专题04 椭圆知识点和常见题型(原卷版)
椭圆知识点及经典例题汇总
椭圆知识点
知识要点小结： 知识点一：椭圆的定义
平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常)2(2121
F F a PF PF >=+ ,这个动
点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121
F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121
F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.
知识点二：椭圆的标准方程
1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b
y a x )0(>>b a ，其中2
22b a c -=
2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b
x a y )0(>>b a ，其中2
22b a c -=；
3.椭圆的参数方程)(sin cos 为参数ϕϕ
ϕ
⎩⎨
⎧==b y a x
注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；
2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2
2
2
b a
c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上.
当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c -
知识点三：椭圆的简单几何性质
椭圆：122
22=+b
y a x )0(>>b a 的简单几何性质
（1）对称性：对于椭圆标准方程122
22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、
椭圆--04教
考点一：椭圆的定义 考点二：椭圆的标准方程 考点三 椭圆的几何性质 考点四 椭圆的综合问题
1、定义法
（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法
因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法
解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：
（1）)0(122
22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02
椭圆知识点以及题型总结
椭圆知识点以及题型总结
一、椭圆的定义与基本性质
椭圆是平面上到定点F1与F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。其中的定点F1和
F2称为焦点，常数2a称为长轴的长度。椭圆还有一个重要的参数e，称为离心率，定义
为e=c/a，其中c是焦点与中心之间的距离。
椭圆是一个非常重要的几何图形，它有许多独特的性质，需要我们逐一来了解。
1. 椭圆的标准方程
椭圆的标准方程一般可以表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(a>b)。其中(h,k)是椭圆的中
心坐标。
2. 椭圆的焦半径和半短轴
椭圆的焦半径是指从焦点到椭圆上任意一点的线段，它的长度等于椭圆的长半轴的长度a。而椭圆的半短轴的长度等于b。
3. 相邻两焦点和任意一点的距离之和
椭圆上任意一点P到椭圆的两个焦点的距离之和等于2a。即PF1+PF2=2a。
4. 椭圆的离心率
椭圆的离心率e定义为e=c/a，其中c是焦点与中心之间的距离，a是长半轴的长度。离
心率是描述椭圆形状的一个重要参数，它的取值范围为0<e<1。
5. 椭圆的参数方程
椭圆还可以用参数方程来表示，一般可以表示为x=h+a*cosθ，y=k+b*sinθ。其中θ的取
值范围一般为0≤θ≤2π。
二、常见椭圆的题型及解题方法
1. 椭圆的焦半径与半短轴的关系题
这类题目一般给定椭圆的长半轴的长度a和离心率e，要求求出椭圆的焦半径和半短轴的
长度。
解题方法:
根据离心率e=c/a，可以求出焦点与中心之间的距离c，然后根据椭圆的焦点与半短轴之
间的关系，可以求出半短轴的长度b。
2. 椭圆的标准方程题
高中数学_椭圆,知识题型总结
陈氏优学
教学课题
椭圆
知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点
、
的距离之和等于常数(
)，这个动
点
的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
注意：若，则动点的轨迹为线段；
若
，则动点
的轨迹无图形.
讲练结合一.椭圆的定义
1．若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是 知识点二：椭圆的标准方程
1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
注意：
1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；
2．在椭圆的两种标准方程中，都有
和
；
3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，
；当焦点在
轴上时，椭圆的焦点坐标为
，
。
讲练结合二．利用标准方程确定参数
1．椭圆22
14x y m
+
=的焦距为2，则m = 。 2．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。
知识点三：椭圆的简单几何性质
椭圆的的简单几何性质
（1）对称性
对于椭圆标准方程，把x 换成―x ，或把y 换成―y ，或把x 、y 同时换成―x 、―y ，方
程都不变，所以椭圆是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的
中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围
椭圆上所有的点都位于直线x=±a 和y=±b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a ，|y|≤b 。
（3）顶点
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），
椭圆基本知识点与题型总结
椭圆知识点
知识点一：椭圆的定义
平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；
若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.
知识点二：椭圆的简单几何性质
标准方程
122
22=+b
y a x )0(>>b a 122
22=+b
x a y )
0(>>b a 图形
性质
焦点、焦距)0,(1c F -，)0,(2c F ，c
F F 221=),0(1c F -，),0(2c F c
F F 22
1=范围a x ≤，b y ≤b x ≤，a
y ≤顶点
)0,(a ±，),0(b ±),0(a ±，)
0,(b ±对称性
关于x 轴、y 轴,轴对称，关于原点中心对称
轴长长轴长=a 2，短轴长=b
2离心率
()10122
<<-==e a
b a
c e e 越小,椭圆越圆；e 越大,椭圆越扁
通径
过焦点且垂直于长轴的弦,其长a
b 22（通径为最短的焦点弦）
准线方程
c
a x 2
±
=c
a y 2
±
=
焦半径
01ex a PF +=,02ex a PF -=01ey a PF +=，02ey a PF -=1.椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义2
22c b a +=（见右图）
2.椭圆的一般方程：22Ax By C +=()B A C B A 0ABC ≠≠同号，，，，且
3.椭圆的参数方程：{
椭圆 知识点和题型
椭圆的方程
要点一、椭圆的定义
平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(21212F F a PF PF >=+)，
这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
要点诠释：
若1212PF PF F F +=，则动点P 的轨迹为线段12F F ； 若1212PF PF F F +<，则动点P 的轨迹无图形. 要点二、椭圆的标准方程
椭圆的标准方程：
1.当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b
y a x )0(>>b a ，其中2
22b a c -=；
2.当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b
x a y )0(>>b a ，其中2
22b a c -=；
要点诠释：
1.这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；
2.在椭圆的两种标准方程中，都有0a b >>和2
2
2
b a
c -=；
3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为(,0)c ，(,0)c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,)c ，(0,)c -；
4. 在两种标准方程中，∵a 2＞b 2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.
要点三、求椭圆的标准方程
求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：
（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a,b ，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：221(,0m n)mx ny m n +=>≠且.
椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)
（一）椭圆的定义：
1、椭圆的定义：平面与两个定点
F i 、F 2的距离之和等于定长（大于 IRF 2I ）的点的轨
迹叫做椭圆。这两个定点 F i 、F 2叫做椭圆的 焦点，两焦点的距离 厅汀2|叫做椭圆的 焦距。
对椭圆定义的几点说明：
（1） “在平面”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2） “两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点” ，学习时注意区分；
（3） 作为到这两个定点的距离的和的 “常数”，必须满足大于| F i F 2|这个条件。若不然， 当这个“常数”等于| F i F 2|时，我们得到的是线段 F 1F 2；当这个“常数”小于| F i F 2|时，无 轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。
（4） 下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个 对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为 A i , A 2, B i , B 2，于是我们易得| A i A 2|
的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F i |、|B i F 2|+|B i F i |也等于那个“常数”。同学们想一想 其中的道
理。
（5）中心在原点、焦点分别在 x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：
2 2 2 2
i （a b 0）,
77
i （a b 0）,
a b
a b
2 2 2
相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0
， a c b 。
不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同， 它们的焦点坐标也不同
椭圆及其性质知识点题型总结
椭圆及其性质知识点题型总结
研究必备精品知识点——椭圆
椭圆是平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长2a
（2a＞F1F2）的动点P的轨迹，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a}，其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。另一种定
义是平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1
的正常数的点的轨迹，即点集M={P|PF/e< d}，其中e为离心
率（e=1为抛物线；e＞1为双曲线；e＜1为椭圆）。利用第二定义，可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点，定直线为准线。
椭圆有两种标准方程：（1）焦点在x轴上，中心在原点：x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）；焦点F1（-c，0），F2（c，0）。
其中c²=a²-b²（一个直角三角形）；（2）焦点在y轴上，中心
在原点：x²/b²+y²/a²=1（a＞b＞0）；焦点F1（0，-c），F2（0，c）。其中c²=a²-b²。注意：①在两种标准方程中，总有a＞b
＞0，c²=a²-b²并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可
用一般形式表示：Ax²+By²=1（A＞0，B＞0，A≠B），当A＜
B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上。
椭圆的参数方程是：焦点在x轴，x=acosθ，y=bsinθ。椭
圆的一般方程是：Ax+By=1（A＞0，B＞0）。
椭圆有以下性质：对于焦点在x轴上，中心在原点，
x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）有以下性质：①范围：|x|≤a，|y|≤b；
②对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O（0，0）；
044椭圆
椭圆
考纲要求
1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程，理解它的简单的几何性质.
考情分析
1.椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的重点，而直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点.
2.定义、标准方程和几何性质常以选择题、填空题的形式考查，而直线与椭圆位置关系以及与向量、方程、不等式等的综合题常以解答题的形式考查，属中、高档题目.
教学过程
基础梳理
一、椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之等于常数( |F1F2|)
的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的，两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的．
双基自测
1．(教材习题改编)椭圆
x2
10－m
＋
y2
m－2
＝1的焦距为4，则m等于
( ) A．4 B．8
C．4或8 D．12
2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该
椭圆的离心率是 ( )
A.
4
5
B.
3
5
C.
2
5
D.
1
5
3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，
离心率为
1
3
，则椭圆方程为 ( )
A.
x2
144
＋
y2
128
＝1 B.
x2
36
＋
y2
20
＝1
C.x2
32
＋
y2
36
＝1 D.
x2
36
＋
y2
32
＝1
4．(教材习题改编)已知椭圆x2
5
＋
y2
m
＝1的离心率e＝
10
5
，则m的值为________．
5．(教材习题改编)设P是椭圆x2
25
＋
y2
16
＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为
________．
1．椭圆的定义中若|F1F2|＝2a时动点的轨迹是线段F1F2，|F1F2|>2a时动点的轨迹是不存在的．
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习高中数学-椭圆常考题型汇总及练
第一部分：复运用的知识
一）椭圆几何性质
椭圆的第一定义是：平面内与两定点F1、F2距离和等于
常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。两个定点叫做椭圆
的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c）。椭圆的几何性质以x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1为例：范围由标准方程可知，椭
圆上点的坐标(x,y)都适合不等式2≤x^2/a^2 + y^2/b^2 ≤1，即abx≤a，y≤b。这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩
形里（封闭曲线）。该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题。
椭圆还有以下对称性：关于原点、x轴、y轴对称，坐标
轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。椭圆的顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b)。长轴为A1A2，长度为2a；短轴为B1B2，长度为2b。
椭圆的离心率e有以下几个性质：（1）椭圆焦距与长轴
的比e=c/a，其中c为焦距；（2）a^2=b^2+c^2，即a是长半
轴长，b是短半轴长；（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小
确定，与焦点所在的坐标轴无关。当e接近于1时，椭圆越扁；当e接近于0时，椭圆越接近圆。
椭圆还有通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）和焦点三角形等性质。
二）运用的知识点及公式
在解题过程中，我们需要掌握以下知识点和公式：
1、两条直线.
2、XXX定理：若一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个
不同的根x1,x2，则2bc/(a(x1+x2))=-1，x1+x2=-b/a。
专题四【椭圆】
1．椭圆双曲线的定义
1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝10，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M 的轨迹是( )
A．椭圆 B．不存在 C．圆 D．线段
2.已知椭圆＋＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点的距离为7，则m等于( )A．10 B．5 C．15 D．25 3．已知A(0，－5)、B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为( )
A．双曲线或一条直线 B．双曲线或两条直线
C．双曲线一支或一条直线 D．双曲线一支或一条射线
2．椭圆双曲线的方程
4.、求适合下列条件的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于8；
(2)两个焦点的坐标分别为(0，－4)，(0,4)，并且椭圆经过点(，－)．（3）求与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程．
5.已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过B且与圆A 内切，求圆心P的轨迹方程．
6.已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1、F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
3．离心率问题
6如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．
7. F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点
的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．
8. 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于
椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)
（一）椭圆的定义：
1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。
对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）；
（2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。
（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。
（5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：
22
22
2222x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b
+=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2
2
2
a c
b =+。
不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的
焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的
椭圆 知识点+例题 分类全面
点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为______________________．
答案 (1)y 220＋x 24＝1 (2)x 2＋3
2
y 2＝1
解析 (1)方法一 椭圆y 225＋x 2
9＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.
由椭圆的定义知，2a ＝3－0
2＋
－5＋42＋3－02＋－5－42，解得a ＝2 5.
由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.
∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 2
4＝1.
(2)设点B 的坐标为(x 0，y 0)． ∵x 2＋
y 2
b 2
＝1， ∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)． ∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)． ∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →
，
∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)． ∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 2
3.
∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b
2
3. 将B ⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 2
3代入x 2＋y
2
b
2＝1， 得b 2＝23
.
∴椭圆E 的方程为x 2＋3
2y 2＝1.
题型二：椭圆的几何性质
[例] (2014·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左，右
焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .
椭圆知识点与题型总结
椭圆知识点与题型总结
一、椭圆的定义和基本概念
1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。这两个点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴的长度。与椭圆的长轴垂直
的轴称为短轴，其长度为常数2b。
2. 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心
坐标，a为长轴长度的一半，b为短轴长度的一半。
3. 椭圆的离心率：椭圆的离心率e的定义为e=c/a，其中c为焦距的一半，a为长轴长度
的一半。离心率描述了椭圆形状的“圆”的程度，离心率越接近于0，椭圆越接近于圆。
4. 椭圆的几何性质：椭圆有关于焦点、直径、切线等方面的许多重要性质和定理，例如：
椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数2a、椭圆的切线与法线的交点、椭圆
的对称性等等。
二、椭圆的常见题型及解题方法
1. 椭圆的参数方程题型：求椭圆的参数方程，求参数方程表示的椭圆的离心率、焦点、中
心等。解题方法包括利用椭圆的定义，代入标准方程解参数等。
2. 椭圆的焦点、离心率题型：根据给定的椭圆的标准方程或参数方程，求椭圆的焦点坐标、离心率，或者给定椭圆的离心率和一个焦点，求椭圆的方程。解题方法包括根据离心率的
定义求解，利用椭圆的参数方程计算焦点坐标等。
3. 椭圆的性质题型：求椭圆的长轴、短轴长度，椭圆的离心角、焦点、直径，椭圆的法线、切线方程等。解题方法包括利用椭圆的定义、性质和以直径为坐标系的轴来简化计算等。
4. 椭圆的切线、法线题型：求椭圆在给定的一点上的切线、法线方程，或者求椭圆上一点
椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)
（一）椭圆的定义：
1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。
对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）；
（2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。
（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。
（5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：
22
22
2222
x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2
2
2
a c
b =+。
不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的
椭圆 知识点+例题+练习
教学内容椭圆
教学目标掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质．重点椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质
难点椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质
教学准备
教学过程
椭圆
知识梳理
1．椭圆的定义
(1)第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于
|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦
点的距离叫做焦距．
(2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常
数e(0<e<1)的动点的轨迹是椭圆，定点F叫做椭圆的焦点，定直线
l叫做焦点F相应的准线，根据椭圆的对称性，椭圆有两个焦点和
两条准线．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
x2
a2＋
y2
b2＝1
(a>b>0)
y2
a2＋
x2
b2＝1
(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对
称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
教
学
效
果
分
析
教学过程
考点二椭圆的几何性质
【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2
＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
规律方法(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点
三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．
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1、定义：平面内与两个定点 ， 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹称为椭圆．
即： 。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
2、椭圆的几何性质：
焦点的位置
焦点在 轴上
焦点在 轴上
图形
标准方程
范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
短轴的长 长轴的长
焦点
、
、
焦距
对称性
关于 轴、 轴、原点对称
(3)函数值域求解法，把所讨论的参数作为一个函数，选一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围；
(4)构造一个二次函数，利用判别式求解；
(5)利用不等式，若能将问题转化为“和为定值”或“积为定值”，则可以用基本不等式求解；
例12．（定点问题）已知椭圆 的离心率为 ， 是椭圆 上的一点.
求曲线 的方程；
例4．已知 中，角 所对的边分别为 ，且 ，求点 的轨迹方程．
例5在圆 上任取一点 ，过 作 轴的垂线 ， 为垂足.当点 在圆上运动时，求线段 的中点 的轨迹方程.
题型三：求参数的范围
例6已知椭圆 的上下两个焦点分别为 ，过点 与 轴垂直的直线交椭圆 于 两点， 的面积为 ，椭圆 的离心率为 .
例14．已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 ， 分别为椭圆 的上，下顶点，过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于另一点 （异于椭圆的右顶点），交 轴于点 ，直线 与直线 相交于点 .求证：直线 的斜率为定值.
题型七：求离心率
例15已知椭圆 上有一点 ，它关于原点的对称点为 ，点 为椭圆的右焦点，且满足 ，设 ，且 ，求该椭圆的离心率 的取值范围．
例18椭圆 的中心在原点， 分别为左､右焦点， 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且 轴， ，求椭圆的离心率.
题型八：求面积
例19．已知椭圆的焦点在 轴上，长轴长为6，焦距为 ，设P为椭圆上的一点， ， 是该椭圆的两个焦点，若 ，求：
（1）椭圆的标准方程；
（2） 的面积．
.
例20．椭圆 的离心率为 ,且过其右焦点 与长轴垂直的直线被椭圆 截得的弦长为 .
（1）求 的方程；
（2）若直线 ： 与 相交于 ， 两点，求 ．
题型五：中点弦问题
例11设椭圆 的短轴长为4，离心率为 ．
设点 是直线 被椭圆所截得的线段 的中点，求直线 的方程．
[点评]关于中点弦问题，一般采用两种方法解决：
(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算.
(2)利用“点差法”求解，即若椭圆方程为 ＋ ＝1，直线与椭圆交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，且弦AB的中点为M(x0，y0)，则
题型四：直线与椭圆的位置关系
例7已知椭圆 ： （ ）的左，右焦点分别为 ， ，且经过点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若斜率为2的直线与椭圆 交于 ， 两点，且 ，求该直线的方程.
例8．已知 是椭圆 上的一动点.求 到直线 距离的最大值.
弦长问题
直线与圆锥曲Hale Waihona Puke Baidu相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方
（1）求椭圆 的方程；
（2）设点 是椭圆 的一个动点,直线 与椭圆 交于 两点,求 面积的最大值.
法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线 与圆锥曲线交于点 ， 时，则
= =
= =
题型四：弦长公式
例9．已知椭圆 的右焦点 ，且经过点 ，点 是 轴上的一点，过点 的直线 与椭圆 交于 两点（点 在 轴的上方）
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 ，且直线 与圆 相切于点 ，求 的长.
例10在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 ，记点 的轨迹为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作直线 与椭圆 交于不同两点 、 ， 点关于 轴的对称点为 ，问直线 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
例13（定值问题）已知直线 经过椭圆 的左顶点A和上顶点D，设椭圆C的右顶点为B.
（1）求椭圆C的标准方程和离心率e的值；
（2）设点S是椭圆上位于x轴上方的动点，求证：直线AS与BS的斜率的乘积为定值．
⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到 。
1.若 =0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；
当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。
②.若 ，设 。 . 时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。
b. 时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。c. 时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知 为坐标原点，直线 与 轴交于点 ，与椭圆 交于 两个不同的点，若存在实数 ，使得 ，求 的取值范围.
直线与圆锥曲线的位置关系
2.直线与圆锥曲线的位置关系：
⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
离心率
e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁
通径
过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b2/a
焦半径
公式
题型一：求椭圆的解析式
例1．求椭圆 的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标；
例2．求适合下列条件的椭圆标准方程：
（1）与椭圆 有相同的焦点，且经过点
（2）经过 两点
题型二：求轨迹
例3．在同一平面直角坐标系 中，圆 经过伸缩变换 后，得到曲线 .
例16：椭圆的两个焦点的坐标分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且椭圆经过点（ ，﹣ ）
（1）求椭圆标准方程．
（2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率．
例17：已知直线 与椭圆 恰有一个公共点 ， 与圆 相交于 两点.
（I）求 与 的关系式；
（II）点 与点 关于坐标原点 对称.若当 时， 的面积取到最大值 ，求椭圆的离心率.
由①－②得a2(y －y )＋b2(x －x )＝0，
∴ ＝－ · ＝－ · .
这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决．
题型六：定值问题
1．与圆锥曲线有关的最值和范围的讨论常用以下方法
(1)结合圆锥曲线的定义，利用图形中几何量之间的大小关系；
(2)不等式(组)求解法，根据题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)，得出参数的变化范围；