 0的基础解系中有且仅有1个解向量.α1, α2, α3是Ax = b 的3个解向量 ⇒ A (α2 + α3 − 2α1) = A α2 + A α3 − 2A α1 = b + b − 2b = 0. α1 = (1, 1, 1)T , α2 + α3 = (2, 4, 6)T ⇒ α2 + α3 − 2α1 = (0, 2, 4)T . 可见ξ = (0, 2, 4)T 是Ax = 0的基础解系,因而Ax = b 的通解是x = k (0, 2, 4)T + (1, 1, 1)T , 其中k 为任意实数. 8. 若4阶方阵A , B 的秩都等于1, 则矩阵A +B 的行列式|A +B | = ________.解: 4阶方阵A , B 的秩都等于1 ⇒ 秩(A +B ) ≤ 秩(A )+秩(B ) = 2 < 4 ⇒ |A +B | = 0. 9. 若矩阵A =211x ⎛⎞⎜⎟⎝⎠与矩阵B =1221⎛⎞⎜⎟−⎝⎠合同, 则参数x 满足条件___________.解: 设λ1, λ2为A 的特征值, µ1, µ2为B 的特征值.µ1µ2 = |B | = −5 < 0 ⇒ µ1, µ2异号 ⇒ B 的秩为2, 正惯性指数为1.A 与B 合同 ⇒ A 的秩为2, 正惯性指数为1 ⇒ λ1, λ2异号 ⇒ 2x − 1 = |A | = λ1λ2 < 0 ⇒ x < 1/2.二、(10分)计算下述行列式的值: D =111+11111+11111111x x x x −−. 解: +1111+111111111111x x x x −−=1111+111111111111x x x −−+1111+11000111111x x x x−−=0000001111x x x−−+ x111+111111x x x −− =000000x x x −−+ x 111+111111x x x −−= x 3 + x 2111+00x x x x x −−= x 3 + x 22111+000x x x x x−= x 3 + (x 4 − x 3) = x 4. 三、(15分)设线性方程组1231231233032314x x x x x x x x x λµ++=⎧⎪++=−⎨⎪−++=⎩. 问: 当参数λ, µ取何值时, 线性方程组有唯一解? 当参数λ, µ取何值时, 线性方程组有无穷多组解? 当线性方程组有无穷多组解时, 求出其通解.解: 该方程组的增广矩阵(A , b ) =1310(3)1323114λµ×−×⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠→13100701071λµ⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟+⎝⎠→131007010011λµ⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟+−⎝⎠. (1) 当λ ≠ −1, µ为任意实数时, 秩(A ) = 秩(A , b ) = 3, 此时线性方程组有唯一解.(2) 当λ = −1, µ = 1时, 秩(A ) = 秩(A , b ) = 2 < 3, 此时线性方程组有无穷多组解,131007010011λµ⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟+−⎝⎠=1713100701()0000⎛⎞⎜⎟−−×−⎜⎟⎝⎠→171310010(3)0000⎛⎞⎜⎟×−⎜⎟⎝⎠→37171010100000−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠由此可得3137127x x x +=−⎧⎨=⎩, 即3137127x x x =−−⎧⎨=⎩. 故通解为x = k (−1, 0, 1)T + (−37,17, 0)T , 其中k 为任意实数.四、(12分)设矩阵A =101012001⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠, C =103101⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠, 矩阵X 满足A −1X = A *C + 2X , 其中A *是A 的伴随矩阵,求X .解: |A | = −1, 在A −1X = A *C + 2X 两边同时左乘以A 得X = −C + 2AX . 故(E −2A )X = −C .(E −2A , −C ) =10210(1)0343100101(1)−−−×−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟−−×−⎝⎠→1021003431001014(2)⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟××−⎝⎠→13100120303500101−⎛⎞⎜⎟−×⎜⎟⎝⎠→5312100010100101−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠. 由此可得X =5312101−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠. 五、(10分)已知向量组η1, η2, η3线性无关, 问: 参数a , b , c 满足什么条件时, 向量组a η1+η2, b η2+η3, c η3+η1线性相关?解: (a η1+η2, b η2+η3, c η3+η1) = (η1, η2, η3)011001a b c ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 令P =011001a b c ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 则|P | = abc + 1. 由条件可知:a η1+η2,b η2+η3,c η3+η1线性相关 ⇔ 秩(a η1+η2, b η2+η3, c η3+η1) < 3 ⇔ 秩(P ) < 3 ⇔ |P | = 0 ⇔ abc = −1. 六、(15分)已知二次型f (x 1, x 2, x 3) = x 12 + 2x 22 + x 32 − 2x 1x 3.1. 写出二次型f 的矩阵;2. 求一正交变换x = Qy , 将f 变成其标准形(并写出f 的相应的标准形)；3. 求当x T x = 1时f (x 1, x 2, x 3)的最大值.解: 1. 二次型f 的矩阵A =101020101−⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎝⎠.2. |λE −A | =101020101λλλ−−−= (λ−2)2λ, 可见A 的特征值为λ1 = λ2 = 2, λ3 = 0.解(2E −A )x = 0得对应于λ1 = λ2 = 2的两个正交的特征向量ξ1 = (1, 0, −1)T , ξ2 = (0, 1, 0)T ,解(0E −A )x = 0得对应于λ3 = 0的一个特征向量ξ3 = (1, 0, 1)T .令Q = (11||||ξξ,22||||ξξ,33||||ξξ) =1/00101/0⎛⎜⎜⎜−⎝, 则正交变换x = Qy 将f 变成标准形2y 12 + 2y 22.3. x T x = 1 ⇔ (Qy )T (Qy ) = 1 ⇔ y T Q T Qy = 1 ⇔ y T y = 1 ⇔ y 12 + y 22 + y 32 = 1, 此时y 12 + y 22 ≤ 1. 故当x T x = 1时f (x 1, x 2, x 3) = 2y 12 + 2y 22的最大值为2.七、(8分)证明题.1. 设向量组α1, α2, α3, α4中, α1, α2, α3线性相关, α2, α3, α4线性无关, 证明: α1能由α2, α3, α4线性表示. 证明: 因为α1, α2, α3线性相关, 所以α1, α2, α3, α4线性相关.又因为α2, α3, α4线性无关, 所以α1能由α2, α3, α4线性表示.2. 设A 是n 阶正定矩阵, 证明: 矩阵A +A −1−E 也是正定矩阵.证明: 设λ1, …, λn 为A 的特征值, Λ =1n λλ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠O . A 是n 阶正定矩阵 ⇒ 存在可逆矩阵P 使得P −1AP = Λ, 其中λ1, …, λn > 0⇒ P −1(A +A −1−E )P = P −1AP + P −1A −1P − P −1EP = Λ + Λ−1 − E =111111n n λλλλ+−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟+−⎝⎠O, 其中 λ1+11λ−1, …, λn +1n λ−1> 0 ⇒ A +A −1−E 也是正定矩阵.。
线性代数b真题
线性代数b真题线性代数是数学中一门重要而有用的学科，也是高等教育中许多学科中一门必修课程。
线性代数作为一门研究线性空间及其上的向量、矩阵和系数的数学学科，其应用非常广泛，从工程学、物理学、统计学到金融数学等都有重要的作用。
对于研究和学习线性代数，考生们需要多做一些真题练习，以加强理解能力。
本文以《线性代数b真题》为例，针对线性代数b真题进行练习，以帮助考生更好地掌握线性代数相关知识。
首先，介绍下【线性代数b真题】：【线性代数b真题】1、证明：设A为m×n矩阵，若A的秩等于n，则A有n个线性无关的列向量。
2、设A、B是n×n非奇异矩阵，证明：AB=BA时，A和B的特征多项式一样。
3、设A是n×n矩阵，A的特征多项式为(x-λ1)(x-λ2) (x)λn)，证明：A的行列式等于(λ1-λ2)(λ2-λ3)…(λn-1-λn)。
4、设A是n×n对称矩阵，半正定矩阵，证明A是正定矩阵并且有n个正实特征值。
5、设A是m×n矩阵，A的特征多项式为(x-λ1)(x-λ2) (x)λn)，证明：A的秩等于n，且λ1=λ2=…=λn=0。
证明：1、由A的秩等于n得知矩阵A可以经过初等行变换将A变为阶梯型矩阵，由此可以判断矩阵A的列向量之间满足线性无关性，即A 有n个线性无关的列向量。
2、首先，根据AB=BA得到A和B有同样的特征值，假设特征值为{λ1,λ2,…,λn}，根据定义可知，A和B的特征多项式分别为(x-λ1)(x-λ2)…(x-λn)，去除公因子可得A和B的特征多项式完全一致，即AB=BA时，A和B的特征多项式一样。
3、由A的特征多项式为(x-λ1)(x-λ2)…(x-λn)得知A的特征值分别为{λ1,λ2,…,λn}，将这些特征值代入行列式可以得到A的行列式等于(λ1-λ2)(λ2-λ3)…(λn-1-λn)。
4、由A是n×n对称矩阵，半正定矩阵可知，A的特征值λ1,λ2,…,λn满足λi≥0，λ1,λ2,…,λn全部大于0时，A为正定矩阵；当λi（i=1,2,…,n）全部等于0时，A是半正定矩阵，而A是正定矩阵，得证。
线性代数B期末试题15
线性代数B 期末试题（05）一、判断题(正确填√，错误填×。
每小题2分，共10分)1．A 是n 阶方阵，且｜A ｜≠0，则n 元方程组AX ＝b 有唯一解。
（ ） 2．A ，B 是同阶相似方阵，则A 与B 有相同的特征值。
（ ）3．如果X 1 与X 2 皆是AX =b 的解，则X 1 ＋X 2 也是AX =b 的解。
( ) 4．若A 为n 阶方阵，其秩R (A )=r 且r < n ,那么A 任意r 个行向量线性无关。
( ) 5．从A 中划去一行得到矩阵B ，则R （A ）≥R （B ）的秩。
（ ）二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设A 是n 阶矩阵，其伴随矩阵为A ＊，E 为单位矩阵。
则A A *为 ( ) （A ）|A |E (B) E (C) A * (D) 不能乘2．设A 、B 、C 同为n 阶方阵，且满足ABC ＝E ，则必有（ ）。
（A ）ACB =E （B ）CBA =E （C ）BCA = E （D ）BAC =E 3．设A 为n 阶方阵，且｜A ｜＝5，则｜（3A －1）T ｜＝（ ）(A)n53 (B) n 35 (C)3n ·51(D) 3·5n4．设n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r <n ，则方程组（ ）。
（A ）其基础解系可由r 个解组成；（B ）有r 个解向量线性无关； （C ）有n –r 个解向量线性无关；（D ）无解。
5．n 阶矩阵A 有n 个不同的特征值，是A 与对角阵相似的（ ） （A ）充分必要条件 （B ）充分而非必要 （C ）必要而非充分条件 （D ）既非充分也非必要三、填空题（每小题5分，共25分）1．g fkjep h s b c d a 0000＝ 。
2．A 为3阶矩阵，且满足=A 5,则1-A =______，*3A =。
3．设齐次线性方程组的系数矩阵A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----β41352121此方程有可能无解吗? 你的回答及理由是 ，当β取值为 时方程组有无穷多解。
线性代数B期末试卷及答案
2008 – 2009学年第二学期《线性代数B 》试卷3．设方阵B 为三阶非零矩阵，且AB=O ，则。
4。
设向量组线性无关，向量β不能由它们线性表示，则向量组β的秩为。
5．设A 为实对称阵，且｜A |≠0，则二次型f =x T A x 化为f =y T A -1 y 的线性变换是x =．６．设的两组基为,,;T ,,则由基到基 的过渡矩阵为。
6小题,每小题3分，满分18分) n 为n 阶行列式，则D n ＝0的必要条件是［ ］。
（A ）D n 中有两行元素对应成比例; (B ） D n 中各行元素之和为零； （C) D n 中有一行元素全为零；(D)以D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解． 2．若向量组α，β，γ线性无关，α,β，σ线性相关,则[ ］。
（A)α必可由β，γ，σ 线性表示； （B) β必可由α，γ，σ 线性表示; （C)σ必可由β,γ，α 线性表示; （D ）γ必可由β，α,σ 线性表示.３．设3阶方阵A 有特征值0，－1，1,其对应的特征向量为P 1，P 2，P 3，令P ＝（P 1,P 2，P 3），则P －1AP ＝[ ］。
(A ）；（B ）；（C) ； （D ）．４．设α1,α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是[ ]。
(A)α1，α2,α3 - α1； （B)α1，α1+α2，α1+α3； （C)α1+α2,α2+α3，α3+α1; （D)α1-α2，α2-α3，α3—α1。
５．若矩阵A 3×4有一个3阶子式不为0,则A 的秩Ｒ（）=[ ］.(A ）1;(B ）2； （C ）3；(D ）4．６．实二次型f ＝x T Ax 为正定的充分必要条件是［ ]。
（A ） A 的特征值全大于零； （B ） A 的负惯性指数为零； （C) ｜A | 〉 0 ；（D ）R （A ） = n 。
三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分） . ２.求向量组,，，的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出。
《线性代数》2018-2019学年第一学期期末考试B卷
河海大学2018-2019学年第一学期期末考试《线性代数》试题（B）卷姓名：_______班级：_______学号：_______成绩：_______一、填空题(每空3分，共30分)1、4阶行列式)det(ij a 中含2113,a a 的带正号的项为。
2、,A B 为3阶方阵，如果3,2==B A ，那么=-13AB 。
3、m 个n 维向量构成的向量组m a a a ,,,21 线性相关的充分必要条件是矩阵),,,(21m a a a A =的秩)(A R 于向量个数m。
4、若n 元非齐次线性方程组b x A n m =⨯有解且r A R =)(，则当时，方程组有无穷多解。
5、行列式453175934=D 中元素521=a 的代数余子式=21A 。
6、已知,3712⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=A 则=-1A 。
7、已知4阶行列式1111111111111111D -=--，则24232221A A A A +++的值为，其中A ij为D 的第i 行第j 列元素的代数余子式。
8、矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314120401A 对应的二次型是。
9、矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=265103412033A 的列向量组的秩为。
10、已知2=λ是A 特征值，且A 可逆，则是1-A 的特征值。
二、判断题（每小题2分，共10分）1、设B A ,均为n 阶方阵,则若A 或B 可逆,则AB 必可逆.（）2、已知B A ,是n 阶方阵，k 为整数，则k k k B A AB =)(.（）3、已知向量组1234,,,αααα的秩为3，则1234,,,αααα中至少有三个向量线性无关.（）4、一个向量组的最大无关组与这个向量组本身等价.（）5、设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，21,p p 是对应的特征向量，则1p 与2p 正交.（）三、计算(每小题8分，共16分)1、已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300020001B ，求（1）A 2；（2）()120122-+TB A .2、设矩阵A 和B 满足关系式B A E AB +=+2，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5432A ，求矩阵B .四、(10分)求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+-+-=++++076530553202303454321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系和它的通解.五、(10分)设有5个向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42111a ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21302a ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02113a ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=143214a ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0101265a ，求此向量组中的一个最大线性无关组，并用它表示其余的向量．六、(10分)设非齐次线性方程组b AX =的增广矩阵为B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------21)1(00011000003101121k k k k k ，讨论它的解的情况，何时无解，何时有无穷多个解，并说明理由；有无穷多个解时求出该方程组的通解.七、（本题14分）设二次型3231212322213216646),,(x x x x x x x x x AX X x x x f T +++++==，（1）求二次型的矩阵A ；（2）求矩阵A 的特征值及全部特征向量；（3）判断矩阵A 是否可以对角化；。
《线性代数B》复习题
一、填空题：1.行列式 843591712-中元素21a 的代数余子式等于_________.2. 若,8=d c b a ,2=c f ae 则=++f d c e b a ___________.3. 交换行列式中两行的位置行列式 .4.行列式 00 (00)0...10 02 (001)0...00n n -= .5.设A 为3阶方阵，5A =，则2A = .6. =00000000a b b a b a ab ______________.7.设2113A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2324B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则AB =__________.8.设32,43A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则1A -=______________.9. 设,,A B C 均为n 阶方阵，B 可逆，则矩阵方程A BX C +=的解为 .10. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=412321111A 的秩＝____________.11.单独一个向量α线性无关的充分必要条件是_____________.《线性代数B 》复习题12. 单个向量α线性相关的充要条件是__________.13.设向量组1α=(1,2,3) , 2α=(2,1,0), 3α=(3,0,-2), 则向量32123αααβ-+=等于____________.14.若()()()1231,2,3,4,5,6,0,0,0ααα===,则321,,ααα线性 .15．n 维向量组{}123,,ααα线性相关，则{}1234,,,αααα ．（填线性相关，线性无关或不能确定）16.向量组123(1,0,0)(1,1,0)(1,1,1)ααα===、、的秩是______.17.设η是非齐次线性方程组Ax =b 的解，ξ是方程组0=Ax 的解，则ξη2+为方程组________________的解.18.齐次线性方程组自由未知量的个数与基础解系所含解向量的个数_____________.19.非齐次线性方程组AX b =有解的充要条件是 .20.若非齐次线性方程组Ax =b 有唯一解，则方程组0=Ax ___________.21.齐次线性方程组0AX =一定有 解.22. 设12143314A t -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，以A 为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解，则t = .23．线性方程组AX =B ，其增广矩阵经初等行变换化为100101020013A ⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭，此方程组的解为 ．24.设1x=η及2x=η都是方程Ax =b 的解，则12x =ηη-为线性方程组______的解.25.设A 为6阶方阵，()3=A R ，则齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含有_______个线性无关的解向量.26.λ是A 的特征值，则___________是kA 的特征值.27.设可逆方阵A 的特征值为λ，则1-A 的特征值为___________.28. n 阶矩阵A 与它的转置矩阵T A 的特征值___________.29.若矩阵120222023A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值121,2,λλ=-=则A 的第3个特征值3λ= .30.设n 阶方阵()ij A a =的全部特征值为12,,,n λλλ ，则有12n λλλ= .二、单项选择题：1.若行列式a a a a a =222112110≠，则行列式222112115522a a a a=（）.A ．10aB ．2aC ．5aD ．7a2.若,8=d c b a ,2=a e cf 则=++f d c eb a （ ）.A ．10 B. 6 C. -6 D. -103. 设A 是6阶方阵，则=A 3( ).A ．63AB ．A 3C ．A 63D ．6A4. 二阶行列式θθθθcos sin sin cos -的值为（ ）A ．-1B ．1C ．θ2sin 2D ．θ2cos 25. 111334211=---k 时，k 的取值是( ).A ．2=kB ．1=kC ．1-=kD ．3=k6.矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111的伴随矩阵*A =( ).A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111 C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111 D ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--11117．下列说法正确的是( )A. A 和B 为两个任意矩阵，则A-B 一定有意义.B ． 任何矩阵都有行列式.C ． 设AB 、BA 均有意义，则AB=BA.D ． 矩阵A 的行秩=A 的列秩=A 的秩.8.设A 与B 是等价矩阵，则下列说法错误的是（ ）.A ．齐次线性方程组AX=0与BX ＝0同解 B. 秩)()(B r A r =C. 非齐次线性方程组AX=b 与BX ＝b 同解D. A 经有限次初等变换得到B9.下列矩阵为初等矩阵的是（ ）.A.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛210010001 B. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100 C.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛132321213 D.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10000000110.若矩阵A =1131422711⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭，则矩阵A 的秩是（ ）.A . 3B ．2C ．1D ．011.已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211a a aa A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=y a x a 2111B ，且2,3==A B ，则=+BA （）. A ．4 B ．5 C ．10 D ． 612.设A ,B 是n 阶可逆矩阵，那么（ ）不正确.A ．111()AB B A ---= B ．T A A =C ． 112)2(--=A AD ．AB BA =13.对n 阶可逆方阵,A B ，数0λ≠，下列说法正确的是（ ）.A. AB BA =B. 111)(---=B A ABC. 11()A A --=D. 11()A A λλ--=14. 对任意同阶方阵A,B ，下列说法正确的是（ ）.A ．T T T AB AB =)( B. |A+B|=|A|+|B| C. 111)(---=B A AB D. BA AB =15.设A ，B ，C ，D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位方阵，下列命题正确的是（ ）.A ．若02=A ，则0=AB ．若0=AB ，则0=A 或0=BC ．若AC AB =，则C B =D ．若BA AB =，则2222)(B AB A B A ++=+16.设向量组s ααα,,,21 线性相关，则一定有（ ）.A ．121,,,-s ααα 线性相关 B. 121,,,+s ααα 线性相关C ．121,,,-s ααα 线性无关 D. 121,,,+s ααα 线性无关17.向量组),0,0,1(1=α),0,1,0(2=α)1,0,0(2=α的秩为（ ）.A ．0 B. 1 C. 2 D. 318.设向量组αα1,, m 线性相关,则必可推出（ ) .A ．αα1,, m 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合B ．αα1,, m 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合C ．αα1,, m 中至少有两个向量成比例D ．αα1,, m 中至少有一个向量为零向量19.设321a a a ,,线性相关,则以下结论正确的是（ ）.A. 12,a a 一定线性相关B. 13,a a 一定线性相关C. 12,a a 一定线性无关D. 存在不全为零的数k 1,k 2,k 3使1122330k a k a k a ++=20.线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x （ ）.A. 无解；B. 只有0解；C. 有唯一解；D. 有无穷多解.21. 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kxx 有非零解，则k =( ) .A. -1B. -2C.1D.222. 若()r A r n =<，则n 元齐次线性方程组0=AX （ ）.A. 有惟一零解B.有非零解C.无解D.不确定23.设A 是m n ⨯矩阵，0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ ）.A. 若0Ax =仅有零解，则Ax b =有惟一解B. 若0Ax =有非零解，则Ax b =有无穷多个解C. 若Ax b =有无穷多个解，则0Ax =仅有零解D. 若Ax b =有无穷多个解，则0Ax =有非零解24.下列关于方程组的解的表述不正确的是（ ）.A. 若12,x =x =ξξ都是方程0Ax =的解，则12x =ξξ+也是方程0Ax =的解B. 若1x=ξ是方程0Ax =的解，则13x =ξ也是方程0Ax =的解C. 若1x=ξ是方程Ax b =的解，则13x =ξ也是方程Ax b =的解D. 0Ax =的基础解系中的解向量线性无关25.设12,u u 是非齐次线性方程组b AX =的两个解,则以下正确的是( ) .A ．12u u +是b AX =的解B ．12u u -是b AX =的解C ．12u u -是0Ax =的解D ．12u 是b AX =的解26.含有5个未知量的齐次线性方程组0AX =系数矩阵的秩是3, 则此齐次线性方程组0AX =（ ）.A.无解B.有唯一解C.有非零解D.不确定有什么解27.设n 元齐次线性方程组AX=0有非零解，则必有（ ）.A ．|A|=0 B. 秩0)(=A r C. 秩n A r =)( D. 秩n A r <)(28.n 元非齐次线性方程组AX=b 有解的充要条件是（ ）.A ．n A r =)( B. )()(A r A r < C. n A r =)( D. )()(A r A r =29. 设λ=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则其逆1-A 必有一个特征值等于（ ）.A ．14 B ．12 C ．2 D ．430. 矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3113A 的特征值为（ ）.A ．4,221==λλ B. 4,221-==λλ C. 4,221=-=λλ D. 4,221-=-=λλ三、判断正误：1.若行列式中两行元素对应成比例，则此行列式为零．（ ）2.行列式0111101111011110=-3（ ）.3.两个n 阶行列式相等，其对应位置的元素也一定相等. （ ）4.设2阶方阵A 可逆，且1-A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1112，则A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2111.（ ）5.若,AB BA 均有意义，则必有AB BA =.（ ）6. 矩阵的初等变换改变矩阵的秩. （ ）7.设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--500043200101，则A 中所有3阶子式都为零.（ ）8.设,A B 是n 阶方阵，则222()2A B A AB B +=++ （ ）.9.若向量组s ααα,,,21 线性相关，则其中每一个向量可以由其余向量线性表出．（ ）10.向量组123,,ααα线性无关的充分必要条件是123,,ααα中任二向量线性无关（ ）.11. 5个4维向量线性相关. （ ）12.若向量组中有一部分向量线性无关，则整个向量组也线性无关.（ ）13.若12,ξξ都是Ax b =的解，则()112ξξ+也是Ax b =的解. （ ）14.若齐次线性方程组0AX =有非零解，则它一定有无数个解.( )15. 若非齐次线性方程组AX b =的导出组有无穷多解，则该非齐次线性方程组未必也有无穷多解. （ ）16. 若1x =ξ，2x =ξ为Ax b =的解，则1232x =ξ+ξ也是它的解.（ ）17. 若λ是方阵A 的特征值，则λ也是2A 的特征值．（ ）18. 设λ是A 的特征值，则2λ是2A 的特征值. （ ）19. 方阵A 的属于不同特征值的特征向量线性无关．（ ） 20. 特征向量可以是零向量.（ ）四、计算题：1.求4阶行列式 1013112513014112的值.2.求4阶行列式0022110112112110-----的值.3.设矩阵X 满足等式 1212+410T X -⎛⎫= ⎪⎝⎭0117232213-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求X . 4.解矩阵方程，设AX B X -=，求X ，其中A =20133121,2001111B -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭5. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=311010211A ,求逆矩阵1-A .6. 解齐次线性方程组12341234123412344032023503560x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪-+-=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 求通解.7.解方程组124512351234521222225x x x x x x x xx x x x x +++=⎧⎪+-+=⎨⎪-++-+=⎩.8. 当a 为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++1432131321321ax x x x x x x x 有无穷多解？此时，求出方程组的通解。
线性代数B期末考试题及答案
线性代数B期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. \(\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)B. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)C. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)D. \(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}\)答案：C2. 设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，若 \(A^2 = I\)，则\(A\) 一定是：A. 正交矩阵B. 斜对称矩阵C. 单位矩阵D. 对角矩阵答案：A3. 线性方程组 \(\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 3x - 4y + 2z = 2 \\ 5x + 6y + 3z = 3 \end{cases}\) 的解的情况是：A. 有唯一解B. 有无穷多解C. 无解D. 不能确定答案：B4. 设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，若 \(\det(A) = 0\)，则 \(A\) 的秩：A. 等于3B. 小于3C. 等于0D. 大于等于3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，且 \(A\) 的行列式\(\det(A) = 2\)，则 \(A\) 的伴随矩阵 \(\text{adj}(A)\) 的行列式是 _______。
答案：82. 若 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，且 \(A\) 的特征值为1，2，3，则 \(A\) 的迹数 \(\text{tr}(A)\) 等于 _______。
线性代数B类试卷
线性代数试卷一单项选择题（每题3分，共18分）1．设为实矩阵,则线性方程组只有零解是矩阵为正定矩阵的（）(A) 充分条件；(B) 必要条件；(C) 充要条件；(D) 无关条件。
2．已知为四维列向量组，且行列式，，则行列式（）(A) 40；(B) －16； (C) －3；(D) －40。
3．设向量组线性无关，且可由向量组线性表示，则以下结论中不能成立的是（）(A) 向量组线性无关；(B) 对任一个，向量组线性相关；(C) 存在一个，向量组线性无关；(D) 向量组与向量组等价。
4．已知为阶可逆矩阵（），交换的第1，2列得，为的伴随矩阵，则（）(A) 交换的第1，2行得；(B) 交换的第1，2行得；(C) 交换的第1，2列得；(D) 交换的第1，2列得。
5．设为阶可逆矩阵，为的伴随矩阵，则（）(A) ；(B) ；(C) ；(D) 。
6．设是方程组的基础解系，下列解向量组中也是的基础解系的是（）(A) ；(B) ；(C) ；(D) 。
二填空题（每题3分，共18分）7. 已知列向量是矩阵的对应特征值的一个特征向量。
则＝，＝，＝。
8．设维列向量，其中。
已知矩阵可逆,且，则___ ______。
9．已知实二次型正定，则常数的取值范围为________________。
10．设矩阵，是中元素的代数余子式。
已知，，且，则。
11．设,，其中是非齐次线性方程组的解，已知为矩阵，且。
则线性方程组的通解为。
12．设，已知相似于对角阵，则= ，= 。
三计算题（每题8分，共48分）13．设，计算阶行列式。
14．设线性方程组为，试问取何值时，此线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？当其有无穷多解时，求其通解。
设为4阶方阵，其中为4维列向量，且线性无关，。
已知向量，试求线性方程组的通解。
已知为阶矩阵，且满足 ，其中。
求矩阵。
已知；都是线性空间的基，，在基和下的坐标分别为和，且，其中： ；。
试求：(1) ；(2) 基（用线性表示）。
吉林大学《线性代数》2017-2018学年第一学期期末试卷B
共 4 页 第 1 页吉 林大 学 考 试 卷（B 卷） 课程名称 线性代数B 考试学期 17-18-2 得分 适用专业 13、42系 考试形式 开卷 考试时间长度 120分钟一、填空题(30分，每空3分) 1. 设)1,2(),1,1(=−=βα，则=T αβ ；=+βα ； 2. 设 −−=1111A ， −=11B ，则=AB ；=)(AB r ； 3. 设n 阶矩阵A 满足O E A A =−+2，则=+−1)(E A ； 4. 与向量)0 ,1 ,1(1−=α和)2 ,1 ,1(2−=α均正交的单位向量=3α ； 5. 设A 是53×阶矩阵，秩3)(=A r ，则齐次线性方程组0=Ax 的基础解系中含有 个解向量； 6. 设3阶矩阵B A ~，且矩阵A 的特征值为2,1,1−，则矩阵E B +的3个特征值分别是 ；行列式=+E B ； 7. 二次型32212321321424),,(x x x x x x x x x f +−+=对应矩阵=A 。
二、计算题（8分）计算行列式411211111−=D共 4 页 第 2 页三、（12分）假设=200011012A ，求矩阵方程X A E AX +=−的解。
四、（12分）设向量组A ： −=42111α， =21302α；与B ： =147031β，=105122β。
1. 证明向量组A 与B 等价；2. 求向量组A 与B 相互线性表示的表示系数。
共 4 页 第 3 页五、（15分）给定线性方程组 −=++−=++−=++322321321321λλλλx x x x x x x x x1. 参数λ取什么值时，上面的线性方程组无解、有唯一解和无穷解？2. 在方程组有无穷多解时，求出其通解。
六、（15分）设二次型323121232221321222222),,(x tx x tx x tx x x x x x x f −−−++=。
线性代数B复习资料
一一、选择题1.下列4个矩阵中是行最简形的矩阵有【 】101100101101(1)000(2)001(3)011(4)012010000000001--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（A ）(1)、(2)；（B ）（2）、（3）； （C ）（3）、（4）；（D ）（2）、（3）、（4）. 2.设A 是m n ⨯矩阵，0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =的导出方程组，则下列4个命题不正确的有【 】（1）若有唯一解，则仅有零解。
（2）若有非零解，则有无穷多解。
（3）若无解，则仅有零解。
（4）若有无穷多解，则有非零解； （A ）（1）、（3）； （B ）（1）、（4） ；（C ）（2）、（3） ；（D ）（2）、（4）. 3.设12121010,,,24000021B C P A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=，则变A 为C 的初等变换过程2121121210(2)(2)240000r r c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦可用矩阵乘法表示为【 】 （A ）PAP BP C == ; （B ）T T T P AP BP C == ; （C ）T T PAP BP C == ; （D ）T P AP BP C ==.4.设,,A B C 矩阵均为3阶可逆矩阵，则下列6个等式中成立的有【 】111(1)()();(2)()(3)()T T TAB C A BC AB A B AB B A ---===(4)(5)(6)(2)2T A AAB A BA A =-=⋅-=-（A ）(1)、(3)、(5) ；（B ）（2）、（3）、（6）；（C ）（4）（5）（6）；（D ）（2）、（4）、（6）.5.设[]1,0,2Tξ=是线性方程组0Ax =的解，则下列4个矩阵中，A 有可能是【 】[]011102201(1)2,1,1;(2);(3);(4)422.011010011⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦（A ）（1）、（2） ； （B ）（1）、（3）； （C ）（2）、（3）； （D ）（2）、（4）.6.设123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax b =的3个不同解，则123,,ηηη的下列线性组合组合，【 】也是Ax b =的解。
沈阳理工大学线性代数B部分复习题答案
线性代数B 部分复习题答案一、填空题1、的符号为（正）项在四阶行列式中42342311a a a a ，； 注意项的行标排成标准排列，项的符号取决列标排列的逆序数。
2、由自然数1～9组成的排列213i 69j 85为偶排列，试确定i =7，j =4.3、;1)(21243)(2）项的系数是（的，则函数x x f xx x x xx f -=用对角线法则，仅挑出项2x ，注意副对角线以及与副对角线平行线上元素之积取负号。
4、若;21041211112）或（，则==x x x这是范德蒙行列式，套用其结果5、设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=012,121y x B A ，若AB =BA ，则1=x ，y=2； 6、设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3142A ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1212231A ； 7、;81214 **-=-=A A A A ，则的伴随阵，且阶方阵是设8、设n 阶行列式D =det(a ij )中，元素a ij 的代数余子式是A i j ，则⎩⎨⎧≠==∑=j i ji D a jk nk ik 01A ； 这是代数余子式重要性质。
9、若n 元齐次线性方程组Ax =O 有n 个线性无关的解向量，则A =O ；因Ax =O 有n 个线性无关的解向量，故基础解系所含解向量个数n-R(A)=n ，从而R(A)=0 10、若()()()T3T2T1,3,5,1,3,1,0,1,1t =-==ααα 线性相关，则1=t11、设A 是5×6阶矩阵，如果A 有一个3阶子式不为零，而所有4阶子式全为零，则A 的秩是3；12、设齐次线性方程组AX =O 的同解方程组为⎩⎨⎧=++=--042052432431x x x x x x ，则方程组的基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1045,0122. 13、当⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==321321321)1(k k k A 时，的秩为1. 14.设方阵A 满足O E A A =--322，则；331EA -=-A 据教材P 43推论15、在矩阵A 的左端乘以一个初等矩阵，相当于对矩阵A 施行了一次相应的初等行变换. 16、=-=-*1*73313 A A A A A ）（，计算的伴随阵，若阶方阵是设-2417、()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==-=8041,8,4,4,12,02,0,12T21T1ααa a 则，二、是非题1、设A 、B 为n 阶方阵，且AB =O ，则必有0=A 或0=B ；（ √ ） 据方阵行列式性质，注意：方阵取行列式后变成数了。
线性代数B同步测试题五套
线性代数B同步测试题五套线性代数习题库第一套一.填空题(每小题3分,满分30分) ????1?m,?1?2?2?3?n,则1.设?1,?2,?3,?1,?2都是4维列向量,且4阶行列式124阶行列式?5?A??4?6?2x4?3?? 1???4????4??相似于对角阵?A?18,则2???3??,则x? *?3?2?1??1??2??_______________。
9.设A为3阶方阵,A为伴随矩阵,*?,?,???,??,??1??A??3??1?8A=______ _____ 2.已知123线性相关,3不能12线性表示则12线性__________ 10.设 3.设A是m?n阶矩阵,B 是n?s阶矩阵,,R?A??r,且AB?0,则R?B?的取值范围是________________ ?12?1?4.设A是4?3矩阵,且A的秩R?A??2且A???3x?2???102???5?41??B???020??是不可逆矩阵,则x?____________ 二(8分)计算行列式???103?? 1?x111则R?AB??__________- 11?x115.设0是矩阵111?y1?一. 1111?yA??101?? ?020? ??10a?? 三.(8分) 三阶方阵A,B满足关系式:AB?E?A2?B,且的特征值,则a?_____________. ?101?f(x22226.设1,x2,x3)?x1?kx2?kx3?2x1x2是正定二次型, A???020???则t的取值区间为?101??, 7.矩阵求 B. ?104? A??四.(10分)设?02?1????1??1,?1,2,4?,?2??0,3,1, 2?,?4?13?? 对应的二次型是_______________ ?3??3,0,7,14?,? 4??1,?1,2,0?,8. 设求向量组的秩及其一个极大无关组. 五. (12分)问常数k 取何值时, 方程组1 ?5??2,1,5,6? 无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解. ?x1???x1?x? 1???x2kx2x2???kx3x32x3???4k24. 设3阶方阵A的非零特征值为5，-3，则A=?45. 11111111T与向量组α1= (2,2,2,2) , α2= (2,2, -2, -2)T , 六. (16分)求正交变换X?PY,将二次型f?x1,x2,x3??x?4x?4x?4x1x2?4x1x3?8x2x 3化为2122231111α3= (2, -2,2, -2)T ,都正交的单位向量α4= 标准形,并写出其标准形. 七. (8分)设A,B 都是n阶矩阵,且A可逆,证明AB与BA 有相同的特征值. 八. (8分)设向量组A:?1,?2,?,?m线性无关,向量?1可向量组A线性表示,而向量?2不能向量组A 线性表示. 证明:m?1个向量?1,?2,?,?m,l?1??2必线性无关.第二套一. 填空题(每小题3分，满分30分) 9. 100085007602003= β 1 6.A是3×4矩阵，其秩rank?A?=2, B=?1??0???2?010??0????2??1, 则rank?BA?= _____7. 设β1、β2是非齐次方程组Ax=b的两个不同的解，α是对应的齐次方程组的基础解系，则用,β2 ,α表示Ax=b的通解为。
线性代数B复习题
线性代数B 复习资料(一)单项选择题1．设A ，B 为n 阶方阵，且()E AB =2，则下列各式中可能不成立的是（ A ）(A )1-=B A (B)1-=B ABA (C)1-=A BAB (D)E BA =2)( 2．若由AB=AC 必能推出B=C （A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ C ） (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 3．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A ，则（ D ）(A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) A B =-1 (D ) 不一定4．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A)<n , 则( C )(A) A 的任意一个行（列）向量都是其余行（列）向量的线性组合 (B) A 的各行向量中至少有一个为零向量(C )A 的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (D)A 的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例 5．设向量组s ααα,,2,1Λ线性无关的充分必要条件是( D )(A) s ααα,,2,1Λ均不为零向量(B) s ααα,,2,1Λ任意两个向量的对应分量不成比例 (C) s ααα,,2,1Λ中有一个部分向量组线性无关(D ) s ααα,,2,1Λ中任意一个向量都不能由其余S-1个向量线性表示6．向量组的秩就是向量组的(C ) (A) 极大无关组中的向量 (B) 线性无关组中的向量(C ) 极大无关组中的向量的个数 (D) 线性无关组中的向量的个数 7．下列说法不正确的是( A ) (A ) 如果r 个向量r ααα,,2,1Λ线性无关，则加入k 个向量k βββ,,2,1Λ后，仍然线性无关 (B) 如果r 个向量r ααα,,2,1Λ线性无关，则在每个向量中增加k 个分量后所得向量组仍然线性无关 (C)如果r 个向量r ααα,,2,1Λ线性相关，则加入k 个向量后，仍然线性相关(D)如果r 个向量r ααα,,2,1Λ线性相关，则在每个向量中去掉k 个分量后所得向量组仍然线性相关8．设n 阶方阵A 的秩r<n ，则在A 的n 个行向量中( A ) (A ) 必有r 个行向量线性无关(B) 任意r 个行向量均可构成极大无关组 (C) 任意r 个行向量均线性无关(D) 任一行向量均可由其他r 个行向量线性表示 9．设方阵A 的行列式0=A ，则A 中( C )(A) 必有一行（列）元素为零 (B) 必有两行（列）成比例(C ) 必有一行向量是其余行（列）向量的线性组合 (D) 任一行向量是其余行（列）向量的线性组合10．设A 是m ×n 矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是( A ) (A )A 的列向量线性无关 (B)A 的列向量线性相关 (C)A 的行向量线性无关 (D)A 的行向量线性相关11．n 元线性方程组AX=b ，r （A ，b ）<n ，那么方程AX=b (D)(A)无穷多组解 (B)有唯一解 (C)无解 (D )不确定 12．设A ，B 均为n 阶非零矩阵，且AB ＝Ｏ，则A 和B 的秩（ D ）(A) 必有一个等于零 (B)一个等于n ，一个小于n (C) 都等于n (D ) 都小于n13．设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中，线性相关的是（ A ） (A ) 133221,,αααααα-++ (B) 3213221,,ααααααα++++ (C) 1332213,32,2αααααα+++(D) 321321321553,222,ααααααααα-++-++14．向量组s ααα,,,21Λ线性无关的充分条件是(C ) (A)s ααα,,,21Λ均不为零向量(B)s ααα,,,21Λ中任意两个向量的分量均不成比例(C )s ααα,,,21Λ中任意一向量均不能由其余s-1个向量线性表示 (D)s ααα,,,21Λ中有一部分向量线性无关15．当向量组m ααα,,,21Λ线性相关时, 使等式02211=+++m m k k k αααΛ成立的常数m k k k ,,,21Λ为( C )(A)任意一组常数(B)任意一组不全为零的常数 (C )某些特定的不全为零的常数 (D)唯一一组不全为零的常数 16．下列命题正确的是( D )(A) 若向量组线性相关, 则其任意一部分向量也线性相关 (B) 线性相关的向量组中必有零向量(C) 向量组中部分向量线性无关, 则整个向量组必线性无关 (D ) 向量组中部分向量线性相关, 则整个向量组必线性相关 17．设向量组s ααα,,,21Λ的秩为r ，则 ( D) (A) 必定r<s(B) 向量组中任意小于r 个向量部分组无关 (C) 向量组中任意r 个向量线性无关 (D ) 向量组任意r+1个向量线性相关18．若s ααα,,,21Λ为n 维向量组，且秩(s ααα,,,21Λ)=r, 则( B ) (A) 任意r 个向量线性无关 (B ) 任意r+1个向量线性相关 (C) 该向量组存在唯一极大无关组(D) 该向量组在s>r 时, 由若干个极大无关组19．设()21,,1αα-=⨯n A r n n 是0=AX 的两个不同的解, 则0=AX 的通解是( C ). (A)1αk (B)2αk (C )()21αα-k (D)()21αα+k 20．设A 为n 阶方阵, 且r(A)=r<n, 则中 (A ) (A )必有r 个行向量线性无关 (B)任意r 个行向量线性无关(C)任意r 个行向量构成极大无关组(D)任意一个行向量都能被其他r 个行向量线性表示 21．A 是m ×n 矩阵, r(A)=r 则A 中必( B )(A)没有等于零的r-1阶子式至少有一个r 阶子式不为零 (B )有不等于零的r 阶子式所有r+1阶子式全为零 (C)有等于零的r 阶子式没有不等于零的r+1阶子式 (D)任何r 阶子式都不等于零任何r+1阶子式都等于零 22．能表成向量()1,0,0,01=α,()1,1,1,02=α,()1,1,1,13=α的线性组合的向量是（ B ） (A) ()1,1,0,0 (B )()0,1,1,2 (C)()1,0,1,3,2- (D)()0,0,0,0,023．已知()3,2,11=α, ()2,1,32-=α,()x ,3,23=α 则x=（ D ）时321,,ααα线性相关。
2011-2012(2)线性代数b期末复习题(含答案)
. 1 x1 1 1 2 4. 已知方程组 2 3 a 2 x2 3 无解，则实数 a ___________. 1 a 2 x3 1 T T 5. 设 1 (1, x,1) , 2 (2, 1, 2) , 3 (0,1, 2)T ，当 x 时， 1 , 2 , 3 线性相关. 二、单项选择题
1 a a 2 1. 矩阵 A 1 b b 2 , R( A) 3 ，则 1 c c 2
（A） a, b, c 都不等于 1 ； （B） a, b, c 都不等于 0 ； （C） a, b, c 互不相等； （D） a b c . （ ）
1 , 2 是 Ax 0 的两个不同的解向量， 2. 设 A 为 5 阶方阵， 且 R( A) 4 ， 则 Ax 0 的通解为 （
2
2012-2013 年第 1 学期全院公选课:《高等应用数学问题的软件求解》介绍
课程性质：全院公选课 授课教师：陈军刚 选课建议：对数学有兴趣或对数学建模有兴趣的我院 11 级理工类本科生（10 级没有学习过 MATLAB 的学生，若特别有兴趣也可以选修） 。学习及应用的软件主要为 MATLAB，LINGO， 次要为 Maple 和 Origin。 课程介绍：随着经济和科学技术的进步，尤其是计算机技术的飞速发展，数学对于当代科学乃至 整个社会的影响和推动作用日益显著。特别是计算机数学运算软件（如 MATLAB，Maple，Lingo， Origin，SPSS）的广泛使用，可以迅速无误地解决复杂的数值计算、推导和数据分析问题。因此， 数学教育的需求 （特别是工科类学生的需求） 重点正在从手工演绎和运算能力的培养转变到结合 计算机软件进行建模、求解和论证能力的培养。本课程的目标正是满足这类学生数学软件学 习的需求，最终能够达到应用这些软件初步解决一些实际问题，提高用数学方法和计算机 技术解决实际问题的能力的目的。在这门课程中，主要介绍 Matlab 入门、Matlab 编程与作图、 矩阵代数、函数和方程、应用微积分、常微分方程、Matlab 符号计算、随机模拟和统计分析、 数据建模 （Origin、 Spss） 、 线性规划与非线性规划 （Lingo） 、 整数规划 （Lingo） 、 图与网络优化 （Lingo） 等内容， 其中每个单元都结合相应的数学软件来学习并加以解决实现。 本课程侧重于软件的学习， 特别是软件的应用，尽量做到内容叙述详细，语言表达通俗易懂，不刻意追求理论深度和解题技 巧。通过这门课的学习，激励学生学数学用数学的积极性，培养学生利用数学方法简化、归纳实 际问题能力，提高学生运用计算机技术解决实际问题的水平。 学分：3 学分
线性代数B总复习
第五章
相似矩阵
用施密特正交化法将线性无关 向量组化为正交向量组 求特征值与特征向量 求方阵多项式的特征值及 行列式
★向量的内积，正交性 ★方阵的特征值的定义 ★方阵的特征值的性质 ★方阵可相似对角化的条件
会求含参数的方阵的相似对角化问题 会将实对称阵正交相似对角化
6
注1：矩阵乘法一般不满足交换律，即 AB BA. 注2： 矩阵乘法一般不满足消去律, 即
AX AY X Y .
注3： AB O A O, or B O.性方程组
逆矩阵 求解 矩阵方程 矩阵的秩
★矩阵的初等变换
会判别初等矩阵 ★初等矩阵 会求初等矩阵的逆矩阵 讨论秩的问题
★矩阵秩的性质（8条） ★线性方程组解的判定条件
讨论含参数的线性方程组的解的存在问题
4
第四章
向量组的线性相关性
★用矩阵的初等变换 求解向量组的线性表示 判别向量组的线性相关性 求最大无关组及线性表示 求线性方程组的基础解系，通解 ★线性方程组的解的结构 讨论解的问题 （课本109页：27,30）
5
线性代数复习
(1)中心课题：求解多元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
空间为体，矩阵为用
(2)主要内容：行列式理论与矩阵论 (3) 研究对象：向量
研究工具：矩阵运算（矩阵的初等变换）
1
第一章
行列式
★行列式的性质(6条) 计算行列式 ★行列式按行(列)展开
2
第二章
矩阵及其运算
线性代数B期末试题5
线性代数B 期末试题（05）一、判断题(正确填√，错误填×。
每小题2分，共10分)1．A 是n 阶方阵，且｜A ｜≠0，则n 元方程组AX ＝b 有唯一解。
（ ）2．A ，B 是同阶相似方阵，则A 与B 有相同的特征值。
（ ）3．如果X 1 与X 2 皆是AX =b 的解，则X 1 ＋X 2 也是AX =b 的解。
( )4．若A 为n 阶方阵，其秩R (A )=r 且r < n ,那么A 任意r 个行向量线性无关。
( )5．从A 中划去一行得到矩阵B ，则R （A ）≥R （B ）的秩。
（ ） 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设A 是n 阶矩阵，其伴随矩阵为A ＊，E 为单位矩阵。
则A A *为 ( )（A ）|A |E (B) E (C) A * (D) 不能乘2．设A 、B 、C 同为n 阶方阵，且满足ABC ＝E ，则必有（ ）。
（A ）ACB =E （B ）CBA =E （C ）BCA = E （D ）BAC =E3．设A 为n 阶方阵，且｜A ｜＝5，则｜（3A －1）T ｜＝（ ） (A)n 53 (B) n 35 (C)3n ·51(D) 3·5n4．设n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r <n ，则方程组（ ）。
（A ）其基础解系可由r 个解组成；（B ）有r 个解向量线性无关；（C ）有n –r 个解向量线性无关；（D ）无解。
5．n 阶矩阵A 有n 个不同的特征值，是A 与对角阵相似的（ ）（A ）充分必要条件 （B ）充分而非必要（C ）必要而非充分条件 （D ）既非充分也非必要三、填空题（每小题5分，共25分）1．g f k j e p hs bc da 0000＝ 。
2．A 为3阶矩阵，且满足=A 5,则1-A =______，*3A = 。
3．设齐次线性方程组的系数矩阵A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----β41352121此方程有可能无解吗? 你的回答及理由是 ，当β取值为 时方程组有无穷多解。
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线性代数B 复习资料(一)单项选择题1．设A ，B 为n 阶方阵，且()E AB =2，则下列各式中可能不成立的是（ A ）(A )1-=B A (B)1-=B ABA (C)1-=A BAB (D)E BA =2)( 2．若由AB=AC 必能推出B=C （A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ C ） (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 3．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A ，则（ D ） (A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) A B=-1(D ) 不一定4．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A)<n , 则( C )(A) A 的任意一个行（列）向量都是其余行（列）向量的线性组合 (B) A 的各行向量中至少有一个为零向量(C )A 的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (D)A 的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例 5．设向量组s ααα,,2,1 线性无关的充分必要条件是( D )(A) s ααα,,2,1 均不为零向量(B) s ααα,,2,1 任意两个向量的对应分量不成比例 (C) s ααα,,2,1 中有一个部分向量组线性无关(D ) s ααα,,2,1 中任意一个向量都不能由其余S-1个向量线性表示6．向量组的秩就是向量组的(C ) (A) 极大无关组中的向量 (B) 线性无关组中的向量(C ) 极大无关组中的向量的个数 (D) 线性无关组中的向量的个数 7．下列说法不正确的是( A ) (A ) 如果r 个向量r ααα,,2,1 线性无关，则加入k 个向量k βββ,,2,1 后，仍然线性无关 (B) 如果r 个向量r ααα,,2,1 线性无关，则在每个向量中增加k 个分量后所得向量组仍然线性无关 (C)如果r 个向量r ααα,,2,1 线性相关，则加入k 个向量后，仍然线性相关(D)如果r 个向量r ααα,,2,1 线性相关，则在每个向量中去掉k 个分量后所得向量组仍然线性相关8．设n 阶方阵A 的秩r<n ，则在A 的n 个行向量中( A ) (A ) 必有r 个行向量线性无关(B) 任意r 个行向量均可构成极大无关组 (C) 任意r 个行向量均线性无关(D) 任一行向量均可由其他r 个行向量线性表示 9．设方阵A 的行列式0=A ，则A 中( C )(A) 必有一行（列）元素为零 (B) 必有两行（列）成比例(C ) 必有一行向量是其余行（列）向量的线性组合 (D) 任一行向量是其余行（列）向量的线性组合10．设A 是m ×n 矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是( A ) (A )A 的列向量线性无关 (B)A 的列向量线性相关 (C)A 的行向量线性无关 (D)A 的行向量线性相关11．n 元线性方程组AX=b ，r （A ，b ）<n ，那么方程AX=b (D)(A)无穷多组解 (B)有唯一解 (C)无解 (D )不确定 12．设A ，B 均为n 阶非零矩阵，且AB ＝Ｏ，则A 和B 的秩（ D ） (A) 必有一个等于零 (B)一个等于n ，一个小于n (C) 都等于n (D ) 都小于n13．设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中，线性相关的是（ A ） (A ) 133221,,αααααα-++ (B) 3213221,,ααααααα++++ (C) 1332213,32,2αααααα+++(D) 321321321553,222,ααααααααα-++-++14．向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是(C ) (A)s ααα,,,21 均不为零向量(B)s ααα,,,21 中任意两个向量的分量均不成比例(C )s ααα,,,21 中任意一向量均不能由其余s-1个向量线性表示 (D)s ααα,,,21 中有一部分向量线性无关15．当向量组m ααα,,,21 线性相关时, 使等式02211=+++m m k k k ααα 成立的常数m k k k ,,,21 为( C )(A)任意一组常数(B)任意一组不全为零的常数 (C )某些特定的不全为零的常数 (D)唯一一组不全为零的常数 16．下列命题正确的是( D )(A) 若向量组线性相关, 则其任意一部分向量也线性相关 (B) 线性相关的向量组中必有零向量(C) 向量组中部分向量线性无关, 则整个向量组必线性无关 (D ) 向量组中部分向量线性相关, 则整个向量组必线性相关 17．设向量组s ααα,,,21 的秩为r ，则 ( D) (A) 必定r<s(B) 向量组中任意小于r 个向量部分组无关 (C) 向量组中任意r 个向量线性无关 (D ) 向量组任意r+1个向量线性相关18．若s ααα,,,21 为n 维向量组，且秩(s ααα,,,21 )=r, 则( B ) (A) 任意r 个向量线性无关 (B ) 任意r+1个向量线性相关(C) 该向量组存在唯一极大无关组(D) 该向量组在s>r 时, 由若干个极大无关组19．设()21,,1αα-=⨯n A r n n 是0=AX 的两个不同的解, 则0=AX 的通解是( C ). (A)1αk (B)2αk (C )()21αα-k (D)()21αα+k 20．设A 为n 阶方阵, 且r(A)=r<n, 则中 (A ) (A )必有r 个行向量线性无关 (B)任意r 个行向量线性无关(C)任意r 个行向量构成极大无关组(D)任意一个行向量都能被其他r 个行向量线性表示 21．A 是m ×n 矩阵, r(A)=r 则A 中必( B )(A)没有等于零的r-1阶子式至少有一个r 阶子式不为零 (B )有不等于零的r 阶子式所有r+1阶子式全为零 (C)有等于零的r 阶子式没有不等于零的r+1阶子式 (D)任何r 阶子式都不等于零任何r+1阶子式都等于零 22．能表成向量()1,0,0,01=α,()1,1,1,02=α,()1,1,1,13=α的线性组合的向量是（ B ） (A) ()1,1,0,0 (B )()0,1,1,2 (C)()1,0,1,3,2- (D)()0,0,0,0,023．已知()3,2,11=α, ()2,1,32-=α,()x ,3,23=α 则x=（ D ）时321,,ααα线性相关。
(A) 1 (B)2 (C) 4 (D ) 524．向量组()4,2,1,11-=α,()2,1,3,02=α,()14,7,033=α()0,2,1,14-=α的秩为 (C )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）425．矩阵A 在( D ) 时可能改变其秩(A) 转置 (B) 初等变换(C) 乘一个可逆方阵 (D ) 乘一个不可逆方阵 26．设A 为n 阶方阵,且0=A ，则 ( C )(A) A 中任一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (B) A 必有两行（列）对应元素乘比例(C ) A 中必存在一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (D) A 中至少有一行（列）向量为零向量27．向量组s ααα,,,21 线性相关的充要条件是( C ) (A) s ααα,,,21 中有一零向量(B) s ααα,,,21 中任意两个向量的分量成比例 (C ) s ααα,,,21 中有一向量是其余向量的线性组合 (D) s ααα,,,21 中任意一个向量均是其余向量的线性组合 28．若向量β可由向量组s ααα,,,21 线性表出,则( C )(A) 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使等式s s k k k αααβ+++= 2211成立 (B) 存在一组全为零的数s k k k ,,,21 ,使等式s s k k k αααβ+++= 2211成立 (C )向量s αααβ,,,,21 线性相关 (D) 对β的线性表示不唯一29．设A 是m ×n 矩阵，AX=0是非齐次线性方程组AX=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( D)(A) 若AX=0仅有零解，则AX=b 有唯一解 (B) 若AX=0有非零解，则AX=b 有无穷多个解 (C) 若AX=b 有无穷多个解，则AX=0仅有零解 (D ) 若AX=b 有无穷多个解，则AX=0有非零解30．要使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2011ζ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102ζ都是线性方程组AX=0的解，只要系数矩阵A 为( A)(A ) ()1,1,2- (B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110102 (C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210201 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---110224110 31．设矩阵n m A ⨯的秩为r(A)=m<n, m I 为m 阶单位矩阵,下述结论正确的是 (C ) (A)A 的任意m 个列向量必线性无关(B)A 的任意个m 阶子式不等于零(C )A 通过初等变换, 必可化为(m I ,0)的形式(D) 若矩阵B 满足0BA =,则0B =.32．非齐次线性方程组AX=b 中未知数的个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则（ A ）(A ) r=m 时, 方程组AX=b 有解 (B) r=n 时, 方程组AX=b 有唯一解 (C) m=n 时, 方程组AX=b 有唯一解 (D) r<n 时, 方程组AX=b 有无穷多解33．设一个n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r(A)=n-3, 且321,,ηηη为此方程组的三个线性无关的解, 则( B )不是此方程组的基础解系 (A)321,,ηηη(B )133221,,ηηηηηη--- (C)321211,,ηηηηηη+++ (D)233121,,ηηηηηη+--34．已知321,,ααα是齐次线性方程组AX=0的基础解系，那么基础解系还可以是（ B ） (A) 332211αααk k k ++ (B ) 133221,,αααααα+++ (C) ,,3221αααα--(D),,,233211αααααα-+-35．向量组r ααα,,,21 线性无关，且可由向量组s βββ,,,21 线性表示，则 (D ) r(r ααα,,,21 )必( )r(s βββ,,,21 )(A)大于等于 (B)大于 (C)小于 (D )小于等于36．设n 元齐次线性方程组AX=0的通解为k （1，2，…，n ）T，那么矩阵A 的秩为（ B ） (A) r(A)=1 (B ) r(A)=n-1 (C) r(A)=n (D)以上都不是37．设矩阵A =111121233λ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭的秩为2，则λ=（ D ）A.2B.1C.0D .-138．一个向量组中的极大线性无关组（ C ）(A)个数唯一 (B) 个数不唯一 (C )所含向量个数唯一 (D) 所含向量个数不唯一39．设n 维向量组r ααα,,,21 (Ⅰ)中每一个向量都可由向量组s βββ,,,21 (Ⅱ)线性表出,且有r>s, 则( D )(A) (Ⅱ)线性无关 (B) (Ⅱ)线性相关 (C) (Ⅰ)线性无关 (D ) (Ⅰ)线性相关 40．设n ααα,,,21 是n 个m 维向量，且n>m, 则此向量组n ααα,,,21 必定(A ) (A ) 线性相关 (B) 线性无关 (C) 含有零向量 (D) 有两个向量相等 41．矩阵A 适合条件（ D ）时，它的秩为r(A)A 中任何r+1列线性相关 (B) A 中任何r 列线性相关(C) A 中有r 列线性无关 (D ) A 中线性无关的列向量最多有r 个42．已知矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛040020001，则R （A ）=（ C ）(A)0 (B)1 (C )2 (D)343．若m ×n 阶矩阵A 中的n 个列线性无关 则A 的秩（ C ） (A)大于m (B)大于n (C )等于n (D) 等于m44．若矩阵A 中有一个r 阶子式D ≠0，且A 中有一个含D 的r+1阶子式等于零，则一定有R （A ）（ A ）(A ) ≥r (B)＜r (C)=r (D) =r+1 45．要断言矩阵A 的秩为r ，只须条件（ D ）满足即可 (A) A 中有r 阶子式不等于零 (B) A 中任何r+1阶子式等于零(C) A 中不等于零的子式的阶数小于等于r (D ) A 中不等于零的子式的最高阶数等于r46．设m ×n 阶矩阵A ，B 的秩分别为21,r r ，则分块矩阵（A ，B ）的秩适合关系式（ A ）(A ) 21r r r +≤ (B) 21r r r +≥ (C) 21r r r += (D) 21r r r = 47．R(A)=n 是n 元线性方程组AX=b 有唯一解( C )(A)充分必要条件 (B) 充分条件 (C ) 必要条件 (D) 无关的条件48．矩阵A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111的特征值为0,2, 则3A 的特征值为( B )(A) 2,2; (B ) 0,6; (C) 0,0; (D) 2,6; 49．A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111， 则222A A I +--的特征值为（ B ） (A) 2,2; (B ) –2,-2; (C) 0,0; (D) –4,-4; 50．AP P B 1-=,0λ是A,B 的一个特征值, α是A 的关于0λ的特征向量, 则B 的关于0λ的特征向量是( C ) (A)α (B) αP (C ) α1-P (D) αP '51．n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是（ B ） (A) 矩阵A 有n 个特征值(B ) 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量 (C) 矩阵A 的行列式0≠A (D) 矩阵A 的特征多项式没有重根52．A 满足关系式O E A A =+-22，则A 的特征值是( C )(A) λ=2 (B) λ= －1 (C ) λ= 1 (D) λ= －2是53．已知－2是A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----b x 2222220的特征值，其中b ≠0的任意常数，则x=（ D ） (A) 2 (B) 4 (C) －2 (D ) －454．已知矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----x 44174147有特征值12,3321===λλλ，则x=（ D ） (A) 2 (B) － 4 (C) －2 (D ) 455．设A 为三阶矩阵，已知0=+E A ，02=+E A ，03=+E A ，则=+E A 4(A) (A ) 6 (B) － 4 (C) －2 (D)456．A 为n 阶矩阵，且I A =2，则 ( C)(A) A 的行列式为1 (B) A 的特征值都是1 (C )A 的秩为n (D)A 一定是对称矩阵57. 设A 为三阶矩阵，有特征值为1，-1，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（ D ） (A) E-A (B) E+A (C) 2E-A (D ) 2E+A 58. 已知A 为n 阶可逆阵, 则与A 必有相同特征值的矩阵是( C ) (A) 1-A (B)2A (C ) T A (D) *A 59．已知A 为三阶矩阵，r(A)=1, 则λ=0( B )(A)必是A 的二重特征根 (B ) 至少是A 的二重特征根 (C) 至多是A 的二重特征根 (D)一重,二重,三重特征根都可能（二）计算题与填空题1．0653=+-I A A ，则=-1A （ ） （()I A 5612--）2．设A 是43⨯矩阵,(),2=A R ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111211120B ,则()=BA R ________3．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101041003A ，则()=--12I A （ ） （20011102202⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭）4. 已知矩阵21010201A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10000002y B 相似，则____________==y x答案：2,3x y ==5.()()(),01,50,31321tTT t tt-=-=-=ααα 当0,2t ≠时, 向量组321,,ααα 线性无关.6．设()()(),112,231,5121TTTk-=-==ααβ=k （ ）时β可被向量组21,αα线性表出。