费马大定理证明

【法1】

等轴双曲线方程的通解与费尔玛大定理的证明

滕锡和

(河南鲁山 江河中学 邮编：467337)

摘 要: 由等轴双曲线方程与费尔玛方程的内在联系，寻找到一种费尔玛方程是否有正整数解

的充要条件，再由对此条件的否定，证明了费尔玛大定理，并且把费尔玛大定理与勾股定理有机地统一起来。 关键词: 完全+

Q 解；可导出+

Q 解；连环解

中图法分类号： 文献标识码：A 文章编号：

1 R +通解

本文所用数集：N ---自然数集，Q ---有理数集，R ---实数集。本文讨论不超出+R 的范围。 本文中方程n

n

n

z y x =+及同类方程中的指数n ∈N ，以后不再说明。 引理1 方程

n

n

n

z y x =+ （n ≥2） (1)

有N 解的充要条件是它有+

Q 解。

引理2 方程（1）n

n

n

z y x =+（n ≥2）有N 解的充要条件是它有既约N 解。 这样，在以后的讨论中只需讨论+

Q 解及既约N 解的情形，可使过程简化。 引理3 方程（1）n n

n

z y x =+（n ≥2）有N 解的充要条件是方程

-1n n

X Y = （n ≥2） （2）

有+

Q 解。

证明 充分性 如果方程（2）-1n n X Y =（n ≥2）有+

Q 解，设（v

u

v w ，）()u v w N ∈两两互素，，为其+

Q 解，则（

v w ）n -（v

u ）n ＝1，n

n n w v u =+ 。于是方程（1）n n n z y x =+（n ≥2）有N 解()w v u ，，。

必要性 如果方程（1）n

n

n

z y x =+（n ≥2）有N 解，设()w v u ，，()

u v w N ∈两两互素，，

为其N 解，则n n n w v u =+，（v w ）n -（v

u ）n ＝1。于是方程（2）-1n n X Y =（n ≥2）有+

Q 解（

v

u

v w ，）。证毕 引理4 如果方程（1）n

n

n

z y x =+（n ≥2）有+

Q 解，那么，只有两类：

i ）完全+

Q 解()w v u ，，(

)+

∈Q

w v u ，，；

ii ）可导出+

Q 解()

w v u λλλ，，()Q u v w Q λ+

+

∈∈，，，。

证明 第i ）类属显然。

第ii ）类，把()w v u λλλ，，代入方程（1），得()()()n

n

n

u v w λλλ+=， ∴ n n n w v u =+

于是导出方程（1）的+

Q 解()w v u ，，。

除此以外，由其它任何形式的带无理因子的解，都不能导出+

Q 解。事实上，设()

123u v w λλλ，，（123λλλ，，中至少有一个∈+Q 且三个数中含有不可通约的无理因子，w v u ，， ∈+

Q ）为方程（1）的解，则由321λλλ，，的定义知，它们的无理因子是不能从上式中完全提到括号外面去的，即由它不能导出方程（1）的+

Q 解。证毕

从引理4及其证明过程可以得到以下三条结论： （1）

若将第i ）类+

Q 解的三个数同乘以一个数ξ（ξ∈+

Q ），得到ξ()w v u ，，，则此解

仍是方程（1）的第i ）类+Q 解；若将三个数同乘以一个数λ（λ∈+

Q ），得到λ()w v u ，，，则此解变为方程（1）的第ii ）类+

Q 解。

（2）

若将第ii ）类+

Q 解的三个数同乘以一个数

()1

Q λλ

+

∈，得到()w v u ，，，则此解变为方程（1）的第i ）类+

Q 解;若将三个数同乘以一个数δ（δ∈R Q δλ++

∉且），

得到δλ()w v u ，，，则此解仍是方程（1）的第ii ）类+

Q 解。

（3）

方程（1）的第i ）、ii ）类+Q 解与非第i ）、ii ）类+

Q 解之间是封闭的。即无论对数组的三个数同乘以一个什么正实数，它们之间都不可能互化。

定理1 方程（1）n

n n z y x =+（n ≥2）的 +

R 解公式是

111A d R d λλ+=∈>　（、，）， 或 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=n n n r r r B 2222222121）（，，）（λ （21r R r λ+∈>、，）。

证明 当+∈R z y x ，，时，由n

n n z y x =+得1=-n n x

y x z ）（）（。根据引理3，这两个方

程在是否存在+

Q 解方面是等价的。从而得到

12222

=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡-

⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n

n n n x y x z x y x z ）（）（）（）（ 于是设22

1n n

z y d d x x

+=>（）（）（），则d x y x z n

n 122=-）（）（。由此解得d

d x y d d x z n

n 21

212222-=+=），（）（ 。恢复x z ：和x y ：的比例系数后得）

（）（），（）（）（+∈⋅⋅-=⋅⋅+=R d d x y d d x z n

n 00

022002221

21λλλλλ，拆开后即得

01A x y z R d λ+==∈>（，，）　（，）

111R d λλ+==

>　（，）

。 又，由n n n z y x =+得，）（）（12

22

2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n y x y z 12222

=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-

⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n

n n n y x y z y x y z ）（）（）（）（。 设221n n

z x r r y y +=>（）（）（），则r

y x y z n

n 122=-）（）（。仿上法又得到

22221B x y z r R r λλ+⎫==∈>⎪⎪⎭

（，，）　（、，）。

若设a p

d r a b p q R b q

+=

=∈、（、、、，),q p b a >>， 则B A 、之间的变换关系是.p p a b d r p q a b

++=

=--，将B A 、两式分别代入方程（1），等式成立。因此，B A 、两式都是方程（1）的+

R 解公式。证毕

定理1说明 i ）方程（1）的任何一个+

R 解都可以由B A 、两式同时表出; B A 、两式表出