武汉大学概率与统计
概率与统计的好书
概率与统计是数学中的两个重要分支，对于理解和分析各种随机现象至关重要。
以下是几本关于概率与统计的经典书籍：
1. 《概率与统计》（作者：David Freedman）
这本书是概率与统计的经典教材之一，内容全面，涵盖了概率论和统计学的各个方面，包括概率论基础、随机变量、极限理论、回归分析等。
它注重概念和思想的阐述，语言通俗易懂，适合本科生和研究生学习。
2. 《统计学》（作者：William M. K. Darling）
这本书是一本比较新的统计学教材，其内容涵盖了统计学的各个领域，包括描述性统计、概率论、推断性统计、回归分析等。
它的特点是用通俗易懂的语言来阐述复杂的统计学概念，并提供了大量的实际案例和练习题。
3. 《概率论与数理统计》（作者：吴喜之）
这本书是一本比较系统的概率论与数理统计教材，内容涵盖了概率论与数理统计的基本知识，包括概率论基础、随机变量、大数定律、中心极限定理、参数估计、假设检验等。
它注重基本概念的讲解和证明，同时也提供了大量的实际应用案例。
4. 《应用随机过程：概率模型与数理分析》（作者：Richard J. Pezier）
这本书是一本关于应用随机过程的教材，主要介绍了概率模型和数理分析的基本方法，包括马尔科夫链、随机过程、随机模拟等。
它注重实际应用和数学建模，适合对随机过程感兴趣的读者阅读。
以上书籍都是概率与统计领域的经典之作，它们不仅提供了全面的基础知识，而且注重实际应用和数学建模。
如果你想深入学习概率与统计，不妨阅读这些书籍。
武汉大学统计学复习题
第一章 绪论思考题：1. 医药统计研究的过程是什么？2. 统计资料主要分为哪几种类型？3. 什么是总体；什么是样本。
4. 概率与常用概率分布练习与思考1.瓶中装有100片药片，其中有5片次品，从中任取10片，求： （1）10片全是正品的概率； （2）恰有2片次品的概率。
2.10把钥匙中有3把能打开锁，任取2把，求能打开锁的概率。
3.设A ，B ，C 是三个随机事件，试用A ，B ，C 表示下列事件： （1）A 不发生而B ，C 都发生；（2）A 不发生而B ，C 中至少有一个发生； （3）A ，B ，C 中至少有两个发生； （4）A ，B ，C 中恰有两个发生。
4.某药厂的针剂车间灌注一批注射液，需4道工序，已知由于割瓶时掉入玻璃屑而成废品的概率为0.5，由于安瓿洗涤不洁而造成废品的概率为0.2，由于灌药时污染而成废品的概率为0.1，由于封口不严而成废品的概率为0.8，试求产品合格的概率。
5.甲乙两个反应罐在1小时内需要工人照顾的概率分别为0.1和0.2。
求在1小时内： （1）甲乙两罐都需要照顾的概率； （2）甲乙两罐都不需要照顾的概率；（3）一罐需要照顾而一罐不需要照顾的概率。
6.设()0.2, ()0.3, (/)0.3,P A P B P A B ===试求：（1）()P AB ； （2）(/)P B A ； （3）()P AB ； （4）()P A B +。
7.三个射手向一敌机射击，射中的概率分别为0.4,0.6,0.7。
如果一人射中，敌机被击落的概率为0.2；二人射中，敌机被击落的概率为0.6；三人射中则必被击落。
已知敌机被击中，求该机是三人击中的概率？8.已知X 的可能取值为0，±1，±2，且}1|{|}2{,6.0}1|{|,3.0}0{,4.0}21{==≥=≤===<<-X P X P X P X P X P试求：X 的概率分布？ 9.已知在8次独立试验中，事件A 至少发生一次的概率为0.57，试求在一次试验中事件A 发生的概率？10.当投掷五枚分币时，已知至少出现两个正面，问：正面数刚好是三个的条件概率？ 11.设X 服从泊松分布，且已知{}{}12P X P X ===，求{}4P X =。
《概率论与数理统计》(46学时)课程教学大纲
《概率论与数理统计》（46学时）课程教学大纲一、课程的基本情况课程中文名称：概率论与数理统计课程英文名称：Probability Theory and Mathematical Statistics课程编码：0702003课程类别：学科基础课课程性质：必修总学时：46 讲课学时：46 实验学时：0学分：2.5授课对象：本科相关专业前导课程：《高等数学》《线性代数》二、教学目的概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的数学学科，是理工科各专业的一门重要的学科基础课。
通过本课程的学习，使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。
同时，也为一些后续课程的学习提供必要的基础。
三、教学基本要求第一章概率论的基本概念1.1 随机试验1.2 样本空间、随机事件1.3 频率与概率1.4 等可能概型（古典概型）1.5 条件概率1.6 独立性基本要求：1. 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念并掌握事件的关系与运算2. 掌握概率的定义与基本性质3. 理解古典概型的概念，掌握古典概率的计算方法4. 理解条件概率的定义，熟练掌握乘法定理、全概率公式与贝叶斯公式并会灵活应用5. 理解事件独立性的概念，熟练掌握相互独立事件的性质及有关概率的计算重点与难点：1. 重点：随机事件；概率的基本性质及其应用；乘法定理、全概率公式与贝叶斯公式事件的独立性2. 难点：概率的公理化定义、条件概率概念的建立、全概率公式与贝叶斯公式的应用第二章随机变量及其分布2.1 随机变量2.2 离散型随机变量及其分布律2.3 随机变量的分布函数2.4 连续型随机变量及其概率密度2.5 随机变量的函数的分布 基本要求：1. 理解随机变量的概念；掌握离散型随机变量和连续型随机变量的描述方法2. 掌握分布律、分布函数、概率密度函数的概念及性质；掌握由概率分布计算相关事件的概率的方法3. 熟练掌握二项分布、泊松（Poisson ）分布、正态分布、指数分布和均匀分布，特别是正态分布的性质并能灵活运用；熟练掌握伯努利概型概率的计算方法4. 熟练掌握一些简单的随机变量函数的概率分布的求法 重点与难点：1. 重点：随机变量、分布律、密度函数和分布函数的概念；二项分布、均匀分布的概念和性质2. 难点：二项分布的推导及应用；随机变量函数的概率分布第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布3.4 相互独立的随机变量3.5 两个随机变量的函数的分布 基本要求：1. 正确理解二维随机变量的定义，掌握二维随机变量的联合分布律、联合分布函数、联合概率密度函数及条件分布的概念2. 熟练掌握由联合分布求事件的概率，求边缘分布及条件分布的基本方法3. 理解随机变量独立性的概念，掌握随机变量独立性的判别方法4. 了解求二维随机变量函数分布的基本思路，会求,max{,},min{,}X Y X Y X Y 的分布 重点与难点：1. 重点：由联合分布求概率，求边缘分布及条件分布的方法2. 难点：求离散型随机变量联合分布律的方法，条件密度的导出，随机变量函数的分布第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 基本要求：1. 掌握随机变量及随机变量函数的数学期望的计算公式，熟悉数学期望的性质并能灵活运用2. 掌握方差的概念和性质；熟悉二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布和均匀分布的数学期望和方差；了解切比雪夫（Chebyshev ）不等式3. 掌握协方差和相关系数的定义和性质，并会灵活应用4. 掌握矩、协方差矩阵的定义 重点与难点：1. 重点：数学期望、方差、相关系数与协方差的计算公式及性质2. 难点：随机变量函数的数学期望的计算，利用数学期望的性质计算数学期望，相关系数的含义第五章大数定律及中心极限定理5.1 大数定律5.2 中心极限定理基本要求：1. 掌握依概率收敛的概念及贝努利大数定律和契比雪夫大数定律2. 掌握独立同分布的中心极限定理和德莫佛－拉普拉斯(De Moivre-Laplace)极限定理3. 掌握应用中心极限定理计算有关事件的概率近似值的方法重点与难点：1. 重点：用中心极限定理计算概率的近似值的方法2. 难点：依概率收敛的概念第六章样本及抽样分布6.1 随机样本6.2 抽样分布基本要求：1. 理解总体、个体、样本容量、简单随机样本以及样本观察值的概念2. 理解统计量的概念；熟悉数理统计中最常用的统计量（如样本均值、样本方差）的计算方法及其分布χ-分布，t-分布，F-分布的定义并会查表计算3. 掌握24. 熟悉正态总体的某些常用统计量的分布并能运用这些统计量进行计算重点与难点：χ-分布, t-分布, F-分布的定义与分位点的查表；正态总体常用统计量的分布1. 重点：2χ-分布, t-分布, F-分布的定义与分位点的查表2. 难点：2第七章参数估计7.1 点估计7.3 估计量的评选标准7.4 区间估计7.5 正态总体均值与方差的区间估计7.7 单侧置信区间基本要求：1. 理解参数的点估计(矩估计、最大似然估计)的计算方法2. 掌握参数点估计的评选标准：无偏性，有效性和相合性3. 理解参数的区间估计的概念，熟悉对单个正态总体和两个正态总体的均值与方差进行区间估计的方法及步骤重点与难点：1. 重点：点估计的矩法、最大似然估计法；正态总体参数的区间估计2. 难点：最大似然估计法，两个正态总体的参数的区间估计四、课程内容与学时分配五、教材参考书教材：盛骤谢式千潘承毅《概率论与数理统计》（第三版）高等教育出版社2001. 参考书：[1] 茆诗松《概率论与数理统计教程》（第一版）高教出版社2004.[2] 王展青李寿贵《概率论与数理统计》（第一版）科学出版社2000.六、教学方式和考核方式1.教学方式：以课堂讲授为主，辅以答疑、课后作业。
专题八 概率与统计 第二讲 概率,随机变量及分布列——2023届高考数学二轮复习重点练(含解析)
专题八 概率与统计 第二讲 概率，随机变量及分布列1.为了援助湖北抗击疫情,全国各地的白衣天使走上战场的第一线,他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机,编号分别为1,2,3,4,5,6,同时到达武汉天河飞机场,每五分钟降落一架,其中1号与6号相邻降落的概率为( ) A.112B.16C.15D.132.一个不透明的袋子中装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0，1，2，3.现甲从中摸出1个球后放回，乙再从中摸出1个球，谁摸出的球上的数字大谁获胜，则甲、乙各摸一次球后，甲获胜且乙摸出的球上数字为偶数的概率为( ) A.14B.13C.49D.3163.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A.110B.15C.310D.254.某次战役中，狙击手A 受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A 至多射击2次，则他能击落敌机的概率为( ) A.0.23B.0.2C.0.16D.0.15.设两个相互独立事件A ，B 都不发生的概率为19，则A 与B 都发生的概率的取值范围是( )A.80,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.15,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.28,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.40,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.一个旅行团到漳州旅游，有百花村与云洞岩两个景点可选择，该旅行团选择去哪个景点相互独立.若旅行团选择两个景点都去的概率是49，只去百花村不去云洞岩与只去云洞岩不去百花村的概率相等，则旅行团选择去百花村的概率是( ) A.23B.13C.49D.197.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师各自分别将活动通知的信息独立且随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为( )A.25B.1225C.1625D.458.（多选）从甲袋中摸出1个红球的概率是13，从乙袋中摸出1个红球的概率是12.从甲袋、乙袋各摸出1个球，则下列结论正确的是( )A.2个球都是红球的概率为16B.2个球不都是红球的概率为13C.至少有1个红球的概率为23D.2个球中恰有1个红球的概率为129. （多选）在4件产品中,有一等品2件,二等品1件(一等品与二等品都是正品),次品1件,现从中任取2件,则下列说法正确的是( )A.两件都是一等品的概率是13B.两件中有1件是次品的概率是12C.两件都是正品的概率是13D.两件中至少有1件是一等品的概率是5610. （多选）在一次随机试验中，A,B,C,D是彼此互斥的事件，且A B C D+++是必然事件，则下列说法正确的是( )A.A B+与C是互斥事件，也是对立事件B.B+C与D是互斥事件，但不是对立事件C.A C+与B D+是互斥事件，但不是对立事件D.A与B C D++是互斥事件，也是对立事件11.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为__________.12.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.13.从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为_____________.14.一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率.(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求2n m<+的概率..假定甲、乙两位同学15.设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为23到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.答案以及解析1.答案：D解析：6架飞机的降落顺序有66A 种,而1号与6号相邻降落的顺序有2525A A 种,所以所求事件的概率252566A A 1A 3P ==.故选D.2.答案：A解析：甲、乙各摸一次球，有可能的结果有4416⨯=（种），甲摸的数字在前，乙摸的数字在后，则甲获胜的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种. 其中甲、乙各摸一次球后，甲获胜且乙摸出的球上数字为偶数有4种，则所求概率41164P ==. 3.答案：D解析：先后有放回地抽取2张卡片的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25种.其中满足条件的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10种情况.因此所求的概率102255P ==.故选D. 4.答案：A解析：A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A 射击1次就击落敌机，则他击中了敌机的机尾，概率为0.1；若A 射击2次就击落敌机，则他2次都击中了敌机的机首，概率为0.20.20.04⨯=或者第1次没有击中机尾且第2次击中了机尾，概率为0.90.10.09⨯=，因此若A 至多射击2次，则他能击落敌机的概率为0.10.040.090.23++=.故选A. 5.答案：D解析：设事件A ，B 发生的概率分别为()P A x =，()P B y =，则1()()()(1)(1)9P AB P A P B x y ==-⋅-=，即11199xy x y +=++≥+x y =时取“=”，211)9∴≥23≤43（舍去），409xy ∴≤≤.4()()()0,9P AB P A P B xy ⎡⎤∴==∈⎢⎥⎣⎦.6.答案：A解析：用事件A 表示“旅行团选择去百花村”，事件B 表示“旅行团选择去云洞岩”，A ，B 相互独立，则4()9P AB =，()()P AB P AB =.设()P A x =，()P B y =，则4,9(1)(1),xy x y x y ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩解得2,323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍去），故旅行团选择去百花村的概率是23.故选A.7.答案：C解析：设“甲同学收到李老师的信息”为事件A ，“收到张老师的信息”为事件B ，A ，B 相互独立，42()()105P A P B ===，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-⨯=.故选C. 8.答案：ACD解析：设“从甲袋中摸出1个红球”为事件1A ，“从乙袋中摸出1个红球为事件2A ，则()113P A =，()212P A =，且1A ，2A 独立.对于A 选项，2个球都是红球为12A A ，其概率为111326⨯=，故A 正确；对于B 选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为15166-=，故B 错误；对于C 选项，2个球中至少有1个红球的概率为()()1221211323P A P A -=-⨯=，故C 正确；对于D 选项，2个球中恰有1个红球的概率为1121132322⨯+⨯=，故D 正确.故选ACD. 9.答案：BD解析：由题意设一等品编号为a ,b ，二等品编号为c ，次品编号为d ，从中任取2件的基本情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，(,)c d ，共6种. 对于A ，两件都是一等品的基本情况有(,)a b ，共1种，故两件都是一等品的概率116P =，故A 错误； 对于B ，两件中有1件是次品的基本情况有(,)a d ，(,)b d ，(,)c d ，共3种，故两件中有1件是次品的概率23162P ==，故B 正确；对于C ，两件都是正品的基本情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)b c ，共3种，故两件都是正品的概率33162P ==，故C 错误；对于D ，两件中至少有1件是一等品的基本情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，共5种，故两件中至少有1件是一等品的概率456P =，故D 正确. 10.答案：BD解析：由于A ,B ,C ,D 彼此互斥，且A B C D +++是必然事件，故事件的关系如图所示.由图可知，任何一个事件与其余三个事件的和事件互为对立，任何两个事件的和事件与其余两个事件中任何一个是互斥事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件互为对立，故B,D 中的说法正确.11.答案：35解析：设此队员每次罚球的命中率为p ，则216125p -=，所以35p =. 12.答案：16；23解析：甲，乙两球都落入盒子的概率为111236⨯=.方法一：甲、乙两球至少有一个落入盒子的情形包括：①甲落入、乙未落入的概率为121233⨯=；②甲未落入，乙落入的概率为111236⨯=；③甲，乙均落入的概率为111236⨯=.所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为11123663++=.方法二：甲，乙两球均未落入盒子的概率为121233⨯=，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为12133-=.13.答案：23解析：从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，有{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}，共6种结果；其中甲、乙两人中有且只有一人被选取，有甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，共4种结果. 故甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为4263=. 14.答案：(1)13. (2)概率为1316. 解析：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的样本点有：1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个.从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2，1和3，共2个， 因此所求事件的概率为2163P ==.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为m ， 试验的样本空间{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),Ω=(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}，共16个样本点.又满足条件2n m ≥+的样本点有：(1,3),(1,4),(2,4)，共3个. 所以满足条件2n m ≥+的事件的概率为1316P =，故满足条件2n m <+的事件的概率为1313111616P -=-=. 15.答案：（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概均为23，故2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而3321()C ,0,1,2,333kkk P X k k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以随机变量X的分布列为随机变量X 的数学期望2()323E X =⨯=.（2）设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y ，则2~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，且{3,1}{2,0}M X Y X Y ===⋃==.由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，且事件{3}X =与{}1Y =，事件{}2X =与{}0Y =均相互独立，从而由（1）知()P M =({3,1}{2,0})(3,1)(2,P X Y X Y P X Y P X ==⋃=====+=8240)(3)(1)(2)(0)2799Y P X P Y P X P Y ====+===⨯+⨯12027243=.。
概率论与数理统计课件第章节
五、二维连续型随机变量
设二维随机变量 (X,Y) 旳分布函数为 F(x,y)，假如存在非负旳
函数
f
(x,y)
使对于任意
x,y
有：
F
(
x,
y)
y
x
f (u,v)dudv
则称(X,Y ) 是连续型旳二维随机变量。
称 f (x,y) 为随机变量 (X, Y ) 旳概率密度，或称为随机变量 X 和
2
0.010 0.005
求在X=1时Y旳条件分布律.
P{X=1}=0.045 P{Y=0⃒X=1}=0.030 ⁄ 0.045
0.004 0.001
P{Y 1|X 1} 0.010 / 0.045 P{Y 2|X 1} 0.005 / 0.045.
用表格形式表达为:
k
0
1
2
P{Y=k|X=1} 6/9 2/9 1/9
分布函数，也称为 X 和 Y 的联合分布函数.y
(x, y)
分布函数 F(x,y) 在 (x,y)处旳函数值就是: 随机
点 (X,Y ) 落在以点 (x,y) 为顶点且位于该点左下
x
方旳无穷矩形域内旳概率。如图所示.
2
下面利用分布函数来计 算 P{x1 X x2 , y1 Y y2 }
P{x1 X x2 , y1 Y y2 } F(x2 , y2 ) F(x1, y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 )
FX (x) P{ X x} P{ X x,Y } F(x, )
同理有： FY ( y) F (, y)
二、离散型 ( X ,Y ) 的边缘分布律
FX (x) F(x, )
pij, 又 FX ( x) P{ X xi }
概率论与数理统计考点归纳
以下是概率论与数理统计的一些常见考点归纳：
概率论：
1. 概率的基本概念：样本空间、事件、随机变量等。
2. 概率运算：并、交、差、补等运算规则。
3. 条件概率与独立性：条件概率的定义与计算、独立事件的判定与计算。
4. 随机变量：离散和连续随机变量的概念、概率质量函数（PMF）和概率密度函数（PDF）、期望、方差等。
5. 常见离散分布：伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
6. 常见连续分布：均匀分布、正态分布、指数分布等。
7. 两个随机变量的关系：协方差、相关系数等。
数理统计：
1. 抽样与抽样分布：简单随机抽样、抽样分布、中心极限定理等。
2. 参数估计：点估计和区间估计、最大似然估计、置信区间等。
3. 假设检验：假设检验的基本步骤、显著性水平、p值等。
4. 单样本参数检验：均值检验、比例检验等。
5. 两样本参数检验：两样本均值检验、两样本比例检验等。
6. 方差分析：单因素方差分析、多因素方差分析等。
7. 相关与回归分析：相关系数、简单线性回归模型等。
这只是概率论与数理统计的一些常见考点归纳，实际考试中可能还会涉及更多细分知识点。
在复习过程中，建议根据自己的学习进度和重点，深入学习和掌握这些知识点，并进行大量的练习题来加深理解和提高解题能力。
概率论课件1-3,武大
μ(G ) G的面积 P ( A) μ( S ) S的面积
b 0 2 sin d a π 2 b 2b . a aπ π 2
π
o
蒲丰投针试验的应用及意义
2b P ( A) aπ 根据频率的稳定性, 当投针试验次数n 很大时 , m 测出针与平行直线相交的次数 m , 则频率值 即可 n 作为 P ( A) 的近似值代入上式, 那么 2bn m 2b π . n aπ am
212 p 12 0.0000003 . 7
小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的 , 从而可 知接待时间是有规定的.
例3 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天是等可 能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少有2人生日相 同的概率.
解
64 个人生日各不相同的概率为
365 364 ( 365 64 1) p1 . 64 365
4.古典概型的基本模型之二:球放入杯子模型
(1)杯子容量无限 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.
3
3
3
3
4个球放到3个杯子的所有放法
3 3 3 3 34 种,
4 种 2
P ( AB ) P ( A B ) 1 P ( A B)
1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}.
333 2000 因为 333 334, 所以 P ( A) , 6 2000
2000 由于 250, 8
250 故得 P ( B ) . 2000
四、小结
最简单的随机现象 古典概型
概率论与数理统计(经管类)第一章
概率论与数理统计教材：《概率论与数理统计》（经管类）课程代码：4183柳金甫王义东主编武汉大学出版社本课程的重点章是第1、2、3、4、7、8章.（1）试题的难度可分为：易，中等偏易，中等偏难，难。
它们所占分数依次大致为：20分，40分，30分，10分。
（2）试题的题型有：选择题(10*2=20分)、填空题(15*2=30分)、计算题(2*8=16分)、综合题(2*12=24分)、应用题(1*10=10分)。
（3）在试题中，概率论和数理统计内容试题分数的分布大致是75分和25分.序言概率论是研究什么的？概率论——从数量上研究随机现象的统计规律性的科学。
数理统计——从应用角度研究处理随机性数据，建立有效的统计方法，进行统计推理。
目录第一章随机事件与概率(重点)第二章随机变量及其概率分布(重点)第三章多维随机变量及其概率分布(重点) 第四章随机变量的数字特征(重点)第五章大数定律及中心极限定理第六章统计量及其抽样分布第七章参数估计(重点)第八章假设检验(重点)第九章回归分析一、两个基本原理1、乘法原理（分段）如果某事件需经K步才能完成，做第一步有m1种方法，做第二部有m2种方法。
第K步需要m k中方法，那么完成这件事共有m1×m2×m k种方法。
2、加法原理（分类）如果某事件可以由K类不同途径之一去完成，第一类有m1种完成方法，第二类有m2种完成方法，第k类有m k种完成方法，那么事件共有m1+m2+m k种方法。
二、排列1、排列从n个不同元素中任取r（r≤n）个元素排成一列（考虑元素次序）称此为一个排列，此种排列的总数记为。
按乘法原理，取出第一个元素有n种取法，取出第二个元素有n-1种取法……取出第r个元素有n – r +1种取法，则有=n×（n-1）×…×（n-r+1）=当r = n时，则称为全排列，排列总数为= n！2、可重复排列从n个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续r次所得的排列称为可重复排列，此种排列总数共有n r个。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结一、概率的基本概念1.概率的定义：概率是描述事件发生可能性的数字，表示为一个介于0和1之间的数。
2.事件与样本空间：事件是可能发生的结果的集合，样本空间是所有可能结果的集合。
3.事件的运算：事件的运算包括并、交、差等，分别表示两个事件同时发生、至少一个事件发生、一个事件发生而另一个事件不发生等。
4.概率的性质：概率具有非负性、规范性、可列可加性等性质。
二、随机变量与概率分布1.随机变量的定义：随机变量是一个变量，它的值由随机事件决定。
2.离散随机变量：离散随机变量只能取有限或可数个值，其概率表示为离散概率分布函数。
3.连续随机变量：连续随机变量可以取任意实数值，其概率表示为概率密度函数。
4.分布函数：分布函数描述随机变量的概率分布情况，包括累积分布函数和概率质量函数。
三、常见概率分布1.离散分布：包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
2.连续分布：包括均匀分布、正态分布、指数分布、伽玛分布等。
正态分布在自然界和社会现象中广泛存在。
3.其他分布：包括卡方分布、指数分布、F分布、t分布等。
四、抽样与统计推断1.抽样：抽样是从总体中选择一部分个体进行实验或调查的方法，常用的抽样方法包括随机抽样、分层抽样、整群抽样等。
2.统计推断：通过从样本中获得的数据，对总体做出有关参数的推断。
包括点估计和区间估计两种方法。
3.假设检验：通过对样本数据的统计量进行计算，判断总体参数是否满足其中一种假设。
包括单样本假设检验、两样本假设检验、方差分析等。
五、回归分析与相关分析1.回归分析：研究两个或多个变量之间关系的统计方法，包括一元线性回归分析、多元线性回归分析等。
2.相关分析：研究两个变量之间相关性的统计方法，常用的相关系数包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
六、贝叶斯统计学1.贝叶斯定理：根据先验概率和条件概率，计算后验概率的统计方法。
2.贝叶斯推断：根据贝叶斯定理以及样本数据，推断参数的后验分布。
《概率论与数理统计》(武汉大学_齐民友版)课后答案
19、由条件知 P ( A B ) =
P( A)= P( B)
由独立性，有 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) =
1 1 ，从而得 P ( A ) = ，故 9 3 2 P ( A ) = 1− P ( A ) = 3 1− ( 1− P ) 4 = 80 81
20、设射手的命中率为 P，则由题意得：
1 1 4 2 1 1 πa 2 + a 2 π +2 4 2 = P( A)= 1 2π πa 2 2 13、设两艘船到达的时刻分别是 x 和 y ，则样本空间为 Ω = {( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24 , 0 ≤ y ≤ 24 }
由实际意义可知这是一个几何概型问题，且有一艘需等待一段时间的事件 A 为 A = {( x , y ) | −2 ≤ x − y ≤ 1 , ( x , y ) ∈ Ω } 1 因 Ω 的面积 S Ω = 24 2 ，A 的面积 S A = 24 2 − ( 23 2 + 22 2 ) ，故所求概率为 2 SA = 0.121 P( A)= SΩ 14、不妨设是单位圆，三点 A、B、C 将单位圆周分成 x , y , 2 π − x − y 三段，于是样本空 间Ω 为
2 ax − x 2 }
由条件知这是一个几何概型问题且原点和该点的连线与 0 x 轴的夹角小于
A = {( x , y ) | 0 < y < 1 2 2 ax − x 2 , y < x }
பைடு நூலகம்
π
4
的事件 A 为
Ω 的面积 S Ω = πa 2 ，A 的面积 S A = πa 2 + a 2 ，故所求概率为
第 1 章习题解案
概率论与数理统计(魏宗舒版)答案完整版
1.11 任取一个正数，求下列事件的概率： (1)该数的平方的末位数字是 1； (2)该数的四次方的末位数字是 1； (3)该数的立方的最后两位数字都是 1； 1 解 (1) 答案为 。 5 (2)当该数的末位数是 1、3、7、9 之一时，其四次方的末位数是 1，所以答 4 2 案为 = 10 5 (3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样 本空间包含 10 2 个样本点。用事件 A 表示“该数的立方的最后两位数字都是 1” ， 则该数的最后一位数字必须是 1，设最后第二位数字为 a ，则该数的立方的最后 两位数字为 1 和 3 a 的个位数，要使 3 a 的个位数是 1，必须 a = 7 ，因此 A 所包 含的样本点只有 71 这一点，于是 。 1.12 一个人把 6 根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人 把 6 个头两两相接，6 个尾也两两相接。求放开手以后 6 根草恰好连成一个环的 概率。并把上述结果推广到 2n 根草的情形。 解 (1)6 根草的情形。取定一个头，它可以与其它的 5 个头之一相接，再取 另一头，它又可以与其它未接过的 3 个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故
− n ≤ m ≤ N −1
(3) 指 定 的 m 个 盒 中 正 好 有 j 个 球 的 概 率 为
m + j − 1 N − m + n − j − 1 m −1 n− j N + n − 1 n
，
1 ≤ m ≤ N ,0 ≤ j ≤ N .
对头而言有 5 ⋅ 3 ⋅ 1 种接法，同样对尾也有 5 ⋅ 3 ⋅ 1 种接法，所以样本点总数为 用 A 表示 “6 根草恰好连成一个环” ， 这种连接， 对头而言仍有 5 ⋅ 3 ⋅ 1 种 (5 ⋅ 3 ⋅ 1) 2 。 连接法， 而对尾而言， 任取一尾， 它只能和未与它的头连接的另 4 根草的尾连接。 再取另一尾， 它只能和未与它的头连接的另 2 根草的尾连接，最后再将其余的尾 连接成环，故尾的连接法为 4 ⋅ 2 。所以 A 包含的样本点数为 (5 ⋅ 3 ⋅ 1)(4 ⋅ 2) ，于是
武大数院培养方案
武汉大学数学与统计学院本科生培养方案2010年数学与统计学院简介（School of Mathematics and Statistics）数学与统计学院是武汉大学历史最悠久的单位之一。
1893年武汉大学前身自强学堂创办时就有“算术门”。
1913年组建武昌高等师范学校后一年成立了数学物理部。
1922年由当时的四部改为八系时定名为数学系。
1998年3月改名为数学科学学院，1999年4月改名为数学与计算机科学学院，2001年元月，四校合并后的新武汉大学将原四校数学相关学科合并重组成立了武汉大学数学与统计学院。
该院现设基础数学系、应用数学系、信息与计算科学系、概率与统计科学系及数学研究所等教学科研机构。
现有3个本科专业：数学与应用数学、信息与计算科学、统计学，并设有国家理科基础科学研究与教学人才培养基地数学基地班。
该院拥有国家数学一级学科博士点。
6个二级学科具有博士和硕士学位授予权：基础数学、概率统计、应用数学、计算数学、运筹学与控制论。
现有教师114人，其中教授36人（博导28人），副教授52人。
一百多年来，陈建功、肖君绛、李华宗、汤澡真、吴大任等一批知名数学家曾在此从事教学和科研工作。
曾昭安、李国平、张远达、余家荣、路见可、齐民友等著名数学家长期在该院工作，为该院的建设和发展作出了重要贡献。
在良好的育人环境中，经过几代人的不懈努力，培养出了一大批国内外知名数学家和数学人才，其中包括丁夏畦、王梓坤、陈希孺、沈绪榜、张明高等中国科学院院士和中国工程院院士。
该院教师在偏微分方程、多复分析及复几何、函数论、泛函分析、微分几何与几何分析、代数几何、动力系统、数论与密码、调和分析与小波理论、偏微分方程数值解、数值代数、最优控制、最优化理论、随机分析、大偏差理论、金融数学、生物信息学等领域开展了大量的教学科研工作，取得了丰硕的成果。
数学与统计学院国家理科基础科学研究与教学人才培养基地（数学基地班）本科人才培养方案一、专业代码：0701 专业名称：数学基地班（Mathematics）二、专业培养目标本专业培养掌握数学科学的基本理论与基本方法，具备运用数学知识、使用计算机解决实际问题的能力，受到科学研究的初步训练，能在科技、教育和经济部门从事研究、教学工作或在生产经营及管理部门从事实际应用、开发研究和管理工作的高级专门人才。
概率与统计基本知识点总结
概率与统计基本知识点总结1.概率理论：概率的定义：概率是描述随机事件发生可能性的数值，通常用介于0和1之间的数表示。
概率的基本性质：概率值在0到1之间，且所有可能事件的概率之和为1事件的独立性：两个或多个事件相互独立，意味着一个事件的发生不受其他事件发生与否的影响。
加法法则：若A和B是两个事件，则它们联合发生的概率等于它们各自发生的概率之和减去它们同时发生的概率。
乘法法则：对于两个独立事件A和B，它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积。
条件概率：事件A在事件B发生的条件下发生的概率，表示为P(A，B)。
贝叶斯定理：根据已知的条件概率，求解另一个条件概率的计算公式。
2.随机变量与概率分布：随机变量：将随机事件的结果映射到实数上的变量。
离散型随机变量：取有限个或可数个值的随机变量。
连续型随机变量：取任意实数值的随机变量。
概率分布：描述随机变量取各个值的概率的函数。
离散型概率分布：包括离散均匀分布、二项分布、泊松分布等。
连续型概率分布：包括连续均匀分布、正态分布、指数分布等。
期望：随机变量的平均值，反映其分布的中心位置。
方差：随机变量偏离其均值的程度，反映其分布的离散程度。
3.统计推断：总体与样本：总体是指研究对象的全体，样本是从总体中抽取的一部分个体。
参数与统计量：总体的数值特征称为参数，样本的数值特征称为统计量。
抽样分布：样本统计量的概率分布。
中心极限定理：在一定条件下，样本容量足够大时，样本的均值近似服从正态分布。
置信区间：用样本统计量作为总体参数的估计范围。
假设检验：通过对样本数据的分析，判断总体参数是否满足其中一种假设。
武汉大学《数理统计》2022-2023学年期末试卷
武汉大学《数理统计》2022—2023学年第一学期期末试卷一、单项选择题1、设总体X~E(λ)，则λ的矩估计和极大似然估计分别为（）A、B、C、D、2、极大似然估计必然是（ ）。
A、相合估计 B、似然函数的极值点C、似然方程的根 D、无偏估计3、设总体为来自该总体的样本，为样本均值，为样本方差，则的极大似然估计为A、B、sC、D、s24、设X1,X2…X20，是来自总体N（μ,σ2）的样本，则统计量_____为σ2的无偏估计量。
（）A、B、C、D、5、设随机变量 X的概率密度函数是，则 a=（）A.0.5B.1C.2D.ln26、A、 B C D7、设随机变量 X与 Y相互独立，则 P{X=-2|Y=1}=（）A.0.25B.0.3C.0.4D.0.58、A.1/4B.1/2C.2D.49、设二维连续型随机变量（X,Y）的分布函数是?X,Y)，则有X> 1,Y≤2} =（）A.(1,2)B.(1,2)C. (1,+∞)−?(1,2)D.(+∞,2)−?(1,2)10、已知随机变量 X～N(-2,2)，则下列随机变量中，服从 N(0,1)分布的是（）A、 B、 C、D、二、填空题（总分30分）1、总体X ～N(μ,σ2)，则11+μ的极大似然估计值为________2、设总体X 的概率密度为其中为未知参数，x1,x2,…,xn 为来自X 的样本，则的矩估计= _____。
3、设总体X 的分布律为其中p 为未知参数，0＜p ＜1，设为来自该总体的样本，为样本均值，则p 的矩估计______.4、设总体X 的概率密度为f(x;),其中为未知数，且， x 1，x 2，…，x n 为来自总体X 的一个样本, 为样本均值.若为的无偏估计,则常数c=______.5、假设总体X 服从参数为的泊松分布，X 1，X 2，…，X n 是来自总体X 的简单随机样本，其均值为，样本方差S 2＝。
已知为的无偏估计，则=______.6、7、设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=，则X 的边缘概率密度f x (x)= ________________．8、设随机变量(X,Y)服从区域D 上的均匀分布，其中区域D 是直线y=x ，x=1和x 轴所围成的三角形区域，则(X,Y)的概率密度f(x,y)= ________________．9、设某个假设检验的拒绝域为W ，当原假设H 0成立时，样本(x 1，⎩⎨⎧≤≤≤≤其他2y 0,1x 0xyx 2，…，x n )落入W 的概率是0.1，则犯第一类错误的概率为________.10、已知一元线性回归方程为________.三、综合题（总分40分）1、设总体X 的概率密度其中未知参数θ>-1,x 1,x 2…,x n 是来自该总体的一个样本，求参数θ的矩估计和极大似然估计.2、设总体X 服从指数分布，概率密度（1）求λ的矩估计；（2）求λ的极大似然估计。
概率统计与随机过程自我概念
概率统计与随机过程自我概念概率统计是一门研究随机事件的概率分布和统计规律的学科，广泛应用于各个领域，如工程、医学、经济等。
而随机过程是一种随机变量或随机事件随时间变化的数学模型，它描述了在给定时间段内随机变量的演化。
概率统计的基本概念包括概率、随机变量和概率分布。
概率是事件发生的可能性的度量，通常用一个介于0和1之间的数表示。
概率的计算可以通过概率空间、古典概型或统计概率等方法进行。
随机变量是对随机事件的数值化描述，它可以是连续的（如时间、长度）或离散的（如投硬币的结果）。
概率分布则描述了随机变量各个取值的可能性。
常见的概率分布包括离散分布和连续分布。
离散分布是指随机变量只能取有限个或可数个取值的情况，例如二项分布、泊松分布等。
连续分布是指随机变量可以取任何实数值的情况，例如正态分布、指数分布等。
概率分布的性质可以通过期望、方差、协方差等统计量进行描述。
概率统计的核心内容还包括随机变量的概率分布函数和密度函数、随机变量的数学期望和方差、大数定律和中心极限定理等。
其中，概率密度函数描述了连续随机变量的概率分布，概率分布函数描述了离散随机变量的概率分布。
数学期望是对随机变量期望值的度量，方差是对随机变量取值的离散程度的度量。
随机过程是一种随机变量或随机事件随时间变化的数学模型。
它的核心概念是状态空间和状态转移概率。
状态空间是指随机过程可能处于的各个状态的集合，状态转移概率描述了随机过程从一个状态转移到另一个状态的概率。
常见的随机过程包括马尔可夫链、泊松过程和布朗运动等。
马尔可夫链是一种具有马尔可夫性质的随机过程，即未来状态的概率只与当前状态相关，与过去状态无关。
它的重要性质包括平稳分布、转移概率矩阵和遍历性等。
泊松过程描述了光滑的状态变化，它的重要特征是独立增量和稀疏性。
布朗运动是一种连续时间连续状态的随机过程，它的特征是平稳增量和高度不连续性。
概率统计与随机过程的应用非常广泛。
在工程领域，概率统计可以用于可靠性分析、风险评估和优化设计等方面。