椭圆的焦点弦长公式

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椭圆焦点弦长公式推导

椭圆的焦点弦长公式可以用下面的方法推导：

首先，我们假设椭圆的两个焦点分别是F1(x1, y1)和F2(x2, y2)，半长轴a和半短轴b。

由于椭圆的特性，所有点P(x,y)都有如下关系：

$\frac{{{{(x - x_{1} )}^{2}} + {{(y - y_{1} )}^{2}}}}{{a^2}} = \frac{{{{(x - x_{2} )}^{2}} + {{(y - y_{2} )}^{2}}}}{{b^2 }}$ 。

将此式两边各乘以$ab^2$可得：

${{a^ 2 b^ 2 }}\left[ {\frac{{{x^ 2 } - 2x{x_1 } + {x_1 }^ 2 + {y^ 2 } - 2y{y_1 } + {y_1 }^

2 }}{{{a^ 2 }}}} \right]=\left[ {\frac{{{x^ 2 } - 2x{x_2 } + {x_2 }^ 2 + {y^ 2 } - 2y{y_2 } + {y_2

椭圆的焦点弦长公式

2222

21cos 2c a ab F F -=及其应用在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有

命题：

若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有θ

2222

21cos 2c a ab F F -=。上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。

例1、已知椭圆的长轴长

AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设X

PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长？

分析：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，故由焦

点弦长公式θ

2222

21c o s 2c a ab F F -=及题设可得：24cos 816)22(4222=-⨯⨯α，解得αc o s ±=22-，即α=arc 22cos -或arc -π22cos -。

例2、在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴，直线l 通过点F ，且倾斜角为3

π，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为516，求椭圆E 的方程。分析：由题意可设椭圆E 的方程为1)1()3(2

22=-+--b y a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线为Y 轴，故有32

+=c c a （1），又由焦点弦长公式有3cos 22222π

c a ab -=5

16 （2）又 222c b a += （3）。解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：42=a ，32=b ，1=c ，

椭圆过焦点的弦长公式

椭圆过焦点的弦长公式是一种涉及到椭圆的数学公式，它是一个有关于椭圆的结构和形状的深入研究。椭圆是一种双曲线（hyperbola），它可以用一组有限的四个点来定义，它的两个焦点是其重要的特点。焦点的距离就称为椭圆的短轴，焦点到周轴的中心点的距离称为椭圆的长轴。

椭圆过焦点弦长公式描述的是椭圆的结构和形状，它的格式如下：∑ (Ea + fc + gd) = l

其中，E是椭圆的短轴，f和g是两个焦点到椭圆短轴中心的距离，d是椭圆的长轴，l是过两个焦点的弦长。椭圆过焦点的弦长公

式可以用来计算椭圆的两个焦点之间的距离。

该公式的基本原理如下：椭圆的点经过其两个焦点和斜轴上的四个点，然后在椭圆上折线两侧至少有两个点，折线的长度就是椭圆过焦点的弦长。即通过椭圆过焦点的弦长，可以计算椭圆的长轴、短轴、焦点到椭圆中心的距离以及椭圆的面积。

椭圆过焦点的弦长公式可以用来研究椭圆的原理以及各种物理

学和几何学问题。例如，它可以用来研究不同角度夹角下椭圆的变化，它可以用来研究椭圆的内切圆的位置和大小的变化，也可以用来研究椭圆的变形与投影变换有关的问题，它还可以用来研究椭圆的特性以及它在几何图形中的应用等。

椭圆过焦点的弦长公式和它的计算是一种非常有用的数学公式，它可以让我们更好地理解椭圆的结构和特性，可以解决一些几何上的

问题，也可以帮助我们更好地利用椭圆的特性来解决实际的工程问题。因此，椭圆过焦点的弦长公式在数学学术界以及工程界都具有重要的意义。

椭圆的焦点弦长公式二级结论

椭圆是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。

s=(圆周率)ab(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).

或s=(圆周率)ab/4(其中a,b分别就是椭圆的长轴,长轴的长).

椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。

椭圆周长(l)的准确排序必须使用分数或无穷级数的议和。例如

l = /2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率

椭圆距心率的定义为椭圆上的的边某焦点的距离和该点至该焦点对应的准线的距离之比，设立椭圆上点p至某焦点距离为pf，至对应准线距离为pl，则

e=pf/pl

椭圆的准线方程

x=a^2/c

e=c/a(e1,因为2a2c)

椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线x=+a^2/c)的`距离,数值=b^2/c

椭圆汪半径公式：|pf1|=a+ex0 |pf2|=a-ex0

椭圆过右焦点的.半径r=a-ex

过左焦点的半径r=a+ex

椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴(或y轴)的直线与椭圆的两交点a,b之间的距离，数值=2b^2/a

点与椭圆边线关系：点m(x0，y0) 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1

点在圆内： x0^2/a^2+y0^2/b^21

点在圆上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1

点在圆外： x0^2/a^2+y0^2/b^21

椭圆的弦长公式

椭圆是常见的几何图形，它与圆相似，但形状略有不同。在本文中，我们将探讨椭圆的弦长公式及其推导过程。

椭圆的定义

椭圆是在平面上定义的几何图形，它是固定点F（称为焦点）和固定直线L （称为直角边）到平面上点P的距离之和与一定的常数2a成比例的点的集合，即

PF1 + PF2 = 2a

其中F1和F2是一个椭圆的两个焦点，a是一个椭圆的半长轴。

椭圆的弦长

弦是在椭圆内部连接两个不相邻的点的线段。图中AB和CD是椭圆的两条弦，其长度为l。

我们的目标是推导出椭圆弦长的公式。

椭圆的标准方程

为了推导椭圆的弦长公式，我们需要引入椭圆的标准方程。

标准方程是将椭圆放在坐标系中并将椭圆的中心与坐标系的原点重合时的方程。一个椭圆的标准方程为：

x²/a² + y²/b² = 1

其中a和b是椭圆的半长轴和半短轴。

椭圆的弦长公式的推导

现在我们来推导椭圆的弦长公式。

假设椭圆的标准方程是

x²/a² + y²/b² = 1

弦AB的两个端点的坐标可以表示为：

A（-x1, y1）和B（x2, y2）

根据标准方程，我们可以得到：

y1²/b² = 1 - x1²/a² (1)

y2²/b² = 1 - x2²/a² (2)

将式(1)和式(2)相加：

y1²/b² + y2²/b² = 2 - x1²/a² - x2²/a²

将x1和x2相加，得到：

x1 + x2 = -（a²/b²）（y1 + y2）/（x1 - x2）

我们假设椭圆的中心为（0, 0），则坐标系中任意一点P的坐标为（x, y）。以y1作为y坐标，可以得到：

x = a²x1/（a² - b²），y = b²y1/（a² - b²）

椭圆双曲线弦长公式

椭圆和双曲线是常见的数学曲线，它们在物理学、工程学和其他领域中具有广泛的应用。在研究椭圆和双曲线时，弦长是一个重要的概念。

弦是连接椭圆或双曲线上两个点的线段。在椭圆上，弦始于一个焦点，结束于另一个焦点，通过椭圆的内部。在双曲线上，弦同样连接两个点，但它通过双曲线的外部。

我们可以通过弦的长度来描述椭圆或双曲线的形状。弦长公式是一个用于计算椭圆或双曲线弦长的公式。下面我们将分别介绍椭圆和双曲线的弦长公式。

1. 椭圆弦长公式：

对于一个椭圆，其长轴长度为2a，短轴长度为2b。如果我们选择椭圆上两个点，它们的坐标分别为(x, y)和(x, y)，那么它们之间的弦长可以通过以下公式计算：

S = 2a * sin(θ/2)

其中，θ是两个点所在的角度。注意，这里的角度是弧度制。

2. 双曲线弦长公式：

对于一个双曲线，其长轴长度为2a，短轴长度为2b。同样地，我们

选择双曲线上两个点，它们的坐标为(x, y)和(x, y)。双曲线上这两个点之间的弦长可以通过以下公式计算：

S = 2a * sinh(d/2)

其中，d是两个点之间的距离，sinh表示双曲正弦函数。

椭圆和双曲线的弦长公式可以帮助我们计算曲线上两个点之间的距离，从而更好地理解和分析这些曲线的性质。它们在计算机图形学、天体力学、电磁学等领域中有重要的应用。

焦点在y轴的椭圆焦点弦公式

椭圆焦点弦公式是指椭圆焦点在y轴上的情况。假设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦点坐标为(0,c)和(0,-c)，其中c为焦距。

根据椭圆焦点弦公式，任意过焦点的弦在y轴上的长度等于焦距的两倍与弦距离y之和的积的绝对值。换句话说，对于任意过焦点的弦AB，其长度AB满足以下关系：

|AB| = 2c * (c + |y|)

其中|AB|表示弦AB的长度，|y|表示y轴上的坐标距离绝对值。

这个公式可以用于计算椭圆上任意点到焦点在y轴上的弦的长度。

高中数学椭圆弦长公式推导过程

全文共四篇示例，供读者参考

第一篇示例：

椭圆是数学中常见的曲线形状之一，在高中数学学习中，我们经常会接触到椭圆的相关知识，其中就包括椭圆的弦长公式。椭圆弦长公式是求椭圆上任意两点之间的弦长的公式，通过推导可以得到其具体表达式。下面，我将详细介绍椭圆弦长公式的推导过程。

让我们来了解一下椭圆的基本定义和性质。椭圆可以看作是一个平面内到两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹。我们用椭圆的两个焦点表示为F1和F2，椭圆的长半径为a，短半径为b，焦距为2c。椭圆的标准方程可以表示为：

$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $

椭圆上的一点P(x, y)到两个焦点的距离之和等于常数2a，即：

$ PF1 + PF2 = 2a $

我们将这个式子记为(1)。

接下来，我们需要推导出椭圆的弦长公式。假设椭圆上有两点

A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们要求这两点之间的弦长AB的长度。我们需要找到连接两点A和B的直线方程。

由于椭圆是一个二次曲线，因此椭圆上的点满足椭圆的标准方程。点A(x1, y1)和B(x2, y2)分别满足椭圆方程：

连接两点A和B的直线方程可以表示为：

$ (y-y1) = \frac{y2-y1}{x2-x1} \times (x-x1) $

将这个直线方程代入椭圆的标准方程，可以得到连接两点A和B

的方程。

接下来，我们要求直线与椭圆的交点，即求方程组：

可以得出AB弦长的计算公式为：

可见，椭圆弦长公式的推导过程并不复杂，只要我们掌握了椭圆

椭圆弦长公式带△的那个公式推导

椭圆弦长公式带△的公式推导

椭圆是数学中常见的图形，它具有许多特殊的性质和公式。其中一个重要的公

式是椭圆上的弦长公式，它描述了椭圆上两点之间的弦长与椭圆参数之间的关系。本文将详细推导带有△的椭圆弦长公式。

1. 弦长的定义

在推导椭圆弦长公式之前，首先要明确弦长的定义。在椭圆上，如果有两点A

和B，那么从A点到B点的曲线段称为弦。弦的长度即为弦长。

2. 椭圆的参数

椭圆可以由其两个焦点F1和F2以及其长轴的长度2a定义。椭圆的长轴是连

接两个焦点并且通过椭圆中心的线段。椭圆的焦距定义为常数c，其中c满足c^2 = a^2 - b^2，其中b是椭圆的短轴的长度的一半。椭圆的离心率e定义为e = c/a。

3. 弦长公式的推导

假设A点的坐标为(x1, y1)和B点的坐标为(x2, y2)。为了推导带有△的椭圆弦

长公式，我们可以使用解析几何的基本原理。

首先，我们需要计算AB线段的斜率k。斜率k可以通过以下公式计算：

k = (y2 - y1) / (x2 - x1)

接下来，我们可以编写AB线段的方程。假设AB线段的方程为y = mx + b，其

中m是斜率，b是y轴截距。根据A点和B点的坐标，我们可以使用点斜式计算

出方程的参数m和b：

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

b = y1 - mx1

由此得到AB线段的方程为：

y = (y2 - y1) / (x2 - x1) * x + y1 - (y2 - y1) / (x2 - x1) * x1

接下来，我们将该直线方程代入椭圆的方程中，即将y替换为椭圆方程中的y，得到：

椭圆的弦长公式

椭圆弦长公式是一个数学公式，关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程。

化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦

达定理及弦长公式√(1+K²)[(X1+X2)²-4·X1·X2]求出弦长。

设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点

繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。

椭圆的焦点弦长公式推导

设焦点弦端点为A，B，A，B横坐标分别为x1，x2，A，B到与焦点对应的准线的距离分别为d1，d2，焦点弦过焦点F，

则离心率e=AF/d1=BF/d2=(AF+BF)/(d1+d2)=AB/(d1+d2)=AB/[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]

焦点弦长AB=e[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]

若F为右焦点，则d1+d2=|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|=(a^2)/c-x1+(a^2)/c-x2=2(a^2)/c-(x1+x2)

焦点弦长AB=e[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]=e[2(a^2)/c-(x1+x2)]=2(c/a)(a^2)/c-e(x1+x2)

=2a-e(x1+x2)

若F为左焦点，则d1+d2=|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|=x1-(a^2)/c+x2-(a^2)/c=(x1+x2)-2(a^2)/c

焦点弦长AB=e[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]=e[(x1+x2)-2(a^2)/c]=e(x1+x2)-2(c/a)(a^2)/c

=e(x1+x2)-2a

扩展资料：

平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。

由锥体与平面相交的平面曲线。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。

椭圆的焦点弦长公式推导

椭圆的焦点弦长公式推导例：设椭圆方程为122

22=+b

y a x ，直线l ：b kx y +=交椭圆于A 、B 两点，求AB 长度。解：椭圆方程122

22=+b

y a x 可化为0222222=-+b a y a x b ……①，将直线l ：t kx y +=带入①得：()0222

222=-++b a t kx a x b ，整理得， ()022********=-+++b a t a ktx a x b k a ， ∴2222

222212

22221,2b k a b a t a x x b k a kt a x x +-=+-=+， ∴()()()()()222222222222222222222224212212214444b k a t b k a b a b k a b a t a b k a t k a x x x x x x +-+=+-⨯-+=

-+=- ∴2222222212t b k a b k a ab x x -++=

- ∴22222222212121t b k a k b k a ab

x x k AB -+++=

-+= 若直线AB 经过左焦点1F （- c ，0），则kc t =，带入上式可得到，

1222222

21++=-k b

k a ab x x ， ()

12122222222222222++=-+++=k b k a ab t b k a k b k a ab AB ……焦点弦长公式① 若直线l 的倾斜角为θ，即θtan =k ，则有：

()()

θθθ22222222222222cos 21tan tan 212c a ab b a ab k b k a ab AB -=++=++=……焦点弦长公式② 《简爱》是一本具有多年历史的文学着作。至今已152年的历史了。它的成功在于它详细的内容，精彩的片段。在译序中，它还详细地介绍了《简爱》的作者一些背景故事。

高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用

椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用

摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即

AB = 1 k 2

x 1 x 2

或者 AB= 1+( k 1

y 1 y 2 ，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式： 2ab

AB 2 2a 2b 2 ，如果记住公式，可以给我们解题带来方便 .

2 c 2 cos 2

下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用 .

解法一：根据弦长公式直接带入解决 .

题：设椭圆方程为 x

2 y

2 1，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭 ab

圆于

A( x 1 , y 1), B ( x 2 , y 2 )两点，求弦长 AB .

椭圆方程 x

2 y 2 1可化为

b 2x 2

a 2y 2 a 2

b 2

⋯⋯①， a

b 2

直线 l 过右焦点，则可以假设直线为：

x my c ( 斜率不存在即为 m 0时 ) ，代入①得：

(b 2m 2

a 2)y 2 2mc

b 2 y b 2

c 2 a 2b 2 0 ，整理得， (b 2m 2 a 2)y 2

2mcb 2

y b 4

∴

y 2

b 2m 2

2mcb 2

2 ,y 1y 2 a b 4

b 2m 2

AB = 1+( k 1

y 1

y 2

1 m

(

2 2 bm 2mcb 2 )

2 2)

4b 4

2 2 2

b m a

1 m 2

4a 2

b 4

焦点弦公式二级结论

椭圆：

(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为椭圆的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=2a±2ex。

(2)设直线：与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）。

双曲线：

(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为双曲线的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=-2a±2ex。

(2)设直线：与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）{K=(y2-y2)/(x2-x1)}。

注意：

焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。而由于椭圆或双曲线上的点与焦点之间的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到对应的准线之间的距离来表示(圆锥曲线第二定义)。

因此，焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。这是一个很好的性质。焦点弦长就是这两个焦半径长之和。

此外，由于焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，很多问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。(注意斜率不存在的情况！即垂直于x轴！)

过椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式

过椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式

椭圆是我们初中数学学习中比较基础的一种二次曲线，在学习椭圆的性质时，有一条焦点垂直于长轴的弦长公式是必须要掌握的。那么，什么是椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式呢？

一、椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式的定义：

椭圆的焦点垂直于长轴的弦长公式是指，对于一个椭圆，设其长轴的长度为2a，短轴的长度为2b，则椭圆的焦点到长轴垂足的距离为c，长轴上任意一点到椭圆上一点的距离为s，则焦点垂直于长轴的弦长公式为：

s²=4a²-c²

其中，a、b、c为椭圆的三个参数，分别表示长轴的半长轴、短轴的半长轴和焦距。

二、证明：

证明四步如下：

1) 假设在椭圆上任取一点P(x,y)，设焦点为F1(x1,y1)，垂足为H(x,y1)。连接FP1，FH。则有HF1=c。

2) 再设椭圆的左、右顶点分别为A(-a,0)、B(a,0)，则长轴AB

的中点为O(0,0)。

3) 由于OH垂直于长轴，且∠PFH=90°，则PH是OH的投影，即PH∥OH。又因为FOHF1是平行四边形，所以OF1||FH。

4) 由平行性，有 PH/PF1=OH/OH+2c=OH/OA，所以

PF1⋅PH/OH=F1H=c，于是有PF1²=PH²+c²，代入x²/a²+y²/b²=1可

得s²=4a²-c²。

三、应用：

椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式在椭圆的研究中有广泛的应用，如常数项展开、直线切线、切线方程求解等等。

比如，在切线方程的求解中，就可以用椭圆焦点垂直于长轴的

弦长公式来确定椭圆上点到直线距离的计算，然后利用求解直线

椭圆交点弦长公式

椭圆交点弦长公式是数学中关于椭圆的一个重要公式，用于计算椭圆上两点之间的弦长。椭圆是一种特殊的曲线，具有许多独特的性质和特点。掌握椭圆交点弦长公式，可以帮助我们更好地理解椭圆的几何性质和应用。

椭圆交点弦长公式的推导基于椭圆的定义和性质。首先，我们需要了解椭圆的定义。椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个给定点（焦点）的距离之和始终是一个常数。这两个焦点与椭圆的长轴平行。

在椭圆上任取两个点A和B，这两个点分别到两个焦点F1和F2的距离之和等于常数2a（a为椭圆的半长轴），即AF1 + AF2 = 2a。现在我们要计算点A和点B之间的弦长AB。

我们可以通过椭圆的定义得到AF1和AF2的关系式，即AF1 + AF2 = 2a。根据这个关系式，我们可以得到AF1 = 2a - AF2。接下来，我们可以使用勾股定理计算弦长AB。

利用勾股定理，我们可以得到弦长AB的平方等于AF1的平方加上AF2的平方减去两倍的AF1和AF2的乘积，即AB² = (2a - AF2)² + AF2² - 2(2a - AF2)(AF2)。

将上式展开并整理，可以得到AB² = 4a² - 4a(AF2) + (AF2)² + (AF2)² - 4a(AF2) + 4(AF2)²。简化后，得到AB² = 4a² - 4a(AF2)

+ 4(AF2)²。

由于椭圆的性质，我们可以将AF2表示为AE - EF2，其中AE为椭圆的半长轴，EF2为焦点F2到点E的距离。代入上式，可以得到AB² = 4a² - 4a(AE - EF2) + 4(AE - EF2)²。