2017年中考数学相似三角形压轴题(20200706220513)
中考相似三角形压轴题+答案
相似1-10
一．解答题（共10小题）
1．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．2．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；
并求当BP=a，CQ=时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．
第1页（共20页）
3．已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向△ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B 匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF 同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：（1）△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值；
〖中考数学专题〗中考数学总复习《第17讲：相似三角形》同步讲练(含答案)
第17讲 相似三角形
一、选择题
1．(2017·杭州)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD ＝2AD ，则( B )
A.AD AB ＝1
2 B.AE EC ＝12 C.AD EC ＝12
D.DE BC ＝12
2．(2017·兰州)已知2x ＝3y (y ≠0)，则下面结论成立的是( A )
A.x y ＝3
2 B.x 3＝2y C.x y ＝23
D.x 2＝y 3
3．(2017·连云港)如图，已知△ABC ∽△DEF ，AB ∶DE ＝1∶2，则下列等式一定成立的是( D ) A.BC DF ＝1
2
B.
∠A 的度数∠D 的度数＝1
2
C.△ABC 的面积△DEF 的面积＝12
D.△ABC 的周长△DEF 的周长＝12
第3题图 第4题图
4．(2017·西华县二模)如图，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，若AO ＝2，DO ＝4，BO ＝3，则BC 的长为( B )
A ．6
B ．9
C ．12
D ．15
5．(2017·河北)若△ABC 的每条边长增加各自的10%得△A ′B ′C ′，则∠B ′的度数与其对应角∠B 的度数相比( D )
A ．增加了10%
B ．减少了10%
C ．增加了(1＋10%)
D ．没有改变
6．(2017·枣庄)如图，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( C )
7．(2017·淄博)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，∠BAC ，∠ACB 的平分线相交于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，则EF 的长为( C )
2017年中考数学相似三角形压轴题
相似三角形中考压轴试题
一、选择题
1.（2014年江苏宿迁3分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，
点P 为AB 边上一动点，若△P 与A △DPBC 是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是【】
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题
1.（2015贺州）如图，在△ABC 中，AB=AC=15，点D 是BC 边上的一动点（不与B 、C 重合），∠ADE=
∠B=∠α，DE 交AB 于点E ，且tan ∠α= 3 4
．有以下的结论：①△ADE ∽△ACD ；②当CD=9时，△ACD
与△DBE 全等；③△BDE 为直角三角形时，BD 为12或 21 4 ；④0＜BE ≤ 24 5
，其中正确的结论是（填
入正确结论的序号）．
三、解答题
1.（2014年福建三明14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2
+bx+4与x 轴的一个交点为A （﹣ 2，0），与y 轴的交点为C ，对称轴是x=3，对称轴与x 轴交于点B ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）经过B ，C 的直线l 平移后与抛物线交于点M ，与x 轴交于点N ，当以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形
是平行四边形时，求出点M 的坐标；
（3）若点D 在x 轴上，在抛物线上是否存在点P ，使得△PBD ≌△PBC ？若存在，直接写出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由．
2.（2014年湖北十堰12分）已知抛物线C1：
2
yax12的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）．
（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；
2017年中考数学压轴题专题汇编05因动点产生的相似、全等三角形问题(解析版)
【类型综述】
函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径
①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三
角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
【方法揭秘】
相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．
判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．
如果已知∠A ＝∠D ，探求△ABC 与△DEF 相似，只要把夹∠A 和∠D 的两边表示出来，按照对应边
成比例，分和两种情况列方程．AB DE AC
DF AB DF AC DE 应用判定定理
1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．
还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．
求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好．
如图1，如果已知A 、B 两点的坐标，怎样求A 、B 两点间的距离呢？
我们以AB 为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB 的长
【中考压轴题专项练习】最新中考数学压轴大题冲刺专项训练：《相似三角形 》含答案与解析
中考数学压轴大题冲刺专项训练
相似三角形
1．已知，如图，△ABC 中，AB ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上一点，BD ＝1，AD +AC =8．
（1）找出图中的一对相似三角形并证明；
（2）求AC 长．
2．如图，在ABC ∆中，6AB AC ==，5BC =，D 是AB 上一点，2BD =，E 是BC 上一动点，连接DE ，作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F .
（1）求证：DBE ECF ∆∆；
（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；
3．如图，是一个照相机成像的示意图．
（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？
（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？4．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M，若∠AFG＝∠ACD．
（1）求证：①△MFC∽△MCA；
②若AB＝5，AC＝8，求CF
BE
的值．
（2）若DM＝CM＝2，AD＝3，请直接写出EF长．
5．已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E．
（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED⋅EA=EC⋅EB；
（2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=35，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积．
6．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 是高，BE 平分ABC ∠，BE 分别与AC ，CD 相交于点E ，F ．
相似三角形压轴题
相似三角形压轴题
1．如图，在矩形ABCD 中，AB =3cm ，BC =4cm ，设P 、Q 分别为BD 、BC 上的动点，在点P 自点D 沿DB 方向作匀速运动的同时，点Q 自点B 沿BC 方向向点C 作匀速运动，速度均为1cm /s ，设运动时间为t （s ）．
(1)写出PBQ S △的值y 与时间t (s )的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)y 是否有最大值，如果有，请求出当t 为何值时，y 取得最大值；如果没有，请说明理由； (3)求当t 为何值时，△PBQ 为等腰三角形；
(4)是否存在t 的值，使得△PBQ 为等边三角形，若有，请求出t 的值；若没有，请说明理由．
Q
M
A
B
Q
M
（图1）
（图2）
（图3）
Q
2．如图，有一矩形ABCD ，设AD =a ，AB =b ，使BC 边上至少存在一点P ，使得△ABP 、△APD 、△CDP 两两相似，求a 、b 间一定满足的关系．
3．如图，已知△ABC 是面积为3的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，AB ＝2AD ，∠BAD ＝45°，AC 与DE 相交于点F ，求△AEF 的面积．
b
a
A
B
D
C
P
4．如图，四边形OABC是矩形，A在x轴上，C在y轴上，将边BC折叠，使得B落在OA
的点D
处，CE=，
3
tan
4
EDA=
∠．
(1)判断△OCD与△ADE是否相似，并说明理由；
(2)求直线CE与x轴的交点P的坐标；
(3)是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴围成的三角形与直线l、直线CE与y轴围成的三角形相似，若存在，求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．
2017年中考数学真题汇编--利用相似三角形的性质解答综合题
中考数学真题汇编---利用相似三角形的性质解答综合题
1．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．
2．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．
（1）证明：∠BDC=∠PDC；
（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．
3．如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F．且CE=CF．
（1）求证：直线CA是⊙O的切线；
（2）若BD=DC，求的值．
4．已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN．
求证：（1）DE是⊙O的切线；
（2）ME2=MD?MN．
5．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．
（1）求证：BD=CE；
（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；
6．已知：四边形OABC是菱形，以O为圆心作⊙O，与BC相切于点D，交OA 于E，交OC于F，连接OD，DF．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）连接EF交OD于点G，若∠C=45°，求证：GF2=DG?OE．
7．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
2017中考数学全国试题汇编------二次函数中三角形相似综合压轴题
2（3 2017 河南）. 如图，直线 y
2 x
c 与 x 轴交于点 A(3,0) ，与 y 轴交 于点 B ，
3
抛物线 y
4 x2 bx c 经过点 A ， B . 3
（ 1）求点 B 的坐标和抛物线的解析式；
（ 2） M（m，0）为 x 轴上一个动点，过点 M 垂直于 x 轴的直线与直线 AB 和抛
3
0 ，解得 c=2
∴ B（ 0， 2），
∵抛物线 y
42 x
bx
c 经过点 A(3,0) ，
3
∴ 4 32 3b 2 0 ，∴ b= 10
3
3
∴抛物 线的解析式为 y
4 x2
10 x
2；
33
（ 2）∵ MN x 轴， M （m，0），∴ N( m,
① 有（ 1）知直线 AB 的解析式 为 y
2 x
(1)求 c 的值及直线 AC的函数表达式； (2)点 P 在 x 轴的正半轴上，点 Q 在 y 轴正半轴上，连结 PQ 与直线 AC 交于点 M ， 连结 MO 并延长交 AB 于点 N，若 M 为 PQ 的中点． ①求证：△ APM∽△ AON； ②设点 M 的横坐标为 m，求 AN 的长（用含 m 的代数式表示）． 25、【答案】（ 1）解 ：把点 C（6， ）代入抛物线得 : =9+ +c. 解得 c=-3. 当 y=0 时 ， x2+ x-3=0. 解得： x1=-4,x2=3. ∴ A(-4,0). 设直线 AC的函数表达式为： y=kx+b(k ≠）０. 把 A(-4,0)，C（6， ）代入得：
2016-2017相似三角形题经典(含答案)
相似三角形题经典
一、选择填空题
1、如图1,已知AD 与BC 相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC 的大小为（ ）
A.60°
B.70°
C.80°
D.120°
2、如图，在矩形ABCD 中，点E 为边BC 的中点，AE BD ⊥，垂足为点O ，则
AB
BC
的值等于 ． 3.如图，在ABC △中，P 是AC 上一点，连结BP ，要使ABP ACB △∽△，则必须有ABP ∠= 或APB ∠= 或
AB
AP
= ． 4、如图，正方形ABCD 的边长为2，AE =EB ，MN =1，线段MN 的两端分别在CB 、CD 上滑动，那么当CM =________时，△ADE 与△MN C 相似.
5．已知菱形ABCD 的边长是8，点E 在直线AD 上，若DE ＝3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则MC AM
的值是________．
6．如图，等边△ABC 的边长为3，点P 为BC 边上一点，且BP =1，点D 为AC 上一点；若∠APD =60°，则
CD 长是 Ａ．
43 Ｂ．23 Ｃ．21 Ｄ．3
2 7、如图,正方形ABCD 中,E 是AD 的中点, BM ⊥CE,AB=6,则BM=______.
图4 图6 图7
8、如下图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ）
A
B
C
D O
图1
Ａ
Ｂ
Ｏ
Ｅ
C
Ｄ
Ａ
Ｐ
Ｃ
Ｂ
D
P
C
A
B
A
B
C
9．如图，四边形ABCD 是矩形，DH ⊥AC ，如果AH=9cm ，CH=4cm ，那么ABCD S 四边形=（ ） A ．752
2017年中考数学压轴题(直角三角形三角形问题)
2018年中考数学函数压轴题（直角三角形问题）(2月6日）
姓名：班级：
1、如图1，抛物线y=﹣x2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一象
（2月6日差缺补漏）
例1、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由
2017年中考数学试题 三角形分项版解析汇编(原卷+解析卷)
专题09 三角形
一、选择题
1.（2017重庆A卷第8题）若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）
A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9
【答案】A．
【解析】
试题解析：∵△ABC～△DEF，相似比为3：2，
∴对应高的比为：3：2．
故选A．
考点：相似三角形的性质.
2. （2017重庆A卷第11题）如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为（）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．
A．5.1米B．6.3米C．7.1米D．9.2米
【答案】A.
【解析】
试题解析：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，
∵CE∥AP，
∴DP⊥AP，
∴四边形CEPQ为矩形，∴CE=PQ=2，CQ=PE，
∵i=
14
0.753 CQ
BQ
==，
∴设CQ=4x、BQ=3x，
由BQ2+CQ2=BC2可得（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2或x=﹣2（舍），
则CQ=PE=8，BQ=6，
∴DP=DE+PE=11，
在Rt△ADP中，∵AP=
11
tan tan40
DP
A
=
∠︒
≈13.1，
∴AB=AP﹣BQ﹣PQ=13.1﹣6﹣2=5.1，
故选A．
考点：解直角三角形的应用.
3.（2017甘肃庆阳第6题）将一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2为（）
A．115°B．120°C．135°D．145°
【名师点睛】2017年中考数学一轮复习专题 相似三角形及答案
2017年中考数学一轮复习专题
相似三角形综合复习
一选择题：
1.下列说法正确的是（）
(A)两个矩形一定相似．(B) 两个菱形一定相似．
(C)两个等腰三角形一定相似．(D) 两个等边三角形一定相似．
2.如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF 的值是（）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
3.若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似。如图，如果扇形AOB与扇形是相似扇形，且半径(为不等于0的常数)。那么下面四个结论：
①∠AOB=∠；②△AOB∽△；③；④扇形AOB与扇形的面积之比为.
成立的个数为（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）
A．2cm2 B．4cm2 C．8cm2 D．16cm2
5.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）
A. B. C. D.
6.如图，矩形ABCD∽矩形ADFE，AE=1，AB=4，则AD=（）
A. 2
B. 2.4
C. 2.5
D. 3
7.如图是测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为12 cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE是( )
A．8 c m B．10 cm C．20 cm D．60 cm
8.如图,在平行四边形ABCD 中,点E在CD上,若DE:CE =1:2,则△CEF与△ABF的周长比为（）
【精品】2016-2017学年最新中考数学一轮复习【几何篇】15.相似三角形(一)附答案
15.相似三角形（一）
知识考点：
本节知识包括相似三角形的判定定理、三角形相似的判定及应用，这是中考必考内容。掌握好相似三角形的基础知识尤为重要。
精典例题：
【例1】如图，点O 是△ABC 的两条角平分线的交点，过O 作AO 的垂线交AB 于D 。求证：△OBD ∽△CBO 。
分析：此题不易得到边的比例关系，但O 点是三角形的角平分线的交点，有多对相等的角，故宜从角相等方面去考虑。
由角平分线及三角形内角和定理知：∠1＋∠2＋∠DAO ＝900
，再由AO ⊥DO 可得∠5＝∠1＋∠2，而∠5＝∠3＋∠4，从而∠1＋∠2＝∠3＋∠4，由∠1＝∠3可得∠2＝∠4，于是结论得证。
例1图
5
4
32
1
O
D C
B A
变式1图
O
E D
C
B
A
例2图
F
E
D
C
B
A
变式1：已知如图，在△ABC 中，AD ＝AE ，AO ⊥DE 于O ，DE 交AB 于D ，交AC 于E ，BO 平分∠ABC 。求
证：BC BD BO ⋅=2
。
变式2：已知如图（同变式1图），在△ABC 中，O 为两内角平分线的交点，过点O 作直线交AB 于D ，交AC 于E ，且AD ＝AE 。
求证：（1）△BDO ∽△OEC ；（2）CE BD DO ⋅=2。
【例2】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝900
，AD ⊥BC 于D ，E 为AC 中点，DE 交BA 的延长线于F 。求证：AB ∶AC ＝BF ∶DF 。
分析：由于△ABC 和△FBD 一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧。
中考数学相似三角形压轴题
相似三角形中考压轴试题【1】
一、选择题
1.（2014年江苏宿迁3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是【】
A. 1个
B. 2个
C.3个
D.4个
二、填空题
1.（2015贺州）如图，在△A BC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B、C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α=．有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当CD=9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或；④0＜BE≤，其中正确的结论是（填入正确结论的序号）．
三、解答题
1.（2014年福建三明14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（﹣2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；
（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2.（2014年湖北十堰12分）已知抛物线C1：的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）．（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；
（2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求S△OAC：S△OAD的值；
中考压轴题之相似三角形、三角形面积最值问题
一、中考压轴题之相似三角形、三角形面积最值问题
例1、如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k ≠0）与直线y ＝x ＋2都经过点A (2, m )． （1）求k 与m 的值；
（2）此双曲线又经过点B (n , 2)，过点B 的直线BC 与直线y ＝x ＋2平行交y 轴于点C ，联结AB 、AC ，求△ABC 的面积；
（3）在（2）的条件下，设直线y ＝x ＋2与y 轴交于点D ，在射线CB 上有一点E ，如果以点A 、C 、E 所组成的三角形与△ACD 相似，且相似比不为1，求点E 的坐标．
图一
解、（1）将点A (2, m )代入y ＝x ＋2，得m ＝4．所以点A 的坐标为(2, 4)．
将点A (2, 4)代入k
y x
=，得k ＝8．
（2）将点B (n , 2)，代入8
y x
=，得n ＝4．
所以点B 的坐标为(4, 2)．
设直线BC 为y ＝x ＋b ，代入点B (4, 2)，得b ＝－2． 所以点C 的坐标为(0,－2)．
由A (2, 4) 、B (4, 2) 、C (0,－2)，可知A 、B 两点间的水平距离和竖直距离都是2，B 、C 两点间的水平距离和竖直距离都是4．
所以AB ＝BC ＝ABC ＝90°． 图2
所以S △ABC ＝
12BA BC ⋅＝1
2
⨯8．
（3）由A (2, 4) 、D (0, 2) 、C (0,－2)，得AD ＝AC ＝ 由于∠DAC ＋∠ACD ＝45°，∠ACE ＋∠ACD ＝45°，所以∠DAC ＝∠ACE ． 所以△ACE 与△ACD 相似，分两种情况：
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相似三角形中考压轴试题
、选择题
1. （2014 年江苏宿迁 3 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，AD // BC , / ABC=90 °, AB=8 , AD=3 , BC=4 ,
、填空题
1. (2015贺州)如图，在△ ABC 中，AB =AC =15，点D 是BC 边上的一动点(不与 B 、C 重合)，/ ADE =
/ B = Za, DE 交 AB 于点 E ,且 tan Za = 3
•有以下的结论：①△ ADEACD ;②当CD =9时，△ ACD
4
与厶DBE 全等；③厶BDE 为直角三角形时，
21 24
BD 为12或 ：④0 v BE <
，其中正确的结论是
(填
4
5
入正确结论的序号) 三、解答题
1. (2014年福建三明14分)如图，在平面直角坐标系中， 抛物线y=ax 2+bx+4与x 轴的一个交点为 A ( 2 , 0)，与y 轴的交点为C ,对称轴是x=3，对称轴与x 轴交于点B . (1) 求抛物线的函数表达式； (2)
经过B , C 的直线I 平移后与抛物线交于点 M ,与x 轴交于点
N ，当以B , C , M , N 为顶点的四边形 是平行四边形时，求出点 M 的坐标； (3)
若点D 在x 轴上，在抛物线上是否存在点 P ,使得△
PBD ◎△ PBC ?若存在，直接写出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由.
点P 为AB 边上一动点，若△
PA ^ PBC 是相似三角形，则满足条件的点
P 的个数是【
A. 1个
B. 2个 D. 4个
C. 3个 C
2
2. (2014年湖北十堰12分)已知抛物线C i: y=a(x+1)—2的顶点为A，且经过点B (- 2 , - 1).
(1 )求A点的坐标和抛物线C i的解析式；
(2)如图1,将抛物线 6向下平移2个单位后得到抛物线C2,且抛物线C2与直线AB相交于C , D两点，求S A OAC : S A OAD 的值；
(3)如图2，若过P (-4 , 0), Q (0 , 2 )的直线为I,点E在(2)中抛物线C?对称轴右侧部分(含顶
点)运动，直线m过点C和点E.问：是否存在直线m，使直线I, m与x轴围成的三角形和直线I, m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由.
3. (2014 年湖南郴州10 分)如图，在Rt △ ABC中，/ BAC=90。，/ B=60 °C=16cm , AD 是斜边
BC上的高，垂足为D, BE=1cm .点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH .点M到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动.设运动时间为t (s).
(1 )当t为何值时，点G刚好落在线段AD 上?
(2)设
正方形MNGH与Rt △ ABC重叠部分的图形的面积为S,当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围.
(3)设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P,连接DP，当t为何值时，△CPD等腰
三角形?
2
4. (2014年湖南衡阳10分)二次函数y=ax +bx+c ( a丰0 )的图象与x轴的交点为A (- 3, 0 )、B (1 ,
0)两点，与y轴交于点C (0,- 3m )(其中m >0),顶点为D.
(1 )求该二次函数的解析式(系数用含m的代数式表示)；
(2)如图①，当m=2时，点P 为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△的面积APCS,试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；
(3)如图②，当m取何值时，以A、D、C 为顶点的三角形与△相OC?
5. (2014 年湖南益阳12 分)如图，在直角梯形ABCD 中，AB // CD, AD丄AB, / B=60 °,AB=10 , BC=4 , 点P 沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x .
(1 )求AD的长；
(2 )点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存
在，求出x的值；若不存在，请说明理由；
(3)设厶ADP W^ PCB的外接圆的面积分别为 0、氐若S=S+S2，求S的最小值.
6. (2014年内蒙古呼伦贝尔13分)以AB为直径作半圆O , AB=10 ,点C是该半圆上一动点，连接AC、BC ,延长BC至点D，使DC=BC，过点D作DE丄AB于点E,交AC于点F,在点C运动过程中：
(1) 如图1，当点E 与点O 重合时，连接 OC ，试判断厶
CC 的形状，并证明你的结论；
(2) 如图2，当DE=8时，求线段EF 的长； (3)
当点E 在线段OA 上时，是否存在以点 E 、0、F 为顶点的三角形与△ 相C ?若存在，请求出此 时
线段0E 的长；若不存在，请说明理由.
三占
- 八、、♦
(1 )求这条抛物线的解析式;
7. (2014年山东日照14分)如图1，在菱形OABC 中，已知OA= 2 3，/ AOC=60 ,抛物线 y=ax 2+bx +c
(a 丰0)经过O , C , B 三点.
(1) 求出点B 、C 的坐标并求抛物线的解析式.
(2) 如图2，点E 是AC 的中点，点 F 是AB 的中点，直线 AG 垂直BC 于点G , 点P 在直线AG 上.
①当OP+PC 的最小值时，求出点 P 的坐标;
②在①的条件 下，连接PE 、PF 、EF 得厶PEF ，问在抛物线上是否存在点M ，使得以M , B , C 为顶点的三 角形与△ PE W 似？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.
8. (2014 年山东威海12分)
2
已知抛物线 y=ax +bx+c ( a 丰 0)经过 A (- 1 , 0) , B (4, 0),
(2) E 为抛物线上一动点，是否存在点 E 使以A 、B 、E 为顶点的三角形与△ 相B ?若存在，试求出
B o
B
>4
0 0 如图,
A
图2