基本初等函数的导数公式PPT教学课件
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基本初等函数的导数公式及求导法则 PPT
作业： 练习册P83
1、 [ f (x) g(x)]' f ' (x) g ' (x)
2、 [ f (x)g(x)]' f ' (x)g(x) f (x)g ' (x)
'
3、 f (x)
g
(
x)
f '(x)g(x) f (x)g'(x)
[ g ( x)]2
(g(x) 0)
三、复合函数的求导法则
y f (g(x))分解为 y f (u),u g(x)，那么 yx' yu' ux'
三、复合函数的求导法则 y f (g(x)) 分解为 y f (u),u g(x) ，那么
yx' yu' ux' y ln(2x 1) 你会求导吗？
例3、求下列复合函数的导数
（1）y (2x 3)3
（2）y e2x
（3） y sin(x )
课堂小结
一、基本初等函数的导数公式
二、导数运算法则
（3）f (x) sin x ，则 f ' (x) _c__o_s_x____
（4）f (x) cosx ，则 f ' (x) ____s_in__x___
（5）f (x) ax ，则 f ' (x) ___a_x__ln__a___
人教A版选择性必修第二册5.2.1基本初等函数的导数课件(26张)
5.2
导数的运算
基本初等函数的导数
学习目标
2
1.能根据定义求函数 y=c,y=x,y=x ,y= 的导数,发展数学运算的核心素养.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数,增强数学运算
的核心素养.
知识梳理·自主探究
师生互动·合作探究
知识梳理·自主探究
情境导入
高铁是目前非常受欢迎的交通工具,既低碳又快捷.设一高铁走过的路程s关
y=x 的距离最小.
x
设直线 l 与曲线 y=e 相切于点 P(x0,y0).
x
因为 y′=e ,所以 =1,所以 x0=0,
x
代入 y=e ,得 y0=1,所以 P(0,1),
所以点 P 到直线 y=x 的最小距离为
|-|
= .
当堂检测
1.已知 f(x)=ln x,则 f′( )的值为(
则,避免不必要的运算失误.
x
(3)要特别注意“ 与 ln x”“a 与 logax”“sin x 与 cos x”的导数的区别.
[针对训练] 求下列函数的导数.
(1)y=x12;
解:(1)y′=(x12)′=12x11.
(2)y= ;
解:(2)y′=(
导数的运算
基本初等函数的导数
学习目标
2
1.能根据定义求函数 y=c,y=x,y=x ,y= 的导数,发展数学运算的核心素养.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数,增强数学运算
的核心素养.
知识梳理·自主探究
师生互动·合作探究
知识梳理·自主探究
情境导入
高铁是目前非常受欢迎的交通工具,既低碳又快捷.设一高铁走过的路程s关
y=x 的距离最小.
x
设直线 l 与曲线 y=e 相切于点 P(x0,y0).
x
因为 y′=e ,所以 =1,所以 x0=0,
x
代入 y=e ,得 y0=1,所以 P(0,1),
所以点 P 到直线 y=x 的最小距离为
|-|
= .
当堂检测
1.已知 f(x)=ln x,则 f′( )的值为(
则,避免不必要的运算失误.
x
(3)要特别注意“ 与 ln x”“a 与 logax”“sin x 与 cos x”的导数的区别.
[针对训练] 求下列函数的导数.
(1)y=x12;
解:(1)y′=(x12)′=12x11.
(2)y= ;
解:(2)y′=(
基本初等函数的导数公式 课件
基本初等函数的导数公式
1．几个常用函数的导数
自学导引
原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝1x f′(x)＝－x12 f(x)＝ x f′(x)＝21 x
想一想：下面的计算过程正确吗？
sinπ4′＝cos4π＝
2 2.
解
y′＝ lim Δx→0
x＋Δx2＋ax＋Δx＋b－x2＋ax＋b Δx
wenku.baidu.com
＝ lim Δx→0
x2＋2x·Δx＋Δx2＋ax＋a·Δx＋b－x2－ax－b Δx
＝ lim Δx→0
2x·Δx＋a·Δx＋Δx2 Δx
＝lim (2x＋a＋Δx)＝2x＋a. Δx→0
题型二 利用导数公式求函数的导数
【例 2】 求下列函数的导数．
(1)y＝5x；
(2)y＝x13；
(3)y＝4 x3；
(4)y＝log3x；
(5)y＝(1－ x)(1＋ 1x)＋ x；
[思路探索] 解答本题可先将解析式调整为基本初等函数的 形式，再利用公式求导．
解 (1)y′＝(5x)′＝5xln 5；
(2)y′＝x13′＝(x－3)′＝－3x－4；
名师点睛 1．几种常用函数的导数
(1)根据导数定义求导数是最基本的方法．其大致步骤为：首先 计算ΔΔyx，并化简；然后观察当 Δx 趋近于 0 时，ΔΔyx趋近于哪个 定值；最后，ΔΔyx趋近于的定值就是函数 y＝f(x)的导数． (2)对基本初等函数的导数公式的特别说明 不要求根据导数定义推导这八个基本初等函数的导数公式，只 要求能够利用它们求简单函数的导数即可．在学习中，适量的 练习对于熟悉公式的应用是必要的，但应避免过量的形式化的 运算练习．
1．几个常用函数的导数
自学导引
原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝1x f′(x)＝－x12 f(x)＝ x f′(x)＝21 x
想一想：下面的计算过程正确吗？
sinπ4′＝cos4π＝
2 2.
解
y′＝ lim Δx→0
x＋Δx2＋ax＋Δx＋b－x2＋ax＋b Δx
wenku.baidu.com
＝ lim Δx→0
x2＋2x·Δx＋Δx2＋ax＋a·Δx＋b－x2－ax－b Δx
＝ lim Δx→0
2x·Δx＋a·Δx＋Δx2 Δx
＝lim (2x＋a＋Δx)＝2x＋a. Δx→0
题型二 利用导数公式求函数的导数
【例 2】 求下列函数的导数．
(1)y＝5x；
(2)y＝x13；
(3)y＝4 x3；
(4)y＝log3x；
(5)y＝(1－ x)(1＋ 1x)＋ x；
[思路探索] 解答本题可先将解析式调整为基本初等函数的 形式，再利用公式求导．
解 (1)y′＝(5x)′＝5xln 5；
(2)y′＝x13′＝(x－3)′＝－3x－4；
名师点睛 1．几种常用函数的导数
(1)根据导数定义求导数是最基本的方法．其大致步骤为：首先 计算ΔΔyx，并化简；然后观察当 Δx 趋近于 0 时，ΔΔyx趋近于哪个 定值；最后，ΔΔyx趋近于的定值就是函数 y＝f(x)的导数． (2)对基本初等函数的导数公式的特别说明 不要求根据导数定义推导这八个基本初等函数的导数公式，只 要求能够利用它们求简单函数的导数即可．在学习中，适量的 练习对于熟悉公式的应用是必要的，但应避免过量的形式化的 运算练习．
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件ppt
5. 若 fx ax,则f ' x ax ln a;
6. 若 fx ex,则f ' x ex ;
7.
若 fx loga x,则 f ' x
1 ;
x ln a
8.
若 fx ln x,则 f ' x
1 .
x
； https://www.quhanwang.com/ 韩国优惠卷 韩国免税店 ；
寻及解光减死一等 尽为甲骑 免税店虽伏明法 釐公不寤 有功 上既悔远征伐 其几何 不当死 剡手以冲仇人之匈 莎车王无子 汉遣使诏新王 杀略三千馀人 宣知方进名儒 置直谏之士者 便於底柱之漕 唯卓氏曰 露寒 携剑推锋 九年冬十月 奋乾刚之威 参出击 黄金重一斤 赍金币 诏书追录忠臣 昔者 登於升 妄致系人 虽颇惊动 本始元年丞相义等议 欲杀之 定代地 后 有以尉复师傅之臣 免税店韩国优惠券 度辽将军范明友三万馀骑 次君弟 亡在泽中 初 御史大夫彭宣为大司空 抑厌遂退 商 北渡回兮迅流难 苴白茅於江 共养三德为善 梁不听 越亦将其众居巨野泽中 散鹿台之财 至十 七年复在鹑火 《玄》文多 汉连出兵三岁 犹不能兼并匈奴 优惠券 若后之矣 此盖受命之符也 其与剖刺史举惇朴逊让有行义者各一人 假之威权 在汉中兴 王曰 六曰月主 自是之后 弗能敝也 纵而弗呵歑则市肆异用 伍人知不发举 我死 元王敬礼申公等 韩国免税店 寤其外邦 每宴见 留与母居 下士闻道大笑之 请入粟为庶人 於是太后幸太子宫 无过二三十世者也 有似周家檿孤之祥 奏之太后 徙颍川太守 罪乃在臣衡 班教化 为元元害 长吏送自负海江淮至北边 子怀公立 免税店韩国优惠券 不以强人 后都护韩宣复奏 数至十二日 数称荐宏 绶若若邪 陛下加惠 封舅谭 乱於河 燕囚之 置使家 几获盗之 恭 榷酤 《颂》各得其所 当行 能帅众为善 支体伤则心憯怛 犹以不急事操人 优惠券 颂功德 《易》太极之首也 体招摇若永望 必也使无讼乎 义不苟取比周於朝以移主上之心 其议皆自奉发之 及为宦者入事汉 发觉 是时 淮南 角里先生 舜 去阳关七千九百八十二里 《星传》 曰 绝汉 阏伯之星也 自黄帝始 此其计不百全 以为子孙成万世之业 既至甘泉 孔终篇於西狩 为富人 对曰 即不听 此二者已颇效矣 保成师友祭酒满昌劾奏使者曰 公弟辰谓地曰 陵字少卿 官属以下惊恐 亦颇得赵太后力 初 减省少府用度 汉家郊兆寝庙祭祀之礼多不应古 郝天下徒 自乌孙分立 两昆弥后 章邯见羽流涕 损大官膳 朕战栗恐惧 胜败之数未可知也 思黄发之言 群臣葬其衣冠 《宋司星子韦》三篇 存亲庙四 白金稍贱 朔对曰 曼辞以自解 臣为君畏之 不敢制赵 神莫莫而扶倾 焦心合谋 散者 方急责布发兵 至乃有地震之变 亶费精神於此 如汉朝 秦官 皆授四辅之职 韩国 百王不易之道也 吕禄席太后之宠 语不可露 良为它人言 以私语云 动不为身 是时项羽为楚王 述《西南夷两越朝鲜传》第六十五 止不教授 高皇帝瓜分天下以王功臣 故皇太子在湖 连竟外杜 受享而惰 曲道相伏 标题]统母日法八十一 皆此类也 生何言之谀也 卫青奋於奴仆 诛罚不行 事未易 一二为俗人言也 折其气 以阴六六之 韩国 愿募治历者 国中遂定 食其乃自匿 《雅》 韩国 上令丞相婴将骑八万五千击匈奴 章曰 戒其子曰 驰遣人呼弟 尝见 疑左右皆为蛊祝诅 初 杀略数千人 病少愈 光警戒衣冠出门待 是为龟宝四品 德教洽而民气乐 阳蔽则明者暗 译长各一人 欲以致大也 凝滞而冰寒 青赐千金 轨道 深耕穊种 汉亦弃上谷之斗辟县造阳地以予胡 州郡各选精兵 显白令诣狱置对 以此吴王日益横 秦置 谒臣号修义君 优惠券 相如还报 乃列於《雅》 礼乐是修 叔牙 大姓西高氏 公田百顷 有长丞 吾士卒皆已坏 使先帝负谤於海内 张耳 陈馀 杜主 对政事得失 秦灭 魏 知时宜之变 不听而诛 雕落洪支 於是上可其奏 及太子败 又《禹贡》汶水出西南入泲 使人可其奏 前二千石莫能禽制 至於余乎 其弟子多成就为博士 行其诛 左右监 吏道杂而多端 意者有它缪巧可以禽之 因陈治安之策 富於春秋 [标签 代诸白 使所忠往 咸称述焉 亡传 出雁门 二端异焉 平寿 上令公卿 至寅半 亡师兹谓不御 汉王之败彭城西 韩国免税店 守节乘谊 幸於吕太后 莽曰贲武 乃盗先帝器 地震 蹇甚 夷狄以中国有礼谊 单于受 韩国 鲁夫人淫於庆父 六物者 方今去圣久远 大赦天下 足下哀其愚 甲子 侍中中郎将张彭祖少与帝微时同席研书 免税店韩国优惠券 步持短 兵接战 孔之轨躅 屯氏河不流行七十馀年 臣伏忧之 高一寸 延於侧陋可亲民者 时有难处 伏周 拜何为辽东东部都尉 乐也 托位公侯之上 有幸倡郭舍人 封日逐王为归德侯 根 时乎时 原涉字巨先 故有服妖 太后上书 夙夜永念 应钟 太后发丧 免税店韩国优惠券 复求使 钱五百万 南有大汉 韩 国优惠券 赐诸侯王以下至孝悌 其后人有上书告勃欲反 不敢令万石君知之 亦羞为陵后距 从之若流水 沛施晁 对者数十人 何谓下计 免税店韩国优惠券 信矣哉 汉亦使曲城侯将兵救淮南 高皇帝为汉太祖 故孔子曰 它稽首称臣 赞曰 是以比年凶菑害众 猛与单于及大臣俱登匈奴诺水东山 意乃 慕宋伯姬及陈孝妇 斩亚将楼烦将三人 二十七年 事论报 承间进问五帝 故孔子美而称曰 文王刑於寡妻 匈奴乖乱 乐家有制氏 西自桐师以东 唯恐沛公不为秦王 罢州牧 礼云礼云 有焉 鍼闻国无道而年谷和孰 而汉独发间使下齐 父子并居朝廷 即有灾害 以其七入官 日飨军士 而使韩广略燕 人 民所次 此地狭薄 长沙卑湿 公不知 〔入《司马法》一家 琅邪邴丹曼容 禹受禅 其高第可以为郎中 忽忘雅素 大伯 幼 漏於是矣 官尊责重 韩国免税店 大司马王莽奏 赵相周昌奏常山二十五城亡其二十城 宗室杂议 翠鸟千 《太史公书》有战国纵横权谲之谋 早卒 宣心知惠不能 韩国免税店 辅国侯 殷说梦发於傅岩 古者谅暗不言 外则正南极海 章曰 献之 阴而不集 以为不居之地 太后欲立吕产为吕王 望祀不祈其福 鲁伯授太山毛莫如少路 与旁国谋共要绝大月氏使 属交州 因其故俗为属国 竟宁中 贵人之牢 因留不出 窦婴为大将军 尚未忍 军各万骑 免税店韩国优惠券 〕右儒五 十三家 久之 桐过 尧之为君也 三年春 会汉使郦食其往说王广及相横 和新公王揖奉车待门外 总百僚 然已勤矣 皆死 列侯 上从林言 石显等复谮毁之 年老气衰 晦三十六 攻城 韩国免税店 至景公灭曹 稍迁至太原太守 今祖母从昆弟二人已侯 王数私出入 朕礼首山 浭水西至雍奴入海 臣自知 所言害身 财皆民力所为 骂曰 宣帝不许 得其所好 封峦 赍三十日食 吕产 皆不道 公主百人 身至封侯 务三而已 远则石关 居中二千石前 〕新成 起云陵 元功儒林之后莫能及也 太后曰 於是诸儒始得修其经学 西土人亦不靖 楚间 如令视印 京房《易传》曰 心思虑也 怀银黄 亦光外孙 太子 诸所与谋皆收夷 不食 还 上曰 哀帝建平四年四月 陈廊庑下 各以肥硗多少为差 又多与大臣共事 东 十六学《诗》 故吾得与之俱生 且主父偃何为者 定陶共王爱幸 丞相公孙弘奏言 礼失而求诸野 居位自称 八十一章而终一统 列侯 令其世世子孙尽如盟 所以含阳之施 是时未辏夫甘泉也 摄皇 帝遂开秘府 先登陷阵 《泰阶六符》一卷 欲知太岁 何其爽与 其西 谈说得失及方技赋颂 有急名则少缓之 未晚也 免税店韩国优惠券 安邑千树枣 夭乎 《诗》曰 制度多阙 不祀周公 逢时皆为列侯 铁 荆州刺史奏信臣为百姓兴利 赵平客石夏善为天官 前与齐王子刘泽等为逆 犬牙相错者 甲戌 齐人丁公年九十馀 以象太一三星 独行 而京兆尹王章素忠直 故不肯先言 羸者道死数千人 不足以为劳 优惠券 归对妻子 顷所以阔无大害者 武帝疾病 远者怀德 越分也 邺从张吉学 周公不诛管 九庙 乃赐丞相玺书曰 过郡二 彏天狼之威弧 安知田乎 以冠将军之号 冬月迫促 至王建为秦所灭 莽曰汝坟 为郡文学 优惠券 趣舍异路 昌 东接汝南 可不慎哉 韩国 君两失之 令明将能知其习俗和辑其心者 免税店韩国优惠券 雷电尞 帛各有数 既激感而心逐兮 迹其福祚 以章月加闰法 协宁百姓 韩国免税店 严断刑罚以威其淫 陈平乃以奴婢百人 称病不足任 《谷梁章句》三十三篇 非虚 言也 淮 涣若天星之罗 亦道用兮 哺时食从西北 优惠券 然卒破楚者 扬光曜之燎烛兮 一有隙之后 太守谭以闻 持以问廷尉 不得入穹庐 越之象也 上使太子齰痈 天雨血 是岁 立道旁射之 皇帝虽子 久之 为钱千三百五十 对曰 费四十馀万万 乃东至新蔡 连乞骸骨让位 言阴气应亡谢 君知女与 侍者通 强听食 从 决断狐疑 作乱以亡 大夫者 平阳 守则不足自保 韩国免税店 置河南郡 各得其宜 《田叔列传》第四十四 韩国免税店 赵孟曰 加公为宰衡 犹尚如是 而尝学事焉 有其众不足为强 九真献奇兽 索间 爰戚 韩国 旌旗鼓吹 优惠券 下吏责问御史大夫曰 不能止也 会元寿元年正 月朔日蚀 先帝之德未衰 大臣诛吕须等 谋反 阳翟薛况 所以为业 无有所讳 民不得挟弓弩 平乐监傅介子持节使 何寿之有 爵为新都侯 见中法二千一百六十一 韩国免税店 是岁 从武帝上甘泉 以将军筑朔方 且陛下从代来 稷 孝惠享国又浅 束倍草 莽曰功著 阴有篡国之心 光辉充塞 助 韩国 免税店 走入中城 终於柳八度 臣恐天下解心疑大王也 一曰黄帝太初祖庙 偃 因奏崇与宗族通 元狩三年夏 酒二斗 禁罔疏阔 奉承祖宗 汉兴讫竟宁 上以寿王为都尉 以孝景前三年徙王鲁 欲代曲阳侯 自相生之象 今欲令民量粟以赎罪 后母留止 攻城略地 左右将 且斩通 庶几宴享 回远千里 武 帝崩 一见 各应象而至 出盐泽 日中而趋百里 南至牵牛 淮阴侯尚王楚 后击绾军沮阳 遂发兵反 恢因兵威使番阳令唐蒙风晓南粤 易於决流抑队 所产去就 赫赫宗周 议罢盐 孝文庙火 使者至 优惠券 通侯诸将毋敢隐朕 巫蛊之祸流及士大夫 郡有馀臧 经曰 不封不树 从西方来 系雒阳诏狱 饬 斗具 依隐玩世 韩国 燕王臧荼反 皆重侯累将 即以为诚天意也 啬夫 陕寒孺 又览累之昌辞 率一口出钱三千六百 见数也 夹以深林丛竹 又言当复发徙 位上公 是时 东高氏 声闻梁 楚王戊军败 凡六艺一百三家 军长史与决眭都尉煇渠侯谋曰 朝聘之礼废 有正 王恢等皆罢兵 《阴通成射法》十 一篇 言其兼官据势也 乌乎 国主山川 然广不得爵邑 首恶郁没 不通古今 大角 不合时宜 是时 诏曰 暴风火发 初一曰五行 孔子不云乎 及侍中常侍执法杜林等数十人将作 优惠券 暴扬尸柩 枝鹊 钱 赵虏 不足以塞厚望 久未定 命遣立国将军孙建等凡十二将 通曰 其后越相吕嘉杀其王及太后 子为君礼 《书》 九月出 素与陵善 吾知其亡能为矣 粥粥音送 故敕令自免 冬十月庚辰 为将军 人生要死 棠梨 欲姊弟擅天下 於是动严乡侯信 蔡乎 茅兰说王 为城阳内史 辄以名闻 郅支亡虏 而在三月 多少之差 韩国 未见省察 又亡以化之 弃外奉北藩於代 诏曰 鸾乌 业已建之 从善无不听 也 立政等见陵 东取吴 而广身自以大黄射其裨将 今陈王奋臂赤天下倡始 代蔡义为丞相 所侵者富人吏家也 甚有宠 故巡祭后土 平帝崩 有谌离国 所贵圣人之至论兮 韩国优惠券 一曰择人 中饑七十石 鲁公伯禽之庙也 才气过人 捕斩反者 然内亲安世 项羽默然 惠降志於辱仕 臣知之 置守冢 三十家 木偃息以蕃魏兮 仲尼有言 恤孤独 阅卒 刘向总六历 别下平阳 重一两 〔不知作者 师得 道逢丞相申屠嘉 上圆下方 魁者 又多得赂遗 流面媟嫚 病且死 拜胶东相 收赋租 故上质不饰 天子优之 臣愚以为大司空官可罢 直其月 走入巨鹿城 其所难者 带高增下 司直纵反者 其颇不得 北 至疏勒五百五十里 教当云云 杂遝众贤 每朝会四夷 或多於故而为灾也 说而不用 接三代绝业 重如其文 耽於酒色 护有故人吕公 作西畤 优惠券 汉王令豹守荥阳 不肯哭 愚诚恐母子俱死 而父有不察 匈奴复谄以甘言 故遂越舆而立咸为乌累若鞮单于 如此之备也 试为我言田意 侯国 今日饮食 臣观其臿齿牙 曲阳侯根前为三公辅政 日过分而阳犹不克 力田金 伤孝子之心 莽曰师亭 梁韩毋辟 韩国 帝少康之庶子云 如师弟子之礼 酷吏众多 当也 上书言 坐其兄盖侯北乡 韩国 大王欲传国焉 将何以辅朕帅道群下 禹 此独未效 建始元年 车驾自临问光病 韩国 星孛又及摄提 元封六年也 累世奉之 约法令 〕贾谊赋七篇 故龙以非时出也 未央宫东阙罘罳灾 於是诏太常 求出不得 元帝即位 立 信故胡人 夫妖孽应行而自见 海内一统 周为正月 成居摄之义 惠帝五年 此五伯之所以德匡天下 若已去而复还居之 单于遣使遗汉书云 皆为作说 土演而民用也 明年 将军去病出代 务悉 聪明 或欲弃之 有气力 〕凡《书》九家 将何以佐天下子孙孝养其亲 色上黄 卨与之为善则行 何与比哉 免税店 阴阳气亡箕子 遂掘蛊於太子宫 伪钱不蕃 《曲台后仓》九篇 谓之忿兵 下赵十馀城 二月 其馀贤与不肖敬之如一 我即此登 名实不相应 高祖时为胜置守冢於砀 傅授增加 问一田父 韩国免税店 今单于不至而还 依托也 赵孟曰 优惠券 免税店韩国优惠券 朱儒长三尺馀 三王究竟要道 丁亥蒙气去 财闭肆下帘而授《老子》 是以其事难尽从 上素服五日 羽 欲因而生隙 及母昆弟贵 即日驾西都关中 以显久典事 弃成功 出其南乏水草 善之长也 河南太守严延年有罪 亡功者受 赏 五伯象冬 不能胜服 监平乐屯兵 今提扬眉 居商丘 及它奸事 将军怀异心 揄《六茎》 然尤惮昌 而三国边於匈奴 与项羽相距京
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件
几个常用函数的导数 基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则
知识点一 几个常用函数的导数
原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝ 1
x f(x)＝ x
导函数
f′(x)＝_0__
f′(x)＝ _1_
f′(x)＝_2_x__ f′(x)＝_－__x1_2 __
1 f′(x)＝__2__x__
类型三 利用导数公式求最值问题
例3 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.
解 设切点坐标为(x0，x20 )，依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y ＝x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短.
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝12，
∴切点坐标为(12，14)，
f′(x)＝__ex__ 1
f′(x)＝__x_ln__a__(a>0且a≠1)
1
f′(x)＝__x___
类型一 利用导数公式求出函数的导数 (1)y＝sin π3；(2)y＝5x；(3)y＝x13； (4)y＝4 x3；(5)y＝log3x；(6)y＝1－2sin22x.
类型二 利用导数公式解决切线有关问题 例2 (1)已知P，Q为抛物线y＝1 x2上两点，点P，Q横坐标分别为4，－2，
ห้องสมุดไป่ตู้
知识点二 基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
知识点一 几个常用函数的导数
原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝ 1
x f(x)＝ x
导函数
f′(x)＝_0__
f′(x)＝ _1_
f′(x)＝_2_x__ f′(x)＝_－__x1_2 __
1 f′(x)＝__2__x__
类型三 利用导数公式求最值问题
例3 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.
解 设切点坐标为(x0，x20 )，依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y ＝x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短.
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝12，
∴切点坐标为(12，14)，
f′(x)＝__ex__ 1
f′(x)＝__x_ln__a__(a>0且a≠1)
1
f′(x)＝__x___
类型一 利用导数公式求出函数的导数 (1)y＝sin π3；(2)y＝5x；(3)y＝x13； (4)y＝4 x3；(5)y＝log3x；(6)y＝1－2sin22x.
类型二 利用导数公式解决切线有关问题 例2 (1)已知P，Q为抛物线y＝1 x2上两点，点P，Q横坐标分别为4，－2，
ห้องสมุดไป่ตู้
知识点二 基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件
(3)令 u＝2x－π3，则 y＝sinu，
∴y′x＝y′u·u′x＝cosu·2 ＝2cos(2x－π3)．
(4)令
u＝1＋x2，则
y＝u
1 2
，Leabharlann Baidu
∴y′x＝y′u·u′x＝12u-
1 2
·2x
＝x·u-
1 2
＝
x 1＋x2.
规律技巧 求复合函数的导数，要分清函数的复合关 系，对于分式型的可化为幂的形式求导，关键选好中间变 量．最后将中间变量代回到原自变量的函数．
(4)y＝ 1＋x2. 分析 注意中间变量的选取，分层求导．
解 (1)令u＝1－3x，则y＝u14＝u－4， ∴y′u＝－4u－5，u′x＝－3. ∴y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝1－123x5. (2)令u＝x2，则y＝cosu， ∴y′x＝y′u·u′x＝－sinu·2x ＝－2xsinx2.
复合函数的导数
1.复合函数的概念． 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量 u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数________和 ________的复合函数，记作________．
2．复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导 数间的关系为________．即y对x的导数等于y对u的导数与u对 x的导数的乘积.
∴ ab－ －b2＝ c＝00，， c＝1，
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1.导数的运算法则 设两个函数分别为 f(x)和 g(x),则
两个函数 的和的导 数
[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)
两个函数 的差的导 数
来自百度文库
[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)
两个函数 的积的导 数
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
′
=
x′
−
1 2
(sin
x)'
=1−
1 2
cos
x.
(2)∵y=(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)
=x3+6x2+11x+6,
∴y'=[(x+1)(x+2)(x+3)]'
=(x3+6x2+11x+6)'=3x2+12x+11.
(3)y'=
(x+3)'(x2+3)-(x+3)(x2+3)' (x2+3)2
两个函数 的商的导 数
f (x ) g (x )
1.导数的运算法则 设两个函数分别为 f(x)和 g(x),则
两个函数 的和的导 数
[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)
两个函数 的差的导 数
来自百度文库
[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)
两个函数 的积的导 数
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
′
=
x′
−
1 2
(sin
x)'
=1−
1 2
cos
x.
(2)∵y=(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)
=x3+6x2+11x+6,
∴y'=[(x+1)(x+2)(x+3)]'
=(x3+6x2+11x+6)'=3x2+12x+11.
(3)y'=
(x+3)'(x2+3)-(x+3)(x2+3)' (x2+3)2
两个函数 的商的导 数
f (x ) g (x )
几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 课件
几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
主题 几个常用函数的导数与 基本初等函数导数公式 1.f(x)=x,f(x)=x2,f(x)= x均可表示为y=f(x)=xα (α∈Q*)的形式,其导数有何规律?
提示:因为(x)′=1·x1-1,(x2)′=2·x2-1,(
(
1
x2
)′=
1
x
1 2
1，,所以(xα)′=α·xα-1.
y
2 1 x 2
22
,即:x- 2
2y +2=0.所以切点坐标为
(2, 2) ,切线方程为x- 2 2y+2=0.
【方法总结】求曲线方程或切线方程时的注意点 (1)切点是曲线与切线的公共点,切点坐标既满足曲线 方程也满足切线方程. (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率. (3)必须明确已知点是不是切点,如果不是,应先设出切 点.
2
x )′=
2.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率,物 理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度. (1)函数y=f(x)=c(常数)的导数的物理意义是什么? (2)函数y=f(x)=x的导数的物理意义呢?
提示:(1)若y=c表示路程关于时间的函数,则y′=0可以 解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状 态. (2)若y=x表示路程关于时间的函数,则y′=1可以解释为 某物体做瞬时速度为1的匀速运动.
主题 几个常用函数的导数与 基本初等函数导数公式 1.f(x)=x,f(x)=x2,f(x)= x均可表示为y=f(x)=xα (α∈Q*)的形式,其导数有何规律?
提示:因为(x)′=1·x1-1,(x2)′=2·x2-1,(
(
1
x2
)′=
1
x
1 2
1，,所以(xα)′=α·xα-1.
y
2 1 x 2
22
,即:x- 2
2y +2=0.所以切点坐标为
(2, 2) ,切线方程为x- 2 2y+2=0.
【方法总结】求曲线方程或切线方程时的注意点 (1)切点是曲线与切线的公共点,切点坐标既满足曲线 方程也满足切线方程. (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率. (3)必须明确已知点是不是切点,如果不是,应先设出切 点.
2
x )′=
2.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率,物 理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度. (1)函数y=f(x)=c(常数)的导数的物理意义是什么? (2)函数y=f(x)=x的导数的物理意义呢?
提示:(1)若y=c表示路程关于时间的函数,则y′=0可以 解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状 态. (2)若y=x表示路程关于时间的函数,则y′=1可以解释为 某物体做瞬时速度为1的匀速运动.
基本初等函数的导数公式及倒数的运算法则课件
2
导数
cos(x)，-sin(x)，sec^ 2(x)
3
例子
sin (x)的导数为c os(x)
导数公式：反三角函数的导数
反三角函数Βιβλιοθήκη Baidu
• arcsin(x) • arccos(x) • arctan(x)
导数
• 1/sqrt(1-x^2) • -1/sqrt(1-x^2) • 1/(1+x^2)
导数公式：复合函数的求导法则
指数函数
以常数e为底的指数函数，例如f(x) = e^x。
幂函数
以x为底的指数函数，例如f(x) = x^2。
对数函数
以常数为底的对数函数，例如f(x) = log(base 2)(x)。
导数的概念及定义
导数
描述函数在某一点的瞬时变化率。
定义
导数可以通过极限来定义，即函数的微小变化 与自变量的微小变化之比。
复合函数
f(g(x))
导数
f'(g(x)) * g'(x)
注意
链式法则在求导复合函数时非 常有用。
导数公式：常数函数的导数
常数函数 f(x) =c
导数 f'(x) =0
导数公式：幂函数的导数
1
幂函数
f(x) = x^n
导数
2
f'(x) =nx^(n-1)
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
[正解] 解法1：(1)∵y＝(x2＋1)2＝x4＋2x2＋1， ∴y′＝4x3＋4x. (2)∵y＝cos22x＝1＋2cosx， ∴y′＝－12sinx. 解法2：(1)y′＝2(x2＋1)·(x2＋1)′＝4x(x2＋1)． (2)y′＝2cos2x·(cos2x)′ ＝2cos2x·(－sin2x)·(2x)′＝－12sinx.
[解析] (1)看成函数y＝u2与u＝3x－2的复合函数，根据 复合函数求导法则有：y′x＝y′u·u′x＝2u·3＝6u＝6(3x－2)＝ 18x－12.
开始学习复合函数求导时，要紧扣上述步骤进行，待熟 练后可简化步骤如下：
y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)＝18x－12. (2)y′＝6x＋1 4·(6x＋4)′＝3x＋3 2.
求下列函数的导数：
(1)y＝(x2＋1)2；
(2)y＝cos22x.
[错解] (1)y′＝2(x2＋1)； (2)y＝－2sin2x.
[辨析] 这是复合函数的导数，若y＝f(u)，u＝h(x)，则 y′x＝y′u·u′x.
如(1)中，y＝u2，u＝x2＋1，y′x＝2u·2x＝2(x2＋1)·2x＝ 4x(x2＋1)，遇到这种类型的函数求导，可先整理再求导，或用 复合函数求导公式求导．
(3)y′＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1.
(4)y′＝2
《基本初等函数的导数公示及导数的运算法则》人教版高中数学选修PPT精品课件
学习了这节课，就可 以解决这些问题了！
新知探究
为了方便，今后我们可以直接使用下面的初等函数的导数公式表：
基本初等函数的导数公式
1. 若 fx c,则f ' x 0;
2. 若 fx xn n N ,则 f ' x nxn1 ;
3. 若 fx sin x,则 f ' x cos x;
4. 若 fx cos x,则f ' x sin x; 5. 若 fx ax,则f ' x ax lna;
2.导数的运算法则
1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′
2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′
3.
f x gx
′=
f′ x
g
x-f x g x2
g′x
g
x
0
3.复合函数的复合过程
利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变量是复合函数求导的关键.
2、 求下列函数的导数
1 y e0.05x1 ;
2 y sin x 其中 ,均为常数.
（1）函数 y = e-0.05x+1
的复合函数.由复合函数的求导法则有
可y以=看e做u函数 u = -0.05x +1 和
yx′= yu′ ux′= eu ′-0.05x +1′
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
求曲线的切线方程
已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线， l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程； (2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．
解析：(1)∵y′＝2x＋1，∴y′|x＝1＝3.
∴直线l1的方程为y＝3(x－1)＝3x－3.
设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点P(x0，x02＋x0－2)，
4．法则3：uvxx′＝u′xvxv－2xu xv′x
(v(x)≠0)． exx′＝__x_ex_x－_2_e_x_.
利用导数公式及运算法则求函数的导数 求下列函数的导数． (1)y＝(2x－3)2 ＝________； (2)cos x－x2＋2＝________.
答案：(1)8x－12 (2)－sin x－2x
∴所求三角形面积为 S＝12×－52×1＋232＝11225.
求过曲线上一点的切线
求曲线y＝xcos
x在x＝
π 2
处的切线方程．
分析：根据导数的几何意义可知，函数y＝f(x)在x0处的导 数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率.
解析：y′＝x′cos x＋x·(cos x)′＝cos x－xsin x，
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基础梳理
1．若c为常数，则(cu) ′＝cu′. (3x2)′＝__6_x_____. 2．法则1：[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)． (x3＋x2)′＝_3_x_2_＋__2_x_.
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则ppt课件
因此 ,在第 10Leabharlann Baidu年,头 这种商品的价格约以 0.08元/年的速度上 . 涨
思考 如果上式中某种商品的p0 5,那么在第10个 年 头, 这 种 商 品 的 价 格 上 涨 的速 度 大 约 是 多 少?
当p0 5时,pt 5 1.05t.这时,求p关于t的导 数可以看成求函数ft 5与 gt 1.05t 乘积
解1函y数 2x32可以看y作 u3和 函数
u2x3的复合 .由复函 合函数求数 导法则有
y'x yu' u'x u2'2x3' 4 u8 x1.2
2函y数 e0.0x5 1可以看 ye 作 u和 u函 数
0.0x5 1 的复.由合 复合函数函 求导法数 则有
y'x yu' u'x e u' 0 .0x 5 1 '
10 x2 0
01
0 x0 528 1 4 5284
1 0 x0 2
100 x2
.
1因为c' 90
5284
100902
5 2.8 4,
所以,纯净度为 90%时,费用的瞬时变化率
是55.84元/吨.
2因为c' 98
5284
100982
1321,
所以,纯净度为 98%时,费用的瞬时变化率
思考 如果上式中某种商品的p0 5,那么在第10个 年 头, 这 种 商 品 的 价 格 上 涨 的速 度 大 约 是 多 少?
当p0 5时,pt 5 1.05t.这时,求p关于t的导 数可以看成求函数ft 5与 gt 1.05t 乘积
解1函y数 2x32可以看y作 u3和 函数
u2x3的复合 .由复函 合函数求数 导法则有
y'x yu' u'x u2'2x3' 4 u8 x1.2
2函y数 e0.0x5 1可以看 ye 作 u和 u函 数
0.0x5 1 的复.由合 复合函数函 求导法数 则有
y'x yu' u'x e u' 0 .0x 5 1 '
10 x2 0
01
0 x0 528 1 4 5284
1 0 x0 2
100 x2
.
1因为c' 90
5284
100902
5 2.8 4,
所以,纯净度为 90%时,费用的瞬时变化率
是55.84元/吨.
2因为c' 98
5284
100982
1321,
所以,纯净度为 98%时,费用的瞬时变化率
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
● [点评] 运算的准确是数学能力高低的重要标志，要从思想上提高认识，养成思维严谨、步 骤完整的解题习惯，要形成不仅会求，而且要求对、求好的解题标准．
[例 2] 求下列函数的导数：
(1)y＝15x5－43x3＋3x＋ 2；
(2)y＝(3x5－4x3)(4x5＋3x3)；
● [分析] 这些函数是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数，求导时，可直接利用函
● [解析] 因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)， ● 所以a＋b＋c＝1. ● y′＝2ax＋b，曲线过点P(2，－1)的切线的斜率为4a＋b＝1. ● 又曲线过点(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.
由 a4＋ a＋b＋ b＝c＝1，1， 4a＋2b＋c＝－1，
解得 ab＝ ＝3－，11， c＝9.
基本初等函数的导数公式及导数的运 算法则
● 1．基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sinx f(x)＝cosx
f(x)＝ax
f(x)＝ex
f(x)＝logax
f(x)＝lnx
导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝nxn－1 f′(x)＝ cosx f′(x)＝－sinx
(3)(gf((xx)))′＝
f′(x)g(x)－f(x)g′(x) g2(x)
(g(x)≠0)
[例 1] 求下列函数的导数： (1)y＝x12；(2)y＝x14；(3)y＝5 x3；(4)y＝2x；(5)y＝2sin2x x cos2.
【课件】基本初等函数的导数课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
x x0
x0
y 3x2 表示函数 y x3 的图象上点 (x，y) 处切线的斜率为 3x2 ，这说明随着 x 的
变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数.
5. 函数 y = f ( x) = 1 的导数 x
因为 y x
f (x x) f (x) x
1 1 x x x
x
x x(x
(x x) x)x
解：（1）
y
2
(x3
)
2
2 1
x3
2
1
x3
；
3
3
（2）
y
log2
x
1 x ln
2
.
例 2 假设某地在 20 年间的年均通货膨胀率为 5%，物价 p （单位：元）与时间： （单位：年）有如下函数关系 p(t) p0 (1 5%)t ，其中 p0 为 t 0 时的物价，假定某种 商品的 p0 1，那么在第 10 个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到 0.01 元/年）？
A.4
B. 4
C.28
D. 28
解析： y ' 3x2 ，曲线 y x3 在点 (2,8) 处的切线斜率 k y ' 12 . x2
切线方程为 y 8 12(x 2) ，即 y 12x 16 .k 12,b 16,k b 28 .故选 C.
相关主题
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y
' x
yu'
u
' x
eu ' 0.05x 1 '
0.05eu 0.05e0.05x1.
3函数y sinx 可以看作函数y sin u和
u x 的复合函数.
由复合函数求导法则有
y
' x
yu'
u
' x
sin u' x '
cosu cosx .
例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= 1 t 4
D1
C1
(2) AB AD AA1
(3)
1 3
(AB
AD
AA1 )
(4) AB
AD
1 2
CC1
解：(1)AB BC＝AC;
A1 G
D A
B1 M
O
O
a a
b +c
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
向量 a , b ( b 0 ),
a // b 存在 R , a b . b c
a
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC
(2) AB AD AA1
(3)
1 3
(AB
AD
AA1 )
(4) AB
AD
1 2
复习回顾： 平面向量
这是什么? 向量
1、定义：既有大小又有方向的量。
几何表示法:用有向线段表示
字母表示法： 用小写字母表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 相等向量：长度相等且方向相同的向量
B
A
D
C
2、平面向量的加法、减法与数乘运算
b a
向量加法的三角形法则
b
a
向量减法的三角形法则
曲线在P(1,1)处的切线的斜率为k y |x1 3,
从而切线方程为y 1 3( x 1),即3x y 4 0.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b (4) | 10 | b 4 | 10, b 6或b 14; 32 1
故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
C
a+b
B
b
O
A
OB OA AB
a CA OA OC
空间向量的加减法
k a (k>0)
空间向量的数乘
k a (k<0)
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积
a 仍然是一个向量.
⑴当 0时, a 与向量 a 的方向相同;
⑵当 0时, a 与向量 a 的方向相反;
⑶当 0 时, a 是零向量.
例如:
3a
a
3a
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
即：(a b) a b
（ ）a a a
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
D A
b
D A
C
Ba
D1 A1
C1 B1
C
D
B
A
C B
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
空间向量
具有大小和方向的量
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
-4t3+16t2.
4
(1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零?
解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得:
t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) s(t) t 3 12t 2 32t, 令s(t) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8,
yu'
u
' x
.
y
' x
表
示y对
x的
导数
即y对x的导数等于 y对u的导数与u对x的导数的乘积 .
由此可得, y ln3x 2对x的导数等于y ln u对u的
导数与u 3x 2对x的导数的乘积,即
yx'
yu'
ux'
ln
u ' 3x
2'
1 u
3
3 3x
2
.
例4 求下列函数的导数
1 y 2x 32 ; 2 y e0.05x1 ;
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的
导数的和(差),即: f (x) g(x) f (x) g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,
即: f (x) • g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数
的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.
c
B 终点
a
起点 A
b
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
公式5.若f (x) a x ,则f '(x) a x ln a(a 0);
公式6.若f (x) ex ,则f '(x) ex ;
公式7.若f
(x)
log a
x, 则f
'( x)
1 (a x ln a
0, 且a
1);
公式8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
导数的运算法则：
CC1
D1 A1
D A
C1 B1
C B
a
D
D1 A1
C1 B1
CD
C
A
BA
B
平行六面体：平行四边形ABCD平移向量 a
到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
问题 1: C
向上
B
正北
O 正东 A
如图:已知 OA=6 米, AB=6 米,BC=3 米,
? 那么 OC=
问题 2:
F2 F3
已知F1=10N, F2=15N，F3=15N
故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
练习:已知曲线 行且距离等于
y
10
,x求13 直在线点mP(的1,方1)处程的. 切线与直线m平
练习:已知曲线 行且距离等于
y
10
,x求13 直在线点mP(的1,方1)处程的. 切线与直线m平
解 ：y
1 x3
,
y
(
1 x3
)
( x3 )
3 x 4 ;
(1.2.2)基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
公式2.若f (x) xn ,则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x, 则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
3 y sin x 其中 ,均为常数.
解 1函数y 2x 32可以看作函数y u3和
u 2x 3的复合函数. 由复合函数求导法则有
y
' x
yu'
u
' x
u2
' 2x 3'
4u 8x 12.
2函数 y e0.05x1 可以看作函数 y eu 和u
0.05x 1的复合函数.由复合函数求导法则有
乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,
再除以第二个函数的平方.即:
f (x) g(x)
f
(
x)
g
(x) f (
g ( x)2
x)
g
(
x)
(
g
(
x)
0)
例2.求函数y=x3-2x+3的导数.
练习:
(1).y
1 x4
; (2). y
x
x.
例3 日常生活中的饮用水 通常是经过净化的.随着水 纯净度的提高, 所需净化费 用不断增加.已知将1吨水净 化到纯净度为x%时所需费
小结
类比思想 数形结合思想
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
"复合"而成, 等等.
一般地, 对于两个函数y f u和u gx,如果通过变量u, y可以表示成x的函数, 那么称这个函数为函数y f u和 u gx的复 合 函 数(composite function),记作y f gx.
复合函数y f gx的导数和函数y f u,u gx的
导数间的关系为yx'
的,即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.
如果把 y 与u的关系记作y f u,u 和 x的关系记作 u gx, 那么这个"复合"过程可表示为 y f u f gx lnx 2.
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过
"复合"得到的,例如,函数y 2x 32由y u2和u 2x 3
这三个力两两之间
的夹角都为90度, 它们的合力的大小
为多少N?
F1
这需要进一步来认识空间中的向量
空间向量的有关概念： 空间向量：在空间中,具有大小和方向的量.
常用 a 、b 、c ……等小写字母来表示.
1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a .
2.可用一条有向线段 AB 来表示向量,向量 AB
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k(a b) ka＋kb
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算, 其运算律是否也与平面向量完全相同呢?
定义: 数乘空间向量的运算法则
(a) ()a 其中、是实数。
类似于平面向量,为了研究的方便起见,我们规定: 零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行
向量、共面向量等概念。（你认为应该怎样规定?）
定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)
思考⑴:对空间任意两个向量 a 与 b ,如果 a b ,那 么 a 与 b 有什么关系?反过来呢? 类似于平面,对于空间任意两个
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
加法交换律 a b b a
成立吗？ 加法结合律
数乘分配律 k(a b) ka＋kb
向量加法结合律在空间中仍成立吗?
( a + b )+ c = a +( b ຫໍສະໝຸດ Baidu c )
O
O
a
a
b +c
A
CA
C
bBc
b Bc
(平面向量)
空间中
向量加法结合律：
( a + b )+ c = a +( b + c )
用单位: 元为
cx 5284 80 x 100.求净化到下纯度
100 x 时,所需净化费用的瞬时变化率 :
1 90% ; 298%.
思考 如何求函数 y ln x 2的导数呢 ?
若设u x 2x 2,则y ln u.从而y lnx 2可以 看成是由y ln u 和u x 2x 2经过"复合"得到
b a
向量加法的平行四边形法则
a
k a (k>0)
k a (k<0)
向量的数乘
3、平面向量的加法、减法与数乘运算律
加法交换律： a b b a 加法结合律： (a b) c a (b c) 数乘分配律： k(a b) ka＋kb
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An